Обработка результатов измерений в физическом практикуме измерения и погрешности измерений. Обработка и анализ результатов измерений Даны результаты прямых измерений некоторых физических величин

В основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях значения величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за единицу. Полученные в результате измерений числовые значения различных величин могут зависеть друг от друга. Связь между такими величинами выражается в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других.

При измерениях неизбежно возникают погрешности. Необходимо владеть методами, применяемыми при обработке результатов, полученных при измерениях. Это позволит научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точность полученных значений.

Если измерение заключается в сравнении данной величины с другой, однородной величиной, принятой за единицу, то измерение в этом случае называется прямым.

Прямые (непосредственные) измерения – это такие измерения, при которых мы получаем численное значение измеряемой величины либо прямым сравнением ее с мерой (эталоном), либо с помощью приборов, градуированных в единицах измеряемой величины.

Однако далеко не всегда такое сравнение производится непосредственно. В большинстве случаев измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины, связанные с нею теми или иными соотношениями и закономерностями. В этом случае для измерения необходимой величины приходится предварительно измерить несколько других величин, по значению которых вычислением определяется значение искомой величины. Такое измерение называется косвенным.

Косвенные измерения состоят из непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с определяемой величиной количественной зависимостью, и вычисления по этим данным определяемой величины.

В измерениях всегда участвуют измерительные приборы, которые одной величине ставят в соответствие связанную с ней другую, доступную количественной оценке с помощью наших органов чувств. Например, силе тока ставится в соответствие угол отклонения стрелки на шкале с делениями. При этом должны выполняться два основных условия процесса измерения: однозначность и воспроизводимость результата. эти два условия всегда выполняются только приблизительно. Поэтому процесс измерения содержит наряду с нахождением искомой величины и оценку неточности измерения .

Современный инженер должен уметь оценить погрешность результатов измерений с учетом требуемой надежности. Поэтому большое внимание уделяется обработке результатов измерений. Знакомство с основными методами расчета погрешностей – одна из главных задач лабораторного практикума.

Почему возникают погрешности?

Существует много причин для возникновения погрешностей измерений. Перечислим некоторые из них.

· процессы, происходящие при взаимодействии прибора с объектом измерений, неизбежно изменяют измеряемую величину. Например, измерение размеров детали с помощью штангенциркуля, приводит к сжатию детали, то есть к изменению ее размеров. Иногда влияние прибора на измеряемую величину можно сделать относительно малым, иногда же оно сравнимо или даже превышает саму измеряемую величину.

· Любой прибор имеет ограниченные возможности однозначного определения измеряемой величины вследствие конструктивной неидеальности. Например, трение между различными деталями в стрелочном блоке амперметра приводит к тому, что изменение тока на некоторую малую, но конечную, величину не вызовет изменения угла отклонения стрелки.

· Во всех процессах взаимодействия прибора с объектом измерения всегда участвует внешняя среда, параметры которой могут изменяться и, зачастую, непредсказуемым образом. Это ограничивает возможность воспроизводимости условий измерения, а, следовательно, и результата измерения.

· При визуальном снятии показаний прибора возможна неоднозначность в считывании показаний прибора вследствие ограниченных возможностей нашего глазомера.

· Большинство величин определяется косвенным образом на основании наших знаний о связи искомой величины с другими величинами, непосредственно измеряемыми приборами. Очевидно, что погрешность косвенного измерения зависит от погрешностей всех прямых измерений. Кроме того, в ошибки косвенного измерения свой вклад вносят и ограниченность наших познаний об измеряемом объекте, и упрощенность математического описания связей между величинами, и игнорирование влияния тех величин, воздействие которых в процессе измерения считается несущественным.

Классификация погрешностей

Значение погрешности измерения некоторой величины принято характеризовать:

1. Абсолютной погрешностью – разностью между найденным на опыте (измеренным) и истинным значением некоторой величины

. (1)

Абсолютная погрешность показывает, на сколько мы ошибаемся при измерении некоторой величины Х.

