რა არის n მატრიცაში. მატრიცები. მატრიცების ძირითადი განმარტებები და ტიპები. მოქმედებები მატრიცებზე. მატრიცული რანგის კონცეფცია. ოპერაციები მატრიცებზე. ცნება და შებრუნებული მატრიცის პოვნა

მოცემული ხელსაწყოების ნაკრებიდაგეხმარება ისწავლო როგორ შეასრულო ოპერაციები მატრიცებით: მატრიცების შეკრება (გამოკლება), მატრიცის ტრანსპოზიცია, მატრიცების გამრავლება, შებრუნებული მატრიცის პოვნა. ყველა მასალა წარმოდგენილია მარტივი და ხელმისაწვდომი ფორმით, მოყვანილია შესაბამისი მაგალითები, ასე რომ, მოუმზადებელ ადამიანსაც კი შეუძლია ისწავლოს მატრიცებით მოქმედებების შესრულება. თვითმონიტორინგისა და თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მატრიცის კალკულატორი უფასოდ >>>.

ვეცდები მინიმუმამდე დავიყვანო თეორიული გამოთვლები ზოგან შესაძლებელია ახსნა-განმარტებები „თითებზე“ და არამეცნიერული ტერმინების გამოყენება. მყარი თეორიის მოყვარულებო, გთხოვთ ნუ ჩაერთვებით კრიტიკაში, ჩვენი ამოცანაა ისწავლეთ მატრიცებით ოპერაციების შესრულება.

SUPER FAST მომზადებისთვის თემაზე (ვინ არის „ცეცხლი“) არის ინტენსიური pdf კურსი მატრიცა, განმსაზღვრელი და ტესტი!

მატრიცა ზოგიერთის მართკუთხა ცხრილია ელემენტები. როგორც ელემენტებიგანვიხილავთ რიცხვებს, ანუ რიცხვობრივ მატრიცებს. ელემენტიარის ტერმინი. მიზანშეწონილია დაიმახსოვროთ ტერმინი, ის ხშირად გამოჩნდება, შემთხვევითი არ არის, რომ ხაზგასმით გამოვიყენე თამამი შრიფტი.

Დანიშნულება:მატრიცები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ასოებით ლათინური ასოებით

მაგალითი:განვიხილოთ ორი-სამი მატრიცა:

ეს მატრიცა შედგება ექვსისგან ელემენტები:

მატრიცის შიგნით ყველა რიცხვი (ელემენტი) თავისთავად არსებობს, ანუ რაიმე გამოკლების საკითხი არ დგას:

ეს უბრალოდ რიცხვების ცხრილი (კომპლექტია)!

ჩვენც შევთანხმდებით არ გადააწყოთნომრები, თუ სხვაგვარად არ არის მითითებული განმარტებებში. თითოეულ ნომერს აქვს თავისი მდებარეობა და მისი არევა შეუძლებელია!

განსახილველ მატრიცას აქვს ორი სტრიქონი:

და სამი სვეტი:

სტანდარტი: როდესაც ვსაუბრობთ მატრიცის ზომებზე, მაშინ პირველადმიუთითეთ რიგების რაოდენობა და მხოლოდ ამის შემდეგ სვეტების რაოდენობა. ჩვენ ახლახან დავშალეთ მატრიცა ორ-სამზე.

თუ მატრიცის სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა იგივეა, მაშინ მატრიცა ე.წ. კვადრატი, Მაგალითად: - სამ-სამ მატრიცა.

თუ მატრიცას აქვს ერთი სვეტი ან ერთი მწკრივი, მაშინ ასეთ მატრიცებსაც უწოდებენ ვექტორები.

ფაქტობრივად, ჩვენ ვიცნობთ მატრიცის ცნებას სკოლიდან, მაგალითად, წერტილი „x“ და „y“: . არსებითად, წერტილის კოორდინატები იწერება ერთი-ორ მატრიცაში. სხვათა შორის, აქ არის მაგალითი იმისა, თუ რატომ აქვს მნიშვნელობა რიცხვების თანმიმდევრობას: და არის ორი სრულიად განსხვავებული წერტილი თვითმფრინავზე.

ახლა გადავიდეთ სწავლაზე ოპერაციები მატრიცებით:

1) იმოქმედეთ პირველი. მატრიციდან მინუსის ამოღება (მატრიცაში მინუსის შეყვანა).

დავუბრუნდეთ ჩვენს მატრიცას . როგორც ალბათ შენიშნეთ, ამ მატრიცაში ძალიან ბევრი უარყოფითი რიცხვია. ეს ძალიან მოუხერხებელია მატრიცით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულების თვალსაზრისით, მოუხერხებელია ამდენი მინუსის დაწერა და ის უბრალოდ მახინჯად გამოიყურება დიზაინში.

გადავიტანოთ მინუსი მატრიცის გარეთ მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ნულზე, როგორც გესმით, ნიშანი არ იცვლება აფრიკაშიც.

საპირისპირო მაგალითი: . მახინჯი ჩანს.

მოდით შევიტანოთ მინუსი მატრიცაში მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ისე, ბევრად უფრო ლამაზი აღმოჩნდა. და რაც მთავარია, მატრიცით ნებისმიერი მოქმედების შესრულება უფრო ადვილი იქნება. რადგან არსებობს ასეთი მათემატიკური ხალხური ნიშანი: რაც უფრო მეტი მინუსია, მით მეტია დაბნეულობა და შეცდომები.

2) მოქმედება მეორე. მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.

მაგალითი:

ეს მარტივია, იმისათვის, რომ მატრიცა გავამრავლოთ რიცხვზე, გჭირდებათ ყოველიმატრიცის ელემენტი გამრავლებული მოცემული ნომერი. IN ამ შემთხვევაში- სამისთვის.

სხვა სასარგებლო მაგალითი:

- მატრიცის გამრავლება წილადზე

ჯერ ვნახოთ რა უნდა გავაკეთოთ ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐ:

არ არის საჭირო მატრიცაში წილადის შეყვანა, ჯერ ერთი, ეს მხოლოდ ართულებს მატრიცის შემდგომ მოქმედებებს და მეორეც, ართულებს მასწავლებელს ამოხსნის შემოწმებას (განსაკუთრებით თუ; - დავალების საბოლოო პასუხი).

Და განსაკუთრებით, ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐგაყავით მატრიცის თითოეული ელემენტი მინუს შვიდზე:

სტატიიდან მათემატიკა დუიმებისთვის ან სად უნდა დაიწყოს, ჩვენ ეს გვახსოვს ათწილადებიუმაღლეს მათემატიკაში ისინი ყველანაირად ცდილობენ თავიდან აიცილონ ისინი.

ერთადერთი ის არის სასურველიარა უნდა გავაკეთოთ ამ მაგალითში არის მატრიცას მინუსის დამატება:

მაგრამ თუ მხოლოდ ყველამატრიცის ელემენტები იყოფა 7-ზე უკვალოდ, მაშინ შესაძლებელი იქნებოდა (და აუცილებელიც!) გაყოფა.

მაგალითი:

ამ შემთხვევაში შეგიძლიათ საჭიროაგავამრავლოთ მატრიცის ყველა ელემენტი -ზე, რადგან ყველა მატრიცის რიცხვი იყოფა 2-ზე უკვალოდ.

შენიშვნა: უმაღლესი მათემატიკის თეორიაში სკოლის კონცეფცია"განყოფილება" No. იმის ნაცვლად, რომ თქვათ "ეს გაყოფილი მასზე", ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "ეს გამრავლებული წილადზე". ანუ გაყოფა არის განსაკუთრებული შემთხვევაგამრავლება.

