قبل از ارائه مفهوم حاصلضرب بردار، اجازه دهید به سؤال جهت گیری یک سه گانه مرتب شده از بردارهای a →، b →، c → در فضای سه بعدی بپردازیم.

برای شروع، بردارهای a → , b → , c → را از یک نقطه کنار می گذاریم. جهت سه گانه a → , b → , c → بسته به جهت خود بردار c → می تواند راست یا چپ باشد. نوع سه گانه a → , b → , c → از جهتی که کوتاه ترین چرخش از بردار a → به b → از انتهای بردار c → انجام می شود تعیین می شود.

اگر کوتاه ترین چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت انجام شود، سه بردار a → , b → , c → نامیده می شود. درست، اگر در جهت عقربه های ساعت باشد - ترک کرد.

سپس دو بردار غیر خطی a → و b → را بگیرید. سپس بردارهای A B → = a → و A C → = b → را از نقطه A رسم می کنیم. بیایید یک بردار A D → = c → بسازیم که به طور همزمان بر هر دو A B → و A C → عمود است. بنابراین، هنگام ساختن خود بردار A D → = c →، می‌توانیم آن را به دو روش انجام دهیم، یا یک جهت یا برعکس بدهیم (تصویر را ببینید).

یک سه مرتبه از بردارهای a → , b → , c → می تواند، همانطور که متوجه شدیم، بسته به جهت بردار، راست یا چپ باشد.

از موارد فوق می توان تعریف یک محصول برداری را معرفی کرد. این تعریف برای دو بردار تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی ارائه شده است.

تعریف 1

حاصل ضرب برداری دو بردار a → و b → ما چنین بردار تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی فضای سه بعدی را به گونه ای فراخوانی می کنیم که:

• اگر بردارهای a → و b → هم خط باشند، صفر خواهد بود.
• بر هر دو بردار a → و بردار b → یعنی عمود خواهد بود. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• طول آن با فرمول تعیین می شود: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• سه بردار a → , b → , c → جهت گیری یکسانی با سیستم مختصات داده شده دارد.

حاصل ضرب برداری بردارهای a → و b → نماد زیر است: a → × b →.

مختصات حاصلضرب بردار

از آنجایی که هر بردار دارای مختصات خاصی در سیستم مختصات است، می‌توانیم تعریف دومی از حاصلضرب بردار ارائه کنیم که به ما امکان می‌دهد مختصات آن را با استفاده از مختصات داده شده بردارها پیدا کنیم.

تعریف 2

در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی حاصل ضرب برداری دو بردار a → = (a x ; a y ; a z) و b → = (b x ; b y ; b z) بردار c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → ، جایی که i → , j → , k → بردارهای مختصاتی هستند.

حاصلضرب برداری را می توان به عنوان تعیین کننده یک ماتریس مربع مرتبه سوم نشان داد، که در آن سطر اول شامل بردارهای i → , j → , k → است، سطر دوم حاوی مختصات بردار a → و سطر سوم است. شامل مختصات بردار b → در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص است، این تعیین کننده ماتریس به نظر می رسد: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

با گسترش این تعیین کننده به عناصر ردیف اول، برابری را بدست می آوریم: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y x b → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

خواص یک محصول متقاطع

مشخص است که حاصلضرب برداری در مختصات به عنوان تعیین کننده ماتریس c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z نمایش داده می شود، سپس بر اساس خواص تعیین کننده ماتریسموارد زیر نمایش داده می شود خواص یک محصول برداری:

1. ضد جابجایی a → × b → = - b → × a → ;
2. توزیع a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → یا a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ارتباط λ a → × b → = λ a → × b → یا a → × (λ b →) = λ a → × b →، که در آن λ یک عدد واقعی دلخواه است.

این خواص اثبات ساده ای دارند.

به عنوان مثال، ما می توانیم خاصیت ضد جابجایی یک محصول برداری را اثبات کنیم.

اثبات ضد جابجایی

طبق تعریف، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z و b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . و اگر دو ردیف از ماتریس تعویض شوند، مقدار تعیین کننده ماتریس باید به عکس تغییر کند، بنابراین، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x ay - b → × a → که و ثابت می کند که حاصلضرب بردار ضد جابجایی است.

محصول برداری - مثال ها و راه حل ها

در بیشتر موارد، سه نوع مشکل وجود دارد.

در مسائل نوع اول معمولا طول دو بردار و زاویه بین آنها آورده می شود و باید طول حاصلضرب بردار را پیدا کنید. در این مورد از فرمول زیر c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → استفاده کنید.

مثال 1

طول حاصلضرب برداری بردارهای a → و b → را بیابید، اگر a → = 3، b → = 5، ∠ a →، b → = π 4 بدانید.

راه حل

با تعیین طول حاصل ضرب برداری بردارهای a → و b → این مشکل را حل می کنیم: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

پاسخ: 15 2 2 .

مسائل نوع دوم با مختصات بردارها، در آنها حاصل ضرب برداری، طول آن و غیره ارتباط دارند. از طریق مختصات شناخته شده بردارهای داده شده جستجو می شوند a → = (a x; a y; a z) و b → = (b x؛ b y؛ b z) .

برای این نوع مشکلات، شما می توانید بسیاری از گزینه های کار را حل کنید. به عنوان مثال، مختصات بردارهای a → و b → را نمی توان مشخص کرد، بلکه بسط آن ها را به بردارهای مختصات شکل می توان تعیین کرد. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → و c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →، یا بردارهای a → و b → را می توان با مختصات شروع آنها مشخص کرد. و نقاط پایانی

مثال های زیر را در نظر بگیرید.

مثال 2

در یک سیستم مختصات مستطیلی، دو بردار داده می شود: a → = (2؛ 1؛ - 3)، b → = (0؛ - 1؛ 1). محصول متقاطع آنها را پیدا کنید.

