ერთმანეთთან პერპენდიკულარული ორი ან სამი ღერძის მოწესრიგებული სისტემა საერთო დასაწყისიმითითება (წარმოშობა) და სიგრძის საერთო ერთეული ეწოდება მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა .

გენერალური დეკარტის კოორდინატთა სისტემა (აფინური კოორდინატთა სისტემა) შეიძლება მოიცავდეს არა აუცილებლად პერპენდიკულარულ ღერძებს. ფრანგი მათემატიკოსის რენე დეკარტის (1596-1662) პატივსაცემად, სწორედ ასეთი კოორდინატთა სისტემაა დასახელებული, რომელშიც სიგრძის საერთო ერთეული იზომება ყველა ღერძზე და ღერძები სწორია.

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე აქვს ორი ცული და მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სივრცეში - სამი ცული. სიბრტყეზე ან სივრცეში თითოეული წერტილი განისაზღვრება კოორდინატების მოწესრიგებული სიმრავლით - კოორდინატთა სისტემის სიგრძის ერთეულის შესაბამისი რიცხვები.

გაითვალისწინეთ, რომ, როგორც განმარტებიდან ჩანს, არსებობს დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სწორ ხაზზე, ანუ ერთ განზომილებაში. დეკარტის კოორდინატების შეყვანა წრფეზე არის ერთ-ერთი გზა, რომლითაც წრფის ნებისმიერი წერტილი ასოცირდება კარგად განსაზღვრულ რეალურ რიცხვთან, ანუ კოორდინატთან.

კოორდინატთა მეთოდი, რომელიც წარმოიშვა რენე დეკარტის ნაშრომებში, აღნიშნა ყველა მათემატიკის რევოლუციურ რესტრუქტურიზაციას. ინტერპრეტაცია შესაძლებელი გახდა ალგებრული განტოლებები(ან უტოლობა) გეომეტრიული გამოსახულებების (გრაფების) სახით და, პირიქით, გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნის ძიება ანალიტიკური ფორმულებისა და განტოლებათა სისტემების გამოყენებით. დიახ, უთანასწორობა ზ < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyდა მდებარეობს ამ თვითმფრინავის ზემოთ 3 ერთეულით.

დეკარტის კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით, მოცემული მრუდის წერტილის წევრობა შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ რიცხვები xდა წდააკმაყოფილოს გარკვეული განტოლება. ამრიგად, წერტილის კოორდინატები წრეზე, რომელსაც აქვს ცენტრი მოცემულ წერტილში ( ა; ბ) დააკმაყოფილეთ განტოლება (x - ა)² + ( წ - ბ)² = რ² .

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე

ორი პერპენდიკულური ღერძი სიბრტყეზე, რომელსაც აქვს საერთო საწყისი და იგივე მასშტაბის ერთეული ფორმა დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე . ერთ-ერთ ამ ღერძს ღერძი ეწოდება ოქსი, ან x-ღერძი , მეორე - ღერძი ოი, ან y-ღერძი . ამ ღერძებს კოორდინატულ ღერძებსაც უწოდებენ. მოდით აღვნიშნოთ მxდა მწშესაბამისად, თვითნებური წერტილის პროექცია მღერძზე ოქსიდა ოი. როგორ მივიღოთ პროგნოზები? მოდით გავიაროთ წერტილი მ ოქსი. ეს სწორი ხაზი კვეთს ღერძს ოქსიწერტილში მx. მოდით გავიაროთ წერტილი მსწორი ხაზი ღერძის პერპენდიკულარული ოი. ეს სწორი ხაზი კვეთს ღერძს ოიწერტილში მწ. ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ სურათზე.

xდა წქულები მჩვენ შესაბამისად მოვუწოდებთ მიმართული სეგმენტების მნიშვნელობებს OMxდა OMწ. ამ მიმართული სეგმენტების მნიშვნელობები გამოითვლება შესაბამისად x = x0 - 0 და წ = წ0 - 0 . დეკარტის კოორდინატები xდა წქულები მ აბსცისი და ორდინატი . ის ფაქტი, რომ წერტილი მაქვს კოორდინატები xდა წ, აღინიშნება შემდეგნაირად: მ(x, წ) .

საკოორდინატო ღერძები თვითმფრინავს ოთხად ყოფს კვადრატი , რომლის ნუმერაცია ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. ის ასევე აჩვენებს წერტილების კოორდინატებისთვის ნიშნების განლაგებას კონკრეტულ კვადრატში მათი მდებარეობიდან გამომდინარე.

