7.1. Definizione di prodotto incrociato

Tre vettori non complanari a, b e c, presi nell'ordine indicato, formano una tripletta destrorsa se, dall'estremità del terzo vettore c, si vede il giro più breve dal primo vettore a al secondo vettore b essere in senso antiorario, e una terzina mancina se in senso orario (vedi Fig. 16).

Il prodotto vettoriale del vettore a e del vettore b è chiamato vettore c, che:

1. Perpendicolare ai vettori a e b, cioè c ^ a e c ^ B ;

2. Ha una lunghezza numericamente uguale all'area di un parallelogramma costruito sui vettori a eB come sui lati (vedi Fig. 17), cioè

3. I vettori a, b e c formano una terna destrorsa.

Il prodotto incrociato è indicato con a x b o [a,b]. Le seguenti relazioni tra i vettori unitari i seguono direttamente dalla definizione del prodotto vettoriale, J E K(vedi Fig. 18):

io x j = k, j x k = io, k x io = j.
Dimostriamolo, ad esempio io xj = k.

1) k ^ io, k ^ J ;

2) |k |=1, ma | io x j| = |i | |J | peccato(90°)=1;

3) vettori i, j e K formare una tripla destra (vedi Fig. 16).

7.2. Proprietà di un prodotto incrociato

1. Quando si riorganizzano i fattori, il prodotto vettoriale cambia segno, cioè e xb =(b xa) (vedi Fig. 19).

I vettori a xb e b xa sono collineari, hanno gli stessi moduli (l'area del parallelogramma rimane invariata), ma sono diretti in modo opposto (triple a, b, a xb e a, b, b x a di orientamento opposto). Questo è axb = -(b xa).

2. Il prodotto vettoriale ha una proprietà di combinazione rispetto al fattore scalare, cioè l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Sia l >0. Il vettore l (a xb) è perpendicolare ai vettori a e b. Vettore ( l ascia Bè anche perpendicolare ai vettori a e B(vettori a, l ma giacciono sullo stesso piano). Ciò significa che i vettori l(a xb) e ( l ascia B collineare. È ovvio che le loro direzioni coincidono. Hanno la stessa lunghezza:

Ecco perché l(axb)= l un xb. Si dimostra in modo simile per l<0.

3. Due vettori diversi da zero a e B sono collineari se e solo se il loro prodotto vettoriale è uguale al vettore zero, cioè a ||b<=>e xb = 0.

In particolare, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Il prodotto vettoriale ha la proprietà di distribuzione:

(a+b) xc = axc+ B xs.

Accetteremo senza prove.

7.3. Esprimere il prodotto vettoriale in termini di coordinate

Utilizzeremo la tabella dei prodotti incrociati dei vettori i, J ek:

se la direzione del percorso più breve dal primo vettore al secondo coincide con la direzione della freccia, allora il prodotto è uguale al terzo vettore; se non coincide, il terzo vettore viene preso con il segno meno.

Siano dati due vettori a = a x i + a y J+az K e b = b x io+a J+bz K. Troviamo il prodotto vettoriale di questi vettori moltiplicandoli come polinomi (secondo le proprietà del prodotto vettoriale):

La formula risultante può essere scritta ancora più brevemente:

poiché il lato destro dell'uguaglianza (7.1) corrisponde all'espansione del determinante del terzo ordine in termini di elementi della prima riga. L'uguaglianza (7.2) è facile da ricordare.

7.4. Alcune applicazioni del prodotto incrociato

Determinazione della collinearità dei vettori

Trovare l'area di un parallelogramma e di un triangolo

Secondo la definizione del prodotto vettoriale dei vettori UN e B |axb | =|a | * |b |sin g, cioè S coppie = |a x b |. E quindi D S =1/2|a x b |.

Determinazione del momento di forza attorno ad un punto

Applichiamo una forza nel punto A F=AB lasciarlo andare DI- qualche punto nello spazio (vedi Fig. 20).

Questo è noto dalla fisica momento di forza F rispetto al punto DI chiamato vettore M, che passa per il punto DI E:

1) perpendicolare al piano passante per i punti O, A, B;

2) numericamente uguale al prodotto della forza per braccio

3) forma una terna destra con i vettori OA e A B.

Pertanto, M = OA x F.

Trovare la velocità di rotazione lineare

Velocità v punto M di un corpo rigido rotante con velocità angolare w attorno ad un asse fisso, è determinato dalla formula di Eulero v =w xr, dove r =OM, dove O è un punto fisso dell'asse (vedi Fig. 21).