راه حل

با تعریف دوم، حاصل ضرب برداری دو بردار را در مختصات داده شده پیدا می کنیم: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

اگر حاصلضرب برداری را از طریق تعیین کننده ماتریس بنویسیم، جواب این مثال به این صورت است: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

پاسخ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

مثال 3

طول حاصلضرب برداری بردارهای i → - j → و i → + j → + k → را بیابید که i →، j →، k → بردارهای واحد سیستم مختصات دکارتی مستطیلی هستند.

راه حل

ابتدا، اجازه دهید مختصات یک حاصلضرب برداری معین i → - j → × i → + j → + k → را در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص پیدا کنیم.

مشخص است که بردارهای i → - j → و i → + j → + k → به ترتیب دارای مختصات (1؛ - 1؛ 0) و (1؛ 1؛ 1) هستند. بیایید طول حاصلضرب برداری را با استفاده از تعیین کننده ماتریس پیدا کنیم، سپس i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → داریم. - j → + 2 k → .

بنابراین، حاصلضرب برداری i → - j → × i → + j → + k → دارای مختصات (- 1 ; - 1 ; 2) در سیستم مختصات داده شده است.

طول حاصلضرب برداری را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم (به بخش یافتن طول یک بردار مراجعه کنید): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

پاسخ: i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

مثال 4

در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی، مختصات سه نقطه A (1، 0، 1)، B (0، 2، 3)، C (1، 4، 2) آورده شده است. چند بردار عمود بر A B → و A C → همزمان پیدا کنید.

راه حل

بردارهای A B → و A C → به ترتیب دارای مختصات زیر هستند (- 1 ; 2 ; 2) و (0 ; 4 ; 1). با یافتن حاصلضرب برداری بردارهای A B → و A C →، بدیهی است که بردار عمود بر هر دو A B → و A C → است، یعنی راه حلی برای مسئله ما است. بیایید آن را A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → پیدا کنیم.

پاسخ: - 6 i → + j → - 4 k → . - یکی از بردارهای عمود بر.

مسائل نوع سوم بر استفاده از ویژگی های حاصلضرب برداری بردارها متمرکز است. پس از اعمال آن، راه حلی برای مشکل داده شده به دست خواهیم آورد.

مثال 5

بردارهای a → و b → عمود هستند و طول آنها به ترتیب 3 و 4 است. طول حاصلضرب برداری 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

راه حل

با خاصیت توزیعی یک محصول برداری، می توانیم 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 بنویسیم. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

با خاصیت تداعی، ضرایب عددی را از علامت محصولات برداری در آخرین عبارت خارج می کنیم: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

حاصلضرب های برداری a → × a → و b → × b → برابر با 0 هستند، زیرا a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 و b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0، سپس 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

از ضد جابجایی حاصلضرب بردار نتیجه می شود - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ب → .

با استفاده از ویژگی های حاصلضرب بردار، برابری 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → را به دست می آوریم.

بر اساس شرط، بردارهای a → و b → عمود هستند، یعنی زاویه بین آنها برابر با π 2 است. اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که مقادیر یافت شده را با فرمول های مناسب جایگزین کنید: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

پاسخ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

طول حاصلضرب برداری بردارها طبق تعریف برابر است با a → × b → = a → b → · sin ∠ a → , b → . از آنجایی که قبلاً (از دوره مدرسه) مشخص شده است که مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصل ضرب طول دو ضلع آن در سینوس زاویه بین این ضلع ها. در نتیجه، طول حاصلضرب بردار برابر است با مساحت متوازی الاضلاع - یک مثلث دو برابر شده، یعنی حاصل ضرب اضلاع به شکل بردارهای a → و b →، که از یک نقطه، توسط سینوس گذاشته شده است. زاویه بین آنها گناه ∠ a →، b →.

این معنای هندسی یک محصول برداری است.

معنای فیزیکی محصول برداری

در مکانیک، یکی از شاخه های فیزیک، به لطف حاصلضرب بردار، می توانید ممان یک نیرو را نسبت به نقطه ای از فضا تعیین کنید.

تعریف 3

در لحظه اعمال نیروی F ← به نقطه B، نسبت به نقطه A، حاصلضرب برداری زیر A B → × F → را درک خواهیم کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در این درس به دو عمل دیگر با بردارها نگاه خواهیم کرد: حاصلضرب برداری بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها (لینک فوری برای کسانی که به آن نیاز دارند). اشکالی ندارد، گاهی اوقات اتفاق می افتد که برای خوشبختی کامل، علاوه بر حاصل ضرب اسکالر بردارها، بیشتر و بیشتر مورد نیاز است. این اعتیاد بردار است. ممکن است به نظر برسد که ما در حال ورود به جنگل هندسه تحلیلی هستیم. این اشتباه است. در این بخش از ریاضیات عالی به طور کلی چوب کمی وجود دارد، به جز شاید به اندازه کافی برای پینوکیو. در واقع، مواد بسیار رایج و ساده است - به سختی پیچیده تر از همان حاصلضرب عددی، حتی وظایف معمولی کمتری وجود خواهد داشت. نکته اصلی در هندسه تحلیلی، همانطور که بسیاری متقاعد شده اند یا قبلاً متقاعد شده اند، اشتباه نکردن در محاسبات است. مثل یک طلسم تکرار کنید و خوشحال خواهید شد =)

اگر بردارها در جایی دور می درخشند، مانند رعد و برق در افق، مهم نیست، با درس شروع کنید وکتور برای آدمکبرای بازیابی یا کسب مجدد دانش اولیه در مورد بردارها. خوانندگان آماده تر می توانند به صورت انتخابی با اطلاعات آشنا شوند

چه چیزی شما را بلافاصله خوشحال می کند؟ وقتی کوچک بودم، می‌توانستم با دو و حتی سه توپ دستکاری کنم. خوب کار کرد. اکنون دیگر نیازی به دستکاری نخواهید داشت، زیرا ما در نظر خواهیم گرفت فقط بردارهای فضایی، و بردارهای مسطح با دو مختصات کنار گذاشته می شوند. چرا؟ به این ترتیب این کنش ها متولد شدند - بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها تعریف شده و در فضای سه بعدی کار می کنند. در حال حاضر آسان تر است!

