Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (edenemise tingimused)

Milles iga järgnev termin erineb eelmisest uue terminiga, mida nimetatakse ka sammu või edenemise erinevus.

Seega, määrates edenemise sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida mis tahes selle elemendi

Omadused aritmeetiline progressioon

1) Aritmeetilise progressiooni iga liige, alates teisest arvust, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine

Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni külgnevate paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel oleva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Seda väidet kasutades on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.

Samuti saab aritmeetilise progressiooni omaduse järgi ülaltoodud valemit üldistada järgmiseks

Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutate terminid võrdusmärgist paremale

Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.

2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemi abil

Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, see on arvutustes asendamatu ja seda leidub üsna sageli lihtsates elusituatsioonides.

3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast alates selle k-ndast liikmest, on teile kasulik järgmine summa valem

4) Praktilist huvi pakub k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa leidmine. Selleks kasutage valemit

Sellel teoreetiline materjal lõpeb ja liigume edasi levinud probleemide lahendamiseni praktikas.

Näide 1. Leidke aritmeetilise progressiooni neljakümnes liige 4;7;...

Lahendus:

Vastavalt meie seisukorrale

Määrame edenemise etapi

Tuntud valemit kasutades leiame progressiooni neljakümnenda liikme

Näide 2. Aritmeetiline progressioon antakse selle kolmanda ja seitsmenda liikmega. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.

Lahendus:

Kirjutame valemite abil üles progressiooni antud elemendid

Lahutame teisest võrrandist esimese, mille tulemusena leiame progresseerumisastme

Asendame leitud väärtuse mis tahes võrrandiga, et leida aritmeetilise progressiooni esimene liige

Arvutame progressiooni esimese kümne liikme summa

Ilma kandideerimata keerukad arvutused Leidsime kõik vajalikud kogused.

Näide 3. Aritmeetiline progressioon on antud nimetaja ja ühe selle liikmega. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.

Lahendus:

Kirjutame üles progressiooni sajanda elemendi valemi

ja leia esimene

Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme

Progressiooni osa summa leidmine

ja esimese 100 summa

Edasimineku summa on 250.

Näide 4.

Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lahendus:

Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning määrame need

Asendame saadud väärtused summa valemiga, et määrata summas olevate terminite arv

Teostame lihtsustusi

ja lahendage ruutvõrrand

Kahest leitud väärtusest sobib probleemtingimustele ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.

Näide 5.

Lahenda võrrand

1+3+5+...+x=307.

Lahendus: see võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse

Enne kui otsustama hakkame aritmeetilise progressiooni ülesanded, mõelgem, mis on arvujada, kuna aritmeetiline progressioon on erijuhtum numbrijada.

Numbrijada on numbrite hulk, mille igal elemendil on oma seerianumber. Selle hulga elemente nimetatakse jada liikmeteks. Jada elemendi seerianumbrit tähistab indeks:

Jada esimene element;

Jada viies element;

- jada “n-s” element, st. element "seisab järjekorras" numbril n.

Jadaelemendi väärtuse ja selle järjenumbri vahel on seos. Seetõttu võime jada pidada funktsiooniks, mille argumendiks on jada elemendi järgarv. Teisisõnu võime seda öelda jada on loomuliku argumendi funktsioon:

Järjestust saab määrata kolmel viisil:

1 . Järjekorda saab määrata tabeli abil. Sel juhul määrame lihtsalt jada iga liikme väärtuse.

Näiteks otsustas Keegi võtta isikliku ajajuhtimise ja alustuseks kokku lugeda, kui palju aega ta nädala jooksul VKontakte'is veedab. Aja tabelisse salvestades saab ta seitsmest elemendist koosneva jada:

Tabeli esimene rida näitab nädalapäeva numbrit, teine ​​- kellaaega minutites. Näeme, et see tähendab esmaspäeval, et keegi veetis VKontakte'is 125 minutit, see tähendab neljapäeval - 248 minutit ja see tähendab, et reedel ainult 15.

2 . Jada saab täpsustada n-nda termini valemi abil.

Sel juhul väljendatakse jadaelemendi väärtuse sõltuvust selle arvust otse valemi kujul.

Näiteks kui , siis

Antud arvuga jadaelemendi väärtuse leidmiseks asendame elemendi numbri n-nda liikme valemis.

Teeme sama, kui peame leidma funktsiooni väärtuse, kui argumendi väärtus on teada. Asendame argumendi väärtuse funktsiooni võrrandisse:

Kui näiteks , See

Lubage mul veel kord märkida, et jadas saab erinevalt suvalisest arvfunktsioonist argumendiks olla ainult naturaalarv.

