Kirjutage polünoom veebis standardvormis. Polünoomid

Definitsiooni järgi on polünoom algebraline avaldis, mis esindab monomialide summat.

Näiteks: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 on polünoomid ja avaldis z/(x - x*y^2 + 4) ei ole polünoom, kuna see ei ole monomialide summa. Polünoomi nimetatakse mõnikord ka polünoomiks ja polünoomi osaks olevad monomiaalid on polünoomi või monomialide liikmed.

Polünoomi keerukas mõiste

Kui polünoom koosneb kahest liikmest, siis nimetatakse seda binoomiks, kui see koosneb kolmest, siis trinoomiks. Nimetusi nelinoom, viienoom ja teised ei kasutata ning sellistel juhtudel öeldakse lihtsalt polünoom. Sellised nimed panevad olenevalt terminite arvust kõik oma kohale.

Ja termin monomial muutub intuitiivseks. Matemaatilisest vaatenurgast on monoom polünoomi erijuht. Monoom on polünoom, mis koosneb ühest liikmest.

Nii nagu monomial, on ka polünoomil oma standardvorm. Polünoomi tüüpvorm on selline polünoomi tähistus, kus kõik temasse terminitena kuuluvad monoomid on kirjutatud standardkujul ja sarnased terminid on antud.

Polünoomi standardvorm

Protseduur polünoomi standardvormile redutseerimiseks on taandada iga monoom standardkujule ja seejärel lisada kõik sarnased monoomid kokku. Polünoomi sarnaste liikmete liitmist nimetatakse sarnase vähendamiseks.
Näiteks esitame sarnased terminid polünoomides 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Terminid 4*a*b^2*c^3 ja 6*a*b^2*c^3 on siin sarnased. Nende liikmete summa on monoom 10*a*b^2*c^3. Seetõttu saab algse polünoomi 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b ümber kirjutada kujule 10*a*b^2*c^3 - a* b . See kirje on polünoomi standardvorm.

Sellest, et iga monoomi saab taandada standardvormiks, järeldub ka see, et iga polünoomi saab taandada standardvormiks.

Kui polünoomi taandada standardvormiks, saame rääkida sellisest mõistest nagu polünoomi aste. Polünoomi aste on antud polünoomi kaasatud monomi kõrgeim aste.
Näiteks 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 on viienda astme polünoom, kuna polünoomi (5*x^3*y^) sisalduva monoomi maksimaalne aste 2) on viies.

Pärast monomialide uurimist liigume edasi polünoomide juurde. See artikkel räägib teile kogu vajaliku teabe kohta, mis on vajalik nende toimingute tegemiseks. Defineerime polünoomi koos kaasnevate polünoomitermini definitsioonidega, st vaba ja sarnase, vaatleme standardvormi polünoomi, tutvustame kraadi ja õpime seda leidma ning töötame selle kordajatega.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polünoom ja selle mõisted – definitsioonid ja näited

Polünoomi määratlus oli vajalik juba tagasi 7 klassi pärast monomialide õppimist. Vaatame selle täielikku määratlust.

Definitsioon 1

Polünoom arvestatakse monomiaalide summat ja monomiaali ennast erijuhtum polünoom.

Definitsioonist järeldub, et polünoomide näited võivad olla erinevad: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0, 6 · x · (− 2) · y 12, - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z ja nii edasi. Definitsioonist on meil see 1+x, a 2 + b 2 ja avaldis x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x on polünoomid.

Vaatame veel mõnda määratlust.

2. definitsioon

Polünoomi liikmed nimetatakse seda moodustavateks monoomideks.

Vaatleme näidet, kus meil on polünoom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, mis koosneb 4 liikmest: 3 x 4, − 2 x y, 3 ja – y 3. Sellist monoomi võib pidada polünoomiks, mis koosneb ühest liikmest.

3. määratlus

Polünoomidel, mis sisaldavad 2, 3 trinoomi, on vastav nimi - binoom Ja kolmik.

Sellest järeldub, et vormi väljendus x+y– on binoom ja avaldis 2 x 3 q − q x x x + 7 b on trinoom.

Kõrval kooli õppekava töötas lineaarse binoomiga kujul a · x + b, kus a ja b on mõned arvud ning x on muutuja. Vaatleme näiteid lineaarsete binoomide kohta kujul: x + 1, x · 7, 2 − 4 koos ruudukujuliste trinoomide x 2 + 3 · x − 5 ja 2 5 · x 2 - 3 x + 11 näidetega.