3) მოქმედება მესამე. მატრიცის ტრანსპოზირება.

მატრიცის გადასატანად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ მისი რიგები ტრანსპონირებული მატრიცის სვეტებში.

მაგალითი:

მატრიცას ტრანსპოზირება

აქ არის მხოლოდ ერთი სტრიქონი და, წესის მიხედვით, ის უნდა ჩაიწეროს სვეტში:

- ტრანსპონირებული მატრიცა.

ტრანსპონირებული მატრიცა, როგორც წესი, მითითებულია ზემოწერით ან მარტივი ასოებით ზედა მარჯვნივ.

ნაბიჯ ნაბიჯ მაგალითი:

მატრიცას ტრანსპოზირება

პირველ რიგში, პირველ სტრიქონს პირველ სვეტში ვწერთ:

შემდეგ ჩვენ მეორე სტრიქონს მეორე სვეტში ვწერთ:

და ბოლოს, ჩვენ გადავიწერთ მესამე რიგს მესამე სვეტში:

მზადაა. უხეშად რომ ვთქვათ, ტრანსპოზირება ნიშნავს მატრიცის თავის მხარეს მოქცევას.

4) მოქმედება მეოთხე. მატრიცების ჯამი (განსხვავება)..

მატრიცების ჯამი მარტივი ოპერაციაა.
ყველა მატრიცის დაკეცვა არ შეიძლება. მატრიცების შეკრების (გამოკლების) შესასრულებლად აუცილებელია, რომ ისინი იყოს იგივე ზომის.

მაგალითად, თუ მოცემულია ორი-ორ მატრიცა, მაშინ მისი დამატება შესაძლებელია მხოლოდ ორი-ორ მატრიცით და არა სხვა!

მაგალითი:

დაამატეთ მატრიცები და

მატრიცების დასამატებლად საჭიროა მათი შესაბამისი ელემენტების დამატება:

მატრიცების განსხვავებისთვის წესი მსგავსია, აუცილებელია შესაბამისი ელემენტების სხვაობის პოვნა.

მაგალითი:

იპოვნეთ მატრიცის განსხვავება ,

როგორ გადაჭრით ეს მაგალითი უფრო მარტივად, რომ არ დაიბნეთ? ამისათვის მიზანშეწონილია მოიცილოთ ზედმეტი მინუსები, დაამატეთ მინუსი მატრიცაში:

შენიშვნა: უმაღლესი სკოლის მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს ცნება „გამოკლება“. იმის ნაცვლად, რომ თქვათ „გამოაკლეთ ამას“, ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ „დაამატე ეს ამას“. უარყოფითი რიცხვი" ანუ გამოკლება შეკრების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

5) მოქმედება მეხუთე. მატრიცული გამრავლება.

რა მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს?

იმისათვის, რომ მატრიცა გამრავლდეს მატრიცზე, აუცილებელია ისე, რომ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მატრიცის რიგების რაოდენობას.

მაგალითი:
შესაძლებელია თუ არა მატრიცის მატრიცზე გამრავლება?

ეს ნიშნავს, რომ მატრიცის მონაცემები შეიძლება გამრავლდეს.

მაგრამ თუ მატრიცები გადანაწილებულია, მაშინ, ამ შემთხვევაში, გამრავლება აღარ არის შესაძლებელი!

ამიტომ გამრავლება შეუძლებელია:

არც ისე იშვიათია ტრიუკით ამოცანების შეხვედრები, როცა მოსწავლეს სთხოვენ მატრიცების გამრავლებას, რომელთა გამრავლება აშკარად შეუძლებელია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მატრიცების გამრავლება ორივე გზით.
მაგალითად, მატრიცებისთვის და შესაძლებელია გამრავლებაც და გამრავლებაც

1 კურსი უმაღლესი მათემატიკა სწავლა მატრიცებიდა ძირითადი მოქმედებები მათზე. აქ ჩვენ ვაწყობთ ძირითად ოპერაციებს, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს მატრიცებით. სად დავიწყოთ მატრიცების გაცნობა? რა თქმა უნდა, უმარტივესი საგნებიდან - განმარტებები, ძირითადი ცნებები და მარტივი ოპერაციები. გარწმუნებთ, რომ მატრიცები ყველასთვის გასაგები იქნება, ვინც ცოტა დროს მაინც უთმობს მათ!

მატრიცის განმარტება

მატრიცაარის ელემენტების მართკუთხა ცხრილი. აბა, რა მოხდება, თუ მარტივი ენით- რიცხვების ცხრილი.

როგორც წესი, მატრიცები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით. მაგალითად, მატრიცა ა , მატრიცა ბ და ასე შემდეგ. მატრიცები შეიძლება იყოს სხვადასხვა ზომის: მართკუთხა, კვადრატული, ასევე არის მწკრივის მატრიცები და სვეტების მატრიცები, რომლებსაც ვექტორები ეწოდება. მატრიცის ზომა განისაზღვრება სტრიქონებისა და სვეტების რაოდენობით. მაგალითად, დავწეროთ ზომის მართკუთხა მატრიცა მ on ნ , სად მ - ხაზების რაოდენობა და ნ - სვეტების რაოდენობა.

ნივთები, რისთვისაც i=j (a11, a22, .. ) ქმნიან მატრიცის მთავარ დიაგონალს და უწოდებენ დიაგონალს.

რა შეგიძლიათ გააკეთოთ მატრიცებით? დამატება/გამოკლება, რიცხვზე გამრავლება, გამრავლდნენ ერთმანეთში, გადატანა. ახლა მატრიცებზე ყველა ამ ძირითადი ოპერაციის შესახებ თანმიმდევრობით.

მატრიცის შეკრება და გამოკლების ოპერაციები

დაუყოვნებლივ გაფრთხილებთ, რომ შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ იმავე ზომის მატრიცები. შედეგი იქნება იგივე ზომის მატრიცა. მატრიცების დამატება (ან გამოკლება) მარტივია - თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ მათი შესაბამისი ელემენტები . მოვიყვანოთ მაგალითი. შევასრულოთ ორი A და B ზომის ორი მატრიცის შეკრება.

გამოკლება ხდება ანალოგიით, მხოლოდ საპირისპირო ნიშნით.

ნებისმიერი მატრიცა შეიძლება გამრავლდეს თვითნებურ რიცხვზე. Გააკეთო ეს, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მისი თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე. მაგალითად, მოდით გავამრავლოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან 5 რიცხვზე:

მატრიცის გამრავლების ოპერაცია

ყველა მატრიცა არ შეიძლება გამრავლდეს ერთად. მაგალითად, გვაქვს ორი მატრიცა - A და B. მათი გამრავლება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის B მატრიცის რიგების რაოდენობას. ამ შემთხვევაში შედეგად მიღებული მატრიცის თითოეული ელემენტი, რომელიც მდებარეობს i-ე რიგში და j-ე სვეტი, იქნება შესაბამისი ელემენტების ნამრავლების ჯამის ტოლი მე-ე ხაზიპირველი ფაქტორი და მეორის j-ე სვეტი. ამ ალგორითმის გასაგებად, მოდით დავწეროთ როგორ მრავლდება ორი კვადრატული მატრიცა:

და მაგალითი რეალური რიცხვები. გავამრავლოთ მატრიცები:

მატრიცის ტრანსპოზის ოპერაცია

მატრიცის ტრანსპოზიცია არის ოპერაცია, სადაც ხდება შესაბამისი სტრიქონების და სვეტების გაცვლა. მაგალითად, გადავიტანოთ მატრიცა A პირველი მაგალითიდან:

მატრიცის განმსაზღვრელი

დეტერმინანტი, ანუ განმსაზღვრელი, წრფივი ალგებრის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. ოდესღაც ხალხს წრფივი განტოლებები მოჰყვა და მათ შემდეგ უნდა მოეფიქრებინათ განმსაზღვრელი. საბოლოო ჯამში, თქვენზეა დამოკიდებული, გაუმკლავდეთ ამ ყველაფერს, ასე რომ, ბოლო ბიძგი!