3 . Jada saab määrata valemiga, mis väljendab jadaliikme numbri n väärtuse sõltuvust eelmiste liikmete väärtustest. Sel juhul ei piisa, kui teame ainult jadaliikme numbrit, et leida selle väärtus. Peame määrama jada esimese liikme või paar esimest liiget.

Näiteks kaaluge järjestust ,

Leiame jadaliikmete väärtused järjest, alustades kolmandast:

See tähendab, et iga kord, et leida jada n-nda liikme väärtus, pöördume tagasi kahe eelmise juurde. Seda jada määramise meetodit nimetatakse korduv, ladinakeelsest sõnast recurro- tule tagasi.

Nüüd saame määratleda aritmeetilise progressiooni. Aritmeetiline progressioon on arvujada lihtne erijuhtum.

Aritmeetiline progressioon on arvjada, mille iga liige alates teisest on võrdne samale arvule liidetud eelmisega.

Numbrile helistatakse aritmeetilise progressiooni erinevus. Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} suureneb.

Näiteks 2; 5; 8; üksteist;...

Kui , siis on aritmeetilise progressiooni iga liige väiksem kui eelmine ja progressioon on väheneb.

Näiteks 2; -1; -4; -7;...

Kui , siis kõik progressiooni tingimused on võrdsed sama arvuga ja progressioon on paigal.

Näiteks 2;2;2;2;...

Aritmeetilise progressiooni peamine omadus:

Vaatame joonist.

Me näeme seda

, ja samal ajal

Lisades need kaks võrdsust, saame:

.

Jagame võrdsuse mõlemad pooled 2-ga:

Seega on iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdne kahe naaberliikme aritmeetilise keskmisega:

Pealegi, kuna

, ja samal ajal

, See

, ning seetõttu

Aritmeetilise progressiooni iga liige, mis algab tähega title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Termini valem.

Näeme, et aritmeetilise progressiooni tingimused vastavad järgmistele seostele:

ja lõpuks

Saime n-nda liikme valem.

TÄHTIS! Iga aritmeetilise progressiooni liiget saab väljendada läbi ja. Teades esimest liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võite leida selle mis tahes liikme.

Aritmeetilise progressiooni n liikme summa.

Suvalises aritmeetilises progressioonis on äärmuslikest võrdsel kaugusel olevate liikmete summad üksteisega võrdsed:

Vaatleme n liikmega aritmeetilist progressiooni. Olgu selle progresseerumise n-i liikmete summa võrdne .

Järjestame progresseerumise tingimused esmalt arvude kasvavas ja seejärel kahanevas järjekorras:

Lisame paarikaupa:

Igas sulus olev summa on , paaride arv on n.

Saame:

Niisiis, aritmeetilise progressiooni n liikme summa saab leida valemite abil:

Mõelgem aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine.

1 . Jada antakse n-nda liikme valemiga: . Tõesta, et see jada on aritmeetiline progressioon.

Tõestame, et jada kahe kõrvuti asetseva liikme vahe on võrdne sama arvuga.

Leidsime, et jada kahe külgneva liikme erinevus ei sõltu nende arvust ja on konstant. Seetõttu on see jada definitsiooni järgi aritmeetiline progressioon.

2 . Antud aritmeetiline progressioon -31; -27;...

a) Leia progressiooni 31 liiget.

b) Tehke kindlaks, kas arv 41 sisaldub selles progressioonis.

A) Me näeme seda;

Kirjutame üles oma progressiooni n-nda liikme valemi.

Üldiselt

Meie puhul , Sellepärast

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga arv on sama palju suurem (või väiksem) kui eelmine.

See teema tundub sageli keeruline ja arusaamatu. Kirjade indeksid n-s tähtaeg progressioonid, progressioonierinevused - see kõik on kuidagi segane, jah... Selgitame välja aritmeetilise progressiooni tähenduse ja kõik läheb kohe paremaks.)

Aritmeetilise progressiooni mõiste.

Aritmeetiline progressioon on väga lihtne ja selge mõiste. Kas teil on kahtlusi? Asjata.) Vaadake ise.

Kirjutan lõpetamata numbrite jada:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Kas saate seda sarja pikendada? Millised numbrid tulevad pärast viit? Kõik... uh..., ühesõnaga, kõik saavad aru, et järgmisena tulevad numbrid 6, 7, 8, 9 jne.

Teeme ülesande keerulisemaks. Annan teile lõpetamata numbrite jada:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Saate mustri püüda, seeriat pikendada ja nime anda seitsmes rea number?

Kui saite aru, et see arv on 20, siis palju õnne! Sa mitte ainult ei tundnud võtmepunktid aritmeetiline progressioon, kuid kasutas neid edukalt ka äris! Kui te pole sellest aru saanud, lugege edasi.

