Преобразование выражений содержащих радикалы самостоятельная. Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование. Задачи для самостоятельного решения

Соглашение

Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":

Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;

Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);

Запрещается использовать чужие данные;

Запрещается использовать чужие e-mail адреса;

Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:

1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.

1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).

1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.

4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.

4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.

4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".

4.4. Угрозы в адрес участников форума.

4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.

4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.

4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.

4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.

5.1. Мат и ненормативная лексика.

5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).

5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.

5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.

5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.

5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).

5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.

5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.

5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.

5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.

6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.

6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.

6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.

6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.

6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.

6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.

7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума

7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.

7.4. Удаление учетной записи.

7.5. Блокировка IP.

8. Примечания

8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.

8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.

8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.

8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.

9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.

Практическое занятие

Тема: Преобразование числовых и буквенных выражений, содержащих радикалы.

Цели :

Образовательная: продолжить формирование у студентов умений применять свойства степеней и корней при преобразовании выражений.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению задач.

Развивающая: развитие логического мышления, навыков сравнительного анализа.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, записи на доске, плакаты с формулами по теме: «Степени» и «Корни», индивидуальные карточки-задания.

Использование элементов педагогических технологий:

1. сотрудничества;

2. здоровьесберегающих (чередование видов деятельности);

3. информационно-коммуникационных;

4. развивающих;

5. личностно-ориентированных.

Результативность:

формирование компетенций: ценностно-смысловой, учебно-познавательной, коммуникативной, личного самосовершенствования.

План занятия.

1) Подготовительный этап.

1) Проверка усвоения пройденного материала фронтально (или индивидуально) по следующим вопросам (на экран проектируются вопросы, на которые студенты отвечают устно).

1. Что значит возвести число в степень n?

2. Как перемножить две степени с одинаковыми основаниями?

3. Как разделить две степени с одинаковыми основаниями?

4. Как возвести степень в степень?

5. Как извлечь корень из степени?

6. Чему равна нулевая степень числа?

7. Как найти степень с отрицательным показателем?

9. Как найти корень с дробным показателем?

10. Сформулируйте основное свойство корня.

11. Как извлечь корень из произведения?

12. Как извлечь корень из дроби?

13. Как извлечь корень из степени?

14. Как производится умножение корней одинаковой степени?

15. Как производится умножение корней разных степеней?

16. Как производится деление корней одинаковой степени?

17. Как производится возведение корня в степень?

2) Повторить:

свойства корней	свойства степеней

2) Теоретический этап.

Применение знаний при решении типовых заданий.

Задание 1 . Привести к общему показателю корни:

Задание 2.

Задание 3. Извлечь корень:

Задание 4. Выполните действия:

Задание 5 . Вычислите:

3) Практический этап.

Самостоятельное применение умений и знаний.

Провести самостоятельную работу в 15 вариантах.

1. Привести к общему показателю корни:

2.Сократить показатели корней и подкоренных выражений:

3. Извлечь корень:

4. Выполните действия:

5. Вычислите:

Список литературы.

1. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10-11 клас­сы. - М., 2014.

2. Богомолов Н.В. Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2014.

Урок и презентация на тему: "Преобразование выражений, содержащих радикал"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Ребята, на прошлом уроке мы изучили свойства корня n-ой степени. Сегодня мы посмотрим, как их применять при решении различных задач которые могут встретиться на практике.

Давайте сделаем небольшую памятку из свойств наших корней:
1. ${(\sqrt[n]{a})}^n=a$; $\sqrt[n]{a^n}=a$.
2. $\sqrt[n]{a*b}=\sqrt[n]{a}*\sqrt[n]{b}$.
3. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, $b≠0$.
4. ${(\sqrt[n]{a})}^k=\sqrt[n]{a^k}$.
5. $\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt{a}$.
6. $\sqrt{a^{k*p}}=\sqrt[n]{a^{k}}$.

Используя наши формулы, мы можем преобразовывать выражения содержащие радикалы (операция извлечения корня), такие выражения называются иррациональными.

Пример.
Упростить выражение:
а) $\sqrt{48a^7}$.
б) ${(\sqrt{a^3})}^2$.
Решение.
а) Подкоренное выражение приведем к виду: $16*a^4*3a^3$.
Тогда, используя формулу 2 из нашей памятки, исходное выражение примет вид:
$\sqrt{48a^7}=\sqrt{16*a^4*3a^3}=\sqrt{16}*\sqrt{a^4}*\sqrt{3a^3}=2a*\sqrt{3a^3}$.
Полученное нами выражение считается более простым, так как под знаком корня более простое выражение.
Преобразование такого вида называется – вынесением множителя за знак радикала.