2. Относительной погрешностью равной отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины Х

Относительная погрешность показывает, на какую долю от истинного значения величины Х мы ошибаемся.

Качество результатов измерений какой-то величины характеризуется относительной погрешностью . Величина может быть выражена в процентах.

Из формул (1) и (2) следует, что для нахождения абсолютной и относительной погрешностей измерений, нужно знать не только измеренное, но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений всегда состоит в том, чтобы узнать не известное заранее значение некоторой величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение, достаточно мало от него отличающееся. Поэтому формулы (1) и (2), определяющие величину погрешностей на практике не пригодны. При практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество приборов и ряд других факторов. Наша задача: научиться строить методику эксперимента и правильно использовать полученные на опыте данные для того, чтобы находить достаточно близкие к истинным значения измеряемых величин, разумно оценивать погрешности измерений.

Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах) , возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.

Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на случайные и систематические.

с лучайные погрешности. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего (рис.1). Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными. Случайные погрешности непроизвольно вносятся экспериментатором вследствие несовершенства органов чувств, случайных внешних факторов и т. д. Если погрешность каждого отдельного измерения принципиально непредсказуема, то они случайным образом изменяют значение измеряемой величины. Эти погрешности можно оценить только при помощи статистической обработки многократных измерений искомой величины.

Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта, не равные плечи весов и т. д.) и с самой постановкой опыта. Они сохраняют свою величину (и знак!) во время эксперимента. В результате систематических погрешностей разбросанные из-за случайных погрешностей результаты опыта колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения (рис.2). погрешность каждого измерения искомой величины можно предсказать заранее, зная характеристики прибора.

Расчет погрешностей прямых измерений

Систематические погрешности . Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые в измерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов. Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указан их класс точности.

Класс точности прибора – это отношение абсолютной погрешности прибора к максимальному значению измеряемой величины , которое можно определить с помощью данного прибора (это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы ).

.

Тогда абсолютная погрешность такого прибора определяется соотношением:

.

Для электроизмерительных приборов введено 8 классов точности: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем более точным будет результат измерения. Максимальная точность (т. е. наименьшая относительная ошибка), которую может обеспечить данный прибор, равна классу точности. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу.

Если класс точности для прибора не указан, то необходимо руководствоваться следующими правилами:

· Абсолютная погрешность приборов с нониусом равна точности нониуса.

· Абсолютная погрешность приборов с фиксированным шагом стрелки равна цене деления.

· Абсолютная погрешность цифровых приборов равна единице минимального разряда.

· Для всех остальных приборов абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления.

Случайные погрешности . Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности. Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. При малом числе измерений математическое описание вероятности получения того или иного результата измерения называется распределением Стьюдента (более подробно об этом можно прочитать в пособии «Ошибки измерений физических величин»).

Как же оценить истинное значение измеряемой величины?

Пусть при измерении некоторой величины мы получили N результатов: . Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений. Для получения результата измерения некоторой величины используется следующий алгоритм.

1). Вычисляется среднее арифметическое серии из N прямых измерений:

2). Вычисляется абсолютная случайная погрешность каждого измерения – это разность между средним арифметическим серии из N прямых измерений и данным измерением:

.

3). Вычисляется средняя квадратичная абсолютная погрешность :

.

4). Вычисляется абсолютная случайная погрешность . При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность и некоторый коэффициент , называемый коэффициентом Стъюдента:

,

Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений N и коэффициента надежности (в таблице 1 отражена зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений при фиксированном значении коэффициента надежности ).

Коэффициент надежности – это вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал.

Доверительный интервал – это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.

Таким образом, коэффициент Стъюдента – это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата.

Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности. В лабораторных работах нашего практикума будем считать надежность заданной и равной 0,9. Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в таблице 1.

