Vähem vale murd 7. Murrud, harilikud murrud, definitsioonid, tähistused, näited, toimingud murdudega

Harilikud murrud jagunevad \textit (õige) ja \textit (ebaõige) murdeks. See jaotus põhineb lugeja ja nimetaja võrdlusel.

Õiged murded

Õige murdosa Kutsutakse tavaline murd $\frac(m)(n)$, milles lugeja on nimetajast väiksem, s.t. m $

Näide 1

Näiteks murrud $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ on õiged , siis kuidas igaühes neist on lugeja nimetajast väiksem, mis vastab õige murru definitsioonile.

On olemas õige murdu definitsioon, mis põhineb murdarvu võrdlemisel ühega.

õige, kui see on väiksem kui üks:

Näide 2

Näiteks tavaline murd $\frac(6)(13)$ on õige, sest tingimus $\frac(6)(13) on täidetud

Valed murrud

Vale murdosa Kutsutakse tavaline murd $\frac(m)(n)$, milles lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne, s.t. $m\ge n$.

Näide 3

Näiteks murrud $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ on ebaregulaarsed , kuidas igaühes neist on lugeja suurem või võrdne nimetajaga, mis vastab definitsioonile vale murd.

Anname valemurru definitsiooni, mis põhineb selle võrdlusel ühega.

Harilik murd $\frac(m)(n)$ on vale, kui see on võrdne ühega või suurem:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Näide 4

Näiteks harilik murd $\frac(21)(4)$ on vale, sest tingimus $\frac(21)(4) >1$ on täidetud;

harilik murd $\frac(8)(8)$ on vale, sest tingimus $\frac(8)(8)=1$ on täidetud.

Vaatame lähemalt valemurru mõistet.

Võtame näiteks valemurru $\frac(7)(7)$. Selle murdosa tähendus on võtta objektist seitse osa, mis on jagatud seitsmeks võrdseks osaks. Seega saab seitsmest saadaolevast aktsiast koostada kogu objekti. Need. Mitte õige murdosa$\frac(7)(7)$ kirjeldab kogu objekti ja $\frac(7)(7)=1$. Seega kirjeldavad ebaõiged murrud, milles lugeja on võrdne nimetajaga, ühte tervet objekti ja sellise murdosa saab asendada naturaalarvuga $1$.

$\frac(5)(2)$ -- on täiesti ilmne, et nendest viiest teisest osast saad moodustada $2$ terveid objekte (üks terve objekt koosneb $2$ osadest ja kahe terve objekti koostamiseks vaja $2+2=4$ aktsiat) ja üks sekund jääb alles. See tähendab, et vale murd $\frac(5)(2)$ kirjeldab $2$ objektist ja $\frac(1)(2)$ selle objekti osa.

$\frac(21)(7)$ -- kahekümne ühe seitsmendiku osadest saad teha $3$ terveid objekte ($3$ objektid, millest igaühel on $7$ osa). Need. murdosa $\frac(21)(7)$ kirjeldab $3$ terveid objekte.

Vaadatud näidete põhjal võib järeldada järgmine väljund: vale murdosa saab asendada naturaalarvuga, kui lugeja jagub nimetajaga (näiteks $\frac(7)(7)=1$ ja $\frac(21)(7)=3$, või naturaalarvu ja õigete murdmurdude summa, kui lugeja ei jagu nimetajaga täielikult (näiteks $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Sellepärast nimetatakse selliseid murde vale.

Definitsioon 1

Vale murru esitamise protsessi naturaalarvu ja õige murru summana (näiteks $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) nimetatakse eraldades kogu osa valest murdosast.

Vale murdudega töötades on nende ja segaarvude vahel tihe seos.

Vale murd kirjutatakse sageli segaarvuna – arvuna, mis koosneb täisarvust ja murdosast.

Vale murru kirjutamiseks segaarvuna peate jagama lugeja nimetajaga jäägiga. Jagatis on segaarvu täisarv, jääk on murdosa lugeja ja jagaja on murdosa nimetaja.

