Ratsionaalfunktsioonide integreerimine Murdne – ratsionaalne funktsioon Kõige lihtsam. Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine

“Matemaatik, nagu kunstnik või luuletaja, loob mustreid. Ja kui tema mustrid on stabiilsemad, siis ainult sellepärast, et need koosnevad ideedest... Matemaatiku mustrid, nii nagu kunstniku või poeedi mustrid, peavad olema ilusad; Ideed, nagu värvid või sõnad, peavad üksteisele vastama. Ilu on esimene nõue: maailmas pole kohta koledal matemaatikal».

G.H. Hardy

Esimeses peatükis märgiti, et on olemas üsna lihtsate funktsioonide antiderivaadid, mida ei saa enam väljendada elementaarsed funktsioonid. Sellega seoses omandavad tohutu praktilise tähtsuse need funktsiooniklassid, mille kohta saame täpselt öelda, et nende antiderivaadid on elementaarsed funktsioonid. See funktsioonide klass sisaldab ratsionaalsed funktsioonid, mis esindab kahe algebralise polünoomi suhet. Paljud probleemid viivad ratsionaalsete murdude integreerimiseni. Seetõttu on väga oluline, et oleks võimalik selliseid funktsioone integreerida.

2.1.1. Murdratsionaalfunktsioonid

Ratsionaalne murdosa(või murdosaline ratsionaalne funktsioon) nimetatakse kahe algebralise polünoomi seoseks:

kus ja on polünoomid.

Tuletame teile seda meelde polünoom (polünoom, kogu ratsionaalne funktsioon) naste nimetatakse vormi funktsiooniks

Kus - reaalarvud. Näiteks,

– esimese astme polünoom;

– neljanda astme polünoom jne.

Ratsionaalmurdu (2.1.1) nimetatakse õige, kui aste on kraadist madalam, s.o. n<m, muidu nimetatakse murdosa vale.

ma armastan seda vale murd saab esitada polünoomi (täisarvulise osa) summana ja õige murdosa(murdosa). Vale murru tervik- ja murdosade eraldamist saab teha polünoomide “nurgaga” jagamise reegli järgi.

Näide 2.1.1. Tuvastage järgmiste valede ratsionaalsete murdude terved ja murdosad:

A) , b) .

Lahendus . a) Kasutades “nurga” jagamisalgoritmi, saame

Seega saame

.

b) Siin kasutame ka “nurga” jagamise algoritmi:

Selle tulemusena saame

.

Teeme kokkuvõtte. Üldjuhul saab ratsionaalse murru määramatut integraali esitada polünoomi ja õige ratsionaalmurru integraalide summana. Polünoomide antiderivaatide leidmine pole keeruline. Seetõttu käsitleme edaspidi peamiselt õigeid ratsionaalseid murde.

2.1.2. Lihtsamad ratsionaalsed murrud ja nende integreerimine

Õigete ratsionaalsete murdude hulgas on neli tüüpi, mida liigitatakse järgmiselt lihtsaimad (elementaarsed) ratsionaalsed murrud:

kus on täisarv, , st. ruuttrinoom tal pole tõelisi juuri.

1. ja 2. tüübi lihtmurdude integreerimine ei tekita suuri raskusi:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Vaatleme nüüd 3. tüübi lihtmurdude integreerimist, kuid 4. tüübi murde me ei arvesta.

Alustame vormi integraalidega

.

See integraal arvutatakse tavaliselt nimetaja täiusliku ruudu eraldamise teel. Tulemuseks on järgmise vormi tabeliintegraal

või .

Näide 2.1.2. Leidke integraalid:

A) , b) .

Lahendus . a) Valige ruut kolmiku ruut:

Siit leiame

b) Eraldades täisruudu ruuttrinoomist, saame:

Seega

.

Integraali leidmiseks

võite eraldada nimetaja tuletise lugejas ja laiendada integraali kahe integraali summaks: esimene neist asendades taandub välimusele

,

ja teine ​​- eespool käsitletule.

