არითმეტიკული პროგრესიადაასახელეთ რიცხვების თანმიმდევრობა (პროგრესიის პირობები)

რომელშიც ყოველი მომდევნო ტერმინი წინასგან განსხვავდება ახალი ტერმინით, რომელსაც ასევე ე.წ ნაბიჯის ან პროგრესის განსხვავება.

ამრიგად, პროგრესირების საფეხურის და მისი პირველი ტერმინის მითითებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ნებისმიერი ელემენტი ფორმულის გამოყენებით

Თვისებები არითმეტიკული პროგრესია

1) არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორე რიცხვიდან დაწყებული, არის პროგრესიის წინა და შემდეგი წევრების საშუალო არითმეტიკული

პირიქითაც მართალია. თუ პროგრესიის მიმდებარე კენტი (ლუწი) წევრთა საშუალო არითმეტიკული ტოლია იმ ტერმინისა, რომელიც დგას მათ შორის, მაშინ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია. ამ განცხადების გამოყენებით, ძალიან ადვილია ნებისმიერი თანმიმდევრობის შემოწმება.

ასევე, არითმეტიკული პროგრესიის თვისებით, ზემოაღნიშნული ფორმულა შეიძლება განზოგადდეს შემდეგზე

ამის გადამოწმება ადვილია, თუ დაწერთ პირობებს ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ

ის ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში პრობლემების გამოთვლების გასამარტივებლად.

2) არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება ფორმულით

კარგად დაიმახსოვრეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულა გამოთვლებში ის შეუცვლელია და საკმაოდ ხშირად გვხვდება ცხოვრების მარტივ სიტუაციებში.

3) თუ თქვენ გჭირდებათ არა მთელი ჯამის, არამედ მიმდევრობის ნაწილის პოვნა, რომელიც იწყება მისი k-ე ტერმინიდან, მაშინ შემდეგი ჯამის ფორმულა გამოგადგებათ.

4) პრაქტიკული ინტერესია kth რიცხვიდან დაწყებული არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამის პოვნა. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა

ამაზე თეორიული მასალამთავრდება და გადავდივართ საერთო პრობლემების პრაქტიკაში გადაჭრაზე.

მაგალითი 1. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის მეორმოცე წევრი 4;7;...

გამოსავალი:

იმ პირობის მიხედვით, რაც გვაქვს

მოდით განვსაზღვროთ პროგრესის ნაბიჯი

ცნობილი ფორმულის გამოყენებით ვპოულობთ პროგრესიის ორმოცდამეათე ტერმინს

მაგალითი 2. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მისი მესამე და მეშვიდე წევრებით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და ათი ჯამი.

გამოსავალი:

ფორმულების გამოყენებით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მოცემული ელემენტები

პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას, შედეგად ვპოულობთ პროგრესირების საფეხურს

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას რომელიმე განტოლებაში, რათა ვიპოვოთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი წევრი

ჩვენ ვიანგარიშებთ პროგრესიის პირველი ათი წევრის ჯამს

განაცხადის გარეშე რთული გამოთვლებიჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო რაოდენობა.

მაგალითი 3. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია მნიშვნელით და მისი ერთ-ერთი წევრით. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი, მისი 50 წევრის ჯამი 50-დან და პირველი 100-ის ჯამი.

გამოსავალი:

მოდით ჩამოვწეროთ პროგრესიის მეასე ელემენტის ფორმულა

და იპოვნეთ პირველი

პირველზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის 50-ე ტერმინს

პროგრესიის ნაწილის ჯამის პოვნა

და პირველი 100-ის ჯამი

პროგრესის ოდენობაა 250.

მაგალითი 4.

იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა რაოდენობა, თუ:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

გამოსავალი:

დავწეროთ განტოლებები პირველი წევრისა და პროგრესიის საფეხურის მიხედვით და განვსაზღვროთ

მიღებულ მნიშვნელობებს ვანაცვლებთ ჯამის ფორმულას, რათა განვსაზღვროთ ჯამში ტერმინების რაოდენობა

ვახორციელებთ გამარტივებებს

და ამოხსენით კვადრატული განტოლება

ნაპოვნი ორი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ნომერი 8 შეესაბამება პრობლემის პირობებს. ამრიგად, პროგრესიის პირველი რვა წევრის ჯამი არის 111.

მაგალითი 5.

ამოხსენით განტოლება

1+3+5+...+x=307.

ამოხსნა: ეს განტოლება არის არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. მოდით დავწეროთ მისი პირველი ტერმინი და ვიპოვოთ განსხვავება პროგრესირებაში

სანამ გადაწყვეტილების მიღებას დავიწყებთ არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები, განვიხილოთ რა არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რადგან არის არითმეტიკული პროგრესია განსაკუთრებული შემთხვევარიცხვების თანმიმდევრობა.

რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიცხვების ნაკრები, რომლის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი სერიული ნომერი. ამ ნაკრების ელემენტებს უწოდებენ მიმდევრობის წევრებს. მიმდევრობის ელემენტის სერიული ნომერი მითითებულია ინდექსით:

მიმდევრობის პირველი ელემენტი;

მიმდევრობის მეხუთე ელემენტი;

- თანმიმდევრობის "nth" ელემენტი, ე.ი. ელემენტი "იდგა რიგში" ნომერზე n.