Teisendamiseks ja lahendamiseks on vaja leida ja tuua sarnaseid termineid. Näiteks polünoomil kujul 1 + 5 x − 3 + y + 2 x on sarnased liikmed 1 ja - 3, 5 x ja 2 x. Nad jagunevad spetsiaalsesse rühma, mida nimetatakse polünoomi sarnasteks liikmeteks.

4. määratlus

Polünoomi sarnased terminid on polünoomides leiduvad sarnased terminid.

Ülaltoodud näites on 1 ja - 3, 5 x ja 2 x polünoomi sarnased liikmed või sarnased terminid. Väljendi lihtsustamiseks leidke ja vähendage sarnaseid termineid.

Standardkuju polünoom

Kõigil mono- ja polünoomidel on oma spetsiifilised nimed.

Definitsioon 5

Standardkuju polünoom on polünoom, milles igal selles sisalduval terminil on standardkujuline monoom ja see ei sisalda sarnaseid termineid.

Definitsioonist on selge, et on võimalik taandada standardkuju polünoome, näiteks 3 x 2 − x y + 1 ja __valem__ ning kirje on standardvormis. Avaldised 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ja 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ei ole standardkujulised polünoomid, kuna esimeses neist on sarnased terminid vorm 3 · x 2 ja − x 2, ja teine ​​sisaldab monoomi kujul x · y 3 · x · z 2, mis erineb standardpolünoomist.

Kui asjaolud seda nõuavad, taandatakse polünoom mõnikord standardkujule. Polünoomi vabaliikme mõistet peetakse ka tüüpkuju polünoomiks.

Definitsioon 6

Polünoomi vaba liige on standardkuju polünoom, millel ei ole literaalset osa.

Teisisõnu, kui standardkujul polünoomil on arv, nimetatakse seda vabaliikmeks. Siis on arv 5 polünoomi x 2 z + 5 vaba liige ja polünoomil 7 a + 4 a b + b 3 vaba liiget ei ole.

Polünoomi aste – kuidas seda leida?

Polünoomi enda astme määratlus põhineb standardvormi polünoomi määratlusel ja selle komponentideks olevate monomialide astmetel.

Definitsioon 7

Tüüpkujulise polünoomi aste nimetatakse suurimaks selle tähistuses sisalduvatest kraadidest.

Vaatame näidet. Polünoomi 5 x 3 − 4 aste on võrdne 3-ga, kuna selle koostisesse kuuluvatel monoomidel on astmed 3 ja 0 ning neist suurem on vastavalt 3. Polünoomi 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x astme määratlus on võrdne suurimaga arvudest, st 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 ja 1, mis tähendab 5 .

Tuleb välja selgitada, kuidas kraad ise leitakse.

Definitsioon 8

Suvalise arvu polünoomi aste on vastava polünoomi aste standardkujul.

Kui polünoom ei ole kirjutatud standardkujul, kuid peate leidma selle astme, peate selle taandada standardvormile ja seejärel leidma vajaliku astme.

Näide 1

Leia polünoomi aste 3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12.

Lahendus

Esiteks esitame polünoomi standardkujul. Saame vormi avaldise:

3 a 12 - 2 a b c c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12 = = (3 a 12 - 2 a 12 - a 12) - 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Standardkujulise polünoomi saamisel leiame, et kaks neist paistavad selgelt silma - 2 · a 2 · b 2 · c 2 ja y 2 · z 2 . Kraadide leidmiseks loeme ja leiame, et 2 + 2 + 2 = 6 ja 2 + 2 = 4. Näha on, et suurim neist on 6. Definitsioonist järeldub, et 6 on polünoomi − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 aste ja seega ka algväärtus.

Vastus: 6 .

Polünoomliikmete koefitsiendid

Definitsioon 9

Kui polünoomi kõik liikmed on standardkuju monoomid, siis sel juhul on neil nimi polünoomliikmete koefitsiendid. Teisisõnu võib neid nimetada polünoomi kordajateks.

Näidet vaadeldes on selge, et polünoom kujul 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 sisaldab 4 polünoomi: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x ja 7 koos nende vastavate kordajatega 2, − 0, 5, 3 ja 7. See tähendab, et 2, − 0, 5, 3 ja 7 loetakse antud polünoomi kujul 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 liigeste kordajateks. Teisendamisel on oluline pöörata tähelepanu muutujate ees olevatele koefitsientidele.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Polünoom ja selle standardvorm

Polünoom on monomialide summa.

Monoome, mis moodustavad polünoomi, nimetatakse polünoomi liikmeteks. Seega on polünoomi 4x2y - 5xy + 3x -1 liikmed 4x2y, -5xy, 3x ja -1.

Kui polünoom koosneb kahest liikmest, siis nimetatakse seda binoomiks, kui see koosneb kolmest, siis trinoomiks. Monoomiks loetakse polünoomi, mis koosneb ühest liikmest.

