Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oskus neid lahendada on absoluutselt vajalik.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist pange tähele, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:

1. ei oma juuri;
2. neil on täpselt üks juur;
3. Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus ruutvõrrandid lineaarsetest, kus juur on alati olemas ja kordumatu. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Olgu antud ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0. Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac.

Peate seda valemit peast teadma. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

1. Kui D< 0, корней нет;
2. Kui D = 0, on täpselt üks juur;
3. Kui D > 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel usuvad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

1. x 2 – 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 – 6x + 9 = 0.

Kirjutame välja esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskrimineerija:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit sarnasel viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane järelejäänud võrrand on:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskrimineeriv võrdne nulliga- tuleb üks juur.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on koefitsiendid üles kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu, kuid te ei aja tõenäosust segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui saate asjast aru, ei pea te mõne aja pärast kõiki koefitsiente üles kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit – üldiselt mitte nii palju.

Ruutvõrrandi juured

Liigume nüüd edasi lahenduse enda juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest - saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Leiame need:

Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles

\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siingi aitab ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, kirjutage iga samm üles - ja varsti saate vigadest lahti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb veidi definitsioonis esitatust. Näiteks:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

On lihtne märgata, et nendel võrranditel puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: need ei nõua isegi diskriminandi arvutamist. Niisiis, tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on võrdne nulliga.

Muidugi on võimalik väga keeruline juhtum, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b = c = 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 = 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x = 0.

Vaatleme ülejäänud juhtumeid. Olgu b = 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c = 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mitte- negatiivne arv, on viimane võrdsus mõttekas ainult juhul, kui (−c /a) ≥ 0. Järeldus:

1. Kui mittetäielikus ruutvõrrandis kujul ax 2 + c = 0 on ebavõrdsus (−c /a) ≥ 0 täidetud, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
2. Kui (-c /a)< 0, корней нет.

Nagu näete, polnud diskriminanti vaja - mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerukad arvutused. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c /a) ≥ 0. Piisab kui väljendada väärtust x 2 ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.

Vaatame nüüd võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi arvutamisest:

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks vaatame mõnda neist võrranditest:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

1. x 2 – 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Diskriminanti, nagu ruutvõrrandeidgi, hakatakse algebrakursusel õppima 8. klassis. Ruutvõrrandi saab lahendada diskriminandi ja Vieta teoreemi abil. Ruutvõrrandite ja ka diskrimineerivate valemite uurimismeetodit õpetatakse koolilastele üsna ebaõnnestunult, nagu paljusid asju reaalhariduses. Seetõttu nad mööduvad kooliaastaid, haridus 9-11 klassis asendab " kõrgharidus"ja kõik vaatavad uuesti - "Kuidas lahendada ruutvõrrandit?", "Kuidas leida võrrandi juuri?", "Kuidas leida diskriminant?" Ja...

Diskrimineeriv valem

Ruutvõrrandi a*x^2+bx+c=0 diskriminant D on võrdne D=b^2–4*a*c.
Ruutvõrrandi juured (lahendused) sõltuvad diskriminandi märgist (D):
D>0 – võrrandil on 2 erinevat reaaljuurt;
D=0 – võrrandil on 1 juur (2 vastavat juurt):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminandi arvutamise valem on üsna lihtne, nii et paljud saidid pakuvad online-diskriminandi kalkulaatorit. Me pole seda tüüpi skripte veel välja mõelnud, nii et kui keegi teab, kuidas seda rakendada, siis palun kirjutage meile e-posti teel See e-posti aadress on spämmirobotite eest kaitstud. Selle vaatamiseks peab teil olema JavaScript lubatud. .

Üldvalem ruutvõrrandi juurte leidmiseks:

Valemi abil leiame võrrandi juured
Kui ruudukujulise muutuja koefitsient on paaris, siis on soovitatav arvutada mitte diskriminant, vaid selle neljas osa
Sellistel juhtudel leitakse võrrandi juured valemi abil

Teine viis juurte leidmiseks on Vieta teoreem.