Näide 5

Kirjutage vale murd $\frac(37)(12)$ segaarvuna.

Lahendus.

Jagage lugeja nimetajaga jäägiga:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (ülejäänud\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Vastus.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Salvestama seganumber vale murru kujul peate korrutama nimetaja kogu arvu osaga, lisama saadud korrutisele murdosa lugeja ja kirjutama saadud summa murdosa lugejasse. Vale murru nimetaja on võrdne segaarvu murdosa nimetajaga.

Näide 6

Kirjutage segaarv $5\frac(3)(7)$ valemurruna.

Lahendus.

Vastus.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Segaarvude ja õigete murdude lisamine

Seganumbri lisamine$a\frac(b)(c)$ ja õige murdosa$\frac(d)(e)$ lisatakse antud murdarvule antud segaarvu murdosa:

Näide 7

Lisage õige murd $\frac(4)(15)$ ja segaarv $3\frac(2)(5)$.

Lahendus.

Kasutame segaarvu ja õige murru liitmiseks valemit:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ vasak(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Jagades arvuga \textit(5), saame kindlaks teha, et murdosa $\frac(10)(15)$ on taandatav. Teeme vähendamise ja leiame lisamise tulemuse:

Niisiis, õige murdosa $\frac(4)(15)$ ja segaarvu $3\frac(2)(5)$ liitmise tulemus on $3\frac(2)(3)$.

Vastus:$3\frac(2)(3)$

Segaarvude ja valede murdude lisamine

Sobimatute murdude ja segaarvude lisamine taandub kahe segaarvu lisamiseni, mille jaoks piisab, kui kogu osa valest murdosast eraldada.

Näide 8

Arvutage segaarvu $6\frac(2)(15)$ ja valemurru $\frac(13)(5)$ summa.

Lahendus.

Esmalt eraldame valest murdosast $\frac(13)(5)$ terve osa:

Vastus:$8\frac(11)(15)$.

Vale murdosa

Kvartalid

1. Korralikkus. a Ja b on olemas reegel, mis võimaldab unikaalselt tuvastada ühe ja ainult ühe kolmest nendevahelisest seosest: "< », « >" või " = ". Seda reeglit nimetatakse tellimise reegel ja on sõnastatud järgmiselt: kaks mittenegatiivset arvu ja on seotud sama seosega nagu kaks täisarvu ja ; kaks mittepositiivset numbrit a Ja b on seotud sama seosega nagu kaks mittenegatiivset arvu ja ; kui äkki a mittenegatiivne, aga b- negatiivne siis a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Murdude lisamine

2. Lisamise operatsioon. Mis tahes ratsionaalsete arvude jaoks a Ja b on olemas nn summeerimisreegel c. Pealegi number ise c helistas summa numbrid a Ja b ja seda tähistatakse , ning sellise arvu leidmise protsessi kutsutakse summeerimine. Summeerimisreeglil on järgmine vorm: .
3. Korrutamise operatsioon. Mis tahes ratsionaalsete arvude jaoks a Ja b on olemas nn korrutamisreegel, mis määrab neile mingi ratsionaalse numbri c. Pealegi number ise c helistas tööd numbrid a Ja b ja seda tähistatakse , ning sellise arvu leidmise protsessi nimetatakse ka korrutamine. Korrutamisreegel näeb välja selline: .
4. Tellimussuhte transitiivsus. Ratsionaalarvude mis tahes kolmiku korral a , b Ja c Kui a vähem b Ja b vähem c, See a vähem c, ja kui a võrdub b Ja b võrdub c, See a võrdub c. 6435">Liimise kommutatiivsus. Ratsionaalsete terminite kohtade muutmine ei muuda summat.
5. Lisamise assotsiatiivsus. Kolme ratsionaalarvu liitmise järjekord tulemust ei mõjuta.
6. Nulli olemasolu. On olemas ratsionaalarv 0, mis lisamisel säilitab kõik teised ratsionaalarvud.
7. Vastandarvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul on vastupidine ratsionaalarv, mis lisamisel annab 0.
8. Korrutamise kommutatiivsus. Ratsionaalsete tegurite kohtade muutmine ei muuda toodet.
9. Korrutamise assotsiatiivsus. Kolme ratsionaalarvu korrutamise järjekord ei mõjuta tulemust.
10. Üksuse saadavus. On olemas ratsionaalarv 1, mis korrutatuna säilitab kõik teised ratsionaalarvud.
11. Vastastikuste arvude olemasolu. Igal ratsionaalarvul on pöördratsionaalarv, mis korrutatuna annab 1.
12. Korrutamise jaotus liitmise suhtes. Korrutustehte koordineeritakse liitmistehtega jaotusseaduse kaudu:
13. Tellimussuhte seos liitmise operatsiooniga. Sama ratsionaalarvu saab lisada ratsionaalse ebavõrdsuse vasakule ja paremale poolele. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedese aksioom.Ükskõik milline ratsionaalne arv a, võite võtta nii palju ühikuid, et nende summa ületab a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Täiendavad omadused

