Vektor məhsulu anlayışını verməzdən əvvəl a →, b →, c → vektorlarının sifarişli üçlüyünün üçölçülü fəzada oriyentasiyası məsələsinə keçək.

Başlamaq üçün a → , b → , c → vektorlarını bir nöqtədən kənara qoyaq. Üçlü a → , b → , c → istiqaməti c → vektorunun özündən asılı olaraq sağ və ya sola ola bilər. Üçlü a → , b → , c → növü a → vektorundan b → c → vektorunun sonundan ən qısa dönüşün edildiyi istiqamətdən müəyyən ediləcək.

Əgər ən qısa dönüş saat əqrəbinin əksinə aparılırsa, onda a → , b → , c → vektorlarının üçlüyü deyilir. sağ, saat yönünde olarsa - sol.

Sonra iki qeyri-kollinear vektoru götürün a → və b →. Onda A nöqtəsindən A B → = a → və A C → = b → vektorlarının qrafikini çəkək. Həm A B →, həm də A C → -ə eyni vaxtda perpendikulyar olan A D → = c → vektorunu quraq. Beləliklə, vektorun özünü A D → = c → qurarkən, biz bunu iki yolla edə bilərik, ona ya bir istiqamət verə bilərik, ya da əksini (şəkli bax).

a → , b → , c → vektorlarının sifarişli üçlüyü vektorun istiqamətindən asılı olaraq, aşkar etdiyimiz kimi sağa və ya sola ola bilər.

Yuxarıdakılardan bir vektor məhsulunun tərifini təqdim edə bilərik. Bu tərif üçölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş iki vektor üçün verilmişdir.

Tərif 1

İki a → və b → vektorunun vektor hasili üçölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş belə vektoru belə adlandıracağıq ki:

• a → və b → vektorları kollinear olarsa, sıfır olacaq;
• həm a → ​​ vektoruna, həm də b vektoruna → yəni perpendikulyar olacaq. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• onun uzunluğu düsturla müəyyən edilir: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → vektorlarının üçlüyü verilmiş koordinat sistemi ilə eyni oriyentasiyaya malikdir.

a → və b → vektorlarının vektor hasilinin aşağıdakı qeydi var: a → × b →.

Vektor məhsulunun koordinatları

Hər hansı vektorun koordinat sistemində müəyyən koordinatları olduğu üçün vektor məhsulunun ikinci tərifini təqdim edə bilərik ki, bu da vektorların verilmiş koordinatlarından istifadə edərək onun koordinatlarını tapmağa imkan verəcəkdir.

Tərif 2

Üç ölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində iki a → = (a x ; a y ; a z) və b → = (b x ; b y ; b z) vektorunun vektor hasili c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → vektoru adlanır, burada i → , j → , k → koordinat vektorlarıdır.

Vektor hasilini üçüncü dərəcəli kvadrat matrisin determinantı kimi təqdim etmək olar, burada birinci cərgədə i → , j → , k → vektor vektorları, ikinci cərgədə a → vektorunun koordinatları, üçüncü cərgə isə vektorun koordinatlarını ehtiva edir. verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində b → vektorunun koordinatlarını ehtiva edir, matrisin təyinedicisi belə görünür: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantı birinci cərgənin elementlərinə genişləndirərək bərabərliyi əldə edirik: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → b · = a xy → k → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Çarpaz məhsulun xüsusiyyətləri

Məlumdur ki, koordinatlarda vektor hasili c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z matrisinin təyinedicisi kimi, sonra əsasında matrisin determinantının xassələri aşağıdakılar göstərilir vektor məhsulunun xüsusiyyətləri:

1. antikommutativlik a → × b → = - b → × a → ;
2. paylanma a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → və ya a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assosiativlik λ a → × b → = λ a → × b → və ya a → × (λ b →) = λ a → × b →, burada λ ixtiyari real ədəddir.

Bu xassələrin sadə sübutları var.

Nümunə olaraq vektor məhsulunun antikommutativ xassəsini sübut edə bilərik.

Antikommutativliyin sübutu

Tərifinə görə, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z və b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Və əgər matrisin iki cərgəsi dəyişdirilirsə, onda matrisin determinantının qiyməti tərsinə dəyişməlidir, buna görə də a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = y. - b → × a → olan və vektor hasilinin antikommutativ olduğunu sübut edir.

Vektor məhsulu - nümunələr və həllər

Əksər hallarda üç növ problem var.

Birinci növ məsələlərdə adətən iki vektorun uzunluqları və onlar arasındakı bucaq verilir və vektor hasilinin uzunluğunu tapmaq lazımdır. Bu halda c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → düsturundan istifadə edin.

Misal 1

a → və b → vektorlarının vektor hasilinin uzunluğunu tapın, əgər a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 bilirsinizsə.

Həll

a → və b → vektorlarının vektor hasilinin uzunluğunu təyin etməklə bu məsələni həll edirik: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Cavab: 15 2 2 .

İkinci tip məsələlərin vektorların koordinatları ilə əlaqəsi var, onlarda vektor məhsulu, uzunluğu və s. verilmiş vektorların məlum koordinatları vasitəsilə axtarılır a → = (a x; a y; a z) Və b → = (b x ; b y ; b z) .

Bu tip problem üçün bir çox tapşırıq variantını həll edə bilərsiniz. Məsələn, a → və b → vektorlarının koordinatlarını deyil, onların formanın koordinat vektorlarına genişlənməsini təyin etmək olar. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → və c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → və ya a → və b → vektorları onların başlanğıcının koordinatları ilə təyin oluna bilər. və son nöqtələr.

Aşağıdakı nümunələri nəzərdən keçirin.

Misal 2

Düzbucaqlı koordinat sistemində iki vektor verilir: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Onların çarpaz məhsulunu tapın.

Həll

İkinci tərifə əsasən, verilmiş koordinatlarda iki vektorun vektor hasilini tapırıq: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Əgər vektor hasilini matrisin determinantı vasitəsilə yazsaq, onda bu misalın həlli belə görünür: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Cavab: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Misal 3

i → - j → və i → + j → + k → vektorlarının vektor hasilinin uzunluğunu tapın, burada i →, j →, k → düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin vahid vektorlarıdır.