Polünoomis 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 on terminid 7x3y2 ja - 2y2x3 sarnased terminid, kuna neil on sama täheosa. Sarnased on ka terminid -12 ja 6, millel puudub täheosa. Sarnaseid polünoomi termineid nimetatakse polünoomi sarnasteks terminiteks ja polünoomi sarnaste liikmete redutseerimist polünoomi sarnaste liikmete redutseerimiseks.

Näitena toome sarnased terminid polünoomi 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6.

Polünoomi nimetatakse standardkujuliseks polünoomiks, kui iga selle liige on standardkuju monoom ja see polünoom ei sisalda sarnaseid termineid.

Iga polünoomi saab taandada standardkujule. Selleks peate esitama iga selle liikme standardvormis ja tooma sarnased tingimused.

Standardkujulise polünoomi aste on selle moodustavate monomiaalide astmetest kõrgeim.

Suvalise polünoomi aste on identselt võrdse standardkujulise polünoomi aste.

Näiteks leiame polünoomi 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 astme:

8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.

Pange tähele, et algne polünoom sisaldab kuuenda astme monoome, kuid kui sarnaseid liikmeid redutseeriti, vähendati neid kõiki ja tulemuseks oli kolmanda astme polünoom, mis tähendab, et esialgsel polünoomil on aste 3!
Polünoomid ühes muutujas

Vormi avaldis, kus on mõned arvud ja mida nimetatakse astme polünoomiks alates.

Väidetakse, et kaks polünoomi on identselt võrdsed, kui nad on arvväärtusiühtivad kõigi väärtustega. Polünoomid ja on identselt võrdsed siis ja ainult siis, kui need langevad kokku, s.t. nende polünoomide samade astmete koefitsiendid on samad.

Polünoomi jagamisel polünoomiga (näiteks “nurgaga”) saame polünoomi (mittetäielik jagatis) ja jäägi - polünoomi (juhul kui jääk võrdne nulliga, nimetatakse polünoomi privaatseks). Kui on dividend ja jagaja, siis esindame polünoomi kujul. Sel juhul on polünoomide astmete summa võrdne polünoomi astmega ja jäägi aste on väiksem kui jagaja aste.

Polünoomi mõiste. Polünoomiaste

Polünoom muutujas x on vormi avaldis

anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0,kus n – naturaalarv; an, an-1,..., a1, a0 – mis tahes arvud, mida nimetatakse selle polünoomi koefitsientideks. Avaldisi anxn, an-1xn-1,..., a1x, a0 nimetatakse polünoomi terminiteks, a0 on vaba liige.

Sageli kasutame järgmisi termineid: an - xn koefitsient, an-1 - xn-1 koefitsient jne.

Polünoomide näideteks on järgmised avaldised: 0x4+2x3+ (-3) x3+ (3/7) x+; 0x2+0x+3; 0x2+0x+0. Siin on esimese polünoomi koefitsiendid arvud 0, 2, - 3, 3/7, ; sel juhul on näiteks arv 2 x3 koefitsient ja vaba liige.

Polünoomi, mille kõik koefitsiendid on nullid, nimetatakse nulliks.

Näiteks polünoom 0x2+0x+0 on null.

Polünoomi tähistusest selgub, et see koosneb mitmest liikmest. Siit pärineb mõiste ‹‹polünoom›› (paljud terminid). Mõnikord nimetatakse polünoomi polünoomiks. See termin pärineb kreekakeelsetest sõnadest πολι – palju ja νομχ – liige.

Tähistame polünoomi ühes muutujas x järgmiselt: f (x), g (x), h (x) jne. näiteks kui esimene ülaltoodud polünoomidest on tähistatud f (x), siis võime kirjutada: f (x) =0x4+2x3+ (-3) x2+3/7x+.

Selleks, et muuta polünoomi tähistus lihtsamaks ja kompaktsemaks, leppisime kokku mitmes kokkuleppes.

Neid nullist erineva polünoomi liikmeid, mille koefitsiendid on nulliga, ei kirjutata üles. Näiteks f (x) =0x3+3x2+0x+5 asemel kirjutavad nad: f (x) =3x2+5; asemel g (x) =0x2+0x+3 - g (x) =3. Seega on iga arv ka polünoom. Polünoom h (x), mille kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga, s.t. nullpolünoom kirjutatakse järgmiselt: h (x) =0.

Samuti ei kirjutata üles polünoomi koefitsiente, mis ei ole vaba liige ja võrduvad 1-ga. Näiteks polünoomi f (x) =2x3+1x2+7x+1 saab kirjutada järgmiselt: f (x) =x3+x2+7x+1.

