Logaritm. Kahendlogaritmi, naturaallogaritmi, kümnendlogaritmi definitsioon; eksponentsiaalfunktsioon exp(x), arv e. Log, Ln. Astmete valemid ja logaritmid. Kasutades logaritmi, detsibelle. Naturaallogaritmi mõistmine

sageli võta number e = 2,718281828 . Nimetatakse sellel baasil põhinevaid logaritme loomulik. Naturaallogaritmidega arvutuste tegemisel on tavaline opereerida märgiga ln, kuid mitte logi; samas kui number 2,718281828 , mis määravad aluse, ei ole märgitud.

Teisisõnu näeb formulatsioon välja järgmine: naturaallogaritm numbrid X- see on astendaja, milleni tuleb arv tõsta e, Et saada x.

Niisiis, ln(7389...)= 2, alates e 2 =7,389... . Arvu enda naturaalne logaritm e= 1, sest e 1 =e, ja ühtsuse loomulik logaritm on null, kuna e 0 = 1.

Number ise e määrab monotoonse piiratud jada piiri

arvutas selle välja e = 2,7182818284... .

Üsna sageli seostatakse numbri mällu fikseerimiseks vajaliku numbri numbrid mõne silmapaistva kuupäevaga. Arvu üheksa esimese numbri meeldejätmise kiirus e pärast koma suureneb, kui märkate, et 1828 on Lev Tolstoi sünniaasta!

Tänapäeval on olemas üsna täielikud naturaallogaritmide tabelid.

Naturaallogaritmi graafik(funktsioonid y =ln x) tuleneb sellest, et astendajagraafik on sirge peegelpilt y = x ja sellel on vorm:

Naturaallogaritmi võib leida iga positiivse reaalarvu jaoks a kui kõvera alune ala y = 1/x alates 1 enne a.

Selle sõnastuse elementaarsus, mis on kooskõlas paljude teiste valemitega, milles naturaallogaritm on seotud, oli nimetuse "looduslik" moodustamise põhjuseks.

Kui analüüsida naturaallogaritm, reaalse muutuja reaalfunktsioonina, siis see toimib pöördfunktsioon eksponentsiaalseks funktsiooniks, mis taandab identiteetidele:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Analoogiliselt kõigi logaritmidega teisendab naturaallogaritm korrutamise liitmiseks ja jagamise lahutamiseks:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/a)= lnx - lny

Logaritmi võib leida iga positiivse baasi jaoks, mis ei ole võrdne ühega, mitte ainult jaoks e, kuid teiste aluste logaritmid erinevad naturaallogaritmist ainult konstantse teguri poolest ja on tavaliselt defineeritud naturaallogaritmi järgi.

Olles analüüsinud naturaallogaritmi graafik, leiame, et see on olemas muutuja positiivsete väärtuste jaoks x. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Kell x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus ( -∞ ).Kell x → +∞ naturaallogaritmi piir on pluss lõpmatus ( + ∞ ). Üldiselt x Logaritm kasvab üsna aeglaselt. Igasugune toitefunktsioon xa positiivse eksponendiga a kasvab kiiremini kui logaritm. Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi.

Kasutamine naturaallogaritmid väga ratsionaalne kõrgema matemaatika läbimisel. Seega on logaritmi kasutamine mugav vastuse leidmiseks võrranditele, milles tundmatud esinevad eksponentidena. Naturaallogaritmide kasutamine arvutustes võimaldab paljusid matemaatilisi valemeid oluliselt lihtsustada. Logaritmid baasi e esinevad märkimisväärse hulga füüsikaliste probleemide lahendamisel ja on loomulikult kaasatud üksikute keemiliste, bioloogiliste ja muude protsesside matemaatilisesse kirjeldusse. Seega kasutatakse logaritme teadaoleva poolestusaja lagunemiskonstandi arvutamiseks või radioaktiivsuse probleemide lahendamisel lagunemisaja arvutamiseks. Need mängivad juhtivat rolli paljudes matemaatika ja praktiliste teaduste valdkondades, neid kasutatakse finantsvaldkonnas suure hulga probleemide lahendamiseks, sealhulgas liitintressi arvutamiseks.