Näide 2.1.3. Leidke integraalid:

.

Lahendus . Märka seda . Isoleerime nimetaja tuletise lugejas:

Esimene integraal arvutatakse asendust kasutades :

Teises integraalis valime nimetajasse täiusliku ruudu

Lõpuks saame

2.1.3. Õige ratsionaalne murdosa laiendamine
lihtmurdude summaks

Iga õige ratsionaalne murd saab unikaalsel viisil esitada lihtmurdude summana. Selleks tuleb nimetaja faktoriseerida. Kõrgemast algebrast on teada, et iga polünoom reaalkoefitsientidega

Integratsioon ratsionaalsed funktsioonid Murru - ratsionaalne funktsioon Lihtsamad ratsionaalmurrud Ratsionaalmurdu lagundamine lihtmurdudeks Lihtmurdude integreerimine Üldreegel ratsionaalsete murdude integreerimiseks

n-astme polünoom. Murd-ratsionaalfunktsioon Murd-ratsionaalfunktsioon on funktsioon, mis võrdub kahe polünoomi suhtega: Ratsionaalmurdu nimetatakse õigeks, kui lugeja aste on väiksem nimetaja astmest, see tähendab m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Murd-ratsionaalne funktsioon Vähendage vale murd õigele kujule: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 933 x 3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Lihtsamad ratsionaalsed murrud Vormi õiged ratsionaalsed murrud: Neid nimetatakse tüüpide lihtsaimateks ratsionaalseteks murdudeks. kirves A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Ratsionaalmurru lagundamine lihtmurdudeks Teoreem: Iga õige ratsionaalne murd, mille nimetaja on faktoriseeritud: saab esitada unikaalsel viisil lihtmurdude summana: s k qxpxxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Ratsionaalmurru lagundamine lihtmurdudeks Selgitame teoreemi sõnastust järgmiste näidete abil: Ebakindlate koefitsientide A, B, C, D... leidmiseks kasutatakse kahte meetodit: koefitsientide võrdlemise meetodit ja meetodit. muutuja osaväärtustest. Vaatame esimest meetodit näite abil. 3 2) 3) (2 (4 x x x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 x x Nx. M) 1 (3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1) (4 (987 xxx xx 4 x)

Ratsionaalmurru lagundamine lihtmurdudeks Esitage murd lihtmurdude summana: Toome lihtsaimad murrud ühisnimetajasse Võrdsustame saadud ja algmurru lugejad Võrdsustame koefitsiendid samadel astmetel x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. 35 32 2) 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Lihtsamate murdude integreerimine Leiame lihtsaimate ratsionaalsete murdude integraalid: Vaatame näite abil 3. tüüpi murdude integreerimist. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Lihtmurrude integreerimine dx xx x 102 13 2 dx xx x 9) 12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 232 2tt 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Lihtmurdude integreerimine Seda tüüpi asendust kasutav integraal: taandatakse kahe integraali summaks: Esimene integraal arvutatakse diferentsiaalmärgi alla t sisestamisega. Teine integraal arvutatakse kordusvalemi abil: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Lihtmurdude integreerimine a = 1; k = 3 323) 1 (t dt tartg t dt 1 21) 1) (12 (2222 322 1 21222 t t t dt) 1 (22 1 2 t t t t t t t t 2223) 1) (13 (2232 t 2 t c 3 g t ) (4)1(

Üldreegel ratsionaalsete murdude integreerimiseks Kui murd on vale, siis esitage see polünoomi ja õige murru summana. Olles faktoriseerinud õige ratsionaalse murru nimetaja, esitage see määramatute koefitsientidega lihtmurdude summana. Leidke määramata koefitsiendid koefitsientide võrdlemise meetodil või muutuja osaväärtuste meetodil. Integreerige polünoom ja saadud lihtmurdude summa.