Tõlkime nüüd aistingute põhipunktid matemaatikasse.)

Esimene võtmepunkt.

Aritmeetiline progressioon käsitleb arvujadasid. See tekitab alguses segadust. Oleme harjunud võrrandeid lahendama, graafikuid joonistama ja kõike muud... Aga siin me pikendame seeriat, leiame seeria numbri...

See on korras. Lihtsalt progressioonid on esimene tutvus uue matemaatikaharuga. Jaotis kannab nime "Seeria" ja töötab spetsiaalselt numbrite ja avaldiste seeriatega. Harju sellega.)

Teine põhipunkt.

Aritmeetilises progressioonis erineb mis tahes arv eelmisest sama palju.

Esimeses näites on see erinevus üks. Ükskõik, millise numbri te võtate, on see ühe võrra suurem kui eelmine. Teises - kolm. Iga number on eelmisest kolme võrra suurem. Tegelikult annab see hetk meile võimaluse mustrist aru saada ja järgnevaid numbreid arvutada.

Kolmas põhipunkt.

See hetk ei raba, jah... Aga see on väga-väga oluline. Siin ta on: Iga edenemisnumber on omal kohal. On esimene number, on seitsmes, on neljakümne viies jne. Kui segate need juhuslikult, muster kaob. Kaob ka aritmeetiline progressioon. Järele on jäänud vaid numbrite jada.

See on kogu asja mõte.

Muidugi sisse uus teema ilmuvad uued terminid ja nimetused. Sa pead neid teadma. Vastasel juhul ei saa te ülesandest aru. Näiteks peate otsustama midagi sellist:

Kirjutage üles aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.

Inspireeriv?) Tähed, mõned indeksid... Ja ülesanne, muide, ei saaks olla lihtsam. Peate lihtsalt mõistma terminite ja nimetuste tähendust. Nüüd saame selle asja selgeks ja naaseme ülesande juurde.

Tingimused ja nimetused.

Aritmeetiline progressioon on arvude jada, milles iga number erineb eelmisest sama palju.

Seda kogust nimetatakse . Vaatame seda kontseptsiooni üksikasjalikumalt.

Aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni erinevus on summa, mille võrra mis tahes edenemisarv rohkem eelmine.

Üks oluline punkt. Palun pöörake sõnale tähelepanu "rohkem". Matemaatiliselt tähendab see, et iga progressiooniarv on lisades aritmeetilise progressiooni erinevus eelmisest numbrist.

Arvutamiseks ütleme teiseks seeria numbrid, peate esiteks number lisama just see aritmeetilise progressiooni erinevus. Arvutamiseks viies- vahe on vajalik lisama To neljas, noh jne.

Aritmeetilise progressiooni erinevus Võib olla positiivne, siis osutub seeria iga number tõeliseks rohkem kui eelmine. Seda progresseerumist nimetatakse suureneb. Näiteks:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Siin saadakse iga number lisades positiivne arv, +5 eelmisele.

Erinevus võib olla negatiivne, siis on seeria iga number vähem kui eelmine. Seda edenemist nimetatakse (te ei usu seda!) väheneb.

Näiteks:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Siin saadakse ka iga number lisades eelmisele, aga juba negatiivne arv, -5.

Muide, progresseerumisega töötades on väga kasulik kohe kindlaks teha selle olemus - kas see suureneb või väheneb. See aitab palju otsuses navigeerida, oma vigu märgata ja need parandada enne, kui on liiga hilja.

Aritmeetilise progressiooni erinevus tähistatakse tavaliselt tähega d.

Kuidas leida d? Väga lihtne. See tuleb lahutada mis tahes arvust seerias eelmine number. Lahutage. Muide, lahutamise tulemust nimetatakse "erinevuseks".)

Määratleme näiteks d aritmeetilise progressiooni suurendamiseks:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Võtame reas mis tahes arvu, mida tahame, näiteks 11. Lahutame sellest eelmine number need. 8:

See on õige vastus. Selle aritmeetilise progressiooni puhul on erinevus kolm.

Võite selle võtta mis tahes edenemisnumber, sest konkreetse progresseerumise jaoks d-alati sama. Vähemalt kuskil rea alguses, vähemalt keskel, vähemalt igal pool. Te ei saa võtta ainult esimest numbrit. Lihtsalt sellepärast, et kõige esimene number eelmist pole.)

Muide, seda teades d=3, on selle progressi seitsmenda numbri leidmine väga lihtne. Liidame viiendale arvule 3 – saame kuuenda, sellest saab 17. Kuuendale arvule liidame kolm, saame seitsmenda numbri – kakskümmend.