In questa lezione vedremo altre due operazioni con i vettori: prodotto vettoriale di vettori E prodotto misto di vettori (link immediato per chi ne avesse bisogno). Va bene, a volte capita che sia per la completa felicità, oltre a prodotto scalare di vettori, ne servono sempre di più. Questa è dipendenza dai vettori. Può sembrare che stiamo entrando nella giungla della geometria analitica. Questo è sbagliato. In questa sezione della matematica superiore generalmente c'è poco legno, tranne forse quanto basta per Pinocchio. In effetti, il materiale è molto comune e semplice, difficilmente più complicato dello stesso prodotto scalare, ci saranno anche meno compiti tipici. La cosa principale nella geometria analitica, come molti saranno convinti o sono già stati convinti, è NON FARE ERRORI NEI CALCOLI. Ripeti come un incantesimo e sarai felice =)

Se i vettori brillano da qualche parte lontano, come un fulmine all'orizzonte, non importa, inizia con la lezione Vettori per manichini ripristinare o riacquisire le conoscenze di base sui vettori. I lettori più preparati possono conoscere le informazioni in modo selettivo; ho cercato di raccogliere la raccolta più completa di esempi che si trovano spesso nel lavoro pratico

Cosa ti renderà felice subito? Quando ero piccolo, sapevo fare il giocoliere con due e anche tre palline. Ha funzionato bene. Ora non dovrai più destreggiarti, poiché considereremo solo vettori spaziali e i vettori piatti con due coordinate verranno omessi. Perché? È così che sono nate queste azioni: il vettore e il prodotto misto dei vettori sono definiti e funzionano nello spazio tridimensionale. È già più facile!

Questa operazione, proprio come il prodotto scalare, prevede due vettori. Lascia che queste siano lettere imperiture.

L'azione stessa denotato da nel seguente modo: . Ci sono altre opzioni, ma sono abituato a denotare il prodotto vettoriale dei vettori in questo modo, tra parentesi quadre con una croce.

E subito domanda: se dentro prodotto scalare di vettori sono coinvolti due vettori, e anche qui si moltiplicano due vettori qual è la differenza? La differenza evidente sta, innanzitutto, nel RISULTATO:

Il risultato del prodotto scalare dei vettori è NUMERO:

Il risultato del prodotto incrociato dei vettori è VETTORE: , cioè moltiplichiamo i vettori e otteniamo nuovamente un vettore. Circolo chiuso. In realtà è proprio da qui che deriva il nome dell'operazione. Nella diversa letteratura educativa, anche le designazioni possono variare; userò la lettera.

Definizione di prodotto incrociato

Prima ci sarà una definizione con un'immagine, poi i commenti.

Definizione: Prodotto vettoriale non collineare vettori, presi in quest'ordine, chiamato VETTORE, lunghezza che è numericamente uguale all'area del parallelogramma, costruito su questi vettori; vettore ortogonale ai vettori, ed è diretto in modo che la base abbia un giusto orientamento:

Analizziamo la definizione, ci sono molte cose interessanti qui!

Si possono quindi evidenziare i seguenti punti significativi:

1) I vettori originari, indicati dalle frecce rosse, per definizione non collineare. Sarà opportuno considerare più avanti il ​​caso dei vettori collineari.

2) Vengono presi i vettori in un ordine rigorosamente definito: – "a" si moltiplica per "be", e non “essere” con “a”. Il risultato della moltiplicazione dei vettoriè VETTORE, indicato in blu. Se si moltiplicano i vettori in ordine inverso, si ottiene un vettore uguale in lunghezza e opposto in direzione (colore lampone). Cioè, l'uguaglianza è vera .

3) Ora conosciamo il significato geometrico del prodotto vettoriale. Questo è un punto molto importante! La LUNGHEZZA del vettore blu (e, quindi, del vettore cremisi) è numericamente uguale all'AREA del parallelogramma costruito sui vettori. Nella figura, questo parallelogramma è ombreggiato in nero.

Nota : il disegno è schematico e, naturalmente, la lunghezza nominale del prodotto vettoriale non è uguale all'area del parallelogramma.

Ricordiamo una delle formule geometriche: L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra loro. Pertanto, in base a quanto sopra, vale la formula per calcolare la LUNGHEZZA di un prodotto vettoriale:

Sottolineo che la formula riguarda la LUNGHEZZA del vettore e non il vettore stesso. Qual è il significato pratico? E il significato è che nei problemi di geometria analitica, l'area di un parallelogramma si trova spesso attraverso il concetto di prodotto vettoriale:

Prendiamo la seconda formula importante. La diagonale di un parallelogramma (linea tratteggiata rossa) lo divide in due triangoli uguali. Pertanto, l'area di un triangolo costruito su vettori (ombreggiatura rossa) può essere trovata utilizzando la formula:

4) Un fatto altrettanto importante è che il vettore è ortogonale ai vettori, cioè . Naturalmente, anche il vettore diretto in direzione opposta (freccia lampone) è ortogonale ai vettori originali.

5) Il vettore è diretto in questo modo base Esso ha Giusto orientamento. Nella lezione su transizione verso una nuova base Ne ho parlato in modo sufficientemente dettagliato orientamento del piano, e ora scopriremo qual è l'orientamento spaziale. Te lo spiegherò con le dita mano destra. Combina mentalmente indice con vettore e dito medio con vettore. Anulare e mignolo premilo nel palmo della mano. Di conseguenza pollice– verrà visualizzato il prodotto vettoriale. Questa è una base orientata a destra (è questa nella figura). Ora cambia i vettori ( indice e medio) in alcuni punti, di conseguenza il pollice si girerà e il prodotto vettoriale guarderà già in basso. Anche questa è una base orientata a destra. Potresti avere una domanda: quale base ha lasciato l'orientamento? "Assegna" alle stesse dita mano sinistra vettori e ottenere la base sinistra e l'orientamento sinistro dello spazio (in questo caso il pollice si troverà nella direzione del vettore inferiore). In senso figurato, queste basi “torcono” o orientano lo spazio in direzioni diverse. E questo concetto non dovrebbe essere considerato qualcosa di inverosimile o astratto - ad esempio, l'orientamento dello spazio viene cambiato dallo specchio più comune, e se "tiri fuori l'oggetto riflesso dallo specchio", allora nel caso generale non sarà possibile abbinarlo all'“originale”. A proposito, avvicina tre dita allo specchio e analizza il riflesso ;-)