Həll

Əvvəlcə verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində i → - j → × i → + j → + k → vektor hasilinin koordinatlarını tapaq.

Məlumdur ki, i → - j → və i → + j → + k → vektorlarının müvafiq olaraq (1; - 1; 0) və (1; 1; 1) koordinatları var. Matrisin determinantından istifadə edərək vektor hasilinin uzunluğunu tapaq, onda i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Buna görə də vektor hasilinin i → - j → × i → + j → + k → verilmiş koordinat sistemində koordinatları (- 1 ; - 1 ; 2) olur.

Düsturdan istifadə edərək vektor məhsulunun uzunluğunu tapırıq (vektorun uzunluğunu tapmaq bölməsinə baxın): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Cavab: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Misal 4

Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində üç A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) nöqtələrinin koordinatları verilir. Eyni zamanda A B → və A C → -ə perpendikulyar olan bəzi vektor tapın.

Həll

A B → və A C → vektorları müvafiq olaraq aşağıdakı koordinatlara (- 1 ; 2 ; 2) və (0 ; 4 ; 1) malikdirlər. A B → və A C → vektorlarının vektor hasilini tapdıqdan sonra aydın olur ki, o, həm A B →, həm də A C → tərifinə görə perpendikulyar vektordur, yəni məsələmizin həllidir. Onu tapaq A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Cavab: - 6 i → + j → - 4 k → . - perpendikulyar vektorlardan biri.

Üçüncü növə aid məsələlər vektorların vektor məhsulunun xassələrindən istifadəyə yönəldilmişdir. Hansını tətbiq etdikdən sonra verilən problemin həllini əldə edəcəyik.

Misal 5

a → və b → vektorları perpendikulyardır və onların uzunluqları müvafiq olaraq 3 və 4-ə bərabərdir. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → vektor hasilinin uzunluğunu tapın. + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Həll

Vektor məhsulunun paylayıcı xassəsinə görə biz 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yaza bilərik. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Assosiativlik xassəsinə görə, sonuncu ifadədə vektor məhsullarının işarəsindən ədədi əmsalları çıxarırıq: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → və b → × b → vektor hasilləri 0-a bərabərdir, çünki a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 və b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, sonra 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Vektor məhsulunun antikommutativliyindən belə çıxır - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Vektor məhsulunun xassələrindən istifadə edərək 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → bərabərliyini alırıq.

Şərtə görə a → və b → vektorları perpendikulyardır, yəni aralarındakı bucaq π 2-ə bərabərdir. İndi yalnız tapılan dəyərləri müvafiq düsturlarla əvəz etmək qalır: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Cavab: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Tərifinə görə vektorların vektor məhsulunun uzunluğu a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → -ə bərabərdir. Artıq (məktəb kursundan) məlum olduğundan, üçbucağın sahəsi onun iki tərəfinin uzunluqlarının məhsulunun yarısına bərabərdir, bu tərəflər arasındakı bucağın sinusuna vurulur. Beləliklə, vektor məhsulunun uzunluğu paraleloqramın sahəsinə bərabərdir - ikiqat üçbucaq, yəni a → və b → vektorları şəklində tərəflərin məhsulu, bir nöqtədən sinus ilə qoyulur. aralarındakı bucaq sin ∠ a →, b →.

Bu vektor məhsulunun həndəsi mənasıdır.

Vektor məhsulunun fiziki mənası

Fizikanın qollarından biri olan mexanikada vektor məhsulu sayəsində kosmosdakı bir nöqtəyə nisbətən bir qüvvənin momentini təyin etmək olar.

Tərif 3

F → B nöqtəsinə A nöqtəsinə nisbətən tətbiq edilən qüvvənin anına görə biz aşağıdakı vektor məhsulunu başa düşəcəyik A B → × F →.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bu dərsdə vektorlarla daha iki əməliyyata baxacağıq: vektorların vektor məhsulu Və vektorların qarışıq məhsulu (ehtiyacı olanlar üçün dərhal link). Yaxşı, bəzən tam xoşbəxtlik üçün belə olur vektorların skalyar hasili, getdikcə daha çox tələb olunur. Bu vektor asılılığıdır. Görünə bilər ki, biz analitik həndəsə cəngəlliyinə giririk. Bu səhvdir. Ali riyaziyyatın bu bölməsində Pinokkio üçün bəlkə də kifayət qədər ağacdan başqa, ümumiyyətlə, az ağac var. Əslində, material çox yaygın və sadədir - eyni şeydən çətin ki, daha mürəkkəbdir skalyar məhsul, daha az tipik tapşırıqlar olacaq. Analitik həndəsədə əsas şey, çoxlarının əmin olacağı və ya artıq əmin olduğu kimi, hesablamalarda SƏHV ETMƏKDİR. Bir sehr kimi təkrarlayın və xoşbəxt olacaqsınız =)

Vektorlar üfüqdə ildırım kimi uzaq bir yerdə parıldayırsa, fərq etməz, dərsdən başlayın Butaforlar üçün vektorlar vektorlar haqqında əsas bilikləri bərpa etmək və ya yenidən əldə etmək. Daha çox hazırlıqlı oxucular məlumatla seçmə şəkildə tanış ola bilərlər

Sizi dərhal nə xoşbəxt edəcək? Mən balaca olanda iki, hətta üç topla hoqqabazlıq edə bilirdim. Yaxşı nəticə verdi. İndi heç bir hoqqabazlığa ehtiyacınız olmayacaq, çünki nəzərdən keçirəcəyik yalnız məkan vektorları, və iki koordinatlı düz vektorlar kənarda qalacaq. Niyə? Bu hərəkətlər belə yarandı - vektorların vektoru və qarışıq hasilatı müəyyən edilir və üçölçülü məkanda işləyir. Artıq daha asandır!

Bu əməliyyat, skalyar məhsul kimi, daxildir iki vektor. Qoy bunlar ölməz məktublar olsun.

Fəaliyyətin özü ilə işarələnir aşağıdakı şəkildə: . Başqa variantlar da var, amma mən vektorların vektor məhsulunu xaç ilə kvadrat mötərizədə bu şəkildə ifadə etməyə alışmışam.