Teoreem on sõnastatud mitte ainult ruutvõrrandite, vaid ka polünoomide jaoks. Saate seda lugeda Wikipediast või muudest elektroonilistest allikatest. Kuid lihtsustamise mõttes vaatleme seda osa, mis puudutab ülaltoodud ruutvõrrandeid, st võrrandeid kujul (a=1)
Vieta valemite olemus seisneb selles, et võrrandi juurte summa võrdub muutuja koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga. Võrrandi juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Vieta teoreemi saab kirjutada valemitega.
Vieta valemi tuletamine on üsna lihtne. Kirjutame ruutvõrrandi lihtsate tegurite kaudu
Nagu näete, on kõik geniaalne samal ajal lihtne. Vieta valemit on efektiivne kasutada, kui juurte moodulite erinevus või juurte moodulite erinevus on 1, 2. Näiteks järgmistel võrranditel on Vieta teoreemi järgi juured




Kuni võrrandini 4 peaks analüüs välja nägema selline. Võrrandi juurte korrutis on 6, seetõttu võivad juurteks olla väärtused (1, 6) ja (2, 3) või vastandmärgiga paarid. Juurte summa on 7 (vastupidise märgiga muutuja koefitsient). Siit järeldame, et ruutvõrrandi lahendid on x=2; x=3.
Lihtsam on valida vabaliikme jagajate hulgast võrrandi juuri, kohandades nende märki, et täita Vieta valemeid. Alguses tundub seda keeruline teha, kuid mitme ruutvõrrandi harjutamisel osutub see tehnika tõhusamaks kui diskriminandi arvutamine ja ruutvõrrandi juurte leidmine klassikalisel viisil.
Nagu näete, puudub diskriminandi uurimise kooliteoorial ja võrrandile lahenduste leidmise meetoditel praktiline tähendus - "Miks on koolilastele ruutvõrrandit vaja?", "Mis on diskrimineerija füüsiline tähendus?"

Proovime selle välja mõelda Mida diskriminant kirjeldab?

Algebra kursusel õpitakse funktsioone, funktsioonide uurimise skeeme ja funktsioonide graafiku koostamist. Kõigist funktsioonidest on olulisel kohal parabool, mille võrrandi saab kirjutada kujul
Seega on ruutvõrrandi füüsikaline tähendus parabooli nullpunktid, st funktsiooni graafiku lõikepunktid abstsissteljega Ox
Palun teil meeles pidada allpool kirjeldatud paraboolide omadusi. Saabub aeg sooritada eksamid, katsed või sisseastumiseksamid ja olete tänulik võrdlusmaterjali eest. Ruutmuutuja märk vastab sellele, kas parabooli harud graafikul tõusevad (a>0),

või parabool, mille oksad on allapoole (a<0) .

Parabooli tipp asub juurte vahel keskel

Diskriminandi füüsiline tähendus:

Kui diskriminant on suurem kui null (D>0), on paraboolil kaks lõikepunkti Ox-teljega.
Kui diskriminant on null (D=0), siis tipus olev parabool puudutab x-telge.
Ja viimane juhtum, kui diskriminant on väiksem kui null (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Selle matemaatikaprogrammiga saate ruutvõrrandi lahendamine.

Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid kuvab ka lahendusprotsessi kahel viisil:
- diskriminandi kasutamine
- kasutades Vieta teoreemi (võimalusel).

Pealegi kuvatakse vastus täpse, mitte ligikaudsena.
Näiteks võrrandi \(81x^2-16x-1=0\) puhul kuvatakse vastus järgmisel kujul:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ja mitte nii: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

See programm võib olla kasulik üldhariduskoolide gümnaasiumiõpilastele katseteks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit ning vanematele paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamise kontrollimisel. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt oma matemaatika või algebra kodutöö võimalikult kiiresti valmis saada? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.

Nii saate ise läbi viia koolitusi ja/või nooremate vendade või õdede koolitust, samal ajal tõuseb haridustase probleemide lahendamise alal.

Kui te ei ole kursis ruutpolünoomi sisestamise reeglitega, soovitame teil nendega tutvuda.

Ruutpolünoomi sisestamise reeglid

Muutujana võib toimida mis tahes ladina täht.
Näiteks: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) jne.

Arve saab sisestada täis- või murdarvuna.
Veelgi enam, murdarvu saab sisestada mitte ainult kümnendkoha, vaid ka tavalise murru kujul.

Kümnendmurdude sisestamise reeglid.
Kümnendmurdudes saab murdosa tervikosast eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks võite sisestada kümnendmurrud järgmiselt: 2,5x - 3,5x^2

Harilike murdude sisestamise reeglid.
Murru lugeja, nimetaja ja täisarvuna saab toimida ainult täisarv.

Nimetaja ei saa olla negatiivne.

