Kõik tasandi võrrandid, mida on käsitletud järgmistes lõikudes, saab saada tasandi üldvõrrandist ja taandada ka tasandi üldvõrrandiks. Seega, kui nad räägivad tasandi võrrandist, peavad nad silmas tasandi üldvõrrandit, kui pole öeldud teisiti.

Tasapinna võrrand segmentides.

Vaadake tasapinna võrrandit , kus a, b ja c on nullist erinevad reaalarvud, kutsutakse tasandi võrrand segmentides.

See nimi pole juhuslik. Arvude a, b ja c absoluutväärtused võrdub nende lõikude pikkustega, mille tasapind koordinaattelgedel Ox, Oy ja Oz vastavalt ära lõikab, lähtudes lähtepunktist. Arvude a, b ja c märk näitab, millises suunas (positiivses või negatiivses) lõigud koordinaatide telgedele kanda.

Näiteks konstrueerime tasapinna ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz, mis on määratletud tasandi võrrandiga segmentides . Selleks märkige punkt, mis on abstsisstelje negatiivses suunas 5 ühikut eemal, ordinaattelje negatiivses suunas 4 ühikut ja rakendustelje positiivses suunas 4 ühikut. Jääb vaid need punktid sirgjoontega ühendada. Saadud kolmnurga tasapind on tasapind, mis vastab tasandi võrrandile vormi segmentides .

Täieliku teabe saamiseks vaadake artikli võrrandit tasapind segmentides, see näitab tasandi võrrandi segmentides taandamist tasandi üldvõrrandiks ning sealt leiate ka üksikasjalikud lahendused tüüpilistele näidetele ja probleemidele.

Normaaltasandi võrrand.

Vormi üldtasavõrrandit nimetatakse normaaltasandi võrrand, Kui võrdne ühega, see tähendab , Ja .

Sageli näete, et tasapinna normaalvõrrand on kirjutatud kujul . Siin on antud ühikpikkusega tasapinna normaalvektori suunakoosinused, st ja p on mittenegatiivne arv, mis võrdub kaugusega alguspunktist tasapinnani.

Tasapinna normaalvõrrand ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz määrab tasandi, mis eemaldatakse lähtepunktist kauguse p võrra selle tasandi normaalvektori positiivses suunas . Kui p=0, siis tasand läbib alguspunkti.

Toome näite normaaltasandi võrrandist.

Olgu tasand määratud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz vormi tasandi üldvõrrandiga . See tasapinna üldvõrrand on tasandi normaalvõrrand. Tõepoolest, selle tasandi normaalvektor on on pikkus võrdne ühtsusega, kuna .

Tasapinna võrrand normaalkujul võimaldab leida kauguse punktist tasapinnani.

Soovitame teil seda tüüpi tasapindvõrrandit üksikasjalikumalt mõista, vaadata tüüpiliste näidete ja probleemide üksikasjalikke lahendusi ning õppida ka üldtasandi võrrandi normaalkuju taandamiseks. Seda saate teha artiklile viidates.

Bibliograafia.

• Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geomeetria. Õpik keskkooli 10-11 klassile.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Kõrgem matemaatika. Esimene köide: lineaaralgebra ja analüütilise geomeetria elemendid.
• Iljin V.A., Poznyak E.G. Analüütiline geomeetria.

LOENG 6-7. Analüütilise geomeetria elemendid.

Pinnad ja nende võrrandid.

Näide 1.

Kera .

Näide 2.

F(x,y,z)=0(*),

see - pinna võrrand

Näited:

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (koonus)

Lennuk.

Antud punkti läbiva tasandi võrrand, mis on risti antud vektoriga.

Vaatleme lennukit ruumis. Olgu M 0 (x 0, y 0, z 0) tasandi P antud punkt ja vektor, mis on risti tasapinnaga ( normaalvektor lennuk).

(1) – tasapinna vektorvõrrand.