Və dərhal sual: varsa vektorların skalyar hasili iki vektor iştirak edir və burada iki vektor da vurulur, onda fərq nədir? Aşkar fərq, ilk növbədə, NƏTİCƏdədir:

Vektorların skalyar hasilinin nəticəsi NUMBER-dir:

Vektorların çarpaz məhsulunun nəticəsi VEKTOR-dur: , yəni vektorları vurub yenidən vektor alırıq. Qapalı klub. Əslində əməliyyatın adı da buradan gəlir. Fərqli tədris ədəbiyyatında təyinatlar da dəyişə bilər, mən hərfdən istifadə edəcəyəm;

Çarpaz məhsulun tərifi

Əvvəlcə şəkilli tərif, sonra şərhlər olacaq.

Tərif: Vektor məhsulu qeyri-kollinear vektorlar, bu qaydada alınır, VEKTOR adlanır, uzunluq ki, ədədi olaraq paraleloqramın sahəsinə bərabərdir, bu vektorlar üzərində qurulmuşdur; vektor vektorlara ortoqonaldır, və əsasın düzgün istiqamətə malik olması üçün yönəldilir:

Gəlin tərifi parçalayaq, burada çox maraqlı şeylər var!

Beləliklə, aşağıdakı mühüm məqamları vurğulamaq olar:

1) Təriflə qırmızı oxlarla göstərilən orijinal vektorlar kollinear deyil. Kollinear vektorlar məsələsinə bir az sonra baxmaq məqsədəuyğun olar.

2) Vektorlar götürülür ciddi şəkildə müəyyən edilmiş qaydada: – "a" "ol" ilə vurulur, və “a” ilə “olmaq” deyil. Vektorun vurulmasının nəticəsi mavi ilə göstərilən VEKTOR-dur. Vektorlar tərs ardıcıllıqla vurularsa, uzunluğuna bərabər və əks istiqamətdə (moruq rəngi) bir vektor alırıq. Yəni bərabərlik doğrudur .

3) İndi vektor hasilinin həndəsi mənası ilə tanış olaq. Bu çox vacib bir məqamdır! Mavi vektorun (və deməli, qırmızı vektorun) UZUNLUĞU vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın SAHƏSİ ilə ədədi olaraq bərabərdir. Şəkildə bu paraleloqram qara rəngdədir.

Qeyd : rəsm sxematikdir və təbii olaraq vektor məhsulunun nominal uzunluğu paraleloqramın sahəsinə bərabər deyil.

Həndəsi düsturlardan birini xatırlayaq: Paraleloqramın sahəsi bitişik tərəflərin hasilinə və aralarındakı bucağın sinusuna bərabərdir.. Buna görə də, yuxarıda göstərilənlərə əsasən, vektor məhsulunun UZUNLUĞUNU hesablamaq üçün düstur etibarlıdır:

Düsturun vektorun özü haqqında deyil, vektorun UZUNLUĞU haqqında olduğunu vurğulayıram. Praktik məna nədir? Və mənası odur ki, analitik həndəsə problemlərində paraleloqramın sahəsi çox vaxt vektor məhsulu anlayışı vasitəsilə tapılır:

İkinci vacib düsturu əldə edək. Paraleloqramın diaqonalı (qırmızı nöqtəli xətt) onu iki bərabər üçbucağa ayırır. Buna görə vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsi (qırmızı kölgə) düsturdan istifadə edərək tapıla bilər:

4) Eyni dərəcədə vacib bir fakt vektorun vektorlara ortoqonal olmasıdır, yəni . Təbii ki, əks istiqamətli vektor (moruq ox) da orijinal vektorlara ortoqonaldır.

5) Vektor elə yönəldilmişdir ki əsas Bu var sağ oriyentasiya. Haqqında dərsdə yeni əsasa keçid haqqında kifayət qədər ətraflı danışdım təyyarə oriyentasiyası, və indi kosmos oriyentasiyasının nə olduğunu anlayacağıq. Barmaqlarınızla izah edəcəyəm sağ əl. Zehni olaraq birləşdirin şəhadət barmağı vektor ilə və orta barmaq vektor ilə. Üzük barmaq və kiçik barmaq ovucunuza sıxın. Nəticə olaraq baş barmaq– vektor məhsulu yuxarıya baxacaq. Bu, sağ yönümlü əsasdır (şəkildə belədir). İndi vektorları dəyişdirin ( şəhadət və orta barmaqlar) bəzi yerlərdə, nəticədə baş barmaq dönəcək və vektor məhsulu artıq aşağı baxacaq. Bu da sağ yönümlü əsasdır. Sualınız ola bilər: hansı əsasda oriyentasiya qalıb? Eyni barmaqlara "təyin et" sol əl vektorları və sol əsası və fəzanın sol istiqamətini əldə edin (bu halda baş barmaq aşağı vektor istiqamətində yerləşəcək). Obrazlı desək, bu əsaslar məkanı müxtəlif istiqamətlərdə “burur” və ya istiqamətləndirir. Və bu konsepsiya uzaq və ya mücərrəd bir şey hesab edilməməlidir - məsələn, məkanın istiqaməti ən adi güzgü tərəfindən dəyişdirilir və əgər siz "əks olunan obyekti baxış şüşəsindən çıxarırsınızsa", onda ümumi vəziyyətdə onu “orijinal” ilə birləşdirmək mümkün olmayacaq. Yeri gəlmişkən, üç barmağınızı güzgüyə qədər tutun və əksini təhlil edin ;-)

...indi bildiyiniz nə qədər yaxşıdır sağa və sola yönümlüəsaslar, çünki bəzi mühazirəçilərin oriyentasiya dəyişikliyi ilə bağlı açıqlamaları qorxuludur =)

Kollinear vektorların çarpaz hasili

Tərif ətraflı müzakirə edilmişdir, vektorlar kollinear olduqda nə baş verdiyini görmək qalır. Vektorlar kollineardırsa, onda onlar bir düz xətt üzərində yerləşdirilə bilər və bizim paraleloqramımız da bir düz xəttə "qatlanır". Bu sahə, riyaziyyatçıların dediyi kimi, degenerasiya etmək paraleloqram sıfıra bərabərdir. Eyni şey düsturdan gəlir - sıfır və ya 180 dərəcə sinusu sıfıra bərabərdir, yəni sahə sıfırdır

Beləliklə, əgər varsa, onda Və . Nəzərə alın ki, çarpaz məhsulun özü sıfır vektoruna bərabərdir, lakin praktikada buna çox vaxt əhəmiyyət verilmir və onun da sıfıra bərabər olduğu yazılır.

