Mis on arvude aritmeetiline keskmine? Mis on aritmeetiline keskmine? Kuidas leida aritmeetiline keskmine

Vastus: kõik said ühe 4 pirnid.

Näide 2. Kursustele inglise keeles esmaspäeval tuli kohale 15 inimest, teisipäeval - 10, kolmapäeval - 12, neljapäeval - 11, reedel - 7, laupäeval - 14, pühapäeval - 8. Leia nädala keskmine kursuste külastatavus.
Lahendus: Leiame aritmeetilise keskmise:

15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8	=	77	= 11
7		7

Vastus: Keskmiselt käisid inimesed inglise keele kursustel 11 inimest päevas.

Näide 3. Võidusõitja sõitis kaks tundi kiirusega 120 km/h ja tund aega 90 km/h. Leia auto keskmine kiirus võistluse ajal.
Lahendus: Leiame autode kiiruste aritmeetilise keskmise iga sõidutunni kohta:

120 + 120 + 90	=	330	= 110
3		3

Vastus: auto keskmine kiirus võistluse ajal oli 110 km/h

Näide 4. 3 arvu aritmeetiline keskmine on 6 ja 7 muu arvu aritmeetiline keskmine on 3. Mis on nende kümne arvu aritmeetiline keskmine?
Lahendus: Kuna 3 arvu aritmeetiline keskmine on 6, on nende summa 6 3 = 18, samamoodi on ülejäänud 7 arvu summa 7 3 = 21.
See tähendab, et kõigi 10 arvu summa on 18 + 21 = 39 ja aritmeetiline keskmine on võrdne

39	= 3.9
10

Vastus: 10 arvu aritmeetiline keskmine on 3.9 .

Keskmise arvutamisel läheb see kaduma.

Keskmine tähenduses arvude hulk võrdub arvude summaga S jagatud nende arvude arvuga. See tähendab, et selgub, et keskmine tähenduses võrdub: 19/4 = 4,75.

Märge

Kui teil on vaja leida vaid kahe arvu geomeetriline keskmine, siis pole teil vaja insenerikalkulaatorit: võtke teine ​​juur ( Ruutjuur) mis tahes numbrist saab teha kõige tavalisema kalkulaatoriga.

Abistavad nõuanded

Erinevalt aritmeetilisest keskmisest ei mõjuta uuritavate näitajate kogumi üksikute väärtuste suured kõrvalekalded ja kõikumised geomeetrilist keskmist nii tugevalt.

Allikad:

• Interneti-kalkulaator, mis arvutab geomeetrilise keskmise
• keskmine geomeetriline valem

Keskmine väärtus on üks arvude hulga tunnuseid. Esindab arvu, mis ei saa olla väljaspool suurima ja poolt määratud vahemikku madalaimad väärtused selles numbrikomplektis. Keskmine aritmeetiline väärtus on kõige sagedamini kasutatav keskmise tüüp.

Juhised

Liidage kokku kõik komplekti kuuluvad arvud ja jagage need liikmete arvuga, et saada aritmeetiline keskmine. Sõltuvalt konkreetsetest arvutustingimustest on mõnikord lihtsam jagada iga numbrit komplekti kuuluvate väärtuste arvuga ja summeerida tulemus.

Kasutage näiteks Windows OS-is sisalduvat, kui aritmeetilist keskmist pole võimalik peast välja arvutada. Saate selle avada programmi käivitamise dialoogi abil. Selleks vajutage kiirklahve WIN + R või klõpsake nuppu Start ja valige peamenüüst käsk Run. Seejärel tippige sisestusväljale calc ja vajutage sisestusklahvi või klõpsake nuppu OK. Sama saab teha peamenüü kaudu - avage see, minge jaotisse "Kõik programmid" ja jaotises "Standardne" ning valige rida "Kalkulaator".

Sisestage kõik komplektis olevad numbrid järjestikku, vajutades nende järel plussklahvi (v.a viimane) või klõpsates kalkulaatori liideses vastavat nuppu. Samuti saate numbreid sisestada kas klaviatuurilt või klõpsates vastavaid liidese nuppe.

Vajutage kaldkriipsu klahvi või klõpsake seda kalkulaatori liideses pärast viimase seatud väärtuse sisestamist ja tippige jadas olevate numbrite arv. Seejärel vajutage võrdusmärki ja kalkulaator arvutab ja kuvab aritmeetilise keskmise.