არსებობს კავშირი მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობასა და მის მიმდევრობის რიცხვს შორის. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მიმდევრობა, როგორც ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის მიმდევრობის ელემენტის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ვთქვათ თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია:

თანმიმდევრობა შეიძლება დაინიშნოს სამი გზით:

1 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის გამოყენებით.ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვაყენებთ მიმდევრობის თითოეული წევრის მნიშვნელობას.

მაგალითად, ვიღაცამ გადაწყვიტა აეღო პირადი დროის მართვა და დასაწყისისთვის დათვალა რამდენ დროს ატარებს VKontakte-ზე კვირის განმავლობაში. ცხრილში დროის ჩაწერით, ის მიიღებს შვიდი ელემენტისგან შემდგარ თანმიმდევრობას:

ცხრილის პირველი ხაზი მიუთითებს კვირის დღის რაოდენობაზე, მეორეში - დრო წუთებში. ჩვენ ვხედავთ, რომ, ანუ ორშაბათს ვიღაცამ დახარჯა 125 წუთი VKontakte-ზე, ანუ ხუთშაბათს - 248 წუთი და, ანუ პარასკევს მხოლოდ 15.

2 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით.

ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიცხვზე გამოიხატება პირდაპირ ფორმულის სახით.

მაგალითად, თუ, მაშინ

მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის საპოვნელად მოცემული რიცხვით, ელემენტის რიცხვს ვცვლით n-ე წევრის ფორმულაში.

ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ, თუ გვჭირდება ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, თუ არგუმენტის მნიშვნელობა ცნობილია. ჩვენ ვცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში:

თუ, მაგალითად, , ეს

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავ, რომ თანმიმდევრობით, თვითნებური რიცხვითი ფუნქციისგან განსხვავებით, არგუმენტი შეიძლება იყოს მხოლოდ ნატურალური რიცხვი.

3 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის წევრის ნომერი n მნიშვნელობის დამოკიდებულებას წინა წევრების მნიშვნელობებზე. ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ მიმდევრობის წევრის რიცხვის ცოდნა მისი მნიშვნელობის საპოვნელად. ჩვენ უნდა დავაკონკრეტოთ პირველი წევრი ან პირველი რამდენიმე წევრი მიმდევრობის.

მაგალითად, განიხილეთ თანმიმდევრობა ,

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის წევრების მნიშვნელობები თანმიმდევრობითმესამედან დაწყებული:

ანუ ყოველ ჯერზე, რომ ვიპოვოთ მიმდევრობის n-ე წევრის მნიშვნელობა, ვუბრუნდებით წინა ორს. მიმდევრობის დაზუსტების ამ მეთოდს ე.წ განმეორებადი, ლათინური სიტყვიდან განმეორებითი- დაბრუნდი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის მარტივი სპეციალური შემთხვევა.

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას.

ნომერზე იწოდება არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულის ტოლი.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} იზრდება.

მაგალითად, 2; 5; 8; თერთმეტი;...

თუ , მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი წინაზე ნაკლებია და პროგრესია არის მცირდება.

მაგალითად, 2; -1; -4; -7;...

თუ , მაშინ პროგრესიის ყველა პირობა ტოლია ერთი და იგივე რიცხვისა და პროგრესია არის სტაციონარული.

მაგალითად, 2;2;2;2;...

არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება:

მოდით შევხედოთ ნახატს.

ჩვენ ამას ვხედავთ

, და ამავე დროს

ამ ორი ტოლობის დამატება მივიღებთ:

.

გაყავით ტოლობის ორივე მხარე 2-ზე:

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ორი მეზობელი არითმეტიკული საშუალოს:

უფრო მეტიც, მას შემდეგ

, და ამავე დროს

, ეს

, და, შესაბამისად

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, დაწყებული title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

ტერმინის ფორმულა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები აკმაყოფილებს შემდეგ ურთიერთობებს:

და ბოლოს

Მივიღეთ n-ე ტერმინის ფორმულა.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გამოისახოს და. პირველი წევრისა და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის გაცნობით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი რომელიმე ტერმინი.

არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამი.

თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის დროს, უკიდურესებისგან თანაბარი მანძილის მქონე ტერმინების ჯამები ერთმანეთის ტოლია:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესია n წევრით. მოდით ამ პროგრესიის n წევრთა ჯამი ტოლი იყოს.

მოდით მოვაწყოთ პროგრესიის ტერმინები ჯერ რიცხვების ზრდადი, შემდეგ კი კლების მიხედვით:

დავამატოთ წყვილებში:

თითოეულ ფრჩხილში ჯამი არის , წყვილების რაოდენობა არის n.

ჩვენ ვიღებთ:

Ისე, არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა.

1 . თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით: . დაამტკიცეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

დავამტკიცოთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მომიჯნავე წევრს შორის ტოლია ერთი და იგივე რიცხვის.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მეზობელ წევრს შორის არ არის დამოკიდებული მათ რიცხვზე და არის მუდმივი. ამიტომ, განსაზღვრებით, ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

2 . მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია -31; -27;...

