Irratsionaalarvude kogumit tähistatakse tavaliselt suure tähega I (\displaystyle \mathbb (I) ) paksus stiilis ilma varjutamata. Seega: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), see tähendab, et irratsionaalarvude hulk on erinevus reaal- ja ratsionaalarvude hulgast.

Irratsionaalsete arvude, täpsemalt ühikupikkuse lõiguga võrreldamatute segmentide olemasolu oli teada juba iidsetele matemaatikutele: nad teadsid näiteks ruudu diagonaali ja külje võrreldamatust, mis on samaväärne ruudu irratsionaalsusega. number.

Entsüklopeediline YouTube

• 1 / 5

  Irratsionaalsed on:

  Näited irratsionaalsuse tõestuseks

  2. juur

  Oletame vastupidist: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) ratsionaalne, see tähendab murdosa kujul m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Kus m (\displaystyle m) on täisarv ja n (\displaystyle n)- naturaalarv.

  Võrdleme oletatava võrdsuse:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Paremnool 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Paremnool m^(2)=2n^(2)).

  Lugu

  Antiikaeg

  Irratsionaalarvude kontseptsiooni võtsid India matemaatikud kaudselt kasutusele 7. sajandil eKr, kui Manava (umbes 750 eKr – u 690 eKr) leidis, et mõne naturaalarvu, näiteks 2 ja 61 ruutjuuri ei saa otseselt väljendada. [ ] .

  Esimeseks tõendiks irratsionaalsete arvude olemasolust omistatakse tavaliselt Pythagorase Hippasusele Metapontosest (umbes 500 eKr). Pythagoreanide ajal usuti, et on olemas üks pikkusühik, piisavalt väike ja jagamatu, mis sisaldab igas segmendis täisarvu kordi [ ] .

  Puuduvad täpsed andmed selle kohta, millise arvu Hippasus osutus irratsionaalseks. Legendi järgi leidis ta selle pentagrammi külgede pikkusi uurides. Seetõttu on mõistlik eeldada, et see oli kuldlõige [ ] .

  Kreeka matemaatikud nimetasid seda võrreldamatute suuruste suhet alogos(ütlematu), kuid legendide järgi ei avaldanud nad Hippasusele nõuetekohast austust. On legend, et Hippasus tegi avastuse merereisil ja teised Pythagorased viskasid ta üle parda "universumi elemendi loomise pärast, mis eitab doktriini, et kõiki universumi üksusi saab taandada täisarvudeks ja nende suheteks". Hippasuse avastamine tekitas Pythagorase matemaatika jaoks tõsise probleemi, hävitades selle aluseks olnud eelduse, et arvud ja geomeetrilised objektid on üks ja lahutamatud.

  Arvude, eriti naturaalarvude mõistmine on üks vanimaid matemaatika "oskusi". Paljud tsivilisatsioonid, isegi tänapäevased, on arvudele omistanud teatud müstilisi omadusi nende tohutu tähtsuse tõttu looduse kirjeldamisel. Kuigi kaasaegne teadus ja matemaatika neid "maagilisi" omadusi ei kinnita, on arvuteooria tähtsus vaieldamatu.

  Ajalooliselt tekkisid esmalt mitmesugused naturaalarvud, seejärel lisati neile üsna kiiresti murrud ja positiivsed irratsionaalarvud. Null- ja negatiivsed arvud võeti kasutusele pärast neid reaalarvude hulga alamhulka. Viimane komplekt, kompleksarvude hulk, ilmus alles kaasaegse teaduse arenguga.

  Kaasaegses matemaatikas ei tutvustata numbreid ajaloolises järjekorras, kuigi sellele üsna lähedal.

  Naturaalarvud $\mathbb(N)$

  Naturaalarvude komplekti tähistatakse sageli kui $\mathbb(N)=\lsulg 1,2,3,4... \rsulg $ ja on sageli polsterdatud nulliga, et tähistada $\mathbb(N)_0$.

  $\mathbb(N)$ määrab liitmise (+) ja korrutamise ($\cdot$) toimingud järgmiste omadustega mis tahes $a,b,c\mathbb(N)$ jaoks:

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ suletakse hulk $\mathbb(N)$ liitmise ja korrutamise operatsioonide all
  2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ kommutatiivsus
  3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ assotsiatiivsus
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ jaotus
  5. $a\cdot 1=a$ on korrutamise neutraalne element

  Kuna hulk $\mathbb(N)$ sisaldab neutraalset elementi korrutamiseks, kuid mitte liitmiseks, tagab nulli lisamine sellesse hulka, et see sisaldab liitmiseks neutraalset elementi.