განმსაზღვრელი არის კვადრატული მატრიცის რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც საჭიროა მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად.
უმარტივესი კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ განსხვავება ძირითადი და მეორადი დიაგონალების ელემენტების პროდუქტებს შორის.

პირველი რიგის მატრიცის, ანუ ერთი ელემენტისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ამ ელემენტის ტოლია.

რა მოხდება, თუ მატრიცა არის სამი სამზე? ეს უფრო რთულია, მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ მისი მართვა.

ასეთი მატრიცისთვის, განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უდრის მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლების ჯამს და ძირითადი დიაგონალის პარალელურ პირის მქონე სამკუთხედებზე მდებარე ელემენტების ნამრავლების ჯამს, საიდანაც არის ნამრავლი გამოკლებულია მეორადი დიაგონალის ელემენტები და პარალელური მეორადი დიაგონალის პირის მქონე სამკუთხედებზე დაყრილი ელემენტების ნამრავლი.

საბედნიეროდ, მატრიცების დეტერმინანტების გამოთვლა დიდი ზომებიპრაქტიკაში ეს იშვიათად არის საჭირო.

აქ ჩვენ გადავხედეთ ძირითად ოპერაციებს მატრიცებზე. რა თქმა უნდა, ში ნამდვილი ცხოვრებათქვენ შეიძლება არასოდეს შეგხვდეთ განტოლებათა მატრიცული სისტემის მინიშნებაც კი, ან, პირიქით, შეგხვდეთ ბევრად მეტი რთული შემთხვევებიროცა მართლა გიწევს ჭკუის დალაგება. სწორედ ასეთი შემთხვევებისთვის არსებობს პროფესიონალი სტუდენტური სერვისები. ითხოვეთ დახმარება, მიიღეთ მაღალი ხარისხის და დეტალური გადაწყვეტა, ისიამოვნეთ აკადემიური წარმატებებით და თავისუფალი დროით.

ტერმინს "მატრიცას" მრავალი მნიშვნელობა აქვს. მაგალითად, მათემატიკაში, მატრიცა არის ელემენტების სისტემა, რომელიც ჰგავს მართკუთხა ცხრილს, მატრიცა არის ორგანზომილებიანი მასივი ელექტრონიკაში, ეს არის დირიჟორების ნაკრები; მათი გადაკვეთის წერტილები. პოკერის ჩიპები ასევე პირდაპირ კავშირშია მატრიცასთან. პოკერის ჩიპები მზადდება მაღალი ხარისხის კომპოზიტური მასალისგან, ხშირად ლითონის ბირთვით. თავის მხრივ, კომპოზიტურ მასალას ან კომპოზიტს აქვს მატრიცა და მასში შემავალი გამაძლიერებელი ელემენტები (გამონაკლისი არის ფენიანი კომპოზიტები).
მატრიცა ფოტოგრაფიაში არის ინტეგრირებული წრე (ანალოგური ან ციფრულ-ანალოგური), რომელიც შედგება ფოტოდიოდებისგან (ფოტომგრძნობიარე ელემენტები). ფოტომგრძნობიარე მატრიცის წყალობით, მასზე დაპროექტებული ოპტიკური გამოსახულება გარდაიქმნება ანალოგური ტიპის ელექტრულ სიგნალად, ხოლო თუ მატრიცაში არის ADC, გარდაქმნა ხდება ციფრულ მონაცემთა ნაკადად.
მატრიცა - მთავარი ელემენტი ციფრული კამერები, ყველა თანამედროვე ვიდეო და სატელევიზიო კამერა, ჩაშენებული ფოტო კამერები მობილური ტელეფონიდა ვიდეო თვალთვალის სისტემები.

ტერმინს "მატრიცას" აქვს თავისი მთავარი მნიშვნელობა მათემატიკაში.

მატრიცა არის მათემატიკური ობიექტი, რომელიც დაწერილია რგოლის ან ველის ელემენტების მართკუთხა ცხრილის სახით (მაგალითად, მთელი რიცხვები ან რთული რიცხვები), რომელიც წარმოადგენს სტრიქონებისა და სვეტების ერთობლიობას, რომლის გადაკვეთაზეც მდებარეობს მისი ელემენტები. . მატრიცის რიგებისა და სვეტების რაოდენობა განსაზღვრავს მატრიცის ზომას. მიუხედავად იმისა, რომ ისტორიულად, ე.ი. სამკუთხა მატრიცები, ამჟამად ჩვენ ვსაუბრობთ ექსკლუზიურად მართკუთხა ფორმის მატრიცებზე, რადგან ისინი ყველაზე მოსახერხებელი და ზოგადია.

მატრიცები პირველად იყო ნახსენები ანტიკური ჩინეთი, შემდეგ უწოდეს "ჯადოსნური მოედანი". მატრიცების ძირითადი გამოყენება იყო გამოსავალი წრფივი განტოლებები. ასევე, ჯადოსნური კვადრატები ცოტა მოგვიანებით იცოდნენ არაბმა მათემატიკოსებმა, დაახლოებით მაშინ გაჩნდა მატრიცების დამატების პრინციპი. მე-17 საუკუნის ბოლოს განმსაზღვრელი თეორიის შემუშავების შემდეგ, გაბრიელ კრამერმა დაიწყო თავისი თეორიის შემუშავება მე-18 საუკუნეში და გამოაქვეყნა კრამერის წესი 1751 წელს. დაახლოებით იმავე პერიოდში გაჩნდა „გაუსის მეთოდი“. მატრიქსის თეორიამ დაიწყო არსებობა მე-19 შუა რიცხვებისაუკუნეების განმავლობაში უილიამ ჰამილტონისა და არტურ კეილის შემოქმედებაში. მატრიცის თეორიის ფუნდამენტური შედეგები ეკუთვნის ვეიერშტრასს, ჟორდანიას და ფრობენიუსს. ტერმინი „მატრიცა“ დაამკვიდრა ჯეიმს სილვესტერმა 1850 წელს.

მატრიცები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკაში ხაზოვანი ალგებრული სისტემების კომპაქტური ჩაწერისთვის ან დიფერენციალური განტოლებები. ამ შემთხვევაში, მატრიცის რიგების რაოდენობა შეესაბამება განტოლებების რაოდენობას, ხოლო სვეტების რაოდენობას - უცნობის რაოდენობას. შედეგად, წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მცირდება მატრიცებზე მოქმედებებამდე.

მატრიცები იძლევა შემდეგ ალგებრულ ოპერაციებს:

• იგივე ზომის მატრიცების დამატება;
• შესაფერისი ზომის მატრიცების გამრავლება (მატრიცა n სვეტით შეიძლება გამრავლდეს მარჯვნივ n მწკრივით მატრიცით);
• მატრიცის გამრავლება მთავარი რგოლის ან ველის ელემენტზე (ე.ი. სკალარული).