Numbrimurru sisestamisel eraldatakse lugeja nimetajast jagamismärgiga: /
Kogu osa eraldatakse murdosast ampersandi märgiga: &
Sisend: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Tulemus: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Väljendi sisestamisel võite kasutada sulgusid. Sel juhul ruutvõrrandi lahendamisel esmalt lihtsustatakse sisestatud avaldist.
Näiteks: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Otsustama

Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

JavaScript on teie brauseris keelatud.
Lahenduse kuvamiseks peate lubama JavaScripti.
Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis võite sellest kirjutada Tagasiside vorm.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Ruutvõrrand ja selle juured. Mittetäielikud ruutvõrrandid

Iga võrrand
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
paistab nagu
\(ax^2+bx+c=0, \)
kus x on muutuja, a, b ja c on arvud.
Esimeses võrrandis a = -1, b = 6 ja c = 1,4, teises a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmandas a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Selliseid võrrandeid nimetatakse ruutvõrrandid.

Definitsioon.
Ruutvõrrand nimetatakse võrrandiks kujul ax 2 +bx+c=0, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud ja \(a \neq 0 \).

Arvud a, b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid. Arvu a nimetatakse esimeseks koefitsiendiks, arvu b on teiseks koefitsiendiks ja arvu c on vaba liige.

Igas võrrandis kujul ax 2 +bx+c=0, kus \(a\neq 0\) on muutuja x suurim aste ruut. Sellest ka nimi: ruutvõrrand.

Pange tähele, et ruutvõrrandit nimetatakse ka teise astme võrrandiks, kuna selle vasak pool on teise astme polünoom.

Nimetatakse ruutvõrrand, milles koefitsient x 2 on võrdne 1-ga antud ruutvõrrand. Näiteks antud ruutvõrrandid on võrrandid
\(x^2-11x+30=0, \neli x^2-6x=0, \neli x^2-8=0 \)

Kui ruutvõrrandis ax 2 +bx+c=0 on vähemalt üks koefitsientidest b või c võrdne nulliga, siis nimetatakse sellist võrrandit. mittetäielik ruutvõrrand. Seega võrrandid -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 on mittetäielikud ruutvõrrandid. Esimeses neist b=0, teises c=0, kolmandas b=0 ja c=0.

Mittetäielikke ruutvõrrandeid on kolme tüüpi:
1) ax 2 +c=0, kus \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kus \(b \neq 0 \);
3) kirves 2 =0.

Vaatleme igat tüüpi võrrandite lahendamist.

Mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 +c=0 lahendamiseks \(c \neq 0 \) nihutage selle vaba liiget paremale ja jagage võrrandi mõlemad pooled a-ga:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Paremnool x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kuna \(c \neq 0 \), siis \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Kui \(-\frac(c)(a)>0\), siis on võrrandil kaks juurt.

Kui \(-\frac(c)(a) Mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamiseks kujul ax 2 +bx=0 koos \(b \neq 0 \) laiendage seda vasak pool tegurite järgi ja saada võrrand
\(x(ax+b)=0 \Paremnool \left\( \begin(massiivi)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(massiivi) \right. \Rightarrow \left\( \begin (massiivi)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(massiivi) \right. \)

See tähendab, et mittetäielikul ruutvõrrandil kujul ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) korral on alati kaks juurt.

Mittetäielik ruutvõrrand kujul ax 2 =0 on samaväärne võrrandiga x 2 =0 ja seetõttu on sellel üks juur 0.

Ruutvõrrandi juurte valem

Vaatleme nüüd, kuidas lahendada ruutvõrrandid, milles nii tundmatute koefitsiendid kui ka vaba liige on nullist erinevad.

Lahendame ruutvõrrandi üldkujul ja saame selle tulemusena juurte valemi. Seda valemit saab seejärel kasutada mis tahes ruutvõrrandi lahendamiseks.

Lahenda ruutvõrrand ax 2 +bx+c=0

Jagades mõlemad pooled a-ga, saame ekvivalentse taandatud ruutvõrrandi
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Teisendame selle võrrandi, valides binoomi ruudu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \paremnool \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Paremnool \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Paremnool \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Paremnool \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Paremnool x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Paremnool \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikaalset väljendit nimetatakse ruutvõrrandi diskriminant ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” ladina keeles – diskrimineerija). Seda tähistatakse tähega D, st.
\(D = b^2-4ac\)

Nüüd, kasutades diskrimineerivat tähistust, kirjutame ruutvõrrandi juurte valemi ümber:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kus \(D= b^2-4ac \)

On ilmne, et:
1) Kui D>0, siis ruutvõrrandil on kaks juurt.
2) Kui D=0, siis ruutvõrrandil on üks juur \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Kui D Seega, olenevalt diskriminandi väärtusest võib ruutvõrrandil olla kaks juurt (D > 0 puhul), üks juur (D = 0 korral) või juurteta (D puhul Ruutvõrrandi lahendamisel selle abil valemiga, on soovitatav teha järgmine viis:
1) arvutada diskriminant ja võrrelda seda nulliga;
2) kui diskriminant on positiivne või võrdne nulliga, siis kasuta juurvalemit, kui diskriminant on negatiivne, siis pane kirja, et juuri pole.