Xüsusi hal vektorun özü ilə çarpaz məhsuludur:

Vektor məhsulundan istifadə edərək, siz üçölçülü vektorların kollinearlığını yoxlaya bilərsiniz və biz başqaları arasında bu problemi də təhlil edəcəyik.

Praktik nümunələri həll etmək üçün sizə lazım ola bilər triqonometrik cədvəl ondan sinusların dəyərlərini tapmaq.

Yaxşı, odu yandıraq:

Misal 1

a) Əgər vektorların vektor hasilinin uzunluğunu tapın

b) Əgər vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsini tapın

Həll: Xeyr, bu, hərf səhvi deyil, bəndlərdəki ilkin məlumatları bilərəkdən eyni etdim. Çünki həllərin dizaynı fərqli olacaq!

a) Şərtə görə tapmaq lazımdır uzunluq vektor (çarpaz məhsul). Müvafiq düstura görə:

Cavab verin:

Əgər sizdən uzunluq haqqında soruşdularsa, cavabda ölçüsü - vahidləri göstəririk.

b) Şərtə görə tapmaq lazımdır kvadrat vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqram. Bu paraleloqramın sahəsi ədədi olaraq vektor məhsulunun uzunluğuna bərabərdir:

Cavab verin:

Nəzərə alın ki, cavab bizdən soruşulan vektor məhsulu haqqında ümumiyyətlə danışmır; fiqurun sahəsi, müvafiq olaraq ölçü kvadrat vahidlərdir.

Biz həmişə şərtə görə NƏ tapmalı olduğumuza baxırıq və buna əsaslanaraq formalaşdırırıq aydın cavab. Bu, literalizm kimi görünə bilər, lakin müəllimlər arasında çoxlu hərfçilər var və tapşırığın yenidən baxılmaq üçün geri qaytarılma şansı var. Baxmayaraq ki, bu, çox da uzaqgörən bir kəlmə deyil - əgər cavab düzgün deyilsə, onda adamın sadə şeyləri başa düşmədiyi və/yaxud tapşırığın mahiyyətini dərk etmədiyi təəssüratı yaranır. Ali riyaziyyatda və digər fənlərdə də hər hansı məsələ həll edilərkən bu məqam daim nəzarətdə saxlanılmalıdır.

Böyük "en" hərfi hara getdi? Prinsipcə, əlavə olaraq həllə əlavə edilə bilərdi, amma girişi qısaltmaq üçün bunu etmədim. Ümid edirəm ki, hər kəs bunu başa düşür və eyni şey üçün təyinatdır.

DIY həlli üçün məşhur bir nümunə:

Misal 2

Əgər vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsini tapın

Vektor məhsulu vasitəsilə üçbucağın sahəsini tapmaq üçün düstur tərifin şərhlərində verilmişdir. Həll və cavab dərsin sonundadır.

Təcrübədə, vəzifə həqiqətən çox yaygındır üçbucaqlar ümumiyyətlə sizə əzab verə bilər.

Digər problemləri həll etmək üçün bizə lazımdır:

Vektorların vektor məhsulunun xassələri

Biz vektor məhsulunun bəzi xüsusiyyətlərini artıq nəzərdən keçirdik, lakin mən onları bu siyahıya daxil edəcəyəm.

İxtiyari vektorlar və ixtiyari ədədlər üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

1) Digər məlumat mənbələrində bu element adətən xassələrdə vurğulanmır, lakin praktiki baxımdan çox vacibdir. Qoy belə olsun.

2) – mülkdən də yuxarıda bəhs edilir, bəzən ona da deyilir antikommutativlik. Başqa sözlə, vektorların sırası vacibdir.

3) – assosiativ və ya assosiativ vektor məhsul qanunları. Sabitlər asanlıqla vektor məhsulundan kənara köçürülə bilər. Doğrudan da, orada nə etməlidirlər?

4) – paylama və ya paylayıcı vektor məhsul qanunları. Mötərizənin açılmasında da heç bir problem yoxdur.

Nümayiş etmək üçün qısa bir nümunəyə baxaq:

Misal 3

Əgər tapın

Həll:Şərt yenidən vektor məhsulunun uzunluğunu tapmağı tələb edir. Miniatürümüzü rəngləyək:

(1) Assosiativ qanunlara görə biz sabitləri vektor məhsulunun əhatə dairəsindən kənara çıxarırıq.

(2) Sabiti moduldan kənara çıxarırıq və modul mənfi işarəni "yeyir". Uzunluq mənfi ola bilməz.

(3) Qalanı aydındır.

Cavab verin:

Yanğına daha çox odun əlavə etməyin vaxtı gəldi:

Misal 4

Əgər vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsini hesablayın

Həll: Düsturdan istifadə edərək üçbucağın sahəsini tapın . Məsələ ondadır ki, “tse” və “de” vektorları vektorların cəmi kimi təqdim olunur. Buradakı alqoritm standartdır və bir qədər dərsin 3 və 4 nömrəli misallarını xatırladır. Vektorların nöqtə hasili. Aydınlıq üçün həlli üç mərhələyə ayıracağıq:

1) İlk addımda vektor məhsulunu vektor məhsulu ilə ifadə edirik, əslində, vektoru vektorla ifadə edək. Uzunluğa dair hələ söz yoxdur!

(1) Vektorların ifadələrini əvəz edin.

(2) Paylayıcı qanunlardan istifadə edərək, çoxhədlilərin vurulması qaydasına uyğun olaraq mötərizələr açırıq.

(3) Assosiativ qanunlardan istifadə edərək bütün sabitləri vektor məhsullarından kənara çıxarırıq. Bir az təcrübə ilə 2 və 3-cü addımlar eyni vaxtda yerinə yetirilə bilər.