მატრიცა არის რიცხვების ნაკრები, რომლებიც ქმნიან მართკუთხა ცხრილს, რომელიც შეიცავს m - სტრიქონებს და n - სვეტებს. მატრიცის აღსანიშნავად გამოიყენება შემდეგი წარწერა:

და ij, სადაც i არის მწკრივის ნომერი, j არის სვეტის ნომერი

C და D მატრიცებს აქვთ ზომები 3x3 და 2x2. იმ შემთხვევაში, როდესაც მატრიცის რიგების რაოდენობა უდრის მისი სვეტების რაოდენობას, მატრიცას ეწოდება კვადრატი. ეს ნიშნავს, რომ მატრიცა C არის მესამე რიგის კვადრატული მატრიცა, ხოლო მატრიცა D არის მეორე რიგის კვადრატული მატრიცა.

მატრიცას, რომელიც შეიცავს მხოლოდ ერთ მწკრივს ან ერთ სვეტს, ეწოდება ვექტორი. ასეთ მატრიცებში შეიძლება განვასხვავოთ მწკრივის ვექტორი და სვეტის ვექტორი. ამრიგად, მატრიცა K არის მწკრივის ვექტორი, ხოლო მატრიცა F არის სვეტის ვექტორი.

კვადრატულ მატრიცას, რომელშიც მთავარი დიაგონალი შეიცავს არანულოვან ელემენტებს, ხოლო დანარჩენი ნულებია, ეწოდება დიაგონალური მატრიცა. მატრიცა L არის მესამე რიგის დიაგონალური მატრიცა. თუ არანულოვანი ელემენტები ტოლია მხოლოდ ერთეულების, მაშინ ეს არის იდენტობის მატრიცა, რომელიც ყოველთვის აღინიშნება ასო E. ჩვენს შემთხვევაში, მატრიცა E არის ასევე მესამე რიგის იდენტობის მატრიცა.

თუ მატრიცის ყველა ელემენტი არის ნული, მაშინ ეს არის ნულოვანი მატრიცა. მაგალითად, მატრიცა V არის მესამე რიგის ნულოვანი მატრიცა.

თუ მოცემულ მატრიცაში სტრიქონებსა და სვეტებს შეცვლით, მიიღებთ მოცემული მატრიცის ტრანსპოზიციურ მატრიცას. მაგალითად, M მატრიცის მიცემით, ამ მატრიცის თითოეულ მწკრივს გადავიტანთ ნახატზე მის გვერდით მატრიცის შესაბამის სვეტში. მეორე მატრიცა არის M მატრიცის ტრანსპონირებული მატრიცა.

მე-19 საუკუნის შუა ხანებისთვის. მატრიცები გახდა მათემატიკური კვლევის დამოუკიდებელი ობიექტები. ამ დროისთვის ჩამოყალიბებული იყო მატრიცების დამატებისა და გამრავლების წესები. მათ განვითარებაში მთავარი როლი შეასრულა ჰამილტონის, კეილისა და სილვესტერის ნაშრომებმა (J.J.Sylvester, 1814-1897). მატრიცის თანამედროვე ნოტაცია შემოგვთავაზა კეილიმ 1841 წელს. ვეიერშტრასის (K.Th.W.Weierstrass, 1815-1897) და ფრობენიუსის (F.G.L. Frobenius, 1849-1917) კვლევამ მნიშვნელოვნად გააუმჯობესა მატრიცების თეორია, გაამდიდრა იგი ახალი შინაარსით.

მაგრამ ასევე არსებობს სპეციალური ტიპის მატრიცა, რომელსაც ჯადოსნური კვადრატი ეწოდება. ჯადოსნური მოედანი - მთელი რიცხვების კვადრატული ცხრილი, რომელშიც რიცხვების ჯამები ნებისმიერი მწკრივის, ნებისმიერი სვეტის და ორი ძირითადი დიაგონალიდან ერთსა და იმავე რიცხვს უდრის.

ჯადოსნური მოედანი უძველესი ჩინური წარმოშობისაა. ლეგენდის თანახმად, იმპერატორ იუ-ს (ძვ. წ. 2200 წ.) მეფობის დროს ყვითელი მდინარის (ყვითელი მდინარის) წყლებიდან ამოვიდა წმინდა კუ, რომლის გარსაცმზე ამოწერილი იყო იდუმალი იეროგლიფები და ეს ნიშნები ცნობილია როგორც ლოშუ და ექვივალენტურია. ჯადოსნურ მოედანზე. მე-11 საუკუნეში მათ გაიგეს ჯადოსნური მოედნების შესახებ ინდოეთში, შემდეგ კი იაპონიაში, სადაც XVI საუკუნეში. ჯადოსნური კვადრატებივრცელი ლიტერატურა დაეთმო. ევროპელებს ჯადოსნური მოედნები მე-15 საუკუნეში გააცნეს. ბიზანტიელი მწერალი ე.მოსქოპულოსი. ევროპელის მიერ გამოგონილ პირველ კვადრატად ითვლება მის ცნობილ გრავიურაზე გამოსახული ა.დიურერის კვადრატი. მელანქოლია 1. გრავიურის შექმნის თარიღი (1514 წ.) მითითებულია ქვედა ხაზის ორ ცენტრალურ უჯრედში მოცემული ნომრებით. სხვადასხვა მისტიკურ თვისებებს მიაწერდნენ მაგიურ კვადრატებს. მე-16 საუკუნეში კორნელიუს ჰაინრიხ აგრიპამ ააგო მე-3, მე-4, მე-5, მე-6, მე-7, მე-8 და მე-9 რიგის კვადრატები, რომლებიც დაკავშირებული იყო 7 პლანეტის ასტროლოგიასთან. ითვლებოდა, რომ ვერცხლზე ამოტვიფრული ჯადოსნური კვადრატი იცავდა ჭირისგან. დღესაც კი, ევროპელი მჭევრმეტყველების ატრიბუტებს შორის შეგიძლიათ ნახოთ ჯადოსნური კვადრატები.

მე-19 და მე-20 საუკუნეებში. ინტერესი ჯადოსნური კვადრატების მიმართ გაჩნდა ახალი ძალა. მათ შესწავლა დაიწყეს უმაღლესი ალგებრის და ოპერაციული გამოთვლების მეთოდების გამოყენებით.

უცნაური რიგის ჯადოსნური კვადრატები შეიძლება აშენდეს მე-17 საუკუნის ფრანგული გეომეტრის მეთოდით. A.de laLubera. განვიხილოთ ეს მეთოდი მე-5 რიგის კვადრატის მაგალითის გამოყენებით. ნომერი 1 მოთავსებულია ზედა რიგის ცენტრალურ უჯრედში. ყველა მთელი რიცხვებიგანლაგებულია ბუნებრივი თანმიმდევრობით ციკლურად ქვემოდან ზემოდან დიაგონალურ უჯრედებში მარჯვნიდან მარცხნივ. კვადრატის ზედა კიდემდე მიღწევის შემდეგ (როგორც ნომრის 1-ის შემთხვევაში), ჩვენ ვაგრძელებთ დიაგონალის შევსებას შემდეგი სვეტის ქვედა უჯრედიდან. კვადრატის მარჯვენა კიდემდე მიღწევის შემდეგ (ნომერი 3), ჩვენ ვაგრძელებთ მარცხენა უჯრედიდან გამომავალი დიაგონალის შევსებას ზემოთ ხაზში. შევსებულ უჯრედს (ნომერ 5) ან კუთხეს (ნომერი 15) მიღწევის შემდეგ, ტრაექტორია ერთი უჯრედის ქვემოთ ეშვება, რის შემდეგაც შევსების პროცესი გრძელდება.

კიდევ სად გამოიყენება მატრიცები?

გამრავლების ცხრილი არის მატრიცების ნამრავლი (1,2,3,4,5,6,7,8,9)T ×(1,2,3,4,5,6,7,8,9).