ა) იპოვეთ პროგრესიის 31 წევრი.

ბ) დაადგინეთ შედის თუ არა რიცხვი 41 ამ პროგრესიაში.

ა)ჩვენ ვხედავთ ამას;

მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი პროგრესირების n-ე წევრის ფორმულა.

Ზოგადად

ჩვენს შემთხვევაში , Ამიტომაც

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არც ძალიან..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების სერია, რომლებშიც თითოეული რიცხვი იგივე რაოდენობით მეტია (ან ნაკლები) ვიდრე წინა.

ეს თემა ხშირად რთული და გაუგებარი ჩანს. ასოების ინდექსები მე-1 ტერმინიპროგრესიები, პროგრესირების განსხვავებები - ეს ყველაფერი რატომღაც დამაბნეველია, დიახ... მოდით გაერკვნენ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა და ყველაფერი მაშინვე გამოსწორდება.)

არითმეტიკული პროგრესიის კონცეფცია.

არითმეტიკული პროგრესია ძალიან მარტივი და ნათელი კონცეფციაა. გაქვთ რაიმე ეჭვი? ამაოდ.) თავად ნახეთ.

მე დავწერ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

1, 2, 3, 4, 5, ...

შეგიძლიათ გააგრძელოთ ეს სერია? რა რიცხვები მოვა შემდეგი ხუთეულის შემდეგ? ყველა... უჰ... მოკლედ, ყველა მიხვდება, რომ შემდეგი რიცხვები 6, 7, 8, 9 და ა.შ.

დავალება გავართულოთ. მე მოგცემთ რიცხვების დაუმთავრებელ სერიას:

2, 5, 8, 11, 14, ...

თქვენ შეძლებთ დაიჭიროთ ნიმუში, გააგრძელოთ სერიები და დაასახელოთ მეშვიდერიგის ნომერი?

თუ მიხვდით, რომ ეს რიცხვი 20-ია, გილოცავთ! არა მარტო გრძნობდი ძირითადი პუნქტებიარითმეტიკული პროგრესია,არამედ წარმატებით გამოიყენა ისინი ბიზნესში! თუ ეს ვერ გაარკვიეთ, წაიკითხეთ.

ახლა მოდით გადავთარგმნოთ ძირითადი პუნქტები შეგრძნებებიდან მათემატიკაში.)

პირველი საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესია ეხება რიცხვების სერიას.ეს თავიდანვე დამაბნეველია. ჩვენ მიჩვეული ვართ განტოლებების ამოხსნას, გრაფიკების დახატვას და ამ ყველაფერს... მაგრამ აქ ვაგრძელებთ სერიებს, ვპოულობთ სერიების რიცხვს...

Ყველაფერი კარგადაა. უბრალოდ, პროგრესიები მათემატიკის ახალი დარგის პირველი გაცნობაა. განყოფილებას ეწოდება "სერიები" და მუშაობს კონკრეტულად რიცხვებისა და გამონათქვამების სერიებთან. მიეჩვიე.)

მეორე საკვანძო წერტილი.

არითმეტიკული პროგრესიის დროს, ნებისმიერი რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

პირველ მაგალითში ეს განსხვავება ერთია. რაც არ უნდა აიღოთ, ის ერთით მეტია წინაზე. მეორეში - სამი. ნებისმიერი რიცხვი სამით მეტია წინაზე. სინამდვილეში, ეს არის ის მომენტი, რომელიც გვაძლევს შესაძლებლობას გავიგოთ ნიმუში და გამოვთვალოთ შემდგომი რიცხვები.

მესამე საკვანძო წერტილი.

ეს მომენტი არ არის გასაოცარი, დიახ... მაგრამ ძალიან, ძალიან მნიშვნელოვანია. Ის აქაა: თითოეული პროგრესის ნომერი თავის ადგილზეა.არის პირველი ნომერი, არის მეშვიდე, არის ორმოცდამეხუთე და ა.შ. თუ მათ შემთხვევით აურიეთ, ნიმუში გაქრება. არითმეტიკული პროგრესირებაც გაქრება. რაც დარჩა მხოლოდ რიცხვების სერიაა.

ამაშია მთელი აზრი.

რა თქმა უნდა, ში ახალი თემაჩნდება ახალი ტერმინები და აღნიშვნები. თქვენ უნდა იცოდეთ ისინი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ ვერ გაიგებთ დავალებას. მაგალითად, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ მსგავსი რამ:

ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

შთამაგონებელია?) ასოები, რამდენიმე ინდექსები... და დავალება, სხვათა შორის, უფრო მარტივი ვერ იქნება. თქვენ უბრალოდ უნდა გესმოდეთ ტერმინებისა და აღნიშვნების მნიშვნელობა. ახლა ამ საკითხს დავეუფლებით და დავალებას დავუბრუნდებით.

ვადები და აღნიშვნები.

არითმეტიკული პროგრესიაარის რიცხვების სერია, რომელშიც თითოეული რიცხვი განსხვავდება წინადან იმავე რაოდენობით.

ამ რაოდენობას ე.წ . მოდით შევხედოთ ამ კონცეფციას უფრო დეტალურად.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაარის თანხა, რომლითაც ნებისმიერი პროგრესის რიცხვი მეტიწინა.

ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი. გთხოვთ ყურადღება მიაქციოთ სიტყვას "მეტი".მათემატიკურად, ეს ნიშნავს, რომ თითოეული პროგრესიის რიცხვი არის დამატებითარითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა წინა რიცხვთან.

რომ გამოვთვალოთ, ვთქვათ მეორესერიის ნომრები, თქვენ გჭირდებათ პირველინომერი დაამატეთარითმეტიკული პროგრესიის სწორედ ეს განსხვავება. გაანგარიშებისთვის მეხუთე- განსხვავება აუცილებელია დაამატეთრომ მეოთხე,კარგად და ა.შ.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაᲨესაძლოა დადებითი,მაშინ სერიის თითოეული რიცხვი რეალური აღმოჩნდება წინაზე მეტი.ამ პროგრესირებას ე.წ იზრდება.Მაგალითად:

8; 13; 18; 23; 28; .....

აქ მიიღება თითოეული რიცხვი დამატებით დადებითი რიცხვი, +5 წინას.

განსხვავება შეიძლება იყოს უარყოფითი,მაშინ სერიის თითოეული რიცხვი იქნება წინაზე ნაკლები.ამ პროგრესს ჰქვია (არ დაიჯერებთ!) მცირდება.

Მაგალითად:

8; 3; -2; -7; -12; .....

აქ ასევე მიიღება თითოეული ნომერი დამატებითწინასთან, მაგრამ უკვე უარყოფითი რიცხვი, -5.

სხვათა შორის, პროგრესირებასთან მუშაობისას ძალიან სასარგებლოა მისი ბუნების დაუყონებლივ დადგენა – იზრდება თუ მცირდება. ეს ძალიან დაგეხმარებათ გადაწყვეტილების მიღებაში, თქვენი შეცდომების დაფიქსირებაში და მათ გამოსწორებაში, სანამ გვიან არ არის.

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობაჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით დ.

როგორ მოვძებნოთ დ? Ძალიან მარტივი. აუცილებელია გამოვაკლოთ სერიების ნებისმიერი რიცხვი წინანომერი. გამოკლება. სხვათა შორის, გამოკლების შედეგს ეწოდება "სხვაობა".)

მოდით განვსაზღვროთ, მაგალითად, დარითმეტიკული პროგრესიის გაზრდისთვის:

2, 5, 8, 11, 14, ...

სერიიდან ვიღებთ ნებისმიერ რიცხვს, რომელიც გვინდა, მაგალითად, 11. ვაკლებთ მას წინა ნომერიიმათ. 8:

ეს არის სწორი პასუხი. ამ არითმეტიკული პროგრესიისთვის, განსხვავება სამია.

შეგიძლია წაიღო ნებისმიერი პროგრესის ნომერი,რადგან კონკრეტული პროგრესისთვის დ-ყოველთვის იგივე.სადღაც რიგის დასაწყისში მაინც, შუაში მაინც, სადმე მაინც. თქვენ არ შეგიძლიათ მიიღოთ მხოლოდ პირველი ნომერი. მხოლოდ იმიტომ, რომ პირველი ნომერი არ არის წინა.)

სხვათა შორის, ამის ცოდნა d=3, ამ პროგრესიის მეშვიდე რიცხვის პოვნა ძალიან მარტივია. მეხუთე რიცხვს მივუმატოთ 3 - მივიღებთ მეექვსეს, იქნება 17. მეექვსე რიცხვს მივუმატოთ სამი, მივიღებთ მეშვიდე რიცხვს - ოცს.

განვსაზღვროთ დდაღმავალი არითმეტიკული პროგრესიისთვის:

8; 3; -2; -7; -12; .....

შეგახსენებთ, რომ ნიშნების მიუხედავად, რათა დადგინდეს დსაჭიროა ნებისმიერი ნომრიდან წაართვით წინა.აირჩიეთ ნებისმიერი პროგრესიის ნომერი, მაგალითად -7. მისი წინა რიცხვია -2. შემდეგ:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი: მთელი რიცხვი, წილადი, ირაციონალური, ნებისმიერი რიცხვი.

სხვა ტერმინები და აღნიშვნები.

სერიის თითოეულ რიცხვს უწოდებენ არითმეტიკული პროგრესიის წევრი.

პროგრესის თითოეული წევრი აქვს თავისი ნომერი.ნომრები მკაცრად წესრიგშია, ყოველგვარი ხრიკების გარეშე. პირველი, მეორე, მესამე, მეოთხე და ა.შ. მაგალითად, პროგრესში 2, 5, 8, 11, 14, ... ორი არის პირველი წევრი, ხუთი არის მეორე, თერთმეტი არის მეოთხე, კარგად, გესმით...) გთხოვთ, ნათლად გაიგოთ - თავად ნომრებიშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, მთლიანი, წილადი, უარყოფითი, რაც არ უნდა იყოს, მაგრამ ნომრების ნუმერაცია- მკაცრად წესრიგში!