Koordinaatide kujul:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Saime antud punkti läbiva tasandi võrrandi.

Tasapinna üldvõrrand.

Avame sulud punktis (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 või

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Saadud tasapinna võrrand lineaarne, st. 1. astme võrrand koordinaatide x, y, z suhtes. Seetõttu on lennuk esimese järjekorra pind .

avaldus: Iga võrrand, mis on lineaarne x, y, z suhtes, määrab tasapinna.

Suvaline lennuk m.b. on antud võrrandiga (3), mida nimetatakse tasapinna üldvõrrand.

Üldvõrrandi erijuhud.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. Sest punkti O(0, 0, 0) koordinaadid vastavad sellele võrrandile, siis tema poolt määratud tasapind läbib alguspunkti.

b) C=0: Ax + By + D = 0. Sel juhul tasandi normaalvektor , seetõttu on võrrandiga määratletud tasapind paralleelne OZ-teljega.

c) C=D=0: Ax + By = 0. Tasand on paralleelne OZ-teljega (kuna C=0) ja läbib koordinaatide alguspunkti (kuna D=0). See tähendab, et see läbib OZ-telge.

d) B=C=0: Ax + D = 0 või . Vektor, st. Ja . Järelikult on tasapind paralleelne OY ja OZ telgedega, st. on paralleelne YOZ-tasandiga ja läbib punkti .

Mõelge juhtumitele ise: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Kolme etteantud punkti läbiva tasapinna võrrand.

Sest kõik neli punkti kuuluvad tasapinnale, siis on need vektorid koplanaarsed, s.t. nende segaprodukt on võrdne nulliga:

Saime kolme punkti läbiva tasandi võrrandi vektori kujul.

Koordinaatide kujul:

(7)

Kui laiendame determinanti, saame tasandi võrrandi kujul:

Ax + By + Cz + D = 0.

Näide. Kirjutage punkte M 1 (1,-1,0) läbiva tasandi võrrand;

M2 (-2,3,1) ja M3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1) (-2) + z 1 = 0;

3x + 2a + z – 1 = 0.

Tasapinna võrrand segmentides

Olgu antud tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 ja D ≠ 0, s.o. lennuk ei läbi alguspunkti. Jagame mõlemad pooled -D: ja tähistada: ; ; . Siis

sain tasapinnaline võrrand segmentides .

kus a, b, c on koordinaattelgedel tasapinna poolt ära lõigatud segmentide väärtused.

Näide 1. Kirjutage punkte A(3, 0, 0) läbiva tasandi võrrand;

B(0, 2, 0) ja C(0, 0, -3).

a = 3; b = 2; c = -3 või 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

Näide 2. Leidke tasapinna poolt ära lõigatud segmentide väärtused

4x – y – 3z – 12 = 0 koordinaattelgedel.

4x – y – 3z = 12 a = 3, b = -12, c = -4.

Normaaltasandi võrrand.

Olgu antud teatud tasand Q Koordinaatide alguspunktist joonestatakse tasapinnaga risti OP. Olgu |OP|=p ja vektor : . Võtame tasandi hetkepunkti M(x, y, z) ja arvutame vektorite ja : skalaarkorrutise.

Kui projitseerida punkt M suunale, siis jõuame punkti P.T.O., saame võrrandi

(9).

Joone seadmine ruumis.

Ruumijoont L saab defineerida kahe pinna ristumiskohana. Olgu sirgel L asuv punkt M(x, y, z) nii pinnale P1 kui ka pinnale P2. Siis peavad selle punkti koordinaadid rahuldama mõlema pinna võrrandit. Seetõttu all sirge L võrrand ruumis mõista kahe võrrandi komplekti, millest igaüks on vastava pinna võrrand:

Rida L sisaldab neid ja ainult neid punkte, mille koordinaadid vastavad mõlemale (*) võrrandile. Hiljem vaatleme muid viise joonte defineerimiseks ruumis.