Таблица 1

Число измерений N

Коэффициент Стъюдента

5). Вычисляется полная абсолютная погрешность. При любых измерениях существуют и случайные и систематические погрешности. Расчет общей (полной) абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы.

Для инженерных измерений имеет смысл суммировать систематическую и случайную абсолютные погрешности

.

Для простоты расчетов принято оценивать полную абсолютную погрешность как сумму абсолютной случайной и абсолютной систематической (приборной) погрешностей, если погрешности одного порядка величины, и пренебрегать одной из погрешностей, если она более чем на порядок (в 10 раз) меньше другой.

6). Округляется погрешность и результат . Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное округление результата и погрешности.

Округление начинают с абсолютной погрешности!!! Число значащих цифр, которое оставляют в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и числа измерений. Однако даже для очень точных измерений (например, астрономических), в которых точное значение погрешности важно, не оставляют более двух значащих цифр. Бóльшее число цифр не имеет смысла, так как определение погрешности само имеет свою погрешность. В нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности и малое число измерений. Поэтому при округлении (с избытком) полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры в значении результата. Следовательно, само значение результата нужно округлять (с поправкой) до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности . Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями.

Если при измерении массы тела получен результат , то писать нули в конце числа 0,900 необходимо. Запись означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю.

7). Вычисляется относительная погрешность .

При округлении относительной погрешности достаточно оставить две значащие цифры.

р езультат серии измерений некоторой физической величины представляют в виде интервала значений с указанием вероятности попадания истинного значения в данный интервал, то есть результат необходимо записать в виде:

Здесь – полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и – округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. При записи результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: см и см. Как грамотно записать результат измерений длины отрезка? Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т. е. до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности см. Вычисляем относительную погрешность

.

см; ; .

2. Пусть при расчете сопротивления проводника мы получили следующий результат: и . Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру . Затем округляем среднее значение с точностью до целых . Вычисляем относительную погрешность

.

Результат измерений записываем так:

; ; .

3. Пусть при расчете массы груза мы получили следующий результат: кг и кг. Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру кг. Затем округляем среднее значение с точностью до десятков кг. Вычисляем относительную погрешность

. .

Вопросы и задачи по теории погрешностей

1. Что значит измерить физическую величину? Приведите примеры.

2. Почему возникают погрешности измерений?

3. Что такое абсолютная погрешность?

4. Что такое относительная погрешность?

5. Какая погрешность характеризует качество измерения? Приведите примеры.

6. Что такое доверительный интервал?

7. Дайте определение понятию «систематическая погрешность».

8. Каковы причины возникновения систематических погрешностей?

9. Что такое класс точности измерительного прибора?

10. Как определяются абсолютные погрешности различных физических приборов?

11. Какие погрешности называются случайными и как они возникают?

12. Опишите процедуру вычисления средней квадратичной погрешности.

13. Опишите процедуру расчета абсолютной случайной погрешности прямых измерений.

14. Что такое «коэффициент надежности»?

15. От каких параметров и как зависит коэффициент Стьюдента?

16. Как рассчитывается полная абсолютная погрешность прямых измерений?

17. Напишите формулы для определения относительной и абсолютной погрешностей косвенных измерений.

18. Сформулируйте правила округления результата с погрешностью.

19. Найдите относительную погрешность измерения длины стены при помощи рулетки с ценой деления 0,5см. Измеренная величина составила 4,66м.

20. При измерении длины сторон А и В прямоугольника были допущены абсолютные погрешности ΔА и ΔВ соответственно. Напишите формулу для расчета абсолютной погрешности ΔS, полученной при определении площади по результатам этих измерений.

21. Измерение длины ребра куба L имело погрешность ΔL. Напишите формулу для определения относительной погрешности объема куба по результатам этих измерений.

22. Тело двигалось равноускоренно из состояния покоя. Для расчета ускорения измерили путь S, пройденный телом, и время его движения t. Абсолютные погрешности этих прямых измерений составили соответственно ΔS и Δt. Выведите формулу для расчета относительной погрешности ускорения по этим данным.

