Selles õppetükis vaatleme veel kahte vektoritega tehtust: vektorite vektorkorrutis Ja vektorite segakorrutis (vahetu link neile, kes seda vajavad). Pole hullu, vahel juhtub, et täielikuks õnneks lisaks vektorite skalaarkorrutis, on vaja järjest rohkem. See on vektorsõltuvus. Võib tunduda, et oleme sattumas analüütilise geomeetria džunglisse. See on vale. Kõrgema matemaatika selles osas on puitu üldiselt vähe, välja arvatud ehk piisavalt Pinocchio jaoks. Tegelikult on materjal väga levinud ja lihtne – vaevalt keerulisem kui sama skalaarkorrutis, jääb tüüpilisi ülesandeid veelgi vähem. Peamine asi analüütilises geomeetrias, nagu paljud on veendunud või on juba veendunud, on MITTE MITTE TEHA ARVUTUSTES VIGA. Korrake nagu loitsu ja olete õnnelik =)

Kui vektorid sädelevad kusagil kaugel, nagu välk silmapiiril, pole see oluline, alustage õppetunniga Mannekeenide vektorid taastada või omandada algteadmised vektorite kohta. Ettevalmistumad lugejad saavad teabega tutvuda valikuliselt, püüdsin koguda võimalikult tervikliku näitekogu, mida praktilises töös sageli leidub

Mis teeb sind kohe õnnelikuks? Kui olin väike, oskasin kahe või isegi kolme palliga žongleerida. See tuli hästi välja. Nüüd ei pea te üldse žongleerima, sest me kaalume ainult ruumivektorid, ja kahe koordinaadiga lamevektorid jäetakse välja. Miks? Nii need tegevused sündisid – vektor ja vektorite segakorrutis on defineeritud ja toimivad kolmemõõtmelises ruumis. See on juba lihtsam!

See toiming, nagu ka skalaarkorrutis, hõlmab kaks vektorit. Olgu need kadumatud kirjad.

Tegevus ise tähistatud järgmisel viisil: . On ka teisi võimalusi, aga ma olen harjunud vektorite vektorkorrutist sel viisil tähistama nurksulgudes ristiga.

Ja kohe küsimus: kui sisse vektorite skalaarkorrutis kaasatud on kaks vektorit ja siin korrutatakse ka kaks vektorit, siis mis vahe on? Ilmne erinevus seisneb esiteks TULEMUSES:

Vektorite skalaarkorrutise tulemus on NUMBER:

Vektorite ristkorrutise tulemus on VECTOR: , ehk siis korrutame vektorid ja saame uuesti vektori. Suletud klubi. Tegelikult on operatsiooni nimi pärit siit. Erinevas õppekirjanduses võivad tähistused samuti erineda, kasutan tähte.

Ristkorrutise määratlus

Kõigepealt tuleb pildiga definitsioon, seejärel kommentaarid.

Definitsioon: vektortoode mittekollineaarne vektorid, võetud selles järjekorras, nimega VECTOR, pikkus mis on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga, ehitatud nendele vektoritele; vektor vektoritega ortogonaalne, ja on suunatud nii, et alus oleks õiges suunas:

Jaotame määratluse tükkide kaupa, siin on palju huvitavat!

Seega saab esile tõsta järgmisi olulisi punkte:

1) Algsed vektorid, mis on definitsiooni järgi tähistatud punaste nooltega mitte kollineaarne. Kollineaarsete vektorite juhtumit on asjakohane käsitleda veidi hiljem.

2) Võetakse vektorid rangelt määratletud järjekorras: – "a" korrutatakse arvuga "olla", mitte "olema" koos "a". Vektori korrutamise tulemus on VECTOR, mis on tähistatud sinisega. Kui vektoreid korrutada vastupidises järjekorras, saame pikkuselt võrdse ja vastassuunalise vektori (vaarikavärv). See tähendab, et võrdsus on tõsi .

3) Nüüd tutvume vektorkorrutise geomeetrilise tähendusega. See on väga oluline punkt! Sinise vektori (ja seega ka karmiinpunase vektori) PIKKUS on arvuliselt võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku PIIRKONNAga. Joonisel on see rööpkülik mustaks varjutatud.

Märge : joonis on skemaatiline ja loomulikult ei võrdu vektorkorrutise nimipikkus rööpküliku pindalaga.

Tuletame meelde üht geomeetrilistest valemitest: Rööpküliku pindala on võrdne külgnevate külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega. Seetõttu kehtib ülaltoodu põhjal vektorkorrutise PIKKUSE arvutamise valem:

Rõhutan, et valem käib vektori PIKKUSE kohta, mitte vektori enda kohta. Mis on praktiline tähendus? Ja tähendus on selles, et analüütilise geomeetria probleemide korral leitakse rööpküliku pindala sageli vektorkorrutise kontseptsiooni kaudu:

Saagem teine ​​oluline valem. Rööpküliku diagonaal (punane punktiirjoon) jagab selle kaheks võrdseks kolmnurgaks. Seetõttu saab vektoritele ehitatud kolmnurga pindala (punane varjutus) leida järgmise valemi abil:

4) Sama oluline fakt on see, et vektor on vektoritega ortogonaalne, st . Loomulikult on ka vastassuunaline vektor (vaarikanool) algsete vektoritega ortogonaalne.