Vieta teoreem

Antud ruutvõrrandis ax 2 -7x+10=0 on juured 2 ja 5. Juurte summa on 7 ja korrutis on 10. Näeme, et juurte summa võrdub teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidisega märk ja juurte korrutis võrdub vaba liikmega. See omadus on igal redutseeritud ruutvõrrandil, millel on juured.

Ülaltoodud ruutvõrrandi juurte summa võrdub teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega.

Need. Vieta teoreem ütleb, et taandatud ruutvõrrandi x 2 +px+q=0 juurtel x 1 ja x 2 on omadus:
\(\left\( \begin(massiivi)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(massiivi) \right. \)

Mõned matemaatika ülesanded nõuavad ruutjuure väärtuse arvutamise oskust. Selliste probleemide hulka kuulub ka teist järku võrrandite lahendamine. Selles artiklis tutvustame tõhus meetod ruutjuurte arvutamine ja kasutada seda ruutvõrrandi juurte valemitega töötamisel.

Mis on ruutjuur?

Matemaatikas vastab sellele mõistele sümbol √. Ajaloolised andmed ütlevad, et seda kasutati esmakordselt umbes 16. sajandi esimesel poolel Saksamaal (Christoph Rudolfi esimene algebrateos saksa keeles). Teadlased usuvad, et määratud sümbol on teisendatud Ladina täht r (radix tähendab ladina keeles "juur").

Mis tahes arvu juur on võrdne väärtusega, mille ruut vastab radikaalavaldisele. Matemaatika keeles näeb see definitsioon välja selline: √x = y, kui y 2 = x.

Juur positiivne arv(x > 0) on samuti positiivne arv (y > 0), aga kui võtta negatiivse arvu (x) juur< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Siin on kaks lihtsat näidet:

√9 = 3, kuna 3 2 = 9; √(-9) = 3i, kuna i 2 = -1.

Heroni iteratiivne valem ruutjuurte väärtuste leidmiseks

Ülaltoodud näited on väga lihtsad ja nende juurte arvutamine pole keeruline. Raskused hakkavad ilmnema juurväärtuste leidmisel mis tahes väärtusele, mida ei saa ruuduna esitada naturaalarv, näiteks √10, √11, √12, √13, rääkimata sellest, et praktikas on vaja leida juured mittetäisarvudele: näiteks √(12,15), √(8,5) ja nii edasi.

Kõigil ülaltoodud juhtudel peaksite kasutama eriline meetod ruutjuure arvutused. Praegu on teada mitmeid selliseid meetodeid: näiteks Taylori seeria laiendamine, veergude jagamine ja mõned teised. Kõigist teadaolevatest meetoditest on ehk kõige lihtsam ja tõhusam Heroni iteratiivse valemi kasutamine, mida tuntakse ka kui Babüloonia viis ruutjuurte määramine (on tõendeid, et muistsed babüloonlased kasutasid seda oma praktilistes arvutustes).

Olgu vaja määrata √x väärtus. Valemi leidmine ruutjuur sellel on järgmine vorm:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kus lim n->∞ (a n) => x.

Dešifreerime selle matemaatiline tähistus. √x arvutamiseks tuleks võtta teatud arv a 0 (see võib olla suvaline, kuid kiire tulemuse saamiseks tuleks see valida nii, et (a 0) 2 oleks x-le võimalikult lähedal. Seejärel asendage see arvuga näidatud valem ruutjuure arvutamiseks ja saada uus arv a 1, mis on juba soovitud väärtusele lähemal. Pärast seda tuleb avaldises asendada 1 ja saada 2. Seda protseduuri tuleb korrata kuni nõutud väärtuseni saavutatakse täpsus.

Näide Heroni iteratiivse valemi kasutamisest

Eespool kirjeldatud algoritm antud arvu ruutjuure saamiseks võib paljude jaoks tunduda üsna keeruline ja segane, kuid tegelikult osutub kõik palju lihtsamaks, kuna see valem läheneb väga kiiresti (eriti kui valite õnnenumber a 0).

Toome lihtsa näite: peate arvutama √11. Valime 0 = 3, kuna 3 2 = 9, mis on lähemal 11-le kui 4 2 = 16. Asendades valemisse, saame:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Arvutamist pole mõtet jätkata, kuna leidsime, et 2 ja 3 hakkavad erinema alles 5. kohta pärast koma. Seega piisas valemi rakendamisest vaid 2 korda, et arvutada √11 täpsusega 0,0001.