Hunnik lennukeid.

Hunnik lennukeid– kõigi antud sirget läbivate tasandite hulk – kiire telg.

Tasapindade kimbu määratlemiseks piisab selle telje määramisest. Olgu selle sirge võrrand antud üldkujul:

.

Kirjutage kiirte võrrand- tähendab võrrandi koostamist, millest lisatingimusel on võimalik saada kiire mis tahes tasandi võrrand, välja arvatud b.m. üks. Korrutame võrrandi II l-ga ja lisame selle võrrandile I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) või

(A1 + lA2)x + (B1 + lB2)y + (C1 + lC2)z + (D1 + lD2) = 0 (2).

l – parameeter – arv, mis võib võtta reaalseid väärtusi. Iga valitud l väärtuse korral on võrrandid (1) ja (2) lineaarsed, st. need on teatud tasandi võrrandid.

1. Me näitame teile et see tasapind läbib kiire telge L. Võtame suvalise punkti M 0 (x 0, y 0, z 0) L. Järelikult M 0 P 1 ja M 0 P 2. Tähendab:

Järelikult kuulub võrrandiga (1) või (2) kirjeldatud tasapind kiirte hulka.

2. Tõestada saab ka vastupidist: mis tahes tasapinda, mis läbib sirget L, kirjeldatakse võrrandiga (1) sobiva parameetri l valikuga.

Näide 1. Kirjutage üles tasandite x + y + 5z – 1 = 0 ja 2x + 3y – z + 2 = 0 lõikejoont läbiva ja punkti M(3, 2, 1) läbiva tasandi võrrand.

Kirjutame kiirvõrrandi: x + y + 5z – 1 + l(2x + 3y – z + 2) = 0. L leidmiseks võtame arvesse, et M R:

Igasugust ruumi pinda võib käsitleda punktide lokusena, millel on kõikidele punktidele ühine omadus.

Näide 1.

Kera – punktide kogum, mis on antud punktist C (keskpunkt) võrdsel kaugusel. С(x 0,y 0,z 0). Definitsiooni järgi |CM|=R või või . See võrrand kehtib kõigi sfääri punktide ja ainult nende kohta. Kui x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, siis .

Sarnasel viisil saate luua võrrandi mis tahes pinna jaoks, kui on valitud koordinaatsüsteem.

Näide 2. x=0 – YOZ-tasandi võrrand.

Väljendades pinna geomeetrilist määratlust selle hetkepunkti koordinaatide kaudu ja koondades kõik terminid ühte ossa, saame vormi võrdsuse

F(x,y,z)=0(*),

see - pinna võrrand , kui kõikide pinnal olevate punktide koordinaadid vastavad seda võrdsust, kuid mitte pinnal asuvate punktide koordinaadid mitte.

Seega on valitud koordinaatsüsteemis igal pinnal oma võrrand. Kuid mitte iga vormi (*) võrrand ei vasta definitsiooni tähenduses pinnale.

Näited:

2x – y + z – 3 = 0 (tasand)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (koonus)

x 2 + y 2 +3 = 0 – ühegi punkti koordinaadid ei rahulda.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – ainus punkt (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – sirgjoon (OZ-telg).

Graafiline meetod. Koordinaatide tasand (x;y)

Parameetriga võrrandid põhjustavad tõsiseid loogilisi raskusi. Iga selline võrrand on sisuliselt võrrandite perekonna lühike versioon. On selge, et lõpmatu perekonna iga võrrandit on võimatu üles kirjutada, kuid sellegipoolest tuleb igaüks neist lahendada. Lihtsaim viis seda teha on kasutada muutuja sõltuvuse parameetrist graafilist esitust.

Tasapinnal määrab funktsioon sõltuvalt parameetrist kõverate perekonna. Meid huvitab, millise tasandi teisendusega saab liikuda perekonna teistele kõveratele (vt , , , , , , ).