Samal eesmärgil saate kasutada tabeliredaktorit. Microsoft Excel. Sel juhul käivitage redaktor ja sisestage kõik numbrite jada väärtused külgnevatesse lahtritesse. Kui vajutate pärast iga numbri sisestamist sisestusklahvi või alla- või paremnooleklahvi, liigutab redaktor ise sisendi fookuse kõrvalasuvasse lahtrisse.

Kui te ei soovi ainult keskmist näha, klõpsake viimase sisestatud numbri kõrval olevat lahtrit. Laiendage vahekaardil Avaleht olevate Redigeerimiskäskude jaoks kreeka sigma (Σ) rippmenüüd. Valige rida " Keskmine" ja redaktor sisestab valitud lahtrisse soovitud valemi aritmeetilise keskmise arvutamiseks. Vajutage sisestusklahvi ja väärtus arvutatakse.

Aritmeetiline keskmine on üks keskse tendentsi mõõte, mida kasutatakse laialdaselt matemaatikas ja statistilistes arvutustes. Leidke keskmine aritmeetiline arv mitme väärtuse puhul on see väga lihtne, kuid igal ülesandel on oma nüansid, mida on õigete arvutuste tegemiseks lihtsalt vaja teada.

Mis on aritmeetiline keskmine

Aritmeetiline keskmine määrab kogu algse arvude massiivi keskmise väärtuse. Teisisõnu, teatud arvude hulgast valitakse kõigile elementidele ühine väärtus, matemaatiline võrdlus mis kõigi elementidega on oma olemuselt ligikaudu võrdne. Aritmeetilist keskmist kasutatakse eelkõige finants- ja statistilised aruanded või sarnaste katsete tulemuste arvutamiseks.

Kuidas leida aritmeetiline keskmine

Arvude massiivi aritmeetilise keskmise leidmine peaks algama nende väärtuste algebralise summa määramisega. Näiteks kui massiiv sisaldab numbreid 23, 43, 10, 74 ja 34, siis on nende algebraline summa 184. Kirjutamisel tähistatakse aritmeetilist keskmist tähega μ (mu) või x (x koos a. baar). Järgmisena tuleks algebraline summa jagada massiivi arvude arvuga. Vaadeldavas näites oli viis arvu, nii et aritmeetiline keskmine on 184/5 ja on 36,8.

Negatiivsete arvudega töötamise omadused

Kui massiiv sisaldab negatiivsed arvud, siis leitakse aritmeetiline keskmine sarnase algoritmi abil. Erinevus esineb ainult programmeerimiskeskkonnas arvutamisel või kui probleemil on lisatingimused. Nendel juhtudel arvude aritmeetilise keskmise leidmine koos erinevad märgid taandub kolmele etapile:

1. Üldaritmeetilise keskmise leidmine standardmeetodil;
2. Negatiivsete arvude aritmeetilise keskmise leidmine.
3. Positiivsete arvude aritmeetilise keskmise arvutamine.

Iga toimingu vastused on kirjutatud komadega eraldatuna.

Naturaalsed ja kümnendmurrud

Kui esitatakse arvude massiiv kümnendkohad, lahendatakse täisarvude aritmeetilise keskmise arvutamise meetodil, kuid tulemust vähendatakse vastavalt ülesande nõuetele vastuse täpsusele.

Töötades koos looduslikud fraktsioonid need tuleks taandada ühise nimetajani, mis korrutatakse massiivi arvude arvuga. Vastuse lugejaks saab algsete murdosaelementide etteantud lugejate summa.

Tehnikakalkulaator.

Juhised

Pidage meeles, et üldiselt leitakse arvude geomeetriline keskmine, korrutades need arvud ja võttes nendest astme juure, mis vastab arvude arvule. Näiteks kui teil on vaja leida viie arvu geomeetriline keskmine, peate korrutisest eraldama astme juure.

Kahe arvu geomeetrilise keskmise leidmiseks kasutage põhireeglit. Leidke nende korrutis ja võtke selle ruutjuur, kuna arv on kaks, mis vastab juure astmele. Näiteks arvude 16 ja 4 geomeetrilise keskmise leidmiseks leidke nende korrutis 16 4=64. Saadud arvust eraldage ruutjuur √64=8. See on soovitud väärtus. Pange tähele, et nende kahe arvu aritmeetiline keskmine on suurem ja võrdne 10-ga. Kui kogu juurt ei eraldata, ümardage tulemus soovitud järjekorras.