(4) Gözəl xassə görə birinci və sonuncu şərtlər sıfıra bərabərdir (sıfır vektor). İkinci termində vektor məhsulunun antikommutativlik xüsusiyyətindən istifadə edirik:

(5) Biz oxşar şərtləri təqdim edirik.

Nəticədə vektor bir vektor vasitəsilə ifadə edildi, buna nail olmaq lazım idi:

2) İkinci addımda bizə lazım olan vektor məhsulunun uzunluğunu tapırıq. Bu hərəkət Misal 3-ə bənzəyir:

3) Tələb olunan üçbucağın sahəsini tapın:

Həllin 2-3-cü mərhələləri bir sətirdə yazıla bilərdi.

Cavab verin:

Baxılan problem testlərdə olduqca yaygındır, onu özünüz həll etmək üçün bir nümunə:

Misal 5

Əgər tapın

Qısa bir həll və dərsin sonunda cavab. Əvvəlki nümunələri öyrənərkən nə qədər diqqətli olduğunuzu görək ;-)

Koordinatlarda vektorların çarpaz məhsulu

, ortonormal əsasda müəyyən edilir, düsturu ilə ifadə edilir:

Düstur həqiqətən sadədir: determinantın yuxarı sətirinə koordinat vektorlarını yazırıq, ikinci və üçüncü sətirlərə vektorların koordinatlarını "qoyuruq" və biz qoyuruq. ciddi qaydada– əvvəlcə “ve” vektorunun koordinatları, sonra “ikiqat ve” vektorunun koordinatları. Vektorları fərqli ardıcıllıqla çoxaltmaq lazımdırsa, cərgələr dəyişdirilməlidir:

Misal 10

Aşağıdakı kosmik vektorların kollinear olub olmadığını yoxlayın:
A)
b)

Həll: Yoxlama bu dərsdəki ifadələrdən birinə əsaslanır: vektorlar kollineardırsa, onda onların vektor məhsulu sıfıra bərabərdir (sıfır vektor): .

a) vektor məhsulunu tapın:

Beləliklə, vektorlar kollinear deyil.

b) Vektor məhsulunu tapın:

Cavab verin: a) kollinear deyil, b)

Burada, bəlkə də vektorların vektor məhsulu haqqında bütün əsas məlumatlar var.

Bu bölmə çox böyük olmayacaq, çünki vektorların qarışıq məhsulunun istifadə edildiyi bir neçə problem var. Əslində, hər şey tərifdən, həndəsi mənadan və bir neçə iş düsturundan asılı olacaq.

Vektorların qarışıq hasili üç vektorun məhsuludur:

Beləliklə, onlar qatar kimi sıraya düzülüblər və tanınmasını gözləyə bilmirlər.

Birincisi, yenə tərif və şəkil:

Tərif: Qarışıq iş qeyri-düzgün vektorlar, bu qaydada alınır, çağırdı paralelepiped həcmi, bu vektorlar üzərində qurulmuş, əsas sağ olarsa “+” işarəsi, əsas qaldıqda isə “–” işarəsi ilə təchiz edilmişdir.

Gəlin rəsm çəkək. Bizə görünməyən xətlər nöqtəli xətlərlə çəkilir:

Gəlin tərifə keçək:

2) Vektorlar götürülür müəyyən bir qaydada, yəni məhsuldakı vektorların yenidən təşkili, təxmin etdiyiniz kimi, nəticəsiz baş vermir.

3) Həndəsi mənasını şərh etməzdən əvvəl açıq bir faktı qeyd edəcəm: vektorların qarışıq hasilatı SƏDDİR: . Tədris ədəbiyyatında mən qarışıq məhsulu "pe" hərfi ilə və hesablamaların nəticəsini ifadə etməyə alışmışam.

A-prior qarışıq məhsul paralelepipedin həcmidir, vektorlar üzərində qurulmuşdur (şəkil qırmızı vektorlar və qara xətlərlə çəkilmişdir). Yəni, ədəd verilmiş paralelepipedin həcminə bərabərdir.

Qeyd : Rəsm sxematikdir.

4) Baza və məkanın oriyentasiyası anlayışı ilə bağlı yenidən narahat olmayaq. Son hissənin mənası odur ki, həcmə mənfi işarə əlavə edilə bilər. Sadə sözlə, qarışıq məhsul mənfi ola bilər: .

Tərifdən birbaşa vektorlar üzərində qurulmuş paralelepipedin həcmini hesablamaq üçün düstur gəlir.

Bu yazıda iki vektorun çarpaz məhsulu anlayışını daha yaxından nəzərdən keçirəcəyik. Lazımi tərifləri verəcəyik, vektor məhsulunun koordinatlarını tapmaq üçün düstur yazacağıq, onun xassələrini sadalayacağıq və əsaslandıracağıq. Bundan sonra iki vektorun vektor məhsulunun həndəsi mənası üzərində dayanacağıq və müxtəlif tipik nümunələrin həllini nəzərdən keçirəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Çarpaz məhsulun tərifi.

Vektor məhsulunu təyin etməzdən əvvəl üçölçülü fəzada vektorların sifarişli üçlüyünün oriyentasiyasını anlayaq.

Gəlin vektorları bir nöqtədən çəkək. Vektorun istiqamətindən asılı olaraq üçü sağ və ya sol ola bilər. Gəlin vektorun sonundan baxaq ki, vektordan ən qısa dönüş necə olur. Ən qısa fırlanma saat əqrəbinin əksinə baş verərsə, vektorların üçlüyü deyilir sağ, əks halda - sol.

İndi iki qeyri-kollinear vektoru götürək və. Vektorları və A nöqtəsindən çəkək. Hər ikisinə perpendikulyar vektor quraq. Aydındır ki, bir vektor qurarkən, ona bir istiqamət vermək və ya əksini verməklə iki şey edə bilərik (şəslə bax).

Vektorun istiqamətindən asılı olaraq vektorların sifarişli üçlüyü sağ və ya sol əlli ola bilər.

Bu bizi vektor məhsulunun tərifinə yaxınlaşdırır. Üçölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş iki vektor üçün verilmişdir.