Paralleelne ülekanne

Näide. Määrake iga parameetri väärtuse jaoks võrrandi lahenduste arv.

Lahendus. Koostame funktsiooni graafiku.

Mõelgem. See on OX-teljega paralleelne sirgjoon.

Vastus. Kui, siis pole lahendusi;

kui, siis 3 lahendust;

kui, siis 2 lahendust;

kui, 4 lahendust.

Pöörake

Tuleb kohe märkida, et kõverate perekonna valik ei ole monotoonne (erinevalt probleemidest endist) või pigem on see sama: kõigis probleemides - sirged jooned. Veelgi enam, pöörlemiskese kuulub sirgjoonele.

Näide. Milliste parameetri väärtuste jaoks on võrrandil ainulaadne lahendus?

Lahendus. Vaatleme funktsiooni ja. Teise funktsiooni graafik on poolring, mille keskpunkt on punktis, mille koordinaadid ja raadius on =1 (joonis 2).

Arc AB.

Kõik OA ja OB vahelt kulgevad kiired lõikuvad ühes punktis ning OB ja OM (puutuja) samuti ühes punktis. Nurgakoefitsiendid OA ja OB on vastavalt võrdsed. Puutuja kalle on võrdne. Süsteemist kergesti leitav

Seega on sirgetel perekondadel ainult üks ühine punkt, mille kaar on punktis.

Vastus. .

Näide. Millistel tingimustel on võrrandil lahendus?

Lahendus. Vaatleme funktsiooni. Uurides seda monotoonsuse suhtes, saame teada, et see intervalliga suureneb ja väheneb. Punkt – on maksimaalne punkt.

Funktsioon on punkti läbivate sirgete perekond. Vaatame joonist 2. Funktsiooni graafik on kaar AB. Sirgete OA ja OB vahele jäävad sirgjooned vastavad ülesande tingimustele. Sirge OA kaldekoefitsient on arv ja OB on .

Vastus. Kui võrrandil on 1 lahend;

parameetri muude väärtuste jaoks pole lahendusi.

Homoteetsus. Kompressioon sirgeks

Näide. Leia kõik parameetri väärtused, millest igaühe jaoks on võrrandil täpselt 8 lahendust.

Lahendus. Meil on. Vaatleme funktsiooni. Esimene neist määrab poolringide perekonna, mille keskpunkt asub koordinaatidega punktis, teine ​​​​abstsissteljega paralleelsete sirgjoonte perekond.

Juurte arv vastab numbrile 8, kui poolringi raadius on suurem ja väiksem, see tähendab. Pange tähele, et on olemas.

Vastus. või.

Graafiline meetod. Koordinaatide tasand (x;a)

Üldiselt võrrandid, mis sisaldavad parameetrit, ei ole varustatud ühegi selge, metoodiliselt kavandatud lahendussüsteemiga. Teatud parameetrite väärtusi tuleb otsida puudutusega, otsides, lahendades suure hulga vahevõrrandeid. See lähenemine ei taga alati edu kõigi parameetrite väärtuste leidmisel, mille jaoks võrrandil pole lahendusi või on üks, kaks või enam lahendust. Sageli lähevad mõned parameetri väärtused kaotsi või ilmuvad lisaväärtused. Nende viimaste tegemiseks on vaja läbi viia spetsiaalne uuring, mis võib olla üsna keeruline.

Vaatleme meetodit, mis lihtsustab võrrandite parameetriga lahendamise tööd. Meetod on järgmine

1. Muutujaga võrrandist x ja parameeter a Avaldame parameetri funktsioonina x: .

2. Koordinaatide tasapinnal x O a koostage funktsiooni graafik.

3. Mõelge sirgjoontele ja valige need O-telje intervallid a, mille korral need sirged vastavad järgmistele tingimustele: a) ei lõiku funktsiooni graafikuga, b) lõikub funktsiooni graafikuga ühes punktis, c) kahes punktis, d) kolmes punktis jne.

