Gaussi reeglid. Gaussi meetod. Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod. Algoritmi kirjeldus Gaussi meetodi kasutamiseks ebasobiva arvu võrrandite ja tundmatute arvu või degenereerunud maatrikssüsteemiga sloughide lahendamiseks

Kahte lineaarvõrrandi süsteemi nimetatakse ekvivalentseteks, kui nende kõigi lahendite hulk langeb kokku.

Võrrandisüsteemi elementaarsed teisendused on järgmised:

1. Triviaalvõrrandite süsteemist kustutamine, s.o. need, mille kõik koefitsiendid on võrdsed nulliga;
2. mis tahes võrrandi korrutamine nullist erineva arvuga;
3. Lisades mis tahes i-ndale võrrandile mis tahes j-nda võrrandi, mis on korrutatud mis tahes arvuga.

Muutujat x i nimetatakse vabaks, kui see muutuja pole lubatud, kuid lubatud on kogu võrrandisüsteem.

Teoreem. Elementaarsed teisendused muudavad võrrandisüsteemi samaväärseks.

Gaussi meetodi tähendus on algse võrrandisüsteemi teisendamine ja samaväärse lahendatud või samaväärse ebajärjekindla süsteemi saamine.

Niisiis, Gaussi meetod koosneb järgmistest sammudest:

1. Vaatame esimest võrrandit. Valime esimese nullist erineva koefitsiendi ja jagame sellega kogu võrrandi. Saame võrrandi, millesse mingi muutuja x i siseneb koefitsiendiga 1;
2. Lahutame selle võrrandi kõigist teistest, korrutades selle selliste arvudega, et muutuja x i koefitsiendid ülejäänud võrrandites nullitakse. Saame süsteemi, mis on lahendatud muutuja x i suhtes ja samaväärne algse süsteemiga;
3. Kui tekivad triviaalsed võrrandid (harva, aga juhtub; näiteks 0 = 0), kriipsutame need süsteemist välja. Selle tulemusena on võrrandeid üks vähem;
4. Kordame eelmisi samme mitte rohkem kui n korda, kus n on võrrandite arv süsteemis. Iga kord valime töötlemiseks uue muutuja. Kui tekivad ebajärjekindlad võrrandid (näiteks 0 = 8), on süsteem ebajärjekindel.

Selle tulemusel saame mõne sammu järel kas lahendatud süsteemi (võimalik, et vabade muutujatega) või ebajärjekindla süsteemi. Lubatud süsteemid jagunevad kaheks juhuks:

1. Muutujate arv on võrdne võrrandite arvuga. See tähendab, et süsteem on määratletud;
2. Muutujate arv on suurem kui võrrandite arv. Kogume kõik paremal olevad vabad muutujad - saame lubatud muutujate valemid. Need valemid on vastuses kirjas.

See on kõik! Lineaarvõrrandi süsteem lahendatud! See on üsna lihtne algoritm ja selle valdamiseks ei pea te ühendust võtma kõrgema matemaatika juhendajaga. Vaatame näidet:

Ülesanne. Lahendage võrrandisüsteem:

Sammude kirjeldus:

1. Lahutage esimene võrrand teisest ja kolmandast - saame lubatud muutuja x 1;
2. Korrutame teise võrrandi (-1) ja jagame kolmanda võrrandiga (-3) - saame kaks võrrandit, millesse muutuja x 2 siseneb koefitsiendiga 1;
3. Lisame teise võrrandi esimesele ja lahutame kolmandast. Saame lubatud muutuja x 2 ;
4. Lõpuks lahutame esimesest kolmanda võrrandi - saame lubatud muutuja x 3;
5. Oleme saanud kinnitatud süsteemi, kirjutage vastus üles.

Lineaarvõrrandi samaaegse süsteemi üldlahendus on uus, algse samaväärne süsteem, milles kõik lubatud muutujad on väljendatud vabadena.

Millal võib vaja minna üldist lahendust? Kui peate tegema vähem samme kui k (k on võrrandite arv). Kuid põhjused, miks protsess mõnel etapil l lõpeb< k , может быть две:

1. Pärast l-ndat sammu saime süsteemi, mis ei sisalda võrrandit arvuga (l + 1). Tegelikult on see hea, sest... volitatud süsteem saadakse ikka kätte – isegi paar sammu varem.
2. Pärast l-ndat sammu saime võrrandi, milles kõik muutujate koefitsiendid on võrdsed nulliga ja vaba koefitsient erineb nullist. See on vastuoluline võrrand ja seetõttu on süsteem ebajärjekindel.

Oluline on mõista, et vastuolulise võrrandi tekkimine Gaussi meetodi abil on piisavaks aluseks ebakõla tekkeks. Samas märgime, et l-nda sammu tulemusena ei saa jääda triviaalseid võrrandeid - kõik need kriipsutatakse läbi.