Rohkem kui kahe arvu geomeetrilise keskmise leidmiseks kasutage ka põhireeglit. Selleks leidke kõigi arvude korrutis, mille jaoks peate leidma geomeetrilise keskmise. Saadud korrutisest eraldage arvude arvuga võrdne astme juur. Näiteks arvude 2, 4 ja 64 geomeetrilise keskmise leidmiseks leidke nende korrutis. 2 4 64=512. Kuna peate leidma kolme arvu geomeetrilise keskmise tulemuse, võtke korrutisest kolmas juur. Seda on raske suuliselt teha, seega kasutage insenerikalkulaatorit. Selleks on sellel nupp "x^y". Valige number 512, vajutage nuppu "x^y", seejärel valige number 3 ja vajutage nuppu "1/x". 1/3 väärtuse leidmiseks vajutage nuppu "=". Saame tulemuse 512 tõstmisel 1/3 astmeni, mis vastab kolmandale juurele. Hankige 512^1/3=8. See on arvude 2,4 ja 64 geomeetriline keskmine.

Insenerikalkulaatori abil saate geomeetrilise keskmise leida muul viisil. Leidke oma klaviatuurilt loginupp. Pärast seda võtke iga arvu jaoks logaritm, leidke nende summa ja jagage see arvude arvuga. Võtke saadud arvust antilogaritm. See on arvude geomeetriline keskmine. Näiteks samade arvude 2, 4 ja 64 geomeetrilise keskmise leidmiseks tehke kalkulaatoris rida tehteid. Valige number 2, seejärel vajutage loginuppu, vajutage nuppu "+", valige number 4 ja vajutage uuesti logi ja "+", valige 64, vajutage logi ja "=". Tulemuseks on summaga võrdne arv kümnendlogaritmid numbrid 2, 4 ja 64. Jagage saadud arv 3-ga, kuna see on arvude arv, mille geomeetrilist keskmist otsitakse. Tulemusest võtke antilogaritm, lülitades suurtähtede nuppu ja kasutage sama logiklahvi. Tulemuseks on number 8, see on soovitud geomeetriline keskmine.

Kõige rohkem ekv. Praktikas peame kasutama aritmeetilist keskmist, mida saab arvutada lihtsa ja kaalutud aritmeetilise keskmisena.

Aritmeetiline keskmine (SA)-n Kõige tavalisem keskmise tüüp. Seda kasutatakse juhtudel, kui kogu populatsiooni muutuva tunnuse maht on selle üksikute ühikute omaduste väärtuste summa. Sotsiaalseid nähtusi iseloomustab varieeruva tunnuse mahtude liitsus (totaal), mis määrab SA rakendusala ja selgitab selle levimust üldnäitajana, näiteks: üldine palgafond on kõigi töötajate palkade summa.

SA arvutamiseks peate jagama kõigi funktsioonide väärtuste summa nende arvuga. SA-d kasutatakse kahel kujul.

Vaatleme esmalt lihtsat aritmeetilist keskmist.

1-CA lihtne (esialgne, määrav vorm) on võrdne keskmistatava tunnuse üksikute väärtuste lihtsummaga, mis on jagatud nende väärtuste koguarvuga (kasutatakse, kui tunnuse indeksi väärtused on rühmitamata):

Tehtud arvutused saab üldistada järgmise valemiga:

(1)

Kus - muutuva tunnuse keskmine väärtus, st lihtaritmeetiline keskmine;

tähendab summeerimist, s.o üksiktunnuste liitmist;

x- muutuva omaduse individuaalsed väärtused, mida nimetatakse variantideks;

n - rahvastiku ühikute arv

Näide 1, on vaja leida ühe töötaja (mehaaniku) keskmine toodang, kui on teada, mitu detaili igaüks 15 töötajast tootis, s.o. antud rida ind. atribuudi väärtused, tk.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Lihtne SA arvutatakse valemi (1) abil, tk:

Näide2. Arvutame SA tinglike andmete põhjal 20 kaubandusettevõttesse kaasatud kaupluse kohta (tabel 1). Tabel 1

Kaubandusfirma "Vesna" kaupluste jaotus müügipindade kaupa, ruut. M

Kauplus nr.		Kauplus nr.

Poe keskmise pindala arvutamiseks ( ) tuleb liita kõigi kaupluste pindalad ja jagada saadud tulemus kaupluste arvuga:

Seega on selle jaekaubandusettevõtete grupi keskmine kaupluse pind 71 ruutmeetrit.

Seetõttu peate lihtsa SA määramiseks jagama antud atribuudi kõigi väärtuste summa seda atribuuti omavate üksuste arvuga.

2

Kus f 1 , f 2 , … ,f n – kaal (identsete märkide kordumise sagedus);

– tunnuste suuruse ja nende sageduste korrutiste summa;

– rahvastikuüksuste koguarv.

