Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.

Значение слова подмножество

подмножество в словаре кроссвордиста

Энциклопедический словарь, 1998 г.

подмножество

понятие теории множеств. Подмножество множества А - множество В (обозначается В? А), каждый элемент которого принадлежит А. Напр., множество всех четных чисел является подмножеством множества всех целых чисел.

Подмножество

множества А (математическое), любое множество, каждый элемент которого принадлежит А. Например, множество всех чётных чисел является П. множества всех целых чисел. Если к числу множеств причислить «пустое» множество, совсем не содержащее элементов, то, в силу определения, его следует считать П. любого другого множества. Само множество А и пустое множество называются иногда несобственными П., остальные же П. ≈ собственными. См.также Множеств теория.

Википедия

Подмножество

Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.

Примеры употребления слова подмножество в литературе.

Вы можете также набрать следующую букву, чтобы перейти к подмножеству всех возможных завершений.

Представленный документ МОЖЕТ быть как подмножеством оригинальной версии, так и содержать сведения, которые в ней не были представлены.

Хармсовский ноль как некое множество, включающее в себя бесконечный ряд нулевых подмножеств , -- это мир бесконечности.

Возможность печати подмножества страниц требует наличия фильтра, который может обрабатывать такую ситуацию.

Создание индекса с правилом фрагментации, не совпадающим с правилом фрагментации таблицы, полезно в тех случаях, когда в разных приложениях выборки из таблицы осуществляются на основе разных подмножеств ее атрибутов.

Идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.

Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $6$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,9$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.

Виды множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.

Определение 2

Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.

Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.

Определение 3

Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством .

Подмножества

Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.

Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.

В математике часть множества называют - подмножество. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества.

Обозначение множеств, подмножеств и их элементов

Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C , D, X, Y, Z, W$ и Т.Д.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.

Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $a\in A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.

Если же некоторый элемент, например, $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $b\notin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$

Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3\in A$, $7,5\notin B$

Пустое множество в математике обозначают так: $ᴓ$

Для обозначения того, что множество $B$ является подмножеством множества $A$, используют обозначение: Знак $\subset $ обозначает включение одного множества в другое множество.

Пример 1

Определить какие элементы из перечисленных $12,38,54,79,934$ будут входить в множество $A$- чисел кратных $3$.

Решение: По условию множество $A$ содержит в себе элементы, каждый из которых должен быть кратным, т.е. делится без остатка на $3.$ Значит для того чтобы определить будут ли заданные числа являться элементами множества $A$ нам надо проверить какие из них будут делится на $3$ без остатка, какие нет.

Вспомним признак делимости на $3$ : Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка.

$12$ делится на $3$, т.к. сумма цифр числа $12$ равна $3$

число $38$ на $3$ без остатка делится не будет, т.к. сумма цифр $3+8=11$ не делится на $3$ без остатка

аналогично т.к. суммы цифр числа $54$ равна $9$ доказываем, что на $3$ оно делится, в число $74$ на $3$ делится не будет, т.к. сумма цифр равна $11.$

Найдем сумму цифр числа $934: 9+3+4=16$, число $16$ не кратно $3$ ,значит и число $934$ на $3$ без остатка делится не будет

Теперь сделаем вывод, какие числа будут являться элементами множества $A$:

Способы задания множеств

Существует два глобально различных способа задания множеств.

Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него

Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $\left\{a,b,c\right\}$

При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Второй способ задания множеств применим как для конечных. так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества - множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.

Пример 2

Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, что все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:

$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

Равенство множеств

Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.

Объединение множеств

Из двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества $A$ и все элементы множества $B$

Математически это можно обозначить так:$\ А\ \cup B$

Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество$\ А\ \cup B$, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$.

Разность множеств

Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют такое множество, в которое входят все элементы из множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.

Множество - совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита - от A до Z .

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N - множество натуральных чисел

Z - множество целых чисел

Элемент множества - это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 - элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество - множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество - множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми .

Подмножество

Подмножество - это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера . Круги Эйлера - это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M , значит, множество L M . Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

L ⊂M

Запись L ⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M .

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств - это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L ∩M = {3, 11}.

Запись L ∩M читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах .

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},

то L ∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запись L ∪M читается так: объединение множеств L и M .

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

если L = M , то L ∪M = L и L ∪M = M .

Определение:

Множество – это любая совокупность объектов, которые называются его элементами.

Если х- элемент множества М, то обозначают: х М { х – принадлежит М}, если не принадлежит, то х ∉ М; Множество не содержащее элементов называется пустым и обозначается ∅

Множество, в котором содержатся все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается –

Ư. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными и обозначаются А = В.

Если любой элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А (частью множества А) и обозначается В ⊂ А; Отсюда следует, что любое множество является частью самого себя.