Sammude kirjeldus:

1. Lahutage teisest esimene võrrand, korrutatuna 4-ga. Esimese võrrandi lisame ka kolmandale - saame lubatud muutuja x 1;
2. Lahutage teisest kolmas võrrand, korrutatud 2-ga - saame vastuolulise võrrandi 0 = −5.

Seega on süsteem ebajärjekindel, kuna on avastatud vastuoluline võrrand.

Ülesanne. Uurige ühilduvust ja leidke süsteemile üldine lahendus:

Sammude kirjeldus:

1. Lahutame esimese võrrandi teisest (pärast kahega korrutamist) ja kolmandast - saame lubatud muutuja x 1;
2. Lahutage teine ​​võrrand kolmandast. Kuna kõik nendes võrrandites olevad koefitsiendid on samad, muutub kolmas võrrand triviaalseks. Samal ajal korrutage teine ​​võrrand arvuga (−1);
3. Lahutage esimesest võrrandist teine ​​- saame lubatud muutuja x 2. Ka kogu võrrandisüsteem on nüüd lahendatud;
4. Kuna muutujad x 3 ja x 4 on vabad, nihutame need lubatud muutujate väljendamiseks paremale. See on vastus.

Seega on süsteem järjekindel ja määramatu, kuna on kaks lubatud muutujat (x 1 ja x 2) ja kaks vaba (x 3 ja x 4).

Gaussi meetodi definitsioon ja kirjeldus

Gaussi teisendusmeetod (tuntud ka kui meetod tundmatute muutujate järjestikuseks eemaldamiseks võrrandist või maatriksist) lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on klassikaline meetod algebraliste võrrandite süsteemide (SLAE) lahendamiseks. Seda klassikalist meetodit kasutatakse ka selliste probleemide lahendamiseks nagu pöördmaatriksite saamine ja maatriksi järgu määramine.

Gaussi meetodi abil teisendamine seisneb lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemis väikeste (elementaarsete) järjestikuste muudatuste tegemises, mille tulemuseks on muutujate eemaldamine sellest ülalt alla koos uue kolmnurkse võrrandisüsteemi moodustamisega, mis on samaväärne algse süsteemiga. üks.

Definitsioon 1

Seda lahenduse osa nimetatakse Gaussi pärilikuks lahenduseks, kuna kogu protsess viiakse läbi ülalt alla.

Pärast algse võrrandisüsteemi taandamist kolmnurkseks, leitakse kõik süsteemi muutujad alt üles (st esimesed leitud muutujad asuvad täpselt süsteemi või maatriksi viimastel ridadel). Seda lahenduse osa tuntakse ka Gaussi lahenduse pöördväärtusena. Tema algoritm on järgmine: esiteks arvutatakse võrrandisüsteemi või maatriksi põhjale kõige lähemal olevad muutujad, seejärel asendatakse saadud väärtused kõrgemaks ja nii leitakse teine ​​muutuja jne.

Gaussi meetodi algoritmi kirjeldus

Gaussi meetodi abil võrrandisüsteemi üldise lahendamise toimingute jada seisneb SLAE-l põhineva maatriksi vaheldumisi edasi- ja tagasilöögi rakendamises. Olgu algsel võrrandisüsteemil järgmine kuju:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

SLAE-de lahendamiseks Gaussi meetodil on vaja kirjutada algne võrrandisüsteem maatriksi kujul:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Maatriksit $A$ nimetatakse põhimaatriksiks ja see esindab järjekorras kirjutatud muutujate koefitsiente ning $b$ nimetatakse selle vabade liikmete veeruks. Maatriksit $A$, mis on kirjutatud läbi vabade terminite veeruga riba, nimetatakse laiendatud maatriksiks:

$A = \begin(massiivi)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(massiiv)$

Nüüd on vaja võrrandisüsteemi (või maatriksi, kuna see on mugavam) elementaarteisendusi kasutades viia see järgmisele kujule:

$\begin(juhtumid) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \lõpp(juhtumid)$ (1)

Teisendatud võrrandisüsteemi (1) kordajatest saadud maatriksit nimetatakse astmemaatriksiks, astmemaatriksid näevad tavaliselt välja sellised:

$A = \begin(massiivi)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(massiiv)$

Neid maatrikseid iseloomustavad järgmised omadused:

1. Kõik selle nulljooned tulevad nullist erinevate ridade järel
2. Kui mõni maatriksi rida numbriga $k$ on nullist erinev, siis on sama maatriksi eelmises reas vähem nulle kui sellel numbriga $k$.

Pärast astmemaatriksi saamist on vaja saadud muutujad asendada ülejäänud võrranditega (alates lõpust) ja saada muutujate ülejäänud väärtused.

