Funktsiooni graafiku puutujavõrrand ja normaalvõrrand. Funktsiooni graafiku normaalvõrrand Normaalvõrrand võrgus

Tuletisrakendused.

5.1.Tuletise geomeetriline tähendus:

Vaatleme funktsiooni graafikut y= f (x).

Jooniselt 1 on selge, et mis tahes kahe punkti puhul A Ja B funktsiooni graafik: , kus α on sekandi kaldenurk AB.

Seega on vahesuhe võrdne sekandi kaldega. Kui parandate punkti A ja liigutage punkti selle poole B, siis väheneb piiramatult ja läheneb 0-le ja sekantile AB läheneb puutujale AC.

Järelikult on vahesuhte piir võrdne puutuja kaldega punktis A, s.o. . See tähendab: Funktsiooni tuletis punktis x 0 on võrdne funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja tõusuga selles punktis, s.o. .

1. Funktsiooni graafiku puutujat punktis (x 0; f (x 0)) nimetatakse sekantsi (AC) piirasendiks.

Tangensi võrrand : y – f(x 0) =

2. Puutujaga (AC) risti olevat sirget punktis (x 0; f(x 0) nimetatakse funktsiooni graafiku normaalseks..

Tavaline võrrand: y – f(x 0) =

Ülesanne: Koostage võrrandid funktsiooni y = 10x-x graafikule joonistatud puutuja ja normaalpunkti jaoks, mille abstsiss on võrdne x 0 = 2.

Lahendus:

1. Leidke puutujapunkti ordinaat: f(x 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Leidke puutuja nurkkoefitsient: f "(x)= (10x-x)" =10-2x, = f"(2)=10–2∙2=6

3. Koostame puutujavõrrandi: y–16 = 6∙ (x-2), y–16 = 6x–12, y–6x–4 = 0 – puutuja võrrand,

4. Koostame normaalvõrrandi: y –16 = , 6y –96 = –x+2, 6y+x–98=0 – normaalvõrrand.

5.2. Tuletise füüsiline tähendus:

Definitsioon. Keha liikumiskiirus on võrdne tee esimese tuletisega aja suhtes:

5.3. Tuletise mehaaniline tähendus:

Definitsioon. Keha kiirendus on võrdne kiiruse esimese tuletisega aja suhtes või tee teise tuletisega aja suhtes:

Ülesanne: Määrata seaduse järgi liikuva punkti kiirus ja kiirendus hetkel t=4c.

Lahendus:

1. Leidke kiirusseadus: v= S"=

2. Leidke kiirus hetkel t = 4c: v(t)= v(4)=2∙4 2 +8∙4=64 ühikut/sek

3. Leidke kiirenduse seadus: а=v′=

4. Leidke kiirendus hetkel t = 4c: A(t)= A( 4)=4∙4+8=24ühikut/s 2

JAOTIS 1.3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle rakendamine ligikaudsetes arvutustes. Diferentsiaalfunktsiooni mõiste

Funktsioonide diferentsiaal y=ƒ(x) punktis x nimetatakse selle juurdekasvu põhiosaks, mis on võrdne funktsiooni tuletise ja argumendi juurdekasvu korrutisega ning tähistatakse dу (või dƒ(x)): dy=ƒ"(x)∙∆х(1).

Dу diferentsiaali nimetatakse ka esimest järku diferentsiaal. Leiame sõltumatu muutuja x diferentsiaali ehk funktsiooni y=x diferentsiaali.

Kuna y"=x"=1, siis valemi (1) järgi on meil dy=dx=∆x, st sõltumatu muutuja diferentsiaal on võrdne selle muutuja juurdekasvuga: dx=∆x.

Seetõttu saab valemi (1) kirjutada järgmiselt: dy=ƒ"(x) ∙ dх(2) teisisõnu Funktsiooni diferentsiaal on võrdne selle funktsiooni tuletise ja sõltumatu muutuja diferentsiaali korrutisega.

Valemist (2) tuleneb võrdsus dy/dx=ƒ"(x).

Näide1: Leia funktsiooni ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) diferentsiaal.

Lahendus: Kasutades valemit dy=ƒ"(x) dx, leiame dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

Näide2: Leia funktsiooni teist järku diferentsiaal: y = x 3 –7x.

Lahendus:

JAOTIS 1.4. Antiderivaat. Määramatu integraal. Määramata integraali arvutamise meetodid.