ფიზიკაში და სხვა გამოყენებითი მეცნიერებებიმატრიცები მონაცემების ჩაწერისა და მისი ტრანსფორმაციის საშუალებაა. პროგრამირებაში – პროგრამების წერაში. მათ ასევე უწოდებენ მასივებს. ფართოდ გამოიყენება ტექნოლოგიაში. მაგალითად, ეკრანზე ნებისმიერი სურათი არის ორგანზომილებიანი მატრიცა, რომლის ელემენტებია წერტილების ფერები.

ფსიქოლოგიაში ტერმინის გაგება მათემატიკაში ამ ტერმინის მსგავსია, მაგრამ მათემატიკური ობიექტების ნაცვლად იგულისხმება გარკვეული „ფსიქოლოგიური ობიექტები“ - მაგალითად, ტესტები.

გარდა ამისა, მატრიცები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკაში, ბიოლოგიაში, ქიმიაში და მარკეტინგშიც კი.

ავტორებმა ასევე იპოვეს აბსტრაქტული მოდელი - ქორწინების თეორია პრიმიტიული საზოგადოება, სადაც მატრიცების დახმარებით ნაჩვენები იყო ქორწინების ნებადართული ვარიანტები კონკრეტული ტომის წარმომადგენლებისთვის და თუნდაც შთამომავლებისთვის, რაც მატრიცების მრავალფეროვანი გამოყენების მტკიცებულება იყო.

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მატრიცების გამოყენების ზოგიერთ სფეროს.

განვიხილოთ ქორწინების თეორია, რომელიც უკვე აღვნიშნეთ.

ზოგიერთ პრიმიტიულ საზოგადოებაში არსებობს მკაცრი წესებიიმ შემთხვევებთან დაკავშირებით, რომლებშიც ქორწინება დასაშვებია. ეს წესები მიზნად ისახავს თავიდან აიცილოს ქორწინება ძალიან ახლო ნათესავებს შორის.

ეს წესები საშუალებას იძლევა ზუსტი მათემატიკური ფორმულირება "p-მატრიცების" თვალსაზრისით. ერთ-ერთი პირველი, ვინც ეს წესები აქსიომების სახით ჩამოაყალიბა, იყო ანდრე ვეილი.

ქორწინების წესები ხასიათდება შემდეგი აქსიომებით:

• აქსიომა 1: საზოგადოების თითოეულ წევრს ენიჭება ქორწინების გარკვეული ტიპი.
• აქსიომა 2: ორ ადამიანს უფლება აქვს დაქორწინდეს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი მიეკუთვნებიან იმავე ტიპის ქორწინებას.
• აქსიომა 3: ინდივიდის ტიპს განსაზღვრავს ინდივიდის სქესი და მისი მშობლების ტიპი.
• აქსიომა 4: ორი ბიჭი (ან ორი გოგონა), რომელთა მშობლებიც ეკუთვნიან განსხვავებული ტიპები, თავად განეკუთვნება სხვადასხვა ტიპს.
• აქსიომა 5: წესები, რომლებიც ნებას რთავს ან არ აძლევს მამაკაცს თავის ნათესავზე დაქორწინებას, დამოკიდებულია მხოლოდ ურთიერთობის ტიპზე. კერძოდ, მამაკაცს არ აქვს უფლება დაქორწინდეს.
• აქსიომა 6: ნებისმიერი ორი პიროვნებისთვის შესაძლებელია განისაზღვროს ის შთამომავლები, რომლებსაც დაქორწინების უფლება აქვთ.

აქსიომებიდან გამომდინარეობს, რომ აუცილებელია მშობელთა ტიპებსა და ვაჟიშვილების ტიპებს შორის ურთიერთობის დამყარება.

ნათესაური ურთიერთობების დასამყარებლად გამოიყენეს შემდეგი აღნიშვნები:

აქ მოცემულია ურთიერთობების ტიპების მაგალითები:

მატრიცის ცნება და მასზე დაფუძნებული მათემატიკის განშტოება - მატრიცული ალგებრა - უაღრესად მნიშვნელოვანია ეკონომისტებისთვის. ეს აიხსნება იმით, რომ მნიშვნელოვანი ნაწილი მათემატიკური მოდელებიეკონომიკური ობიექტები და პროცესები იწერება საკმაოდ მარტივი და რაც მთავარია, კომპაქტური მატრიცის ფორმით.

მატრიცების გამოყენებით მოსახერხებელია ზოგიერთი ეკონომიკური დამოკიდებულების ჩამოწერა.

მაგალითად, განვიხილოთ რესურსების განაწილების ცხრილი ეკონომიკის ცალკეული სექტორებისთვის (ჩვეულებრივი ერთეული):

ეს ცხრილი შეიძლება დაიწეროს კომპაქტური ფორმით, როგორც რესურსების განაწილების მატრიცა ინდუსტრიის მიხედვით:

ამ ჩანაწერში, მაგალითად, მატრიცის ელემენტი = 5.3 გვიჩვენებს, თუ რამდენს მოიხმარს ელექტროენერგია ინდუსტრია, ხოლო ელემენტი = 2.1 გვიჩვენებს, რამდენ შრომით რესურსს მოიხმარს სოფლის მეურნეობა.

პროგრესული რავენის მატრიცები - ტესტი ვიზუალური და ამავე დროს აბსტრაქტული ფიქრიმიერ ანალოგიები(ინტელექტის ტესტი), შემუშავებული ინგლისურით. ფსიქოლოგი J. Raven (1938).

თითოეული დავალება შედგება 2 ნაწილისგან: მთავარი სურათი (ზოგიერთი გეომეტრიული ნიმუში) ქვედა მარჯვენა კუთხეში არსებული სივრცე და 6 ან 8 ფრაგმენტის ნაკრები, რომელიც მდებარეობს მთავარი სურათის ქვეშ. ამ ფრაგმენტებიდან თქვენ უნდა აირჩიოთ ის, რომელიც, თუ უფსკრულის ადგილას იქნება განთავსებული, ზუსტად მოერგება სურათს მთლიანობაში. რავენის პროგრესული მატრიცები იყოფა 5 სერიად, თითოეული 12 მატრიცით. მატრიცის ელემენტების რაოდენობის ზრდისა და ურთიერთობებიდან პრინციპების გართულების გამო, ამოცანები თანდათან რთულდება როგორც ერთი სერიის ფარგლებში, ასევე სერიიდან სერიაში გადასვლისას. ასევე არსებობს რავენის პროგრესული მატრიცების მსუბუქი ვერსია, რომელიც განკუთვნილია ფსიქიკური აშლილობის მქონე ბავშვებისა და მოზრდილების შესასწავლად.

ფიგურაში ნაჩვენებია ასეთი მატრიცების მაგალითები:

ჩვენ განვიხილეთ მატრიცების გამოყენების ძირითადი სფეროები. აღმოჩნდა რომ ეს ტერმინიგამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკაში, არამედ სხვა მეცნიერებებშიც, როგორიცაა კომპიუტერული მეცნიერება, ბიოლოგია, ქიმია, ფიზიკა, ფსიქოლოგია, ეკონომიკა და ა. ნებადართული ქორწინების ვარიანტები.

MATRIX - (გერმ. Matrize, ლათ. matrix uterus). 1) სამსხმელოში: სპილენძის ყალიბი ასოებისა და მონეტების ჩამოსხმისთვის. 2) ტიპოგრაფიაში: ქაღალდის ფორმა სტერეოტიპის ჩამოსხმისთვის.

მატრიცების გამოყენებით შეგიძლიათ ამოხსნათ განტოლებათა სისტემები, მოსახერხებელია მათში ნებისმიერი მონაცემის წარმოდგენა.