Tərif.

İki vektorun çarpaz məhsulu və üçölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş vektor adlanır ki,

Vektorların çarpaz hasili və kimi işarələnir.

Vektor məhsulunun koordinatları.

İndi vektor məhsulunun ikinci tərifini verəcəyik ki, bu da verilmiş vektorların koordinatlarından onun koordinatlarını tapmağa imkan verir və.

Tərif.

Üç ölçülü fəzanın düzbucaqlı koordinat sistemində iki vektorun vektor məhsulu Və vektordur, koordinat vektorları haradadır.

Bu tərif bizə koordinat şəklində çarpaz məhsul verir.

Birinci sıra vektorlar, ikinci cərgədə vektorun koordinatları, üçüncü sətirdə vektorun koordinatları verilmiş üçüncü dərəcəli kvadrat matrisin təyinedicisi kimi vektor məhsulunu təqdim etmək rahatdır. düzbucaqlı koordinat sistemi:

Bu determinantı birinci cərgənin elementlərinə genişləndirsək, koordinatlarda vektor məhsulunun tərifindən bərabərliyi əldə edirik (lazım olduqda, məqaləyə baxın):

Qeyd etmək lazımdır ki, vektor hasilinin koordinat forması bu maddənin birinci bəndində verilmiş tərifə tam uyğundur. Üstəlik, çarpaz məhsulun bu iki tərifi ekvivalentdir. Bu faktın sübutunu məqalənin sonunda sadalanan kitabda görə bilərsiniz.

Vektor məhsulunun xassələri.

Koordinatlarda vektor məhsulu matrisin müəyyənedicisi kimi göstərilə bildiyi üçün aşağıdakılar asanlıqla əsaslandırıla bilər. çarpaz məhsulun xüsusiyyətləri:

Nümunə olaraq vektor məhsulunun antikommutativ xassəsini sübut edək.

A-prior Və . Bilirik ki, iki cərgə dəyişdirilərsə, matrisin determinantının dəyəri tərsinə çevrilir, buna görə də, vektor məhsulunun antikommutativ xassəsini sübut edən.

Vektor məhsulu - nümunələr və həllər.

Əsasən üç növ problem var.

Birinci növ məsələlərdə iki vektorun uzunluqları və onlar arasındakı bucaq verilir və vektor hasilinin uzunluğunu tapmaq lazımdır. Bu vəziyyətdə formula istifadə olunur .

Misal.

vektorların vektor hasilinin uzunluğunu tapın, əgər məlumdursa .

Həll.

Tərifdən bilirik ki, vektorların vektor məhsulunun uzunluğu və vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın sinusuna bərabərdir, buna görə də, .

Cavab:

.

İkinci növ problemlər vektorların koordinatları ilə əlaqədardır ki, burada vektor məhsulu, onun uzunluğu və ya başqa bir şey verilmiş vektorların koordinatları vasitəsilə axtarılır. Və .

Burada çoxlu müxtəlif variantlar mümkündür. Məsələn, vektorların koordinatları deyil, müəyyən edilə bilər, lakin onların formanın koordinat vektorlarına genişlənməsi. və , və ya vektorlar və onların başlanğıc və son nöqtələrinin koordinatları ilə müəyyən edilə bilər.

Tipik nümunələrə baxaq.

Misal.

Düzbucaqlı koordinat sistemində iki vektor verilmişdir . Onların çarpaz məhsulunu tapın.

Həll.

İkinci tərifə görə koordinatlarda iki vektorun vektor hasili belə yazılır:

Əgər vektor hasilini determinant baxımından yazsaydıq, eyni nəticəyə çatmış olardıq

Cavab:

.

Misal.

ve vektorlarının vektor hasilinin uzunluğunu tapın, burada düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin vahid vektorlarıdır.

Həll.

Əvvəlcə vektor məhsulunun koordinatlarını tapırıq verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində.

Vektorlar və koordinatları olduğundan (lazım olduqda, düzbucaqlı bir koordinat sistemindəki vektorun məqalə koordinatlarına baxın), onda vektor məhsulunun ikinci tərifinə görə biz əldə edirik.

Yəni vektor məhsulu verilmiş koordinat sistemində koordinatlara malikdir.

Bir vektor məhsulunun uzunluğunu onun koordinatlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökü kimi tapırıq (vektorun uzunluğunu tapmaq bölməsində vektorun uzunluğu üçün bu düstur aldıq):

Cavab:

.

Misal.

Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində üç nöqtənin koordinatları verilir. Perpendikulyar və eyni zamanda olan vektor tapın.

Həll.

Vektorlar və koordinatları var və müvafiq olaraq (nöqtələrin koordinatları vasitəsilə vektorun koordinatlarını tapmaq məqaləsinə baxın). Əgər vektorların vektor hasilini tapsaq, onda tərifinə görə o, həm də və -yə perpendikulyar vektordur, yəni məsələmizin həllidir. Onu tapaq

Cavab:

- perpendikulyar vektorlardan biri.

Üçüncü növ məsələlərdə vektorların vektor məhsulunun xassələrindən istifadə bacarığı yoxlanılır. Xassələri tətbiq etdikdən sonra müvafiq düsturlar tətbiq edilir.

Misal.

ve vektorları perpendikulyardır və onların uzunluqları müvafiq olaraq 3 və 4-dür. Çarpaz məhsulun uzunluğunu tapın .

Həll.

Vektor məhsulunun paylanma xüsusiyyətinə görə yaza bilərik

Kombinasiya xassəsinə görə ədədi əmsalları sonuncu ifadədə vektor məhsullarının işarəsindən çıxarırıq:

vektor məhsulları və sıfıra bərabərdir, çünki Və , Sonra .

Vektor məhsulu antikommutativ olduğundan, onda .

Beləliklə, vektor məhsulunun xüsusiyyətlərindən istifadə edərək bərabərliyə gəldik .

Şərtə görə və vektorları perpendikulyardır, yəni aralarındakı bucaq -ə bərabərdir. Yəni tələb olunan uzunluğu tapmaq üçün bütün məlumatlarımız var

Cavab:

.