Definitsioon1. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) antituletiseks mingil intervallil, mille diferentsiaal on võrdne avaldisega f(x)dx. Näide: f(x) = 3 x 2 3 x 2 dx F(x) = x 3.

Funktsiooni diferentsiaal ei vasta aga mitte ühele antiderivaadile, vaid paljudele neist. Vaatame näidet: F 1 (x) = x 3, F 2 (x) = x 3 + 4, F 3 (x) = x 3 - 2, üldiselt F (x) + C, kus C on suvaline konstant. See tähendab, et funktsiooni f(x) = 3x 2 jaoks on palju antiderivaate, mis erinevad üksteisest konstantse liikme võrra.

Definitsioon2. Kõigi antiderivatiivfunktsioonide hulka f(x) teatud intervallil nimetatakse funktsioonide f(x) määramatuks integraaliks sellel intervallil ja seda tähistatakse sümboliga ∫f(x)dx.

See sümbol kõlab järgmiselt: "f(x) integraal üle dx", seega definitsiooni järgi:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Sümbol ∫ nimetatakse integraali märgiks, f(x) on integrand, f(x)dx on integrand, x on integratsiooni muutuja, F(x) on mingi antituletis,

C - konstantne.

Määramata integraali põhiomadused:

1. Määramatu integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga, s.o.

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooniga, mis on lisatud suvalisele konstandile: ∫ d F(x) = F(x) + C

3. Konstantse teguri saab integraalimärgist välja võtta: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx , k-konst.

4. Funktsioonide algebralise summa määramatu integraal on võrdne iga funktsiooni integraalide summaga: ∫ (f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x)) dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Vaatleme kõverat, mille võrrand on

Antud kõvera puutuja võrrand punktis on järgmine:

Antud punkti kõvera normaal on joon, mis läbib antud punkti ja on selle punkti puutujaga risti.

Normaali võrrand antud kõveraga punktis on järgmine:

(35)

Nimetatakse puutepunkti ja x-telje vahele jääva puutuja lõigu pikkus puutuja pikkus, nimetatakse selle lõigu projektsiooni x-teljele alamindeks .

Nimetatakse puutepunkti ja x-telje vahele jääva normaallõigu pikkus normaalne pikkus, nimetatakse selle lõigu projektsiooni x-teljele ebanormaalne.

Näide 17

Kirjutage kõvera puutuja ja normaal võrrandid punktis, mille abstsiss on võrdne.

Lahendus:

Leiame funktsiooni väärtuse punktis:

Leiame antud funktsiooni tuletise punktist

Vastus: Tangensi võrrand:

Tavaline võrrand: .

Näide 18

Kirjutage võrrandid ellipsi puutuja ja normaalväärtuse, puutuja ja subtangensi pikkuse, normaal- ja alanormaali pikkuse jaoks

kohas, mille jaoks.

Lahendus:

Leiame valemiga (10) parameetriliselt määratud funktsiooni tuletiseks:

Leiame puutepunkti koordinaadid: ja tuletise väärtuse puutepunktis:

Leiame puutuja võrrandi valemi (34) abil:

Leiame puutuja ja telje lõikepunkti koordinaadid:

Puutuja pikkus võrdub segmendi pikkusega:

Definitsiooni järgi on subtangent võrdne

Kus nurk on puutuja ja telje vaheline nurk. Seetõttu - puutuja nurgakoefitsient, võrdne

Seega on subtangent võrdne

Leiame normaalvõrrandi valemi (35) abil:

Leiame normaalse ja telje lõikepunkti koordinaadid:

Normaali pikkus võrdub segmendi pikkusega:

Definitsiooni järgi on alanormaalne võrdne

Kus nurk on nurk normaalse ja telje vahel. Seetõttu - normaalse nurga koefitsient on võrdne

Seetõttu on alanormaalne võrdne:

Vastus: Tangensi võrrand:

Tavaline võrrand:

Tangensi pikkus ; subtangent;

Tavaline pikkus ; ebanormaalne

Ülesanded 7. Kirjutage tangens- ja normaalvõrrandid:

1. Paraboolile punktis, mille abstsiss

2. Ringjooneni abstsissteljega ristumispunktides

3. Tsükloidile punktis, mille jaoks

4. Millistes kõvera punktides puutuja on paralleelne:

a) Härg telg; b) sirge

.

10. Funktsiooni monotoonsuse intervallid. Funktsiooni äärmus.

Tingimus, et funktsioon oleks monotoonne:

Et diferentseeruv funktsioon ei suureneks, on vajalik ja piisav, et kõigis selle juurde kuuluvates punktides oleks tuletis mittepositiivne.