Kõiki teisi ratsionaalarvudele omaseid omadusi põhilistena ei eristata, sest üldiselt ei põhine need enam otseselt täisarvude omadustel, vaid on tõestatavad antud põhiomaduste põhjal või otse mõne matemaatilise objekti definitsiooniga. . Selliseid lisaomadusi on palju. Siin on mõttekas loetleda neist vaid mõned.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Komplekti loendatavus

Ratsionaalarvude nummerdamine

Ratsionaalarvude arvu hindamiseks peate leidma nende hulga kardinaalsuse. Seda, et ratsionaalarvude hulk on loendatav, on lihtne tõestada. Selleks piisab, kui anda algoritm, mis loetleb ratsionaalarvud, s.t. loob bijektsiooni ratsionaal- ja naturaalarvude hulkade vahel.

Lihtsaim neist algoritmidest näeb välja selline. Igaühe kohta koostatakse lõputu tavaliste murdude tabel i- igas rida j veerg, mille murd asub. Kindluse huvides eeldatakse, et selle tabeli read ja veerud on nummerdatud alates ühest. Tabeli lahtreid tähistatakse , kus i- tabelirea number, milles lahter asub, ja j- veeru number.

Saadud tabel läbitakse "madu" abil vastavalt järgmisele formaalsele algoritmile.

Neid reegleid otsitakse ülalt alla ja järgmine positsioon valitakse esimese vaste põhjal.

Sellise läbimise käigus seostatakse iga uus ratsionaalne arv teisega naturaalarv. See tähendab, et murd 1/1 omistatakse numbrile 1, murd 2/1 arvule 2 jne. Tuleb märkida, et nummerdatakse ainult taandamatuid murde. Taastamatuse formaalne märk on see, et murru lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja on võrdne ühega.

Seda algoritmi järgides saame loetleda kõik positiivsed ratsionaalarvud. See tähendab, et positiivsete ratsionaalarvude hulk on loendatav. Positiivsete ja negatiivsete ratsionaalarvude hulkade vahel on lihtne bijektsiooni määrata, määrates igale ratsionaalarvule selle vastandi. See. ka negatiivsete ratsionaalarvude hulk on loendatav. Nende liit on loendatav ka loendatavate hulkade omaduse järgi. Ratsionaalarvude hulk on loendatav ka loendatava hulga ja lõpliku hulga ühendusena.

Väide ratsionaalarvude hulga loendavuse kohta võib tekitada segadust, kuna esmapilgul tundub, et see on palju ulatuslikum kui naturaalarvude hulk. Tegelikult see nii ei ole ja naturaalarvusid on piisavalt, et loetleda kõik ratsionaalsed arvud.

Ratsionaalarvude puudumine

Sellise kolmnurga hüpotenuusi ei saa väljendada ühegi ratsionaalarvuga

Ratsionaalarvud kujul 1 / nüldiselt n mõõta suvaliselt väikseid koguseid. See asjaolu loob eksitava mulje, et ratsionaalseid numbreid saab kasutada mis tahes geomeetriliste vahemaade mõõtmiseks. On lihtne näidata, et see pole tõsi.