Б) Воспользуемся формулой 4: ${(\sqrt{a^3})}^2=\sqrt{{(a^3)}^2}=\sqrt{a^6}$.
Преобразуем полученное выражение тем же методом, что и в первом примере. $\sqrt{a^6}=\sqrt{a^5*a}=\sqrt{a^5}*\sqrt{a}=a*\sqrt{a}$.
При вынесении множителя за знак радикала следует обратить особое внимание на знак выносимого множителя. В случае четных степеней он может быть как положительным, так и отрицательным.

Давайте рассмотрим пример: $\sqrt{x^6*y}$.
О знаке числа х мы ничего не знаем, преобразовав наше выражение получим: $x*\sqrt{y}$.
На самом деле эта запись неверная. Повторимся: о знаке числа х мы ничего не знаем. Как быть в этом случае?
Для того чтобы быть уверенным, что ответ правильный, лучше представить его виде: $|x|*\sqrt{y}$.
Обобщенная формула для корней с четным показателем будет выглядеть так: $\sqrt{a^{2n}}=|a|$.

Ребята, мы рассмотрели операцию вынесение множителя за знак радикала. Существует и обратная операция – внесение множителя под знак радикала.

Пример.
Сравнить числа $4\sqrt{2}$ и $2\sqrt{4}$.
Решение.
Мы знаем: $4=\sqrt{64}$ и $2=\sqrt{8}$.
Преобразуем исходное выражение:
$4\sqrt{2}=\sqrt{64}*\sqrt{2}=\sqrt{128}$.
$2\sqrt{4}=\sqrt{8}*\sqrt{4}=\sqrt{32}$.
Показатели корней обоих выражений одинаковые. Больше то число, у которого больше подкоренное выражение. В нашем случае: $\sqrt{128}>\sqrt{32}$.

Пример.
Упростить выражение: $\sqrt{x^3*\sqrt{x}}$.
Решение.
Внесем выражение, содержащее третью степень, под знак корня:
$x^3*\sqrt{x}=\sqrtx^{12}*\sqrt{x}=\sqrt{x^{13}}$.
Воспользуемся формулой 5. Исходное выражение можно представить в виде: $\sqrt{\sqrt{x^{13}}}=\sqrt{x^{13}}$.

Пример.
Выполнить действия:
а) $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$.
б) $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a^2}+\sqrt{ab}+\sqrt{b^2})$.
Решение:
а) Воспользуемся формулой разности квадратов:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=(\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2})$.
Теперь давайте упростим полученное нами выражение, воспользуемся формулой 6 нашей памятки:
$(\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2})=(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ (показатель корня и степень подкоренного выражения разделили на 2.
Ответ: $(\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2})(\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2})=(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

Б) Давайте внимательно посмотрим на наше выражение. Оно похоже на формулу разности кубов, давайте ее и применим:
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a^2}+\sqrt{ab}+\sqrt{b^2})={(\sqrt{a})}^3-{(\sqrt{b})}^3=a-b$.

Пример.
Выполнить действия:
а) $\sqrt{a^5}*\sqrt{a^3}$.
б) $\sqrt{3-\sqrt{3}}*\sqrt{12+6\sqrt{3}}$.
Решение.
Перемножать можно только корни одной и той же степени. Давайте приведем наши выражения к одинаковому показателю корня.
$\sqrt{a^5}=\sqrt{a^{10}}$ (домножили на 2).
$\sqrt{a^3}=\sqrt{a^{9}}$ (домножили на 3).
$\sqrt{a^5}*\sqrt{a^3}=\sqrt{a^{10}}*\sqrt{a^9}=\sqrt{a^{19}}$.
Упростим получившиеся выражение:
$\sqrt{a^{19}}=\sqrt{a^{12}*a^7}=|a|*\sqrt{a^7}$.
Обратим внимание на то, что показатель корня наших выражений – четный. Это значит, что подкоренное выражение содержит только положительные числа, то есть $a≥0$, но тогда $|a|=a$.
Ответ: $\sqrt{a^5}*\sqrt{a^3}=a*\sqrt{a^7}$.