Seda koefitsienti sisaldavale liikmele omistatakse negatiivse koefitsiendi märk ‹‹-››, st näiteks polünoom f (x) =2x3+ (-3) x2+7x+ (-5) kirjutatakse kujul f (x) ) =2x3 -3x2+7x-5. Veelgi enam, kui koefitsient, mis ei ole vaba liige, on võrdne - 1, siis jäetakse vastava liikme ees märk “-” ja ühikut ei kirjutata. Näiteks kui polünoom on kujul f (x) =x3+ (-1) x2+3x+ (-1), siis saab selle kirjutada järgmiselt: f (x) =x3-x2+3x-1.

Võib tekkida küsimus: miks on näiteks nõus polünoomi tähistuses 1x asendama x-ga, kui on teada, et 1x = x mis tahes arvu x korral? Asi on selles, et viimane võrdus kehtib, kui x on arv. Meie puhul on x suvalise iseloomuga element. Pealegi ei ole meil veel õigust pidada kirjet 1x arvu 1 ja elemendi x korrutisena, sest kordame, x ei ole arv. Just see asjaolu põhjustab polünoomi kirjutamise kokkulepped. Ja kui me jätkame ilma põhjuseta rääkimist näiteks 2 ja x korrutisest, siis tunnistame mõningast ranguse puudumist.

Polünoomi kirjutamise tavade tõttu pöörame sellele detailile tähelepanu. Kui on näiteks polünoom f (x) = 3x3-2x2-x+2, siis on selle kordajateks arvud 3, - 2, - 1,2. Muidugi võib öelda, et koefitsiendid on arvud 0, 3, - 2, - 1, 2, mis tähendab selle polünoomi esitust: f (x) = 0x4-3x2-2x2-x+2.

Edaspidi märgime kindluse huvides koefitsiendid, alustades nullist erinevatega, selles järjekorras, nagu need polünoomi tähistuses esinevad. Seega on polünoomi f (x) = 2x5-x koefitsiendid arvud 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Tõsiasi on see, et kuigi näiteks termin x2-ga tähistuses puudub, see tähendab ainult seda, et selle koefitsient võrdub nulliga. Samamoodi ei ole kirjes vaba terminit, kuna see on võrdne nulliga.

Kui on olemas polünoom f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 ja an≠0, siis nimetatakse arvu n polünoomi f (x) astmeks (või öeldakse: f (x) - n aste) ja kirjutage Art. f(x)=n. Sel juhul nimetatakse juhtivaks koefitsiendiks an ja anxn on selle polünoomi juhtiv liige.

Näiteks kui f (x) =5x4-2x+3, siis art. f (x) =4, juhtiv koefitsient - 5, juhtiv liige - 5x4.

Vaatleme nüüd polünoomi f (x) =a, kus a on nullist erinev arv. Mis on selle polünoomi aste? On lihtne näha, et polünoomi f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 koefitsiendid on nummerdatud paremalt vasakule numbritega 0, 1, 2, …, n- 1, n ja kui an≠0, siis art. f(x)=n. See tähendab, et polünoomi aste on suurim nullist erinevate koefitsientide arvudest (äsja mainitud numeratsiooniga). Pöördume nüüd tagasi polünoomi f (x) =a, a≠0 juurde ja nummerdame selle koefitsiendid paremalt vasakule numbritega 0, 1, 2, ... koefitsient a saab arvu 0 ja kuna kõik muud koefitsiendid on nullid, siis on see antud polünoomi suurim nullist erinev koefitsiendiarv. Nii et kunst. f (x) = 0.

Seega on nullkraadiga polünoomid teised arvud kui null.

Jääb üle välja selgitada, milline on olukord nullpolünoomi astmega. Nagu teada, on kõik selle koefitsiendid võrdsed nulliga ja seetõttu ei saa ülaltoodud definitsiooni sellele rakendada. Niisiis, leppisime kokku, et nullpolünoomile mitte ühtegi kraadi ei omista, s.t. et tal pole kraadi. Selle kokkuleppe põhjustavad mõned asjaolud, mida arutatakse veidi hiljem.

Niisiis, nullpolünoomil pole kraadi; polünoom f (x) =a, kus a on nullist erinev arv ja selle aste on 0; mis tahes muu polünoomi aste, nagu on lihtne näha, on võrdne muutuja x suurima eksponendiga, mille koefitsient on võrdne nulliga.

Kokkuvõtteks tuletagem meelde veel paar määratlust. Teise astme polünoomi f (x) =ax2+bx+c nimetatakse ruuttrinoomiks. Esimese astme polünoomi kujul g (x) =x+c nimetatakse lineaarseks binoomiks.
Horneri skeem.