...quanto è bello che tu ora lo sappia orientato a destra e a sinistra basi, perché le dichiarazioni di alcuni docenti sul cambiamento di orientamento fanno paura =)

Prodotto vettoriale di vettori collineari

La definizione è stata discussa in dettaglio, resta da vedere cosa succede quando i vettori sono collineari. Se i vettori sono collineari, possono essere posizionati su una linea retta e anche il nostro parallelogramma si “aggiunge” in una linea retta. L'area di tale, come dicono i matematici, degenerare il parallelogramma è uguale a zero. Lo stesso segue dalla formula: il seno di zero o 180 gradi è uguale a zero, il che significa che l'area è zero

Quindi, se , allora E . Si noti che il prodotto vettoriale stesso è uguale al vettore zero, ma in pratica questo viene spesso trascurato e viene scritto che è anche uguale a zero.

Un caso speciale è il prodotto incrociato di un vettore con se stesso:

Usando il prodotto vettoriale, puoi verificare la collinearità dei vettori tridimensionali e analizzeremo anche questo problema, tra gli altri.

Per risolvere esempi pratici di cui potresti aver bisogno tavola trigonometrica per trovare da esso i valori dei seni.

Bene, accendiamo il fuoco:

Esempio 1

a) Trovare la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori se

b) Trova l'area di un parallelogramma costruito su vettori se

Soluzione: No, non è un errore di battitura, ho volutamente reso uguali i dati iniziali nelle clausole. Perché il design delle soluzioni sarà diverso!

a) In base alle condizioni, è necessario trovare lunghezza vettore (prodotto incrociato). Secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Poiché la domanda riguardava la lunghezza, nella risposta indichiamo la dimensione: unità.

b) In base alle condizioni, è necessario trovare piazza parallelogramma costruito su vettori. L'area di questo parallelogramma è numericamente uguale alla lunghezza del prodotto vettoriale:

Risposta:

Tieni presente che la risposta non parla affatto del prodotto vettoriale che ci è stato chiesto; zona della figura, di conseguenza, la dimensione è di unità quadrate.

Guardiamo sempre COSA dobbiamo trovare in base alla condizione e, in base a questo, formuliamo chiaro risposta. Può sembrare letterale, ma tra loro ci sono moltissimi insegnanti letterali e il compito ha buone probabilità di essere restituito per la revisione. Anche se questo non è un cavillo particolarmente inverosimile, se la risposta è sbagliata, si ha l'impressione che la persona non capisca le cose semplici e/o non abbia compreso l'essenza del compito. Questo punto deve essere sempre tenuto sotto controllo quando si risolve qualsiasi problema di matematica superiore, ma anche di altre materie.

Dov'è finita la lettera maiuscola "en"? In linea di principio si sarebbe potuto allegare anche alla soluzione, ma per abbreviare la voce non l'ho fatto. Spero che tutti lo capiscano e che sia una designazione per la stessa cosa.

Un esempio popolare di soluzione fai da te:

Esempio 2

Trova l'area di un triangolo costruito su vettori se

La formula per trovare l'area di un triangolo tramite il prodotto vettoriale è riportata nei commenti alla definizione. La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.

In pratica, il compito è davvero molto comune, i triangoli generalmente possono tormentarti;

Per risolvere altri problemi avremo bisogno di:

Proprietà del prodotto vettoriale di vettori

Abbiamo già considerato alcune proprietà del prodotto vettoriale, tuttavia le includerò in questo elenco.

Per vettori arbitrari e un numero arbitrario, sono vere le seguenti proprietà:

1) In altre fonti di informazione questo elemento solitamente non è evidenziato nelle proprietà, ma è molto importante dal punto di vista pratico. Quindi lascia che sia.

2) – la proprietà è anche discussa sopra, a volte viene chiamata anticommutatività. In altre parole, l’ordine dei vettori è importante.

3) – associativo o associativo leggi sui prodotti vettoriali. Le costanti possono essere facilmente spostate all'esterno del prodotto vettoriale. Davvero, cosa dovrebbero fare lì?

4) – distribuzione o distributivo leggi sui prodotti vettoriali. Non ci sono problemi nemmeno con l'apertura delle parentesi.

Per dimostrarlo, diamo un'occhiata a un breve esempio:

Esempio 3

Trova se

Soluzione: La condizione richiede ancora una volta di trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. Dipingiamo la nostra miniatura:

(1) Secondo le leggi associative, escludiamo le costanti dall'ambito del prodotto vettoriale.

(2) Spostiamo la costante fuori dal modulo e il modulo “mangia” il segno meno. La lunghezza non può essere negativa.

(3) Il resto è chiaro.