Б)Этот пример можно решить двумя способами. Давайте рассмотрим каждый из способов:
1 способ. Приведем первый множитель к 4-ой степени:
$\sqrt{3-\sqrt{3}}=\sqrt{{(3-\sqrt{3})}^2}=\sqrt{9-6\sqrt{3}+3}=\sqrt{12-6\sqrt{3}}$.
Перемножим радикалы:
$\sqrt{12-6\sqrt{3}}*\sqrt{12+6\sqrt{3}}=\sqrt{{(12-6\sqrt{3})}*(12+6\sqrt{3})}=\sqrt{144-36*3}=\sqrt{144-108}=\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=\sqrt{6}$.

2 способ. Посмотрим на подкоренное выражение во втором множителе:
$12+6\sqrt{3}=9+6\sqrt{3}+3=3^2+2*3*\sqrt{3}+{(\sqrt{3})}^2={(3+\sqrt{3})}^2$.
Мы можем преобразовать множитель в целом:
$\sqrt{12+6\sqrt{3}}=\sqrt{{(3+\sqrt3)}^2}=\sqrt{3+\sqrt{3}}$ (разделили на 2 показатели степеней).
Преобразуем всё выражение:
$\sqrt{3-\sqrt{3}}*\sqrt{12+\sqrt{3}}=\sqrt{3-\sqrt{3}}*\sqrt{3+\sqrt{3}}=\sqrt{(3-\sqrt{3})*(3+\sqrt{3})}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$.

Пример.
Разложить на множители выражение: $\sqrt{x^8}-2\sqrt{x^4y^2}+\sqrt{y^4}$.
Решение.
Перепишем исходное выражение в виде:
$\sqrt{x^8}-2\sqrt{x^4y^2}+\sqrt{y^4}={(\sqrt{x^4})}^2-2*\sqrt{x^4}*\sqrt{y^2}+{(\sqrt{y^2})}^2$ - это так называемый "квадрат разности".
$\sqrt{x^8}-2\sqrt{x^4y^2}+\sqrt{y^4}={(\sqrt{x^4}-\sqrt{y^2})}^2={(x\sqrt{x}-\sqrt{y^2})}^2$.

Пример.
Сократить дробь: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-2\sqrt{xy}+\sqrt{y}}$.
Решение.
1 способ.
Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:
$\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{x^2}-\sqrt{y^2}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$.
$\sqrt{x}-2\sqrt{xy}+\sqrt{y}=\sqrt{x^2}-2\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}={(\sqrt{x}-\sqrt{y})}^2$.
Сократим получившиеся выражение:
$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-2\sqrt{xy}+\sqrt{y}}$=$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{({\sqrt{x}-\sqrt{y})}^2}$=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$.

2 способ.
Введем замену переменных.
Пусть $a=\sqrt{x}$, $b=\sqrt{y}$. Тогда $\sqrt{x}=a^2$ и $\sqrt{y}=b^2$.
$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}-2\sqrt{xy}+\sqrt{y}}=\frac{a^2-b^2}{{a^2-2ab+b}^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{{(a-b)^2}}=\frac{(a+b)}{(a-b)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$.
Замена переменных часто упрощает ход решения. Работать с рациональными выражениями гораздо проще и привычней, чем с иррациональными.

Задачи для самостоятельного решения

1. Упростить выражение:
а) $\sqrt{162a^5}$.
б) ${(\sqrt{a^5})}^3$.
2. Сравнить числа: $3\sqrt{4}$ и $2\sqrt{5}$.
3. Упростить выражение: $\sqrt{{x^2}*\sqrt{x^2}}$.
4. Выполнить действия:
а) $\sqrt{a^7}*\sqrt{a^4}$.
б) $\sqrt{4-\sqrt{3}}*\sqrt{19+8\sqrt{3}}$.
5. Разложить на множители выражение: $\sqrt{x^6}-6\sqrt{x^3y^5}+9\sqrt{y^{10}}$.
6. Сократить дробь: $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+2\sqrt{xy}+\sqrt{y}}$.

Тема урока :

Преобразование выражений, содержащих радикалы.

Цель урока :

Образовательная:

Формирование умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы;

закрепить понятия свойства корня n -ой;

способствовать совершенствованию умений и навыков по работы в Microsoft Office Excel при обработки информации на производстве.

Развивающая:

развитие мыслительных умения: структурировать объекты (выделять составные части объекта и располагать их в иерархическом виде).

развивать творческое (продуктивное) мышление (в процессе составления ребуса),

Воспитательная:

воспитание общей и информационной культуры, трудолюбия, усидчивости, терпения, бережного отношения к компьютерной технике, привитие учащимся навыков самостоятельности в работе.