Horneri skeem on üks lihtsamaid viise polünoomi jagamiseks binoomarvuga x-a. Muidugi ei piirdu Horneri skeemi rakendamine jagamisega, vaid mõelgem kõigepealt just sellele. Selgitame algoritmi kasutamist näidetega. Jagage poolt. Teeme kaherealise tabeli: esimesse reale kirjutame polünoomi koefitsiendid muutuja astmete kahanevas järjekorras. Pange tähele, et see polünoom ei sisalda x-i, st. koefitsient x ees on 0. Kuna jagame arvuga, kirjutame teisele reale ühe:

Alustame teise rea tühjade lahtrite täitmist. Kirjutame esimesse tühja lahtrisse 5, liigutades selle lihtsalt esimese rea vastavast lahtrist:

Täidame järgmise lahtri selle põhimõtte järgi:

Täidame samamoodi neljanda:

Viienda lahtri jaoks saame:

Ja lõpuks, viimase, kuuenda lahtri jaoks on meil:

Probleem on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna:

Nagu näete, on teisel real (esimese ja viimase vahel) asuvad arvud polünoomi koefitsiendid, mis saadakse pärast jagamist. Viimane number teisel real tähendab jagamise jääki või, mis on sama, polünoomi väärtust at. Järelikult, kui meie puhul on jääk võrdne nulliga, jagatakse polünoomid täielikult.

Tulemus näitab ka, et 1 on polünoomi juur.

Toome veel ühe näite. Jagame polünoomi arvuga. Olgu kohe ette nähtud, et väljend tuleb esitada kujul. Horneri skeem hõlmab täpselt -3.

Kui meie eesmärk on leida polünoomi kõik juured, siis saab Horneri skeemi rakendada mitu korda järjest, kuni oleme kõik juured ammendanud. Näiteks leiame kõik polünoomi juured. Vaba termini jagajate hulgast tuleb otsida terveid juuri, s.t. jagajate hulgas on 8. See tähendab, et arvud -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8 võivad olla täisarvulised juured. Kontrollime näiteks 1:

Niisiis, jääk on 0, st. ühtsus on tõepoolest selle polünoomi juur. Proovime seadet veel paar korda kontrollida. Me ei loo selleks uut tabelit, vaid jätkame eelmise tabeli kasutamist:

Jällegi jääk on null. Jätkame tabelit, kuni oleme ammendanud kõik võimalikud juurväärtused:

Alumine rida: Muidugi seda meetodit valik on ebaefektiivne üldjuhul, kui juured ei ole täisarvud, kuid täisarvude juurte jaoks on meetod üsna hea.

TÄISARVKOEFITSIENTIDEGA POLÜNOOMI RATSIOONI JUURED Polünoomi juurte leidmine on huvitav ja üsna keeruline ülesanne, mille lahendamine ületab koolikursus matemaatika. Täisarvuliste koefitsientidega polünoomide jaoks on aga olemas lihtne loendusalgoritm, mis võimaldab leida kõik ratsionaalsed juured.

Teoreem. Kui täisarvu koefitsientidega polünoomil on ratsionaalne juur (on taandamatu murd),

siis murru lugeja on vaba liikme jagaja ja nimetaja selle polünoomi juhtivkoefitsiendi jagaja.

Tõestus

Olgu polünoom kirjutatud kanoonilisel kujul. Asendame ja vabaneme nimetajatest, korrutades suurima astmega n:

Liigutage liiget paremale

Korrutis jagatakse täisarvuga m. Tingimuse järgi on murd taandamatu, seetõttu on arvud m ja n kaasalgarvud. Siis on arvud m kaasalgarvuks ja Kui arvude korrutis jagub m-ga ja tegur on kaasalgarvuga, siis peab teine ​​tegur jaguma m-ga.

Juhtkoefitsiendi jaguvuse tõestust nimetajaga n tõestatakse samamoodi, nihutades liiget paremale ja nihutades tegurit n vasakpoolsest sulust vasakult välja.

Teeme tõestatud teoreemi kohta mõned kommentaarid.

Märkmed

1) Teoreem annab ainult vajalik tingimus ratsionaalse juure olemasolu. See tähendab, et peate kontrollima kõiki teoreemis määratud omadusega ratsionaalseid arve ja valima nende hulgast need, mis osutuvad juurteks. Teisi ei tule.

2) Jagajate hulgast tuleb võtta mitte ainult positiivsed, vaid ka negatiivsed täisarvud.

3) Kui juhtkoefitsient on 1, siis iga ratsionaalne juur peab olema täisarv, kuna 1-l pole jagajaid v.a.