  Lisaks nendele kahele toimingule on seosed "vähem kui" ($

  1. $a b$ trihhotoomia
  2. kui $a\leq b$ ja $b\leq a$, siis $a=b$ antisümmeetria
  3. kui $a\leq b$ ja $b\leq c$, siis $a\leq c$ on transitiivne
  4. kui $a\leq b$ siis $a+c\leq b+c$
  5. kui $a\leq b$ siis $a\cdot c\leq b\cdot c$

  Täisarvud $\mathbb(Z)$

  Täisarvude näited:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  Võrrandi $a+x=b$ lahendamine, kus $a$ ja $b$ on teadaolevad naturaalarvud ning $x$ on tundmatu naturaalarv, eeldab uue tehte – lahutamise (-) sisseviimist. Kui seda võrrandit rahuldav naturaalarv $x$, siis $x=b-a$. Sellel konkreetsel võrrandil ei ole aga tingimata lahendust komplektis $\mathbb(N)$, seega on praktilistel kaalutlustel vaja naturaalarvude hulka laiendada, et see hõlmaks ka sellise võrrandi lahendeid. See toob kaasa täisarvude komplekti: $\mathbb(Z)=\lsulg 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

  Kuna $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, siis on loogiline eeldada, et eelnevalt tutvustatud operatsioonid $+$ ja $\cdot$ ning seosed $ 1. $0+a=a+0=a$ lisamiseks on neutraalne element
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$ jaoks on vastandarv $-a$
  

  Vara 5:
  5. kui $0\leq a$ ja $0\leq b$, siis $0\leq a\cdot b$

  Hulk $\mathbb(Z)$ suletakse ka lahutamistehte all, st $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  Ratsionaalarvud $\mathbb(Q)$

  Ratsionaalarvude näited:
  $\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

  Vaatleme nüüd võrrandeid kujul $a\cdot x=b$, kus $a$ ja $b$ on tuntud täisarvud ning $x$ on tundmatu. Et lahendus oleks võimalik, on vaja kasutusele võtta jagamistehte ($:$) ja lahendus saab kujul $x=b:a$ ehk $x=\frac(b)(a)$ . Taas kerkib probleem, et $x$ ei kuulu alati $\mathbb(Z)$, seega tuleb täisarvude komplekti laiendada. See tutvustab ratsionaalarvude komplekti $\mathbb(Q)$ elementidega $\frac(p)(q)$, kus $p\in \mathbb(Z)$ ja $q\in \mathbb(N)$. Hulk $\mathbb(Z)$ on alamhulk, milles iga element $q=1$, seega $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ning liitmise ja korrutamise operatsioonid laienevad sellele hulgale vastavalt järgmised reeglid, mis säilitavad kõik ülaltoodud omadused komplektis $\mathbb(Q)$:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  Jaotus tutvustatakse järgmiselt:
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  Hulgi $\mathbb(Q)$ võrrandil $a\cdot x=b$ on iga $a\neq 0$ jaoks kordumatu lahendus (nulliga jagamine on määratlemata). See tähendab, et on olemas pöördelement $\frac(1)(a)$ või $a^(-1)$:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lsulg 0\rsulg)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

  Komplekti $\mathbb(Q)$ järjekorda saab laiendada järgmiselt:
  $\frac(p_1)(q_1)

  Hulgal $\mathbb(Q)$ on üks oluline omadus: mis tahes kahe ratsionaalarvu vahel on lõpmata palju teisi ratsionaalarve, mistõttu erinevalt naturaalarvude ja täisarvude hulgast pole kahte kõrvuti asetsevat ratsionaalarvu.

  Irratsionaalsed arvud $\mathbb(I)$

  Irratsionaalarvude näited:
  $\sqrt(2) \umbes 1,41422135...$
  $\pi\umbes 3,1415926535...$

  Kuna mis tahes kahe ratsionaalarvu vahel on lõpmata palju teisi ratsionaalarve, on lihtne ekslikult järeldada, et ratsionaalarvude hulk on nii tihe, et seda pole vaja veelgi laiendada. Isegi Pythagoras tegi omal ajal sellise vea. Tema kaasaegsed aga lükkasid selle järelduse juba ümber, kui uurisid võrrandi $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) lahendusi ratsionaalarvude hulgal. Sellise võrrandi lahendamiseks on vaja juurutada ruutjuure mõiste ja siis on selle võrrandi lahend kujul $x=\sqrt(2)$. Võrrandil nagu $x^2=a$, kus $a$ on teadaolev ratsionaalarv ja $x$ on tundmatu, ei ole alati lahendust ratsionaalarvude hulga kohta ja taas tekib vajadus laiendada seatud. Tekib irratsionaalsete arvude hulk ja sellesse hulka kuuluvad sellised arvud nagu $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$....