ამრიგად, მივედით დასკვნამდე, რომ მატრიცები ფართოდ გამოიყენებოდა და დღესაც გამოიყენება.

ლიტერატურა:

1. Krass M.S., Chuprynov B.P.; მათემატიკა, პეტრე, 2005 წ.
2. სოლოდოვნიკოვი A.S., Babaytsev V.A., Brailov A.V., Shandra I.G.; ფინანსები და სტატისტიკა, 2000 წ.
3. კრემერი ნ.შ.; UNITY-DANA, უმაღლესი მათემატიკა ეკონომისტებისთვის, მე-3 გამოცემა, 2007 წ.
4. ვენგერი ა.ლ. - ფსიქოლოგიური ხატვის ტესტები: ილუსტრირებული სახელმძღვანელო.
5. ენციკლოპედიური ლექსიკონიახალგაზრდა მათემატიკოსი. – მ.: პედაგოგიკა, 1989 წ.

მატრიქსის განმარტება. მატრიცების ტიპები

m ზომის მატრიცა× ნკომპლექტს უწოდებენ m·nმართკუთხა ცხრილში დალაგებული რიცხვები მხაზები და ნსვეტები. ეს ცხრილი ჩვეულებრივ ფრჩხილებშია ჩასმული. მაგალითად, მატრიცა შეიძლება გამოიყურებოდეს:

მოკლედ, მატრიცა შეიძლება აღინიშნოს ერთით დიდი ასო, Მაგალითად, აან IN.

IN ზოგადი ხედიმატრიცის ზომა მ× ნდაწერე ასე

.

რიცხვები, რომლებიც ქმნიან მატრიცას, ეწოდება მატრიცის ელემენტები. მოსახერხებელია მატრიცის ელემენტების მიწოდება ორი ინდექსით იჯ: პირველი მიუთითებს მწკრივის ნომერზე, ხოლო მეორე მიუთითებს სვეტის ნომერზე. Მაგალითად, a 23- ელემენტი არის მე-2 რიგში, მე-3 სვეტში.

თუ მატრიცას აქვს მწკრივების იგივე რაოდენობა, რაც სვეტების რაოდენობას, მაშინ მატრიცას ეწოდება კვადრატი, და მისი რიგების ან სვეტების რაოდენობას უწოდებენ წესითმატრიცები. ზემოხსენებულ მაგალითებში მეორე მატრიცა არის კვადრატი - მისი რიგი არის 3, ხოლო მეოთხე მატრიცა არის მისი რიგი 1.

ეწოდება მატრიცას, რომელშიც მწკრივების რაოდენობა არ არის სვეტების რაოდენობის ტოლი მართკუთხა. მაგალითებში ეს არის პირველი და მესამე მატრიცა.

ასევე არის მატრიცები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ერთი მწკრივი ან ერთი სვეტი.

მატრიცას მხოლოდ ერთი მწკრივით ეწოდება მატრიცა - მწკრივი(ან სტრიქონი) და მატრიცა მხოლოდ ერთი სვეტით მატრიცა - სვეტი.

მატრიცას, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება nullდა აღინიშნება (0), ან უბრალოდ 0-ით. მაგალითად,

.

მთავარი დიაგონალიკვადრატული მატრიცის ჩვენ ვუწოდებთ დიაგონალს, რომელიც მიდის ზედა მარცხნიდან ქვედა მარჯვენა კუთხეში.

კვადრატული მატრიცა, რომელშიც მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება სამკუთხამატრიცა.

.

კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ყველა ელემენტი, შესაძლოა, მთავარი დიაგონალის გარდა, ნულის ტოლია, ეწოდება დიაგონალიმატრიცა. მაგალითად, ან.

დიაგონალური მატრიცა, რომელშიც ყველა დიაგონალური ელემენტი ერთის ტოლია, ეწოდება მარტოხელამატრიცა და აღინიშნება ასო E. მაგალითად, მე-3 რიგის იდენტურობის მატრიცას აქვს ფორმა .

მოქმედებები მატრიცებზე

მატრიცული თანასწორობა. ორი მატრიცა ადა ბთანაბარი თუ აქვთ იგივე ნომერირიგები და სვეტები და მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია იჯ = ბ ij. ასე რომ, თუ და , ეს A=B, თუ a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21და a 22 = b 22.

ტრანსპონირება. განვიხილოთ თვითნებური მატრიცა ასაწყისი მხაზები და ნსვეტები. ის შეიძლება ასოცირებული იყოს შემდეგ მატრიცასთან ბსაწყისი ნხაზები და მსვეტები, რომლებშიც თითოეული მწკრივი არის მატრიცის სვეტი აიგივე რიცხვით (აქედან გამომდინარე, თითოეული სვეტი არის მატრიცის მწკრივი აიგივე ნომრით). ასე რომ, თუ , ეს .

ეს მატრიცა ბდაურეკა გადატანილიმატრიცა ა, და გადასვლას არომ B ტრანსპოზიცია.

ამრიგად, ტრანსპოზიცია არის მატრიცის რიგებისა და სვეტების როლების შეცვლა. მატრიცა გადატანილია მატრიცაში ა, ჩვეულებრივ აღინიშნება თ.

მატრიცას შორის კომუნიკაცია ადა მისი ტრანსპოზირება შეიძლება დაიწეროს სახით.

Მაგალითად.იპოვეთ მოცემულის გადატანილი მატრიცა.

მატრიცის დამატება.მოდით მატრიცები ადა ბშედგება იმავე რაოდენობის სტრიქონებისა და იმავე რაოდენობის სვეტებისგან, ე.ი. აქვს იგივე ზომები. შემდეგ მატრიცების დასამატებლად ადა ბსაჭიროა მატრიცის ელემენტებისთვის ამატრიცის ელემენტების დამატება ბიმავე ადგილებში დგას. ამრიგად, ორი მატრიცის ჯამი ადა ბმატრიცას უწოდებენ C, რომელიც განისაზღვრება წესით, მაგალითად,

მაგალითები.იპოვეთ მატრიცების ჯამი:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ მატრიცის შეკრება ემორჩილება შემდეგ კანონებს: კომუტატიური A+B=B+Aდა ასოციაციური ( A+B)+C=ა+(B+C).

მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.მატრიცის გასამრავლებლად ათითო რიცხვზე კმატრიცის ყველა ელემენტია საჭირო აგავამრავლოთ ამ რიცხვზე. ამრიგად, მატრიცის პროდუქტი ათითო რიცხვზე კარის ახალი მატრიცა, რომელიც განისაზღვრება წესით ან .

ნებისმიერი ნომრისთვის ადა ბდა მატრიცები ადა ბმოქმედებს შემდეგი თანასწორობები:

მაგალითები.

მატრიცული გამრავლება.ეს ოპერაცია ტარდება თავისებური კანონის მიხედვით. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ფაქტორების მატრიცების ზომები უნდა იყოს თანმიმდევრული. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მხოლოდ ის მატრიცები, რომლებშიც პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა ემთხვევა მეორე მატრიცის რიგების რაოდენობას (ანუ პირველი რიგის სიგრძე უდრის მეორე სვეტის სიმაღლეს). Სამუშაომატრიცები აარა მატრიცა ბუწოდა ახალი მატრიცა C=AB, რომლის ელემენტები შედგება შემდეგნაირად:

ასე, მაგალითად, პროდუქტის მისაღებად (ანუ მატრიცაში C) ელემენტი, რომელიც მდებარეობს პირველ რიგში და მე-3 სვეტში 13-დან, თქვენ უნდა აიღოთ 1-ლი მწკრივი 1-ელ მატრიცაში, მე-3 სვეტი მე-2-ში, შემდეგ კი მწკრივის ელემენტები გაამრავლოთ სვეტის შესაბამის ელემენტებზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები. და პროდუქტის მატრიცის სხვა ელემენტები მიიღება პირველი მატრიცის რიგებისა და მეორე მატრიცის სვეტების მსგავსი პროდუქტის გამოყენებით.