Antakse funktsiooni ln x naturaallogaritmi, graafiku, määratluspiirkonna, väärtuste hulga, põhivalemite, tuletise, integraali, astmeridade laienduse ja kompleksarvude abil esituse põhiomadused.

Definitsioon

Naturaalne logaritm on funktsioon y = ln x, eksponentsiaali pöördväärtus x = e y ja on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.

Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.

Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktsiooni y = graafik ln x.

Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse eksponentsiaalgraafikult peegelpeegelduse teel sirgjoone y = x suhtes.

Naturaalne logaritm on määratletud muutuja x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Kell x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus (-∞).

Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus (+ ∞). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Iga võimsusfunktsioon x a, millel on positiivne astendaja a, kasvab kiiremini kui logaritm.

Naturaallogaritmi omadused

Määratluspiirkond, väärtuste kogum, äärmused, suurenemine, vähenemine

Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.

ln x väärtused

ln 1 = 0

Naturaallogaritmide põhivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasasendusvalemit:

Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".

Pöördfunktsioon

Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.

Kui siis

Kui siis.

Tuletis ln x

Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Integraalne

Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,

Kompleksarve kasutavad avaldised

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ​​ole üheselt määratletud. Kui paned
, kus n on täisarv,
see on sama arv erinevate n-de jaoks.

Seetõttu ei ole naturaallogaritm kompleksmuutuja funktsioonina ühe väärtusega funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Kui laienemine toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.

Arvu b logaritm alusele a on astendaja, milleni tuleb arvu b saamiseks tõsta arv a.

Kui siis.

Logaritm – äärmuslik oluline matemaatiline suurus, kuna logaritmiline arvutus võimaldab mitte ainult lahendada eksponentsiaalvõrrandeid, vaid ka opereerida astendajatega, eristada eksponentsiaal- ja logaritmilisi funktsioone, neid integreerida ja viia need arvutamiseks vastuvõetavamale kujule.

Kokkupuutel

Kõik logaritmide omadused on otseselt seotud eksponentsiaalfunktsioonide omadustega. Näiteks see, et tähendab, et:

Tuleb märkida, et konkreetsete ülesannete lahendamisel võivad logaritmide omadused osutuda olulisemaks ja kasulikumaks kui võimsustega töötamise reeglid.

Toome välja mõned identiteedid:

Siin on peamised algebralised avaldised:

;

.

Tähelepanu! saab eksisteerida ainult x>0, x≠1, y>0 korral.

Proovime mõista küsimust, mis on naturaallogaritmid. Eriline huvi matemaatika vastu esindavad kahte tüüpi- esimese aluseks on number 10 ja seda nimetatakse kümnendlogaritmiks. Teist nimetatakse loomulikuks. Naturaallogaritmi alus on arv “e”. Sellest räägime selles artiklis üksikasjalikult.

Nimetused:

• lg x - kümnend;
• ln x - loomulik.

Identiteeti kasutades näeme, et ln e = 1, samuti seda, et lg 10=1.

Naturaallogaritmi graafik

Koostame naturaallogaritmi graafiku standardsel klassikalisel meetodil punkt-punktilt. Soovi korral saate funktsiooni uurides kontrollida, kas konstrueerime funktsiooni õigesti. Siiski on mõistlik õppida seda "käsitsi" koostama, et teada saada, kuidas logaritmi õigesti arvutada.

Funktsioon: y = ln x. Kirjutame üles punktide tabeli, mida graafik läbib:

Selgitame, miks me valisime argumendi x need konkreetsed väärtused. Kõik on seotud identiteediga: . Loodusliku logaritmi puhul näeb see identiteet välja järgmine:

Mugavuse huvides võime võtta viis võrdluspunkti:

;

;

.

;

.