  Reaalarvud $\mathbb(R)$

  Ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulkade liit on reaalarvude hulk. Kuna $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, siis on jällegi loogiline eeldada, et kasutusele võetud aritmeetilised toimingud ja seosed säilitavad oma omadused uuel hulgal. Selle formaalne tõestamine on väga keeruline, seetõttu võetakse aksioomidena kasutusele ülalmainitud aritmeetiliste tehete omadused ja seosed reaalarvude hulgal. Algebras nimetatakse sellist objekti väljaks, seega öeldakse, et reaalarvude hulk on järjestatud väli.

  Selleks, et reaalarvude hulga definitsioon oleks täielik, on vaja kasutusele võtta täiendav aksioom, mis eristab hulki $\mathbb(Q)$ ja $\mathbb(R)$. Oletame, et $S$ on reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Elementi $b\in \mathbb(R)$ nimetatakse hulga $S$ ülemiseks piiriks, kui $\forall x\in S$ sisaldab $x\leq b$. Siis ütleme, et hulk $S$ on ülalpool piiratud. Hulga $S$ väikseimat ülemist piiri nimetatakse ülemsummaks ja seda tähistatakse $\sup S$. Sarnaselt tutvustatakse alampiiri, allpool piiritletud komplekti ja infinum $\inf S$ mõisteid. Nüüd on puuduv aksioom sõnastatud järgmiselt:

  Igal reaalarvude hulga mittetühjal ja ülemise piiriga alamhulgal on ülemsumma.
  Samuti saab tõestada, et ülaltoodud viisil määratletud reaalarvude väli on unikaalne.

  Kompleksarvud$\mathbb(C)$

  Kompleksarvude näited:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ kus $i = \sqrt(-1)$ või $i^2 = -1$

  Kompleksarvude hulk esindab kõiki reaalarvude järjestatud paare, st $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, mille tehted liitmine ja korrutamine on määratletud järgmiselt:
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  Kompleksarvude kirjutamiseks on mitmeid vorme, millest levinuim on $z=a+ib$, kus $(a,b)$ on reaalarvude paar ja arv $i=(0,1)$ nimetatakse imaginaarseks ühikuks.

  Lihtne on näidata, et $i^2=-1$. Hulgi $\mathbb(R)$ laiendamine hulgale $\mathbb(C)$ võimaldab määrata negatiivsete arvude ruutjuure, mis oli kompleksarvude hulga kasutuselevõtu põhjuseks. Samuti on lihtne näidata, et hulga $\mathbb(C)$ alamhulk, mille annab $\mathbb(C)_0=\lsulg (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, rahuldab kõik reaalarvude aksioomid, seega $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ või $R\subset\mathbb(C)$.

  Hulga $\mathbb(C)$ algebralisel struktuuril liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes on järgmised omadused:
  1. liitmise ja korrutamise kommutatiivsus
  2. liitmise ja korrutamise assotsiatiivsus
  3. $0+i0$ - neutraalne element lisamiseks
  4. $1+i0$ - neutraalne element korrutamiseks
  5. Korrutamine on liitmise suhtes distributiivne
  6. Nii liitmise kui korrutamise jaoks on üks pöördpunkt.

  Murd m/n loeme seda taandamatuks (taandatava murdosa saab ju alati taandada taandamatuks vormiks). Võrdsuse mõlemad pooled ruudustades saame m^2=2n^2. Siit järeldame, et m^2 ja pärast seda arv m- isegi. need. m = 2k. Sellepärast m^2 = 4k^2 ja seega 4 k^2 =2n^2 või 2 k^2 = n^2. Siis aga selgub, et n on ka paarisarv, kuid see ei saa olla, kuna murd m/n taandamatu. Tekib vastuolu. Jääb üle järeldada: meie eeldus on vale ja ratsionaalne arv m/n, võrdne √2, ei eksisteeri.

  See on kõik nende tõestus.