Pythagorase teoreemist teame, et täisnurkse kolmnurga hüpotenuus väljendub ruutjuurena selle jalgade ruutude summast. See. võrdhaarse hüpotenuusi pikkus täisnurkne kolmnurkühikjalaga on võrdne, st arvuga, mille ruut on 2.

Kui eeldame, et arvu saab esitada mingi ratsionaalarvuga, siis on selline täisarv m ja selline naturaalarv n, et , ja murd on taandamatu, st arvud m Ja n- vastastikku lihtne.

Sõna "fraktsioonid" tekitab paljudele inimestele hanenaha. Sest ma mäletan kooli ja ülesandeid, mida matemaatikas lahendati. See oli kohustus, mis tuli täita. Mis siis, kui käsitleksite õigete ja valede murdudega seotud probleeme nagu pusle? Paljud täiskasvanud otsustavad ju digitaalse ja Jaapani ristsõnad. Saime reeglid selgeks ja kõik. Siin on sama. Tuleb vaid teooriasse süveneda – ja kõik loksub paika. Ja näited muutuvad teie aju treenimise viisiks.

Mis tüüpi murde on olemas?

Alustame sellest, mis see on. Murd on arv, millel on mingi osa ühest. Seda saab kirjutada kahes vormis. Esimest nimetatakse tavaliseks. See tähendab, et sellel on horisontaalne või kaldus joon. See on samaväärne jagunemismärgiga.

Selles tähistuses nimetatakse rea kohal olevat numbrit lugejaks ja selle all olevat numbrit nimetajaks.

Tavaliste murdude hulgas eristatakse õigeid ja ebaõigeid murde. Esimese puhul on lugeja absoluutväärtus alati nimetajast väiksem. Valed on nii kutsutud, sest neil on kõik vastupidi. Õige murru väärtus on alati väiksem kui üks. Kuigi vale on alati sellest numbrist suurem.

Samuti on segaarvud, st need, millel on täisarv ja murdosa.

Teist tüüpi tähistus on kümnendmurd. Temast on eraldi vestlus.

Kuidas erinevad valemurrud segaarvudest?

Sisuliselt mitte midagi. Need on lihtsalt sama numbri erinevad salvestised. Valed murrud muutuvad lihtsate sammude järel kergesti segaarvudeks. Ja vastupidi.

Kõik oleneb konkreetsest olukorrast. Mõnikord on ülesannetes mugavam kasutada sobimatut murdu. Ja vahel on vaja see segaarvuks teisendada ja siis laheneb näide väga lihtsalt. Seega, mida kasutada: valesid murde, segaarvusid, sõltub probleemi lahendaja vaatlusoskustest.

Segaarvu võrreldakse ka täisarvu ja murdosa summaga. Pealegi on teine ​​alati väiksem kui üks.

Kuidas esitada segaarvu valemurruna?

Kui peate sooritama mõne toimingu mitme sisse kirjutatud numbriga erinevad tüübid, siis peate need ühesuguseks muutma. Üks meetod on arvude esitamine valede murdudena.

Selleks peate täitma järgmise algoritmi:

• korrutage nimetaja kogu osaga;
• lisa tulemusele lugeja väärtus;
• kirjuta vastus rea kohale;
• jätke nimetaja samaks.

Siin on näited segaarvudest valede murdude kirjutamise kohta:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Kuidas kirjutada valemurdu segaarvuna?

Järgmine tehnika on vastupidine eespool käsitletule. See tähendab, et kui kõik segatud arvud asendatakse valede murdudega. Toimingute algoritm on järgmine:

• jäägi saamiseks jagage lugeja nimetajaga;
• kirjuta jagatis kogu segatud osa asemele;
• ülejäänud osa tuleks asetada joone kohale;
• jagaja on nimetaja.

Sellise teisenduse näited:

76/14; 76:14 = 5 ülejäänud 6; vastuseks on 5 tervet ja 6/14; selle näite murdosa tuleb vähendada 2 võrra, mille tulemuseks on 3/7; lõplik vastus on 5 punkti 3/7.