5) Vektor on suunatud nii alus Sellel on õige orientatsiooni. Õppetunnis umbes üleminek uuele alusele Rääkisin piisavalt üksikasjalikult tasapinnaline orientatsioon, ja nüüd selgitame välja, mis on ruumi orientatsioon. Ma selgitan teile sõrmedel parem käsi. Vaimselt kombineerida nimetissõrm vektoriga ja keskmine sõrm vektoriga. Sõrmuse sõrm ja väike sõrm suruge see peopessa. Tulemusena pöial– vektorkorrutis vaatab üles. See on paremale orienteeritud alus (joonisel on see). Nüüd muuda vektoreid ( nimetis- ja keskmised sõrmed) mõnes kohas pöörab pöial ümber ja vektorkorrutis vaatab juba alla. See on ka paremale suunatud alus. Teil võib tekkida küsimus: milline alus on vasakule orienteeritud? "Määra" samadele sõrmedele vasak käsi vektorid ja saada ruumi vasakpoolne alus ja vasakpoolne orientatsioon (sel juhul asub pöial alumise vektori suunas). Piltlikult öeldes “väänavad” või orienteerivad need alused ruumi eri suundades. Ja seda kontseptsiooni ei tohiks pidada millekski kaugeks või abstraktseks - näiteks muudab ruumi orientatsiooni kõige tavalisem peegel ja kui "tõmbate peegeldunud objekti vaateklaasist välja", siis üldiselt. ei ole võimalik kombineerida seda "originaaliga". Muide, hoidke kolm sõrme peegli poole ja analüüsige peegeldust ;-)

...kui hea on see, et sa sellest nüüd tead paremale ja vasakule suunatud alused, sest mõne õppejõu väited orientatsiooni muutumise kohta on hirmutavad =)

Kollineaarsete vektorite ristkorrutis

Definitsiooni on üksikasjalikult arutatud, jääb üle välja selgitada, mis juhtub, kui vektorid on kollineaarsed. Kui vektorid on kollineaarsed, siis saab need asetada ühele sirgele ja ka meie rööpkülik “voldib” üheks sirgeks. Selliste ala, nagu matemaatikud ütlevad, degenereerunud rööpkülik on võrdne nulliga. Sama tuleneb valemist - nulli ehk 180 kraadi siinus on võrdne nulliga, mis tähendab, et pindala on null

Seega, kui , siis Ja . Pange tähele, et vektorkorrutis ise on võrdne nullvektoriga, kuid praktikas jäetakse see sageli tähelepanuta ja kirjutatakse, et see on samuti võrdne nulliga.

Erijuhtum on vektori ristkorrutis iseendaga:

Vektorkorrutist kasutades saab kontrollida kolmemõõtmeliste vektorite kollineaarsust ning analüüsime muuhulgas ka seda probleemi.

Praktiliste näidete lahendamiseks võite vajada trigonomeetriline tabel sealt siinuste väärtuste leidmiseks.

Noh, paneme tule põlema:

Näide 1

a) Leia vektorite vektorkorrutise pikkus, kui

b) Leidke vektoritele ehitatud rööpküliku pindala, kui

Lahendus: Ei, see ei ole kirjaviga, teadlikult muutsin punktides algandmed samaks. Sest lahenduste kujundus on erinev!

a) Vastavalt tingimusele peate leidma pikkus vektor (ristkorrutis). Vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Kui teilt küsiti pikkuse kohta, siis vastuses märgime mõõtmed - ühikud.

b) Vastavalt tingimusele peate leidma ruut vektoritele ehitatud rööpkülik. Selle rööpküliku pindala on arvuliselt võrdne vektori korrutise pikkusega:

Vastus:

Pange tähele, et vastus ei räägi üldse vektorkorrutisest, meilt küsiti selle kohta figuuri pindala, vastavalt on mõõde ruutühikutes.

Vaatame alati, MIDA peame vastavalt olukorrale leidma, ja sellest lähtuvalt sõnastame selge vastama. See võib tunduda sõnasõnalisusena, kuid õpetajate seas on palju literaliste ja ülesandel on hea võimalus ülevaatamiseks tagasi saada. Kuigi see ei ole eriti kaugeleulatuv jama – kui vastus on vale, siis jääb mulje, et inimene ei saa lihtsatest asjadest aru ja/või pole ülesande olemusest aru saanud. Kõrgemas matemaatikas ja ka teistes ainetes tuleb seda punkti alati kontrolli all hoida.

Kuhu kadus suur "en" täht? Põhimõtteliselt oleks võinud selle lahendusele täiendavalt külge panna, aga kande lühendamiseks ma seda ei teinud. Loodan, et kõik saavad sellest aru ja tähistavad sama asja.

Populaarne näide isetegemise lahendusest:

Näide 2

Leidke vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Vektorkorrutise kaudu kolmnurga pindala leidmise valem on toodud definitsiooni kommentaarides. Lahendus ja vastus on tunni lõpus.

Praktikas on ülesanne tõesti väga levinud; kolmnurgad võivad teid üldiselt piinata.

Muude probleemide lahendamiseks vajame:

Vektorite vektorkorrutise omadused

Oleme juba vaaginud mõnda vektorprodukti omadust, kuid lisan need sellesse loendisse.