სიბრტყეზე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატების გარდა, ხშირად განიხილება პოლარული კოორდინატთა სისტემაც. ერთი კოორდინატთა სისტემიდან მეორეზე გადასვლის მეთოდის შესახებ - გაკვეთილზე პოლარული კოორდინატთა სისტემა .

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სივრცეში

სივრცეში დეკარტის კოორდინატები შეყვანილია სიბრტყეში დეკარტის კოორდინატებთან სრული ანალოგიით.

სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი სივრცეში (კოორდინატული ღერძი) საერთო საწყისით ოდა იგივე მასშტაბის ერთეულით ქმნიან დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეში .

ერთ-ერთ ამ ღერძს ღერძი ეწოდება ოქსი, ან x-ღერძი , მეორე - ღერძი ოი, ან y-ღერძი , მესამე - ღერძი ოზი, ან ღერძი გამოიყენება . დაე მx, მწ მზ- თვითნებური წერტილის პროგნოზები მსივრცე ღერძზე ოქსი , ოიდა ოზიშესაბამისად.

მოდით გავიაროთ წერტილი მ ოქსიოქსიწერტილში მx. მოდით გავიაროთ წერტილი მღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე ოი. ეს სიბრტყე კვეთს ღერძს ოიწერტილში მწ. მოდით გავიაროთ წერტილი მღერძის პერპენდიკულარული სიბრტყე ოზი. ეს სიბრტყე კვეთს ღერძს ოზიწერტილში მზ.

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები x , წდა ზქულები მჩვენ შესაბამისად მოვუწოდებთ მიმართული სეგმენტების მნიშვნელობებს OMx, OMწდა OMზ. ამ მიმართული სეგმენტების მნიშვნელობები გამოითვლება შესაბამისად x = x0 - 0 , წ = წ0 - 0 და ზ = ზ0 - 0 .

დეკარტის კოორდინატები x , წდა ზქულები მშესაბამისად იწოდებიან აბსცისი , ორდინატი და მიმართვა .

კოორდინატთა ღერძები, რომლებიც წყვილებშია აღებული, განლაგებულია კოორდინატულ სიბრტყეებში xOy , yOzდა zOx .

პრობლემები დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში წერტილების შესახებ

მაგალითი 1.

ა(2; -3) ;

ბ(3; -1) ;

C(-5; 1) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები აბსცისის ღერძზე.

გამოსავალი. როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია აბსცისის ღერძზე მდებარეობს თავად აბსცისის ღერძზე, ანუ ღერძზე ოქსი, და შესაბამისად აქვს აბსცისა, რომელიც ტოლია თვით წერტილის აბსცისა და ორდინატი (კოორდინატი ღერძზე ოი, რომელსაც x ღერძი კვეთს 0 წერტილში), ნულის ტოლი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს x-ღერძზე:

აx(2;0);

ბx(3;0);

Cx (-5; 0).

მაგალითი 2.დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში ქულები მოცემულია სიბრტყეზე

ა(-3; 2) ;

ბ(-5; 1) ;

C(3; -2) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები ორდინატთა ღერძზე.

გამოსავალი. როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია ორდინატთა ღერძზე მდებარეობს თავად ორდინატთა ღერძზე, ანუ ღერძზე. ოი, და შესაბამისად აქვს ორდინატი, რომელიც ტოლია თვით წერტილის ორდინატთან და აბსცისა (კოორდინატი ღერძზე ოქსი, რომელსაც ორდინატთა ღერძი კვეთს 0 წერტილში), რაც ნულის ტოლია. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ორდინატთა ღერძზე:

აy(0;2);

ბy(0;1);

Cy(0;-2).

მაგალითი 3.დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში ქულები მოცემულია სიბრტყეზე

ა(2; 3) ;

ბ(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

ოქსი .

ოქსი ოქსი ოქსი, ექნება იგივე აბსციზა, როგორც მოცემული წერტილი და ორდინატი ტოლი აბსოლუტური მნიშვნელობით მოცემული წერტილის ორდინატთან და საპირისპირო ნიშნით. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ღერძის მიმართ ამ წერტილების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოქსი :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

თავად მოაგვარეთ პრობლემები დეკარტის კოორდინატთა სისტემის გამოყენებით და შემდეგ გადახედეთ ამონახსნებს

მაგალითი 4.დაადგინეთ რომელ ოთხკუთხედებში (კვარტლები, კვადრატებით ნახაზი - პუნქტის ბოლოს „მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე“) შეიძლება განთავსდეს წერტილი მ(x; წ) , თუ

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − წ = 0 ;

4) x + წ = 0 ;

5) x + წ > 0 ;

6) x + წ < 0 ;

7) x − წ > 0 ;

8) x − წ < 0 .