Risposta:

È ora di aggiungere altra legna al fuoco:

Esempio 4

Calcola l'area di un triangolo costruito su vettori se

Soluzione: Trova l'area del triangolo utilizzando la formula . Il problema è che i vettori “tse” e “de” sono essi stessi presentati come somme di vettori. L'algoritmo qui è standard e ricorda in qualche modo gli esempi n. 3 e 4 della lezione Prodotto scalare di vettori. Per chiarezza divideremo la soluzione in tre fasi:

1) Nel primo passo esprimiamo il prodotto vettoriale attraverso il prodotto vettoriale, infatti, esprimiamo un vettore in termini di vettore. Nessuna parola ancora sulle lunghezze!

(1) Sostituisci le espressioni dei vettori.

(2) Usando le leggi distributive, apriamo le parentesi secondo la regola della moltiplicazione dei polinomi.

(3) Usando le leggi associative, spostiamo tutte le costanti oltre i prodotti vettoriali. Con un po' di esperienza, i passaggi 2 e 3 possono essere eseguiti contemporaneamente.

(4) Il primo e l'ultimo termine sono uguali a zero (vettore zero) per la proprietà nice. Nel secondo termine utilizziamo la proprietà di anticommutatività di un prodotto vettoriale:

(5) Presentiamo termini simili.

Di conseguenza, il vettore si è rivelato espresso attraverso un vettore, che è ciò che era necessario per ottenere:

2) Nel secondo passaggio troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale di cui abbiamo bisogno. Questa azione è simile all'esempio 3:

3) Trova l'area del triangolo richiesto:

Le fasi 2-3 della soluzione avrebbero potuto essere scritte in una riga.

Risposta:

Il problema considerato è abbastanza comune nei test, ecco un esempio per risolverlo da soli:

Esempio 5

Trova se

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione. Vediamo quanto sei stato attento nello studio degli esempi precedenti ;-)

Prodotto vettoriale di vettori in coordinate

, specificato in base ortonormale, espresso dalla formula:

La formula è davvero semplice: nella riga superiore del determinante scriviamo i vettori delle coordinate, nella seconda e terza riga “mettiamo” le coordinate dei vettori, e mettiamo in rigoroso ordine– prima le coordinate del vettore “ve”, poi le coordinate del vettore “doppia-ve”. Se i vettori devono essere moltiplicati in un ordine diverso, le righe devono essere invertite:

Esempio 10

Controlla se i seguenti vettori spaziali sono collineari:
UN)
B)

Soluzione: La verifica si basa su una delle affermazioni di questa lezione: se i vettori sono collineari, allora il loro prodotto vettoriale è uguale a zero (vettore zero): .

a) Trovare il prodotto vettoriale:

Pertanto i vettori non sono collineari.

b) Trovare il prodotto vettoriale:

Risposta: a) non collineare, b)

Ecco, forse, tutte le informazioni di base sul prodotto vettoriale dei vettori.

Questa sezione non sarà molto ampia, poiché sono pochi i problemi in cui viene utilizzato il prodotto misto di vettori. In effetti, tutto dipenderà dalla definizione, dal significato geometrico e da un paio di formule di lavoro.

Un prodotto misto di vettori è il prodotto di tre vettori:

Quindi si sono messi in fila come un treno e non vedono l’ora di essere identificati.

Prima, ancora una definizione e un'immagine:

Definizione: Lavoro misto non complanare vettori, presi in quest'ordine, chiamato volume del parallelepipedo, costruito su questi vettori, dotato di segno “+” se la base è destra, e di segno “–” se la base è sinistra.

Facciamo il disegno. Le linee invisibili a noi sono disegnate con linee tratteggiate:

Immergiamoci nella definizione:

2) Vengono presi i vettori in un certo ordine, cioè, la riorganizzazione dei vettori nel prodotto, come puoi immaginare, non avviene senza conseguenze.

3) Prima di commentare il significato geometrico, faccio notare un fatto ovvio: il prodotto misto di vettori è un NUMERO: . Nella letteratura educativa, il design potrebbe essere leggermente diverso; sono abituato a denotare un prodotto misto con e il risultato dei calcoli con la lettera "pe".

A-prior il prodotto miscelato è il volume del parallelepipedo, costruito su vettori (la figura è disegnata con vettori rossi e linee nere). Cioè il numero è uguale al volume di un dato parallelepipedo.

Nota : Il disegno è schematico.

4) Non preoccupiamoci ancora del concetto di orientamento della base e dello spazio. Il significato della parte finale è che è possibile aggiungere un segno meno al volume. In parole semplici, un prodotto misto può essere negativo: .

Direttamente dalla definizione segue la formula per calcolare il volume di un parallelepipedo costruito su vettori.

In questo articolo ci soffermeremo in dettaglio sul concetto di prodotto vettoriale di due vettori. Forniremo le definizioni necessarie, scriveremo una formula per trovare le coordinate di un prodotto vettoriale, elencheremo e giustificheremo le sue proprietà. Successivamente, ci soffermeremo sul significato geometrico del prodotto vettoriale di due vettori e considereremo le soluzioni di vari esempi tipici.

Navigazione della pagina.

Definizione di prodotto incrociato.