По определению пустое множество ∅ является подмножеством любого множества. Т.о. у любого множества А есть два подмножества:

Они называются несобственными подмножествами множества А. Любое множество В множества А, которое не является несобственными подмножествами А, (т.е. они отличны от А и ∅) и называются собственными подмножествами подмножества А. Множество из одного элемента а обозначается {а}.

Пример: А = {1;2;3} тогда пустое множество ∅ и само множество А является несобственными подмножествами А.

Множества:{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3} называются собственными подмножествами множества А. Совокупность всех множеств А называется его булеаном и обозначается – 2 А; В А, означает, что В А, В ≠ А. В этом случае говорят, что В строго включено в А или В является собственным подмножеством А;

В случае В ⊆ А, В = А говорят, что В нестрогое включение в А, т.е. В является несобственным подмножеством А.

Основные логические символы

ХР(х) – квантор общности (означает “для любого х выполняется

ХР(х) – квантор существования (означает “существует х, для которого выполняется Р (х)”.)

Р ⇒ Q – импликация (“из Р следует Q ”)

⟺ - эквивалентность (“тогда и только тогда”)

Р ∧ Q – конъюнкция (“Р и Q”)

Р ∨ Q – дизъюнкция (“Р или Q”)

Не Р или - отрицание Р

: = - символы присвоения (“положим”)

def – (“положим по определению”)

Используя эти символы можно записать:

1) (А = В) ⟺(( х ∈ А ⇒ х ∈ В) ∧ ( х ∈ В ⇒ х ∈ А)

2) (А ⊆ В) ⟺ ( х/х ∈А ⇒ х ∈ В)

3) (А = В) ⟺ (В ⊂ А ∧ А⊂ В)

Задание множеств

Перечислением элементов: М: = { а 1 ; а 2 ; а 3 ; …; а n }

или характеристическим свойством Р(х)

(предикатом): М: = { х | Р(х) }

Например:

1) В = { х ∈ N | х < 3} означает, что В= { 1; 2}

2) А ={ х ∈ N | х +1=5} означает, что А = {4}

3) В = { х ∈ N | х M5} или {5;10;15…}

т.е. { х | Р(х) }означает, что множество элементов х множества обладает свойством Р(х)

4) М = { х ∈ N | х ­3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}

Операции над множествами

Рассматриваются следующие операции над множествами:

1 0 . Объединение множеств А и В.

U

А ∪ В = { х/х ∈ А или х ∈ В} – т.е. состоит из элементов, принадлежащих хотя б одному из множеств А или В.

2 0 . Пересечение множеств А и В.

A∩B = {x/x ∈ A и x ∈ B} – т.е. состоят из элементов, принадлежащих одновременно А и В.

3º. Разность множеств А и В.

A/B = {x/x ∈ A и x ∉ B} – т.е. состоит из элементов А, не принадлежащих В.

4º. Симметрическая разность А и В (или кольцевая сумма А и В)

А Ө B = {x/x ∈ A и x ∉ B} ∪ {x/x ∈ В и x ∉ А} или {А\В ∪ В\А}

5º. Дополнение А до универсума

= U\A = {x|x ∈ Uux и x ∉ А}

Произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, в которой I элемент из множества А, II элемент – из множества В, т.е. А×В = {(а, в)/а Є А ̂в Є В}

Пример: А={2;5;7;9} и В ={2;4;7},

Тогда А×В = {(2,2) ; (2,4) ; (2,7) ; (5,2) ; (5,4) ; (5,7) ; (7,2) ; (7,4) ; (7,7) ; (9,2) ; (9,4); (9,7)}

А∩В={2,7}; А∪В={2,4,5,7,9}; А/В={5,9}; В/А={4}; А Ө В={4,5,9}

Элементы множества А×В называются точками; В паре (х, у) абсцисса – х и ордината – у точки, соответствующей этой паре.

Множество точек плоскости является прямым произведением вида R×R=R 2 , где R–множество действительных чисел.

R 2 называется декартовым квадратом на R.

Элементы теории графов

Сравнительный анализ возможностей человека и машины

В системе «человек-машина» к человеку предъявляются ряд требований.

Человек должен:

Уметь четко формулировать задачи;

Знать компоненты СОУ и ее возможности;

Уметь составлять программу решения задачи;

Уметь сравнивать полученный результат с предполагаемым и изменять несоответствие изменением способа решения задачи.

Множество - это объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин «множество» в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают .

Множество B называется подмножеством множества A , если любой элемент множества B является элементом множества A . Обозначение: .

Пример. . Запишем все подмножества множества M: {-14}, {11}, {17}, {-14;11}, {-14;17}, {11;17}, {-14;11;11}, .

Свойства включения множеств:

1. Пустое множество является подмножеством любого множества: Æ Ì А .

2. Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для любого множества А справедливо включение А Ì А .

3. Если А – подмножество множества В , а В – подмножество множества С , то А – подмножество множества С .

Универсальное множество – это самое большее множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче.

На диаграмме Эйлера – Венна универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U .