Näide Paneme murru õigele kujule. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 2 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 234 234 234 234 234 234 23 xxx xxx 234 23 xxx xxx 234x23x2 2 5 xxx 5105 2 xx 2 xx 2 xx

Näide Faktoriseerime õige murru nimetaja Esitame murdosa lihtmurdude summana Leiame muutuja xxx xx osaväärtuste meetodil määramata koefitsiendid 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1 (1 x C x B x A 2 2) 1 () 1 (xx Cxx. Bxx. A 48) 1 () 1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1 (3 1 124 xxx

Näide dx xx 2 2) 1 (3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Eelnevalt käsitlesime integratsiooni üldisi meetodeid. Selles ja järgmistes lõikudes räägime konkreetsete funktsiooniklasside integreerimisest käsitletud tehnikate abil.

Lihtsaimate ratsionaalsete funktsioonide integreerimine

Vaatleme vormi integraali \textstyle(\int R(x)\,dx), kus y=R(x) on ratsionaalne funktsioon. Suvalist ratsionaalset avaldist R(x) saab esitada kujul \frac(P(x))(Q(x)), kus P(x) ja Q(x) on polünoomid. Kui see murd on vale, st kui lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, saab seda esitada polünoomi (täisarvulise osa) ja õige murru summana. Seetõttu piisab õigete murdude integreerimisest.

Näitame, et selliste murdude integreerimine taandub integratsiooniks lihtmurrud, st vormi väljendid:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

Kus A,\,B,\,a,\,p,\,q on reaalarvud ja ruuttrinoomil x^2+px+q pole reaaljuuri. Tüübi 1) ja 2) avaldisi nimetatakse 1. tüübi murdudeks ning 3. ja 4. tüüpi avaldisi nimetatakse 2. tüüpi murdudeks.

Esimest tüüpi murdude integraalid arvutatakse otse

\begin(joondatud)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end (joondatud)

Vaatleme teist tüüpi murdude integraalide arvutamist: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Esiteks märgime seda

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operaatorinimi(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

Integraali 3) arvutamise taandamiseks nendele kahele integraalile teisendame ruutkolminoomi x^2+px+q, eraldades sellest täisruudu:

x^2+px+q= (\left(x+\frac(p)(2)\right)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Kuna eeldusel, et sellel trinoomil pole tegelikke juuri, siis q-\frac(p^2)(4)>0 ja saame panna q-\frac(p^2)(4)=a^2. Asendamine x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt teisendab integraali 3) näidatud kahe integraali lineaarseks kombinatsiooniks:

\begin(joonatud)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\right )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2 )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\right)\!\ \operaatorinimi(arctg)\frac(t)(a)+C. \end (joondatud)

Lõplikus vastuses tuleb ainult (t) asendada x+\frac(p)(2) ja (a) \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Kuna t^2+a^2=x^2+px+q, siis

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operaatorinimi(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac (p^2) (4)))+C.

Kaaluge juhtumit \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Sarnaselt eelmisele juhul määrame x+\frac(p)(2)=t. Saame:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \left(B-\frac(Ap)(2)\right)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Esimene tähtaeg arvutatakse järgmiselt:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Teine integraal arvutatakse kordusvalemi abil.

Näide 1. Arvutame \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Lahendus. Meil on: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. Paneme x+1=t. Siis dx=dt ja 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 ning seetõttu

\begin(joondatud)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operaatorinimi(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operaatorinimi(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end (joondatud)

Näide 2. Arvutame \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Lahendus. Meil on: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Tutvustame uut muutujat, määrates x+3=t. Siis dt=dx ja x+2=t-1 . Asendades muutuja integraalimärgi all, saame:

\begin(joonatud)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end (joondatud))

Paneme I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Meil on:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), Aga I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operaatorinimi(arctg)t Seega I_2= \frac(1)(2)\operaatorinimi(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Lõpuks saame:

\begin(joonatud)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operaatorinimi(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operaatorinimi(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operaatorinimi(arctg)(x+3)+C \end(joondatud)