Et diferentseeruv funktsioon ei väheneks, on vajalik ja piisav, et kõigis selle juurde kuuluvates punktides oleks tuletis mittenegatiivne.

Intervalle, mille jooksul funktsiooni tuletis säilitab teatud märgi, nimetatakse intervallideks monotoonsus funktsioonid

Näide 19

Leia funktsiooni monotoonsuse intervallid.

Lahendus:

Leiame funktsiooni tuletise .

Leiame saadud tuletise konstantmärgi intervallid. Selle jaoks

Faktoriseerime saadud ruuttrinoomi:

Uurime saadud avaldise märki intervallmeetodi abil.

Seega (36), (37) järgi saame, et antud funktsioon suureneb võrra ja väheneb võrra.

Vastus: Antud funktsioon suureneb ja väheneb võrra.

Definitsioon Funktsioonil on punkt kohalik maksimum (minimaalne), kui punkti naabrus on selline, et tingimus on kõigi jaoks täidetud

Kutsutakse funktsiooni kohalik miinimum või maksimum kohalik äärmus.

Ekstreemumi olemasolu vajalik tingimus.

Olgu funktsioon defineeritud mingis punkti naabruses. Kui funktsioonil on punktis ekstreemum, siis punkti tuletis on kas null või seda pole olemas.

Punkti nimetatakse kriitiline punkt funktsioon, kui tuletis punktis on null või seda pole olemas.

Piisavad tingimused ekstreemumi esinemiseks kriitilises punktis.

Olgu punkt kriitiline.

Ekstreemumi esimene piisav tingimus:

Olgu funktsioon pidev mingis punkti naabruses ja diferentseeruv igas punktis.

Punkt on kohalik maksimum, kui läbimisel

funktsiooni tuletis muudab märgi plussist miinusesse.

Punkt on kohalik miinimum, kui läbimisel

funktsiooni tuletis muudab märgi miinusest plussiks.

Näide 20

Leia funktsiooni äärmuspunkt.

Lahendus:

Leiame antud funktsiooni tuletise

Võrreldes saadud tuletis oleva lugeja ja nimetaja nulliga, leiame kriitilised punktid:

Uurime tuletise märki intervallmeetodil.

Joonisel on näha, et punkti läbimisel muudab tuletis märgi plussist miinusesse. Seetõttu on punktis kohalik maksimum.

Punkti läbimisel muudab tuletis märgi miinusest plussiks.

Seetõttu on punktis kohalik miinimum.

Punkti läbimisel tuletis märki ei muuda. Järelikult ei ole kriitiline punkt antud funktsiooni ekstreemum.

Vastus:- kohalik maksimum, - kohalik miinimum.

Teine piisav tingimus ekstreemumi jaoks:

Kui funktsiooni esimesed tuletised punktis on võrdsed nulliga ja funktsiooni kümnes tuletis punktis on nullist erinev, siis on punkt funktsiooni ekstreemum ja

siis on kohalik miinimum

siis on kohalik maksimum.

Näide 21

Leia teise tuletise abil funktsiooni ekstreem.

Lahendus:

Leiame antud funktsiooni esimese tuletise

Leiame funktsiooni kriitilised punktid:

Me ei arvesta sellega, kuna funktsioon on määratletud ainult vasakpoolses naabruses.

Leiame teise tuletise

Leiame

Seega (39) põhjal järeldame, et at on lokaalne maksimum.

Vastus:- kohalik maksimum.

Ülesanded 8.

Uurige suurendavaid ja kahanevaid funktsioone:

Uurige funktsiooni äärmusi:

Puutuja on sirgjoon , mis puudutab funktsiooni graafikut ühes punktis ja mille kõik punktid on funktsiooni graafikust kõige lühemal kaugusel. Seetõttu läbib puutuja funktsiooni graafiku puutuja teatud nurga all ja mitu erineva nurga all olevat puutujat ei saa puutepunkti läbida. Funktsiooni graafiku puutujavõrrandid ja normaalvõrrandid konstrueeritakse tuletise abil.

Puutuja võrrand tuletatakse joonvõrrandist .

Tuletame funktsiooni graafiku puutuja võrrandi ja seejärel normaalvõrrandi.

y = kx + b .

Temas k- nurgakoefitsient.

Siit saame järgmise kirje:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Tuletisväärtus f "(x 0 ) funktsioonid y = f(x) punktis x0 võrdne kaldega k= tg φ punkti kaudu tõmmatud funktsiooni graafiku puutuja M0 (x 0 , y 0 ) , Kus y0 = f(x 0 ) . See on tuletise geomeetriline tähendus .