Defineerime d kahaneva aritmeetilise progressiooni jaoks:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tuletan teile meelde, et olenemata märkidest, määrata d vaja mis tahes numbrist võta eelmine ära. Valige mis tahes edenemisnumber, näiteks -7. Tema eelmine number on -2. Seejärel:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla mis tahes arv: täisarv, murdosa, irratsionaalne, suvaline arv.

Muud terminid ja nimetused.

Iga seeria numbrit nimetatakse aritmeetilise progressiooni liige.

Iga progressi liige on oma number. Numbrid on rangelt korras, ilma igasuguste nippideta. Esimene, teine, kolmas, neljas jne. Näiteks progressioonis 2, 5, 8, 11, 14, ... kaks on esimene liige, viis on teine, üksteist on neljas, noh, saate aru...) Palun saage selgelt aru - numbrid ise võib olla absoluutselt ükskõik, tervik, murdosa, negatiivne, mis iganes, aga numbrite nummerdamine- rangelt korras!

Kuidas edasiminekut sisse kirjutada üldine vaade? Pole probleemi! Iga seeria number on kirjutatud tähena. Aritmeetilise progressiooni tähistamiseks kasutatakse tavaliselt tähte a. Liikmenumbrit tähistab indeks all paremal. Kirjutame terminid eraldatuna komadega (või semikooloniga) järgmiselt:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- see on esimene number, a 3- kolmas jne. Ei midagi uhket. Selle seeria võib lühidalt kirjutada järgmiselt: (a n).

Progresseerumine toimub lõplik ja lõpmatu.

Ülim progresseerumisel on piiratud kogus liikmed. Viis, kolmkümmend kaheksa, mida iganes. Kuid see on lõplik arv.

Lõpmatu progressioon – sellel on lõpmatu arv liikmeid, nagu võite arvata.)

Lõpliku edenemise saate kirjutada sellise seeria kaudu, kõik terminid ja punkt lõpus:

1, 2, 3, 4, 5.

Või nii, kui liikmeid on palju:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Lühikirjes peate lisaks märkima liikmete arvu. Näiteks (kahekümnele liikmele) nii:

(a n), n = 20

Lõpmatu edenemise tunneb ära rea ​​lõpus oleva ellipsi järgi, nagu selle õppetüki näidetes.

Nüüd saate ülesandeid lahendada. Ülesanded on lihtsad, ainult aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmiseks.

Aritmeetilise progressiooni ülesannete näited.

Vaatame üksikasjalikult ülaltoodud ülesannet:

1. Kirjutage välja aritmeetilise progressiooni (a n) kuus esimest liiget, kui a 2 = 5, d = -2,5.

Anname ülesande üle selge keel. Antakse lõpmatu aritmeetiline progressioon. Selle edenemise teine ​​number on teada: a 2 = 5. Progressi erinevus on teada: d = -2,5. Peame leidma selle edenemise esimese, kolmanda, neljanda, viienda ja kuuenda liikme.

Selguse huvides kirjutan üles seeria vastavalt ülesande tingimustele. Esimesed kuus terminit, kus teine ​​termin on viis:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

a 3 = a 2 + d

Asendage väljendiga a 2 = 5 Ja d = -2,5. Ärge unustage miinust!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Selgus kolmas ametiaeg vähem kui kaks. Kõik on loogiline. Kui arv on suurem kui eelmine negatiivne väärtus, mis tähendab, et arv ise on eelmisest väiksem. Progresseerumine väheneb. Olgu, võtame seda arvesse.) Arvestame oma sarja neljanda perioodi:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Seega arvutati terminid kolmandast kuuendani. Tulemuseks on järgmine seeria:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Jääb üle leida esimene termin a 1 teada-tuntud teise järgi. See on samm teises suunas, vasakule.) Niisiis, aritmeetilise progressiooni erinevus d ei tohiks lisada a 2, A ära viima:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

See on kõik. Ülesande vastus:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Möödaminnes tahan märkida, et me lahendasime selle ülesande korduv tee. See hirmutav sõna tähendab lihtsalt progressi liikme otsimist eelmise (kõrvaloleva) numbri järgi. Allpool vaatleme muid võimalusi progresseerumisega töötamiseks.

Sellest lihtsast ülesandest saab teha ühe olulise järelduse.

Pidage meeles:

Kui teame vähemalt ühte liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võime leida selle progressiooni mis tahes liikme.

Kas sa mäletad? See lihtne järeldus võimaldab teil lahendada enamiku probleemidest koolikursus sellel teemal. Kõik ülesanded keerlevad ümber kolm peamist parameetrid: aritmeetilise progressiooni liige, progressiooni erinevus, progressiooni liikme arv. Kõik.

Loomulikult ei tühistata kogu eelnevat algebrat.) Progressiooniga on seotud ebavõrdsused, võrrandid ja muu. Aga vastavalt arengule endale- kõik keerleb kolme parameetri ümber.