როგორ დავწეროთ პროგრესი ზოგადი ხედი? Არაა პრობლემა! სერიის თითოეული რიცხვი იწერება ასოს სახით. არითმეტიკული პროგრესიის აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება ასო ა. წევრის ნომერი მითითებულია ინდექსით ქვედა მარჯვენა კუთხეში. ჩვენ ვწერთ ტერმინებს, რომლებიც გამოყოფილია მძიმეებით (ან მძიმით), ასე:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- ეს პირველი ნომერია, a 3- მესამე და ა.შ. არაფერი გამორჩეული. ეს სერია შეიძლება მოკლედ დაიწეროს ასე: (n).

პროგრესები ხდება სასრული და უსასრულო.

საბოლოოპროგრესი აქვს შეზღუდული რაოდენობითწევრები. ხუთი, ოცდათვრამეტი, რაც არ უნდა იყოს. მაგრამ ეს სასრული რიცხვია.

უსასრულოპროგრესია - ჰყავს წევრების უსასრულო რაოდენობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით.)

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ საბოლოო პროგრესი ასეთი სერიით, ყველა ტერმინი და წერტილი ბოლოს:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

ან ასე, თუ ბევრი წევრია:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

მოკლე ჩანაწერში დამატებით მოგიწევთ მიუთითოთ წევრების რაოდენობა. მაგალითად (ოცი წევრისთვის), ასე:

(a n), n = 20

უსასრულო პროგრესია შეიძლება ამოიცნოს მწკრივის ბოლოს ელიფსისით, როგორც ამ გაკვეთილის მაგალითებში.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ ამოცანების გადაჭრა. ამოცანები მარტივია, მხოლოდ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად.

არითმეტიკული პროგრესიის დავალებების მაგალითები.

მოდით განვიხილოთ ზემოთ მოცემული დავალება დეტალურად:

1. ჩაწერეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი (a n), თუ a 2 = 5, d = -2.5.

ჩვენ გადავცემთ დავალებას ნათელი ენა. მოცემულია უსასრულო არითმეტიკული პროგრესია. ამ პროგრესის მეორე რიცხვი ცნობილია: a 2 = 5.პროგრესირების განსხვავება ცნობილია: d = -2,5.ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამ პროგრესიის პირველი, მესამე, მეოთხე, მეხუთე და მეექვსე ტერმინები.

სიცხადისთვის დავწერ სერიებს პრობლემის პირობების მიხედვით. პირველი ექვსი ტერმინი, სადაც მეორე წევრი არის ხუთი:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

a 3 = a 2 + დ

ჩანაცვლება გამოხატულებაში a 2 = 5და d = -2,5. ნუ დაივიწყებთ მინუსზე!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

მესამე ვადა გამოვიდა ორზე ნაკლები. ყველაფერი ლოგიკურია. თუ რიცხვი წინაზე მეტია უარყოფითიმნიშვნელობა, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი წინაზე ნაკლები იქნება. პროგრესი მცირდება. კარგი, გავითვალისწინოთ.) ჩვენ ვითვლით ჩვენი სერიის მეოთხე წევრს:

a 4 = a 3 + დ

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + დ

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + დ

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ასე რომ, გამოითვალა ვადები მესამედან მეექვსემდე. შედეგი არის შემდეგი სერია:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

რჩება პირველი ტერმინის პოვნა a 1ცნობილი მეორეს მიხედვით. ეს არის ნაბიჯი სხვა მიმართულებით, მარცხნივ.) ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა დარ უნდა დაემატოს a 2, ა წაიღე:

a 1 = a 2 - დ

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ის არის. დავალების პასუხი:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

გარდა ამისა, მინდა აღვნიშნო, რომ ჩვენ გადავწყვიტეთ ეს ამოცანა განმეორებადიგზა. ეს საშინელი სიტყვაუბრალოდ ნიშნავს პროგრესის წევრის ძიებას წინა (მიმდებარე) ნომრის მიხედვით.ჩვენ განვიხილავთ პროგრესირებასთან მუშაობის სხვა გზებს ქვემოთ.

ამ მარტივი ამოცანიდან ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნის გამოტანა შეიძლება.

გახსოვდეთ:

თუ ჩვენ ვიცით მინიმუმ ერთი წევრი და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა, შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ პროგრესიის ნებისმიერი წევრი.

Გახსოვს? ეს მარტივი დასკვნა საშუალებას გაძლევთ გადაჭრას პრობლემების უმეტესობა სკოლის კურსიამ თემაზე. ყველა დავალება ტრიალებს გარშემო სამი ძირითადიპარამეტრები: არითმეტიკული პროგრესიის წევრი, პროგრესიის სხვაობა, პროგრესიის წევრის რაოდენობა.ყველა.

რა თქმა უნდა, ყველა წინა ალგებრა არ არის გაუქმებული.) უტოლობა, განტოლებები და სხვა რამ ერთვის პროგრესიას. მაგრამ თავად პროგრესის მიხედვით- ყველაფერი სამი პარამეტრის გარშემო ტრიალებს.

მაგალითად, მოდით შევხედოთ რამდენიმე პოპულარულ ამოცანას ამ თემაზე.

2. ჩაწერეთ სასრული არითმეტიკული პროგრესია რიგის სახით, თუ n=5, d = 0.4 და a 1 = 3.6.