این عملیات، درست مانند محصول اسکالر، شامل دو بردار. بگذار اینها حروف فنا ناپذیر باشند.

خود عمل نشان داده شده بابه روش زیر: . گزینه های دیگری نیز وجود دارد، اما من عادت دارم که حاصل ضرب برداری بردارها را به این شکل، در پرانتز مربع با یک ضربدر نشان دهم.

و بلافاصله سوال: اگر در حاصل ضرب اسکالر بردارهادو بردار درگیر هستند، و در اینجا دو بردار نیز ضرب می شوند، سپس تفاوت در چیست? تفاوت آشکار، اول از همه، در نتیجه است:

حاصل حاصل ضرب اسکالر بردارها NUMBER است:

حاصل ضرب ضربدری بردارها بردار است: یعنی بردارها را ضرب می کنیم و دوباره بردار می گیریم. باشگاه تعطیل شده در واقع، نام عملیات از اینجا آمده است. در ادبیات آموزشی مختلف، نام‌گذاری‌ها نیز ممکن است متفاوت باشد.

تعریف محصول متقاطع

ابتدا یک تعریف با یک تصویر وجود دارد، سپس نظرات.

تعریف: محصول برداری غیر خطیبردارها، به این ترتیب گرفته شده استبه نام VECTOR، طولکه به صورت عددی است برابر مساحت متوازی الاضلاع است، بر اساس این بردارها ساخته شده است. بردار متعامد به بردارها، و به گونه ای هدایت می شود که اساس جهت گیری درست داشته باشد:

بیایید تعریف را بشکنیم، چیزهای جالب زیادی در اینجا وجود دارد!

بنابراین، می توان به نکات مهم زیر اشاره کرد:

1) بردارهای اصلی که با فلش های قرمز مشخص شده اند، طبق تعریف خطی نیست. مناسب است که کمی بعد مورد بردارهای خطی را در نظر بگیریم.

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب کاملاً تعریف شده: – "الف" در "بودن" ضرب می شود، و نه "بودن" با "الف". حاصل ضرب برداری VECTOR است که با رنگ آبی نشان داده شده است. اگر بردارها به ترتیب معکوس ضرب شوند، بردار برابر طول و مخالف جهت (رنگ تمشک) به دست می آوریم. یعنی برابری درست است .

3) حال با معنای هندسی حاصلضرب بردار آشنا می شویم. این نکته بسیار مهمی است! LENGTH بردار آبی (و بنابراین، بردار زرشکی) از نظر عددی برابر با AREA متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها است. در شکل، این متوازی الاضلاع به رنگ مشکی است.

توجه داشته باشید : رسم شماتیک است و طبیعتاً طول اسمی حاصلضرب بردار با مساحت متوازی الاضلاع برابر نیست.

بیایید یکی از فرمول های هندسی را به یاد بیاوریم: مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها.. بنابراین، بر اساس موارد فوق، فرمول محاسبه LENGTH حاصلضرب بردار معتبر است:

تاکید می کنم که فرمول مربوط به LENGTH بردار است و نه در مورد خود بردار. معنای عملی چیست؟ و معنی این است که در مسائل هندسه تحلیلی، مساحت متوازی الاضلاع اغلب از طریق مفهوم یک محصول برداری پیدا می شود:

اجازه دهید فرمول مهم دوم را بدست آوریم. مورب متوازی الاضلاع (خط نقطه چین قرمز) آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند. بنابراین، مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها (سایه دهی قرمز) را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

4) یک واقعیت به همان اندازه مهم این است که بردار متعامد با بردارها است، یعنی . البته بردار جهت مخالف (فلش تمشک) نیز با بردارهای اصلی متعامد است.

5) بردار به گونه ای جهت داده شده است که اساساین دارد درستگرایش. در درس در مورد انتقال به یک پایه جدیدمن با جزئیات کافی در مورد آن صحبت کردم جهت هواپیما، و اکنون متوجه خواهیم شد که جهت گیری فضا چیست. من روی انگشتان شما توضیح خواهم داد دست راست. ذهنی ترکیب کنید انگشت اشارهبا وکتور و انگشت وسطبا وکتور انگشت حلقه و انگشت کوچکآن را در کف دست خود فشار دهید. در نتیجه شست- محصول برداری به بالا نگاه می کند. این یک مبنای راست گرا است (این یکی در شکل است). حالا بردارها را تغییر دهید ( انگشت اشاره و وسط) در بعضی جاها، در نتیجه انگشت شست به اطراف می چرخد ​​و حاصلضرب بردار از قبل به پایین نگاه می کند. این نیز یک مبنای حق مدار است. ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: کدام پایه گرایش چپ دارد؟ "تخصیص" به همان انگشتان دست چپبردارها، و پایه سمت چپ و جهت چپ فضا را بدست آورید (در این حالت انگشت شست در جهت بردار پایینی قرار می گیرد). به بیان تصویری، این پایه ها فضا را در جهات مختلف "پیچان" یا جهت می دهند. و این مفهوم را نباید چیزی دور از ذهن یا انتزاعی در نظر گرفت - به عنوان مثال، جهت گیری فضا توسط معمولی ترین آینه تغییر می کند، و اگر شما "شیء منعکس شده را از شیشه بیرون بکشید"، در حالت کلی ترکیب آن با "اصلی" امکان پذیر نخواهد بود. به هر حال، سه انگشت خود را به سمت آینه بگیرید و انعکاس را تجزیه و تحلیل کنید ;-)

...چقدر خوبه که الان میدونی راست و چپمبانی، زیرا اظهارات برخی از اساتید در مورد تغییر جهت گیری ترسناک است =)

ضرب ضربدر بردارهای خطی

تعریف به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است، باید دید زمانی که بردارها هم خط هستند چه اتفاقی می افتد. اگر بردارها خطی باشند، می توان آنها را روی یک خط مستقیم قرار داد و متوازی الاضلاع ما نیز در یک خط مستقیم "تا" می شود. حوزه از جمله، همانطور که ریاضیدانان می گویند، منحطمتوازی الاضلاع برابر با صفر است. از فرمول نیز به همین صورت است - سینوس صفر یا 180 درجه برابر با صفر است، یعنی مساحت صفر است.

بنابراین، اگر، پس و . لطفا توجه داشته باشید که ضرب ضربدری خود برابر با بردار صفر است، اما در عمل اغلب از این امر صرف نظر می شود و می نویسند که آن نیز برابر با صفر است.

یک مورد خاص حاصل ضرب یک بردار با خودش است:

با استفاده از حاصلضرب برداری، می توانید همخطی بردارهای سه بعدی را بررسی کنید و ما نیز این مشکل را در میان موارد دیگر تحلیل خواهیم کرد.

برای حل مثال های عملی ممکن است نیاز داشته باشید جدول مثلثاتیبرای یافتن مقادیر سینوس ها از آن.

خوب، بیایید آتش را روشن کنیم:

مثال 1

الف) طول حاصل ضرب بردار بردارها را بیابید اگر

ب) مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را بیابید اگر

راه حل: نه، این اشتباه تایپی نیست، من عمداً داده های اولیه را در بندها یکسان کردم. زیرا طراحی راه حل ها متفاوت خواهد بود!

الف) با توجه به شرایط، باید پیدا کنید طولبردار (محصول متقاطع). طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

اگر از شما در مورد طول سؤال شد ، در پاسخ ما بعد - واحدها را نشان می دهیم.

ب) با توجه به شرط، باید پیدا کنید مربعمتوازی الاضلاع بر روی بردارها ساخته شده است. مساحت این متوازی الاضلاع از نظر عددی برابر است با طول حاصلضرب بردار:

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید که پاسخ اصلاً در مورد محصول برداری صحبت نمی کند مساحت شکلبر این اساس، بعد واحد مربع است.

ما همیشه به آنچه که باید بر اساس شرایط پیدا کنیم نگاه می کنیم و بر این اساس فرموله می کنیم روشنپاسخ. ممکن است به معنای واقعی کلمه به نظر برسد، اما در بین معلمان تعداد زیادی از لفظ گرایان وجود دارد و این تکلیف شانس خوبی برای بازگرداندن آن برای تجدید نظر دارد. اگر چه این یک سخن گفتن دور از ذهن نیست - اگر پاسخ نادرست باشد، این تصور به وجود می آید که شخص چیزهای ساده را نمی فهمد و/یا اصل کار را درک نکرده است. این نکته همیشه باید در حل هر مسئله ای در ریاضیات عالی و همچنین در دروس دیگر تحت کنترل باشد.

حرف بزرگ "en" کجا رفت؟ در اصل، می‌توانست به راه حل اضافه شود، اما برای کوتاه کردن ورودی، این کار را نکردم. امیدوارم همه این را بفهمند و برای همین کار تعیین شوند.

یک مثال محبوب برای راه حل DIY:

مثال 2

مساحت مثلثی که بر روی بردارها ساخته شده است را پیدا کنید اگر

فرمول یافتن مساحت یک مثلث از طریق حاصلضرب بردار در نظرات تعریف شده است. راه حل و پاسخ در پایان درس است.

در عمل، این کار واقعاً بسیار رایج است.

برای حل مشکلات دیگر نیاز داریم:

ویژگی های حاصلضرب برداری بردارها

ما قبلاً برخی از ویژگی های محصول برداری را در نظر گرفته ایم، با این حال، آنها را در این لیست قرار می دهم.

برای بردارهای دلخواه و یک عدد دلخواه، ویژگی های زیر درست است:

1) در سایر منابع اطلاعاتی معمولاً این مورد در خواص برجسته نمی شود، اما از نظر عملی بسیار مهم است. پس بگذارید باشد.

2) - ملک نیز در بالا مورد بحث قرار گرفته است، گاهی اوقات به آن می گویند ضد جابجایی. به عبارت دیگر، ترتیب بردارها مهم است.

3) – انجمنی یا انجمنیقوانین محصول برداری ثابت ها را می توان به راحتی به خارج از محصول برداری منتقل کرد. راستی اونجا باید چیکار کنن؟

4) – توزیع یا توزیعیقوانین محصول برداری باز کردن براکت ها هم مشکلی ندارد.

برای نشان دادن، اجازه دهید به یک مثال کوتاه نگاه کنیم:

مثال 3

پیدا کنید اگر

راه حل:این شرط دوباره مستلزم یافتن طول حاصلضرب بردار است. بیایید مینیاتور خود را نقاشی کنیم:

(1) طبق قوانین انجمنی، ثابت ها را خارج از محدوده حاصلضرب برداری می گیریم.

(2) ثابت را به خارج از ماژول منتقل می کنیم و ماژول علامت منفی را می خورد. طول نمی تواند منفی باشد.

(3) بقیه روشن است.

پاسخ:

وقت آن است که چوب بیشتری به آتش اضافه کنید:

مثال 4

مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها را محاسبه کنید اگر

راه حل: با استفاده از فرمول مساحت مثلث را پیدا کنید . نکته مهم این است که بردارهای "tse" و "de" خود به عنوان مجموع بردارها ارائه می شوند. الگوریتم در اینجا استاندارد است و تا حدودی یادآور مثال های شماره 3 و 4 درس است. حاصل ضرب نقطه ای بردارها. برای وضوح، ما راه حل را به سه مرحله تقسیم می کنیم:

1) در مرحله اول، حاصلضرب برداری را از طریق حاصلضرب بردار بیان می کنیم، در واقع، بیایید یک بردار را بر اساس یک بردار بیان کنیم. هنوز در مورد طول مدت صحبتی نشده است!

(1) عبارات بردارها را جایگزین کنید.

(2) با استفاده از قوانین توزیعی، براکت ها را طبق قانون ضرب چندجمله ای ها باز می کنیم.

(3) با استفاده از قوانین انجمنی، همه ثابت ها را فراتر از محصولات برداری حرکت می دهیم. با کمی تجربه می توان مراحل 2 و 3 را به طور همزمان انجام داد.

(4) جمله اول و آخر به دلیل خاصیت nice برابر با صفر (بردار صفر) است. در عبارت دوم از خاصیت ضد جابجایی یک محصول برداری استفاده می کنیم:

(5) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم.

در نتیجه، مشخص شد که بردار از طریق یک بردار بیان می شود، که برای دستیابی به آن نیاز بود:

2) در مرحله دوم طول حاصلضرب برداری مورد نیاز خود را پیدا می کنیم. این عمل مشابه مثال 3 است:

3) مساحت مثلث مورد نیاز را پیدا کنید:

مراحل 2-3 راه حل می توانست در یک خط نوشته شود.

پاسخ:

مشکل در نظر گرفته شده در تست ها کاملاً رایج است، در اینجا مثالی برای حل خودتان آورده شده است:

مثال 5

پیدا کنید اگر

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس. بیایید ببینیم هنگام مطالعه نمونه های قبلی چقدر دقت کردید ;-)

ضرب ضربدری بردارها در مختصات

، مشخص شده بر اساس متعارف، با فرمول بیان می شود:

فرمول واقعاً ساده است: در خط بالای تعیین کننده، بردارهای مختصات را می نویسیم، در خط دوم و سوم، مختصات بردارها را "قرار می دهیم" و می گذاریم. به ترتیب دقیق– ابتدا مختصات بردار “ve” سپس مختصات بردار “double-ve”. اگر بردارها باید به ترتیب دیگری ضرب شوند، سطرها باید تعویض شوند:

مثال 10

بررسی کنید که آیا بردارهای فضای زیر خطی هستند یا خیر:
آ)
ب)

راه حل: بررسی بر اساس یکی از عبارات این درس است: اگر بردارها به صورت خطی باشند، حاصلضرب بردار آنها برابر با صفر (بردار صفر) است: .

الف) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

بنابراین، بردارها خطی نیستند.

ب) حاصلضرب برداری را پیدا کنید:

پاسخ: الف) خطی نیست، ب)

در اینجا، شاید، تمام اطلاعات اولیه در مورد حاصلضرب برداری بردارها وجود دارد.

این بخش خیلی بزرگ نخواهد بود، زیرا مشکلات کمی در استفاده از حاصلضرب مخلوط بردارها وجود دارد. در واقع، همه چیز به تعریف، معنای هندسی و چند فرمول کاری بستگی دارد.

حاصلضرب مخلوط بردارها حاصل ضرب سه بردار است:

بنابراین آنها مانند یک قطار در صف ایستادند و نمی توانند منتظر شناسایی شوند.

ابتدا یک تعریف و یک تصویر:

تعریف: کار مختلط غیر همسطحبردارها، به این ترتیب گرفته شده است، تماس گرفت حجم موازی، بر روی این بردارها ساخته شده است، اگر پایه درست باشد، با علامت "+" و اگر پایه سمت چپ باشد علامت "-" مجهز شده است.

بیایید نقاشی را انجام دهیم. خطوطی که برای ما نامرئی هستند با خطوط نقطه چین ترسیم می شوند:

بیایید به تعریف بپردازیم:

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب خاصی، یعنی همان طور که ممکن است حدس بزنید، بازآرایی بردارها در محصول بدون عواقب رخ نمی دهد.

3) قبل از اظهار نظر در مورد معنای هندسی، یک واقعیت آشکار را متذکر می شوم: حاصلضرب مخلوط بردارها یک عدد است: . در ادبیات آموزشی، طراحی ممکن است کمی متفاوت باشد.

الف- مقدماتی محصول مخلوط، حجم موازی است، بر روی بردارها ساخته شده است (شکل با بردارهای قرمز و خطوط سیاه ترسیم شده است). یعنی عدد برابر با حجم یک متوازی الاضلاع معین است.

توجه داشته باشید : نقاشی شماتیک است.

4) دوباره نگران مفهوم جهت گیری مبنا و فضا نباشیم. منظور از قسمت پایانی این است که می توان یک علامت منفی به حجم اضافه کرد. به عبارت ساده، یک محصول مخلوط می تواند منفی باشد: .

به طور مستقیم از تعریف، فرمول محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را دنبال می کند.

در این مقاله نگاهی دقیق‌تر به مفهوم حاصلضرب دو بردار خواهیم داشت. ما تعاریف لازم را ارائه می دهیم، فرمولی برای یافتن مختصات یک محصول برداری می نویسیم، خواص آن را فهرست و توجیه می کنیم. پس از این، به معنای هندسی حاصلضرب بردار دو بردار می پردازیم و راه حل هایی را برای مثال های مختلف در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

تعریف محصول متقاطع

قبل از تعریف یک محصول برداری، بیایید جهت یک سه بردار مرتب شده در فضای سه بعدی را درک کنیم.

بیایید بردارها را از یک نقطه رسم کنیم. بسته به جهت بردار، این سه می توانند راست یا چپ باشند. بیایید از انتهای بردار به چگونگی کوتاهترین چرخش از بردار به . اگر کوتاه ترین چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت اتفاق بیفتد، سه بردار نامیده می شود درست، در غیر این صورت - ترک کرد.

حالا دو بردار غیر خطی و . اجازه دهید بردارها و از نقطه A را رسم کنیم. بیایید چند بردار عمود بر هر دو و و بسازیم. بدیهی است که هنگام ساختن یک بردار، می‌توانیم دو کار انجام دهیم، یا یک جهت یا برعکس بدهیم (به تصویر مراجعه کنید).

بسته به جهت بردار، سه گانه مرتب شده از بردارها می تواند راست دست یا چپ باشد.

این ما را به تعریف یک محصول برداری نزدیک می کند. برای دو بردار تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی داده شده است.

تعریف.

حاصلضرب متقاطع دو بردارو مشخص شده در یک سیستم مختصات مستطیلی فضای سه بعدی، بردار نامیده می شود به طوری که

حاصل ضرب بردارها و به صورت .

مختصات حاصلضرب بردار.

اکنون تعریف دوم یک محصول برداری را ارائه می دهیم که به شما امکان می دهد مختصات آن را از مختصات بردارهای داده شده پیدا کنید و.

تعریف.

در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی حاصل ضرب برداری دو بردار و یک بردار است که بردارهای مختصات در آن قرار دارند.

این تعریف به ما محصول متقاطع را به صورت مختصات می دهد.

به راحتی می توان حاصلضرب برداری را به عنوان تعیین کننده یک ماتریس مربع مرتبه سوم نشان داد، ردیف اول آن بردارها، سطر دوم شامل مختصات بردار و سوم شامل مختصات بردار در یک داده شده است. سیستم مختصات مستطیلی:

اگر این تعیین کننده را به عناصر ردیف اول گسترش دهیم، برابری را از تعریف حاصلضرب بردار در مختصات به دست می آوریم (در صورت لزوم، به مقاله مراجعه کنید):

لازم به ذکر است که فرم مختصات حاصلضرب برداری کاملاً با تعریف ارائه شده در بند اول این مقاله مطابقت دارد. علاوه بر این، این دو تعریف از یک محصول متقاطع معادل هستند. اثبات این حقیقت را می توانید در کتابی که در انتهای مقاله ذکر شده است مشاهده کنید.

ویژگی های یک محصول برداری

از آنجایی که حاصل ضرب برداری در مختصات را می توان به عنوان یک تعیین کننده ماتریس نشان داد، موارد زیر را می توان به راحتی بر اساس توجیه کرد. خواص محصول متقاطع:

به عنوان مثال، اجازه دهید خاصیت ضد جابجایی یک محصول برداری را اثبات کنیم.

الف- مقدماتی و . می دانیم که در صورت تعویض دو ردیف، مقدار تعیین کننده یک ماتریس معکوس می شود، بنابراین، ، که خاصیت ضد جابجایی یک محصول برداری را اثبات می کند.

محصول برداری - مثال ها و راه حل ها.

به طور عمده سه نوع مشکل وجود دارد.

در مسائل نوع اول، طول دو بردار و زاویه بین آنها آورده شده است و باید طول حاصلضرب بردار را پیدا کنید. در این مورد از فرمول استفاده می شود .

مثال.

طول حاصلضرب برداری بردارها و در صورت شناخته شدن را بیابید .

راه حل.

از این تعریف می دانیم که طول حاصلضرب بردارها و برابر است با حاصلضرب طول بردارها و با سینوس زاویه بین آنها، بنابراین، .

پاسخ:

.

مسائل نوع دوم مربوط به مختصات بردارها است که در آن حاصل ضرب برداری، طول آن یا هر چیز دیگری از طریق مختصات بردارهای داده شده جستجو می شود. و .

در اینجا گزینه های مختلف زیادی وجود دارد. برای مثال، نه مختصات بردارها و قابل تعیین، بلکه بسط آنها به بردارهای مختصات فرم و یا بردارها و می توان با مختصات نقطه شروع و پایان آنها مشخص کرد.

بیایید به نمونه های معمولی نگاه کنیم.

مثال.

دو بردار در یک سیستم مختصات مستطیلی داده شده است . محصول متقاطع آنها را پیدا کنید.

راه حل.

طبق تعریف دوم، حاصل ضرب برداری دو بردار در مختصات به صورت زیر نوشته می شود:

اگر حاصلضرب بردار بر حسب دترمینان نوشته می شد به همین نتیجه می رسیدیم

پاسخ:

.

مثال.

طول حاصلضرب برداری بردارهای و را بیابید، که بردارهای واحد سیستم مختصات دکارتی مستطیل شکل هستند.

راه حل.

ابتدا مختصات حاصلضرب برداری را پیدا می کنیم در یک سیستم مختصات مستطیلی داده شده

از آنجایی که بردارها و مختصات دارند و به ترتیب (در صورت لزوم به مقاله مختصات یک بردار در سیستم مختصات مستطیلی مراجعه کنید)، پس با تعریف دوم حاصلضرب برداری،

یعنی محصول برداری دارای مختصات در یک سیستم مختصات معین است.

طول یک بردار را به عنوان جذر مجموع مجذورات مختصات آن می‌یابیم (این فرمول را برای طول یک بردار در بخش یافتن طول یک بردار به دست آوردیم):

پاسخ:

.

مثال.

در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی، مختصات سه نقطه آورده شده است. برداري را پيدا كنيد كه عمود بر هم باشد.

راه حل.

بردارها و دارای مختصات و به ترتیب (به مقاله یافتن مختصات یک بردار از طریق مختصات نقاط مراجعه کنید). اگر حاصل ضرب برداری بردارها و را پیدا کنیم، بنابر تعریف، بردار عمود بر هر دو و بر است، یعنی راه حلی برای مسئله ما است. بیا پیداش کنیم

پاسخ:

- یکی از بردارهای عمود بر.

در مسائل نوع سوم، مهارت استفاده از خواص حاصلضرب بردارها مورد آزمایش قرار می گیرد. پس از اعمال خواص، فرمول های مربوطه اعمال می شود.

مثال.

بردارها و عمود بر هم هستند و طول آنها به ترتیب 3 و 4 است. طول محصول متقاطع را پیدا کنید .

راه حل.

با خاصیت توزیعی یک محصول برداری، می توانیم بنویسیم

به دلیل خاصیت ترکیبی، ضرایب عددی را از علامت حاصلضرب بردار در عبارت آخر خارج می کنیم:

محصولات برداری و برابر با صفر هستند، زیرا و ، سپس .

از آنجایی که محصول برداری ضد جابجایی است، پس .

بنابراین، با استفاده از ویژگی های حاصلضرب بردار، به برابری رسیدیم .

بر اساس شرط، بردارها و عمود هستند، یعنی زاویه بین آنها برابر است. یعنی ما تمام داده ها را برای یافتن طول مورد نیاز داریم

پاسخ:

.

معنای هندسی یک محصول برداری.

طبق تعریف، طول حاصلضرب برداری بردارها است . و از یک درس هندسه دبیرستان می دانیم که مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب طول دو ضلع مثلث و سینوس زاویه بین آنها. در نتیجه، طول حاصلضرب بردار برابر با دو برابر مساحت مثلثی است که اضلاع آن بردار هستند و اگر از یک نقطه رسم شوند. به عبارت دیگر، طول حاصلضرب برداری بردارها برابر است با مساحت متوازی الاضلاع با اضلاع و زاویه بین آنها برابر است. این معنای هندسی محصول برداری است.

محصول ترکیبی از سه بردار و خواص آن

کار مختلطسه بردار را عددی مساوی می نامند. تعیین شده است . در اینجا دو بردار اول به صورت بردار ضرب می شوند و سپس بردار حاصل به صورت اسکالر در بردار سوم ضرب می شود. بدیهی است که چنین محصولی یک عدد مشخص است.

بیایید خواص یک محصول مخلوط را در نظر بگیریم.

1. معنی هندسیکار مختلط حاصلضرب مخلوط 3 بردار، تا یک علامت، برابر است با حجم موازی شکل ساخته شده بر روی این بردارها، مانند لبه ها، یعنی. .

   بنابراین، و .

   

   اثبات. بیایید بردارها را از مبدأ مشترک کنار بگذاریم و یک متوازی الاضلاع روی آنها بسازیم. بیایید به آن اشاره کنیم و توجه کنیم. با تعریف محصول اسکالر

   با فرض آن و نشان دادن با ساعتارتفاع متوازی الاضلاع را پیدا می کنیم.

   بنابراین، زمانی که

   اگر، پس چنین است. از این رو، .

   با ترکیب هر دوی این موارد، یا .

   از اثبات این خاصیت، به ویژه، چنین برمی‌آید که اگر سه بردار راست‌دست باشد، حاصلضرب مختلط است، و اگر چپ‌دست باشد، پس .

2. برای هر بردار، برابری صادق است

   اثبات این خاصیت از خاصیت 1 به دست می آید. در واقع، نشان دادن آن آسان است و . علاوه بر این، علائم "+" و "-" به طور همزمان گرفته می شوند، زیرا زوایای بین بردارها و و و هر دو حاد و مبهم هستند.

3. هنگامی که هر دو عامل بازآرایی می شوند، علامت محصول مخلوط تغییر می کند.

   در واقع، اگر یک محصول مخلوط را در نظر بگیریم، برای مثال، یا

4. یک محصول مخلوط اگر و فقط اگر یکی از عوامل برابر با صفر باشد یا بردارها همسطح باشند.

   اثبات.

   بنابراین شرط لازم و کافی برای همسطح بودن 3 بردار این است که حاصلضرب مخلوط آنها برابر با صفر باشد. علاوه بر این، نتیجه می شود که اگر سه بردار در فضا مبنایی را تشکیل می دهند.

   اگر بردارها به صورت مختصات داده شوند، می توان نشان داد که حاصلضرب مخلوط آنها با فرمول:

   .

   بنابراین، حاصلضرب مخلوط برابر با تعیین کننده مرتبه سوم است که مختصات بردار اول در خط اول، مختصات بردار دوم در خط دوم و مختصات بردار سوم در خط سوم است.

   مثال ها.

هندسه تحلیلی در فضا

معادله F(x، y، z)= 0 در فضا تعریف می کند Oxyzمقداری سطح، یعنی مکان هندسی نقاطی که مختصات آنها x، y، zاین معادله را برآورده کند. این معادله معادله سطح نامیده می شود و x، y، z- مختصات فعلی

با این حال، اغلب سطح با یک معادله مشخص نمی شود، بلکه به عنوان مجموعه ای از نقاط در فضا است که دارای یک یا ویژگی دیگر است. در این صورت باید معادله سطح را بر اساس خواص هندسی آن یافت.

سطح.

بردار صفحه معمولی.

معادله عبور هواپیما از یک نقطه داده شده

اجازه دهید یک صفحه دلخواه σ را در فضا در نظر بگیریم. موقعیت آن با تعیین یک بردار عمود بر این صفحه و یک نقطه ثابت تعیین می شود M0(x 0, y 0, z 0) در صفحه σ دراز کشیده است.

بردار عمود بر صفحه σ نامیده می شود طبیعیبردار این هواپیما بگذارید بردار مختصاتی داشته باشد.

اجازه دهید معادله صفحه ای که از این نقطه عبور می کند را استخراج کنیم M0و داشتن یک بردار معمولی. برای این کار، یک نقطه دلخواه در صفحه σ بگیرید M(x، y، z)و بردار را در نظر بگیرید.

برای هر نقطه مО σ بردار است بنابراین حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است. این برابری شرطی است که نقطه مО σ. برای تمام نقاط این هواپیما معتبر است و به محض نقطه نقض می شود مخارج از صفحه σ خواهد بود.

اگر نقاط را با بردار شعاع نشان دهیم م, – بردار شعاع نقطه M0، سپس معادله را می توان به شکل نوشت

این معادله نامیده می شود بردارمعادله هواپیما بیایید آن را به صورت مختصات بنویسیم. از آن به بعد

بنابراین معادله هواپیمای عبوری از این نقطه را به دست آورده ایم. بنابراین، برای ایجاد معادله یک هواپیما، باید مختصات بردار معمولی و مختصات نقطه ای را که روی هواپیما قرار دارد، بدانید.

توجه داشته باشید که معادله هواپیما با توجه به مختصات فعلی معادله درجه 1 است. x، yو z.

مثال ها.