108/54; pärast jagamist saadakse jagatis 2 ilma jäägita; see tähendab, et kõiki valesid murde ei saa esitada segaarvuna; vastus on täisarv - 2.

Kuidas muuta täisarv valeks murruks?

On olukordi, kus selline tegevus on vajalik. Teadaoleva nimetajaga valede murdude saamiseks peate täitma järgmise algoritmi:

• korrutage täisarv soovitud nimetajaga;
• kirjuta see väärtus rea kohale;
• asetage nimetaja selle alla.

Lihtsaim variant on siis, kui nimetaja on võrdne ühega. Siis pole vaja midagi korrutada. Piisab, kui lihtsalt kirjutada näites toodud täisarv ja asetada üks rea alla.

Näide: Tehke 5 valeks murdeks, mille nimetaja on 3. 5 korrutamine 3-ga annab 15. See arv on nimetaja. Ülesande vastus on murdosa: 15/3.

Erinevate arvudega ülesannete lahendamise kaks lähenemisviisi

Näites on vaja arvutada summa ja vahe, samuti kahe arvu korrutis ja jagatis: 2 täisarvu 3/5 ja 14/11.

Esimesel lähenemisel segaarv esitatakse valemurruna.

Pärast ülalkirjeldatud toimingute sooritamist saate järgmise väärtuse: 13/5.

Summa teadasaamiseks tuleb murded taandada samale nimetajale. 13/5 pärast 11-ga korrutamist saab 143/55. Ja 14/11 näeb pärast 5-ga korrutamist välja selline: 70/55. Summa arvutamiseks tuleb liita vaid lugejad: 143 ja 70 ning seejärel kirjutada vastus ühe nimetajaga üles. 213/55 – see vale murd on vastus probleemile.

Erinevuse leidmisel lahutatakse samad arvud: 143 - 70 = 73. Vastuseks saab murdosa: 73/55.

13/5 ja 14/11 korrutamisel ei pea te neid ühiseks nimetajaks taandama. Piisab lugejate ja nimetajate paarikaupa korrutamisest. Vastus on: 182/55.

Sama kehtib ka jagamise kohta. Sest õige otsus jagamine tuleb asendada korrutisega ja jagaja ümber pöörata: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Teises lähenemises vale murd muutub segaarvuks.

Pärast algoritmi toimingute sooritamist muutub 14/11 seganumbriks terve osa 1 ja murdosa 3/11.

Summa arvutamisel tuleb eraldi liita täis- ja murdosa. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Lõplik vastus on 3 punkti 48/55. Esimesel lähenemisel oli murdosa 213/55. Selle õigsust saate kontrollida, teisendades selle segaarvuks. Pärast 213 jagamist 55-ga on jagatis 3 ja jääk 48. On lihtne näha, et vastus on õige.

Lahutamisel asendatakse "+" märk "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Kontrollimiseks tuleb eelmise lähenemise vastus teisendada segaarvuks: 73 jagatud 55-ga ja jagatis on 1 ja jääk 18.

Korrutise ja jagatise leidmiseks on segaarvude kasutamine ebamugav. Siin on alati soovitatav liikuda edasi valede murdude juurde.

Me puutume elus murdosadesse palju varem, kui hakkame neid koolis uurima. Kui lõikame terve õuna pooleks, saame ½ viljast. Lõikame selle uuesti - sellest saab ¼. Need on murdarvud. Ja kõik tundus lihtne. Täiskasvanu jaoks. Lapse jaoks (ja see teema põhikooli lõpus õppima asuma) abstraktsed matemaatilised mõisted on endiselt hirmutavalt arusaamatud ning õpetaja peab selgelt selgitama, mis on õige ja vale murd, harilik ja kümnend, milliseid tehteid saab nendega teha ja mis kõige tähtsam, mida kõike seda on vaja.

Mis on murded?