23. При расчете мощности нагревательного прибора по данным измерений получены значения Рср = 2361,7893735 Вт и ΔР = 35,4822 Вт. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.

24. При расчете величины сопротивления по данным измерений получены следующие значения: Rср = 123,7893735 Ом, ΔR = 0,348 Ом. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.

25. При расчете величины коэффициента трения по данным измерений получены значения μср = 0,7823735 и Δμ = 0,03348. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление.

26. Ток силой 16,6 А определялся по прибору с классом точности 1,5 и номиналом шкалы 50 А. Найдите абсолютную приборную и относительную погрешности этого измерения.

27. В серии из 5 измерений периода колебаний маятника получились следующие значения: 2,12 с, 2,10 с, 2,11 с, 2,14 с, 2,13 с. Найдите абсолютную случайную погрешность определения периода по этим данным.

28. Опыт падения груза с некоторой высоты повторяли 6 раз. При этом получались следующие величины времени падения груза: 38,0 с, 37,6 с, 37,9 с, 37,4 с, 37,5 с, 37,7 с. Найдите относительную погрешность определения времени падения.

Цена деления – это измеряемая величина, вызывающая отклонение указателя на одно деление. Цена деления определяется как отношение верхнего предела измерения прибора к числу делений шкалы.

Результатов измерений

Основные понятия, термины и определения

Измерение – определение значения физической величины опытным путем. Измерения подразделяются на две группы: прямые и косвенные. Прямое измерение - нахождение значения физической величины непосредственно с помощью приборов. Косвенное измерение – нахождение искомой величины на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, найденными в процессе прямых измерений. Например, для определения ускорения равноускоренного движения тела можно использовать формулу , гдеS - пройденный путь, t – время движения. Путь и время движения находят непосредственно в ходе эксперимента, то есть в процессе прямых измерений, а ускорение можно рассчитать по приведенной формуле и, следовательно, его значение будет определено в результате косвенного измерения.

Отклонение результата прямого или косвенного измерения от истинного значения искомой величины называется погрешностью измерения . Погрешности прямых измерений обусловлены возможностями измерительных приборов, методикой измерений и условиями проведения эксперимента. Погрешности косвенных измерений обусловлены “переносом” на искомую величину погрешностей прямых измерений тех величин, на основе которых она рассчитывается. По способу числового выражения различают абсолютные погрешности (ΔА ), выраженные в единицах измеряемой величины (А ), и относительные погрешности δA =(ΔA /A )·100%, выраженные в процентах.

Существуют погрешности трех видов: систематические, случайные и промахи.

Под систематическими погрешностями понимают те, причина возникновения которых остается постоянной или закономерно изменяется в течение всего процесса измерения. Источниками систематических погрешностей обычно являются неправильная юстировка приборов, закономерно изменяющиеся внешние факторы, неправильно выбранная методика измерений. Для выявления и исключения систематических погрешностей необходимо предварительно проанализировать условия измерения, провести контрольные поверки измерительных приборов и сопоставить получаемые результаты с данными более точных измерений. К неисключаемым систематическим погрешностям, которые необходимо учитывать при обработке результатов, относят погрешности используемых приборов и инструментов (приборные погрешности).

Приборная погре шность равна половине цены деления прибора ΔA пр = ЦД/2 (для приборов типа линейки, штангенциркуля, микрометра) или определяется по классу точности прибора (для стрелочных электроизмерительных приборов).

Под классом точности прибора γ понимают величину, равную:

где ΔA пр  приборная погрешность (максимальная допустимая абсолютная погрешность, одинаковая для всех точек шкалы); A max  предел измерения (максимальное значение показаний прибора).

Для электронных приборов формулы для расчета приборной погрешности приводятся в паспорте прибора.