  Vanade kreeklaste tõendite kriitiline hinnang

  
  Aga…. Vaatame seda vanade kreeklaste tõestust mõnevõrra kriitiliselt. Ja kui olete lihtsas matemaatikas ettevaatlikum, näete selles järgmist:

  1) Kreeklaste poolt omaks võetud ratsionaalarvus m/n numbrid m Ja n- terve, aga teadmata(kas nad isegi, kas nad kummaline). Ja nii see on! Ja nendevahelise sõltuvuse kindlakstegemiseks on vaja täpselt kindlaks määrata nende eesmärk;

  2) Kui vanarahvas otsustas, et number m– isegi, siis võrdsuses, mille nad aktsepteerisid m = 2k nad (tahtlikult või teadmatusest!) ei iseloomustanud päris “õigesti” arvu “ k " Aga siin on number k- See terve(TERVE!) ja üsnagi kuulus number, mis üsna selgelt määratleb leitu isegi number m. Ja ära ole selline leitud numbrid" k"muistsed ei saanud tulevikus" kasutada" ja number m ;

  3) Ja millal võrdsusest 2 k^2 = n^2 said muistsed numbri n^2 on paaris ja samal ajal n- isegi siis peaksid nad seda tegema ära kiirusta järeldusega " tekkinud vastuolu“, kuid parem on veenduda maksimumis täpsust nende poolt vastu võetud" valik» numbrid « n ».

  Kuidas nad seda teha said? Jah, lihtne!
  Vaata: saadud võrdsusest 2 k^2 = n^2 võib kergesti saada järgmise võrdsuse k√2 = n. Ja siin pole midagi taunimisväärset - ju said nad võrdõiguslikkusest m/n=√2 on veel üks sellele adekvaatne võrdsus m^2=2n^2! Ja keegi ei öelnud neile vastu!

  Aga uues võrdsuses k√2 = n ilmsete TÄISARVATE jaoks k Ja n on selge, et sellest Alati hanki number √2 - ratsionaalne . Alati! Sest see sisaldab numbreid k Ja n- kuulsad TERVED!

  Aga nii et nende võrdsusest 2 k^2 = n^2 ja sellest tulenevalt alates k√2 = n hanki number √2 – irratsionaalne (nagu see " soovis"muistsed kreeklased!), siis peab neis olema, vähemalt , number" k"nagu mitte terve (!!!) numbrid. Ja see on täpselt see, mida vanadel kreeklastel EI olnud!

  Siit ka KOKKUVÕTE: ülaltoodud tõestus iidsete kreeklaste poolt 2400 aastat tagasi tehtud arvu √2 irratsionaalsusest on ausalt öeldes vale ja matemaatiliselt vale, et mitte öelda ebaviisakalt – see on lihtsalt võlts .

  Eespool näidatud väikeses brošüüris F-6 (vt ülaltoodud fotot), mis ilmus 2015. aastal Krasnodaris (Venemaa), kogutiraažiga 15 000 eksemplari. (ilmselgelt sponsorinvesteeringuga) on toodud uus, matemaatika seisukohalt äärmiselt õige ja üliõige ] tõend arvu √2 irratsionaalsusest, mis oleks võinud juhtuda juba ammu, kui poleks rasket " õpetaja n" ajaloo muististe uurimisele.

  See omadus mängib diferentsiaalvõrrandite lahendamisel olulist rolli. Näiteks diferentsiaalvõrrandi ainus lahendus

  

  on funktsioon

  

  Kus c- suvaline konstant.

  • 1. Number e irratsionaalne ja isegi transtsendentaalne. Selle ületamist tõestas alles 1873. aastal Charles Hermite. Eeldatakse, et e on tavaline arv, st erinevate numbrite esinemise tõenäosus selle tähistuses on sama.
  • 2. Number e on arvutatav (ja seega aritmeetiline) arv.

  Eelkõige Euleri valem

  

  5. nn "Poissoni integraal" või "Gaussi integraal"

  

  8. Kataloonia esindus:

  

  9. Esitlus läbi töö:

  

  10. Kellanumbrite kaudu:

  

  11. Arvu irratsionaalsuse mõõt e on võrdne 2-ga (mis on irratsionaalarvude väikseim võimalik väärtus).

  Irratsionaalsuse tõestus

  Teeskleme seda

  kus a ja b on naturaalarvud. Arvestades seda võrdsust ja seeria laiendamist:

  

  saame järgmise võrdsuse:

  

  Kujutagem seda summat kahe liikme summana, millest üks on rea liikmete summa n 0 kuni a ja teine ​​on seeria kõigi teiste tingimuste summa:

  

  Nüüd liigutame esimese summa võrdsuse vasakule poole:

  

  Korrutame saadud võrdsuse mõlemad pooled arvuga. Saame

  Nüüd lihtsustame saadud avaldist:

  

  Vaatleme saadud võrdsuse vasakut külge. Ilmselt on arv täisarv. Arv on ka täisarv, kuna (sellest järeldub, et kõik vormi numbrid on täisarvud). Seega on saadud võrrandi vasak pool täisarv.