Tutvumine uus teema koolis algab see harilike murdudega. Neid on lihtne ära tunda horisontaaljoone järgi, mis eraldab kahte numbrit – ülal ja all. Ülemist nimetatakse lugejaks, alumist on nimetajaks. Sobimatute ja õigete tavaliste murdude kirjutamiseks on ka väiketähtede valik – näiteks kaldkriipsu kaudu: ½, 4/9, 384/183. Seda võimalust kasutatakse siis, kui rea kõrgus on piiratud ja "kahekorruselist" sisenemisvormi pole võimalik kasutada. Miks? Jah, sest see on mugavam. Seda näeme veidi hiljem.

Lisaks tavalistele on ka kümnendkohad. Nende eristamine on väga lihtne: kui ühel juhul kasutatakse horisontaal- või kaldkriipsu, siis teisel juhul eraldatakse numbrijadadest koma. Vaatame näidet: 2,9; 163,34; 1.953. Me kasutasime tahtlikult semikoolonit numbrite eraldamiseks. Esimene neist kõlab järgmiselt: "kaks koma üheksa".

Uued mõisted

Pöördume tagasi tavaliste murdude juurde. Neid on kahte tüüpi.

Õige murdu definitsioon on järgmine: see on murd, mille lugeja on nimetajast väiksem. Miks see oluline on? Vaatame nüüd!

Sul on mitu õuna, poolitatud. Kokku - 5 osa. Kuidas te ütleksite: kas teil on "kaks ja pool" või "viis ja pool" õuna? Loomulikult kõlab esimene variant loomulikumalt ja me kasutame seda sõpradega vesteldes. Aga kui me peame arvutama, kui palju puuvilju iga inimene saab, kui ettevõttes on viis inimest, kirjutame üles arvu 5/2 ja jagame selle 5-ga - matemaatilisest vaatenurgast on see selgem .

Niisiis, õigete ja ebaõigete murdude nimetamisel kehtib reegel: kui murrus on võimalik eristada tervet osa (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), siis on see ebaregulaarne. Kui seda ei saa teha, nagu ½, 13/16, 9/10 puhul, on see õige.

Murru põhiomadus

Kui murdosa lugeja ja nimetaja samaaegselt korrutada või jagada sama arvuga, siis selle väärtus ei muutu. Kujutage ette: nad lõikasid koogi neljaks võrdseks osaks ja andsid teile ühe. Nad lõikasid sama koogi kaheksaks tükiks ja andsid sulle kaks. Kas see on tõesti oluline? Lõppude lõpuks on ¼ ja 2/8 üks ja sama!

Vähendamine

Matemaatikaõpikute ülesannete ja näidete autorid püüavad sageli õpilasi segadusse ajada, pakkudes murdu, mille kirjutamine on tülikas, kuid mida saab tegelikult lühendada. Siin on näide õigest murdosast: 167/334, mis näib olevat väga "hirmutav". Kuid tegelikult võime selle kirjutada kui ½. Arv 334 jagub ilma jäägita 167-ga - pärast selle toimingu sooritamist saame 2.

Seganumbrid

Vale murdosa võib esitada segaarvuna. See on siis, kui kogu osa tuuakse ette ja kirjutatakse horisontaaljoone tasemele. Tegelikult on avaldis summa kujul: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 ja nii edasi.

Kogu osa väljavõtmiseks peate jagama lugeja nimetajaga. Kirjutage jaotuse ülejäänud osa üles, rea kohale ja kogu osa - enne avaldist. Seega saame kaks struktuuriosa: terved ühikud + õige murd.

Võite teha ka pöördtehte - selleks peate korrutama täisarvu nimetajaga ja lisama saadud väärtuse lugejale. Ei midagi keerulist.

Korrutamine ja jagamine

Kummalisel kombel on murdude korrutamine lihtsam kui liitmine. Kõik, mida on vaja, on horisontaaljoone pikendamine: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Jagamisega on kõik samuti lihtne: murdude tuleb korrutada risti: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Murdude lisamine

Mida teha, kui peate tegema liitmise või nende nimetaja on erinevad numbrid? Ei toimi sama, mis korrutamisega – siin peaksite mõistma õige murdu määratlust ja selle olemust. Terminid on vaja viia ühise nimetajani, see tähendab, et mõlema murru alumisel osal peavad olema samad numbrid.