Seega saame asendada k peal f "(x 0 ) ja hankige järgmine funktsiooni graafiku puutuja võrrand :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Ülesannetes, mis hõlmavad funktsiooni graafiku puutuja võrrandi koostamist (ja me läheme nende juurde varsti), tuleb ülaltoodud valemist saadud võrrand taandada järgmiseks. sirgjoone võrrand üldkujul. Selleks peate nihutama kõik tähed ja numbrid võrrandi vasakule poole ning jätma paremale poole nulli.

Nüüd normaalvõrrandi kohta. Tavaline - see on sirge, mis läbib puutujaga risti oleva funktsiooni graafiku puutepunkti. Normaalvõrrand :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Soojenduseks palutakse esimene näide ise lahendada ja seejärel vaadata lahendust. On põhjust loota, et see ülesanne ei ole meie lugejate jaoks "külm dušš".

Näide 0. Koostage funktsiooni graafiku jaoks punktis puutujavõrrand ja normaalvõrrand M (1, 1) .

Näide 1. Kirjutage funktsiooni graafikule puutujavõrrand ja normaalvõrrand , kui abstsiss on puutuja .

Leiame funktsiooni tuletise:

Nüüd on meil kõik, mis puutuja võrrandi saamiseks teoreetilises abis antud kirjesse tuleb asendada. Saame

Selles näites meil vedas: kalle osutus nulliks, mistõttu ei olnud vaja võrrandit eraldi taandada üldkujule. Nüüd saame luua tavavõrrandi:

Alloleval joonisel: funktsiooni graafik on bordoopunane, puutuja on roheline, normaal on oranž.

Ka järgmine näide pole keeruline: funktsioon, nagu ka eelmises, on samuti polünoom, kuid kalle ei võrdu nulliga, seega lisatakse veel üks samm - võrrandi viimine üldkujule.

Näide 2.

Lahendus. Leiame puutujapunkti ordinaad:

Leiame funktsiooni tuletise:

.

Leiame tuletise väärtuse puutuja punktis, see tähendab puutuja kalde:

Asendame kõik saadud andmed "tühja valemiga" ja saame puutuja võrrandi:

Toome võrrandi selle üldkujule (kogume kõik tähed ja numbrid peale nulli vasakule ja jätame nulli paremale):

Koostame normaalvõrrandi:

Näide 3. Kirjutage funktsiooni graafikule puutuja võrrand ja normaalvõrrand, kui puutepunkt on abstsiss.

Lahendus. Leiame puutujapunkti ordinaad:

Leiame funktsiooni tuletise:

.

Leiame tuletise väärtuse puutuja punktis, see tähendab puutuja kalde:

.

Leiame puutuja võrrandi:

Enne võrrandi viimist üldkujule peate seda veidi “kammima”: korrutage termini kaupa 4-ga. Teeme seda ja viime võrrandi üldkujule:

Koostame normaalvõrrandi:

Näide 4. Kirjutage funktsiooni graafikule puutuja võrrand ja normaalvõrrand, kui puutepunkt on abstsiss.

Lahendus. Leiame puutujapunkti ordinaad:

.

Leiame funktsiooni tuletise:

Leiame tuletise väärtuse puutuja punktis, see tähendab puutuja kalde:

.

Saame puutuja võrrandi:

Toome võrrandi selle üldkujule:

Koostame normaalvõrrandi:

Tavaline viga puutuja- ja normaalvõrrandite kirjutamisel on mitte märgata, et näites antud funktsioon on keeruline ja arvutada selle tuletist lihtfunktsiooni tuletiseks. Järgmised näited on juba pärit keerukad funktsioonid(vastav tund avaneb uues aknas).

Näide 5. Kirjutage funktsiooni graafikule puutuja võrrand ja normaalvõrrand, kui puutepunkt on abstsiss.

Lahendus. Leiame puutujapunkti ordinaad:

Tähelepanu! See funktsioon on keeruline, kuna puutuja argument (2 x) on ise funktsioon. Seetõttu leiame funktsiooni tuletise kui kompleksfunktsiooni tuletise.

Definitsioon. Tavaline on puutujaga risti ja puutepunkti läbiv sirgjoon.

Kui on olemas lõplik Ja nullist erinev tuletis f"(x 0) siis funktsiooni graafiku normaalvõrrand y=f(x) punktis x 0 väljendatakse järgmise võrrandiga:

Näide 1. Kirjutage kõverale normaalvõrrand y = 3x-x 2 punktis x 0 =2.