Illustreerime teoreemi ja selle kommentaare näidetega.

1) Ratsionaalsed juured peavad olema terviklikud.

Lahendame vaba liikme jagajad: Positiivseid arve pole mõtet asendada, kuna kõik polünoomi koefitsiendid on positiivsed ja

Jääb üle arvutada F(–1) ja F(–2). F(–1)=1+0; F(–2)=0.

Seega on polünoomil üks terve juur x=–2.

F(x) saame jagada x+2-ga:

2) Kirjutage üles juurte võimalikud väärtused:

Asenduse abil oleme veendunud, et polünoomil on ka kolm erinevat ratsionaalset juurt:

Muidugi on juur x = -1 lihtne ära arvata. Seejärel saate tavaliste tehnikate abil faktoriseerida ja otsida ruuttrinoomi juuri.

POLÜNOOMIDE JAOTUS. EUCLID ALGORITM

Polünoomide jagamine

Jagamise tulemuseks on üks polünoomipaar - jagatis ja jääk, mis peavad rahuldama võrdsust:< делимое > = < делитель > ´ < частное > + <… Если многочлен степени n Pn(x) является делимым,

Näide nr 1

6x 3 + x 2 - 3x - 2 2x 2 - x - 1

6x 3 ± 3x 2 ± 3x 3x + 2

4x 2 + 0x - 2

4x 2 ± 2x ± 2

Seega 6x 3 + x 2 – 3x – 2 = (2x 2 – x – 1)(3x + 2) + 2x.

Näide nr 2

a 5 a 4 b a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4

± a 4 b ± a 3 b 2

– a 2 b 3 + b 5

± a 2 b 3 ± ab 4

Seega a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 –a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4).

- polünoomid. Selles artiklis toome välja kogu esialgse ja vajaliku teabe polünoomide kohta. Nende hulka kuuluvad esiteks polünoomi määratlus koos polünoomi terminite, eriti vaba termini jms definitsioonidega. Teiseks peatume tüüpkuju polünoomidel, anname vastava definitsiooni ja toome nende kohta näiteid. Lõpuks tutvustame polünoomi astme määratlust, selgitame välja, kuidas seda leida ja räägime polünoomi liikmete kordajatest.

Leheküljel navigeerimine.

Polünoom ja selle mõisted – definitsioonid ja näited

7. klassis õpitakse polünoome kohe pärast monoomi, see on arusaadav, kuna polünoomi määratlus antakse monomialide kaudu. Anname selle definitsiooni, et selgitada, mis on polünoom.

Definitsioon.

Polünoom on monomiaalide summa; Monoomi peetakse polünoomi erijuhuks.

Kirjalik definitsioon võimaldab teil tuua nii palju polünoomide näiteid, kui soovite. Ükskõik milline monoomidest 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 jne. on polünoom. Samuti on definitsiooni järgi 1+x, a 2 +b 2 ja polünoomid.

Polünoomide kirjeldamise mugavuse huvides tuuakse sisse polünoomitermini definitsioon.

Definitsioon.

Polünoomilised terminid on polünoomi koostismonoomid.

Näiteks polünoom 3 x 4 −2 x y+3−y 3 koosneb neljast liikmest: 3 x 4 , −2 x y , 3 ja −y 3 . Monoomiks loetakse polünoomi, mis koosneb ühest liikmest.

Definitsioon.

Kahest ja kolmest terminist koosnevatel polünoomidel on spetsiaalsed nimed - binoom Ja kolmik vastavalt.

Seega on x+y binoom ja 2 x 3 q−q x x x+7 b on trinoom.

Koolis peame kõige sagedamini töötama lineaarne binoom a x+b , kus a ja b on mõned arvud ja x on muutuja, samuti c ruuttrinoom a·x 2 +b·x+c, kus a, b ja c on mõned arvud ning x on muutuja. Siin on näited lineaarsetest binoomidest: x+1, x 7,2-4 ja siin on näited ruudukujulistest trinoomidest: x 2 +3 x-5 ja .

Polünoomidel võivad nende tähistuses olla sarnased terminid. Näiteks polünoomi 1+5 x−3+y+2 x on sarnased liikmed 1 ja −3, samuti 5 x ja 2 x. Neil on oma erinimi – polünoomi sarnased terminid.

Definitsioon.

Polünoomi sarnased terminid nimetatakse polünoomi sarnaseid termineid.

Eelmises näites on 1 ja −3, samuti paar 5 x ja 2 x polünoomi sarnased liikmed. Sarnaste terminitega polünoomides saate sarnaseid termineid nende vormi lihtsustamiseks vähendada.