Selleks peaksite kasutama murdosa põhiomadust: korrutage mõlemad osad sama arvuga. Näiteks 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kuidas valida, millisele nimetajale tingimused taandada? See peab olema minimaalne arv, mis on mõlema arvu kordne murrude nimetajates: 1/3 ja 1/9 puhul on see 9; ½ ja 1/7 - 14 jaoks, sest ei ole väiksemat väärtust, mis jaguks 2 ja 7-ga ilma jäägita.

Kasutamine

Milleks kasutatakse valesid murde? Lõppude lõpuks on palju mugavam valida kohe kogu osa, saada segatud number - ja see on valmis! Selgub, et kui teil on vaja kahte murdosa korrutada või jagada, on kasulikum kasutada ebaregulaarseid.

Võtame järgmise näite: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Näib, et pole üldse midagi lõigata. Aga mis siis, kui kirjutame liitmise tulemuse esimesse sulgusse valemurruna? Vaata: (37/17) / (37/68)

Nüüd loksub kõik paika! Kirjutame näite nii, et kõik oleks ilmselge: (37*68) / (17*37).

Tühistame lugejas ja nimetajas 37 ning jagame lõpuks ülemise ja alumise osa 17-ga. Kas mäletate õigete ja ebaõigete murdude põhireeglit? Me saame neid korrutada ja jagada mis tahes arvuga, kui teeme seda korraga nii lugeja kui ka nimetaja jaoks.

Niisiis, saame vastuse: 4. Näide tundus keeruline, kuid vastus sisaldab ainult ühte numbrit. Seda juhtub matemaatikas sageli. Peaasi, et ärge kartke ja järgige lihtsaid reegleid.

Levinud vead

Rakendamisel võib õpilane kergesti teha ühe levinud vea. Tavaliselt tekivad need tähelepanematusest ja mõnikord ka sellest, et uuritud materjal pole veel korralikult pähe talletatud.

Sageli tekitab lugejas olevate arvude summa soovi selle üksikuid komponente vähendada. Ütleme näites: (13 + 2) / 13, kirjutatud ilma sulgudeta (horisontaalse joonega), paljud õpilased kriipsutavad kogenematuse tõttu maha 13 ülalt ja alt. Kuid seda ei tohiks mingil juhul teha, sest see on jäme viga! Kui liitmise asemel oleks korrutamismärk, saaksime vastuses numbri 2. Kuid liitmise sooritamisel ei ole lubatud teha tehteid ühe liikmega, ainult kogu summaga.

Ka poisid teevad murdude jagamisel sageli vigu. Võtame kaks korralikku taandamatut murdu ja jagame omavahel: (5/6) / (25/33). Õpilane saab selle segada ja kirjutada saadud avaldise kujul (5*25) / (6*33). Kuid see juhtuks korrutamisega, kuid meie puhul on kõik mõnevõrra erinev: (5*33) / (6*25). Vähendame seda, mis võimalik, ja vastus on 11/10. Saadud vale murru kirjutame kümnendkohana - 1,1.

Sulgudes

Pidage meeles, et mis tahes matemaatilised avaldised tehte järjekorra määrab tehtemärkide prioriteetsus ja sulgude olemasolu. Kui kõik muud asjad on võrdsed, loetakse toimingute järjekorda vasakult paremale. See kehtib ka murdude kohta – avaldis lugejas või nimetajas arvutatakse rangelt selle reegli järgi.

Lõppude lõpuks on see ühe numbri jagamise tulemus teisega. Kui need pole ühtlaselt jagatud, muutub see murdosaks - see on kõik.

Kuidas kirjutada arvutis murdosa

Kuna standardtööriistad ei võimalda alati kahest "astmest" koosnevat murdosa luua, kasutavad õpilased mõnikord mitmesuguseid nippe. Näiteks kopeerige lugejad ja nimetajad sisse graafiline redaktor Värvige ja liimige need kokku, tõmmates nende vahele horisontaalse joone. Muidugi on olemas ka lihtsam variant, mis muide pakub palju lisafunktsioone, mis sulle tulevikus kasulikud on.