Põhireeglid ja lubatud teisendused Gaussi meetodi kasutamisel

Selle meetodi abil maatriksi või võrrandisüsteemi lihtsustamisel peate kasutama ainult elementaarteisendusi.

Selliseid teisendusi peetakse tehteteks, mida saab rakendada maatriksile või võrrandisüsteemile ilma selle tähendust muutmata:

• mitme rea ümberpaigutamine,
• maatriksi ühest reast teise rea liitmine või lahutamine,
• stringi korrutamine või jagamine konstandiga, mis ei ole võrdne nulliga,
• ainult nullidest koosnev rida, mis on saadud süsteemi arvutamise ja lihtsustamise käigus, tuleb kustutada,
• Samuti peate eemaldama mittevajalikud proportsionaalsed read, valides süsteemi jaoks ainsa koefitsientidega, mis on edasiste arvutuste jaoks sobivamad ja mugavamad.

Kõik elementaarteisendused on pöörduvad.

Lineaarvõrrandite lahendamisel lihtsate Gaussi teisenduste meetodil ilmnevate kolme põhijuhtumi analüüs

Süsteemide lahendamiseks Gaussi meetodi kasutamisel ilmneb kolm juhtumit:

1. Kui süsteem on ebajärjekindel, see tähendab, et sellel pole lahendusi
2. Võrrandisüsteemil on lahendus ja kordumatu ning nullist erinevate ridade ja veergude arv maatriksis on üksteisega võrdne.
3. Süsteemil on teatud arv või hulk võimalikke lahendusi ja ridade arv selles on väiksem kui veergude arv.

Ebaühtlase süsteemiga lahenduse tulemus

Selle variandi puhul on maatriksvõrrandi lahendamisel Gaussi meetodil tüüpiline saada mingi sirge võrdsuse täitmise võimatusega. Seega, kui esineb vähemalt üks vale võrdsus, ei ole saadud ja algsüsteemidel lahendusi, olenemata nendes sisalduvatest muudest võrranditest. Ebajärjekindla maatriksi näide:

$\begin(massiiv)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiivi)$

Viimasel real tekkis võimatu võrdsus: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Võrrandisüsteem, millel on ainult üks lahendus

Nendel süsteemidel on pärast astmemaatriksiks taandamist ja nullidega ridade eemaldamist põhimaatriksis sama arv ridu ja veerge. Siin on sellise süsteemi lihtsaim näide:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Kirjutame selle maatriksi kujul:

$\begin(massiivi)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(massiivi)$

Teise rea esimese lahtri nulli viimiseks korrutame ülemise rea $-2$-ga ja lahutame selle maatriksi alumisest reast ning jätame ülemise rea algsel kujul, mille tulemusena saame järgmise :

$\begin(massiivi)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(massiivi)$

Selle näite saab kirjutada süsteemina:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Madalam võrrand annab $x$ jaoks järgmise väärtuse: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Asendage see väärtus ülemise võrrandiga: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, saame $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Süsteem paljude võimalike lahendustega

Seda süsteemi iseloomustab väiksem oluliste ridade arv kui selles olevate veergude arv (arvestatakse põhimaatriksi ridu).

Muutujad on sellises süsteemis jagatud kahte tüüpi: põhi- ja tasuta. Sellise süsteemi teisendamisel tuleb selles sisalduvad põhimuutujad jätta vasakpoolsesse alasse kuni märgini “=” ning ülejäänud muutujad nihutada võrdsuse paremale poole.

Sellisel süsteemil on ainult teatud üldlahendus.

Analüüsime järgmist võrrandisüsteemi:

$\begin(juhtumid) 2a_1 + 3a_2 + x_4 = 1 \\ 5a_3 - 4a_4 = 1 \end(juhtumid)$

Kirjutame selle maatriksi kujul:

$\begin(massiivi)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(massiivi)$

Meie ülesanne on leida süsteemile üldine lahendus. Selle maatriksi puhul on alusmuutujad $y_1$ ja $y_3$ ($y_1$ puhul – kuna see on esimene ja $y_3$ puhul – see asub nullide järel).

Alusmuutujateks valime täpselt need, mis on reas esimesed ja ei võrdu nulliga.

Ülejäänud muutujaid nimetatakse vabadeks, nende kaudu peame väljendama põhimuutujaid.

Nn pöördkäiku kasutades analüüsime süsteemi alt üles, selleks väljendame esmalt süsteemi alumisel realt $y_3$:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5a_3 = 4a_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nüüd asendame väljendatud $y_3$ süsteemi $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ ülemise võrrandiga: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $

Väljendame $y_1$ vabade muutujatena $y_2$ ja $y_4$:

2a_1 + 3a_2 – \frac(4)(5)y_4 – \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3a_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3a_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1a_4 + 0,6 $

Lahendus on valmis.