ზოგადად, თუ გავამრავლებთ მატრიცას A = (a ij)ზომა მ× ნმატრიცამდე B = (b ij)ზომა ნ× გვ, შემდეგ მივიღებთ მატრიცას Cზომა მ× გვ, რომლის ელემენტები გამოითვლება შემდეგნაირად: ელემენტი გ ijმიიღება ელემენტების პროდუქტის შედეგად მემატრიცის მე-6 მწკრივი აშესაბამის ელემენტებზე ჯე მატრიცის სვეტი ბდა მათი დამატებები.

ამ წესიდან გამომდინარეობს, რომ თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ გაამრავლოთ ერთი და იგივე რიგის ორი კვადრატული მატრიცა და შედეგად მივიღებთ იმავე რიგის კვადრატულ მატრიცას. კერძოდ, კვადრატული მატრიცა ყოველთვის შეიძლება თავისთავად გამრავლდეს, ე.ი. მოედანზე იგი.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შემთხვევაა მწკრივის მატრიცის გამრავლება სვეტის მატრიცით და პირველის სიგანე უნდა იყოს მეორის სიმაღლის ტოლი, რის შედეგადაც მიიღება პირველი რიგის მატრიცა (ანუ ერთი ელემენტი). მართლა,

.

მაგალითები.

ასე რომ ესენი მარტივი მაგალითებიაჩვენეთ, რომ მატრიცები, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ მოძრაობენ ერთმანეთთან, ე.ი. A∙B ≠ B∙A . ამიტომ, მატრიცების გამრავლებისას, თქვენ უნდა ყურადღებით დააკვირდეთ ფაქტორების თანმიმდევრობას.

შეიძლება დადასტურდეს, რომ მატრიცული გამრავლება ემორჩილება ასოციაციურ და გამანაწილებელ კანონებს, ე.ი. (AB)C=A(BC)და (A+B)C=AC+BC.

ასევე ადვილია ამის შემოწმება კვადრატული მატრიცის გამრავლებისას აპირადობის მატრიცას ეიგივე თანმიმდევრობით ჩვენ კვლავ ვიღებთ მატრიცას ა, და AE=EA=A.

შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი საინტერესო ფაქტი. მოგეხსენებათ, 2 არა-ნულოვანი რიცხვის ნამრავლი არ არის 0-ის ტოლი. მატრიცებისთვის ეს შეიძლება არ იყოს, ე.ი. 2 არანულოვანი მატრიცის ნამრავლი შეიძლება აღმოჩნდეს ნულოვანი მატრიცის ტოლი.

Მაგალითად, თუ , ეს

.

დეტერმინანტების ცნება

მიეცით მეორე რიგის მატრიცა - კვადრატული მატრიცა, რომელიც შედგება ორი მწკრივისა და ორი სვეტისგან. .

მეორე რიგის განმსაზღვრელიმოცემული მატრიცის შესაბამისი არის რიცხვი, რომელიც მიღებულია შემდეგნაირად: a 11 a 22 – a 12 a 21.

განმსაზღვრელი მითითებულია სიმბოლოთი .

ასე რომ, იმისათვის, რომ იპოვოთ მეორე რიგის განმსაზღვრელი, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ელემენტების ნამრავლი მეორე დიაგონალის გასწვრივ მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლს.

მაგალითები.გამოთვალეთ მეორე რიგის დეტერმინანტები.

ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ მესამე რიგის მატრიცა და მისი შესაბამისი განმსაზღვრელი.

მესამე რიგის განმსაზღვრელიმესამე რიგის მოცემული კვადრატული მატრიცის შესაბამისი რიცხვი აღინიშნება და მიიღება შემდეგნაირად:

.

ამრიგად, ეს ფორმულა იძლევა მესამე რიგის დეტერმინანტის გაფართოებას პირველი რიგის ელემენტების მიხედვით. 11, 12, 13და ამცირებს მესამე რიგის დეტერმინანტის გამოთვლას მეორე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლაზე.

მაგალითები.გამოთვალეთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი.

ანალოგიურად, შეიძლება შემოვიტანოთ მეოთხე, მეხუთე და ა.შ. დეტერმინანტების ცნებები. ბრძანებები, მათი რიგის შემცირება 1-ლი რიგის ელემენტებში გაფართოებით, ტერმინების „+“ და „–“ ნიშნების მონაცვლეობით.

ამრიგად, მატრიცისგან განსხვავებით, რომელიც არის რიცხვების ცხრილი, განმსაზღვრელი არის რიცხვი, რომელიც ენიჭება მატრიცას გარკვეული გზით.

მათემატიკაში მატრიცები პრაქტიკული მნიშვნელობის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ობიექტია. ხშირად მატრიცების თეორიაში ექსკურსია იწყება სიტყვებით: "მატრიცა არის მართკუთხა მაგიდა ...". ამ ექსკურსიას ცოტა სხვა მიმართულებით დავიწყებთ.

ნებისმიერი ზომის სატელეფონო წიგნები და ნებისმიერი რაოდენობის აბონენტის მონაცემები სხვა არაფერია, თუ არა მატრიცები. ასეთი მატრიცები დაახლოებით ასე გამოიყურება:

ნათელია, რომ ჩვენ ყველანი ვიყენებთ ასეთ მატრიცებს თითქმის ყოველდღე. ეს მატრიცები მოყვება მწკრივების სხვადასხვა რაოდენობას (ისინი განსხვავდება როგორც სატელეფონო კომპანიის მიერ გაცემული დირექტორია, რომელსაც შეიძლება ჰქონდეს ათასობით, ასეულ ათასობით ან თუნდაც მილიონობით მწკრივი და ახალი, რომელიც ახლახან დაიწყო. რვეული, რომელშიც ათზე ნაკლები ხაზია) და სვეტები (ზოგიერთი ორგანიზაციის თანამდებობის პირთა დირექტორია, რომელიც შეიძლება შეიცავდეს სვეტებს, როგორიცაა თანამდებობისა და ოფისის ნომერი და თქვენი იგივე ბლოკნოტი, სადაც შეიძლება არ იყოს რაიმე მონაცემი, გარდა სახელისა, და ამდენად. , მას აქვს მხოლოდ ორი სვეტი - სახელი და ტელეფონის ნომერი).

ყველა სახის მატრიცების დამატება და გამრავლება შესაძლებელია, ასევე სხვა ოპერაციების შესრულება მათზე, მაგრამ არ არის საჭირო სატელეფონო დირექტორიების დამატება და გამრავლება, ამისგან არანაირი სარგებელი არ არის და გარდა ამისა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ თქვენი გონება.

მაგრამ ბევრი მატრიცა შეიძლება და უნდა დაემატოს და გამრავლდეს და ამით გადაჭრას სხვადასხვა აქტუალური ამოცანები. ქვემოთ მოცემულია ასეთი მატრიცების მაგალითები.