Näitena vaatame mõnda populaarset selleteemalist ülesannet.

2. Kirjutage lõplik aritmeetiline progressioon seeriana, kui n=5, d = 0,4 ja a 1 = 3,6.

Siin on kõik lihtne. Kõik on juba antud. Peate meeles pidama, kuidas aritmeetilise progressiooni liikmeid loendatakse, loendama ja üles kirjutama. Ülesande tingimustes on soovitatav mitte jätta märkamata sõnu: "lõplik" ja " n = 5". Et mitte arvestada enne, kui olete näost täiesti siniseks muutunud.) Selles protsessis on ainult 5 (viis) liiget:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Jääb üle vastus kirja panna:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Teine ülesanne:

3. Tehke kindlaks, kas arv 7 on aritmeetilise progressiooni (a n) liige, kui a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kes teab? Kuidas midagi kindlaks teha?

Kuidas-kuidas... Pane edenemine seeria kujul kirja ja vaata, kas seal tuleb seitse või mitte! Me arvestame:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Nüüd on selgelt näha, et meid on alles seitse lipsas läbi vahemikus 6,5 kuni 7,7! Seitse ei kuulunud meie arvude jadasse ja seetõttu ei kuulu seitse antud progressi.

Vastus: ei.

Siin on probleem, mis põhineb reaalne variant GIA:

4. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:

...; 15; X; 9; 6; ...

Siin on sari, mis on kirjutatud ilma lõpu ja alguseta. Pole liikmenumbreid, pole vahet d. See on korras. Ülesande lahendamiseks piisab aritmeetilise progressiooni tähenduse mõistmisest. Vaatame ja vaatame, mis on võimalik teadma sellest sarjast? Mis on kolm peamist parameetrit?

Liikmete numbrid? Siin pole ühtegi numbrit.

Aga seal on kolm numbrit ja – tähelepanu! - sõna "järjekindel" seisukorras. See tähendab, et numbrid on rangelt korras, ilma lünkadeta. Kas selles reas on kaks? naaber teadaolevad numbrid? Jah mul on! Need on 9 ja 6. Seega saame arvutada aritmeetilise progressiooni erinevuse! Kuuest lahutada eelmine number, st. üheksa:

Jäänud on vaid pisiasjad. Mis number on X jaoks eelmine? Viisteist. See tähendab, et X on lihtsa liitmise teel kergesti leitav. Lisage aritmeetilise progressiooni erinevus 15-le:

See on kõik. Vastus: x=12

Järgmised probleemid lahendame ise. Märkus: need probleemid ei põhine valemitel. Puhtalt selleks, et mõista aritmeetilise progressiooni tähendust.) Kirjutame lihtsalt numbrite ja tähtede jada, vaatame ja mõtleme välja.

5. Leidke aritmeetilise progressiooni esimene positiivne liige, kui a 5 = -3; d = 1,1.

6. On teada, et arv 5,5 on aritmeetilise progressiooni liige (a n), kus a 1 = 1,6; d = 1,3. Määrake selle liikme arv n.

7. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 4; a 5 = 15,1. Leia 3.

8. Kirjutatakse välja mitu aritmeetilise progressiooni järjestikust liiget:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Leidke tähega x tähistatud progressiooni liige.

9. Rong hakkas jaamast liikuma, suurendades ühtlaselt kiirust 30 meetrit minutis. Kui suur on rongi kiirus viie minuti pärast? Esitage oma vastus km/h.

10. On teada, et aritmeetilises progressioonis a 2 = 5; a 6 = -5. Leia 1.

Vastused (segaselt): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Kõik õnnestus? Hämmastav! Lisateavet saate aritmeetilist progressiooni juhtida kõrge tase, järgmistes õppetundides.

Kas kõik ei õnnestunud? Pole probleemi. Erijaotises 555 on kõik need probleemid tükkhaaval jaotatud.) Ja muidugi kirjeldatakse lihtsat. praktiline tehnika, mis toob selliste ülesannete lahenduse kohe selgelt, selgelt, ühe pilguga esile!

Muide, rongimõistatuses on kaks probleemi, mille otsa inimesed sageli komistavad. Üks on puhtalt edenemise mõttes ja teine ​​on üldine matemaatika ja ka füüsika probleemide jaoks. See on mõõtmete tõlge ühelt teisele. See näitab, kuidas need probleemid tuleks lahendada.

Selles õppetükis vaatlesime aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja selle peamisi parameetreid. Sellest piisab peaaegu kõigi selle teemaga seotud probleemide lahendamiseks. Lisama d numbrite juurde, kirjuta seeria, kõik laheneb.