Случайные погрешности возникают в результате действия различных случайных факторов. Этот вид погрешностей обнаруживается при многократном измерении одной и той же величины в одинаковых условиях с помощью одних и тех же приборов: результаты серии измерений несколько отличаются друг от друга случайным образом. Вклад случайных погрешностей в результат измерения учитывают в процессе обработки результатов.

Под промахами понимают большие погрешности, резко искажающие результат измерения. Они возникают как следствие грубых нарушений процесса измерений: неисправности приборов, ошибок экспериментатора, скачков напряжения в электрической цепи и т.д. Результаты измерений, содержащие промахи, должны быть отброшены в процессе предварительного анализа.

С целью выявления промахов и последующего учета вклада случайных и приборных погрешностей прямые измерения искомой величины проводят несколько раз в одних и тех же условиях, то есть проводят серию равноточных прямых измерений. Целью последующей обработки результатов серии равноточных измерений является:

Результат прямого или косвенного измерения должен быть представлен следующим образом:

А= (‹А› ± ΔА ) ед.изм., α = …,

где ‹А› – среднее значение результата измерений, ΔА – полуширина доверительного интервала, α – доверительная вероятность. При этом необходимо учитывать, что численное значение ΔА должно содержать не более двух значащих цифр, а значение ‹А› должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и ΔА .

Пример: Результат измерения времени движения тела имеет вид:

t = (18,5 ± 1,2) c; α = 0,95.

Из этой записи следует, что с вероятностью 95 % истинное значение времени движения лежит в интервале от 17,3 с до 19,7 с.

1. Цель работы : изучение методов измерения физических величин, практических приемов обработки и анализа результатов измерений. Изучение нониусов.

2. Краткая теория

Методы измерения физических величин. Погрешности измерений

Измерение в широком смысле слова - это операция, посредством которой устанавливается численное соотношение между измеряемой величиной и заранее выбранной мерой. Мы будем рассматривать измерение физических величин.

Физическая величина - это свойство, общее в качественном отношении многим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении - индивидуальное для каждого физического объекта.

Измерить физическую величину - это значит сравнить её с другой, однородной величиной, принятой за единицу измерения.

Для измерения физических величин применяются различные технические средства, специально для этого предназначенные и имеющие нормированные метрологические свойства.

Поясним некоторые из указанных средств измерений.

Мера - это средство измерений в виде тела или устройства, предназначенного для воспроизведения величин одного или нескольких размеров, значения которых известны с необходимой для измерений точностью. Примером меры могут служить гиря, измерительная колба, масштабная линейка.

В отличие от меры измерительный прибор не воспроизводит известное значение величины. Измеряемая величина в нём преобразуется в показание или сигнал, пропорциональный измеряемой величине в форме, доступной для непосредственного воспроизведения. Примером измерительного прибора могут слу­жить амперметр, вольтметр, термопара и пр.

Измерения физических величин могут отличаться друг от друга особенностями технического или методического характера. С методической точки зрения измерения физических величин поддаются определённой систематизации. Их можно, например, подразделять на прямые и косвенные.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с соответствующей единицей её измерения или определяется путём отсчёта показаний измерительного прибора, градуированного в соответственных единицах, то такое измерение называется прямым. Например, измерения толщины проволоки микрометром, промежутка времени секундомером, силы тока амперметром - являются прямыми.

Большинство физических величин измеряется косвенным путём. Косвенным называется такое измерение, при котором искомая физическая величина непосредственно не измеряется, а вычисляется по результатам прямых измерений некоторых вспомогательных величин, связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью.

При любых измерениях физических величин получаются результаты, которые неизбежно содержат погрешности (ошибки). Эти погрешности обусловлены самыми разнообразными причинами (несовершенство мер и измерительных приборов, несовершенство наших чувств). Результаты измерений являются, поэтому лишь приближёнными, более или менее близкими к истинным значениям измеряемых величин.