4. Kui ülesandeks on väärtuste leidmine x, siis väljendame x läbi a iga leitud väärtusintervalli jaoks a eraldi.

Vaade parameetrist kui võrdsest muutujast kajastub graafilistes meetodites. Seega ilmub koordinaattasand. Näib, et selline tähtsusetu detail nagu koordinaattasandi traditsioonilise tähtede tähistamise tagasilükkamine x Ja y määratleb ühe kõige tõhusama meetodi parameetritega seotud probleemide lahendamiseks.

Kirjeldatud meetod on väga selge. Lisaks leiavad selles rakendust peaaegu kõik algebra kursuse põhimõisted ja analüüsi põhimõtted. Kaasatud on kogu funktsiooni uurimisega seotud teadmiste kogum: tuletise rakendamine ekstreemumipunktide määramiseks, funktsiooni piiri leidmine, asümptootid jne.. d (vt , , ).

Näide. Milliste parameetrite väärtustel kas võrrandil on kaks juurt?

Lahendus. Liigume edasi samaväärse süsteemi juurde

Graafik näitab, et võrrandil on 2 juurt.

Vastus. Kui võrrandil on kaks juurt.

Näide. Leidke kõigi arvude hulk, millest igaühe jaoks on võrrandil ainult kaks erinevat juurt.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi ümber järgmisel kujul:

Nüüd on oluline seda mitte vahele jätta ja - algvõrrandi juured ainult tingimusel. Pöörame tähelepanu asjaolule, et graafikut on mugavam koostada koordinaattasandil. Joonisel 5 on soovitud graafik pidevate joonte liit. Siin on vastus "loetud" vertikaalsete joontega.

Vastus. Kell, või, või.

Tasapinna üldvõrrandi saamiseks analüüsime antud punkti läbivat tasapinda.

Olgu meile ruumis juba teada kolm koordinaattelge - Ox, Oy Ja Oz. Hoidke paberilehte nii, et see jääks tasaseks. Lennuk on leht ise ja selle jätk igas suunas.

Lase P suvaline tasapind ruumis. Iga vektorit, mis on sellega risti, nimetatakse normaalvektor sellele lennukile. Loomulikult räägime nullist erinevast vektorist.

Kui lennuki mõni punkt on teada P ja sellele mingi normaalvektor, siis nende kahe tingimusega on ruumitasand täielikult defineeritud(läbi antud punkti saab joonistada ühe tasandi, mis on antud vektoriga risti). Tasapinna üldvõrrand on järgmine:

Niisiis, tingimused, mis määratlevad tasapinna võrrandi, on. Et ennast kätte saada tasapinnaline võrrand, millel on ülaltoodud vorm, astuge lennukisse P meelevaldne punkt M muutuvate koordinaatidega x, y, z. See punkt kuulub tasapinnale ainult siis, kui vektor vektoriga risti(joonis 1). Selleks, vastavalt vektorite perpendikulaarsuse tingimusele, on vajalik ja piisav, et nende vektorite skalaarkorrutis oleks võrdne nulliga, st

Vektori määrab tingimus. Vektori koordinaadid leiame valemi abil :

.

Nüüd, kasutades vektorite valemi skalaarkorrutist , väljendame skalaarkorrutist koordinaatide kujul:

Alates punktist M(x; y; z) valitakse tasapinnal suvaliselt, siis täidetakse viimane võrrand mis tahes tasapinnal asuva punkti koordinaatidega P. Punkti pärast N, ei lama antud tasapinnal, st. võrdsust (1) rikutakse.

Näide 1. Kirjutage võrrand tasapinnale, mis läbib punkti ja on vektoriga risti.

Lahendus. Kasutame valemit (1) ja vaatame seda uuesti:

Selles valemis numbrid A , B Ja C vektori koordinaadid ja numbrid x0 , y0 Ja z0 - punkti koordinaadid.

Arvutused on väga lihtsad: asendame need arvud valemis ja saame

Korrutame kõik, mida on vaja korrutada, ja lisame ainult numbrid (millel pole tähti). Tulemus:

.

Tasapinna nõutav võrrand selles näites osutus väljendatuks muutuvate koordinaatide suhtes esimese astme üldvõrrandiga x, y, z tasapinna suvaline punkt.

Niisiis, vormi võrrand

helistas üldtasandi võrrand .

Näide 2. Ehitage ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis võrrandiga antud tasapind .

Lahendus. Tasapinna konstrueerimiseks on vajalik ja piisav teada mis tahes kolme selle punkti, mis ei asu samal sirgel, näiteks tasandi lõikepunktid koordinaattelgedega.

Kuidas neid punkte leida? Teljega lõikepunkti leidmiseks Oz, peate ülesande avalduses esitatud võrrandis asendama X ja Y nullidega: x = y= 0. Seetõttu saame z= 6. Seega lõikub antud tasapind teljega Oz punktis A(0; 0; 6) .

Samamoodi leiame tasapinna ja telje lõikepunkti Oy. Kell x = z= 0 saame y= −3, see tähendab punkt B(0; −3; 0) .

Ja lõpuks leiame oma tasapinna ja telje lõikepunkti Ox. Kell y = z= 0 saame x= 2, see tähendab punkt C(2; 0; 0). Meie lahenduses saadud kolme punkti põhjal A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) ja C(2; 0; 0) konstrueerib antud tasandi.

Nüüd kaalume üldtasandi võrrandi erijuhud. Need on juhud, kui teatud võrrandi (2) koefitsiendid muutuvad nulliks.

1. Millal D= 0 võrrand määrab alguspunkti läbiva tasandi, kuna punkti koordinaadid 0 (0; 0; 0) vastavad sellele võrrandile.

2. Millal A= 0 võrrand määrab teljega paralleelse tasandi Ox, kuna selle tasandi normaalvektor on teljega risti Ox(selle projektsioon teljele Ox võrdne nulliga). Samamoodi, kui B= 0 lennuk teljega paralleelne Oy, ja millal C= 0 lennuk teljega paralleelne Oz.

3. Millal A=D= 0 võrrand määratleb telge läbiva tasapinna Ox, kuna see on teljega paralleelne Ox (A=D= 0). Samamoodi läbib tasapind telge Oy, ja telge läbiv tasapind Oz.

4. Millal A=B= 0 võrrand määratleb koordinaattasandiga paralleelse tasandi xOy, kuna see on telgedega paralleelne Ox (A= 0) ja Oy (B= 0). Samamoodi on tasapind tasapinnaga paralleelne yOz, ja lennuk on lennuk xOz.

5. Millal A=B=D= 0 võrrand (või z = 0) määrab koordinaattasandi xOy, kuna see on tasapinnaga paralleelne xOy (A=B= 0) ja läbib lähtepunkti ( D= 0). Samamoodi, Eq. y = 0 ruumis määrab koordinaattasandi xOz, ja võrrand x = 0 - koordinaattasand yOz.

Näide 3. Loo tasapinna võrrand P, mis läbib telge Oy ja periood.

Lahendus. Nii et tasapind läbib telge Oy. Seetõttu tema võrrandis y= 0 ja see võrrand on kujul . Koefitsientide määramiseks A Ja C kasutame ära asjaolu, et punkt kuulub tasapinnale P .

Seetõttu on selle koordinaatide hulgas neid, mida saab asendada tasapinna võrrandiga, mille oleme juba tuletanud (). Vaatame uuesti punkti koordinaate:

M0 (2; −4; 3) .

Nende hulgas x = 2 , z= 3. Asendame need üldvõrrandisse ja saame võrrandi meie konkreetse juhtumi jaoks:

2A + 3C = 0 .

Jäta 2 A võrrandi vasakul küljel liigutage 3 C paremale poole ja me saame

A = −1,5C .