Sõrmelahendus sobib hästi väga lühikeste reatükkide jaoks, nagu selle õppetüki näidetes. Kui seeria on pikem, muutuvad arvutused keerulisemaks. Näiteks kui küsimuse ülesandes 9 asendame "viis minutit" peal "kolmkümmend viis minutit" probleem muutub oluliselt hullemaks.)

Ja on ka ülesandeid, mis on sisuliselt lihtsad, kuid arvutuslikult absurdsed, näiteks:

Antakse aritmeetiline progressioon (a n). Leidke 121, kui a 1 = 3 ja d = 1/6.

Mis siis, kas me lisame 1/6 mitu-mitu korda?! Kas sa saad ennast tappa!?

Saate.) Kui te ei tea lihtne valem, mis võimaldab selliseid ülesandeid minutiga lahendada. See valem on järgmises õppetükis. Ja see probleem on seal lahendatud. Minuti pärast.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Arvujada mõiste eeldab, et iga naturaalarv vastab mõnele reaalväärtusele. Selline arvude jada võib olla kas suvaline või omada teatud omadused- progresseerumine. Viimasel juhul saab jada iga järgneva elemendi (liikme) arvutada eelmise abil.

Aritmeetiline progressioon – jada arvväärtusi, milles selle naaberliikmed erinevad üksteisest sama number(kõikidel sarja elementidel, alates 2.-st, on sarnane omadus). See number– erinevus eelmise ja järgneva termini vahel on konstantne ja seda nimetatakse progresseerumise erinevuseks.

Progressi erinevus: määratlus

Vaatleme jada, mis koosneb j väärtustest A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j kuulub hulka naturaalarvud N. Aritmeetiline progressioon on oma definitsiooni järgi jada, milles a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) ) – a(j-1) = d. Väärtus d on selle progresseerumise soovitud erinevus.

d = a(j) – a(j-1).

Esiletõstmine:

• Kasvav progressioon, sel juhul d > 0. Näide: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progresseerumine väheneb, seejärel d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Erinevuste progresseerumine ja selle suvalised elemendid

Kui on teada progressiooni 2 suvalist liiget (i-s, k-s), saab antud jada erinevuse määrata seose alusel:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, mis tähendab d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Progressiooni erinevus ja selle esimene tähtaeg

See avaldis aitab määrata tundmatut väärtust ainult juhul, kui jadaelemendi number on teada.

Progressi vahe ja selle summa

Progressiooni summa on selle liikmete summa. Selle esimese j elemendi koguväärtuse arvutamiseks kasutage sobivat valemit:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, kuid kuna a(j) = a(1) + d(j – 1), siis S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Aritmeetilise progressiooni summa.

Aritmeetilise progressiooni summa on lihtne asi. Nii tähenduses kui valemis. Aga sellel teemal on igasuguseid ülesandeid. Põhilisest kuni päris soliidseni.

Esiteks mõistame summa tähendust ja valemit. Ja siis me otsustame. Enda rõõmuks.) Summa tähendus on lihtne kui moo. Aritmeetilise progressiooni summa leidmiseks peate lihtsalt hoolikalt lisama kõik selle tingimused. Kui neid termineid on vähe, saate lisada ilma valemiteta. Aga kui on palju, või palju... lisamine on tüütu.) Sel juhul tuleb appi valem.

Summa valem on lihtne:

Mõelgem välja, millised tähed valemis sisalduvad. See selgitab asju palju.

S n - aritmeetilise progressiooni summa. Lisamise tulemus kõik liikmed, koos esiteks Kõrval viimane. See on tähtis. Need lähevad täpselt kokku Kõik liikmeid järjest, ilma vahele jätmata. Ja täpselt, alustades esiteks. Selliste probleemide korral nagu kolmanda ja kaheksanda liikme summa või viienda kuni kahekümnenda liikme summa leidmine valmistab valemi otsene rakendamine pettumuse.)

a 1 - esiteks progressi liige. Siin on kõik selge, see on lihtne esiteks rea number.

a n- viimane progressi liige. Viimane number rida. Pole just väga tuttav nimi, aga kogusele kandes sobib väga hästi. Siis näete ise.

n - viimase liikme number. Oluline on mõista, et valemis see arv ühtib lisatud terminite arvuga.

Määratleme mõiste viimane liige a n. Keeruline küsimus: milline liige saab viimane kui antakse lõputu aritmeetiline progressioon?)

Enesekindlaks vastamiseks peate mõistma aritmeetilise progressiooni elementaarset tähendust ja... lugege ülesanne hoolikalt läbi!)