Разность между истинным значением измеряемой величины х и фактически измеренным называется истинной абсолютной погрешностью, или ошибкой измерения:

Отношение истинной абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины х называется истинной относительной погрешностью измерения:

Относительная погрешность - величина отвлечённая, она выражается в долях единицы или в процентах и поэтому позволяет сравнивать точность независимых друг от друга выполненных измерений (например, точность измерения диаметра и высоты цилиндра).

Так как никакое измерение не может дать истинного значения измеряемой величины, то задачей измерения любой физической величины является нахождение приближённого наиболее вероятного значения этой величины, а также определение и оценка допущенной при этом погрешности.

Погрешности (ошибки), которые имеют место при измерении физических величин, подразделяются на три группы: грубые, систематические, случайные. Грубые ошибки (промахи)- это ошибки, явно искажающие результаты измерений. Причинами грубых ошибок могут быть неисправности эксперимен­тальной установки или измерительного прибора. Но чаще всего это следствие ошибок самого экспериментатора: неправильное определение цены деления измерительного прибора, неверный отсчёт делений, но шкале прибора, ошибочная запись результатов прямых измерений и т. п. В дальнейшем изложении, будем предполагать, что измерения не содержат грубых ошибок (промахов).

Систематические погрешности обусловлены действием постоянных по величине и направлению факторов. Например, неточностью изготовления мер, неправильной градуировкой шкал или неправильной установкой измерительных приборов, а также постоянным и односторонним воздействием на измеряемую величину или измерительную установку какого-либо внешнего фактора.

При повторных измерениях данной величины в одинаковых условиях систематическая погрешность каждый раз повторяется, имея одну и ту же величину и знак, или изменяется по определённому закону. При внимательном анализе принципа действия применяемых приборов, методики измерения и окружающих условий, систематические погрешности можно либо исключить в самом процессе измерения, либо учесть в окончательном результате измерений, внеся соответствующую поправку.

Случайные погрешности обусловлены действием большого числа самых разнообразных, как правило, переменных факторов, в своём большинстве не поддающихся учёту и контролю и проявляющихся в каждом отдельном измерении по-разному. В силу неупорядоченности совокупного действия этих факторов предвидеть появление случайной погрешности и предугадать её величину и знак невозможно. Погрешность такого рода потому и называется случайной, что появление её - дело случая, появление её не вытекает из данных условий эксперимента. Она может быть, а может и не быть.

Случайные погрешности проявляют себя в том, что при не­изменных условиях эксперимента и при полностью исключённых систематических погрешностях результаты повторных измерений одной и тон же величины оказываются несколько отличающимися друг от друга. Случайные погрешности, по указанным выше причинам не могут быть исключены из результатов измерений, как, например, погрешности систематические.

3акон распределения случайных погрешностей

Полностью избежать или исключить совершенно случайные погрешности невозможно, так как факторы, их вызывающие, не поддаются учёту и носят случайный характер. Возникает вопрос: как уменьшить влияние случайных погрешностей на окончательный результат измерения и как оценить точность и достоверность последнего? Ответ на этот вопрос даёт теория вероятностей. Теория вероятностей - это математическая наука, выясняющая закономерности случайных событий (явлений), которые проявляются при действии большого числа случайных факторов.

Случайные погрешности измерений относятся к группе не­прерывных величин. Непрерывные величины характеризуются бесчисленным множеством возможных значений. Вероятность любого значения непрерывной случайной величины бесконечно мала. Поэтому, чтобы выявить распределение вероятностей для какой-то непрерывной случайной величины, например, величины , рассматривают ряд интервалов значений этой величины и подсчитывают частоты попадания значений величины в каждый интервал . Таблица, в которой приведены интервалы в порядке их распределения вдоль оси абсцисс и соответствующие им частоты, называется статистическим рядом (табл. 1).

Таблица 1

Интервалы I			. . . . . . .		. . . . . . .
Частоты Р*			. . . . . . .		. . . . . . .