- SA kaalutud - Koos Valikute keskel, mida korratakse erinev arv kordi või, nagu öeldakse, on erineva kaaluga. Kaalud on ühikute arv erinevad rühmad agregaadid (identsed valikud ühendatakse rühmaks). SA kaalutud – rühmitatud väärtuste keskmine x 1 , x 2 , .., x n, – arvutatud: (2)

Kus X- valikuvõimalused;

f- sagedus (kaal).

Kaalutud SA on optsioonide ja neile vastavate sageduste korrutiste summa jagatis kõigi sageduste summaga. Sagedused ( f), mis esinevad SA valemis, nimetatakse tavaliselt kaalud, mille tulemusena nimetatakse kaalusid arvesse võttes arvutatud SA-d kaalutuks.

Illustreerime kaalutud SA arvutamise tehnikat, kasutades ülalpool käsitletud näidet 1. Selleks rühmitame lähteandmed ja paigutame need tabelisse.

Grupeeritud andmete keskmine määratakse järgmiselt: esmalt korrutatakse valikud sagedustega, seejärel liidetakse korrutised ja saadud summa jagatakse sageduste summaga.

Vastavalt valemile (2) on kaalutud SA võrdne, tk:

Tööliste jaotamine osade tootmiseks

P

Eelmises näites 2 toodud andmed saab ühendada homogeenseteks rühmadeks, mis on toodud tabelis. Tabel

Vesna kaupluste jaotus müügipindade kaupa, ruut. m

Seega oli tulemus sama. See on aga juba kaalutud aritmeetiline keskmine väärtus.

Eelmises näites arvutasime aritmeetilise keskmise eeldusel, et on teada absoluutsed sagedused (poodide arv). Kuid paljudel juhtudel puuduvad absoluutsed sagedused, kuid suhtelised sagedused on teada või, nagu neid tavaliselt nimetatakse, sagedused, mis näitavad proportsiooni või sageduste osakaal kogu komplektis.

SA kaalutud kasutuse arvutamisel sagedused võimaldab teil arvutusi lihtsustada, kui sagedust väljendatakse suurte mitmekohaliste numbritega. Arvutamine toimub samal viisil, kuid kuna keskmine väärtus osutub 100-kordseks, tuleks tulemus jagada 100-ga.

Siis näeb aritmeetilise kaalutud keskmise valem välja järgmine:

Kus d- sagedus, st. iga sageduse osatähtsus kõigi sageduste kogusummas.

(3)

Meie näites 2 määrame esmalt kaupluste osakaalu gruppide kaupa Vesna ettevõtte kaupluste koguarvust. Seega vastab esimese rühma erikaal 10%
. Saame järgmised andmed Tabel3

Kuna arvude hulga elementide arv kipub statsionaarne juhuslik protsess aritmeetiline keskmine kipub lõpmatuseni matemaatiline ootus juhuslik muutuja.

Sissejuhatus

Tähistame arvude hulka X = (x 1 , x 2 , …, x n), siis valimi keskmist tähistatakse tavaliselt horisontaalse ribaga muutuja kohal (hääldatakse " x joonega").

Tavaliselt kasutatakse seda kogu arvukomplekti aritmeetilise keskmise tähistamiseks kreeka täht μ. Sest juhuslik muutuja, mille keskmine väärtus määratakse, μ on tõenäosuslik keskmine või oodatud väärtus juhuslik muutuja. Kui komplekt X on kollektsioon juhuslikud arvud tõenäosusliku keskmisega μ, siis mis tahes valimi puhul x i sellest hulgast μ = E( x i) Seal on oodatud väärtus see proov.

Praktikas on erinevus μ ja x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) on see, et μ on tüüpiline muutuja, sest näete pigem valimit kui tervikut üldine elanikkond. Seega, kui valim on juhuslik (tõenäosusteooria mõttes), siis x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(kuid mitte μ) saab tõlgendada kui juhuslik muutuja, millel tõenäosusjaotus valimil (keskmise tõenäosusjaotus).

Mõlemad kogused arvutatakse samal viisil:

x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1) (n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1) (n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).

Näited

• Kolme numbri jaoks peate need liitma ja jagama 3-ga:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

• Sest neli numbrit peate need liitma ja jagama 4-ga:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Pidev juhuslik muutuja

Kui on mingi funktsiooni integraal f (x) (\displaystyle f(x))üks muutuja, siis selle funktsiooni aritmeetiline keskmine lõigul [a; b ] (\displaystyle) läbi määratud kindel integraal :

f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)

Siin mõeldakse seda b > a. (\displaystyle b>a.)