Näide 1

Lahendage slough Gaussi meetodil. Näited. Näide 3x3 maatriksiga antud lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

$\begin(juhtumid) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(juhtumid)$

Kirjutame oma süsteemi laiendatud maatriksi kujul:

$\begin(massiivi)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiivi)$

Nüüd peate mugavuse ja praktilisuse huvides muutma maatriksi nii, et $1 $ oleks kõige välimise veeru ülemises nurgas.

Selleks peate 1. reale lisama rea ​​keskelt, korrutatuna $-1 $-ga, ja kirjutama keskmine rida ise nii, nagu see on, selgub:

$\begin(massiiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiivi)$

$\begin(massiivi)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(massiivi) $

Korrutage ülemine ja viimane rida $-1 $-ga ning vahetage ka viimane ja keskmine rida:

$\begin(massiivi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(massiivi)$

$\begin(massiivi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(massiivi)$

Ja jagage viimane rida 3 dollariga:

$\begin(massiivi)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(massiivi)$

Saame järgmise võrrandisüsteemi, mis on samaväärne algse võrrandiga:

$\begin(juhtumid) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(juhtumid)$

Ülemisest võrrandist väljendame $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1 $.

Näide 2

Näide 4 x 4 maatriksi abil defineeritud süsteemi lahendamisest Gaussi meetodil

$\begin(massiivi)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(massiivi)$.

Alguses vahetame sellele järgnevad ülemised read, et saada ülemisse vasakusse nurka $1:

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(massiivi)$.

Nüüd korrutage ülemine rida $-2 $-ga ja lisage 2. ja 3. Neljandale lisame 1. rea, korrutatuna $-3 $:

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(massiiv)$

Nüüd lisame reale number 3 rea 2 korrutatuna $4$-ga ja reale 4 lisame rea 2 korrutatuna $-1$-ga.

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(massiivi)$

Korrutame rea 2 $-1 $-ga, jagame rea 4 $3 $-ga ja asendame rea 3.

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 ja 10 \\ \end(massiivi)$

Nüüd lisame viimasele reale eelviimase, korrutatuna $-5$-ga.

$\begin(massiivi)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(massiiv)$

Lahendame saadud võrrandisüsteemi:

$\begin(juhtumid) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3a + 2g + m = 11\lõpp(juhtumid)$

Meie kalkulaatorist leiate tasuta lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodil võrgus detailsete lahenduste ja isegi kompleksarvudega. Meiega saate lahendada nii tavalise kindla kui ka määramata võrrandisüsteemi, millel on lõpmatu arv lahendeid. Sel juhul saate vastuses mõne muutuja sõltuvuse teiste - vabade - kaudu. Saate kontrollida ka süsteemi järjepidevust sama Gaussi meetodi abil.

Lisateavet meie veebikalkulaatori kasutamise kohta saate lugeda juhistest.

Meetodi kohta

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel Gaussi meetodil tehakse järgmised sammud.

1. Kirjutame laiendatud maatriksi.
2. Tegelikult on algoritm jagatud edasi- ja tagurpidiseks. Otsene liikumine on maatriksi taandamine astmelisele kujule. Vastupidine käik on maatriksi redutseerimine spetsiaalsele astmelisele vormile. Kuid praktikas on mugavam kohe nullida see, mis asub nii kõnealuse elemendi kohal kui ka all. Meie kalkulaator kasutab täpselt seda meetodit.
3. Oluline on märkida, et Gaussi meetodil lahendamisel viitab süsteemi ebakõlale vähemalt ühe nullirea olemasolu maatriksis, mille parempoolne külg MITTE-null (vabade terminite veerg). Sel juhul pole lahendust.

Algoritmi toimimise paremaks mõistmiseks sisestage mis tahes näide, valige "väga detailne lahendus" ja uurige vastust.

Gaussi meetod on lihtne! Miks? Kuulus saksa matemaatik Johann Carl Friedrich Gauss pälvis oma eluajal tunnustuse kui kõigi aegade suurimat matemaatikut, geeniust ja isegi hüüdnime "Matemaatika kuningas". Ja kõik geniaalne, nagu teate, on lihtne! Muide, raha ei saa mitte ainult imikud, vaid ka geeniused - Gaussi portree oli 10 Saksa margalisel rahatähel (enne euro kasutuselevõttu) ja Gauss naeratab sakslastele salapäraselt siiani tavalistelt postmarkidelt.

Gaussi meetod on selle poolest lihtne, et selle valdamiseks PIISAB VIIENDA KLASSI ÕPILASE TEADMISEST. Peate teadma, kuidas liita ja korrutada! Pole juhus, et õpetajad kaaluvad koolimatemaatika valikainetes sageli tundmatute järjestikuse väljajätmise meetodit. See on paradoks, kuid õpilaste arvates on Gaussi meetod kõige keerulisem. Pole midagi üllatavat - see kõik puudutab metoodikat ja ma püüan rääkida meetodi algoritmist juurdepääsetaval kujul.