Статистический ряд графически представляется в виде ступенчатой кривой, которую называют гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы возможных значений случайной величины, а по оси ординат - частоты или число случаев, когда значение случайной величины попадает в данный интервал. Для большинства интересующих нас случайных погрешностей гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1. На этом рисунке высота, а следовательно, и площадь прямоугольника для каждого интервала ошибок пропорциональны числу опытов, в которых данная ошибка наблюдалась.

При увеличении числа опытов (измерений) и уменьшении интервала разбиения оси абсцисс гистограмма теряет свой ступенчатый характер и стремится (переходит) к плавной кривой (рис. 2). Такую кривую называют кривой плотности распределения для данной случайной величины, а уравнение, описывающее эту кривую, называется законом распределения случайной величины.

Считается, что случайная величина полностью определена, если известен закон её распределения. Этот закон может быть представлен (задан) в интегральной или дифференциальной форме. Интегральный закон распределения случайной величины обозначается символом и называется функцией распределения. Производная функция от называется плотностью вероятности случайной величины X или дифференциальным законом распределения:

.

При решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Достаточно бывает указать только её некоторые числовые характеристики, например, её математическое ожидание (можно писать ) и дисперсию (можно писать ).

Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности математическое ожидание вычисляется по формуле

. (3)

Для непрерывной случайной величины X дисперсия определяется по формуле:

. (4)

Положительный квадратный корень из дисперсии обозначается символом и называется средним квадратическим отклонением (сокращенно с. к. о.):

. (5)

При конечном числе опытов в качестве оценки принимают среднее арифметическое наблюденных (измеренных) значений , т. е. и и - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение - параметры нормального распределения, физический смысл и способ вычисления которых были пояснены выше.

При рассмотрении свойств и характеристик распределения случайных погрешностей мы ограничимся только нормальным законом, так как случайные погрешности измерений чаще всего распределяются нормально (по закону Гаусса). Это означает:

1) случайная погрешность измерения может принимать любые значения в интервале

2) случайные погрешности, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, равновероятны, то есть встречаются одинаково часто;

3) чембольше по абсолютной величине случайные погрешности, тем они менее вероятны, то есть встречаются реже.

Порядок обработки результатов прямых измерений

1. Перед обработкой результатов измерений крайне важно задать значение доверительной вероятности α (обычно 0,9 или 0,95).

2. Проанализировать таблицу записи результатов и выявить возможные промахи. Результаты, содержащие промахи, следует отбросить.

3. Вычислить среднее арифметическое значение серии измерений:

где n – число измерений, A i – результат i -го измерения.

4. Найти погрешности отдельных измерений:

ΔА i = А i – ‹А›. (2)

5. Вычислить среднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата серии измерений:

(3)

6. Оценить вклад случайных погрешностей в полуширину доверительного интервала:

ΔА с = t (n, α)S (A ), (4)

где t (n, α) – коэффициент Стьюдента (таблица 1).

Таблица 1 - Коэффициент Стьюдента при различных значениях доверительной вероятности α и различном количестве опытов n

α	Количество опытов, n
0,9	6,3	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,9	1,9	1,8	1,8	1,8	1,7	1,7	1,7	1,7
0,95	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,3	2,2	2,2	2,1	2,1	2,0	2,0
0,99	63,7	9,9	5,8	4,6	4,0	3,7	3,5	3,4	3,3	3,2	3,1	2,9	2,8	2,8	2,7

7. Определить погрешность прибора ΔА пр (абсолютная погрешность прибора указана в паспорте прибора или рассчитывается на основании класса точности прибора).

8. Найти полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность) измеряемой величины по приближенной формуле:

(5)

(Более точные формулы для обработки результатов прямых измерений приведена, к примеру, в ).

9. Записать результат измерений в виде доверительного интервала:

А= (‹A› ± ΔА ) ед.изм., α = … (6)

10. Определить относительную погрешность:

(7)

Порядок обработки результатов прямых измерений - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Порядок обработки результатов прямых измерений" 2017, 2018.

Основные положения методов обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями определены в ГОСТ 8.207-76.