Seega on naturaallogaritmide arvutamine üsna lihtne ülesanne, lisaks lihtsustab see võimsustega tehtete arvutamist, muutes need tavaline korrutis.

Joonistades graafiku punktide kaupa, saame ligikaudse graafiku:

Naturaallogaritmi määratluspiirkond (st argumendi X kõik kehtivad väärtused) on kõik arvud, mis on suuremad kui null.

Tähelepanu! Naturaallogaritmi määratluspiirkond sisaldab ainult positiivseid arve! Definitsiooni ulatus ei hõlma x=0. See on logaritmi olemasolu tingimuste alusel võimatu.

Väärtuste vahemik (st funktsiooni y = ln x kõik kehtivad väärtused) on kõik intervalli numbrid.

Loomuliku logi piirang

Graafikut uurides tekib küsimus - kuidas käitub funktsioon y juures<0.

Ilmselt kaldub funktsiooni graafik ületama y-telge, kuid ei saa seda teha, kuna x naturaallogaritm<0 не существует.

Looduse piir logi saab kirjutada nii:

Valem logaritmi aluse asendamiseks

Naturaallogaritmiga tegelemine on palju lihtsam kui suvalise baasiga logaritmiga tegelemine. Sellepärast proovime õppida, kuidas taandada mis tahes logaritm loomulikuks või väljendada seda naturaallogaritmide kaudu suvalise baasini.

Alustame logaritmilisest identiteedist:

Seejärel saab mis tahes arvu või muutuja y esitada järgmiselt:

kus x on suvaline arv (positiivne vastavalt logaritmi omadustele).

Seda avaldist saab võtta logaritmiliselt mõlemalt poolt. Teeme seda suvalise baasi z abil:

Kasutame atribuuti (ainult "c" asemel on meil avaldis):

Siit saame universaalse valemi:

.

Täpsemalt, kui z=e, siis:

.

Saime esitada logaritmi suvalise baasi kahe naturaallogaritmi suhte kaudu.

Me lahendame probleeme

Naturaallogaritmide paremaks mõistmiseks vaatame mitme probleemi näiteid.

Probleem 1. On vaja lahendada võrrand ln x = 3.

Lahendus: Kasutades logaritmi definitsiooni: kui , siis , saame:

Probleem 2. Lahendage võrrand (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Lahendus: Kasutades logaritmi definitsiooni: kui , siis , saame:

.

Kasutame uuesti logaritmi definitsiooni:

.

Seega:

.

Saate vastuse ligikaudu välja arvutada või jätta selle sellele vormile.

3. ülesanne. Lahenda võrrand.

Lahendus: Teeme asendused: t = ln x. Siis võtab võrrand järgmise kuju:

.

Meil on ruutvõrrand. Leiame selle diskrimineerija:

Võrrandi esimene juur:

.

Võrrandi teine ​​juur:

.

Pidades meeles, et tegime asendusi t = ln x, saame:

Statistikas ja tõenäosusteoorias leidub logaritmilisi suurusi väga sageli. See pole üllatav, sest arv e peegeldab sageli eksponentsiaalsete suuruste kasvukiirust.

Arvutiteaduses, programmeerimises ja arvutiteoorias kohtab logaritme üsna sageli, näiteks selleks, et salvestada mällu N bitti.

Fraktaalide ja mõõtmete teooriates kasutatakse pidevalt logaritme, kuna fraktaalide mõõtmed määratakse ainult nende abiga.

Mehaanikas ja füüsikas Pole ühtegi lõiku, kus logaritme ei kasutatud. Baromeetriline jaotus, kõik statistilise termodünaamika põhimõtted, Tsiolkovski võrrand jne on protsessid, mida saab matemaatiliselt kirjeldada ainult logaritme kasutades.

Keemias kasutatakse logaritme Nernsti võrrandites ja redoksprotsesside kirjeldustes.

Hämmastav on see, et isegi muusikas kasutatakse oktaavi osade arvu väljaselgitamiseks logaritme.