  Liigume nüüd paremale poole. Sellel summal on vorm

  
  

  Leibnizi kriteeriumi järgi see jada läheneb ja selle summa S on reaalarv, mis jääb esimese liikme ja kahe esimese liikme summa vahele (märkidega), st.

  Mõlemad arvud jäävad vahemikku 0 ja 1. Seega, s.o. - võrdsuse parem pool ei saa olla täisarv. Saame vastuolu: täisarv ei saa olla võrdne arvuga, mis ei ole täisarv. See vastuolu tõestab, et number e ei ole ratsionaalne ja on seetõttu irratsionaalne.

  Irratsionaalarvu definitsioon

  Irratsionaalsed arvud on need arvud, mis kümnendsüsteemis tähistavad lõputuid mitteperioodilisi kümnendmurde.

  
  
  

  Näiteks naturaalarvude ruutjuure võtmisel saadud arvud on irratsionaalsed ega ole naturaalarvude ruudud. Kuid mitte kõiki irratsionaalseid numbreid ei saada ruutjuurte võtmisega, sest ka jagamisel saadud arv pi on irratsionaalne ja tõenäoliselt ei saa te seda naturaalarvu ruutjuure eraldamisel.

  Irratsionaalarvude omadused

  Erinevalt arvudest, mis on kirjutatud lõpmatu kümnendkohana, kirjutatakse ainult irratsionaalsed arvud mitteperioodiliste lõpmatute kümnendkohtadena.
  Kahe mittenegatiivse irratsionaalarvu summa võib lõpuks saada ratsionaalarvuks.
  Irratsionaalarvud defineerivad Dedekindi kärpeid ratsionaalarvude hulgas, mille alumises klassis pole suurimat arvu ja ülemises klassis pole väiksemat.
  Iga tõeline transtsendentaalne arv on irratsionaalne.
  Kõik irratsionaalsed arvud on kas algebralised või transtsendentaalsed.
  Irratsionaalarvude hulk sirgel paikneb tihedalt ja selle mis tahes kahe arvu vahel on kindlasti irratsionaalarv.
  Irratsionaalarvude hulk on lõpmatu, loendamatu ja on 2. kategooria hulk.
  Ratsionaalarvudega mis tahes aritmeetilise toimingu sooritamisel, välja arvatud 0-ga jagamine, on tulemuseks ratsionaalarv.
  Lisades irratsionaalarvule ratsionaalarvu, on tulemuseks alati irratsionaalarv.
  Irratsionaalarvude liitmisel võime saada ratsionaalarvu.
  Irratsionaalarvude hulk pole paaris.
  

  Numbrid ei ole irratsionaalsed

  Mõnikord on üsna raske vastata küsimusele, kas arv on irratsionaalne, eriti juhtudel, kui arv on kümnendmurru kujul või arvavaldise, juure või logaritmi kujul.

  Seetõttu ei ole üleliigne teada, millised arvud pole irratsionaalsed. Kui lähtuda irratsionaalarvude definitsioonist, siis me juba teame, et ratsionaalarvud ei saa olla irratsionaalsed.

  Irratsionaalsed arvud ei ole:

  Esiteks kõik naturaalarvud;
  Teiseks täisarvud;
  Kolmandaks harilikud murrud;
  Neljandaks erinevad seganumbrid;
  Viiendaks on need lõpmatud perioodilised kümnendmurrud.
  

  Lisaks kõigele eelnevale ei saa irratsionaalarv olla mistahes ratsionaalarvude kombinatsioon, mida sooritavad aritmeetiliste tehtete märgid, näiteks +, -, , :, kuna sel juhul on ka kahe ratsionaalarvu tulemus ratsionaalne arv.

  Nüüd vaatame, millised arvud on irratsionaalsed:

  
  
  

  Kas teate fänniklubi olemasolust, kus selle salapärase matemaatilise nähtuse fännid otsivad Pi kohta üha rohkem teavet, püüdes selle saladust lahti harutada? Selle klubi liikmeks võib saada igaüks, kes teab peast teatud arvu Pi-arve pärast koma;

  Kas teadsite, et Saksamaal asub UNESCO kaitse all Castadel Monte palee, tänu mille proportsioonidele saab arvutada Pi. Kuningas Frederick II pühendas sellele numbrile kogu palee.

  Selgub, et nad üritasid Paabeli torni ehitamisel kasutada numbrit Pi. Kuid kahjuks viis see projekti kokkuvarisemiseni, kuna sel ajal ei uuritud Pi väärtuse täpset arvutamist piisavalt.

  Laulja Kate Bush salvestas oma uuele plaadile laulu nimega "Pi", milles kõlas sada kakskümmend neli numbrit kuulsast numbrisarjast 3, 141….