Standardkuju polünoom

Polünoomide, nagu ka monomialide, jaoks on olemas nn standardvorm. Toome välja vastava määratluse.

Selle definitsiooni põhjal saame tuua näiteid tüüpkuju polünoomide kohta. Seega polünoomid 3 x 2 −x y+1 ja kirjutatud standardvormis. Ja avaldised 5+3 x 2 −x 2 +2 x z ja x+x y 3 x z 2 +3 z ei ole standardkuju polünoomid, kuna esimene neist sisaldab sarnaseid termineid 3 x 2 ja −x 2 ning teine ​​– monoomne x·y 3 ·x·z 2 , mille vorm erineb standardsest.

Pange tähele, et vajadusel saate polünoomi alati taandada standardvormile.

Teine tüüpvormi polünoomidega seotud mõiste on polünoomi vabaliikme mõiste.

Definitsioon.

Polünoomi vaba liige on tähtosata standardkujulise polünoomi liige.

Teisisõnu, kui standardkujuline polünoom sisaldab arvu, nimetatakse seda vabaliikmeks. Näiteks 5 on polünoomi x 2 z+5 vaba liige, kuid polünoomil 7 a+4 a b+b 3 vaba liiget ei ole.

Polünoomi aste – kuidas seda leida?

Teine oluline seotud definitsioon on polünoomi astme määratlus. Esiteks määratleme standardvormi polünoomi astme; see määratlus põhineb selle koostises olevate monomiaalide astmetel.

Definitsioon.

Tüüpkujulise polünoomi aste on suurim selle tähistuses sisalduvate monomiaalide astmetest.

Toome näiteid. Polünoomi 5 x 3 −4 aste on võrdne 3-ga, kuna sellesse kuuluvatel monoomidel 5 x 3 ja −4 on astmed vastavalt 3 ja 0, suurim neist arvudest on 3, mis on polünoomi aste. definitsiooni järgi. Ja polünoomi aste 4 x 2 a 3 −5 x 4 a+6 x võrdne suurimaga arvudest 2+3=5, 4+1=5 ja 1, see tähendab 5.

Nüüd selgitame välja, kuidas leida mis tahes kujuga polünoomi aste.

Definitsioon.

Suvalise kujuga polünoomi aste kutsuda vastava standardvormi polünoomi aste.

Seega, kui polünoomi ei ole kirjutatud standardkujul ja peate leidma selle astme, peate algse polünoomi taandada standardvormiks ja leidma saadud polünoomi astme - see on vajalik. Vaatame näidislahendust.

Näide.

Leia polünoomi aste 3 a 12 -2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12.

Lahendus.

Kõigepealt peate polünoomi esitama standardsel kujul:
3 a 12 -2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2.

Saadud standardkuju polünoom sisaldab kahte monoomi −2·a 2 ·b 2 ·c 2 ja y 2 ·z 2 . Leiame nende võimsused: 2+2+2=6 ja 2+2=4. Ilmselgelt on suurim neist astmetest 6, mis definitsiooni järgi on standardkuju polünoomi aste −2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2 ja seega ka algse polünoomi aste., 3 x ja 7 polünoomist 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 7. klassi jaoks Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. 2 tunniga.1.osa.Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 17. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 lk.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toimetanud A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - M.: Haridus, 2010.- 368 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Polünoom on monomialide summa. Kui kõik polünoomi liikmed on kirjutatud standardkujul (vt lõik 51) ja sarnaseid termineid taandada, saate standardkujulise polünoomi.

Iga täisarvu avaldise saab teisendada standardkuju polünoomiks – selleks on täisarvuavaldiste teisendused (lihtsustused).

Vaatame näiteid, kus terve avaldis tuleb taandada polünoomi standardvormiks.

Lahendus. Esiteks toome polünoomi tingimused standardvormile. Saame Pärast sarnaste terminite toomist saame tüüpvormi polünoomi

Lahendus. Kui sulgude ees on plussmärk, siis võib sulud ära jätta, säilitades kõikide sulgudes olevate terminite märgid. Kasutades seda reeglit sulgude avamiseks, saame:

Lahendus. Kui sulgude ees on miinusmärk, siis saab sulud ära jätta, muutes kõigi sulgudes olevate terminite märke. Kasutades seda reeglit sulgude peitmiseks, saame:

Lahendus. Monoomi ja polünoomi korrutis on distributsiooniseaduse kohaselt võrdne selle monoomi ja polünoomi iga liikme korrutiste summaga. Saame

Lahendus. Meil on

Lahendus. Meil on

Jääb üle anda sarnased terminid (need on alla joonitud). Saame:

53. Lühendatud korrutusvalemid.

Mõnel juhul viiakse kogu avaldis polünoomi standardvormi, kasutades identiteete:

Neid identiteete nimetatakse lühendatud korrutusvalemiteks,

Vaatame näiteid, milles peate teisendama antud avaldise standardvormiks myogochlea.