Тип урока : систематизация знаний

Вид урока: проблемный

Методические приемы: наглядно – иллюстративный: ребус, компьютерное тестирование, практический: выборочное решение примеров, задачи производственной направленности

Оборудование и наглядные средства обучения : компьютерный класс с ОС Windows XP и пакетом программ Microsoft Office 2003,мультимедийный проектор, презентация, компьютерный тест, раздаточный материал (ребус).

Межпредметные связи: математика- информатика- производственное обучение.

Ход урока:

I .Организационный момент : Подготовка учащихся к уроку

(проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей), сообщение темы и целей

урока. Слайд1,2

Мотивация.

II .Актуализация опорных знаний:

2.1 Фронтальный опрос:

2.2.1 Что такое радикал? Слайд 5.

2.2.3Перечислите:

а)свойства корня n -ой степени. Слайд 6.

б) корень из дроби. Слайд7.

в)Извлечение корня из корня. Слайд 8.

г)основное свойство корня. Слайд 9.

III . Практическая работа.

Решите примеры.По ответу в примере выберите соответствующую букву в ребусе, запишите ответ в таблицу. Полученный термин «----»- организованная последовательность действий.

V . Подведение итогов урока:

Сегодня на уроке мы с вами подтвердили слова русского ученого М.В. Ломоносова

“ Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов) . Без радикалов не возможно вычислить затраты электроэнергии по предприятию.А обучаясь в данном лицее по профессии «Оператор ЭВМ» и получая на уроках производственного обучения информацию о работе на вычислительной - техникой вы можете обработать любую информацию, пользуясь информационными технологиями. Поэтому слова Натан Ротшильд «Кто владеет информацией, владеет миром» очень актуальны при работе по вашей профессии на любом предприятии или заводе.

Выставление оценок за урок.

V .Домашнее задание:

Алгебраические выражения, в записи которых используются не только четыре рациональных действия, но также знаки радикала (из буквенных выражений), мы называем иррациональными алгебраическими выражениями.

Таковы, например, выражения

При определении о. д. з. иррациональных алгебраических выражений следует учитывать, что выражения, находящиеся под знаком радикала четной степени, не должны быть отрицательными, При отыскании числовых значений выражения при данных буквенных значениях параметров корни четной степени понимаются в арифметическом смысле.

Пример 1. Найти о. д. з. выражения

и его значение при .

Решение. О. д. з. определяем из условий . Находим, что о. д. з. определяется неравенствами . При вычислении значения в заданной точке получаем

При преобразовании иррациональных алгебраических выражений используются все правила действий с корнями (гл. I, § 2). Рассмотрим сначала возможные упрощения выражения типа «корень из одночлена» или «корень из частного двух одночленов». Будем говорить, что корень приведен к простейшей форме, если: 1) он не содержит иррациональности в знаменателе, 2) в нем нельзя сократить его показатель с показателем подкоренного выражения и, наконец, 3) все возможные множители вынесены из-под корня. Всякий данный корень может быть приведен к простейшей форме, т. е. заменен тождественно равным ему, но таким, который отвечает всем трем перечисленным условиям.

Пример 2. Привести к простейшей форме следующие корни :

Решение, а) Сокращаем на 3 показатель корня и показатель степеней каждого из сомножителей подкоренного выражения

Выносим из-под знака корня множители а и ;

Корни, простейшие формы которых отличаются, быть может, лишь коэффициентами (числовыми или буквенными), принято называть подобными. Например, корни и подобны, так как а корни не подобны, так как

При сложении и вычитании подобных корней все они приводятся к простейшей форме, а затем корень выносится за скобки.

Пример 3. Произвести указанные действия:

Решение. Приведем каждый из корней к простейшей форме:

Теперь находим (все корни оказались подобными)

При вынесении сомножителей из-под знака корня четной степени необходимо помнить, что корень понимается в арифметическом смысле. Так, если знаки а, b не указаны, то следует писать не . Здесь о. д. з. состоит не только из значений , но и из значений а

Пример 4. Упростить выражение

Возможны следующие случаи:

Если не предполагать заранее, что , то решение примера еще усложнится, так как придется записать ответ в общей форме:

и затем разбирать четыре возможных случая: . Предоставляем завершить этот разбор читателю.

В примере, который мы сейчас решали, подкоренные выражения представлялись как точные квадраты некоторых двухчленов очевидным способом. В некоторых случаях такое представление подкоренного выражения производится не столь очевидным образом. Так, иногда можно упростить радикалы вида