1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а 2 – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ . Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а 1 = b/b 1 ≠ c/c 1). Тогда имеем:

1/1 = (а 2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а 2 – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а 2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ . Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а 2 – 3)у = а,
{х = 2 – у,

{(а 2 – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а 2 – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а 2 – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а 1 = b/b 1 = c/c 1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х 2 = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1) . Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а 2 х – а 2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а 2 х + 3ах = 2 + а 2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а 2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а 2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а 2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а 2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х 2 + у 2 = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х 2 + у 2 = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в зависимости от значения параметра. Все эти задачи с параметрами.

Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера:

\[у = kx,\] где \ - переменные, \- параметр;

\[у = kx + b,\] где \ - переменные, \ - параметр;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] где \ - переменная, \[а, b, с\] - параметр.

Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:

1. Определить "контрольные" значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

Допустим, дано такое уравнение:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\]

По правилу модуля \ выразим \

Ответ: \ где \

Где можно решить уравнение с параметром онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Замечание . В приведенном примере вычисление всех определителей заканчивалось представлением в виде произведения сомножителей, один из которых (13) сократился при делении. Такая ситуация является весьма общей. Поэтому не надо торопиться перемножать сомножители, хотя чаще всего они не сокращаются.

Задача 4.4. Решить системы уравнений, используя правило Крамера:

Решение приведенных задач показывает, что формулы Крамера представляют собой единый и удобный метод отыскания решений систем линейных уравнений.

Указание . Использование формул Крамера значительно упрощается, если надо найти только одно из неизвестных: в этом случае надо сосчитать только два определителя.

2.4.4. Системы уравнений с параметрами

Выше всюду рассматривались системы линейных алгебраических уравнений с фиксированными коэффициентами при неизвестных и правыми частями уравнений. В практических задачах очень часто эти коэффициенты и значения правых частей известны неточно. Поэтому приходится анализировать влияние таких параметров на решение систем.

Пример 4.5. Исследовать зависимость решения системы уравнений

3 x + 8 y = a5 x + 9 y = b

от параметров a и b .

Здесь от параметров зависят только правые части уравнений. Поскольку

для отыскания решения можно воспользоваться формулами Крамера. Имеем:

y (a , b )

x (a , b )

Таким образом, каждой паре параметров a и b соответствует единственная пара чисел x и y , удовлетворяющая заданной системе уравнений. Это значит, что решением системы уравнений является упорядоченная пара и двух функций от двух переменных (параметров a и b ). Обе функции определены для любых значений этих параметров и линейно зависят от независимых переменных a и b . Кроме того, x – монотонно возрас-

и исследовать зависимость их решения от параметров a и b . Рекомендация . Постройте графики полученных решений x (a , b ) и y (a , b )

как функций переменных параметров a и b . Объясните, почему во всех задачах решения линейно зависят от параметров a и b .

Пример 4.6. Исследовать зависимость решения системы уравнений

Этот определитель не равен нулю только тогда, когда a ≠ − 5. Поэтому пользоваться формулами Крамера можно только тогда, когда a ≠ − 5. В этом случае:

Рассмотрим отдельно случай a = − 5 . Тогда исходная система есть:

− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b

− 5 − c x = c , y = 2

Конечно, здесь имеется произвол в выборе значения любой из неизвестных, а решение можно записать и в виде:

x = − 5 2 − 5 c , y = c

Таким образом, зависимость от параметра коэффициентов при неизвестных исходной системы может порождать отсутствие решения или наличие бесконечного множества решений. Обнаруженный факт представляет собой обобщение известного ранее для одного уравнения ax = b и для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Замечание 1. Введение константы c в решение системы уравнений напоминает произвол в выборе константы интегрирования.

Замечание 2 . Рассмотренный пример показывает, что как и для одного уравнения, для линейных алгебраических систем с большим числом уравнений и неизвестных возможны только три разных случая: единственное решение, отсутствие решения или бесконечно много решений.