Prima di definire un prodotto vettoriale, comprendiamo l'orientamento di una terna ordinata di vettori nello spazio tridimensionale.

Tracciamo i vettori da un punto. A seconda della direzione del vettore, i tre possono essere destra o sinistra. Osserviamo dalla fine del vettore come avviene la svolta più breve dal vettore a . Se la rotazione più breve avviene in senso antiorario, viene chiamata la tripla dei vettori Giusto, Altrimenti - Sinistra.

Ora prendiamo due vettori non collineari e . Tracciamo i vettori e dal punto A. Costruiamo un vettore perpendicolare sia a che a . Ovviamente, quando costruiamo un vettore, possiamo fare due cose, dargli una direzione o quella opposta (vedi illustrazione).

A seconda della direzione del vettore, la tripletta ordinata di vettori può essere destrorsa o mancina.

Questo ci avvicina alla definizione di prodotto vettoriale. È dato per due vettori definiti in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale.

Definizione.

Il prodotto vettoriale di due vettori e , specificato in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale, è chiamato vettore tale che

Il prodotto incrociato dei vettori è indicato come .

Coordinate del prodotto vettoriale.

Ora daremo la seconda definizione di prodotto vettoriale, che consente di trovare le sue coordinate dalle coordinate di determinati vettori e.

Definizione.

In un sistema di coordinate rettangolare di spazio tridimensionale prodotto vettoriale di due vettori E è un vettore , dove sono i vettori delle coordinate.

Questa definizione ci dà il prodotto incrociato in forma di coordinate.

È conveniente rappresentare il prodotto vettoriale come determinante di una matrice quadrata del terzo ordine, la cui prima riga contiene i vettori, la seconda riga contiene le coordinate del vettore e la terza contiene le coordinate del vettore in un dato sistema di coordinate rettangolari:

Se espandiamo questo determinante negli elementi della prima riga, otteniamo l'uguaglianza dalla definizione del prodotto vettoriale in coordinate (se necessario, fare riferimento all'articolo):

Va notato che la forma delle coordinate del prodotto vettoriale è pienamente coerente con la definizione data nel primo paragrafo di questo articolo. Inoltre, queste due definizioni di prodotto incrociato sono equivalenti. Puoi vedere la prova di questo fatto nel libro elencato alla fine dell'articolo.

Proprietà di un prodotto vettoriale.

Poiché il prodotto vettoriale in coordinate può essere rappresentato come una determinante della matrice, su questa base si può facilmente giustificare quanto segue proprietà del prodotto incrociato:

Ad esempio, dimostriamo la proprietà anticommutativa di un prodotto vettoriale.

A-prior E . Sappiamo che il valore del determinante di una matrice si inverte se si scambiano due righe, quindi, , che dimostra la proprietà anticommutativa di un prodotto vettoriale.

Prodotto Vector: esempi e soluzioni.

Ci sono principalmente tre tipi di problemi.

Nei problemi del primo tipo vengono fornite le lunghezze di due vettori e l'angolo compreso tra loro, ed è necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. In questo caso viene utilizzata la formula .

Esempio.

Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori e , se nota .

Soluzione.

Sappiamo dalla definizione che la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori e è uguale al prodotto delle lunghezze dei vettori e al seno dell'angolo compreso tra loro, quindi, .

Risposta:

.

Problemi del secondo tipo sono legati alle coordinate dei vettori, in cui si cerca il prodotto vettoriale, la sua lunghezza o qualsiasi altra cosa attraverso le coordinate di dati vettori E .

Ci sono molte diverse opzioni possibili qui. Ad esempio, non è possibile specificare le coordinate dei vettori e, ma la loro espansione in vettori di coordinate del modulo e , o vettori e possono essere specificati tramite le coordinate dei loro punti iniziale e finale.

Diamo un'occhiata ad esempi tipici.

Esempio.

Due vettori sono dati in un sistema di coordinate rettangolare . Trova il loro prodotto incrociato.

Soluzione.

Secondo la seconda definizione, il prodotto vettoriale di due vettori in coordinate si scrive come:

Saremmo arrivati ​​allo stesso risultato se il prodotto vettoriale fosse stato scritto in termini del determinante

Risposta:

.

Esempio.

Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori e , dove sono i vettori unitari del sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Soluzione.

Per prima cosa troviamo le coordinate del prodotto vettoriale in un dato sistema di coordinate rettangolari.

Poiché i vettori e hanno coordinate e, rispettivamente (se necessario, vedere le coordinate dell'articolo di un vettore in un sistema di coordinate rettangolari), quindi con la seconda definizione di prodotto vettoriale abbiamo

Cioè, il prodotto vettoriale ha coordinate in un dato sistema di coordinate.

Troviamo la lunghezza di un prodotto vettoriale come radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate (abbiamo ottenuto questa formula per la lunghezza di un vettore nella sezione su come trovare la lunghezza di un vettore):

Risposta:

.

Esempio.

In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari vengono fornite le coordinate di tre punti. Trova un vettore che sia perpendicolare e allo stesso tempo.

Soluzione.