Esiteks süstematiseerime veidi teadmisi lineaarvõrrandisüsteemide kohta. Lineaarvõrrandisüsteem võib:

1) omage ainulaadset lahendust.
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Sul pole lahendusi (ole mitteliigeste).

Gaussi meetod on kõige võimsam ja universaalsem vahend lahenduse leidmiseks ükskõik milline lineaarvõrrandisüsteemid. Nagu me mäletame, Crameri reegel ja maatriksmeetod ei sobi juhtudel, kui süsteemil on lõpmatult palju lahendusi või see on ebaühtlane. Ja tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod Igatahes viib meid vastuseni! Selles õppetükis käsitleme taas Gaussi meetodit juhtumi nr 1 jaoks (süsteemi ainus lahendus), artikkel on pühendatud punktide nr 2-3 olukordadele. Märgin, et meetodi enda algoritm töötab kõigil kolmel juhul samamoodi.

Tuleme õppetunnist tagasi kõige lihtsama süsteemi juurde Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?
ja lahendage see Gaussi meetodil.

Esimene samm on üles kirjutada laiendatud süsteemimaatriks:
. Ma arvan, et igaüks näeb, mis põhimõttel koefitsiendid kirjutatakse. Maatriksi sees oleval vertikaalsel joonel ei ole matemaatilist tähendust – see on lihtsalt läbikriipsutus disaini hõlbustamiseks.

Viide :Soovitan meeles pidada tingimustele Lineaaralgebra. Süsteemi maatriks on maatriks, mis koosneb ainult tundmatute kordajatest, selles näites on süsteemi maatriks: . Laiendatud süsteemimaatriks– see on sama süsteemi maatriks pluss vabade terminite veerg, antud juhul: . Lühiduse huvides võib mis tahes maatriksit nimetada lihtsalt maatriksiks.

Pärast laiendatud süsteemimaatriksi kirjutamist on vaja sellega teha mõned toimingud, mida nimetatakse ka elementaarsed teisendused.

On olemas järgmised elementaarsed teisendused:

1) Stringid maatriksid Saab ümber paigutama mõnes kohas. Näiteks vaadeldavas maatriksis saate esimest ja teist rida valutult ümber korraldada:

2) Kui maatriksis on (või on ilmunud) proportsionaalseid (erijuhtumina - identseid) ridu, siis peaksite kustutada Kõik need read on maatriksist, välja arvatud üks. Mõelge näiteks maatriksile . Selles maatriksis on kolm viimast rida proportsionaalsed, nii et piisab, kui jätta neist ainult üks: .

3) Kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada. Ma muidugi ei tõmba, nulljoon on joon, milles kõik nullid.

4) Maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes numbrile nullist erinev. Vaatleme näiteks maatriksit . Siin on soovitatav esimene rida jagada –3-ga ja teine ​​rida 2-ga korrutada: . See toiming on väga kasulik, kuna see lihtsustab maatriksi edasisi teisendusi.

5) See transformatsioon tekitab kõige rohkem raskusi, kuid tegelikult pole ka midagi keerulist. Maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist. Vaatame oma maatriksit praktilise näite põhjal: . Kõigepealt kirjeldan ümberkujundamist üksikasjalikult. Korrutage esimene rida -2-ga: , Ja teisele reale lisame esimese rea korrutatuna -2-ga: . Nüüd saab esimese rea “tagasi” jagada –2-ga: . Nagu näete, rida, mis on LISATUD LI – pole muutunud. Alati muutub rida, MILLELE LISATAKSE TÜ.

Praktikas nad seda muidugi nii üksikasjalikult ei kirjuta, vaid kirjutavad lühidalt:

Veel kord: teisele reale lisati esimese rea korrutis -2-ga. Rida korrutatakse tavaliselt suuliselt või mustandil, kusjuures peast arvutamise protsess kulgeb umbes järgmiselt:

"Kirjutan maatriksi ümber ja kirjutan esimese rea ümber: »

"Esimene veerg. Allosas pean saama nulli. Seetõttu korrutan ülaosaga –2: , ja liidan esimese teisele reale: 2 + (–2) = 0. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

"Nüüd teine ​​veerg. Ülaosas korrutan -1 -2-ga: . Esimese lisan teisele reale: 1 + 2 = 3. Kirjutan tulemuse teisele reale: »

"Ja kolmas veerg. Ülaosas korrutan -5 -2-ga: . Teisele reale lisan esimese: –7 + 10 = 3. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

Palun mõistke seda näidet hoolikalt ja mõistke järjestikuse arvutuse algoritmi, kui saate sellest aru, on Gaussi meetod praktiliselt teie taskus. Kuid loomulikult me ​​töötame selle ümberkujundamise kallal endiselt.

Elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust ei muuda

! TÄHELEPANU: kaalutletud manipulatsioonid ei saa kasutada, kui teile pakutakse ülesannet, kus maatriksid antakse "iseenesest". Näiteks "klassikaline" tehted maatriksitega Mitte mingil juhul ei tohi maatriksite sees midagi ümber korraldada!

Tuleme tagasi oma süsteemi juurde. See on praktiliselt tükkideks võetud.

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja taandame elementaarteisenduste abil selle väärtuseks astmeline vaade:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Ja veel: miks me korrutame esimese rea –2-ga? Selleks, et saada allosas null, mis tähendab teises reas ühest muutujast vabanemist.

(2) Jagage teine ​​rida 3-ga.

Elementaarteisenduste eesmärk – vähendage maatriksi astmelisele kujule: . Ülesande kujundamisel märgivad nad lihtsalt lihtsa pliiatsiga välja “trepid” ja ringlevad ka “astmetel” asuvad numbrid. Mõiste "astmeline vaade" ise ei ole täiesti teoreetiline, teadus- ja õppekirjanduses nimetatakse seda sageli trapetsikujuline vaade või kolmnurkne vaade.

Elementaarsete teisenduste tulemusena saime samaväärne algne võrrandisüsteem:

Nüüd tuleb süsteem "lahti kerida" vastupidises suunas - seda protsessi nimetatakse alt üles Gaussi meetodi pöördvõrdeline.

Alumises võrrandis on meil juba valmis tulemus: .

Vaatleme süsteemi esimest võrrandit ja asendame sellega juba teadaoleva väärtuse “y”:

Vaatleme kõige levinumat olukorda, kus Gaussi meetod nõuab kolme tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi lahendamist.

Näide 1

Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodi abil:

Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi:

Nüüd joonistan kohe tulemuse, milleni lahenduse käigus jõuame:

Ja ma kordan, meie eesmärk on viia maatriks astmelisele kujule, kasutades elementaarseid teisendusi. Kust alustada?

Esiteks vaadake ülemist vasakpoolset numbrit:

Peaks peaaegu alati siin olema üksus. Üldiselt sobib –1 (ja vahel ka teised numbrid), aga millegipärast on traditsiooniliselt juhtunud, et sinna pannakse tavaliselt üks. Kuidas üksust organiseerida? Vaatame esimest veergu - meil on valmis üksus! Esimene teisendus: vahetage esimene ja kolmas rida:

Nüüd jääb esimene rida muutumatuks kuni lahenduse lõpuni. Nüüd hästi.

Vasakpoolses ülanurgas asuv üksus on organiseeritud. Nüüd peate nendes kohtades saama nullid:

Nullid saame "keerulise" teisenduse abil. Kõigepealt tegeleme teise reaga (2, –1, 3, 13). Mida tuleb teha, et esikohale null saada? Vaja teisele reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -2-ga. Korrutage esimene rida mõtteliselt või mustandi põhjal -2-ga: (-2, -4, 2, -18). Ja me teostame järjekindlalt (taas vaimselt või mustandi alusel) lisamist, teisele reale lisame esimese rea, mis on juba korrutatud -2-ga:

Kirjutame tulemuse teisele reale:

Kolmanda reaga tegeleme samamoodi (3, 2, –5, –1). Esimeses positsioonis nulli saamiseks peate kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Korrutage esimene rida mõtteliselt või mustandi põhjal -3-ga: (-3, -6, 3, -27). JA kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna -3-ga:

Kirjutame tulemuse kolmandale reale:

Praktikas tehakse need toimingud tavaliselt suuliselt ja pannakse kirja ühes etapis:

Pole vaja kõike korraga ja samal ajal lugeda. Arvutuste järjekord ja tulemuste “sissekirjutamine”. järjekindel ja tavaliselt on see nii: kõigepealt kirjutame esimese rea ümber ja pahvime aeglaselt enda peale - Järjepidevalt ja TÄHELEPANU:


Ja arvutuste enda vaimset protsessi olen juba eespool käsitlenud.

Selles näites on seda lihtne teha, jagame teise rea –5-ga (kuna kõik seal olevad arvud jaguvad 5-ga ilma jäägita). Samal ajal jagame kolmanda rea ​​–2-ga, sest mida väiksemad on numbrid, seda lihtsam on lahendus:

Elementaarsete teisenduste viimases etapis peate siit saama veel ühe nulli:

Selle jaoks kolmandale reale lisame teise rea korrutatuna -2-ga:


Proovige see toiming ise välja mõelda - korrutage teine ​​rida mõtteliselt –2-ga ja tehke liitmine.

Viimane toiming on tulemuse soeng, jagage kolmas rida 3-ga.