აქ ყველაფერი მარტივია. ყველაფერი უკვე მიცემულია. უნდა გახსოვდეთ, როგორ ითვლიან არითმეტიკული პროგრესიის წევრებს, დათვალეთ და ჩაწერეთ. მიზანშეწონილია არ გამოტოვოთ სიტყვები დავალების პირობებში: "ფინალური" და " n=5". ისე, რომ არ დათვალოთ, სანამ სახეზე მთლიანად გალურჯდებით.) ამ პროგრესში მხოლოდ 5 (ხუთი) წევრია:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

რჩება პასუხის ჩაწერა:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

კიდევ ერთი დავალება:

3. დაადგინეთ რიცხვი 7 იქნება თუ არა არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), თუ a 1 = 4.1; d = 1.2.

ჰმ... ვინ იცის? როგორ განვსაზღვროთ რამე?

როგორ-როგორ... სერიების სახით ჩაწერეთ პროგრესი და ნახეთ იქ შვიდი იქნება თუ არა! ჩვენ ვითვლით:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ახლა აშკარად ჩანს, რომ მხოლოდ შვიდნი ვართ გაცურდა 6.5-დან 7.7-მდე! შვიდი არ მოხვდა ჩვენს რიცხვთა სერიაში და, შესაბამისად, შვიდი არ იქნება მოცემული პროგრესიის წევრი.

პასუხი: არა.

აქ არის პრობლემა, რომელიც ეფუძნება რეალური ვარიანტი GIA:

4. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15; X; 9; 6; ...

აქ არის სერია დაწერილი დასასრულისა და დასაწყისის გარეშე. წევრების რიცხვი, არანაირი განსხვავება დ. Ყველაფერი კარგადაა. პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობა. მოდით შევხედოთ და ვნახოთ რა არის შესაძლებელი ცოდნაამ სერიიდან? რა არის სამი ძირითადი პარამეტრი?

წევრების ნომრები? აქ არც ერთი ნომერი არ არის.

მაგრამ არის სამი ნომერი და - ყურადღება! - სიტყვა "თანმიმდევრული"მდგომარეობაში. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვები მკაცრად წესრიგშია, ხარვეზების გარეშე. ამ რიგში ორია? მეზობელი ცნობილი ნომრები? Დიახ მაქვს! ეს არის 9 და 6. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა! გამოვაკლოთ ექვსიდან წინანომერი, ე.ი. ცხრა:

დარჩა უბრალო წვრილმანები. რომელი რიცხვი იქნება X-ის წინა? თხუთმეტი. ეს ნიშნავს, რომ X ადვილად იპოვება მარტივი მიმატებით. დაამატეთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა 15-ს:

Სულ ეს არის. პასუხი: x=12

ჩვენ თვითონ ვაგვარებთ შემდეგ პრობლემებს. შენიშვნა: ეს პრობლემები არ არის დაფუძნებული ფორმულებზე. არითმეტიკული პროგრესიის მნიშვნელობის გასაგებად. ჩვენ უბრალოდ ვწერთ რიცხვებისა და ასოების სერიას, ვუყურებთ და გავარკვიეთ.

5. იპოვეთ არითმეტიკული პროგრესიის პირველი დადებითი წევრი, თუ a 5 = -3; d = 1.1.

6. ცნობილია, რომ რიცხვი 5.5 არის არითმეტიკული პროგრესიის წევრი (a n), სადაც a 1 = 1.6; d = 1.3. განსაზღვრეთ ამ წევრის ნომერი n.

7. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 4; a 5 = 15.1. იპოვეთ 3.

8. არითმეტიკული პროგრესიის ზედიზედ რამდენიმე წევრი იწერება:

...; 15.6; X; 3.4; ...

იპოვეთ პროგრესიის ვადა, რომელიც მითითებულია ასო x.

9. მატარებელმა მოძრაობა დაიწყო სადგურიდან, თანაბრად გაზარდა სიჩქარე წუთში 30 მეტრით. რა იქნება მატარებლის სიჩქარე ხუთი წუთის შემდეგ? გაეცით პასუხი კმ/საათში.

10. ცნობილია, რომ არითმეტიკული პროგრესიით a 2 = 5; a 6 = -5. იპოვეთ 1.

პასუხები (არეულად): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ყველაფერი გამოვიდა? საოცარი! თქვენ შეგიძლიათ დაეუფლოთ არითმეტიკული პროგრესიას მეტისთვის მაღალი დონე, შემდეგ გაკვეთილებზე.

ყველაფერი არ გამოვიდა? Არაა პრობლემა. 555-ე სპეციალურ ნაწილში, ყველა ეს პრობლემა ნაწილ-ნაწილ იშლება.) და, რა თქმა უნდა, მარტივი პრაქტიკული ტექნიკა, რომელიც დაუყოვნებლივ ხაზს უსვამს ასეთი ამოცანების გადაწყვეტას ნათლად, ნათლად, ერთი შეხედვით!

სხვათა შორის, მატარებლის თავსატეხში არის ორი პრობლემა, რომლებზეც ადამიანები ხშირად წააწყდებიან. ერთი არის მხოლოდ პროგრესირების თვალსაზრისით, მეორე კი ზოგადია მათემატიკაში და ფიზიკაში ნებისმიერი პრობლემისთვისაც. ეს არის ზომების თარგმანი ერთიდან მეორეზე. ეს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს პრობლემები.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და მისი ძირითადი პარამეტრები. ეს საკმარისია ამ თემაზე თითქმის ყველა პრობლემის მოსაგვარებლად. დამატება დციფრებს დაწერე სერია, ყველაფერი მოგვარდება.