I vettori e hanno coordinate e rispettivamente (vedi l'articolo trovare le coordinate di un vettore attraverso le coordinate dei punti). Se troviamo il prodotto vettoriale dei vettori e , allora per definizione è un vettore perpendicolare sia a che a , cioè è una soluzione al nostro problema. Troviamolo

Risposta:

- uno dei vettori perpendicolari.

Nei problemi del terzo tipo viene messa alla prova l'abilità di utilizzare le proprietà del prodotto vettoriale dei vettori. Dopo aver applicato le proprietà, vengono applicate le formule corrispondenti.

Esempio.

I vettori e sono perpendicolari e le loro lunghezze sono rispettivamente 3 e 4. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale .

Soluzione.

Per la proprietà distributiva di un prodotto vettoriale, possiamo scrivere

A causa della proprietà combinatoria, togliamo i coefficienti numerici dal segno dei prodotti vettoriali nell'ultima espressione:

I prodotti vettoriali e sono uguali a zero, poiché E , Poi .

Poiché il prodotto vettoriale è anticommutativo, allora .

Quindi, sfruttando le proprietà del prodotto vettoriale, siamo arrivati ​​all'uguaglianza .

Per condizione, i vettori e sono perpendicolari, cioè l'angolo tra loro è uguale a . Cioè abbiamo tutti i dati per trovare la lunghezza richiesta

Risposta:

.

Significato geometrico di un prodotto vettoriale.

Per definizione, la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori è . E da un corso di geometria del liceo sappiamo che l'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto delle lunghezze dei due lati del triangolo e del seno dell'angolo compreso tra loro. Di conseguenza, la lunghezza del prodotto vettoriale è pari al doppio dell'area di un triangolo i cui lati sono i vettori e , se tracciati da un punto. In altre parole, la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori e è uguale all'area di un parallelogramma con i lati e e l'angolo compreso tra loro è uguale a . Questo è il significato geometrico del prodotto vettoriale.

Prima di dare il concetto di prodotto vettoriale, passiamo alla questione dell'orientamento di una terna ordinata di vettori a →, b →, c → nello spazio tridimensionale.

Per cominciare, mettiamo da parte i vettori a → , b → , c → da un punto. L'orientamento della tripla a → , b → , c → può essere destra o sinistra, a seconda della direzione del vettore c → stesso. Il tipo di tripla a → , b → , c → sarà determinata dalla direzione in cui viene effettuata la svolta più breve dal vettore a → a b → dalla fine del vettore c → .

Se il giro più breve viene eseguito in senso antiorario, allora si chiama la terna dei vettori a → , b → , c → Giusto, se in senso orario – Sinistra.

Successivamente, prendi due vettori non collineari a → e b →. Tracciamo quindi i vettori A B → = a → e A C → = b → dal punto A. Costruiamo un vettore A D → = c →, che sia contemporaneamente perpendicolare sia ad A B → che ad A C →. Pertanto, quando costruiamo il vettore stesso A D → = c →, possiamo farlo in due modi, dandogli una direzione o quella opposta (vedi illustrazione).

Una terna ordinata di vettori a → , b → , c → può essere, come abbiamo scoperto, destra o sinistra a seconda della direzione del vettore.

Da quanto sopra possiamo introdurre la definizione di prodotto vettoriale. Questa definizione è data per due vettori definiti in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale.

Definizione 1

Il prodotto vettoriale di due vettori a → e b → chiameremo tale vettore definito in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale tale che:

• se i vettori a → e b → sono collineari, sarà zero;
• sarà perpendicolare sia al vettore a → ​​​​ che al vettore b → cioè ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• la sua lunghezza è determinata dalla formula: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• la terna dei vettori a → , b → , c → ha lo stesso orientamento del sistema di coordinate dato.

Il prodotto vettoriale dei vettori a → e b → ha la seguente notazione: a → × b →.

Coordinate del prodotto vettoriale

Poiché ogni vettore ha determinate coordinate nel sistema di coordinate, possiamo introdurre una seconda definizione di prodotto vettoriale, che ci permetterà di trovare le sue coordinate utilizzando le coordinate date dei vettori.

Definizione 2

In un sistema di coordinate rettangolare di spazio tridimensionale prodotto vettoriale di due vettori a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) è chiamato vettore c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , dove i → , j → , k → sono vettori di coordinate.

Il prodotto vettoriale può essere rappresentato come il determinante di una matrice quadrata del terzo ordine, dove la prima riga contiene i vettori vettoriali i → , j → , k → , la seconda riga contiene le coordinate del vettore a → , e la terza riga contiene le coordinate del vettore b → in un dato sistema di coordinate rettangolari, questo è il determinante della matrice simile a questo: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Espandendo questo determinante negli elementi della prima riga, otteniamo l'uguaglianza: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietà di un prodotto incrociato

È noto che il prodotto vettoriale in coordinate è rappresentato come il determinante della matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , quindi sulla base proprietà del determinante della matrice vengono visualizzati i seguenti proprietà di un prodotto vettoriale:

1. anticommutatività a → × b → = - b → × a → ;
2. distributività a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → oppure a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associatività λ a → × b → = λ a → × b → o a → × (λ b →) = λ a → × b →, dove λ è un numero reale arbitrario.

Queste proprietà hanno dimostrazioni semplici.

Ad esempio, possiamo dimostrare la proprietà anticommutativa di un prodotto vettoriale.

Prova di anticommutatività

Per definizione, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z e b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . E se due righe della matrice vengono scambiate, il valore del determinante della matrice dovrebbe cambiare al contrario, quindi a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , che e dimostra che il prodotto vettoriale è anticommutativo.

Prodotto Vector: esempi e soluzioni

Nella maggior parte dei casi, ci sono tre tipi di problemi.

Nei problemi del primo tipo, solitamente vengono fornite le lunghezze di due vettori e l'angolo compreso tra loro, ed è necessario trovare la lunghezza del prodotto vettoriale. In questo caso, utilizzare la seguente formula c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Esempio 1

Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori a → e b →, se conosci a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Soluzione

Determinando la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori a → e b →, risolviamo questo problema: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Risposta: 15 2 2 .

I problemi del secondo tipo hanno una connessione con le coordinate dei vettori, in essi il prodotto vettoriale, la sua lunghezza, ecc. vengono cercati attraverso le coordinate note di determinati vettori un → = (un x; un y; un z) E b → = (b x ; b y ; b z) .

Per questo tipo di problema, puoi risolvere molte opzioni di attività. Ad esempio, non possono essere specificate le coordinate dei vettori a → e b →, ma la loro espansione in vettori di coordinate della forma b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → e c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, oppure i vettori a → e b → possono essere specificati mediante le coordinate del loro inizio e punti finali.

Considera i seguenti esempi.

Esempio 2

In un sistema di coordinate rettangolari sono dati due vettori: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Trova il loro prodotto incrociato.

Soluzione

Con la seconda definizione, troviamo il prodotto vettoriale di due vettori in coordinate date: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Se scriviamo il prodotto vettoriale attraverso il determinante della matrice, la soluzione di questo esempio sarà simile a questa: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Risposta: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Esempio 3

Trova la lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori i → - j → e i → + j → + k →, dove i →, j →, k → sono i vettori unitari del sistema di coordinate cartesiane rettangolari.

Soluzione

Innanzitutto, troviamo le coordinate di un dato prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → in un dato sistema di coordinate rettangolari.

È noto che i vettori i → - j → e i → + j → + k → hanno coordinate rispettivamente (1; - 1; 0) e (1; 1; 1). Troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale utilizzando il determinante della matrice, quindi abbiamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Pertanto, il prodotto vettoriale i → - j → × i → + j → + k → ha coordinate (- 1 ; - 1 ; 2) nel sistema di coordinate dato.

Troviamo la lunghezza del prodotto vettoriale utilizzando la formula (vedere la sezione sulla ricerca della lunghezza di un vettore): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Risposta: io → - j → × io → + j → + k → = 6 . .

Esempio 4

In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari vengono fornite le coordinate di tre punti A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Trova un vettore perpendicolare ad A B → e A C → contemporaneamente.

Soluzione

I vettori A B → e A C → hanno rispettivamente le seguenti coordinate (- 1 ; 2 ; 2) e (0 ; 4 ; 1). Avendo trovato il prodotto vettoriale dei vettori A B → e A C →, è ovvio che si tratta di un vettore perpendicolare per definizione sia ad A B → che ad A C →, cioè è una soluzione al nostro problema. Troviamolo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Risposta: - 6 i → + j → - 4 k → . - uno dei vettori perpendicolari.

I problemi del terzo tipo si concentrano sull'utilizzo delle proprietà del prodotto vettoriale dei vettori. Dopo aver applicato ciò, otterremo una soluzione al problema indicato.

Esempio 5

I vettori a → e b → sono perpendicolari e le loro lunghezze sono rispettivamente 3 e 4. Trova la lunghezza del prodotto vettoriale 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Soluzione

Per la proprietà distributiva di un prodotto vettoriale, possiamo scrivere 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Per la proprietà di associatività, togliamo i coefficienti numerici dal segno dei prodotti vettoriali nell'ultima espressione: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

I prodotti vettoriali a → × a → e b → × b → sono uguali a 0, poiché a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 e b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, allora 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Dall'anticommutatività del prodotto vettoriale segue - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Utilizzando le proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo l'uguaglianza 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Per condizione, i vettori a → e b → sono perpendicolari, cioè l'angolo tra loro è uguale a π 2. Ora non resta che sostituire i valori trovati nelle formule appropriate: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Risposta: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

La lunghezza del prodotto vettoriale dei vettori per definizione è uguale a a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Poiché è già noto (dal corso scolastico) che l'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto delle lunghezze dei suoi due lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra questi lati. Di conseguenza, la lunghezza del prodotto vettoriale è uguale all'area del parallelogramma - un triangolo doppio, ovvero il prodotto dei lati sotto forma di vettori a → e b →, stabiliti da un punto, dal seno di l'angolo tra loro sin ∠ a →, b →.

Questo è il significato geometrico di un prodotto vettoriale.

Significato fisico del prodotto vettoriale

In meccanica, una delle branche della fisica, grazie al prodotto vettoriale, è possibile determinare il momento di una forza rispetto ad un punto nello spazio.

Definizione 3

Per il momento della forza F → applicata al punto B, rispetto al punto A, comprenderemo il seguente prodotto vettoriale A B → × F →.