Õigete murdude integreerimine

Mõelge õigele murdosale R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), kus Q(x) on n-astme polünoom. Üldisust kaotamata võib eeldada, et Q(x) juhtkoefitsient on võrdne 1-ga. Algebra kursusel on tõestatud, et sellist reaalkoefitsientidega polünoomi saab faktoriseerida reaalkoefitsientidega esimese ja teise astme teguriteks. :

Q(x)= (x-x_1)^(\alpha)\lpunktid (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\lpunktid (x^2) +r\,x+s)^(\delta).

kus x_1,\ldots,x_k on polünoomi Q(x) reaaljuured ja ruuttrinoomidel pole reaaljuuri. Võib tõestada, et siis R(x) esitatakse lihtmurdude summana kujul 1) -4):

\begin(joondatud)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x- x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+ N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta ))(x^2+rx+s)\, \end(joondatud)

kus nimetajate eksponendid vähenevad järjestikku \alpha-lt 1-le, ..., \beta-lt 1-le, \gamma-lt 1-le, ..., \deltalt 1-le ja A_1,\ldots,F_(\delta)- ebakindlad koefitsiendid. Nende koefitsientide leidmiseks tuleb nimetajatest lahti saada ja kahe polünoomi võrdsuse saamisel kasutada määramatute kordajate meetodit.

Teine võimalus koefitsientide määramiseks A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) põhineb muutuja x väärtuste asendamisel. Asendades pärast nimetajate elimineerimist võrrandist (1) saadud võrrandisse x asemel suvalise arvu, jõuame lineaarvõrrand nõutavate koefitsientide suhtes. Asendades vajaliku arvu selliseid muutuja osaväärtusi, saame võrrandisüsteemi koefitsientide leidmiseks. Kõige mugavam on muutuja privaatväärtusteks valida nimetaja juured (nii tegelikud kui ka komplekssed). Sel juhul kaovad peaaegu kõik võrdsuse (see tähendab kahe polünoomi võrdsust) paremal poolel olevad terminid, mis teeb ülejäänud koefitsientide leidmise lihtsaks. Kompleksväärtuste asendamisel pidage meeles, et kaks kompleksarvu on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende reaal- ja mõtteline osa on vastavalt võrdsed. Seetõttu saadakse igast kompleksarve sisaldavast võrrandist kaks võrrandit.

Pärast määramata koefitsientide leidmist jääb üle arvutada saadud lihtsamate murdude integraalid. Kuna lihtsaimate murdude integreerimisel, nagu nägime, saadakse ainult ratsionaalfunktsioonid, arktangensid ja logaritmid, siis mis tahes ratsionaalfunktsiooni integraali väljendatakse ratsionaalfunktsiooni, arctangentide ja logaritmide kaudu.

Näide 3. Arvutame korraliku ratsionaalse murru integraali \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Lahendus. Teguristame integrandi nimetaja:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Kirjutame välja integrandi ja esitame selle lihtmurdude summana:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

6x+1=A\cpunkt (x+3)+B\cpunkt (x-1)\,.

Koefitsientide leidmiseks kasutame osaväärtuste asendusmeetodit. Koefitsiendi A leidmiseks paneme x=1. Siis võrrandist (2) saame 7=4A, kust A=7/4. Koefitsiendi B leidmiseks paneme x=-3. Siis võrdsusest (2) saame -17=-4B, kust B=17/4.

Niisiis, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1) (x+3). Tähendab,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4 )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

Näide 4. Arvutame \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Lahendus. Kirjutame välja integrandi ja esitame selle lihtmurdude summana. Nimetaja sisaldab tegurit x^2+2, millel pole pärisjuuri; see vastab murdosale 2. liigist: \frac(Ax+B)(x^2+2) kordaja (x-1)^2 vastab kahe esimest tüüpi murru summale: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); lõpuks vastab tegur x+2 ühele 1. tüüpi \frac(E)(x+2) murdosale. Seega esitame integrandi funktsiooni nelja murdosa summana:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

\begin (joondatud) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(joondatud)

Integrandi nimetajal on kaks reaaljuurt: x=1 ja x=-2. Väärtuse x=1 asendamisel võrdsusega (4) saame 16=9C, millest leiame C=16/9. Asendades x=-2 saame 13=54E ja defineerime vastavalt E=13/54. Väärtuse x=i\,\sqrt(2) (polünoomi x^2+2 juur) asendamine võimaldab meil minna võrdusse

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot (i\,\sqrt(2)+2).

See muundub järgmisele kujule:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, kust 10A+2B=5 ja (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Kahe muutujaga kahe võrrandisüsteemi lahendamine \begin(juhud)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(juhtumid) leiame: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

Jääb kindlaks määrata koefitsiendi D väärtus. Selleks avame võrdsuses (4) olevad sulud, esitame sarnased terminid ja võrdleme seejärel x^4 koefitsiente. Saame:

A+D+E=1, see tähendab D=0.

Asendame koefitsientide leitud väärtused võrdsusega (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

\begin(joondatud)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41 )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operaatorinimi(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(joondatud)

Vale murdude integreerimine

Oletame, et peame funktsiooni integreerima y=\frac(f(x))(g(x)), kus f(x) ja g(x) on polünoomid ja polünoomi f(x) aste on suurem või võrdne polünoomi g(x) astmega. Sel juhul peate kõigepealt valima vale murdosa kogu osa \frac(f(x))(g(x)), st kujutage seda kujul

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

kus s(x) on polünoom, mille aste on võrdne polünoomide f(x) ja g(x) astmete vahega ja \frac(r(x))(g(x))- õige murdosa.

Siis on meil \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

Näide 5. Arvutame valemurru integraali \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Lahendus. Meil on:

\begin(joonatud)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end (joondatud)

Kogu osa eraldamiseks jagage f(x) g(x)-ga: \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Tähendab, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Meil on: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Integraali arvutamiseks \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx Kasutatakse määramatute koefitsientide meetodit, nagu eespool. Pärast arvutusi, mille jätame lugeja hooleks, saame.

Siin pakume üksikasjalikke lahendusi kolmele näitele järgmiste ratsionaalsete murdude integreerimisest:
, , .

Näide 1

Arvutage integraal:
.

Lahendus

Siin on integraalimärgi all ratsionaalne funktsioon, kuna integrand on murdosa polünoomidest. Nimetaja polünoomi aste ( 3 ) on väiksem kui lugejapolünoomi ( 4 ). Seetõttu peate kõigepealt valima kogu murdosa.

1. Valime kogu murdosa. Jaga x 4 x poolt 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Siit
.

2. Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama kuupvõrrandi:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Asendame x = 1 :
.

1 . jaga x-ga - 1 :

Siit
.
Otsustame ruutvõrrand.
.
Võrrandi juured on: , .
Siis
.

3. Jaotame murdosa selle lihtsaimaks vormiks.

.

Niisiis leidsime:
.
Integreerime.

Vastus

Näide 2

Arvutage integraal:
.

Lahendus

Siin on murru lugejaks nullkraadiga polünoom ( 1 = x 0). Nimetaja on kolmanda astme polünoom. Kuna 0 < 3 , siis on murd õige. Jagame selle lihtmurdudeks.

1. Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks terve juur. Siis on see arvu jagaja 3 (liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 3, -1, -3 .
Asendame x = 1 :
.

Niisiis, oleme leidnud ühe juure x = 1 . Jaga x 3 + 2 x - 3 kohta x - 1 :

Niisiis,
.

Ruutvõrrandi lahendamine:
x 2 + x + 3 = 0.
Leidke diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Kuna D< 0 , siis pole võrrandil tegelikke juuri. Seega saime nimetaja faktoriseerimise:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Asendame x = 1 . Siis x - 1 = 0 ,
.

Asendame sisse (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Võrdustame sellega (2.1) koefitsiendid x jaoks 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integreerime.
(2.2) .
Teise integraali arvutamiseks valime lugejas oleva nimetaja tuletise ja taandame nimetaja ruutude summaks.

;
;
.

Arvutage I 2 .