Vektor məhsulunun həndəsi mənası.

Tərifinə görə, vektorların vektor məhsulunun uzunluğu . Orta məktəb həndəsə kursundan biz bilirik ki, üçbucağın sahəsi üçbucağın iki tərəfinin uzunluqlarının və aralarındakı bucağın sinusunun məhsulunun yarısına bərabərdir. Nəticə etibarilə vektor məhsulunun uzunluğu tərəfləri vektor olan üçbucağın sahəsinin iki qatına bərabərdir və əgər onlar bir nöqtədən çəkilirsə. Başqa sözlə, vektorların vektor məhsulunun uzunluğu və tərəfləri olan paraleloqramın sahəsinə və aralarındakı bucaq --ə bərabərdir. Bu vektor məhsulunun həndəsi mənasıdır.

ÜÇ VEKTORUN QARŞIQ MƏHSUL VƏ ONUN XÜSUSİYYƏTLƏRİ

Qarışıq işüç vektora bərabər ədəd deyilir. Təyin edilmişdir . Burada ilk iki vektor vektorla vurulur, sonra isə nəticə vektor üçüncü vektorla skalyar şəkildə vurulur. Aydındır ki, belə bir məhsul müəyyən bir rəqəmdir.

Qarışıq məhsulun xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək.

1. Həndəsi məna qarışıq iş. İşarəyə qədər 3 vektorun qarışıq məhsulu, kənarlarda olduğu kimi, bu vektorlar üzərində qurulmuş paralelepipedin həcminə bərabərdir, yəni. .

   Beləliklə, və .

   

   Sübut. Ümumi mənşəli vektorları kənara qoyub onların üzərində paralelepiped quraq. Bunu qeyd edək və qeyd edək. Skayar məhsulun tərifinə görə

   Bunu fərz etmək və ilə ifadə etmək h paralelepipedin hündürlüyünü tapırıq.

   Beləliklə, nə vaxt

   Əgər belədirsə. Beləliklə, .

   Bu halların hər ikisini birləşdirərək və ya əldə edirik.

   Bu xassənin sübutundan, xüsusən də belə çıxır ki, vektorların üçlüyü sağ əllidirsə, qarışıq hasil , solaxaydırsa, onda .

2. İstənilən , vektorları üçün bərabərlik doğrudur

   Bu əmlakın sübutu 1-ci Mülkdən irəli gəlir. Həqiqətən, bunu göstərmək asandır və . Üstəlik, "+" və "-" işarələri eyni vaxtda alınır, çünki və ve ve vektorları arasındakı bucaqlar həm iti, həm də kütdür.

3. Hər iki amil yenidən təşkil edildikdə, qarışıq məhsul işarəsini dəyişir.

   Həqiqətən, qarışıq bir məhsulu nəzərə alsaq, məsələn, və ya

4. Qarışıq məhsul yalnız və yalnız amillərdən biri sıfıra bərabər olduqda və ya vektorlar müştərək olduqda.

   Sübut.

   Beləliklə, 3 vektorun müstəmləkəliyi üçün zəruri və kafi şərt onların qarışıq hasilinin sıfıra bərabər olmasıdır. Bundan əlavə, belə çıxır ki, üç vektor fəzada əsas təşkil edir, əgər .

   Vektorlar koordinat şəklində verilirsə, onda onların qarışıq məhsulunun düsturla tapıldığını göstərmək olar:

   .

   Beləliklə, qarışıq hasil birinci sətirdə birinci vektorun koordinatlarına, ikinci sətirdə ikinci vektorun koordinatlarına, üçüncü sətirdə üçüncü vektorun koordinatlarına malik olan üçüncü dərəcəli təyinediciyə bərabərdir.

   Nümunələr.

Kosmosda ANALİTİK HƏNDƏSİ

tənlik F(x, y, z)= 0 məkanda müəyyən edir Oxyz bəzi səth, yəni. koordinatları olan nöqtələrin həndəsi yeri x, y, z bu tənliyi təmin edin. Bu tənliyə səth tənliyi deyilir və x, y, z- cari koordinatlar.

Lakin çox vaxt səth tənliklə deyil, fəzada bu və ya digər xassələrə malik olan nöqtələr toplusu kimi müəyyən edilir. Bu zaman həndəsi xassələrə əsasən səthin tənliyini tapmaq lazımdır.

Təyyarə.

NORMAL MƏYYAR VEKTORU.

VERİLƏN NÖQTƏDƏN KEÇƏN MƏYYARIN TƏNLİKİ

Fəzada ixtiyari σ müstəvisini nəzərdən keçirək. Onun mövqeyi bu müstəviyə perpendikulyar vektor və bəzi sabit nöqtə göstərilməklə müəyyən edilir M0(x 0, y 0, z 0), σ müstəvisində uzanır.

σ müstəvisinə perpendikulyar vektor deyilir normal bu təyyarənin vektoru. Vektorun koordinatları olsun.

Bu nöqtədən keçən σ müstəvisinin tənliyini çıxaraq M0 və normal vektorun olması. Bunun üçün müstəvidə ixtiyari bir nöqtə götürün σ M(x, y, z) və vektoru nəzərdən keçirin.

İstənilən nöqtə üçün MО σ vektordur, ona görə də onların skalyar hasilatı sıfıra bərabərdir. Bu bərabərliyin şərt olması şərtdir MО σ. Bu müstəvinin bütün nöqtələri üçün etibarlıdır və nöqtə olan kimi pozulur Mσ müstəvisindən kənarda olacaq.

Nöqtələri radius vektoru ilə işarə etsək M, – nöqtənin radius vektoru M0, onda tənliyi formada yazmaq olar

Bu tənlik adlanır vektor müstəvi tənliyi. Onu koordinat şəklində yazaq. O vaxtdan bəri

Beləliklə, bu nöqtədən keçən təyyarənin tənliyini əldə etdik. Beləliklə, müstəvi tənliyini yaratmaq üçün normal vektorun koordinatlarını və müstəvidə uzanan hansısa nöqtənin koordinatlarını bilmək lazımdır.

Qeyd edək ki, təyyarənin tənliyi cari koordinatlara görə 1-ci dərəcəli tənlikdir. x, y Və z.