თითის ხსნარი კარგად მუშაობს მწკრივის ძალიან მოკლე ნაწილებზე, როგორც ამ სახელმძღვანელოში მოცემულ მაგალითებში. თუ სერია უფრო გრძელია, გამოთვლები უფრო რთული ხდება. მაგალითად, თუ კითხვაში 9 პრობლემაში ჩვენ შევცვლით "ხუთი წუთი" on "ოცდათხუთმეტი წუთი"პრობლემა საგრძნობლად გაუარესდება.)

და ასევე არის ამოცანები, რომლებიც არსებითად მარტივია, მაგრამ აბსურდული გამოთვლებით, მაგალითად:

მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n). იპოვეთ 121, თუ a 1 =3 და d=1/6.

მერე რა, ვაპირებთ 1/6-ს ბევრჯერ, ბევრჯერ დავამატოთ?! შეგიძლია თავი მოიკლა!?

შეგიძლია.) თუ არ იცი მარტივი ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გადაჭრათ ასეთი ამოცანები ერთ წუთში. ეს ფორმულა იქნება მომდევნო გაკვეთილზე. და ეს პრობლემა მოგვარებულია იქ. Ერთ წუთში.)

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

რიცხვების მიმდევრობის კონცეფცია გულისხმობს, რომ თითოეული ნატურალური რიცხვი შეესაბამება გარკვეულ რეალურ მნიშვნელობას. რიცხვების ასეთი სერია შეიძლება იყოს თვითნებური ან ჰქონდეს გარკვეული თვისებები- პროგრესირება. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, თანმიმდევრობის ყოველი მომდევნო ელემენტი (წევრი) შეიძლება გამოითვალოს წინას გამოყენებით.

არითმეტიკული პროგრესია - თანმიმდევრობა რიცხვითი მნიშვნელობები, რომელშიც მისი მეზობელი წევრები ერთმანეთისგან განსხვავდებიან იგივე ნომერი(სერიის ყველა ელემენტს, მე-2-დან დაწყებული, მსგავსი თვისება აქვს). ეს ნომერი– წინა და მომდევნო ტერმინებს შორის სხვაობა მუდმივია და მას პროგრესიის სხვაობა ეწოდება.

პროგრესის განსხვავება: განმარტება

განვიხილოთ თანმიმდევრობა, რომელიც შედგება j მნიშვნელობებისგან A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ეკუთვნის სიმრავლეს ნატურალური რიცხვები N. არითმეტიკული პროგრესია, მისი განმარტების მიხედვით, არის მიმდევრობა, რომელშიც a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) ) – a(j-1) = დ. მნიშვნელობა d არის ამ პროგრესიის სასურველი განსხვავება.

d = a(j) – a(j-1).

მონიშნეთ:

• მზარდი პროგრესია, ამ შემთხვევაში d > 0. მაგალითი: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• პროგრესირების შემცირება, შემდეგ დ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

განსხვავების პროგრესირება და მისი თვითნებური ელემენტები

თუ ცნობილია პროგრესიის 2 თვითნებური წევრი (i-th, k-th), მაშინ სხვაობა მოცემული მიმდევრობისთვის შეიძლება განისაზღვროს ურთიერთობის საფუძველზე:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, რაც ნიშნავს d = (a(i) – a(k))/(i-k).

პროგრესირების განსხვავება და მისი პირველი ტერმინი

ეს გამოთქმა დაგეხმარებათ უცნობი მნიშვნელობის დადგენაში მხოლოდ იმ შემთხვევებში, როდესაც ცნობილია მიმდევრობის ელემენტის რაოდენობა.

პროგრესირების სხვაობა და მისი ჯამი

პროგრესიის ჯამი არის მისი ტერმინების ჯამი. მისი პირველი j ელემენტების ჯამური მნიშვნელობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულა:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, მაგრამ მას შემდეგ a(j) = a(1) + d(j – 1), შემდეგ S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ძირითადიდან საკმაოდ მყარი.

ჯერ გავიგოთ თანხის მნიშვნელობა და ფორმულა. და მერე გადავწყვეტთ. შენივე სიამოვნებისთვის.) თანხის მნიშვნელობა ისეთივე მარტივია, როგორც მოო. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა პირობა. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა შველის.

თანხის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n - არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველასწევრებთან ერთად პირველიავტორი ბოლო.Ეს არის მნიშვნელოვანი. ისინი ზუსტად აგროვებენ ყველაწევრები ზედიზედ, გამოტოვების ან გამოტოვების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან მეხუთედან მეოცე პუნქტების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებას გამოიწვევს.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. ბოლო ნომერირიგი. არც თუ ისე ნაცნობი სახელია, მაგრამ თანხაზე გამოყენებისას ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ - ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. რთული კითხვა: რომელი წევრი იქნება ბოლოთუ მიცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?)