Näide 1. .

Lahendus. Kasutades valemit (1), saame:

Näide 2. .

Lahendus.

Näide 3. .

Lahendus. Kasutades valemit (3), saame:

Näide 4.

Lahendus. Kasutades valemit (4), saame:

54. Polünoomide faktoriseerimine.

Mõnikord saate polünoomi teisendada mitme teguri korrutiseks – polünoomideks või alamnimedeks. Sellist identiteedi teisendust nimetatakse polünoomi faktoriseerimiseks. Sel juhul öeldakse, et polünoom jagub kõigi nende teguritega.

Vaatame mõningaid võimalusi polünoomide faktoritamiseks,

1) Ühise teguri väljavõtmine sulgudest. See teisendus on jaotusseaduse otsene tagajärg (selguse huvides peate selle seaduse lihtsalt "paremalt vasakule" ümber kirjutama):

Näide 1: Polünoomi kordamine

Lahendus. .

Tavaliselt võetakse ühisteguri sulgudest välja võttes iga polünoomi kõigis osades sisalduv muutuja välja väikseima astendajaga, mis sellel polünoomil on. Kui polünoomi kõik koefitsiendid on täisarvud, siis võetakse ühisteguri koefitsiendiks polünoomi kõigi koefitsientide suurim absoluutne ühisjagaja.

2) Lühendatud korrutamisvalemite kasutamine. Valemid (1) - (7) lõikest 53, loetuna paremalt vasakule, osutuvad paljudel juhtudel kasulikuks polünoomide faktoriseerimiseks.

Näide 2: tegur .

Lahendus. Meil on. Rakendades valemit (1) (ruutude erinevus), saame . Kandideerides

Nüüd saame valemid (4) ja (5) (kuubikute summa, kuubikute vahe):

Näide 3. .

Lahendus. Kõigepealt võtame sulgudest välja ühisteguri. Selleks leiame koefitsientide 4, 16, 16 suurima ühisjagaja ja väikseimad eksponendid, millega muutujad a ja b sisalduvad selle polünoomi koostismonoomides. Saame:

3) Rühmitamise meetod. See põhineb asjaolul, et kommutatiivsed ja assotsiatiivsed liitmise seadused võimaldavad polünoomi liikmeid mitmel viisil rühmitada. Vahel on võimalik rühmitada nii, et peale ühistegurite sulgudest välja võtmist jääb igas rühmas sulgudesse sama polünoom, mille saab omakorda ühistegurina sulgudest välja võtta. Vaatame polünoomi faktoriseerimise näiteid.

Näide 4. .

Lahendus. Teeme rühmitamise järgmiselt:

Esimeses rühmas võtame sulgudest ühisteguri teiseks - ühisteguri 5. Saame Nüüd paneme polünoomi kui ühisteguri sulgudest välja: Seega saame:

Näide 5.

Lahendus. .

Näide 6.

Lahendus. Siin ei põhjusta ükski rühmitamine sama polünoomi ilmumist kõigis rühmades. Sellistel juhtudel on mõnikord kasulik esitada polünoomi liiget summana ja seejärel proovida rühmitamismeetodit uuesti. Meie näites on soovitav esitada see summana Saame

Näide 7.

Lahendus. Lisa ja lahuta monoom Me saame

55. Polünoomid ühes muutujas.

Polünoomi, kus a, b on muutujad arvud, nimetatakse esimese astme polünoomiks; polünoom, kus a, b, c on muutujad arvud, mida nimetatakse teise astme polünoomiks või ruuttrinoomiks; polünoom, kus a, b, c, d on arvud, nimetatakse muutujat kolmanda astme polünoomiks.

Üldiselt, kui o on muutuja, siis on see polünoom

nimetatakse lsmogochnolenol kraadiks (x suhtes); , polünoomi m-liikmed, koefitsiendid, polünoomi juhtliige, a on juhtliikme koefitsient, polünoomi vaba liige. Tavaliselt kirjutatakse polünoom muutuja kahanevas astmes, st muutuja astmed vähenevad järk-järgult, eelkõige on esikohal juhtiv liige ja viimasel kohal vaba liige. Polünoomi aste on kõrgeima liikme aste.

Näiteks viienda astme polünoom, mille juhtiv liige 1 on polünoomi vaba liige.

Polünoomi juur on väärtus, mille juures polünoom kaob. Näiteks arv 2 on polünoomi juur alates