Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции. Уравнение нормали к графику функции Уравнение нормали онлайн

Приложения производной.

5.1.Геометрический смыл производной:

Рассмотрим график функции y = f (x ).

Из рисунка 1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: , где α - угол наклона секущей AB .

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B , то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС .

Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A, т.е. . Отсюда следует:Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. .

1. Касательной к графику функции в точке (х 0; f(х 0) называется предельное положение секущей (АС).

Уравнение касательной : y – f (x 0) =

2. Прямая, перпендикулярная касательной (АС) в точке (х 0; f(х 0), называется нормалью к графику функции .

Уравнение нормали: y – f (x 0) =

Задача: Составить уравнения касательной и нормали, проведённых к графику функции y=10x-xв точке с абсциссой равной х 0 =2.

Решение:

1. Находим ординату точки касания: f(х 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Находим угловой коэффициент касательной: f " (х)= (10x-x) " =10-2х, = f " (2)=10–2∙2=6

3. Составляем уравнение касательной: y–16 = 6∙ (х-2), y–16 = 6х–12, y–6х–4 = 0 – уравнение касательной,

4. Составляем уравнение нормали: y –16 = , 6y –96 = –х+2, 6y+х–98=0 – уравнение нормали.

5.2. Физический смысл производной:

Определение. Скорость движения тела равна первой производной от пути по времени:

5.3. Механический смысл производной:

Определение . Ускорение движения тела равно первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени:

Задача: Определить скорость и ускорение точки, движущейся по закону в момент t=4c.

Решение:

1. Находим закон скорости: v= S"=

2. Находим скорость в момент t = 4c: v (t)= v (4)=2∙4 2 +8∙4=64 ед/сек

3. Находим закон ускорения: а=v′ =

4. Находим ускорение в момент t = 4c: а (t)= а(4)=4∙4+8=24 ед/сек 2

РАЗДЕЛ 1.3. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ"(х) ∙∆х (1).

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так: dy=ƒ"(х) ∙ dх (2)иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х).

Пример1: Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находимdy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Пример2: Найти дифференциал второго порядка функции: y = x 3 –7x.

Решение:

РАЗДЕЛ 1.4. Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла.

Определение1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, дифференциал которой равен выражению f(x)dx. Пример : f(x) = 3х 2 3х 2 dx F(x) = х 3 .

Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их. Рассмотрим на примере: F 1 (x) = х 3 , F 2 (x) = х 3 + 4, F 3 (x) = х 3 - 2, в общем виде F(x) + С, где С - произвольная константа. Значит для функции f(x)= 3х 2 существуют множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.

Определение2. Множество всех первообразных функций f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом от функций f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx .

Этот символ читается так: “интеграл от f(x) по dx”, таким образом по определению:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Символ ∫ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, F(x) - какая-либо первообразная,

С - постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

d∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: ∫ d F(x) = F(x) + С

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx , k-const.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них: ∫ (f 1 (x)+f 2 (x)-f 3 (x))dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид

Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:

Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.

Уравнение нормали к данной кривой в точке имеет вид:

(35)

Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной касательной , проекция этого отрезка на ось абсцисс называется подкасательной .

Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной нормали ,проекция этого отрезка на ось абсцисс называется поднормалью.

Пример 17

Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна.

Решение:

Найдем значение функции в точке :

Найдем производную заданной функции в точке

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:.

Пример 18

Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса

в точке , для которой.

Решение:

Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):

Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :

Уравнение касательной найдем по формуле (34):

Найдем координаты точкипересечения касательной с осью:

Длина касательной равна длине отрезка :

Согласно определению, подкасательная равна

Где угол – угол между касательной и осью. Поэтому,- угловой коэффициент касательной, равный

Таким образом, подкасательная равна

Уравнение нормали найдем по формуле (35):

Найдем координатыточкипересечения нормали с осью:

Длина нормали равна длине отрезка :

Согласно определению, поднормаль равна

Где угол – угол между нормалью и осью. Поэтому,- угловой коэффициент нормали, равный

Поэтому, поднормаль равна:

Ответ: Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Длина касательной ; подкасательная;

Длина нормали ; поднормаль

Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:

1. К параболе в точке, абсцисса которой

2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс

3. К циклоиде в точке, для которой

4. В каких точках кривой касательная параллельна:

а) оси Оx; б) прямой

.

10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна.

Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции

Пример 19

Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Найдем производную функции .

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на.

Ответ: Заданная функция возрастает наи убывает на.

Определение Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум) , если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется условие

Локальный минимум или максимум функции называетсялокальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если функцияимеет в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Точка называетсякритической точкой функции , если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .

Пусть точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.