Suvaliste vektorite ja suvalise arvu korral kehtivad järgmised omadused:

1) Teistes teabeallikates ei ole seda elementi atribuutides tavaliselt esile tõstetud, kuid see on praktilises mõttes väga oluline. Nii et las olla.

2) – kinnisvarast on ka eespool juttu, vahel nimetatakse antikommutatiivsus. Teisisõnu, vektorite järjekord on oluline.

3) – assotsiatiivne või assotsiatiivne vektorkorrutise seadused. Konstandid saab hõlpsasti vektorkorrutisest väljapoole teisaldada. Tõesti, mida nad seal tegema peaksid?

4) – levitamine või jaotav vektorkorrutise seadused. Ka klambrite avamisega pole probleeme.

Selle demonstreerimiseks vaatame lühikest näidet:

Näide 3

Leia, kui

Lahendus: Tingimuseks on jällegi vaja leida vektorkorrutise pikkus. Maalime oma miniatuuri:

(1) Vastavalt assotsiatiivsetele seadustele võtame konstandid väljaspool vektorkorrutise ulatust.

(2) Viime konstandi moodulist välja ja moodul “sööb” miinusmärgi. Pikkus ei saa olla negatiivne.

(3) Ülejäänu on selge.

Vastus:

On aeg lisada tulle rohkem puid:

Näide 4

Arvutage vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Lahendus: leidke valemi abil kolmnurga pindala . Konks on selles, et vektorid "tse" ja "de" on ise esitatud vektorite summadena. Siinne algoritm on standardne ja meenutab mõneti tunni näiteid nr 3 ja 4 Vektorite punktkorrutis. Selguse huvides jagame lahenduse kolmeks etapiks:

1) Esimeses etapis väljendame vektorprodukti vektorkorrutise kaudu, tegelikult väljendame vektorit vektori kaudu. Pikkuse kohta pole veel sõnagi!

(1) Asendage vektorite avaldised.

(2) Kasutades distributsiooniseadusi, avame sulud polünoomide korrutamise reegli järgi.

(3) Kasutades assotsiatiivseid seadusi, viime kõik konstandid vektorkorrutistest kaugemale. Väikese kogemuse korral saab 2. ja 3. samme sooritada samaaegselt.

(4) Esimene ja viimane liige on toreda omaduse tõttu võrdsed nulliga (nullvektor). Teises terminis kasutame vektori korrutise antikommutatiivsuse omadust:

(5) Esitame sarnased terminid.

Selle tulemusel selgus, et vektor väljendati vektori kaudu, mille saavutamiseks oli vaja:

2) Teises etapis leiame meile vajaliku vektorkorrutise pikkuse. See toiming sarnaneb näitega 3:

3) Leidke vajaliku kolmnurga pindala:

Lahenduse etapid 2-3 oleks võinud kirjutada ühele reale.

Vastus:

Vaadeldav probleem on testides üsna tavaline, siin on näide selle enda lahendamiseks:

Näide 5

Leia, kui

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus. Vaatame, kui tähelepanelik sa eelmisi näiteid uurides olid ;-)

Vektorite ristkorrutis koordinaatides

, määratud ortonormaalselt, väljendatakse valemiga:

Valem on tõesti lihtne: determinandi ülemisele reale kirjutame koordinaatvektorid, teisele ja kolmandale reale “paneme” vektorite koordinaadid ja paneme ranges järjekorras– kõigepealt “ve” vektori koordinaadid, seejärel “double-ve” vektori koordinaadid. Kui vektoreid on vaja korrutada teises järjekorras, tuleb read vahetada:

Näide 10

Kontrollige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:
A)
b)

Lahendus: Kontroll põhineb ühel selle õppetunni väitel: kui vektorid on kollineaarsed, siis on nende vektorkorrutis võrdne nulliga (nullvektor): .

a) Leidke vektorkorrutis:

Seega ei ole vektorid kollineaarsed.

b) Leidke vektorkorrutis:

Vastus a) mitte kollineaarne, b)

Siin on võib-olla kogu põhiteave vektorite vektorkorrutise kohta.

See jaotis ei ole väga suur, kuna vektorite segakorrutise kasutamisel on vähe probleeme. Tegelikult sõltub kõik määratlusest, geomeetrilisest tähendusest ja paarist töövalemist.

Vektorite segakorrutis on kolme vektori korrutis:

Nii et nad rivistusid nagu rong ega jõua ära oodata, millal neid tuvastatakse.

Esiteks jällegi definitsioon ja pilt:

Definitsioon: Segatööd mitte-tasapinnaline vektorid, võetud selles järjekorras, kutsus rööptahukas maht, mis on üles ehitatud nendele vektoritele, varustatud plussmärgiga, kui alus on õige, ja märgiga –, kui alus on vasakpoolne.

Teeme joonistamise. Meile nähtamatud jooned tõmmatakse punktiirjoontega:

Sukeldume määratlusse:

2) Võetakse vektorid kindlas järjekorras, see tähendab, et vektorite ümberpaigutamine korrutises, nagu võite arvata, ei toimu ilma tagajärgedeta.

3) Enne geomeetrilise tähenduse kommenteerimist märgin ühe ilmse fakti: vektorite segakorrutis on ARV: . Õppekirjanduses võib kujundus veidi erineda, olen harjunud tähistama segatoodet tähega ja arvutuste tulemust tähega “pe”.