Elementaarteisenduste tulemusena saadi ekvivalentne lineaarvõrrandisüsteem:

Lahe.

Nüüd tuleb mängu Gaussi meetodi vastupidine variant. Võrrandid "kerivad lahti" alt üles.

Kolmandas võrrandis on meil juba valmis tulemus:

Vaatame teist võrrandit: . Sõna "zet" tähendus on juba teada, seega:

Ja lõpuks esimene võrrand: . "Igrek" ja "zet" on teada, see on lihtsalt pisiasjade küsimus:

Vastus:

Nagu juba korduvalt märgitud, on iga võrrandisüsteemi puhul võimalik ja vajalik leitud lahendust kontrollida, õnneks on see lihtne ja kiire.

Näide 2

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, lõpliku kavandi näidis ja vastus õppetunni lõpus.

Tuleb märkida, et teie otsuse edenemist ei pruugi kattuda minu otsustusprotsessiga, ja see on Gaussi meetodi tunnusjoon. Aga vastused peavad olema samad!

Näide 3

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Ma tegin seda:
(1) Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd on üleval vasakul “miinus üks”, mis sobib meile päris hästi. Kõik, kes soovivad saada +1, võivad sooritada lisaliigutuse: korrutage esimene rida –1-ga (muutke selle märki).

(2) Teisele reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 5-ga. Kolmandale reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 3-ga.

(3) Esimene rida korrutati –1-ga, põhimõtteliselt on see ilu pärast. Muudeti ka kolmanda rea ​​märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.

(4) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 2-ga.

(5) Kolmas rida jagati 3-ga.

Halb märk, mis näitab viga arvutustes (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame midagi sellist nagu , allpool ja vastavalt , siis võime suure tõenäosusega väita, et elementaarteisenduste käigus tehti viga.

Maksame vastupidi, näidete kujundamisel ei kirjuta nad sageli süsteemi ennast ümber, vaid võrrandid on "võetud otse antud maatriksist". Tuletan teile meelde, et vastupidine löök töötab alt üles. Jah, siin on kingitus:

Vastus: .

Näide 4

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

See on näide, mida saate ise lahendada, see on mõnevõrra keerulisem. Pole hullu, kui keegi segadusse läheb. Täislahendus ja näidiskujundus tunni lõpus. Teie lahendus võib minu lahendusest erineda.

Viimases osas vaatleme mõningaid Gaussi algoritmi omadusi.
Esimene omadus on see, et mõnikord puuduvad süsteemivõrranditest mõned muutujad, näiteks:

Kuidas laiendatud süsteemimaatriksit õigesti kirjutada? Ma rääkisin sellest punktist juba tunnis. Crameri reegel. Maatriksmeetod. Süsteemi laiendatud maatriksis paneme puuduvate muutujate asemele nullid:

Muide, see on üsna lihtne näide, kuna esimeses veerus on juba üks null ja elementaarseid teisendusi tuleb teha vähem.

Teine omadus on see. Kõigis vaadeldavates näidetes panime “astmetele” kas –1 või +1. Kas seal võib olla muid numbreid? Mõnel juhul saavad nad. Mõelge süsteemile: .

Siin üleval vasakus "sammul" on meil kaks. Kuid märkame tõsiasja, et kõik esimeses veerus olevad arvud jaguvad 2-ga ilma jäägita - ja teine ​​​​on kaks ja kuus. Ja need kaks üleval vasakul sobivad meile! Esimese sammuna tuleb sooritada järgmised teisendused: lisada teisele reale esimene rida korrutatuna –1-ga; kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Nii saame esimesse veergu vajalikud nullid.

Või mõni muu tavapärane näide: . Siin sobivad meile ka kolm teisel “astmel”, kuna 12 (koht, kus peame saama nulli) jagub 3-ga ilma jäägita. On vaja läbi viia järgmine teisendus: lisage teine ​​rida kolmandale reale, korrutatuna -4-ga, mille tulemusena saadakse vajalik null.

Gaussi meetod on universaalne, kuid sellel on üks eripära. Võite julgelt õppida lahendama süsteeme, kasutades muid meetodeid (Crameri meetod, maatriksmeetod) sõna otseses mõttes esimest korda - neil on väga range algoritm. Kuid selleks, et tunda end Gaussi meetodis enesekindlalt, peate selle hästi tundma ja lahendama vähemalt 5-10 süsteemi. Seetõttu võib alguses esineda segadust ja arvutusvigu ning selles pole midagi ebatavalist ega traagilist.

Vihmane sügisilm akna taga.... Seega kõigile, kes soovivad keerulisemat näidet omal käel lahendada:

Näide 5

Lahendage Gaussi meetodil neljast lineaarsest võrrandist koosnev süsteem nelja tundmatuga.