Tänapäeval kasutatakse juurte arvutamiseks laialdaselt kalkulaatoreid ja arvuteid, kuid nende täpse väärtuse käsitsi arvutamiseks on kasulik meeles pidada märgitud valemit.

Teist järku võrrandid

Ruutjuure mõistmist ja selle arvutamise oskust kasutatakse ruutvõrrandite lahendamisel. Neid võrrandeid nimetatakse võrdusteks ühe tundmatuga, üldine vorm mis on näidatud alloleval joonisel.

Siin tähistavad c, b ja a mõningaid numbreid ja a ei tohi olla võrdne nulliga ning c ja b väärtused võivad olla täiesti suvalised, sealhulgas nulliga võrdsed.

Kõiki x väärtusi, mis vastavad joonisel näidatud võrdusele, nimetatakse selle juurteks (seda mõistet ei tohiks segi ajada ruutjuurega √). Kuna vaadeldav võrrand on teist järku (x 2), siis ei saa sellel olla rohkem kui kaks juurt. Vaatame artiklis lähemalt, kuidas neid juuri leida.

Ruutvõrrandi (valemi) juurte leidmine

Seda vaadeldava tüüpi võrduste lahendamise meetodit nimetatakse ka universaalmeetodiks või diskrimineerivaks meetodiks. Seda saab kasutada mis tahes ruutvõrrandi jaoks. Ruutvõrrandi diskriminandi ja juurte valem on järgmine:

See näitab, et juured sõltuvad võrrandi iga kolme koefitsiendi väärtusest. Pealegi erineb x 1 arvutamine x 2 arvutamisest ainult ruutjuure ees oleva märgi poolest. Radikaalne avaldis, mis on võrdne b 2 - 4ac, pole midagi muud kui kõnealuse võrdsuse diskriminant. Ruutvõrrandi juurte valemis olev diskriminant mängib olulist rolli, kuna see määrab lahenduste arvu ja tüübi. Seega, kui see on võrdne nulliga, on ainult üks lahend, kui see on positiivne, siis on võrrandil kaks reaaljuurt ja lõpuks, negatiivne diskriminant viib kahe kompleksjuureni x 1 ja x 2.

Vieta teoreem või mõned teist järku võrrandite juurte omadused

IN XVI lõpp sajandil suutis üks kaasaegse algebra rajajaid, prantslane, uurides teist järku võrrandeid, saada selle juurte omadused. Matemaatiliselt saab need kirjutada järgmiselt:

x 1 + x 2 = -b / a ja x 1 * x 2 = c / a.

Mõlemat võrdsust saab igaüks hõlpsasti omandada, selleks tuleb lihtsalt täita vastav matemaatilised tehted diskriminandiga valemi kaudu saadud juurtega.

Nende kahe avaldise kombinatsiooni võib õigustatult nimetada ruutvõrrandi juurte teiseks valemiks, mis võimaldab arvata selle lahendeid ilma diskriminanti kasutamata. Siinkohal tuleb märkida, et kuigi mõlemad avaldised on alati kehtivad, on võrrandi lahendamisel neid mugav kasutada ainult siis, kui seda saab faktoriseerida.

Omandatud teadmiste kinnistamise ülesanne

Lahendame matemaatilise probleemi, milles demonstreerime kõiki artiklis käsitletud tehnikaid. Ülesande tingimused on järgmised: peate leidma kaks arvu, mille korrutis on -13 ja summa on 4.

See tingimus tuletab meile kohe meelde Vieta teoreemi; kasutades ruutjuurte ja nende korrutise summa valemeid, kirjutame:

x 1 + x 2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Kui eeldame, et a = 1, siis b = -4 ja c = -13. Need koefitsiendid võimaldavad meil luua teist järku võrrandi:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Kasutame valemit koos diskriminandiga ja saame järgmised juured:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16–4 * 1 * (–13) = 68.

See tähendab, et probleem taandus numbri √68 leidmisele. Pange tähele, et 68 = 4 * 17, siis ruutjuure omadust kasutades saame: √68 = 2√17.

Nüüd kasutame vaadeldavat ruutjuure valemit: a 0 = 4, siis:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

3 pole vaja arvutada, kuna leitud väärtused erinevad vaid 0,02 võrra. Seega √68 = 8,246. Asendades selle valemiga x 1,2, saame:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 ja x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Nagu näeme, on leitud arvude summa tõesti võrdne 4-ga, kuid kui leiame nende korrutise, siis võrdub see -12,999, mis vastab ülesande tingimustele 0,001 täpsusega.