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PRODOTTO MISTO DI TRE VETTORI E SUE PROPRIETÀ

Lavoro misto tre vettori è chiamato un numero pari a . Designato . Qui i primi due vettori vengono moltiplicati vettorialmente e poi il vettore risultante viene moltiplicato scalarmente per il terzo vettore. Ovviamente, un prodotto del genere è un certo numero.

Consideriamo le proprietà di un prodotto misto.

1. Significato geometrico lavoro misto. Il prodotto misto di 3 vettori, fino a un segno, è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi vettori, come sugli spigoli, cioè .

   Così e .

   

   Prova. Lasciamo da parte i vettori dall'origine comune e su di essi costruiamo un parallelepipedo. Indichiamo e notiamo che . Per definizione di prodotto scalare

   Supponendo che e denotando con H trovare l'altezza del parallelepipedo.

   Quindi, quando

   Se, allora è così. Quindi, .

   Combinando entrambi questi casi, otteniamo o .

   Dalla dimostrazione di questa proprietà, in particolare, segue che se la terna di vettori è destrorsa, allora il prodotto misto è , e se è sinistrorso, allora .

2. Per qualsiasi vettore , , l'uguaglianza è vera

   La dimostrazione di questa proprietà segue dalla Proprietà 1. Infatti è facile dimostrare che e . Inoltre, i segni “+” e “–” vengono presi contemporaneamente, perché gli angoli tra i vettori e e e sono sia acuti che ottusi.

3. Quando due fattori qualsiasi vengono riorganizzati, il prodotto misto cambia segno.

   Infatti, se consideriamo un prodotto misto, allora, ad esempio, o

4. Un prodotto misto se e solo se uno dei fattori è uguale a zero o i vettori sono complanari.

   Prova.

   Pertanto, condizione necessaria e sufficiente per la complanarità di 3 vettori è che il loro prodotto misto sia pari a zero. Inoltre, ne consegue che tre vettori formano una base nello spazio se .

   Se i vettori sono dati in forma di coordinate, si può dimostrare che il loro prodotto misto si trova con la formula:

   .

   Pertanto, il prodotto misto è uguale al determinante del terzo ordine, che ha le coordinate del primo vettore nella prima riga, le coordinate del secondo vettore nella seconda riga e le coordinate del terzo vettore nella terza riga.

   Esempi.

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO

L'equazione F(x, y, z)= 0 definisce nello spazio Oxyz una certa superficie, ad es. luogo dei punti le cui coordinate x, y, z soddisfare questa equazione. Questa equazione è chiamata equazione della superficie e x, y, z– coordinate attuali.

Tuttavia, spesso la superficie non è specificata da un'equazione, ma come un insieme di punti nello spazio che hanno l'una o l'altra proprietà. In questo caso è necessario trovare l'equazione della superficie in base alle sue proprietà geometriche.

AEREO.

VETTORE PIANO NORMALE.

EQUAZIONE DI UN PIANO CHE PASSA PER UN PUNTO DATO

Consideriamo un piano arbitrario σ nello spazio. La sua posizione è determinata specificando un vettore perpendicolare a questo piano e un punto fisso M0(x0, e 0, z0), giacente nel piano σ.

Il vettore perpendicolare al piano si chiama σ normale vettore di questo piano. Supponiamo che il vettore abbia coordinate.

Deriviamo l'equazione del piano σ passante per questo punto M0 e avente un vettore normale. Per fare ciò, prendi un punto arbitrario sul piano σ M(x, y, z) e consideriamo il vettore.

Per qualsiasi punto MО σ è un vettore Pertanto il loro prodotto scalare è uguale a zero. Questa uguaglianza è la condizione che costituisce il punto MОσ. È valido per tutti i punti di questo piano e viene violato non appena il punto M sarà fuori dal piano σ.

Se indichiamo i punti con il raggio vettore M, – raggio vettore del punto M0, allora l'equazione può essere scritta nella forma

Questa equazione si chiama vettore equazione piana. Scriviamolo in forma coordinata. Da allora

Quindi, abbiamo ottenuto l'equazione del piano che passa per questo punto. Pertanto, per creare un'equazione del piano, è necessario conoscere le coordinate del vettore normale e le coordinate di un punto che giace sul piano.

Si noti che l'equazione del piano è un'equazione di 1° grado rispetto alle coordinate attuali x, y E z.

Esempi.

EQUAZIONE GENERALE DEL PIANO

Si può dimostrare che qualsiasi equazione di primo grado rispetto alle coordinate cartesiane x, y, z rappresenta l'equazione di un certo piano. Questa equazione è scritta come:

Ascia+Per+Cz+D=0

e viene chiamato equazione generale piano e le coordinate A, B, C ecco le coordinate del vettore normale del piano.

Consideriamo casi particolari dell'equazione generale. Scopriamo come si trova il piano rispetto al sistema di coordinate se uno o più coefficienti dell'equazione diventano zero.

A è la lunghezza del segmento tagliato dal piano sull'asse Bue. Allo stesso modo, si può dimostrare che B E C– lunghezze dei segmenti tagliati dal piano in esame sugli assi Ehi E Oz.

È conveniente utilizzare l'equazione del piano in segmenti per costruire i piani.