მატრიცები, რომლებშიც სვეტები წარმოადგენს კონკრეტული ტიპის პროდუქტის ერთეულების წარმოებას, ხოლო რიგები არის წლები, რომლებშიც აღირიცხება ამ პროდუქტის წარმოება:

თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ ამ ტიპის მატრიცები, რომლებიც ითვალისწინებენ სხვადასხვა საწარმოების მიერ მსგავსი პროდუქტების გამოშვებას, რათა მიიღოთ შემაჯამებელი მონაცემები ინდუსტრიისთვის.

ან მატრიცები, რომლებიც შედგება, მაგალითად, ერთი სვეტისგან, რომელშიც რიგები არის კონკრეტული ტიპის პროდუქტის საშუალო ღირებულება:

ბოლო ორი ტიპის მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს და შედეგი არის რიგის მატრიცა, რომელიც შეიცავს ყველა სახის პროდუქტის ღირებულებას წლის მიხედვით.

მატრიცები, ძირითადი განმარტებები

მართკუთხა მაგიდა, რომელიც შედგება რიცხვებისგან მხაზები და ნსვეტები ეწოდება mn-მატრიცა (ან უბრალოდ მატრიცა ) და ასე წერია:

(1)

მატრიცაში (1) რიცხვებს მისი ეწოდება ელემენტები (როგორც განმსაზღვრელში, პირველი ინდექსი ნიშნავს მწკრივის რაოდენობას, მეორე - სვეტს, რომლის გადაკვეთაზეც მდებარეობს ელემენტი; მე = 1, 2, ..., მ; ჯ = 1, 2, ნ).

მატრიცა ე.წ მართკუთხა , თუ .

თუ მ = ნ, მაშინ მატრიცა ეწოდება კვადრატი და რიცხვი n არის მისი წესით .

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი A არის განმსაზღვრელი, რომლის ელემენტებია მატრიცის ელემენტები ა. იგი მითითებულია სიმბოლოთი | ა|.

კვადრატული მატრიცა ეწოდება არა განსაკუთრებული (ან არადეგენერატი , არაერთგვაროვანი ), თუ მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, და განსაკუთრებული (ან დეგენერატი , მხოლობითი ) თუ მისი განმსაზღვრელი არის ნული.

მატრიცები ე.წ თანაბარი , თუ მათ აქვთ მწკრივების და სვეტების იგივე რაოდენობა და ყველა შესაბამისი ელემენტი ემთხვევა.

მატრიცა ე.წ null , თუ მისი ყველა ელემენტი ნულის ტოლია. ნულოვანი მატრიცას აღვნიშნავთ სიმბოლოთი 0 ან .

Მაგალითად,

მატრიცა-სტრიქონი (ან პატარა ასო ) ეწოდება 1 ნ- მატრიცა და მატრიცა-სვეტი (ან სვეტიანი ) – მ 1-მატრიცა.

მატრიცა ა“, რომელიც მიღებულია მატრიციდან ამასში რიგების და სვეტების შეცვლა ეწოდება გადატანილი მატრიცასთან შედარებით ა. ამრიგად, მატრიცისთვის (1) ტრანსპონირებული მატრიცა არის

მატრიცის გადასვლის ოპერაცია ა" გადატანილია მატრიცის მიმართ ა, ეწოდება მატრიცის ტრანსპოზიცია ა. ამისთვის წთ- მატრიცა ტრანსპონირებული არის ნმ- მატრიცა.

მატრიცის მიმართ ტრანსპონირებული მატრიცა არის ა, ანუ

(ა")" = ა .

მაგალითი 1.იპოვნეთ მატრიცა ა", ტრანსპონირებული მატრიცის მიმართ

და გაარკვიეთ არის თუ არა ორიგინალური და ტრანსპონირებული მატრიცების განმსაზღვრელი.

მთავარი დიაგონალი კვადრატული მატრიცა არის წარმოსახვითი ხაზი, რომელიც აკავშირებს მის ელემენტებს, რომლისთვისაც ორივე ინდექსი ერთნაირია. ამ ელემენტებს ე.წ დიაგონალი .

კვადრატული მატრიცა, რომელშიც ძირითადი დიაგონალიდან ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება დიაგონალი . დიაგონალური მატრიცის ყველა დიაგონალური ელემენტი არ არის აუცილებლად ნულოვანი. ზოგიერთი მათგანი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი.

ე.წ. სკალარული მატრიცა .

იდენტობის მატრიცა ეწოდება დიაგონალური მატრიცა, რომელშიც ყველა დიაგონალური ელემენტი ერთის ტოლია. მაგალითად, მესამე რიგის იდენტურობის მატრიცა არის მატრიცა

მაგალითი 2.მოცემული მატრიცები:

გამოსავალი. მოდით გამოვთვალოთ ამ მატრიცების დეტერმინანტები. სამკუთხედის წესის გამოყენებით ვპოულობთ

მატრიცის განმსაზღვრელი ბგამოვთვალოთ ფორმულის გამოყენებით

ჩვენ ამას ადვილად ვიღებთ

ამიტომ, მატრიცები ადა არიან არასინგულარული (არადეგენერაციული, არაერთგულოვანი) და მატრიცა ბ– განსაკუთრებული (დეგენერატი, მხოლობითი).

ნებისმიერი რიგის იდენტურობის მატრიცის განმსაზღვრელი აშკარად ერთის ტოლია.

თავად მოაგვარეთ მატრიცის პრობლემა და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს

მაგალითი 3.მოცემული მატრიცები

,

,

დაადგინეთ, რომელი მათგანია არაერთგვაროვანი (არადეგენერატი, არაერთგულოვანი).

მატრიცების გამოყენება მათემატიკური და ეკონომიკური მოდელირებისას

კონკრეტული ობიექტის შესახებ სტრუქტურირებული მონაცემები უბრალოდ და მოხერხებულად ჩაიწერება მატრიცების სახით. მატრიცული მოდელები იქმნება არა მხოლოდ ამ სტრუქტურირებული მონაცემების შესანახად, არამედ ამ მონაცემებით სხვადასხვა პრობლემების გადასაჭრელად ხაზოვანი ალგებრის გამოყენებით.

ამრიგად, ეკონომიკის კარგად ცნობილი მატრიცული მოდელი არის შეყვანის-გამომავალი მოდელი, რომელიც შემოიღო რუსული წარმოშობის ამერიკელმა ეკონომისტმა ვასილი ლეონტიევმა. ეს მოდელი ემყარება იმ ვარაუდს, რომ ეკონომიკის მთელი წარმოების სექტორი იყოფა ნსუფთა ინდუსტრიები. თითოეული ინდუსტრია აწარმოებს მხოლოდ ერთი ტიპის პროდუქტს, ხოლო სხვადასხვა ინდუსტრია აწარმოებს სხვადასხვა პროდუქტს. მრეწველობას შორის შრომის ამ დანაწილების გამო, არსებობს ინდუსტრითაშორისი კავშირები, რომლის მნიშვნელობა არის ის, რომ თითოეული ინდუსტრიის წარმოების ნაწილი გადადის სხვა ინდუსტრიებზე, როგორც წარმოების რესურსი.

პროდუქტის მოცულობა მე-ე ინდუსტრია (იზომება კონკრეტული საზომი ერთეულით), რომელიც წარმოებულია საანგარიშო პერიოდი, აღინიშნება და ეწოდება სრული გათავისუფლება მე- ინდუსტრია. პრობლემები შეიძლება მოხერხებულად განთავსდეს ნ- მატრიცის კომპონენტის მწკრივი.

ერთეულების რაოდენობა მე- ინდუსტრია, რომელიც უნდა დაიხარჯოს ჯ- მრეწველობა მისი პროდუქციის ერთეულის წარმოებისთვის არის დანიშნული და ეწოდება პირდაპირი დანახარჯების კოეფიციენტი.