Точка является локальным максимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка является локальным минимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с минуса на плюс.

Пример 20

Найти экстремумы функции .

Решение:

Найдем производную заданной функции

Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:

Исследуем знак производной, используя метод интервалов.

Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке- локальный максимум.

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Следовательно, в точке - локальный минимум.

При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точкане является экстремумом заданной функции.

Ответ: - локальный максимум, - локальный минимум.

Второе достаточное условие экстремума:

Если первые производные функциив точкеравны нулю, а-ная производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции, причем,

то -локальный минимум

то -локальный максимум.

Пример 21

Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной .

Решение:

Найдем первую производную заданной функции

Найдем критические точки функции:

Точку мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности.

Найдем вторую производную

Находим

Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при - локальный максимум.

Ответ: - локальный максимум.

Задания 8.

Исследовать на возростание и убывание функции:

Исследовать на экстремумы функции:

Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k - угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y - y 0 = k (x - x 0 ) .

Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.

Определение . Нормаль - это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Если существует конечная и отличная от нуля производная f"(x 0) то уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке x 0 выражается следующим уравнением:

Пример 1 . Написать уравнение нормали к кривой y=3x-x 2 в точке x 0 =2.

Решение.

1. Находим производную y"=3-2x

x 0 =2: f"(x 0)=f"(2)=3-2*2=-1

3. Находим значение функции в точке x 0 =2: f(x 0)=f(2)=3*2-2 2 =2

4. Подставляем найденные значения в уравнение нормали:

5. Получаем уравнение нормали: y=x

Калькулятор уравнения нормали

Найти уравнение нормали онлайн можно с помощью данного калькулятора.

Пример 2 . (Рассмотрим особый случай когда f"(x 0) равно нулю)

Написать уравнение нормали к кривой y=cos24x в точке x 0 =π/2

Решение.

1. Находим производную y"=2cos4x*(-sin4x*4)=-4sin2x

2. Находим значение производной в точке x 0 =π/2:

f"(x 0)=f"(π/2)=-4sin(2*π/2)=0 , следовательно уравнение нормали в данном случае применить нельзя.

Воспользуемся определением нормали,сначала находим , потом находим уравнение перпендикулярной прямой проходящей через данную точку.

Определение: нормалью к кривой у= ¦(х) в точке М 0 называется прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярна касательной в точке М 0 к этой кривой.

Напишем уравнение касательной и нормали, зная уравнение кривой и координаты точки М 0 . Касательная имеет угловой коэффициент к= t g = ¦ , (х 0). Из аналитической геометрии известно, что прямая имеет уравнение у- у 0 = к(х – х 0).

Поэтому уравнение касательной: у - у 0 = ¦ , (х 0)(х – х 0); (1)

Угловой коэффициент нормали К н = (так как они перпендикулярны), но тогда уравнение нормали:

у- у 0 =(-1/ ¦ , (х 0)(х – х 0); (2)

Если в точке не существует производная, то в этой точке не существует и касательная.

Например, функция ¦(х)=|х| в точке х=0 не имеет производной.

lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 (| D х|/ D х)=

Односторонние пределы существуют, но lim D х ®0 (D у/ D х) не существует

Касательная тоже.

Такая точка называется угловой точкой графика.

§4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Справедлива следующая теорема о дифференцируемой функции.

Теорема: если функция у= ¦(х) имеет конечную производную в точке х 0, то функция непрерывна в этой точке.

Доказательство:

Т.к. в точке х 0 существует производная ¦ , (х 0), т.е. существует предел

lim D х ®0 (D у/ D х)= ¦ , (х 0), то D у/ D х= ¦ , (х 0)+ , где

Б.м.в., зависящая от D х. При D х®0, ®0, т.к. = (D у/ D х) - ¦ , (х 0) ®0 при D х®0

Отсюда имеем: D у= ¦ , (х 0) D х + D х.

Но тогда

Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, поэтому ¦(х) непрерывна в точке х 0 .

Важно понять, что обратная теорема не верна!

Не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Так, ¦(х) =|х| является непрерывной в точке х 0 =0, график – сплошная линия, но ¦ , (0) не существует.

§5. Производные постоянной, синуса, косинуса и степенной функции.

1. у= ¦(х) =с; у, = (с) , = 0; (1)

Доказательство:

а) в любой точке х ¦(х) = с

б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции ¦ (х + D х)= с;

в) ¦ (х + D х)- ¦(х)= с- с= 0;

г) D у/ D х= 0/ D х = 0

д) lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 0 = 0

2. у= sin х; у, = (sin х) , = cos х; (2)

Доказательство:

а) в любой точке х ¦(х) = sin х;

б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции