Formulazione dell'equazione generale della dinamica. Dinamica analitica. Equazione fondamentale della dinamica

È facile dimostrare che tutti i tipi di collegamenti normalmente considerati nei problemi di meccanica - una superficie liscia, una filettatura ideale, cerniere, un cuscinetto reggispinta, una guarnizione cieca - sono ideali. L'imperfezione dei collegamenti è spesso dovuta alla presenza di attriti radenti o volventi. In questo caso, la parte della reazione di connessione per la quale viene violata l'idealità viene formalmente trasferita alla categoria delle forze attive ed è specificata nella condizione o definita nel problema. In futuro considereremo proprio tali sistemi meccanici, cioè sistemi con connessioni ideali o con connessioni che possono essere trasferite nella categoria degli ideali utilizzando la tecnica descritta. Per tali sistemi ha senso formulare una posizione che abbia anche la forma di un assioma, combinando la II legge di Newton, il principio di indipendenza dell'azione delle forze (più precisamente, la regola del parallelogramma), il principio di liberazione dai vincoli e il principio di idealità dei legami. Questa posizione è chiamata diversamente nella letteratura sulla meccanica: Principio d'Alembert-Lagrange, equazione variazionale generale della meccanica, equazione generale della dinamica ecc. L'applicazione di questo principio per derivare altre disposizioni e teoremi della meccanica teorica dà un vantaggio significativo e sarà da noi utilizzato costantemente.

Ogni punto di un sistema meccanico può interagire con altri punti e corpi di un dato sistema meccanico, con punti e corpi che non gli appartengono, nonché con connessioni interne ed esterne. Combiniamo tutte le forze di reazione su cui agiscono i legami indicati io punto MC, in una forza, secondo la regola del parallelogramma, sommandoli a coppie. Facciamo lo stesso con le forze attive, otteniamo forza. Utilizzando la 2a legge di Newton scriviamo le equazioni del moto dei punti del sistema

, i=1,2,…,N. (5.1)

Per applicare la condizione di idealità dei legami è necessario risolvere queste equazioni rispetto alle reazioni dei legami e sostituire le espressioni risultanti nella (4.8). Questo dà

.

Per una formulazione più comoda di questo principio, invertiamo i termini tra parentesi. Misurare

avendo la dimensione della forza, in meccanica si è soliti chiamarla Forza d'inerzia di D'Alembert di un punto o semplicemente forza d'inerzia puntuale. Poi

in ogni momento durante il movimento di un sistema meccanico con connessioni di tenuta ideali, la somma del lavoro virtuale delle forze attive e delle forze inerziali è uguale a zero

O (5.2)

Forze generalizzate . Sia data un'espressione data esplicitamente o implicitamente per i vettori del raggio dei punti del sistema in termini di coordinate generalizzate e tempo T

, io=1,2,…,N. (5.3)

Applichiamo l'operazione di variazione isocrona all'espressione (7.1), che consiste nel prendere il differenziale di una funzione di più variabili, assumendo che il tempo sia fisso. Otteniamo

Sostituiamo questa espressione nella formula del lavoro virtuale io-esima forza attiva e sommare questi lavori in tutti i punti del sistema. Otteniamo

.

Riorganizziamo i termini in questa espressione e cambiamo l'ordine di somma, otteniamo

Qui , k=1,2,…,s(5.6)

e c'è forza generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata con il numero k. Così, forza generalizzata può essere definito come

coefficiente che precede la variazione della coordinata generalizzata nell'espressione del funzionamento virtuale del sistema.

Dalle espressioni (5.5) e (5.6) si possono ottenere due modi di calcolare le forze generalizzate. Uno - direttamente per definizione, il secondo - secondo la formula (5.6), se vengono fornite proiezioni di forze e dipendenze analitiche delle coordinate dei loro punti di applicazione su quelle generalizzate (5.4). In futuro considereremo più in dettaglio come calcolare le forze generalizzate. Per scopi immediati ci bastano l'espressione (5.6) e questa definizione. Sottolineiamo che la forza generalizzata, a differenza di quella usuale, è una quantità scalare e viene chiamata così solo perché l'espressione (5.3) assomiglia nella forma all'espressione per il lavoro virtuale della forza

Dal lato destro di questa formula è chiaro che avrebbe senso parlare di forze generalizzate come proiezioni delle forze del sistema su coordinate generalizzate.

Esattamente allo stesso modo possiamo scrivere l’espressione della forza inerziale generalizzata sostituendo nella (7.4) la forza inerziale al posto della forza attiva

, k=1,2,…,s. (5.7)

Equazione generale della meccanica in coordinate generalizzate. Sulla base della (5.5), scriviamo l'espressione del lavoro virtuale delle forze attive e delle forze inerziali del sistema meccanico e la equiparamo a zero secondo la (5.2)

da qui, a causa dell'indipendenza delle variazioni delle coordinate generalizzate l'uno dall'altro, come è il caso sistemi olonomi, Dovrebbe S equazioni

o in altra forma che ricorda la II legge di Newton (3.10)

Queste equazioni sono le equazioni che descrivono il comportamento dinamico di un sistema meccanico con vincoli olonomi. Possono essere utilizzati direttamente per derivare le equazioni del moto. La difficoltà principale qui è ottenere espressioni per le forze di inerzia ridotte, che possono essere determinate utilizzando le formule (5.7). In futuro, verrà mostrato come sia possibile costruire algoritmi di computer algebra per automatizzare la costruzione di equazioni del moto per una classe abbastanza ampia di sistemi meccanici basati sulle equazioni (5.6)-(5.8). Tuttavia, per la derivazione “manuale” delle equazioni del moto, è preferibile utilizzare le equazioni di Lagrange del secondo genere, che si ottengono dalla (5.8) esprimendo le forze di inerzia generalizzate (5.7) attraverso l'energia cinetica delle sistema.

Lezione 6. Equazioni di Lagrange del secondo tipo.

Troviamo il termine con il numero io sul lato destro della (5.7), utilizzando le espressioni (5.3).

.

Qui vengono utilizzate due identità di Lagrange

, .

Dopo la somma otteniamo la forza d'inerzia generalizzata

.

Ecco il valore , dov'è la velocità io All'esimo punto c'è, ovviamente, l'energia cinetica del sistema meccanico.

Finalmente otteniamo

, k=1,2,...,s, (6.1)

Dove S- numero di gradi di libertà, - energia cinetica, , , - coordinata generalizzata, velocità generalizzata e forza attiva generalizzata con il numero di serie di un dato sistema meccanico.

La compilazione delle equazioni del moto nella forma (6.1) si riduce all'esecuzione di una serie di azioni formali

· selezionare coordinate generalizzate - parametri di qualsiasi natura geometrica o fisica che determinano in modo univoco la posizione del sistema in qualsiasi momento;

· scrivere l'espressione dell'energia cinetica del sistema sotto forma di somma delle energie cinetiche di punti e corpi del sistema attraverso parametri inerziali (massa di punti e corpi, momenti di inerzia dei corpi) e coordinate e velocità generalizzate ;

· ottenere le espressioni per le derivate dell'energia cinetica incluse nel membro sinistro della (6.1);

· scrivere l'espressione del lavoro virtuale delle forze del sistema al variare di ciascuna coordinata generalizzata, i coefficienti prima della variazione della corrispondente coordinata generalizzata danno la formula della forza generalizzata corrispondente a questa coordinata generalizzata.

Per applicare nella pratica le equazioni di Lagrange del secondo tipo ottenute, è necessario ottenere formule di lavoro per il calcolo del lavoro virtuale e dell'energia cinetica del sistema, che a sua volta richiede la comprensione delle caratteristiche inerziali dei sistemi e dei corpi meccanici.

Calcolo delle forze generalizzate. Esistono tre modi per calcolare le forze generalizzate.

Primo modo comporta il calcolo diretto dei coefficienti per variazioni di coordinate generalizzate nell'espressione del lavoro virtuale. In questo caso è più conveniente variare non tutte le coordinate generalizzate contemporaneamente, ma una alla volta. Si scrive un'espressione per il lavoro sullo spostamento virtuale del sistema, corrispondente alla variazione di una sola coordinata generalizzata, ad esempio, con numero k- come somma algebrica del lavoro virtuale delle forze attive applicate a corpi e punti del sistema meccanico . Quindi, togliendo tra parentesi il fattore comune: la variazione della coordinata generalizzata, otteniamo un'espressione per la forza generalizzata

Per un sistema con più gradi di libertà, tale operazione dovrebbe essere eseguita tante volte quante sono le coordinate generalizzate.

Secondo modo si basa su dipendenze di tipo (5.3), specificate esplicitamente. Quindi le forze generalizzate sono determinate dall'espressione (5.6)

, k=1,2,…,s.

Terza via si basa sulla conoscenza dell'energia potenziale del sistema in funzione delle coordinate dei suoi punti. Sostituendo in essa le espressioni (5.3), otteniamo la dipendenza dell'energia potenziale dalle coordinate generalizzate , e il lavoro virtuale sarà

Confrontando i coefficienti per le stesse variazioni, troviamo

È chiaro che è meglio costruire immediatamente, se possibile, una funzione dell'energia potenziale del sistema da coordinate generalizzate .

Un esempio di compilazione di equazioni di Lagrange del secondo tipo. Trovare l'accelerazione di una trave che si muove lungo dei rulli su un piano inclinato formando un angolo un= 30 0 con un piano orizzontale (Fig. 6.1). Peso del legname kg, le masse dei rulli cilindrici sono le stesse e ammontano a kg. Il coefficiente di attrito volvente di ciascun rullo è M e il raggio cm.

Soluzione. Il sistema meccanico, costituito da una trave e due rulli, ha un grado di libertà. Scegliamo come coordinata generalizzata il movimento della trave lungo il piano inclinato. Successivamente la sua variazione (movimento virtuale della trave lungo il piano inclinato verso il basso) sarà indenominata con .

Troviamo l'energia cinetica del sistema, tenendo conto che le energie cinetiche dei rulli sono le stesse.

Ecco l'energia cinetica di una trave in movimento progressivo:

.

Energia cinetica dei rulli, che troviamo utilizzando la formula per il moto piano parallelo di un corpo rigido

,

dove è la velocità dei centri di massa dei rulli, è la velocità angolare di rotolamento dei rulli, è il momento di inerzia del rullo rispetto al proprio centro, dove è il raggio del rullo. .

Dove troviamo la forza generalizzata come coefficiente prima della variazione della coordinata generalizzata

. (6.3)

Sostituendo (8.2) e (8.3) nelle equazioni (5.1), otteniamo

SM 2 . (6.4)

Pertanto, il raggio si sposterà uniformemente verso il basso con un'accelerazione di 4,95 m/s 2.

Note. Di solito causa qualche difficoltà nell'interpretazione del segno del risultato, che si ottiene cambiando la direzione del movimento virtuale mostrato in Fig. 6.1 con una freccia tratteggiata. La direzione del movimento del sistema è spesso sconosciuta in anticipo. In questo caso possiamo variare “a caso”, poiché il movimento virtuale non deve essere necessariamente legato al movimento reale, quindi abbiamo il diritto di indirizzarlo ovunque. Diciamo che nel problema precedente diamo movimento virtuale lungo la freccia tratteggiata. In questo caso, il lato sinistro delle equazioni (6.2) non cambia e, quando si calcola il lato destro, nella (6.3) apparirà un segno "-" nel lavoro della gravità e un segno "+" nel lavoro di rotolamento attrito. Di conseguenza, il segno "-" entrerà nella formula per il risultato: accelerazione del raggio (6.4). Ciò, ovviamente, non indicherà che il raggio si sta muovendo lentamente. Infatti, quando calcoliamo la forza generalizzata attraverso il lavoro virtuale, in realtà scriviamo le proiezioni delle forze del sistema sulla direzione del movimento virtuale. Pertanto, il risultato dato dalla formula (6.4) deve essere interpretato come una proiezione del vettore accelerazione generalizzato della trave su questa direzione. Pertanto, concludiamo che la trave si sposterà verso il basso con un'accelerazione costante di 4,95 SM 2 .

Se sono presenti forze di attrito, queste devono essere dirette secondo la direzione del movimento effettivo. La variazione delle coordinate non può sempre essere associata al movimento effettivo. In questo caso possono apparire espressioni del lavoro virtuale delle forze di attrito con il segno “+”, come nell'esempio considerato quando la trave viene spostata virtualmente lungo la freccia tratteggiata. Da un punto di vista formale, questo non dovrebbe creare confusione, poiché lo è virtuale, UN non valido lavoro. Un'altra cosa è che, spesso, senza risolvere completamente il problema, non conosciamo la direzione dei movimenti effettivi dei punti e, quindi, le direzioni delle forze di attrito. In questo caso, potrebbe essere necessario risolvere diversi problemi, facendo diverse ipotesi sulla direzione di queste forze. E dobbiamo prendere una decisione logicamente giustificata. Talvolta è possibile tenere conto analiticamente dei segni delle proiezioni delle forze di attrito, collegandoli con i valori algebrici delle velocità dei corpi e dei punti corrispondenti.

In base al principio di d'Alembert valgono le seguenti uguaglianze:

dov'è la forza attiva; – reazione delle connessioni; – forza d'inerzia del punto (Fig. 3.36).

Moltiplicando scalarmente ciascuna delle relazioni (3.45) per l'eventuale spostamento del punto e sommando su tutti i punti del sistema, otteniamo

(3.46)

L'uguaglianza (3.46) è un'equazione generale della dinamica per un sistema meccanico con qualsiasi connessione. Se i collegamenti sono ideali, allora e l'espressione (3.46) assume una delle forme:

Equazione generale della dinamica (principio unificato di d'Alembert-Lagrange).In ogni momento del movimento di un sistema con connessioni ideali, la somma dei lavori elementari di tutte le forze attive e delle forze d'inerzia dei punti del sistema è uguale a zero in ogni possibile movimento del sistema.

Coordinate generalizzate

Lascia che il sistema sia composto da N punti e la sua posizione è determinata da 3 N coordinate dei punti del sistema (Fig. 3.37). imposto al sistema l

connessioni olonome bidirezionali, le cui equazioni S=1,2,…,l.

Quindi 3 N coordinate collegate l saranno equazioni e coordinate indipendenti N=3N-l.

COME N coordinate indipendenti, è possibile selezionare qualsiasi parametro indipendente

Vengono richiamati parametri indipendenti che determinano in modo univoco la posizione del sistema coordinate generalizzate del sistema.

Riso. 3.37

In generale sono funzioni delle coordinate cartesiane dei punti del sistema:

È possibile esprimere le coordinate cartesiane in termini di coordinate generalizzate:

Per il raggio vettore di ciascun punto del sistema otteniamo

Se le connessioni sono stazionarie, il tempo non entrerà esplicitamente nella (3.47). Per le connessioni olonome, il vettore del possibile movimento di un punto può essere espresso nella forma:

Se le connessioni sono olonome, allora il numero di movimenti (o variazioni) possibili indipendenti coincide con il numero di coordinate generalizzate indipendenti. Quindi, il numero di gradi di libertà di un sistema olonomico è uguale al numero di coordinate generalizzate indipendenti di questo sistema, cioè N=3N-l.

Per i sistemi anolonomi, nel caso generale, il numero di variazioni indipendenti (possibili spostamenti) è inferiore al numero di coordinate generalizzate. Pertanto, anche il numero di gradi di libertà di un sistema anolonomo, pari al numero di spostamenti indipendenti possibili, è inferiore al numero di coordinate generalizzate del sistema.

Le derivate delle coordinate generalizzate rispetto al tempo sono chiamate velocità generalizzate e sono indicate

Forze generalizzate

Riso. 3.38

Definizione di forze generalizzate. Consideriamo un sistema olonomico da N punti materiali, avendo N gradi di libertà e sotto l’influenza di un sistema di forze (Fig. 3.38). La posizione del sistema è determinata N coordinate generalizzate quelli.

Vettore di movimento possibile –

(3.48)

Calcoliamo la somma dei lavori elementari delle forze agenti sul sistema sul possibile spostamento del sistema:

(3.49)

Sostituendo la (3.48) nella (3.49) e cambiando l'ordine di sommatoria, otteniamo

(3.50)

Quantità scalare è detta forza generalizzata relativa alla coordinata generalizzata q i.

Dimensione della forza generalizzata. Dalla formula (3.50) si ottiene la dimensione della forza generalizzata [ Q]=[UN]/[Q]. Se la coordinata generalizzata ha la dimensione della lunghezza, allora la forza generalizzata ha la dimensione della forza [N], ma se la coordinata generalizzata è un angolo (dimensione - 1), allora la forza generalizzata ha la dimensione del momento della forza [ N×m].

Calcolo delle forze generalizzate. 1. La forza generalizzata può essere calcolata utilizzando la formula che la determina:

Dove F kx,Fix,F kz– proiezioni di forza sugli assi coordinati; xk,sì sì,zk– coordinate del punto di applicazione della forza

2. Le forze generalizzate sono coefficienti per le corrispondenti variazioni delle coordinate generalizzate nell'espressione per il lavoro elementare (3.50):

3. Se al sistema viene comunicato un possibile movimento tale che cambia solo una coordinata generalizzata q j allora dalla (3.52) abbiamo

Indice q io al numeratore indica che la somma del lavoro è calcolata su un possibile movimento durante il quale cambia (varia) solo la coordinata q io.

4. Per le forze potenziali:

(3.53)

dove è la funzione forza.

Dall'espressione (3.51), tenendo conto delle uguaglianze (3.53), segue che

Così,

dove è l’energia potenziale del sistema.

3.5.6. Equazione generale della dinamica nelle forze generalizzate.
Condizioni per l'equilibrio delle forze

Equazione della dinamica generale (3.50)

Il vettore del possibile movimento secondo la (3.48) è uguale a

Tenendo conto di questa espressione, si forma l'equazione generale della dinamica

Trasformiamolo cambiando l'ordine di sommatoria

(3.54)

Qui – forza generalizzata delle forze attive corrispondenti alla coordinata generalizzata q io; – forza d'inerzia generalizzata corrispondente alla coordinata generalizzata q io.Quindi l'equazione (3.54) assume la forma

Gli incrementi delle coordinate generalizzate sono arbitrari e indipendenti l'uno dall'altro. Pertanto, i loro coefficienti nell'ultima equazione devono essere uguali a zero:

(3.55)

Queste equazioni sono equivalenti all'equazione generale della dinamica.

Se le forze agenti su un sistema meccanico sono pari a zero, cioè Se un sistema meccanico si muove uniformemente lungo una linea retta o mantiene uno stato di quiete, allora le forze d'inerzia dei suoi punti sono pari a zero. Di conseguenza, le forze di inerzia generalizzate del sistema sono pari a zero , allora le equazioni (3.55) assumono la forma

(3.56)

Le uguaglianze (3.56) esprimono le condizioni per l'equilibrio delle forze in forze generalizzate.

Nel caso delle forze conservatrici

Di conseguenza, le condizioni di equilibrio di un sistema conservativo di forze hanno la forma

L'equazione generale della dinamica per un sistema con qualsiasi connessione (principio combinato di D'Alembert-Lagrange O equazione generale della meccanica):

dove è la forza attiva applicata al punto th del sistema; – forza di reazione dei legami; – forza d'inerzia puntuale; – possibile movimento.

Nel caso di equilibrio del sistema, quando tutte le forze inerziali dei punti del sistema si annullano, si trasforma nel principio dei possibili spostamenti. Di solito viene utilizzato per sistemi con connessioni ideali, per i quali la condizione è soddisfatta

In questo caso (229) assume una delle forme:

,

,

. (230)

Così, secondo l'equazione generale della dinamica, in ogni momento del movimento di un sistema con connessioni ideali, la somma dei lavori elementari di tutte le forze attive e delle forze di inerzia dei punti del sistema è uguale a zero in ogni possibile movimento del sistema consentito dalle connessioni.

L'equazione generale della dinamica può avere altre forme equivalenti. Espandendo il prodotto scalare dei vettori, può essere espresso come

dove sono le coordinate del-esimo punto del sistema. Considerando che le proiezioni delle forze d'inerzia sugli assi coordinati attraverso le proiezioni delle accelerazioni su tali assi sono espresse dalle relazioni

,

all'equazione generale della dinamica può essere data la forma

In questa forma si chiama equazione generale della dinamica in forma analitica.

Quando si utilizza l'equazione generale della dinamica è necessario poter calcolare il lavoro elementare delle forze d'inerzia del sistema sugli eventuali spostamenti. Per fare ciò, applicare le formule corrispondenti al lavoro elementare ottenute per le forze ordinarie. Consideriamo la loro applicazione alle forze d'inerzia di un corpo rigido in casi particolari del suo moto.

Durante il movimento in avanti. In questo caso il corpo ha tre gradi di libertà e, a causa dei vincoli imposti, può compiere solo movimenti traslatori. Anche i possibili movimenti del corpo che consentono le connessioni sono traslazionali.

Le forze d'inerzia durante il movimento traslatorio sono ridotte alla risultante . Per la somma dei lavori elementari delle forze d'inerzia sul possibile movimento traslatorio di un corpo, otteniamo

dov'è il possibile spostamento del centro di massa e di qualsiasi punto del corpo, poiché lo spostamento possibile traslazionale di tutti i punti del corpo è lo stesso: anche le accelerazioni sono le stesse, cioè

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso. Il corpo in questo caso ha un grado di libertà. Può ruotare attorno ad un asse fisso. Il possibile movimento consentito dai collegamenti sovrapposti è anch'esso una rotazione del corpo di un angolo elementare attorno ad un asse fisso.

Le forze d'inerzia ridotte ad un punto sull'asse di rotazione sono ridotte al vettore principale e al momento principale. Il vettore principale delle forze d'inerzia è applicato ad un punto fisso e il suo lavoro elementare sul possibile spostamento è zero. Per il momento principale delle forze d'inerzia, il lavoro elementare diverso da zero verrà eseguito solo mediante la sua proiezione sull'asse di rotazione. Quindi, per la somma del lavoro delle forze d'inerzia sul possibile spostamento in esame abbiamo

,

se l'angolo è riportato nella direzione della freccia dell'arco di accelerazione angolare.

In movimento piatto. In questo caso i vincoli imposti al corpo rigido consentono solo possibili movimenti planari. Nel caso generale consiste in un eventuale movimento di traslazione insieme ad un polo, per il quale si sceglie il centro di massa, e in una rotazione di un angolo elementare attorno ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al piano parallelo al quale il corpo può compiere movimenti piani.

Introduzione

La cinematica si occupa della descrizione dei tipi più semplici di movimenti meccanici. In questo caso non sono state toccate le ragioni che causano cambiamenti nella posizione del corpo rispetto ad altri corpi e il sistema di riferimento è stato scelto per ragioni di comodità nella risoluzione di un particolare problema. Nella dinamica, interessano innanzitutto i motivi per cui alcuni corpi iniziano a muoversi rispetto ad altri corpi, nonché i fattori che causano la comparsa di accelerazione. Tuttavia, le leggi della meccanica, in senso stretto, hanno forme diverse in diversi sistemi di riferimento. È stato stabilito che esistono sistemi di riferimento in cui le leggi e i modelli non dipendono dalla scelta del sistema di riferimento. Tali sistemi di riferimento sono chiamati sistemi inerziali(ISO). In questi sistemi di riferimento, l'entità dell'accelerazione dipende solo dalle forze agenti e non dipende dalla scelta del sistema di riferimento. Il sistema di riferimento inerziale è sistema di riferimento eliocentrico, la cui origine è al centro del Sole. Anche i sistemi di riferimento che si muovono uniformemente rettilineamente rispetto al sistema inerziale sono inerziali, e i sistemi di riferimento che si muovono con accelerazione rispetto al sistema inerziale sono non inerziale. Per questi motivi la superficie terrestre è, in senso stretto, un sistema di riferimento non inerziale. In molti problemi il sistema di riferimento associato alla Terra può essere considerato inerziale con un buon grado di accuratezza.

Leggi fondamentali della dinamica inerziale e non inerziale

Sistemi di riferimento

Si chiama ISO la capacità di un corpo di mantenere uno stato di moto rettilineo uniforme o di essere in quiete inerzia del corpo. La misura dell'inerzia del corpo è peso. La massa è una quantità scalare, misurata in chilogrammi (kg) nel sistema SI. La misura dell'interazione è una quantità chiamata con la forza. La forza è una quantità vettoriale, misurata in Newton (N) nel sistema SI.

La prima legge di Newton. Nei sistemi di riferimento inerziali un punto si muove uniformemente lungo una linea retta oppure è fermo se la somma di tutte le forze agenti su di esso è pari a zero, ovvero:

dove sono le forze che agiscono su un dato punto.

Seconda legge di Newton. Nei sistemi inerziali un corpo si muove con accelerazione se la somma di tutte le forze che agiscono su di esso non è uguale a zero e il prodotto della massa del corpo per la sua accelerazione è uguale alla somma di queste forze, cioè:

La terza legge di Newton. Le forze con cui i corpi agiscono tra loro sono uguali in grandezza e opposte in direzione, cioè: .

Le forze, come misure di interazione, nascono sempre in coppia.

Per risolvere con successo la maggior parte dei problemi utilizzando le leggi di Newton, è necessario aderire a una determinata sequenza di azioni (una sorta di algoritmo).

Punti principali dell'algoritmo.

1. Analizzare la condizione del problema e scoprire con quali organi interagisce l'organismo in questione. Sulla base di ciò, determinare la quantità di forze che agiscono sul corpo in questione. Supponiamo che il numero di forze che agiscono sul corpo sia pari a . Quindi realizzare un disegno schematicamente corretto su cui tracciare tutte le forze che agiscono sul corpo.

2. Utilizzando la condizione del problema, determinare la direzione dell'accelerazione del corpo in questione e rappresentare il vettore dell'accelerazione nella figura.

3. Scrivi la seconda legge di Newton in forma vettoriale, ovvero:

Dove forze che agiscono sul corpo.

4. Selezionare un sistema di riferimento inerziale. Disegna nella figura un sistema di coordinate cartesiane rettangolare, il cui asse OX è diretto lungo il vettore accelerazione, gli assi OY e OZ sono diretti perpendicolari all'asse OX.

5. Utilizzando la proprietà di base delle uguaglianze vettoriali, scrivere la seconda legge di Newton per le proiezioni dei vettori sugli assi delle coordinate, ovvero:

6. Se in un problema, oltre alle forze e alle accelerazioni, è necessario determinare le coordinate e la velocità, allora, oltre alla seconda legge di Newton, è necessario utilizzare anche le equazioni cinematiche del movimento. Dopo aver scritto un sistema di equazioni, è necessario prestare attenzione al fatto che il numero di equazioni è uguale al numero di incognite in questo problema.

Consideriamo un sistema di riferimento non inerziale che ruota con una velocità angolare costante attorno ad un asse che si muove traslatoriamente con una velocità relativa al sistema inerziale. In questo caso, l'accelerazione di un punto nel sistema di riferimento inerziale () è legata all'accelerazione nel sistema di riferimento non inerziale () dalla relazione:

dove è l'accelerazione del sistema non inerziale rispetto al sistema inerziale, la velocità lineare di un punto nel sistema non inerziale. Dall'ultima relazione, al posto dell'accelerazione, sostituiamo nell'uguaglianza (1), otteniamo l'espressione:

Questo rapporto è chiamato Seconda legge di Newton in un sistema di riferimento non inerziale.

Forze d'inerzia. Introduciamo la seguente notazione:

1. – forza d'inerzia anteriore;

2. – Forza di Coriolis;

3 – forza d'inerzia centrifuga.

Nei problemi, la forza d'inerzia traslazionale è rappresentata rispetto al vettore dall'accelerazione del movimento traslatorio di un sistema di riferimento non inerziale (), la forza d'inerzia centrifuga è rappresentata dal centro di rotazione lungo il raggio (); la direzione della forza di Coriolis è determinata dalla regola succhiello per il prodotto vettoriale di vettori.

A rigor di termini, le forze inerziali non sono forze nel senso pieno del termine, perché Per loro non vale la terza legge di Newton, cioè non sono accoppiati.

Poteri

La forza di gravità universale. La forza di gravitazione universale nasce nel processo di interazione tra corpi con massa e si calcola dalla relazione:

. (4)

Si chiama il coefficiente di proporzionalità costante gravitazionale. Il suo valore nel sistema SI è uguale a .

Il potere della reazione. Le forze di reazione sorgono quando un corpo interagisce con varie strutture che limitano la sua posizione nello spazio. Ad esempio, un corpo sospeso su un filo subisce l'azione di una forza di reazione, solitamente chiamata forza tensione. La forza di tensione del filo è sempre diretta lungo il filo. Non esiste una formula per calcolarne il valore. Di solito il suo valore si trova dalla prima o dalla seconda legge di Newton. Le forze di reazione includono anche le forze che agiscono su una particella su una superficie liscia. La chiamano forza di reazione normale, denotare . La forza di reazione è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie in esame. Viene chiamata una forza che agisce su una superficie liscia dal lato del corpo forza di pressione normale(). Secondo la terza legge di Newton, la forza di reazione è uguale in grandezza alla forza della pressione normale, ma i vettori di queste forze hanno direzione opposta.

Forza elastica. Le forze elastiche si formano nei corpi se i corpi sono deformati, cioè se la forma del corpo o il suo volume vengono modificati. Quando la deformazione cessa, le forze elastiche scompaiono. Va notato che, sebbene durante la deformazione dei corpi si verifichino forze elastiche, la deformazione non sempre porta alla comparsa di forze elastiche. Le forze elastiche sorgono nei corpi che sono in grado di ripristinare la loro forma dopo la cessazione dell'influenza esterna. Tali corpi e le corrispondenti deformazioni vengono chiamati elastico. Con la deformazione plastica, i cambiamenti non scompaiono completamente dopo la cessazione dell'influenza esterna. Un esempio lampante della manifestazione delle forze elastiche possono essere le forze che si presentano nelle molle soggette a deformazione. Per le deformazioni elastiche che si verificano in corpi deformati, la forza elastica è sempre proporzionale all'entità della deformazione, ovvero:

, (5)

dove è il coefficiente di elasticità (o rigidezza) della molla, il vettore di deformazione della molla.

Questa affermazione si chiama La legge di Hooke.

Forza di attrito. Quando un corpo si muove lungo la superficie di un altro, sorgono forze che impediscono questo movimento. Tali forze vengono solitamente chiamate forze di attrito radente. L'entità della forza di attrito statico può variare a seconda della forza esterna applicata. Ad un certo valore della forza esterna, la forza di attrito statico raggiunge il suo valore massimo. Successivamente, il corpo inizia a scivolare. È stato stabilito sperimentalmente che la forza di attrito radente è direttamente proporzionale alla forza di pressione normale del corpo sulla superficie. Secondo la terza legge di Newton, la forza di pressione normale di un corpo su una superficie è sempre uguale alla forza di reazione con cui la superficie stessa agisce su un corpo in movimento. Tenendo conto di ciò, la formula per calcolare l'entità della forza di attrito radente ha la forma:

, (6)

dov'è l'entità della forza di reazione; coefficiente di attrito radente. La forza di attrito radente che agisce su un corpo in movimento è sempre diretta contro la sua velocità, lungo le superfici in contatto.

Il potere della resistenza. Quando i corpi si muovono nei liquidi e nei gas, si verificano anche forze di attrito, ma differiscono significativamente dalle forze di attrito a secco. Queste forze sono chiamate forze di attrito viscoso, O forze di resistenza. Le forze di attrito viscoso si verificano solo durante il movimento relativo dei corpi. Le forze di resistenza dipendono da molti fattori, vale a dire: dalla dimensione e dalla forma dei corpi, dalle proprietà del mezzo (densità, viscosità), dalla velocità del movimento relativo. A basse velocità la forza di trascinamento è direttamente proporzionale alla velocità del corpo rispetto al mezzo, ovvero:

. (7)

Alle alte velocità la forza di trascinamento è proporzionale al quadrato della velocità del corpo rispetto al mezzo, ovvero:

, (8)

dove sono alcuni coefficienti di proporzionalità, chiamati coefficienti di resistenza.

Equazione fondamentale della dinamica

L’equazione fondamentale della dinamica di un punto materiale non è altro che un’espressione matematica della seconda legge di Newton:

. (9)

In un sistema di riferimento inerziale, la somma di tutte le forze include solo le forze che sono misure delle interazioni; nei sistemi non inerziali, la somma delle forze include le forze inerziali;

Da un punto di vista matematico la relazione (9) è un'equazione differenziale del moto di un punto in forma vettoriale. La sua soluzione è il problema principale della dinamica di un punto materiale.

Esempi di risoluzione dei problemi

Compito n. 1. Un bicchiere è posto su un foglio di carta. Con quale accelerazione bisogna mettere in moto il foglio per poterlo estrarre da sotto il vetro, se il coefficiente di attrito tra il vetro e il foglio di carta è 0,3?

Supponiamo che agendo su un foglio di carta una certa forza, il vetro si muova insieme al foglio. Descriviamo separatamente le forze che agiscono su un vetro con massa . Sul vetro agiscono i seguenti corpi: la Terra con la forza di gravità, un foglio di carta con una forza di reazione, un foglio di carta con una forza di attrito diretta lungo la velocità di movimento del vetro. Il movimento del vetro è uniformemente accelerato, pertanto il vettore accelerazione è diretto lungo la velocità di movimento del vetro.

Rappresentiamo il vettore accelerazione del vetro nella figura. Scriviamo in forma vettoriale la seconda legge di Newton per le forze che agiscono sul vetro:

.

Dirigiamo l'asse OX lungo il vettore accelerazione del vetro e l'asse OY ¾ verticalmente verso l'alto. Scriviamo la seconda legge di Newton in proiezioni su questi assi coordinati e otteniamo le seguenti equazioni:

(1.1)

All’aumentare della forza che agisce sul foglio di carta, aumenta l’entità della forza di attrito con cui il foglio di carta agisce sul vetro. Ad un certo valore della forza, l'entità della forza di attrito raggiunge il suo valore massimo, pari in grandezza alla forza di attrito radente. Da questo momento il vetro comincia a scorrere rispetto alla superficie della carta. Il valore limite della forza di attrito è correlato alla forza di reazione che agisce sul vetro come segue:

Dall'uguaglianza (1.2) esprimiamo l'entità della forza di reazione, quindi la sostituiamo nell'ultima relazione, abbiamo . Dalla relazione risultante troviamo l'entità della forza di attrito e la mettiamo in uguaglianza (1.1), otteniamo un'espressione per determinare l'accelerazione massima del vetro:

Sostituendo i valori numerici delle quantità nell'ultima uguaglianza, troviamo il valore dell'accelerazione massima del vetro:

.

Il valore di accelerazione risultante del vetro è pari all'accelerazione minima di un foglio di carta alla quale può essere “estratto” da sotto il vetro.

Risposta: .

Descriviamo tutte le forze che agiscono sul corpo. Oltre alla forza esterna, sul corpo agisce la Terra con la forza di gravità, una superficie orizzontale con una forza di reazione e una forza di attrito diretta contro la velocità del corpo. Il corpo si muove con accelerazione uniforme e, pertanto, il suo vettore accelerazione è diretto lungo la velocità del movimento. Rappresentiamo il vettore nella figura. Selezioniamo il sistema di coordinate come mostrato in figura. Scriviamo la seconda legge di Newton in forma vettoriale:

.

Usando la proprietà principale delle uguaglianze vettoriali, scriviamo le equazioni per le proiezioni dei vettori inclusi nell'ultima uguaglianza vettoriale:

Scriviamo la relazione per la forza di attrito radente

Dall'uguaglianza (2.2) troviamo l'entità della forza di reazione

Dall'espressione risultante, sostituendo nell'uguaglianza (2.3) al posto dell'entità della forza di reazione, otteniamo l'espressione

Sostituendo nell'uguaglianza (2.1) l'espressione risultante della forza di attrito, avremo una formula per calcolare l'accelerazione del corpo:

Sostituiamo i dati numerici nel sistema SI nell'ultima formula e troviamo l'entità dell'accelerazione del carico:

Risposta: .

Per l'entità minima della forza, determiniamo la direzione della forza di attrito che agisce sul blocco appoggiato. Immaginiamo che la forza sia inferiore alla forza minima sufficiente affinché il corpo rimanga a riposo. In questo caso, il corpo si muoverà verso il basso e la forza di attrito applicata ad esso sarà diretta verticalmente verso l'alto. Per fermare il corpo, è necessario aumentare l'entità della forza applicata. Inoltre, su questo corpo agisce la Terra con una forza di gravità diretta verticalmente verso il basso, nonché un muro con una forza di reazione diretta orizzontalmente verso sinistra. Descriviamo nella figura tutte le forze che agiscono sul corpo. Prendiamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolare, i cui assi saranno diretti come mostrato in figura. Per un corpo a riposo, scriviamo la prima legge di Newton in forma vettoriale:

.

Per l'uguaglianza del vettore trovato, scriviamo le uguaglianze per le proiezioni dei vettori sugli assi delle coordinate, otteniamo le seguenti equazioni:

Ad un valore minimo della forza esterna, l'entità della forza di attrito statico raggiunge un valore massimo pari all'entità della forza di attrito radente:

Dall'uguaglianza (3.1) troviamo l'entità della forza di reazione e la sostituiamo nell'uguaglianza (3.3), otteniamo la seguente espressione per la forza di attrito:

.

Sostituiamo il lato destro di questa relazione al posto della forza di attrito nell'uguaglianza (3.2) e otteniamo una formula per calcolare l'entità della forza applicata:

Dall'ultima formula troviamo l'entità della forza:

.

Risposta: .

Rappresentiamo tutte le forze che agiscono su una palla che si muove verticalmente verso il basso nell'aria. Su di esso agisce la Terra con la forza di gravità e l'aria con la forza di resistenza. Rappresentiamo le forze considerate in figura. Nell'istante iniziale, la risultante di tutte le forze ha un valore massimo, poiché la velocità della palla è zero e anche la forza di resistenza è zero. In questo momento la palla ha un'accelerazione massima pari a . Man mano che la palla si muove, la sua velocità aumenta e, di conseguenza, aumenta la forza della resistenza dell'aria. Ad un certo punto nel tempo, la forza di resistenza raggiunge un valore pari alla forza di gravità. Da questo momento la palla si muove uniformemente. Scriviamo la prima legge di Newton in forma vettoriale per il moto uniforme di una palla:

.

Dirigiamo l'asse OY verticalmente verso il basso. Per questa uguaglianza dei vettori, scriviamo l'uguaglianza per le proiezioni dei vettori sull'asse OY:

. (4.1)

La forza di resistenza dipende dall'area della sezione trasversale della palla e dall'entità della sua velocità come segue:

, (4.2)

dove è il coefficiente di proporzionalità, detto coefficiente di resistenza.

Dalle uguaglianze (4.1) e (4.2) segue la seguente relazione:

. (4.3)

Esprimiamo la massa della palla attraverso la sua densità e volume, e il volume, a sua volta, attraverso il raggio della palla:

. (4.4)

Da questa espressione troviamo la massa e la sostituiamo nell'uguaglianza (4.3), otteniamo la seguente uguaglianza:

. (4.5)

Esprimiamo l'area della sezione trasversale della palla in termini di raggio:

Tenendo conto della relazione (4.6), l'uguaglianza (4.5) assumerà la seguente forma:

.

Indichiamo come il raggio della prima palla; come il raggio della seconda palla. Scriviamo le formule per le velocità di moto stazionario della prima e della seconda palla:

Dalle uguaglianze ottenute troviamo il rapporto di velocità:

.

Dalle condizioni del problema, il rapporto tra i raggi delle sfere è uguale a due. Usando questa condizione, troviamo il rapporto di velocità:

.

Risposta: .

Un corpo che si muove verso l'alto lungo un piano inclinato subisce l'azione dei corpi esterni: a) Terra con gravità diretta verticalmente verso il basso; b) un piano inclinato con una forza di reazione diretta perpendicolare al piano inclinato; c) un piano inclinato con una forza di attrito diretta contro il movimento del corpo; d) un corpo esterno con una forza diretta verso l'alto lungo il piano inclinato. Sotto l'influenza di queste forze, il corpo si muove uniformemente accelerato lungo il piano inclinato e, pertanto, il vettore accelerazione è diretto lungo il movimento del corpo. Rappresentiamo il vettore accelerazione nella figura. Scriviamo la seconda legge di Newton in forma vettoriale:

.

Scegliamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, il cui asse OX è diretto lungo l'accelerazione del corpo e l'asse OY è diretto perpendicolare al piano inclinato. Scriviamo la seconda legge di Newton in proiezioni su questi assi coordinati e otteniamo le seguenti equazioni:

La forza di attrito radente è legata alla forza di reazione dalla seguente relazione:

Dall'uguaglianza (5.2) troviamo l'entità della forza di reazione e la sostituiamo nell'uguaglianza (5.3), abbiamo la seguente espressione per la forza di attrito:

. (5.4)

Sostituendo il lato destro dell'uguaglianza (5.4) nell'uguaglianza (5.1) invece della forza di attrito, otteniamo la seguente equazione per calcolare l'entità della forza richiesta:

Calcoliamo l'entità della forza:

Risposta: .

Descriviamo tutte le forze che agiscono sui corpi e sul blocco. Consideriamo il processo di movimento dei corpi collegati da un filo gettato su un blocco. Il filo è leggero e inestensibile, quindi l'entità della forza di tensione su qualsiasi sezione del filo sarà la stessa, ad es. E .

Gli spostamenti dei corpi in qualsiasi periodo di tempo saranno gli stessi e, quindi, in qualsiasi momento i valori delle velocità e delle accelerazioni di questi corpi saranno gli stessi. Dal fatto che il blocco ruota senza attrito ed è privo di peso, ne consegue che la forza di tensione del filo su entrambi i lati del blocco sarà la stessa, cioè: .

Ciò implica l'uguaglianza delle forze di tensione del filo che agiscono sul primo e sul secondo corpo, vale a dire . Rappresentiamo nella figura i vettori di accelerazione del primo e del secondo corpo. Rappresentiamo due asce di BUE. Dirigiamo il primo asse lungo il vettore accelerazione del primo corpo, il secondo lungo il vettore accelerazione del secondo corpo. Scriviamo la seconda legge di Newton per ciascun corpo in proiezione su questi assi coordinati:

Considerando che , ed esprimendo dalla prima equazione, sostituiamo nella seconda equazione, otteniamo

Dall'ultima uguaglianza troviamo il valore dell'accelerazione:

.

Dall'uguaglianza (1) troviamo l'entità della forza di tensione:

Risposta: , .

Quando un piccolo anello ruota attorno ad un cerchio, su di esso agiscono due forze: la forza di gravità, diretta verticalmente verso il basso, e la forza di reazione, diretta verso il centro dell'anello. Rappresentiamo queste forze nella figura e mostriamo anche su di essa la traiettoria dell'anello. Il vettore accelerazione centripeta dell'anello giace nel piano della traiettoria ed è diretto verso l'asse di rotazione. Rappresentiamolo nella foto. Scriviamo la seconda legge di Newton in forma vettoriale per un anello rotante:

.

Scegliamo un sistema di coordinate rettangolare, il cui asse OX sarà diretto lungo l'accelerazione centripeta e l'asse OY - verticalmente verso l'alto lungo l'asse di rotazione. Scriviamo la seconda legge di Newton in proiezioni su questi assi coordinati:

Dall'uguaglianza (7.2) troviamo l'entità della forza di reazione e la sostituiamo nell'uguaglianza (7.1), otteniamo l'espressione:

. (7.3)

L'accelerazione centripeta è correlata alla velocità di rotazione come segue: , dove è il raggio di rotazione dell'anello piccolo. Sostituendo invece il membro destro dell'ultima uguaglianza nella formula (7.3), otteniamo la seguente relazione:

. (7.4)

Dalla figura troviamo il valore della tangente dell'angolo alfa . Tenendo conto di questa espressione, l’uguaglianza (7.4) assumerà la forma:

Dall'ultima equazione troviamo l'altezza richiesta:

Risposta: .

Su un corpo che ruota insieme al disco agiscono tre forze: gravità, forza di reazione e forza di attrito diretta verso l'asse di rotazione. Rappresentiamo tutte le forze nella figura. Mostriamo in questa figura la direzione del vettore accelerazione centripeta. Scriviamo la seconda legge di Newton in forma vettoriale:

.

Scegliamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolari come mostrato in figura. Scriviamo la seconda legge di Newton in proiezioni sugli assi coordinati:

; (8.1)

. (8.2)

Scriviamo la relazione per l'accelerazione centripeta:

. (8.3)

Sostituendo il lato destro dell'uguaglianza (8.3) invece dell'accelerazione centripeta nell'uguaglianza (8.1), otteniamo:

. (8.4)

Dall'uguaglianza (8.4) è chiaro che l'entità della forza di attrito è direttamente proporzionale al raggio di rotazione, quindi, all'aumentare del raggio di rotazione, la forza di attrito statico aumenta, e ad un certo valore la forza di attrito statico raggiunge un valore massimo pari alla forza di attrito radente ().

Tenendo conto dell'uguaglianza (8.2), otteniamo le espressioni per la massima forza di attrito statico:

.

Sostituendo il lato destro dell'uguaglianza risultante al posto della forza di attrito con l'uguaglianza (4), otteniamo la seguente relazione:

Da questa equazione troviamo il valore limite del raggio di rotazione:

Risposta: .

Durante il volo di una goccia su di essa agiscono due forze: la gravità e la forza di trascinamento. Rappresentiamo tutte le forze nella figura. Scegliamo un asse OY diretto verticalmente, la cui origine sarà situata sulla superficie della Terra. Scriviamo l'equazione base della dinamica:

.

Proiettando l'uguaglianza sull'asse OY, avremo la seguente relazione:

Dividiamo entrambi i lati dell'ultima uguaglianza per e moltiplichiamo contemporaneamente entrambi i lati per , tenendo conto di , otteniamo l'espressione:

Dividiamo entrambi i lati di questa espressione per , otteniamo la relazione:

.

Integriamo quest'ultima relazione e otteniamo la dipendenza della velocità dal tempo: .

Troviamo la costante dalle condizioni iniziali ( ), otteniamo la dipendenza desiderata della velocità dal tempo:

.

Determiniamo la velocità massima dalla condizione :

.

Risposta: ; .

Descriviamo nella figura le forze che agiscono sul disco. Scriviamo la seconda legge di Newton nelle proiezioni sugli assi OX, OY e OZ

Perché , quindi per tutta la traiettoria del moto della rondella vale la formula della forza di attrito, che, tenendo conto dell’uguaglianza per OZ, si trasforma nella forma:

Tenendo conto di questa relazione, assumerà la forma l'uguaglianza per l'asse OX

Proiettiamo la seconda legge di Newton sulla tangente alla traiettoria del disco nel punto considerato e otteniamo la relazione:

dove è il modulo dell'accelerazione tangenziale. Confrontando i membri di destra delle ultime uguaglianze, concludiamo che .

Poiché e , quindi tenendo conto della relazione precedente abbiamo l'uguaglianza , la cui integrazione porta all'espressione , dove è la costante di integrazione. Sostituiamo nell'ultima espressione , otteniamo la dipendenza della velocità dall'angolo:

Determiniamo la costante dalle condizioni iniziali (when . ). Tenendo conto di ciò, annotiamo la dipendenza finale

.

Il valore minimo di velocità si ottiene quando , e il vettore velocità è diretto parallelamente all'asse OX e il suo valore è uguale a .

Dinamica:
Meccanica analitica
§ 47. Equazione generale della dinamica

Problemi con soluzioni

47.1 Tre pesi di massa M sono collegati ciascuno da un filo inestensibile lanciato attraverso un blocco stazionario A. Due pesi giacciono su un piano orizzontale liscio, e il terzo peso è sospeso verticalmente. Determinare l'accelerazione del sistema e la tensione del filo nella sezione ab. Trascurare la massa del filo e bloccare.
SOLUZIONE

47.2 Risolvi il problema precedente tenendo conto della massa del blocco, assumendo che quando i carichi si muovono, il blocco A ruota attorno ad un asse fisso. La massa di un blocco di un disco solido omogeneo è 2M.
SOLUZIONE

47.3 Due masse M1 e M2 sono sospese a due fili flessibili inestensibili, avvolti, come indicato in figura, su tamburi aventi raggi r1 e r2 e montati su un asse comune; i carichi si muovono sotto l'influenza della gravità. Determinare l'accelerazione angolare ε dei tamburi, trascurando le loro masse e la massa dei fili.
SOLUZIONE

47.4 Considerato il problema precedente, determinare l'accelerazione angolare ε e la tensione T1 e T2 dei fili, tenendo conto delle masse dei tamburi, con i seguenti dati: M1=20 kg, M2=34 kg, r1=5 cm, r2=10 cm; pesi del fusto: piccolo 4 kg e grande 8 kg. Le masse dei tamburi si considerano distribuite uniformemente sulle loro superfici esterne.
SOLUZIONE

47.5 Al sistema a blocchi mostrato in figura sono sospesi i seguenti pesi: M1 di massa 10 kg e M2 di massa 8 kg. Determinare l'accelerazione w2 del carico M2 e la tensione del filo, trascurando le masse dei blocchi.
SOLUZIONE

47.6 Una coppia M viene applicata alla puleggia inferiore C di un ascensore. Determinare l'accelerazione di un carico A di massa M1 sollevato verso l'alto se la massa del contrappeso B è uguale a M2 e delle pulegge C e D di raggio r e massa. M3 sono ciascuno cilindri omogenei. Trascurare la massa della cintura.
SOLUZIONE

47.7 L'albero del cabestano di un meccanismo per spostare carichi di raggio r è azionato da una coppia costante M applicata alla maniglia AB. Determinare l'accelerazione di un carico C di massa m se il coefficiente di attrito radente del carico su un piano orizzontale è pari a f. Trascurare la massa della fune e del cabestano.
SOLUZIONE

47.8 Risolvi il problema precedente tenendo conto della massa di un argano, il cui momento d'inerzia attorno all'asse di rotazione è pari a J.
SOLUZIONE

47.9 Un carico A di massa M1, discendendo lungo un piano liscio inclinato formato un angolo α rispetto all'orizzontale, fa ruotare il tamburo B di massa M2 e raggio r attraverso un filo inestensibile. Determina l'accelerazione angolare del tamburo se consideriamo il tamburo come un cilindro rotondo uniforme. Trascurare la massa del blocco stazionario C e del filo.
SOLUZIONE

47.10 Una persona spinge un carrello applicandogli una forza orizzontale F. Determina l'accelerazione del corpo del carrello se la massa del corpo è M1, M2 è la massa di ciascuna delle quattro ruote, r è il raggio delle ruote. fк è il coefficiente di attrito volvente. Le ruote sono considerate dischi rotondi solidi che rotolano su rotaie senza scivolare.
SOLUZIONE

47.11 Il rullo A di massa M1, rotolando verso il basso senza scorrere lungo un piano inclinato, solleva il carico C di massa M2 per mezzo di un filo inestensibile gettato sul blocco B. In questo caso il blocco B ruota attorno ad un asse fisso O, perpendicolare al suo piano. Il rullo A e il blocco B sono dischi rotondi omogenei con la stessa massa e raggio. Un piano inclinato forma un angolo α con l'orizzontale. Determinare l'accelerazione dell'asse del rullo. Trascurare la massa del filo.
SOLUZIONE

47.12 Un carico B di massa M1 mette in movimento un rullo cilindrico A di massa M2 e raggio r mediante un filo avvolto attorno al rullo. Determinare l'accelerazione del carico B se il rullo rotola senza strisciare e il coefficiente di attrito volvente è pari a fк. Trascurare la massa del blocco D.
SOLUZIONE

47.13 L'asta DE di massa M1 poggia su tre rulli A, B e C di massa M2 ciascuno. Una forza F viene applicata all'asta orizzontalmente verso destra, provocando il movimento dell'asta e dei rulli. Non c'è scorrimento tra l'asta ed i rulli, così come tra i rulli ed il piano orizzontale. Trova l'accelerazione dell'asta DE. I rulli sono considerati cilindri rotondi omogenei.
SOLUZIONE

47.14 Determina l'accelerazione del carico M2, considerata nel problema 47.5, tenendo conto della massa dei blocchi di dischi solidi omogenei di massa 4 kg ciascuno.
SOLUZIONE

47.15 Il carico A di massa M1, cadendo, per mezzo di un filo inestensibile lanciato attraverso un blocco fisso D e avvolto sulla puleggia B, fa rotolare l'albero C senza scorrere lungo una rotaia orizzontale. La puleggia B di raggio R è montata rigidamente sull'albero C di raggio r; la loro massa totale è pari a M2, e il raggio di rotazione relativo all'asse O, perpendicolare al piano della figura, è pari a ρ. Trova l'accelerazione del carico A. Trascura la massa del filo e del blocco.
SOLUZIONE

47.16 Un regolatore centrifugo ruota attorno ad un asse verticale con una velocità angolare costante ω. Determinare l'angolo di deflessione delle maniglie OA e OB rispetto alla verticale, tenendo conto solo della massa M di ciascuna sfera e della massa M1 dell'accoppiamento C; tutte le aste hanno la stessa lunghezza l;
SOLUZIONE

47.17 Un regolatore centrifugo ruota con una velocità angolare costante ω. Trovare la relazione tra la velocità angolare del regolatore e l'angolo α di deflessione delle sue aste dalla verticale se il giunto di massa M1 viene premuto da una molla che si trova in uno stato indeformato in α = 0 ed è fissata all'estremità superiore all'asse del regolatore; le masse delle sfere sono pari a M2, la lunghezza delle aste è pari a l, gli assi di sospensione delle aste sono separati dall'asse del regolatore ad una distanza a; Trascurare le masse delle aste e delle molle. La costante elastica è c.
SOLUZIONE

47.18 Un regolatore a molla centrifuga è costituito da due masse A e B di massa M ciascuna, montate su un'asta di accoppiamento orizzontale liscia C di massa M1 fissata all'alberino del regolatore, aste di lunghezza l e molle che spingono le masse verso l'asse di rotazione; la distanza delle cerniere dell'asta dall'asse del mandrino è pari ad e; c coefficiente di rigidezza della molla. Determinare la velocità angolare del controller all'angolo di apertura α, se all'angolo α0, dove α0SOLUZIONE

47.19 Nel regolatore, quattro pesi di uguale massa M1 sono posti alle estremità di due leve a bracci uguali di lunghezza 2l, che possono ruotare nel piano del regolatore attorno all'estremità dell'albero O e formare un angolo variabile φ con la asse del mandrino. Nel punto A, situato dall'estremità dell'alberino O ad una distanza OA=a, sono imperniate le leve AB e AC di lunghezza a all'alberino, le quali nei punti B e C sono a loro volta articolate con aste BD e CD di lunghezza a, portante l'attacco D. Nei punti B e C sono presenti dei cursori che scorrono lungo i bracci portanti i pesi. La massa del giunto è M2. Il controller ruota ad una velocità angolare costante ω. Trova la relazione tra l'angolo e la velocità angolare ω nella posizione di equilibrio del controller.