Задача 4.6. Исследовать решения системы уравнений:

Задача 4.7. Придумать собственную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными и двумя параметрами и исследовать ее в зависимости от значений параметров.

Вопросы для самостоятельного контроля

1) Что такое минор элемента определителя?

2) Чем отличаются алгебраическое дополнение и минор элемента определителя?

3) Что называется присоединенной матрицей?

4) Как найти присоединенную матрицу для заданной матрицы?

5) Чему равен порядок присоединенной матрицы?

6) В каком случае обратная матрица не существует?

7) Какая матрица называется невырожденной?

8) При каких условиях можно использовать формулы Крамера?

9) Что такое решение системы линейных алгебраических уравнений?

10) Какие определители входят в формулы Крамера?

11) Когда определители зависят от параметров?

12) Может ли произведение присоединенной и исходной матрицы быть скалярной матрицей?

13) Как влияет на результат перестановка множителей при умножении присоединенной и исходной матрицы?

14) Что такое формулы Крамера?

15) При каких условиях решение системы линейных алгебраических уравнений можно найти с помощью правила (формул) Крамера?

Решим систему уравнений с параметром (А. Ларин, вариант 98)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Посмотрим внимательно на систему. В первом уравнении системы слева стоит , а правая часть не зависит от параметра. То есть мы можем рассматривать это уравнение как уравнение функции

и можем построить график этой функции.

Второе уравнение системы

зависит от параметра, и, выделив в левой части уравнения полный квадрат, мы получим уравнение окружности.

Так что имеет смысл построить графики каждого уравнения, и посмотреть, при каком значении параметра эти графики имеют одну точку пересечения.

Начнем с первого уравнения. Для начала раскроем модули. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю, чтобы найти точки, в которых происходит смена знака.

Первое подмодульное выражение меняет знак при , второе - при .

Нанесем эти точки на координатную прямую, и найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Заметим, что при и уравнение не имеет смысла, поэтому эти точки выкалываем.

Теперь раскроем модули на каждом промежутке. (Вспомним: если подмодульное выражение больше или равно нулю, то мы раскрываем модуль с тем же знаком, а если меньше нуля, то с противоположным.)

Оба подмодульных выражения отрицательны, следовательно, оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

То есть при исходная функция имеет вид

На этом промежутке первое подмодульное выражение отрицательно, а второе положительно, следовательно получаем:

- на этом промежутке функция не существует.

3. title="x>2">

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, раскрываем оба модуля с тем же знаком. Получаем:

То есть при title="x>2"> исходная функция имеет вид

Итак, мы получили график функции

Теперь займемся вторым уравнением:

Выделим в левой чаcти уравнения полный квадрат, для этого прибавим к обеим частям уравнения число 4:

При конкретном значении параметра график этого уравнения представляет собой окружность с центром в точке с координатами , радиус которой равен 5. При различных значениях мы имеем серию окружностей:

Будем двигать окружность снизу вверх до тех пор, пока она не коснется левой части графика первой функции. На рисунке эта окружность красного цвета. Центр этой окружности - точка , ее координаты (-2;-3). Дальше при движении вверх окружность имеет одну точку пересечения с левой частью графика функции, то есть система имеет единственное решение.

Продолжаем двигать окружность вверх пока она не коснется правой части графика первой функции. Это произойдет когда центр окружности будет в точке с координатами (-2;0) - на рисунке эта окружность синего цвета.

При движении дальше вверх окружность будет пересекать и левую, и правую части графика первой функции, то есть окружность будет иметь две точки пересечения с графиком первой функции, а система будет иметь два решения. Это ситуация продолжается до тех пор, пока центр окружности не окажется в точке с координатами (-2; 5) - эта окружность зеленого цвета. В этой точке окружность касается левой части графика и пересекает правую. То есть система имеет одно решение.

Итак, система имеет единственное решение при (-3;0]}