თავდაჯერებულად რომ უპასუხოთ, უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, საბოლოო, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა პროგრესია მოცემულია: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების სერია, თუ ფორმულა n-ე წევრისთვის.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რაოდენობა, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. დავალების დროს, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არ მადარდებს, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს ვამხელთ.)

დავალებების მაგალითები არითმეტიკული პროგრესიის ჯამზე.

Პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების ძირითადი სირთულე მდგომარეობს ფორმულის ელემენტების სწორად განსაზღვრაში.

ამოცანების დამწერები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მათი უბრალოდ გაშიფვრა. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ მისი პირველი 10 წევრის ჯამი.

Ყოჩაღ. მარტივია.) რა უნდა ვიცოდეთ ფორმულით თანხის დასადგენად? პირველი წევრი a 1, ბოლო სემესტრი a nდიახ, ბოლო წევრის ნომერი ნ.

სად შემიძლია მივიღო ბოლო წევრის ნომერი? ნ? დიახ, იქ, იმ პირობით! ნათქვამია: იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა ნომრით იქნება? ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ, ნაცვლად a nჩვენ ჩავანაცვლებთ ფორმულაში ა 10და სამაგიეროდ ნ-ათი. ვიმეორებ, ბოლო წევრის რაოდენობა ემთხვევა წევრების რაოდენობას.

რჩება განსაზღვრა a 1და ა 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მოცემულია პრობლემის განცხადებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? დაესწარით წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე გზა არ არის.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ა 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მხოლოდ მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

Ის არის. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 = 2.3. იპოვეთ მისი პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი ტერმინის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

რჩება ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულაში და პასუხის გამოთვლა:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nჩვენ უბრალოდ ვცვლით ფორმულას n-ე წევრისთვის და ვიღებთ:

მოდით წარმოვიდგინოთ მსგავსი და მივიღოთ ახალი ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო a n. ზოგიერთ პრობლემაში ეს ფორმულა ძალიან ეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. ან შეგიძლიათ უბრალოდ აჩვენოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვეთ ყველა დადებითის ჯამი ორნიშნა რიცხვებისამის ნამრავლი.

Ვაუ! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი საერთოდ... როგორ იცხოვრო!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. ჩვენ ვიცით რა არის ორნიშნა რიცხვები. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ა ბოლო რამორნიშნა რიცხვი? 99, რა თქმა უნდა! სამნიშნაები მოჰყვებიან მას...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის პირობების მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესიით? Რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინადან განსხვავდება მკაცრად სამით. თუ ტერმინს დაუმატებთ 2 ან 4-ს, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ იყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა: d = 3.ეს გამოდგება!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესის რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება? ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99, სასიკვდილოდ ცდება... რიცხვები ყოველთვის ზედიზედ მიდის, მაგრამ ჩვენი წევრები სამზე ახტებიან. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ ჩაწეროთ პროგრესია, რიცხვების მთელი სერია და თითით დათვალოთ წევრების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ გამოვიყენებთ ფორმულას ჩვენს პრობლემაზე, აღმოვაჩენთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

მოდით შევხედოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ჩვენ ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის განცხადებიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც იყო საჭირო თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება მხოლოდ ელემენტარული არითმეტიკა. ჩვენ ვცვლით რიცხვებს ფორმულაში და ვიანგარიშებთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხი:

4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ ტერმინების ჯამი მეოცედან ოცდათოთხმეტამდე.

თანხის ფორმულას ვუყურებთ და... ვწუწუნებთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის თანხას. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დაწეროთ მთელი პროგრესი სერიებში და დაამატოთ ტერმინები 20-დან 34-მდე. მაგრამ... ეს რაღაცნაირად სულელურია და დიდ დროს მოითხოვს, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით გავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.Მეორე ნაწილი - ოცდათოთხმეტიდან.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის პირობების ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესიის ჯამს პირველი წევრიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. Ამგვარად:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ იპოვნეთ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე თანხა მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. საკმაოდ გამოიყენება მათთვის სტანდარტული ფორმულათანხები. Დავიწყოთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს პრობლემის განცხადებიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34-ე წევრი. ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით, როგორც ამოცანა 2-ში:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

აღარაფერი დარჩა. 34 წევრის ჯამს გამოაკელი 19 წევრის ჯამი:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადასაჭრელად ძალიან სასარგებლო ხრიკი არსებობს. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ ის, რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი სახის „ყურებით გამოცხადება“ ხშირად გიხსნის ბოროტ პრობლემებს.)

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედეთ ამოცანებს, რომლებისთვისაც საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობა. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას, რომელიც მოიცავს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამს, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ჩამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

ფორმულა n-ე ტერმინისთვის:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ და რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება იმალება მე-4 პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ მისი პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი პრობლემები ხშირად გვხვდება მეცნიერებათა სახელმწიფო აკადემიაში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! და გადავწყვიტე ჩემს საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მიმეცა). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. დახარჯეთ 500 მანეთი პირველ დღეს, ხოლო ყოველი მომდევნო დღეს დახარჯეთ 50 მანეთი მეტი, ვიდრე წინა! სანამ ფული არ ამოიწურება. ბედნიერების რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას?

რთულია?) დამატებითი ფორმულა ამოცანის 2-დან დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.