Aritmeetilise progressiooni summa leidmise ülesandes ilmub alati (otseselt või kaudselt) viimane liige, mida tuleks piirata. Muidu lõplik, konkreetne summa lihtsalt ei eksisteeri. Lahenduse jaoks pole vahet, kas progressioon on antud: lõplik või lõpmatu. Pole tähtis, kuidas see antakse: arvude jada või n-nda liikme valem.

Kõige tähtsam on mõista, et valem toimib progressiooni esimesest liikmest numbriga liikmeni n. Tegelikult näeb valemi täisnimi välja selline: aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa. Nende päris esimeste liikmete arv, s.o. n, määrab ainult ülesanne. Ülesandes on kogu see väärtuslik teave sageli krüpteeritud, jah... Kuid ärge unustage, allolevates näidetes avaldame need saladused.)

Näited ülesannetest aritmeetilise progressiooni summa kohta.

Esiteks, kasulikku teavet:

Aritmeetilise progressiooni summat hõlmavate ülesannete peamine raskus seisneb valemi elementide õiges määramises.

Ülesande kirjutajad krüpteerivad piiritu fantaasiaga just need elemendid.) Peaasi, et siin ei pea kartma. Elementide olemuse mõistmisel piisab nende lihtsalt dešifreerimisest. Vaatame mõnda näidet üksikasjalikumalt. Alustame ülesandega, mis põhineb tõelisel GIA-l.

1. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a n = 2n-3,5. Leidke selle esimese 10 liikme summa.

Tubli töö. Lihtne.) Mida peame teadma summa määramiseks valemi abil? Esimene liige a 1, viimane ametiaeg a n, jah viimase liikme number n.

Kust ma saan viimase liikme numbri? n? Jah, just seal, tingimusel! See ütleb: leidke summa esimesed 10 liiget. No mis numbriga see tuleb? viimane, kümnes liige?) Te ei usu seda, tema number on kümnes!) Seetõttu selle asemel a n Asendame valemiga a 10, ja selle asemel n- kümme. Kordan, viimase liikme arv langeb kokku liikmete arvuga.

Jääb kindlaks teha a 1 Ja a 10. Seda on lihtne arvutada n-nda liikme valemi abil, mis on toodud ülesande avalduses. Ei tea, kuidas seda teha? Osalege eelmises õppetunnis, ilma selleta pole võimalust.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Oleme välja selgitanud aritmeetilise progressiooni summa valemi kõigi elementide tähenduse. Jääb vaid need asendada ja lugeda:

See on kõik. Vastus: 75.

Teine ülesanne, mis põhineb GIA-l. Natuke keerulisem:

2. Antud aritmeetiline progressioon (a n), mille erinevus on 3,7; a 1 = 2,3. Leidke selle esimese 15 liikme summa.

Kirjutame kohe summa valemi:

See valem võimaldab meil leida mis tahes termini väärtuse selle numbri järgi. Otsime lihtsat asendust:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Jääb kõik elemendid asendada aritmeetilise progressiooni summa valemis ja arvutada vastus:

Vastus: 423.

Muide, kui summa valemis asemel a n Asendame lihtsalt valemi n-nda liikmega ja saame:

Esitame sarnased ja saame aritmeetilise progressiooni liikmete summa jaoks uue valemi:

Nagu näete, pole siin n-ndat liiget vaja a n. Mõnes probleemis aitab see valem palju, jah... Selle valemi võib meeles pidada. Või saate selle lihtsalt õigel ajal kuvada, nagu siin. Lõppude lõpuks peate alati meeles pidama summa valemit ja n-nda liikme valemit.)

Nüüd ülesanne lühikese krüptimise vormis):

3. Leidke kõigi positiivsete summa kahekohalised numbrid, kolme kordne.

Vau! Ei teie esimene liige, ei viimane ega üldse edasiminek... Kuidas elada!?

Peate mõtlema oma peaga ja tõmbama tingimusest välja kõik aritmeetilise progressiooni summa elemendid. Me teame, mis on kahekohalised arvud. Need koosnevad kahest numbrist.) Millisest kahekohalisest numbrist saab esiteks? 10, arvatavasti.) A viimane asi kahekohaline number? 99 muidugi! Kolmekohalised tulevad talle järele...

Kolmekordsed... Hm... Need on arvud, mis jaguvad kolmega, siin! Kümme ei jagu kolmega, 11 ei jagu... 12... jagub! Niisiis, midagi on ilmnemas. Saate juba vastavalt ülesande tingimustele seeria üles kirjutada:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Kas see seeria on aritmeetiline progressioon? Kindlasti! Iga termin erineb eelmisest rangelt kolme võrra. Kui lisada terminile 2 või 4, siis ütleme, et tulemus, s.t. uus arv ei jagu enam 3-ga. Saate kohe määrata aritmeetilise progressiooni erinevuse: d = 3. See tuleb kasuks!)