За результат измерения принимают среднее арифмети-ческое данных n наблюдений, из которых исключены систематичес-кие погрешности. При этом предполагается, что результаты наблю-дений после исключения из них систематических погрешностей принадлежат нормальному распределению. Для вычисления резуль-тата измерения следует из каждого наблюдения исключить система-тическую погрешность и получить в итоге исправленный результат i –го наблюдения. Затем вычисляется среднее арифметическое этих исправленных результатов, которое принимается за результат измерения. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой измеряемой величины при нормальном распределении данных наблюдений.

Следует отметить, что иногда в литературе вместо термина результат наблюдения иногда применяют термин результат отдельного измерения , из которого исключены систематические погрешности. При этом за результат измерения в данной серии из нескольких измерений понимают среднее арифметическое значение. Это не меняет сути излагаемых ниже процедур обработки результатов.

При статистической обработке групп результатов наблюдений следует выполнять следующие операции :

1. Исключить из каждого наблюдения известную систематическую погрешность и получить исправленный результат отдельного наблюдения x .

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения

группы наблюдений:

Проверить наличие грубых погрешностей – нет ли значений , которые выходят за пределы ±3S . При нормальном законе распределений с вероятностью, практически равной 1 (0,997), ни одно из значений этой разности не должно выйти за указанные пределы. Если они имеются, то следует исключить из рассмотрения соответствующие значения и заново повторить вычисления и оценку S.

4. Вычислить оценку СКО результата измерения (среднего

арифметического)

5. Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.

Существуют различные приближенные методы проверки нормальности распределения результатов наблюдений. Некоторые из них приведены в ГОСТ 8.207-76. При числе наблюдений меньше 15 в соответствии с этим ГОСТ принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. Доверительные границы случайной погрешности определяют лишь в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат этому распределению. Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму результатов наблюдений. Математические методы проверки нормальности распределения рассматриваются в специальной литературе.

6. Вычислить доверительные границы e случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения

где t q - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений и доверительной вероятности. Например, при n = 14, P = 0,95 t q = 2,16. Значения этого коэффициента приведены в приложении к указанному стандарту.

7. Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерений Q (по формулам раздела 4.6).

8. Проанализировать соотношение Q и :

Если , то НСП по сравнению со случайными погрешностя-ми пренебрегают, и граница погрешности результата D = e.. Если > 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и граница погрешности результата D = Θ. Если оба неравенства не выполняются, то границу погрешности результата находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП по формуле: , где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и НСП; S å - оценка суммарного СКО результата измерения. Оценку суммарного СКО вычисляют по формуле:

.

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:

.

Доверительная вероятность для вычисления и должна быть одной и той же.

Погрешность от применения последней формулы для композиции равномерного (для НСП) и нормального (для случайной погрешности) распределений достигает 12 % при доверительной вероятности 0,99.

9. Записать результат измерений. Написание результата измерений предусмотрено в двух вариантах, так как следует различать измерения, когда получение значения измеряемой величины является конечной целью, и измерения, результаты которых будут использоваться для дальнейших вычислений или анализа.

В первом случае достаточно знать общую погрешность результата измерения и при симметричной доверительной погреш-ности результаты измерений представляют в форме: , где

где – результат измерения.

Во втором случае должны быть известны характеристики составляющих погрешности измерения – оценка среднего квадратического отклонения результата измерения , границы НСП , число выполненных наблюдений . При отсутствии данных о виде функций распределения составляющих погрешности результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измерений представляют в форме:

Если границы НСП вычислены в соответствии с п.4.6, то дополнительно указывают доверительную вероятность Р.

Оценки , и производные от их величины могут быть выражены как в абсолютной форме, то есть в единицах измеряемой величины, так и относительной, то есть как отношение абсолютного значения данной величины к результату измерения. При этом вычисления по формулам настоящего раздела следует проводить с использованием величин, выраженных только в абсолютной или в относительной форме.