Leitud väärtuse asendamine A võrrandisse, saame

või .

See on näidistingimuses nõutav võrrand.

Lahendage tasapinna võrrandi ülesanne ise ja seejärel vaadake lahendust

Näide 4. Määratlege tasapind (või tasandid, kui neid on rohkem kui üks) koordinaattelgede või koordinaattasandite suhtes, kui tasapind(id) on antud võrrandiga.

Testide käigus tekkivate tüüpülesannete lahendused on õpikus “Ülesanded tasapinnal: paralleelsus, perpendikulaarsus, kolme tasandi lõikepunkt ühes punktis”.

Kolme punkti läbiva tasandi võrrand

Nagu juba mainitud, on tasapinna koostamise vajalik ja piisav tingimus lisaks ühele punktile ja normaalvektorile ka kolm punkti, mis ei asu samal sirgel.

Olgu kolm erinevat punkti , ja , mis ei asu samal real, tuleb anda. Kuna näidatud kolm punkti ei asu samal sirgel, ei ole vektorid kollineaarsed ja seetõttu asub tasapinna mis tahes punkt punktidega samal tasapinnal ja ainult siis, kui vektorid , ja koplanaarne, st. siis ja ainult siis nende vektorite segakorrutis võrdub nulliga.

Kasutades koordinaatides segatud korrutise avaldist, saame tasandi võrrandi

(3)

Pärast determinandi paljastamist muutub see võrrand vormi (2) võrrandiks, st. tasapinna üldvõrrand.

Näide 5. Kirjutage võrrand tasapinnale, mis läbib kolme antud punkti, mis ei asu samal sirgel:

ja määrata sirge üldvõrrandi erijuht, kui see esineb.

Lahendus. Vastavalt valemile (3) on meil:

Normaaltasandi võrrand. Kaugus punktist tasapinnani

Tasapinna normaalvõrrand on selle võrrand, mis on kirjutatud kujul

Iga esimese astme võrrand koordinaatide suhtes x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3,1)

defineerib tasapinna ja vastupidi: mis tahes tasapinda saab esitada võrrandiga (3.1), mida nimetatakse tasapinnaline võrrand.

Vektor n(A, B, C) nimetatakse tasapinnaga ortogonaalseks normaalvektor lennuk. Võrrandis (3.1) ei ole koefitsiendid A, B, C samal ajal võrdsed 0-ga.

Võrrandi (3.1) erijuhud:

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - tasapind läbib alguspunkti.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - tasapind on paralleelne Oz-teljega.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - tasapind läbib Oz-telge.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - tasapind on paralleelne Oyz tasandiga.

Koordinaattasandite võrrandid: x = 0, y = 0, z = 0.

Ruumi sirge saab määrata:

1) kahe tasandi lõikejoonena, s.o. võrrandisüsteem:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0; (3.2)

2) selle kahe punktiga M 1 (x 1, y 1, z 1) ja M 2 (x 2, y 2, z 2), siis on neid läbiv sirge antud võrranditega:

= ; (3.3)

3) selle juurde kuuluv punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) ja vektor a(m, n, p), sellele kollineaarne. Seejärel määratakse sirgjoon võrranditega:

. (3.4)

Nimetatakse võrrandeid (3.4). sirge kanoonilised võrrandid.

Vektor a helistas suunavektor sirge.

Saame parameetrilised, võrdsustades kõik seosed (3.4) parameetriga t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Lahendussüsteem (3.2) kui tundmatute lineaarvõrrandisüsteem x Ja y, jõuame sirge võrranditeni prognoosid või selleks antud sirge võrrandid:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Võrranditest (3.6) saame minna kanooniliste võrrandite juurde, leidmine z igast võrrandist ja võrdsustades saadud väärtused:

.