Naturaallogaritm Funktsioon y=ln x selle omadused

Naturaallogaritmi põhiomaduse tõestus

Positiivse arvu b logaritm aluse a (a>0, a ei võrdu 1-ga) on arv c, nii et a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Pange tähele, et mittepositiivse arvu logaritm on määratlemata. Lisaks peab logaritmi alus olema positiivne arv, mis ei ole võrdne 1-ga. Näiteks kui me ruudus -2, saame arvu 4, kuid see ei tähenda, et logaritm aluse -2 4-st on võrdne 2-ga.

Põhiline logaritmiline identiteet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

On oluline, et selle valemi parema ja vasaku külje definitsiooni ulatus oleks erinev. Vasak pool on defineeritud ainult b>0, a>0 ja a ≠ 1 korral. Parem pool on defineeritud iga b jaoks ja ei sõltu a-st üldse. Seega võib põhilogaritmilise “identiteedi” rakendamine võrrandite ja võrratuste lahendamisel kaasa tuua OD muutumise.

Logaritmi määratluse kaks ilmset tagajärge

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Tõepoolest, arvu a tõstmisel esimese astmeni saame sama arvu ja nullastmeni tõstes ühe.

Korrutise logaritm ja jagatise logaritm

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Tahaksin hoiatada koolilapsi nende valemite mõtlematu kasutamise eest logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Kui kasutate neid "vasakult paremale", ODZ kitseneb ja logaritmide summalt või erinevuselt korrutise või jagatise logaritmile liikudes ODZ laieneb.

Tõepoolest, avaldis log a (f (x) g (x)) on defineeritud kahel juhul: kui mõlemad funktsioonid on rangelt positiivsed või kui f (x) ja g (x) on mõlemad väiksemad kui null.

Teisendades selle avaldise summaks log a f (x) + log a g (x), oleme sunnitud piirduma ainult juhtumiga, kui f(x)>0 ja g(x)>0. Vastuvõetavate väärtuste vahemik on kitsendatud ja see on kategooriliselt vastuvõetamatu, kuna see võib viia lahenduste kadumiseni. Sarnane probleem on valemi (6) puhul.

Kraadi saab logaritmi märgist välja võtta

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ja taas tahaksin nõuda täpsust. Kaaluge järgmist näidet:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Võrdsuse vasak pool on ilmselgelt määratletud kõigi f(x) väärtuste jaoks, välja arvatud null. Parem pool on ainult f(x)>0 jaoks! Võttes astme logaritmist välja, kitsendame taas ODZ-d. Vastupidine protseduur viib vastuvõetavate väärtuste vahemiku laiendamiseni. Kõik need märkused kehtivad mitte ainult võimsuse 2, vaid ka mis tahes ühtlase võimsuse kohta.

Valem uuele sihtasutusele kolimiseks

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

See haruldane juhtum, kui ODZ transformatsiooni ajal ei muutu. Kui olete valinud aluse c targalt (positiivne ja mitte 1), on uuele alusele kolimise valem täiesti ohutu.

Kui valime uueks baasiks c arvu b, saame valemi (8) olulise erijuhtumi:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Mõned lihtsad näited logaritmidega

Näide 1. Arvuta: log2 + log50.
Lahendus. log2 + log50 = log100 = 2. Kasutasime logaritmide summa valemit (5) ja kümnendlogaritmi definitsiooni.

Näide 2. Arvuta: lg125/lg5.
Lahendus. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kasutasime uude baasi liikumise valemit (8).

Logaritmidega seotud valemite tabel

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

See võib olla näiteks Windowsi operatsioonisüsteemi põhiprogrammide komplekti kuuluv kalkulaator. Selle käivitamise link on peidetud üsna OS-i peamenüüs - avage see, klõpsates nuppu "Start", seejärel avage jaotis "Programmid", minge alamjaotisesse "Standardne" ja seejärel "Utiliidid". jaotist ja lõpuks klõpsake üksust "Kalkulaator" Hiire kasutamise ja menüüdes navigeerimise asemel võite kasutada klaviatuuri ja programmi käivitamise dialoogi – vajutage klahvikombinatsiooni WIN + R, tippige calc (see on kalkulaatori käivitatava faili nimi) ja vajutage sisestusklahvi.