A-prioor segaprodukt on rööptahuka ruumala, ehitatud vektoritele (joonis on joonistatud punaste vektorite ja mustade joontega). See tähendab, et arv on võrdne antud rööptahuka helitugevusega.

Märge : Joonis on skemaatiline.

4) Ärgem muretsegem uuesti aluse ja ruumi orientatsiooni mõiste pärast. Lõpuosa tähendus on see, et helitugevusele saab lisada miinusmärgi. Lihtsamalt öeldes võib segatoode olla negatiivne: .

Otseselt definitsioonist tuleneb vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala arvutamise valem.

Enne vektorkorrutise mõiste andmist pöördugem vektorite a →, b →, c → järjestatud kolmiku orientatsiooni küsimuse juurde kolmemõõtmelises ruumis.

Alustuseks paneme ühest punktist kõrvale vektorid a → , b → , c →. Kolmiku a → , b → , c → orientatsioon võib olla parem- või vasakpoolne, olenevalt vektori c → enda suunast. Kolmiku a → , b → , c → tüüp määratakse selle järgi, millises suunas tehakse lühim pööre vektorist a → punkti b → vektori c → lõpust.

Kui sooritada lühim pööre vastupäeva, siis vektorite kolmik a → , b → , c → nimetatakse õige, kui päripäeva – vasakule.

Järgmiseks võtame kaks mittekollineaarset vektorit a → ja b →. Joonistame siis vektorid A B → = a → ja A C → = b → punktist A. Koostame vektori A D → = c →, mis on samaaegselt risti nii A B → kui ka A C →. Seega saame vektori enda A D → = c → koostamisel teha kahte asja, andes sellele kas ühe suuna või vastupidi (vt joonist).

Vektorite järjestatud kolmik a → , b → , c → võib, nagu saime teada, olenevalt vektori suunast olla parem- või vasakpoolne.

Ülaltoodust saame tutvustada vektorkorrutise definitsiooni. See määratlus on antud kahe vektori jaoks, mis on määratletud kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Definitsioon 1

Kahe vektori a → ja b → vektorkorrutis me nimetame sellist vektorit, mis on määratletud kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, nii et:

• kui vektorid a → ja b → on kollineaarsed, on see null;
• see on risti nii vektori a → ​​​​ kui ka vektori b → suhtes, st. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• selle pikkus määratakse valemiga: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• vektorite kolmik a → , b → , c → on sama orientatsiooniga kui antud koordinaatsüsteem.

Vektorite a → ja b → vektorkorrutis on järgmise tähistusega: a → × b →.

Vektorkorrutise koordinaadid

Kuna igal vektoril on koordinaatide süsteemis teatud koordinaadid, saame kasutusele võtta teise vektori korrutise definitsiooni, mis võimaldab leida selle koordinaadid vektorite antud koordinaatide abil.

2. definitsioon

Kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kahe vektori a → = (a x ; a y ; a z) ja b → = (b x ; b y ; b z) vektorkorrutis nimetatakse vektoriks c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kus i → , j → , k → on koordinaatvektorid.

Vektorkorrutist saab esitada kolmandat järku ruutmaatriksi determinandina, kus esimene rida sisaldab vektorvektorid i → , j → , k → , teine ​​rida sisaldab vektori a → koordinaate ja kolmas rida. sisaldab vektori b → koordinaate antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, maatriksi determinant näeb välja selline: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Laiendades selle determinandi esimese rea elementidele, saame võrdsuse: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = a · y b x b → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Ristkorrutise omadused

Teada on, et vektorkorrutis koordinaatides esitatakse maatriksi determinandina c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , siis alusel maatriksdeterminandi omadused kuvatakse järgmised vektorprodukti omadused:

1. antikommutatiivsus a → × b → = - b → × a → ;
2. jaotus a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → või a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assotsiatiivsus λ a → × b → = λ a → × b → või a → × (λ b →) = λ a → × b →, kus λ on suvaline reaalarv.

Nendel omadustel on lihtsad tõendid.

Näitena saame tõestada vektorkorrutise antikommutatiivse omaduse.

Antikommutatiivsuse tõend

Definitsiooni järgi a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ja b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ja kui maatriksi kaks rida vahetatakse, peaks maatriksi determinandi väärtus muutuma vastupidiseks, seetõttu a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , mis ja tõestab, et vektorkorrutis on antikommutatiivne.

Vektortoode – näited ja lahendused

Enamasti on probleeme kolme tüüpi.

Esimest tüüpi ülesannetes on tavaliselt antud kahe vektori pikkused ja nendevaheline nurk ning tuleb leida vektorkorrutise pikkus. Sel juhul kasutage järgmist valemit c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Näide 1

Leia vektorite a → ja b → vektorkorrutise pikkus, kui tead a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Lahendus

Määrates vektorite a → ja b → vektorkorrutise pikkuse, lahendame ülesande: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Vastus: 15 2 2 .

Teist tüüpi ülesannetel on seos vektorite koordinaatidega, nendes vektorkorrutisega, selle pikkusega jne. otsitakse antud vektorite teadaolevate koordinaatide kaudu a → = (a x; a y; a z) Ja b → = (b x ; b y ; b z) .

Seda tüüpi probleemide puhul saate lahendada palju ülesandevalikuid. Näiteks ei saa määrata vektorite a → ja b → koordinaate, vaid nende laiendusi vormi koordinaatvektoriteks b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → ja c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → või vektoreid a → ja b → saab määrata nende alguse koordinaatidega ja lõpp-punktid.

Mõelge järgmistele näidetele.

Näide 2

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud kaks vektorit: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Leidke nende ristprodukt.

Lahendus

Teise definitsiooni järgi leiame kahe vektori vektorkorrutise antud koordinaatides: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Kui kirjutada vektorkorrutis läbi maatriksi determinandi, siis selle näite lahendus näeb välja selline: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Vastus: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Näide 3

Leia vektorite i → - j → ja i → + j → + k → vektorkorrutise pikkus, kus i →, j →, k → on ristkülikukujulise Descartesiuse koordinaatsüsteemi ühikvektorid.

Lahendus

Kõigepealt leiame antud vektorkorrutise i → - j → × i → + j → + k → koordinaadid antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

On teada, et vektoritel i → - j → ja i → + j → + k → on vastavalt koordinaadid (1; - 1; 0) ja (1; 1; 1). Leiame maatriksi determinandi abil vektorkorrutise pikkuse, siis saame i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Seetõttu on vektorkorrutisel i → - j → × i → + j → + k → antud koordinaatsüsteemis koordinaadid (- 1 ; - 1 ; 2).

Vektorkorrutise pikkuse leiame valemi abil (vt vektori pikkuse leidmise osa): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Vastus: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Näide 4

Ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis on antud kolme punkti A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) koordinaadid. Leia mõni vektor, mis on samaaegselt risti A B → ja A C →.

Lahendus

Vektoritel A B → ja A C → on järgmised koordinaadid (- 1 ; 2 ; 2) ja (0 ; 4 ; 1). Olles leidnud vektorite A B → ja A C → vektorkorrutise, on ilmne, et see on definitsiooni järgi risti vektor nii A B → kui ka A C → suhtes, st see on meie probleemi lahendus. Leiame selle A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Vastus: - 6 i → + j → - 4 k → . - üks risti vektoritest.

Kolmandat tüüpi ülesanded on suunatud vektorite vektorkorrutise omaduste kasutamisele. Pärast mille rakendamist saame antud probleemile lahenduse.

Näide 5

Vektorid a → ja b → on risti ja nende pikkused on vastavalt 3 ja 4. Leidke vektorkorrutise 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → pikkus. + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Lahendus

Vektorkorrutise jaotusomaduse järgi saame kirjutada 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Assotsiatiivsuse omaduse järgi võtame arvulised koefitsiendid välja viimase avaldise vektori korrutiste märgist: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorkorrutised a → × a → ja b → × b → on võrdsed 0-ga, kuna a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ja b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, siis 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Vektorkorrutise antikommutatiivsusest järeldub - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Vektorkorrutise omadusi kasutades saame võrrandi 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Tingimuse järgi on vektorid a → ja b → risti, see tähendab, et nendevaheline nurk on võrdne π 2-ga. Nüüd jääb üle vaid asendada leitud väärtused vastavatesse valemitesse: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Vastus: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Vektorite vektorkorrutise pikkus definitsiooni järgi on võrdne a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Kuna on juba teada (koolikursusest), et kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kahe külje pikkuste korrutisest nende külgede vahelise nurga siinusega. Järelikult on vektori korrutise pikkus võrdne rööpküliku pindalaga - kahekordse kolmnurgaga, nimelt külgede korrutisega vektorite a → ja b → kujul, mis on paigutatud ühest punktist siinuse võrra. nendevaheline nurk sin ∠ a →, b →.

See on vektorkorrutise geomeetriline tähendus.

Vektorkorrutise füüsiline tähendus

Mehaanikas, ühes füüsika harudest, saate tänu vektorkorrutisele määrata jõu momendi ruumipunkti suhtes.

3. määratlus

Punktile B rakendatud jõu F → punkti A suhtes punkti A suhtes saame aru järgmisest vektorkorrutisest A B → × F →.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

KOLMEST VEKTORIST SEGATUD JA SELLE OMADUSED

Segatööd kolme vektorit nimetatakse arvuks, mis on võrdne . Määratud . Siin korrutatakse kaks esimest vektorit vektoraalselt ja seejärel korrutatakse saadud vektor skalaarselt kolmanda vektoriga. Ilmselgelt on selline toode teatud arv.

Vaatleme segatoote omadusi.

1. Geomeetriline tähendus segatööd. 3 vektori segakorrutis kuni märgini on võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga nagu servadel, s.t. .

   Seega ja .

   

   Tõestus. Jätame ühise algpunkti vektorid kõrvale ja konstrueerime neile rööptahuka. Tähistame ja paneme tähele, et . Skalaarkorrutise definitsiooni järgi

   Seda eeldades ja tähistades h leida rööptahuka kõrgus.

   Seega, millal

   Kui, siis nii. Seega,.

   Kombineerides mõlemad juhtumid, saame või .

   Eelkõige selle omaduse tõestamisest järeldub, et kui vektorite kolmik on paremkäeline, siis on segakorrutis , ja kui vasakukäeline, siis .

2. Mis tahes vektorite , , võrdsus on tõsi

   Selle omaduse tõestus tuleneb omadusest 1. Tõepoolest, on lihtne näidata, et ja . Veelgi enam, märgid “+” ja “–” võetakse korraga, sest nurgad vektorite ja ja ja vahel on nii teravad kui ka nürid.

3. Kui kaks tegurit on ümber paigutatud, muudab segatoote märki.

   Tõepoolest, kui arvestada segatoodet, siis näiteks või

4. Segakorrutis siis ja ainult siis, kui üks teguritest on võrdne nulliga või vektorid on tasapinnalised.

   Tõestus.

   Seega on 3 vektori koplanaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende segakorrutis on võrdne nulliga. Lisaks järeldub sellest, et kolm vektorit moodustavad ruumis aluse, kui .

   Kui vektorid on antud koordinaatkujul, siis saab näidata, et nende segakorrutis leitakse valemiga:

   .

   Seega on segakorrutis võrdne kolmandat järku determinandiga, mille esimesel real on esimese vektori koordinaadid, teisel real on teise vektori koordinaadid ja kolmandal real on kolmanda vektori koordinaadid.

   Näited.

ANALÜÜTILINE GEOMEETIA RUUMIS

Võrrand F(x, y, z)= 0 defineerib ruumis Oxyz mingi pind, st. punktide asukoht, mille koordinaadid x, y, z rahuldada see võrrand. Seda võrrandit nimetatakse pinnavõrrandiks ja x, y, z– praegused koordinaadid.

Tihti aga ei täpsustata pinda võrrandiga, vaid ruumipunktide kogumina, millel on üks või teine ​​omadus. Sel juhul on vaja leida pinna võrrand selle geomeetriliste omaduste põhjal.

LENNUK.

NORMAALNE TASANDVEKTOR.

ANNA PUNKTI LÄBIB LÄBIVA TASANDI VÕRDS

Vaatleme ruumis suvalist tasapinda σ. Selle asukoht määratakse selle tasapinnaga risti oleva vektori ja mõne fikseeritud punkti määramisega M0(x 0, y 0, z 0), mis asub σ-tasandil.

Tasapinnaga σ risti asetsevat vektorit nimetatakse normaalne selle tasandi vektor. Olgu vektoril koordinaadid .

Tuletame seda punkti läbiva tasandi σ võrrandi M0 ja millel on normaalne vektor. Selleks võtke tasapinnal σ suvaline punkt M(x, y, z) ja arvestage vektoriga .

Mis tahes punkti jaoks MО σ on vektor, mistõttu nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga. See võrdsus on tingimus, et punkt MО σ. See kehtib kõigi selle tasapinna punktide kohta ja rikutakse kohe, kui punkt M asub väljaspool σ tasapinda.

Kui tähistame punkte raadiusvektoriga M, – punkti raadiuse vektor M0, siis saab võrrandi kirjutada kujul

Seda võrrandit nimetatakse vektor tasapinnaline võrrand. Kirjutame selle koordinaatide kujul. Sellest ajast

Niisiis, oleme saanud seda punkti läbiva tasapinna võrrandi. Seega on tasapinna võrrandi loomiseks vaja teada normaalvektori koordinaate ja mõne tasapinnal asuva punkti koordinaate.

Pange tähele, et tasapinna võrrand on 1. astme võrrand praeguste koordinaatide suhtes x, y Ja z.

Näited.

TASAKANDI ÜLDVÕRDEND

Võib näidata, et mis tahes esimese astme võrrand Descartes'i koordinaatide suhtes x, y, z kujutab teatud tasandi võrrandit. See võrrand on kirjutatud järgmiselt:

Ax+By+Cz+D=0

ja kutsutakse üldvõrrand tasapind ja koordinaadid A, B, C siin on tasapinna normaalvektori koordinaadid.

Vaatleme üldvõrrandi erijuhtumeid. Uurime, kuidas paikneb tasapind koordinaatsüsteemi suhtes, kui võrrandi üks või mitu kordaja muutub nulliks.

A on telje tasapinna poolt ära lõigatud segmendi pikkus Ox. Samamoodi võib näidata, et b Ja c– vaadeldava tasapinna poolt ära lõigatud segmentide pikkused telgedel Oy Ja Oz.

Tasapindade konstrueerimiseks on mugav kasutada tasandi võrrandit segmentides.

7.1. Ristkorrutise määratlus

Kolm mittetasatasandilist vektorit a, b ja c, mis on võetud näidatud järjekorras, moodustavad parempoolse kolmiku, kui kolmanda vektori c lõpust on näha lühim pööre esimesest vektorist a teise vektorisse b. olema vastupäeva ja vasakukäeline kolmik, kui päripäeva (vt joonis . 16).

Vektorite a ja vektori b vektorkorrutist nimetatakse vektoriks c, mis:

1. Risti vektoritega a ja b, st c ^ a ja c ^ b ;

2. Selle pikkus on arvuliselt võrdne vektoritele a ja konstrueeritud rööpküliku pindalagab nagu külgedel (vt joon. 17), st.

3. Vektorid a, b ja c moodustavad paremakäelise kolmiku.

Ristkorrutist tähistatakse a x b või [a,b]. Järgmised seosed ühikvektorite i vahel tulenevad otseselt vektorkorrutise definitsioonist, j Ja k(vt joonis 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Tõestame seda näiteks i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, kuid | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorid i, j ja k moodustavad parempoolse kolmiku (vt joon. 16).

7.2. Ristkorrutise omadused

1. Faktorite ümberkorraldamisel muudab vektorkorrutis märki, s.o. ja xb =(b xa) (vt joonis 19).

Vektorid a xb ja b xa on kollineaarsed, neil on samad moodulid (rööpküliku pindala jääb muutumatuks), kuid on vastupidise suunaga (vastupidise orientatsiooni kolmikud a, b, a xb ja a, b, b x a). See on axb = -(b xa).

2. Vektorkorrutisel on skalaarteguri suhtes kombineeriv omadus, st l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Olgu l >0. Vektor l (a xb) on risti vektoritega a ja b. Vektor ( l a)x b on samuti risti vektoritega a ja b(vektorid a, l kuid lebavad samas tasapinnas). See tähendab, et vektorid l(a xb) ja ( l a)x b kollineaarne. On ilmne, et nende suunad langevad kokku. Neil on sama pikkus:

Sellepärast l(a xb)= l a xb. Seda tõestatakse sarnasel viisil l<0.

3. Kaks nullist erinevat vektorit a ja b on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga, st a ||b<=>ja xb = 0.

Täpsemalt i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorkorrutisel on jaotusomadus:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Võtame vastu ilma tõenditeta.

7.3. Ristkorrutise väljendamine koordinaatidena

Kasutame vektorite i ristkorrutistabelit, j ja k:

kui lühima tee suund esimesest vektorist teise kattub noole suunaga, siis on korrutis võrdne kolmanda vektoriga, kui see ei lange kokku, võetakse kolmas vektor miinusmärgiga.

Olgu antud kaks vektorit a =a x i +a y j+a z k ja b = b x i+b a j+b z k. Leiame nende vektorite vektorkorrutise, korrutades need polünoomidena (vastavalt vektorkorrutise omadustele):

Saadud valemi saab kirjutada veelgi lühidalt:

kuna võrdsuse (7.1) parem pool vastab kolmandat järku determinandi laiendusele esimese rea elementide osas Võrdsust (7.2) on lihtne meelde jätta.

7.4. Mõned risttoote rakendused

Vektorite kollineaarsuse tuvastamine

Rööpküliku ja kolmnurga pindala leidmine

Vastavalt vektorite vektorkorrutisele A ja b |a xb | =|a | * |b |sin g, st S paari = |a x b |. Ja seetõttu D S =1/2|a x b |.

Punkti suhtes mõjuva jõumomendi määramine

Punkti A rakendatakse jõudu F = AB lase sel minna KOHTA- mingi punkt ruumis (vt joonis 20).

Füüsikast on teada, et jõumoment F punkti suhtes KOHTA nimetatakse vektoriks M, mis läbib punkti KOHTA Ja:

1) risti punkte läbiva tasapinnaga O, A, B;

2) arvuliselt võrdne jõu korrutisega käe kohta

3) moodustab parempoolse kolmiku vektoritega OA ja A B.

Seetõttu M = OA x F.

Lineaarse pöörlemiskiiruse leidmine

Kiirus v nurkkiirusega pöörleva jäiga keha punkt M wümber fikseeritud telje, määratakse Euleri valemiga v =w xr, kus r =OM, kus O on telje mingi fikseeritud punkt (vt joonis 21).

Selles artiklis vaatleme lähemalt kahe vektori ristkorrutise kontseptsiooni. Anname vajalikud definitsioonid, kirjutame valemi vektorkorrutise koordinaatide leidmiseks, loetleme ja põhjendame selle omadusi. Pärast seda peatume kahe vektori vektorkorrutise geomeetrilisel tähendusel ja kaalume erinevate tüüpiliste näidete lahendusi.

Leheküljel navigeerimine.

Ristkorrutise määratlus.

Enne vektorkorrutise määratlemist mõistame järjestatud vektorite kolmiku orientatsiooni kolmemõõtmelises ruumis.

Joonistame vektorid ühest punktist. Sõltuvalt vektori suunast võivad need kolm olla paremal või vasakul. Vaatame vektori lõpust, kuidas lühim pööre vektorist . Kui lühim pöörlemine toimub vastupäeva, siis kutsutakse vektorite kolmik õige, muidu - vasakule.

Nüüd võtame kaks mittekollineaarset vektorit ja . Joonistame vektorid ja punktist A. Ehitame mõne vektori, mis on risti mõlema ja ja . Ilmselgelt saame vektori konstrueerimisel teha kahte asja, andes sellele kas ühe suuna või vastupidi (vt joonist).

Sõltuvalt vektori suunast võib vektorite järjestatud kolmik olla parem- või vasakukäeline.

See viib meid vektorkorrutise definitsiooni lähedale. See on antud kahe vektori jaoks, mis on määratletud kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Definitsioon.

Kahe vektori ristkorrutis ja , mis on määratud kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, nimetatakse vektoriks nii, et

Vektorite ja ristkorrutis on tähistatud kui .

Vektorkorrutise koordinaadid.

Nüüd anname vektorkorrutise teise definitsiooni, mis võimaldab leida selle koordinaadid antud vektorite koordinaatidest ja.

Definitsioon.

Kolmemõõtmelise ruumi ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kahe vektori vektorkorrutis Ja on vektor , kus on koordinaatvektorid.

See määratlus annab meile ristkorrutise koordinaatide kujul.