Üldvõrranditest (3.2) saame liikuda kanooniliste juurde ka muul viisil, kui leiame selle sirge ja selle suunava sirge mõne punkti n= [n 1 , n 2], kus n 1 (A 1, B 1, C 1) ja n 2 (A 2, B 2, C 2) - antud tasandite normaalvektorid. Kui üks nimetajatest m, n või R võrrandites (3.4) osutub võrdseks nulliga, siis tuleb vastava murru lugeja seada võrdseks nulliga, s.o. süsteem

on süsteemiga samaväärne ; selline sirge on risti härja teljega.

Süsteem on ekvivalentne süsteemiga x = x 1, y = y 1; sirgjoon on paralleelne Ozi teljega.

Näide 1.15. Kirjutage tasapinna võrrand, teades, et punkt A(1,-1,3) on lähtepunktist sellele tasapinnale tõmmatud risti alus.

Lahendus. Vastavalt probleemtingimustele vektor OA(1,-1,3) on tasandi normaalvektor, siis saab selle võrrandi kirjutada järgmiselt
x-y+3z+D=0. Asendades tasapinnale kuuluva punkti A(1,-1,3) koordinaadid, leiame D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Seega x-y+3z-11=0.

Näide 1.16. Loo võrrand tasapinnale, mis läbib Oz-telge ja moodustab tasandiga 2x+y-z-7=0 60 kraadise nurga.

Lahendus. Oz-telge läbiv tasapind on antud võrrandiga Ax+By=0, kus A ja B ei kao korraga. Las B mitte
võrdub 0, A/Bx+y=0. Kahe tasapinna vahelise nurga koosinusvalemi kasutamine

.

Lahendades ruutvõrrandi 3m 2 + 8m - 3 = 0, leiame selle juured
m 1 = 1/3, m 2 = -3, kust saame kaks tasapinda 1/3x+y = 0 ja -3x+y = 0.

Näide 1.17. Koostage sirge kanoonilised võrrandid:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Lahendus. Sirge kanoonilistel võrranditel on vorm:

Kus m, n, lk- sirge suunamisvektori koordinaadid, x 1, y 1, z 1- sirgele kuuluva mis tahes punkti koordinaadid. Sirge on määratletud kui kahe tasandi lõikejoon. Sirgele kuuluva punkti leidmiseks fikseeritakse üks koordinaatidest (kõige lihtsam on seada näiteks x=0) ja saadud süsteem lahendatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemina. Niisiis, olgu x=0, siis y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, kust y=-1, z=1. Leidsime sellele sirgele kuuluva punkti M(x 1, y 1, z 1) koordinaadid: M (0,-1,1). Sirge suunavektorit on lihtne leida, teades algtasandite normaalvektoreid n 1 (5,1,1) ja n 2 (2,3,-2). Siis

Sirge kanoonilised võrrandid on kujul: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Näide 1.18. Tasapindadega 2x-y+5z-3=0 ja x+y+2z+1=0 määratletud kiires leidke kaks risti asetsevat tasandit, millest üks läbib punkti M(1,0,1).

Lahendus. Nende tasanditega defineeritud kiire võrrand on kujul u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, kus u ja v ei kao üheaegselt. Kirjutame kiirvõrrandi ümber järgmiselt:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Selleks, et valida kiirest tasand, mis läbib punkti M, asendame kiire võrrandis punkti M koordinaadid. Saame:

(2u + v) × 1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v =0 või v = - u.

Seejärel leiame M-d sisaldava tasandi võrrandi, asendades kiire võrrandis v = - u:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Sest u ¹0 (muidu v=0 ja see on vastuolus kiire definitsiooniga), siis saame tasandi võrrandi x-2y+3z-4=0. Tala juurde kuuluv teine ​​tasapind peab olema sellega risti. Kirjutame üles tasandite ortogonaalsuse tingimus:

(2u+ v) × 1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0 või v = -19/5u.

See tähendab, et teise tasandi võrrandil on vorm:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 või 9x +24y + 13z + 34 = 0.