Seega võime julgelt üles kirjutada mõned edenemise parameetrid:

Mis numbriks saab? n viimane liige? Kes arvab, et 99, see saatuslikult eksib... Numbrid lähevad alati järjest, aga meie liikmed hüppavad üle kolme. Need ei sobi kokku.

Siin on kaks lahendust. Üks võimalus on ülitöökatele. Saate üles kirjutada edenemise, kogu arvude jada ja lugeda sõrmega liikmete arvu.) Teine võimalus on mõeldud mõtlikule. Peate meeles pidama n-nda liikme valemit. Kui rakendame valemit oma probleemile, leiame, et 99 on progressiooni kolmekümnes liige. Need. n = 30.

Vaatame aritmeetilise progressiooni summa valemit:

Vaatame ja rõõmustame.) Tõmbasime probleemipüstitusest välja kõik vajaliku summa arvutamiseks:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jääb vaid elementaarne aritmeetika. Asendame arvud valemis ja arvutame:

Vastus: 1665

Teine populaarsete mõistatuste tüüp:

4. Antud aritmeetiline progressioon:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Leidke terminite summa kahekümnendast kuni kolmekümne neljani.

Vaatame summa valemit ja... ärritume.) Valem, tuletan meelde, arvutab summa esimesest liige. Ja ülesandes peate arvutama summa alates kahekümnendast... Valem ei tööta.

Muidugi võite kogu edenemise seeriana välja kirjutada ja lisada termineid vahemikus 20 kuni 34. Aga... see on kuidagi rumal ja võtab kaua aega, eks?)

On elegantsem lahendus. Jagame oma sarja kaheks osaks. Esimene osa saab olema esimesest ametiajast kuni üheksateistkümnendani. Teine osa - kahekümnest kolmekümne neljani. On selge, et kui arvutame esimese osa tingimuste summa S 1-19, liidame selle teise osa tingimuste summaga S 20-34, saame esimesest liikmest kolmekümne neljandani progressiooni summa S 1-34. Nagu nii:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Sellest näeme, et leia summa S 20-34 saab teha lihtsa lahutamise teel

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Arvesse võetakse mõlemad paremal pool olevad summad esimesest liige, s.o. neile üsna kohaldatav standardvalem summad. Alustame?

Protsessi parameetrid eraldame probleemiavaldusest:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Esimese 19 ja esimese 34 liikme summade arvutamiseks vajame 19. ja 34. liiget. Arvutame need n-nda liikme valemi abil, nagu ülesandes 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ei jää midagi järele. 34 termini summast lahutage 19 termini summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastus: 262,5

Üks oluline märkus! Selle probleemi lahendamiseks on väga kasulik nipp. Otsese arvutamise asemel mida vajate (S 20-34), me loendasime midagi, mida justkui poleks vaja – S 1-19. Ja siis nad otsustasid S 20-34, jättes kogu tulemusest ebavajaliku kõrvale. Selline "kõrvade petmine" päästab teid sageli kurjadest probleemidest.)

Selles tunnis vaatlesime ülesandeid, mille puhul piisab aritmeetilise progressiooni summa tähenduse mõistmisest. Noh, sa pead teadma paari valemit.)

Praktilised nõuanded:

Mis tahes aritmeetilise progressiooni summaga ülesande lahendamisel soovitan sellest teemast kohe välja kirjutada kaks peamist valemit.

N-nda perioodi valem:

Need valemid ütlevad teile kohe, mida otsida ja millises suunas mõelda, et probleemi lahendada. Aitab.

Ja nüüd iseseisva lahenduse ülesanded.

5. Leidke kõigi kahekohaliste arvude summa, mis ei jagu kolmega.

Lahe?) Vihje on peidetud märkuses ülesandele 4. Noh, ülesanne 3 aitab.

6. Aritmeetilise progressiooni annab tingimus: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Leidke selle esimese 24 liikme summa.

Ebatavaline?) See on korduv valem. Selle kohta saate lugeda eelmises õppetükis. Ärge ignoreerige linki, selliseid probleeme leidub sageli Riigi Teaduste Akadeemias.

7. Vasja kogus puhkuseks raha. Koguni 4550 rubla! Ja otsustasin kinkida oma lemmikinimesele (endale) paar päeva õnne). Elage ilusti ilma endale midagi keelamata. Kulutage esimesel päeval 500 rubla ja igal järgmisel päeval kulutage 50 rubla rohkem kui eelmisel päeval! Kuni raha saab otsa. Mitu päeva oli Vasjal õnnelik?

Kas see on raske?) Aitab ülesande 2 lisavalem.

Vastused (segaselt): 7, 3240, 6.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.