Как построить график y x 2. Квадратичная и кубическая функции

Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:

отсюда очевидное принципиальное отличие - в линейной функции х стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, х стоит во второй степени.

Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.

Начнем с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной а , то площадь его мы можем вычислить так:

Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

Напомним, что переменная х - это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная у .

Это закон соответствия, согласно которому каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у .

Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.

В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и ее свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о ее свойствах: очевидно, что у не может принимать отрицательных значений, так как

Итак, составим таблицу:

Рис. 1

По графику несложно отметить следующие свойства:

Ось у - это ось симметрии графика;

Вершина параболы - точка (0; 0);

Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

На промежутке, где функция убывает, а на промежутке, где функция возрастает;

Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

Наибольшего значения функции не существует;

Пример 1

Условие:

Решение:

Поскольку х по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке . Функция имеет на этом промежутке минимальное значение и максимальное значение

Рис. 2. График функции y = x 2 , x ∈

Пример 2

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке пока и возрастает на промежутке пока .

Итак, пределы изменения х , а пределы изменения у , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и максимальное

Рис. 3. График функции y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2 , отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

Учебник:

• Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Р. Математика. 7 класс

Цели:

I. Опрос учащихся

1. Что называется функцией?

(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной )

2. Что называется областью определения функции?

(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)

3. Что называется областью значений функции?

(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)

4. С какими функциями мы с вами познакомились?

а) с линейной функцией вида у = кх + b ,

прямой пропорциональностью вида у = кх

б) с функциями вида у = х 2 , у = х 3

5. Что представляет из себя график линейной функции? (прямая ). Сколько точек необходимо для построения данного графика?

Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций, заданных следующими формулами:

а) у = Зх + 2; у = 1,2х + 5;

b) y = 1,5х + 4; у = -0,2х + 4; у = х + 4;

с) у = 2х + 5; у = 2х - 7; у = 2х

Рисунок 1

На рисунке изображены графики линейных функций (каждому ученику на парту выдается листок с построенными графиками ). Напишите формулу для каждого графика

С графиками каких функций мы с вами ещё знакомы? (у = х 2 ; у = х 3 )

1. Что является графиком функции у = х 2 (парабола ).
2. Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы ).

Давайте построим параболу, заданную формулой у = х 2

Рисунок 2

Какими свойствами обладает график функции у = х 3 ?

1. Если х = 0 , то у = 0 - вершина параболы (0;0)
2. Область определения: х - любое число, Д(у) = (- ?; ?) Д(у) = R
3. Область значений у ? 0
4. E(y) =
5. Функция возрастает на промежутке

   Функция возрастает на промежутке функция убывает,
   а при x ∈ [ 0; + ∞) возрастает.

   График функции y = x 2 + 3 - такая же парабола, но её
   вершина находится в точке с координатами (0; 3) .
   Найдите значение функции
   y = 5x + 4, если:
   х=-1
   y = - 1 y = 19
   х=-2
   y=-6
   y = 29
   х=3
   х=5
   Укажите
   область определения функции:
   y = 16 – 5x
   10
   y
   х
   х – любое
   число
   х≠0
   1
   y
   х 7
   4х 1
   y
   5
   х≠7
   Постройте графики функций:
   1).У=2Х+3
   2).У=-2Х-1;
   3).

   10.

   Математическое
   исследование
   Тема: Функция y = x2

   11.

   Постройте
   график
   функции
   y = x2

   12.

   Алгоритм построения параболы..
   1.Заполнить таблицу значений Х и У.
   2.Отметить в координатной плоскости точки,
   координаты которых указаны в таблице.
   3.Соедините эти точки плавной линией.

   13.

   Невероятно,
   но факт!
   Перевал Парабола

   14.

   Знаете ли вы?
   Траектория камня, брошенного под
   углом к горизонту, будет лететь по
   параболе.

   15. Свойства функции y = x2

   *
   Свойства функции
   y=
   2
   x

   16.

   *Область определения
   функции D(f):
   х – любое число.
   *Область значений
   функции E(f):
   все значения у ≥ 0.

   17.

   *Если
   х = 0, то у = 0.
   График функции
   проходит через
   начало координат.

   18.

   II
   I
   *Если
   х ≠ 0,
   то у > 0.
   Все точки графика
   функции, кроме точки
   (0; 0), расположены
   выше оси х.

   19.

   *Противоположным
   значениям х
   соответствует одно
   и то же значение у.
   График функции
   симметричен
   относительно оси
   ординат.

   20.

   Геометрические
   свойства параболы
   *Обладает симметрией
   *Ось разрезает параболу на
   две части: ветви
   параболы
   *Точка (0; 0) – вершина
   параболы
   *Парабола касается оси
   абсцисс
   Ось
   симметрии

   21.

   Найдите у, если:
   «Знание – орудие,
   а не цель»
   Л. Н. Толстой
   х = 1,4
   - 1,4
   у = 1,96
   х = 2,6
   -2,6
   у = 6,76
   х = 3,1
   - 3,1
   у = 9,61
   Найдите х, если:
   у=6
   у=4
   х ≈ 2,5 х ≈ -2,5
   х=2 х=-2

   22.

   постройте в одной
   системе координат
   графики двух функций
   1. Случай:
   у=х2
   У=х+1
   2. случай:
   У=х2
   у= -1

   23.

   Найдите
   несколько значений
   х, при которых
   значения функции:
   меньше 4
   больше 4

   24.

   Принадлежит ли графику функции у = х2 точка:
   P(-18; 324)
   R(-99; -9081)
   принадлежит
   не принадлежит
   S(17; 279)
   не принадлежит
   Не выполняя вычислений, определите, какие из
   точек не принадлежат графику функции у = х2:
   (-1; 1)
   *
   (-2; 4)
   (0; 8)
   (3; -9)
   (1,8; 3,24)
   При каких значениях а точка Р(а; 64) принадлежит графику функции у = х2.
   а = 8; а = - 8
   (16; 0)

   25.

   Алгоритм решения уравнения
   графическим способом
   1. Построить в одной системе
   координат графики функций, стоящих
   в левой и правой части уравнения.
   2. Найти абсциссы точек пересечения
   графиков. Это и будут корни
   уравнения.
   3. Если точек пересечения нет, значит,
   уравнение не имеет корней

   Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:

   отсюда очевидное принципиальное отличие - в линейной функции х стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, х стоит во второй степени.

   Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.

   Начнем с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной а , то площадь его мы можем вычислить так:

   Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

   Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

   Напомним, что переменная х - это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная у .

   Это закон соответствия, согласно которому каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у .

   Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.

   В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

   Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и ее свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о ее свойствах: очевидно, что у не может принимать отрицательных значений, так как

   Итак, составим таблицу:

   

   Рис. 1

   По графику несложно отметить следующие свойства:

   Ось у - это ось симметрии графика;

   Вершина параболы - точка (0; 0);

   Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

   На промежутке, где функция убывает, а на промежутке, где функция возрастает;

   Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

   Наибольшего значения функции не существует;

   Пример 1

   Условие:

   

   Решение:

   Поскольку х по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке . Функция имеет на этом промежутке минимальное значение и максимальное значение

   

   Рис. 2. График функции y = x 2 , x ∈

   Пример 2

   Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

   

   Решение:

   х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке пока и возрастает на промежутке пока .

   Итак, пределы изменения х , а пределы изменения у , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и максимальное

   

   Рис. 3. График функции y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

   Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.