Vektorkorrutist on mugav esitada kolmandat järku ruutmaatriksi determinandina, mille esimeses reas on vektorid, teisel real on vektori koordinaadid ja kolmandal on antud vektori koordinaadid. ristkülikukujuline koordinaatsüsteem:

Kui laiendame selle determinandi esimese rea elementideks, saame vektorkorrutise definitsioonist võrdsuse koordinaatides (vajadusel vaadake artiklit):

Tuleb märkida, et vektorkorrutise koordinaatvorm on täielikult kooskõlas käesoleva artikli esimeses lõigus esitatud määratlusega. Pealegi on need kaks ristkorrutise määratlust samaväärsed. Selle fakti tõestust näete artikli lõpus loetletud raamatus.

Vektorkorrutise omadused.

Kuna vektori korrutist koordinaatides saab esitada maatriksi determinandina, saab selle põhjal hõlpsasti põhjendada järgmist ristprodukti omadused:

Näitena tõestame vektorkorrutise antikommutatiivset omadust.

A-prioor Ja . Teame, et maatriksi determinandi väärtus muutub kahe rea vahetamisel ümber, seega , mis tõestab vektorprodukti antikommutatiivset omadust.

Vektortoode – näited ja lahendused.

Peamiselt on kolme tüüpi probleeme.

Esimest tüüpi ülesannetes on antud kahe vektori pikkused ja nendevaheline nurk ning tuleb leida vektorkorrutise pikkus. Sel juhul kasutatakse valemit .

Näide.

Leia pikkus vektorkorrutis vektorite ja , kui see on teada .

Lahendus.

Definitsioonist teame, et vektorite vektorkorrutise pikkus ja võrdub vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega, seega .

Vastus:

.

Teist tüüpi ülesanded on seotud vektorite koordinaatidega, milles otsitakse vektorkorrutist, selle pikkust või midagi muud läbi antud vektorite koordinaatide. Ja .

Siin on palju erinevaid võimalusi. Näiteks ei saa määrata mitte vektorite ja koordinaate, vaid nende laiendusi vormi koordinaatvektoriteks ja , või vektorid ning neid saab määrata nende algus- ja lõpp-punkti koordinaatidega.

Vaatame tüüpilisi näiteid.

Näide.

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud kaks vektorit . Leidke nende ristprodukt.

Lahendus.

Teise definitsiooni kohaselt kirjutatakse kahe vektori vektorkorrutis koordinaatides järgmiselt:

Sama tulemuseni oleksime jõudnud, kui vektorkorrutis oleks kirjutatud determinandi järgi

Vastus:

.

Näide.

Leia vektorite vektorkorrutise pikkus ja , kus on ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi ühikvektorid.

Lahendus.

Kõigepealt leiame vektorkorrutise koordinaadid antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Kuna vektorid ja omavad vastavalt koordinaate ja (vajadusel vaata artiklit vektori koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis), siis vektori korrutise teise definitsiooniga saame

See tähendab, vektorkorrutis omab koordinaate antud koordinaatsüsteemis.

Vektorkorrutise pikkuse leiame selle koordinaatide ruutude summa ruutjuurena (selle vektori pikkuse valemi saime vektori pikkuse leidmise jaotises):

Vastus:

.

Näide.

Ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis on antud kolme punkti koordinaadid. Leia mõni vektor, mis on risti ja samal ajal.

Lahendus.

Vektorid ja neil on vastavalt koordinaadid ja (vt artiklit vektori koordinaatide leidmine punktide koordinaatide kaudu). Kui leiame vektorite ja vektorkorrutise, siis definitsiooni järgi on see vektor, mis on risti nii - kui ka -ga, see tähendab, et see on meie probleemi lahendus. Otsime ta üles

Vastus:

- üks risti vektoritest.

Kolmandat tüüpi ülesannetes pannakse proovile vektorite vektorkorrutise omaduste kasutamise oskus. Pärast omaduste rakendamist rakendatakse vastavad valemid.

Näide.

Vektorid ja on risti ja nende pikkused on vastavalt 3 ja 4. Leidke ristkorrutise pikkus .

Lahendus.

Vektorkorrutise jaotusomaduse järgi saame kirjutada

Kombinatsiooniomaduse tõttu võtame arvulised koefitsiendid viimase avaldise vektori korrutiste märgist välja:

Vektorkorrutised ja on võrdsed nulliga, kuna Ja , Siis.

Kuna vektorkorrutis on antikommutatiivne, siis .

Niisiis, kasutades vektorkorrutise omadusi, jõudsime võrdsuseni .

Tingimuse järgi on vektorid ja risti, see tähendab, et nendevaheline nurk on võrdne . See tähendab, et meil on kõik andmed vajaliku pikkuse leidmiseks

Vastus:

.

Vektorkorrutise geomeetriline tähendus.

Definitsiooni järgi on vektorite vektorkorrutise pikkus . Ja keskkooli geomeetriakursusest teame, et kolmnurga pindala on võrdne poolega kolmnurga kahe külje pikkuste ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest. Järelikult on vektorkorrutise pikkus võrdne kahekordse kolmnurga pindalaga, mille külgedeks on vektorid ja , kui need on joonistatud ühest punktist. Teisisõnu, vektorite ja vektorkorrutise pikkus võrdub rööpküliku pindalaga, mille küljed ja ja nendevaheline nurk on võrdne . See on vektorkorrutise geomeetriline tähendus.