.
Kuna võrrand x 2 + x + 3 = 0 ei oma tegelikke juuri, siis x 2 + x + 3 > 0. Seetõttu võib mooduli märgi ära jätta.

Tarnime kohale (2.2) :
.

Vastus

Näide 3

Arvutage integraal:
.

Lahendus

Siin on integraalimärgi all murdosa polünoomidest. Seetõttu on integrand ratsionaalne funktsioon. Polünoomi aste lugejas on võrdne 3 . Murru nimetaja polünoomi aste on võrdne 4 . Kuna 3 < 4 , siis on murd õige. Seetõttu saab selle lagundada lihtfraktsioonideks. Kuid selleks peate nimetaja faktoriseerima.

1. Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama neljanda astme võrrandi:
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks terve juur. Siis on see arvu jagaja 2 (liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2 .
Asendame x = -1 :
.

Niisiis, oleme leidnud ühe juure x = -1 . jaga x-ga - (-1) = x + 1:


Niisiis,
.

Nüüd peame lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Kui eeldame, et sellel võrrandil on täisarvu juur, siis on see arvu jagaja 2 (liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2 .
Asendame x = -1 :
.

Niisiis, leidsime veel ühe juure x = -1 . Nagu eelmisel juhul, oleks võimalik polünoomi jagada arvuga , kuid rühmitame terminid:
.

Kuna võrrand x 2 + 2 = 0 millel pole tegelikke juuri, siis saame nimetaja faktoriseerimise:
.

2. Jaotame murdosa selle lihtsaimaks vormiks. Otsime laiendust kujul:
.
Vabaneme murdosa nimetajast, korrutame sellega (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Asendame x = -1 . Siis x + 1 = 0 ,
.

Teeme vahet (3.1) :

;

.
Asendame x = -1 ja võta arvesse, et x + 1 = 0 :
;
; .

Asendame sisse (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Võrdustame sellega (3.1) koefitsiendid x jaoks 3 :
;
1 = B + C;
.

Niisiis, oleme leidnud lagunemise lihtsateks murdudeks:
.

3. Integreerime.


.

Üks olulisemaid funktsioonide klasse, mille integraale väljendatakse elementaarfunktsioonide kaudu, on ratsionaalsete funktsioonide klass.

Definitsioon 1. Vormi kus funktsioon
- kraadide polünoomidnJamnimetatakse ratsionaalseks. Terve ratsionaalne funktsioon, s.t. polünoom, integreerib otse. Murd-ratsionaalfunktsiooni integraali saab leida lagundades terminiteks, mis teisendatakse standardsel viisil peamisteks tabeliintegraalideks.

Definitsioon 2. Murd
nimetatakse õigeks, kui lugeja astenvähem kui nimetaja võimsusm. Murru, milles lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, nimetatakse ebaõigeks.

Iga vale murdosa saab esitada polünoomi ja õige murru summana. Seda tehakse polünoomi jagamisel polünoomiga, nagu arvude jagamine.

Näide.

Kujutagem ette murdosa
polünoomi ja õige murru summana:

x - 1

3

3

3

Esimene ametiaeg
jagatis saadakse juhtliikme jagamise tulemusena
, jagatud juhtterminiga X jagaja Siis korrutame
jagaja kohta x-1 ja saadud tulemus lahutatakse dividendist; Sarnaselt leitakse ka mittetäieliku jagatise ülejäänud liikmed.

Pärast polünoomide jagamist saame:

Seda toimingut nimetatakse terve osa valimiseks.

Definitsioon 3. Kõige lihtsamad murded on õiged ratsionaalsed murded järgmistest tüüpidest:

I.

II.
(K = 2, 3, …).

III.
kus on ruuttrinoom

IV.
kus K = 2, 3, …; ruuttrinoom
tal pole tõelisi juuri.

a) laiendage nimetajat
kõige lihtsamateks reaalteguriteks (algebra põhiteoreemi kohaselt võib see laiendus sisaldada vormi lineaarseid binoome
ja ruuttrinoomid
, millel puuduvad juured);

b) kirjutage skeem etteantud murru lagunemisest lihtmurdude summaks. Veelgi enam, iga vormi tegur
vastab k I ja II tüüpi komponendid:

vormi igale tegurile
vastab III ja IV tüüpi e tingimustele:

Näide.