Lahendus.

1. Leia tuletis y" = 3-2x

x 0 =2: f"(x 0)=f"(2)=3-2*2=-1

3. Leia funktsiooni väärtus punktis x0 =2: f(x0)=f(2)=3*2-22=2

4. Asendage leitud väärtused normaalvõrrandisse:

5. Saame normaalvõrrandi: y=x

Tavalise võrrandi kalkulaator

Selle kalkulaatori abil leiate tavalise võrrandi Internetist.

Näide 2. (Mõelge erijuhtudele, kui f"(x 0) võrdub nulliga)

Kirjutage kõverale normaalvõrrand y = cos24x punktis x 0 =π/2

Lahendus.

1. Leia tuletis y"=2cos4x*(-sin4x*4)=-4sin2x

2. Leia tuletise väärtus punktis x 0 =π/2:

f"(x 0)=f"(π/2)=-4sin(2*π/2)=0 , seetõttu ei saa sel juhul normaalvõrrandit rakendada.

Kasutame normaaldefinitsiooni, esmalt leiame , seejärel leiame antud punkti läbiva ristsirge võrrandi.

Definitsioon: kõvera y = ¦(x) normaal punktis M 0 on sirge, mis läbib punkti M 0 ja on risti selle kõvera punktis M 0 oleva puutujaga.

Kirjutame puutuja ja normaalvõrrandi, teades kõvera võrrandit ja punkti M 0 koordinaate. Puutuja nurgategur on k = t g = ¦, (x 0). Analüütilisest geomeetriast on teada, et sirgel on võrrand y-y 0 = k(x – x 0).

Seetõttu on puutuja võrrand: y - y 0 = ¦, (x 0)(x - x 0); (1)

Normaali nurkkoefitsient on Kn = (kuna need on risti), kuid siis on normaalse võrrand:

y-y 0 =(-1/¦, (x 0)(x – x 0); (2)

Kui ühes punktis tuletist ei eksisteeri, siis puutujat selles punktis ei eksisteeri.

Näiteks funktsioon ¦(x)=|x| punktis x=0 ei ole tuletist.

lim D x®0 (D y/D x)= lim D x®0 (| D x|/ D x)=

Ühepoolsed piirid on olemas, kuid lim D x ®0 (D y/ D x) ei eksisteeri

Tangent ka.

Seda punkti nimetatakse graafiku nurgapunktiks.

§4. Funktsiooni pidevuse ja diferentseeritavuse seos.

Järgnev teoreem diferentseeruva funktsiooni kohta kehtib.

Teoreem: kui funktsioonil y = ¦(x) on punktis x 0 lõplik tuletis, siis on funktsioon selles punktis pidev.

Tõestus:

Sest punktis x 0 on tuletis ¦, (x 0), s.t. on piir

lim D x ®0 (D y/ D x)= ¦, (x 0), siis D y/ D x= ¦, (x 0)+, kus

B.m.v., sõltuvalt D x-st. Kui D x®0, ®0, sest = (D y/D x) - ¦, (x 0) ®0 D x® 0 juures

Seega on meil: D y= ¦, (x 0) D x + D x.

Kuid siis

Lõpmatu väike juurdekasv argumendis vastab funktsiooni lõpmatu väikesele juurdekasvule, seetõttu on ¦(x) pidev punktis x 0 .

Oluline on mõista, et vastupidine teoreem ei vasta tõele!

Mitte iga pidev funktsioon ei ole eristatav.

Niisiis, ¦(x) =|x| on pidev punktis x 0 =0, graafik on pidevjoon, kuid ¦, (0) ei eksisteeri.

§5. Konstandi-, siinus-, koosinus- ja astmefunktsioonide tuletised.

1. y = ¦(x) =c; y, = (c), = 0; (1)

Tõestus:

a) mis tahes punktis x ¦(x) = c

b) anna x-le juurdekasv D x, x + D x, funktsiooni ¦ (x + D x) = c väärtus;

c) ¦ (x + D x)- ¦ (x) = с- с = 0;

d) D y/ D x = 0/ D x = 0

e) piir D ​​x ®0 (D y/ D x) = piir D ​​x ® 0 0 = 0

2. y= sin x; y, = (sin x), = cos x; (2)

Tõestus:

a) mis tahes punktis x ¦(x) = sin x;

b) anna x-le D x, x + D x, funktsiooni väärtus