Selline ülesanne pole praktikas nii haruldane. Arvan, et isegi teekann, kes on seda lehte põhjalikult uurinud, saab sellise süsteemi intuitiivse lahendamise algoritmist aru. Põhimõtteliselt on kõik sama – toiminguid on lihtsalt rohkem.

Juhtumeid, kui süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlad) või on lahendusi lõpmatult palju, käsitletakse õppetükis Ühildumatud süsteemid ja üldlahendusega süsteemid. Seal saate parandada Gaussi meetodi vaadeldud algoritmi.

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus : Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule.


Tehtud elementaarsed teisendused:
(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga. Tähelepanu! Siin võib tekkida kiusatus lahutada esimene kolmandast reast; soovitan tungivalt seda mitte lahutada - vea oht suureneb oluliselt. Lihtsalt voldi see kokku!
(2) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Teine ja kolmas rida on vahetatud. Märge, et “sammudel” oleme rahul mitte ainult ühega, vaid ka –1-ga, mis on veelgi mugavam.
(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna 5-ga.
(4) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Kolmas rida jagati 14-ga.

Tagurpidi:

Vastus: .

Näide 4: Lahendus : Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid:
(1) Esimesele reale lisati teine ​​rida. Seega on soovitud üksus korraldatud vasakpoolses ülanurgas.
(2) Teisele reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 7-ga. Kolmandale reale lisati esimene rida, mis on korrutatud 6-ga.

Teise "sammuga" läheb kõik hullemaks , on selle “kandidaadid” numbrid 17 ja 23 ning vajame kas ühte või –1. Teisendused (3) ja (4) on suunatud soovitud ühiku saamiseks

(3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.
(4) Teisele reale liideti kolmas rida, korrutatuna -3-ga.
(3) Teine rida liideti kolmandale reale, korrutatuna 4-ga. Teine rida lisati neljandale reale, korrutatuna -1-ga.
(4) Teise rea märk muudeti. Neljas rida jagati 3-ga ja asetati kolmanda rea ​​asemele.
(5) Kolmas rida lisati neljandale reale, korrutatuna -5-ga.

Tagurpidi:

Gaussi meetodi pakkus välja kuulus saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ja see on üks universaalsemaid meetodeid SLAE-de lahendamiseks. Selle meetodi olemus seisneb selles, et tundmatute järjestikuse kõrvaldamise kaudu muudetakse antud süsteem astmeliseks (eriti kolmnurkseks) süsteemiks, mis on samaväärne antud süsteemiga. Ülesande praktilisel lahendamisel taandatakse süsteemi laiendatud maatriks astmelisele kujule, kasutades elementaarteisendusi üle selle ridade. Järgmisena leitakse kõik tundmatud järjestikku, alustades alt üles.

Gaussi meetodi põhimõte

Gaussi meetod sisaldab liigutusi edasi (laiendatud maatriksi taandamine astmelisele kujule, st nullide saamine põhidiagonaali all) ja tagurpidi (nullide saamine laiendatud maatriksi põhidiagonaalist kõrgemal). Edasiliikumist nimetatakse Gaussi meetodiks, vastupidist liikumist Gaussi-Jordani meetodiks, mis erineb esimesest vaid muutujate elimineerimise järjestuse poolest.

Gaussi meetod sobib ideaalselt rohkem kui kolme lineaarvõrrandit sisaldavate süsteemide lahendamiseks ja võrrandisüsteemide lahendamiseks, mis ei ole ruutkeskmised (mida ei saa öelda Crameri meetodi ja maatriksmeetodi kohta). See tähendab, et Gaussi meetod on kõige universaalsem meetod mis tahes lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmiseks; see toimib juhul, kui süsteemil on lõpmatult palju lahendusi või see on ebaühtlane.

Näited võrrandisüsteemide lahendamisest

Näide

Harjutus. Lahendage SLAE Gaussi meetodil.

Lahendus. Kirjutame välja süsteemi laiendatud maatriksi ja, kasutades selle ridadel elementaarteisendusi, viime selle maatriksi astmelisele kujule (edasi liikumine) ja seejärel sooritame Gaussi meetodi vastupidise liikumise (teeme põhidiagonaali kohale nullid). Esiteks muudame esimest ja teist rida nii, et element võrdub 1-ga (teeme seda arvutuste lihtsustamiseks):

Jagame kõik kolmanda rea ​​elemendid kahega (või, mis on sama, korrutame):

Kolmandast reast lahutame teise, korrutatuna 3-ga:

Korrutades kolmanda rea ​​arvuga , saame:

Teostame nüüd Gaussi meetodi (Gassou-Jordani meetod) vastupidist, st teeme põhidiagonaalist kõrgemale nullid. Alustame kolmanda veeru elementidega. Peame lähtestama elemendi nulliks; selleks lahutage teisest reast kolmas.