Kirjutage üles murdosa laiendamise skeem
kõige lihtsamate summani.

c) sooritada saadud lihtsamate murdude liitmine. Kirjutage üles saadud ja algmurru lugejate võrdsus;

d) leidke vastava laienemise koefitsiendid:
(lahendusmeetodeid käsitletakse allpool);

e) asendada koefitsientide leitud väärtused lagunemisskeemi.

Mis tahes õige ratsionaalse murru integreerimine pärast lagunemist selle lihtsaimatesse terminitesse taandab integraalide leidmiseks ühte järgmistest tüüpidest:

(k Ja e =2, 3, …).

Integraali arvutamine taandub valemile III:

lahutamatu - valemile II:

lahutamatu on leitav ruuttrinoomi sisaldavate funktsioonide integreerimise teoorias määratud reegliga; - allpool näites 4 näidatud teisenduste kaudu.

Näide 1.

a) faktori nimetaja:

b) kirjutage skeem integrandi terminiteks jaotamiseks:

c) lisage lihtmurrud:

Kirjutame üles murdude lugejate võrdsuse:

d) tundmatute koefitsientide A, B, C leidmiseks on kaks meetodit.

Kaks polünoomi on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid on samade astmete korral võrdsed X, et saaksite luua vastava võrrandisüsteemi. See on üks lahendusmeetoditest.

Koefitsiendid juures

vabaliikmed (koefitsient at ):4A=8.

Olles lahendanud süsteemi, saame A=2, B=1, C = -10.

Järgmises näites käsitletakse teist meetodit - privaatseid väärtusi;

e) asendage leitud väärtused lagunemisskeemi:

Asendades saadud summa integraalimärgi alla ja integreerides iga liikme eraldi, leiame:

Näide 2.

Identiteet on võrdsus, mis kehtib selles sisalduvate tundmatute mis tahes väärtuste puhul. Selle põhjal eraväärtuse meetod. Võib anda X mingeid väärtusi. Arvutustes on mugavam võtta need väärtused, mis muudavad kõik võrdsuse paremal küljel olevad tingimused kaduma.

Lase x = 0. Siis 1 = A 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Samamoodi jaoks x = -2 meil on 1= -2V*(-3), kell x = 1 meil on 1 = 3A.

Seega

Näide 3.

d) esmalt kasutame osaväärtuse meetodit.

Lase x = 0, Siis 1 = A 1, A = 1.

Kell x = -1 meil on - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) või 6 = -3 V, B = -2.

Koefitsientide C ja D leidmiseks peate looma veel kaks võrrandit. Selleks võite võtta mis tahes muid väärtusi X, Näiteks x = 1 Ja x = 2. Võite kasutada esimest meetodit, st. võrdsustada koefitsiente mis tahes identsetel astmetel X, näiteks millal Ja . Saame

1 = A+B+C ja 4 = C+D- IN.

Teades A = 1, B = -2, leiame C = 2, D = 0 .

Seega saab koefitsientide arvutamisel kombineerida mõlemat meetodit.

Viimane integraal leiame eraldi uue muutuja määramise meetodis määratud reegli järgi. Valime nimetajas täiusliku ruudu:

ütleme
Siis
Saame:

=

Asendades eelmise võrdsusega, leiame

Näide 4.

Otsi

b)

d)

Integreerides on meil:

Teisendame esimese integraali valemiks III:

Teisendame teise integraali valemiks II:

Kolmandas integraalis asendame muutuja:

(Teisenduste tegemisel kasutasime trigonomeetria valemit

Leidke integraalid:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Enesetesti küsimused.

Millised neist ratsionaalsetest murdudest on õiged:

2. Kas skeem murdu lihtmurdude summaks lagundamiseks on õigesti kirjutatud?