Nümunələr.

MƏYYERİN ÜMUMİ TƏNLİKİ

Göstərilə bilər ki, Dekart koordinatlarına görə hər hansı birinci dərəcəli tənlik x, y, z bəzi müstəvilərin tənliyini təmsil edir. Bu tənlik belə yazılır:

Axe+By+Cz+D=0

və çağırılır ümumi tənlik təyyarə və koordinatlar A, B, C burada təyyarənin normal vektorunun koordinatları verilmişdir.

Ümumi tənliyin xüsusi hallarını nəzərdən keçirək. Tənliyin bir və ya bir neçə əmsalı sıfır olarsa, təyyarənin koordinat sisteminə nisbətən necə yerləşdiyini öyrənək.

A - oxda təyyarə ilə kəsilmiş seqmentin uzunluğu öküz. Eynilə bunu da göstərmək olar b Və c– oxlar üzrə nəzərdən keçirilən müstəvi tərəfindən kəsilmiş seqmentlərin uzunluqları ay Və Oz.

Təyyarələr qurmaq üçün seqmentlərdə müstəvi tənliyindən istifadə etmək rahatdır.

7.1. Çarpaz məhsulun tərifi

Göstərilən ardıcıllıqla götürülmüş üç qeyri-komplanar vektor a, b və c, sağ əlli üçlük təşkil edir, əgər üçüncü c vektorunun sonundan birinci a vektorundan ikinci b vektoruna ən qısa dönüş görünürsə. saat əqrəbinin əksinə, sol əlli üçlük isə saat əqrəbinin əksinə (bax. Şəkil 16).

a vektorunun b vektor hasilinə c vektoru deyilir, hansı ki:

1. a və b vektorlarına perpendikulyar, yəni c ^ a və c ^ b ;

2. Uzunluğu a və vektorları üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinə ədədi olaraq bərabərdirb tərəflərdə olduğu kimi (şək. 17-ə baxın), yəni.

3. a, b və c vektorları sağ əlli üçlü yaradır.

Çarpaz hasil a x b və ya [a,b] ilə işarələnir. i vahid vektorları arasındakı aşağıdakı əlaqələr vektor məhsulunun tərifindən birbaşa əməl olunur, j Və k(şək. 18-ə baxın):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Məsələn, bunu sübut edək i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, lakin | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) i, j və vektorları k sağ üçlü təşkil edir (bax. Şəkil 16).

7.2. Çarpaz məhsulun xüsusiyyətləri

1. Faktorları yenidən təşkil edərkən vektor məhsulu işarəni dəyişir, yəni. və xb =(b xa) (bax şək. 19).

a xb və b xa vektorları kollineardır, eyni modullara malikdir (paraleloqramın sahəsi dəyişməz qalır), lakin əks istiqamətlidir (üçlü a, b, a xb və əks istiqamətli a, b, b x a). Yəni axb = -(b xa).

2. Vektor hasilinin skalyar əmsala münasibətdə birləşdirici xassələri var, yəni l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

l >0 olsun. l (a xb) vektoru a və b vektorlarına perpendikulyardır. vektor ( l a)x b a və vektorlarına da perpendikulyardır b(a vektorları, l lakin eyni müstəvidə yatın). Bu o deməkdir ki, vektorlar l(a xb) və ( l a)x b kollinear. Aydındır ki, onların istiqamətləri üst-üstə düşür. Eyni uzunluğa malikdirlər:

Buna görə də l(a xb)= l bir xb. üçün də oxşar şəkildə sübut edilmişdir l<0.

3. İki sıfırdan fərqli vektor a və b yalnız və yalnız vektor hasilinin sıfır vektoruna bərabər olduğu halda kollinear olur, yəni a ||b<=>və xb =0.

Xüsusilə, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektor məhsulu paylama xassəsinə malikdir:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Sübutsuz qəbul edəcəyik.

7.3. Çarpaz hasilin koordinatlarla ifadə edilməsi

i vektorlarının çarpaz məhsul cədvəlindən istifadə edəcəyik, j və k:

birinci vektordan ikinciyə ən qısa yolun istiqaməti oxun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda hasil üçüncü vektora bərabərdir, əgər üst-üstə düşmürsə, üçüncü vektor mənfi işarə ilə alınır;

İki a =a x i +a y vektoru verilsin j+a z k və b =b x i+b y j+b z k. Bu vektorların vektor hasilini polinomlara vuraraq tapaq (vektor məhsulunun xassələrinə görə):

Nəticə düsturunu daha qısa şəkildə yazmaq olar:

bərabərliyin sağ tərəfi (7.1) birinci sıranın elementləri baxımından üçüncü dərəcəli determinantın genişlənməsinə uyğun gəldiyindən Bərabərliyi (7.2) yadda saxlamaq asandır.

7.4. Çarpaz məhsulun bəzi tətbiqləri

Vektorların kollinearlığının qurulması

Paraleloqramın və üçbucağın sahəsinin tapılması

Vektorların vektor məhsulunun tərifinə görə A və b |a xb | =|a | * |b |sin g, yəni S cütləri = |a x b |. Və buna görə də D S =1/2|a x b |.

Bir nöqtəyə təsir edən qüvvənin momentinin təyini

A nöqtəsinə qüvvə tətbiq olunsun F =AB gidelim HAQQINDA- kosmosda hansısa nöqtə (bax. Şəkil 20).

Fizikadan məlumdur ki güc anı F nöqtəyə nisbətən HAQQINDA vektor deyilir M, hansı nöqtədən keçir HAQQINDA Və:

1) nöqtələrdən keçən müstəviyə perpendikulyar O, A, B;

2) ədədi olaraq bir qola düşən qüvvənin hasilinə bərabərdir

3) OA və A B vektorları ilə sağ üçlük əmələ gətirir.

Beləliklə, M = OA x F.

Xətti fırlanma sürətinin tapılması

Sürət v bucaq sürəti ilə fırlanan sərt cismin M nöqtəsi w sabit ox ətrafında, Eylerin v =w xr düsturu ilə müəyyən edilir, burada r =OM, burada O oxun hansısa sabit nöqtəsidir (bax. Şəkil 21).