معادله عمومی هواپیما

می توان نشان داد که هر معادله درجه یک با توجه به مختصات دکارتی x، y، zمعادله چند صفحه را نشان می دهد. این معادله به صورت زیر نوشته می شود:

Axe+By+Cz+D=0

و نامیده می شود معادله کلیهواپیما و مختصات الف، ب، جدر اینجا مختصات بردار نرمال هواپیما آمده است.

اجازه دهید موارد خاصی از معادله عمومی را در نظر بگیریم. بیایید دریابیم که اگر یک یا چند ضریب معادله صفر شود، هواپیما نسبت به سیستم مختصات چگونه قرار می گیرد.

A طول قطعه قطع شده توسط صفحه روی محور است گاو نر. به همین ترتیب، می توان نشان داد که بو ج- طول قطعات بریده شده توسط صفحه مورد نظر بر روی محورها اوهو اوز.

استفاده از معادله یک صفحه در قطعات برای ساخت صفحات راحت است.

7.1. تعریف محصول متقاطع

سه بردار غیرهمسطح a، b و c که به ترتیب نشان داده شده گرفته شده اند، یک سه گانه سمت راست را تشکیل می دهند اگر از انتهای بردار سوم c، کوتاه ترین چرخش از بردار اول a به بردار دوم b دیده شود. در خلاف جهت عقربه های ساعت باشد و اگر در جهت عقربه های ساعت باشد یک سه قلو چپ گرد باشد (شکل 16 را ببینید).

حاصلضرب بردار a و بردار b را بردار c می نامند که:

1. عمود بر بردارهای a و b یعنی c ^ a و c ^ ب

2. دارای طول عددی برابر با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای a وبهمانطور که در طرفین (نگاه کنید به شکل 17)، i.e.

3. بردارهای a، b و c یک سه گانه راست را تشکیل می دهند.

حاصل ضرب متقاطع a x b یا [a,b] نشان داده می شود. روابط زیر بین بردارهای واحد من مستقیماً از تعریف حاصلضرب بردار تبعیت می کند. jو ک(شکل 18 را ببینید):

i x j = k، j x k = i، k x i = j.
مثلاً این را ثابت کنیم i xj = k.

1) k ^ i، k ^ j ;

2) |k |=1، اما | من x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) بردارهای i، j و کیک سه گانه راست تشکیل دهید (شکل 16 را ببینید).

7.2. خواص یک محصول متقاطع

1. هنگام تنظیم مجدد فاکتورها، محصول برداری علامت تغییر می کند، i.e. و xb =(b xa) (شکل 19 را ببینید).

بردارهای a xb و b xa هم خط هستند، دارای ماژول های یکسان هستند (مساحت متوازی الاضلاع بدون تغییر باقی می ماند)، اما جهت مخالف هستند (سه برابر a، b، a xb و a، b، b x a با جهت مخالف). به این معنا که axb = -(b xa).

2. حاصلضرب برداری نسبت به ضریب اسکالر خاصیت ترکیبی دارد، یعنی l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

اجازه دهید l > 0. بردار l (a xb) بر بردارهای a و b عمود است. بردار ( لتبر بهمچنین بر بردارهای a و عمود است ب(بردارهای a، لاما در همان هواپیما دراز بکشید). این بدان معنی است که بردارها ل(axb) و ( لتبر بخطی بدیهی است که جهت آنها منطبق است. طول آنها یکسان است:

از همین رو ل(a xb)= لیک xb به روشی مشابه برای ل<0.

3. دو بردار غیر صفر a و بخطی هستند اگر و فقط اگر حاصلضرب بردار آنها برابر بردار صفر باشد، یعنی a ||b<=>و xb = 0.

به طور خاص، i *i =j *j =k *k =0 .

4. محصول برداری دارای خاصیت توزیع است:

(الف + ب) xc = یک xc + ب xs.

بدون مدرک می پذیریم.

7.3. بیان حاصل ضربدر بر حسب مختصات

ما از جدول حاصل ضرب بردار i استفاده خواهیم کرد، jو ک:

اگر جهت کوتاه ترین مسیر از بردار اول به بردار دوم با جهت فلش منطبق باشد، اگر بردار سوم مطابقت نداشته باشد، بردار سوم با علامت منفی گرفته می شود.

بگذارید دو بردار a =a x i +a y داده شود j+a z کو b =b x من+b y j+b z ک. بیایید حاصل ضرب برداری این بردارها را با ضرب آنها به صورت چند جمله ای (با توجه به ویژگی های حاصلضرب بردار) پیدا کنیم:

فرمول حاصل را می توان حتی به طور خلاصه تر نوشت:

از آنجایی که سمت راست برابری (7.1) با بسط تعیین کننده مرتبه سوم از نظر عناصر ردیف اول مطابقت دارد، تساوی (7.2) آسان است.

7.4. برخی از کاربردهای محصول متقابل

ایجاد هم خطی بردارها

پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع و مثلث

با توجه به تعریف حاصلضرب برداری بردارها آو ب | یک xb | =|a | * |b |sin g، یعنی S جفت = |a x b |. و بنابراین، D S = 1/2|a x b |.

تعیین لحظه نیرو در مورد یک نقطه

بگذارید نیرویی در نقطه A اعمال شود F =ABرهایش کن در باره- نقطه ای در فضا (نگاه کنید به شکل 20).

از علم فیزیک معلوم است که لحظه نیرو اف نسبت به نقطه در بارهبردار نامیده می شود م،که از نقطه عبور می کند در بارهو:

1) عمود بر صفحه ای که از نقاط عبور می کند O, A, B;

2) عددی برابر حاصل ضرب نیرو در هر بازو

3) با بردارهای OA و A B یک ثلاث راست تشکیل می دهد.

بنابراین، M = OA x F.

یافتن سرعت چرخش خطی

سرعت vنقطه M یک جسم صلب که با سرعت زاویه ای می چرخد wحول یک محور ثابت، با فرمول اویلر v =w xr تعیین می شود، جایی که r = OM، جایی که O نقطه ثابت محور است (شکل 21 را ببینید).