Lülitage kalkulaatori liides täiustatud režiimi, mis võimaldab teil teha... Vaikimisi avaneb see "tavalises" vaates, kuid teil on vaja "inseneritööd" või " " (olenevalt kasutatava OS-i versioonist). Laiendage menüüs jaotist "Vaade" ja valige sobiv rida.

Sisesta argument, mille loomulikku väärtust soovid hinnata. Seda saab teha kas klaviatuurilt või klõpsates ekraanil kalkulaatori liideses vastavaid nuppe.

Klõpsake nuppu ln - programm arvutab logaritmi baasil e ja näitab tulemust.

Kasutage naturaallogaritmi väärtuse arvutamise alternatiivina üht -kalkulaatoritest. Näiteks see, mis asub aadressil http://calc.org.ua. Selle liides on äärmiselt lihtne – seal on üks sisestusväli, kuhu tuleb sisestada numbri väärtus, mille logaritmi pead arvutama. Leidke nuppude hulgast see, mis ütleb ln, ja klõpsake sellel. Selle kalkulaatori skript ei nõua andmete serverisse saatmist ja vastust, nii et saate arvutustulemuse peaaegu koheselt. Ainus funktsioon, mida tuleks arvesse võtta, on see, et sisestatud arvu murdosa ja täisarvu vahel peab eraldaja olema punkt, mitte .

Mõiste " logaritm" pärineb kahest kreeka sõnast, millest üks tähendab "arvu" ja teine ​​"suhet". See tähistab matemaatilist operatsiooni muutuva suuruse (astendaja) arvutamiseks, milleni tuleb konstantset väärtust (baasi) tõsta, et saada märgi all näidatud arv logaritm A. Kui alus on võrdne matemaatilise konstandiga, mida nimetatakse arvuks "e", siis logaritm nimetatakse "looduslikuks".

Sa vajad

• Interneti-juurdepääs, Microsoft Office Excel või kalkulaator.

Juhised

Kasutage paljusid Internetis saadaolevaid kalkulaatoreid – see on ehk lihtne viis loodusliku a arvutamiseks. Te ei pea otsima sobivat teenust, kuna paljudel otsingumootoritel endil on sisseehitatud kalkulaatorid, mis sobivad töötamiseks üsna hästi. logaritm ami. Näiteks minge suurima veebiotsingumootori - Google - avalehele. Väärtuste sisestamiseks või funktsioonide valimiseks pole siin nuppe vaja, lihtsalt sisestage soovitud matemaatiline toiming päringu sisestusväljale. Oletame, et arvutada logaritm ja number 457 e-aluses, sisestage ln 457 - sellest piisab, et Google kuvaks kaheksa kümnendkoha täpsusega (6.12468339) isegi ilma serverile päringu saatmiseks nuppu vajutamata.

Kasutage sobivat sisseehitatud funktsiooni, kui peate arvutama naturaalse väärtuse logaritm ja ilmneb andmetega töötamisel populaarses arvutustabeliredaktoris Microsoft Office Excel. Seda funktsiooni kutsutakse siin ühise tähise abil logaritm ja suurtähtedega - LN. Valige lahter, milles arvutustulemus kuvatakse, ja sisestage võrdusmärk - nii peaksid selles tabeliredaktoris kirjed algama peamenüü jaotise "Kõik programmid" alamjaotises "Standardne" olevates lahtrites. Lülitage kalkulaator funktsionaalsemasse režiimi, vajutades Alt + 2. Seejärel sisestage loomulik väärtus logaritm mida soovite arvutada, ja klõpsake programmi liideses nuppu, mis on tähistatud sümbolitega ln. Rakendus teostab arvutuse ja kuvab tulemuse.

Video teemal