Mõned keskmise kasutamise probleemid

Tugevuse puudumine

Kuigi aritmeetilisi keskmisi kasutatakse sageli keskmiste või keskmiste tendentsidena, ei ole see mõiste usaldusväärne statistika, mis tähendab, et aritmeetilist keskmist mõjutavad tugevalt "suured kõrvalekalded". Tähelepanuväärne on, et distributsioonide puhul, millel on suured asümmeetria koefitsient aritmeetiline keskmine ei pruugi vastata mõistele "keskmine", vaid keskmise väärtused usaldusväärsest statistikast (näiteks mediaan) võib paremini kirjeldada keskset tendentsi.

Klassikaline näide on keskmise sissetuleku arvutamine. Aritmeetilist keskmist võib valesti tõlgendada kui mediaanid, millest võib järeldada, et kõrge sissetulekuga inimesi on rohkem kui tegelikult. "Keskmist" sissetulekut tõlgendatakse nii, et enamikul inimestel on sissetulek umbes sama. See "keskmine" (aritmeetilise keskmise tähenduses) sissetulek on suurem kui enamiku inimeste sissetulekud, kuna kõrge sissetulek suure kõrvalekaldega keskmisest muudab aritmeetilise keskmise väga viltu (seevastu keskmine sissetulek mediaanil "vastupanu" sellisele kalduvusele). See "keskmine" sissetulek ei ütle aga midagi keskmise sissetuleku lähedal asuvate inimeste arvu kohta (ega ei ütle midagi modaalse sissetuleku lähedal asuvate inimeste arvu kohta). Kui aga võtta mõisteid “keskmine” ja “enamik inimesi” kergelt, võib teha vale järelduse, et enamiku inimeste sissetulek on tegelikust suurem. Näiteks aruanne osariigi Medina "keskmise" netosissetuleku kohta Washington, mis on arvutatud elanike kõigi aastaste netosissetulekute aritmeetilise keskmisena, annab üllatavalt suure arvu tänu Bill Gates. Vaatleme näidist (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmeetiline keskmine on 3,17, kuid viis väärtust kuuest on sellest keskmisest madalamad.

Liitintress

Kui numbrid korrutada, kuid mitte voltida, vaja kasutada geomeetriline keskmine, mitte aritmeetiline keskmine. Enamasti juhtub see juhtum arvutamisel investeeringutasuvus rahanduses.

Näiteks kui aktsia langes esimesel aastal 10% ja tõusis teisel aastal 30%, siis on vale arvutada nende kahe aasta “keskmist” kasvu aritmeetilise keskmisena (−10% + 30%) / 2 = 10%; õige keskmise annab sel juhul liit-aastane kasvumäär, mis annab aastaseks kasvumääraks vaid umbes 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Põhjus on selles, et protsentidel on iga kord uus lähtepunkt: 30% on 30%. numbrist, mis on väiksem kui esimese aasta alguses: kui aktsia algas 30 dollarilt ja langes 10%, on selle väärtus teise aasta alguses 27 dollarit. Kui aktsia tõuseks 30%, oleks selle väärtus teise aasta lõpus 35,1 dollarit. Selle kasvu aritmeetiline keskmine on 10%, kuid kuna aktsiad tõusid kahe aastaga vaid 5,1 dollari võrra, keskmine pikkus annab 8,2% lõpptulemus $35.1:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Kui kasutame samamoodi aritmeetilist keskmist 10%, siis tegelikku väärtust me ei saa: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Liitintress 2 aasta lõpus: 90% * 130% = 117%, see tähendab, et kogukasv on 17% ja aasta keskmine liitintress 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\umbes 108,2\%), see tähendab, et aasta keskmine kasv on 8,2%.

Juhised

Peamine artikkel: Sihtkoha statistika

Keskmise arvutamisel aritmeetilised väärtused mõni muutuja, mis muutub tsükliliselt (näiteks faas või nurk), tuleb olla eriti ettevaatlik. Näiteks oleks 1 ja 359 keskmine 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180. See number on vale kahel põhjusel.

Ülaltoodud valemi abil arvutatud tsüklilise muutuja keskmist väärtust nihutatakse kunstlikult tegeliku keskmise suhtes arvulise vahemiku keskkoha suunas. Seetõttu arvutatakse keskmine teistmoodi, nimelt väikseima dispersiooniga arv ( keskpunkt). Samuti kasutatakse lahutamise asemel modulaarset kaugust (st ümbermõõdu kaugust). Näiteks mooduli vahekaugus 1° ja 359° vahel on 2°, mitte 358° (ringil 359° ja 360° vahel ==0° - üks kraad, 0° ja 1° vahel - samuti 1°, kokku -2 °).