Avage Microsoft Word. Üks ekraani ülaosas olevatest paneelidest kannab nime "Sisesta" – klõpsake seda. Paremal küljel, kus asuvad akna sulgemise ja minimeerimise ikoonid, on nupp “Valem”. See on täpselt see, mida me vajame!

Kui kasutate seda funktsiooni, ilmub ekraanile ristkülikukujuline ala, kus saate kasutada mis tahes matemaatilised märgid, mis puudub klaviatuurilt, ja kirjutage ka murde sisse klassikaline vorm. See tähendab, et lugeja ja nimetaja jagamine horisontaaljoonega. Võid isegi imestada, et nii korralikku murdu on nii lihtne kirjutada.

Õppige matemaatikat

Kui oled 5.–6. klassis, siis peagi nõutakse paljudes matemaatikateadmisi (sh murdudega töötamise oskust!) õppeained. Peaaegu igas füüsikaprobleemis ei saa te ainete massi mõõtmisel keemias, geomeetrias ja trigonomeetrias ilma murdudeta hakkama. Varsti õpid kõike oma mõtetes välja arvutama, isegi väljendeid paberile kirjutamata, aga aina rohkem keerulised näited. Nii et õppige, mis on õige murd ja kuidas sellega töötada, pidage oma õppekavaga kursis, tehke õigel ajal kodutööd ja teil õnnestub.

Lihtsad matemaatilised reeglid ja võtted, kui neid pidevalt ei kasutata, ununevad kõige kiiremini. Mõisted kaovad mälust veelgi kiiremini.

Üks neist lihtsatest toimingutest on vale murdu teisendamine õigeks või teisisõnu segamurruks.

Vale murdosa

Vale murd on selline, mille lugeja (rea kohal olev arv) on nimetajast (rea all olev arv) suurem või sellega võrdne. See murdosa saadakse murdude liitmisel või murdosa täisarvuga korrutamisel. Matemaatika reeglite järgi tuleb selline murd õigeks teisendada.

Õige murdosa

On loogiline eeldada, et kõiki teisi murde nimetatakse õigeteks. Range määratlus on see, et murdosa, mille lugeja on nimetajast väiksem, nimetatakse õigeks. Murdu, millel on täisarvuline osa, nimetatakse mõnikord segamurruks.

Vale murru teisendamine õigeks murruks

• Esimene juhtum: lugeja ja nimetaja on üksteisega võrdsed. Sellise murdarvu teisendamise tulemus on üks. Pole vahet, kas see on kolm kolmandikku või sada kakskümmend viis sada kakskümmend viiendikku. Põhimõtteliselt tähistab selline murdarvu endaga jagamise toimingut.

• Teine juhtum: lugeja on nimetajast suurem. Siin peate meeles pidama arvude jäägiga jagamise meetodit.
  Selleks tuleb leida lugeja väärtusele lähim arv, mis jagub nimetajaga ilma jäägita. Näiteks on teil murdosa üheksateist kolmandikku. Lähim arv, mida saab kolmega jagada, on kaheksateist. See on kuus. Nüüd lahutage lugejast saadud arv. Me saame ühe. See on ülejäänud osa. Pane kirja teisenduse tulemus: kuus tervet ja üks kolmandik.

Aga enne murdosa vähendamist kuni õiget sorti, peate kontrollima, kas seda saab lühendada.
Murru saab vähendada, kui lugejal ja nimetajal on ühine tegur. See tähendab, et arv, millega mõlemad jaguvad ilma jäägita. Kui selliseid jagajaid on mitu, peate leidma neist suurima.
Näiteks kõigil paarisarvudel on selline ühine jagaja – kaks. Ja murdosal kuusteist kaheteistkümnendikku on veel üks ühine jagaja - neli. See on suurim jagaja. Jagage lugeja ja nimetaja neljaga. Vähendamise tulemus: neli kolmandikku. Nüüd teisendage see murd õigeks murdarvuks.