მაგალითი 5.დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში ქულები მოცემულია სიბრტყეზე

ა(-2; 5) ;

ბ(3; -5) ;

C(ა; ბ) .

იპოვეთ ამ წერტილების სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები ღერძის მიმართ ოი .

ერთად გავაგრძელოთ პრობლემების მოგვარება

მაგალითი 6.დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში ქულები მოცემულია სიბრტყეზე

ა(-1; 2) ;

ბ(3; -1) ;

C(-2; -2) .

იპოვეთ ამ წერტილების სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები ღერძის მიმართ ოი .

გამოსავალი. 180 გრადუსით გადაატრიალეთ ღერძის გარშემო ოიმიმართულების სეგმენტი ღერძიდან ოიამ მომენტამდე. ნახატზე, სადაც მითითებულია სიბრტყის კვადრატები, ვხედავთ, რომ მოცემულის სიმეტრიული წერტილი ღერძის მიმართ ოი, ექნება იგივე ორდინატი, როგორც მოცემული წერტილი და აბსციზა აბსოლუტური მნიშვნელობით ტოლია მოცემული წერტილის აბსცისა და საპირისპირო ნიშნით. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ღერძის მიმართ ამ წერტილების სიმეტრიულ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს ოი :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

მაგალითი 7.დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში ქულები მოცემულია სიბრტყეზე

ა(3; 3) ;

ბ(2; -4) ;

C(-2; 1) .

იპოვეთ ამ წერტილების სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები საწყისის მიმართ.

გამოსავალი. ჩვენ ვატრიალებთ მიმართულ სეგმენტს, რომელიც მიდის საწყისიდან მოცემულ წერტილამდე 180 გრადუსით საწყისის გარშემო. ნახატზე, სადაც მითითებულია სიბრტყის ოთხკუთხედები, ვხედავთ, რომ მოცემული წერტილის სიმეტრიულ წერტილს კოორდინატების საწყისთან მიმართებაში ექნება აბსცისა და ორდინატი, რომელიც აბსოლუტური მნიშვნელობით უდრის მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატს, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია ამ წერტილებთან მიმართებაში:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

მაგალითი 8.

ა(4; 3; 5) ;

ბ(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

იპოვეთ ამ წერტილების პროგნოზების კოორდინატები:

1) თვითმფრინავში ოქსი ;

2) თვითმფრინავში Oxz ;

3) თვითმფრინავამდე ოიზ ;

4) აბსცისის ღერძზე;

5) ორდინატთა ღერძზე;

6) აპლიკაციის ღერძზე.

1) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე ოქსიმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა და ორდინატი, რომელიც უდრის მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატს და აპლიკატი ნულის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს ოქსი :

აxy (4; 3; 0);

ბxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე Oxzმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა და აპლიკაციის ტოლი მოცემული წერტილის აბსცისა და აპლიკატი, და ორდინატი ნულის ტოლი. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს Oxz :

აxz (4; 0; 5);

ბxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) წერტილის პროექცია სიბრტყეზე ოიზმდებარეობს ამ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აქვს ორდინატი და აპლიკატი, რომელიც ტოლია მოცემული წერტილის ორდინატსა და აპლიკატს და აბსცისა ნულის ტოლი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს ოიზ :

აyz(0; 3; 5);

ბyz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) როგორც ამ გაკვეთილის თეორიული ნაწილიდან ჩანს, წერტილის პროექცია აბსცისის ღერძზე მდებარეობს თავად აბსცისის ღერძზე, ანუ ღერძზე ოქსი, და, შესაბამისად, აქვს აბსცისა, რომელიც ტოლია თვით წერტილის აბსცისა და პროექციის ორდინატი და აპლიკაცია ნულის ტოლია (რადგან ორდინატი და აპლიკაციური ღერძი კვეთს აბსცისს 0 წერტილში). ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს აბსცისის ღერძზე:

აx (4; 0; 0);

ბx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) წერტილის პროექცია ორდინატთა ღერძზე მდებარეობს თავად ორდინატთა ღერძზე, ანუ ღერძზე ოი, და ამიტომ აქვს ორდინატი, რომელიც ტოლია თვით წერტილის ორდინატთან, ხოლო პროექციის აბსცისა და აპლიკატი ნულის ტოლია (რადგან აბსცისა და აპლიკაციური ღერძები კვეთენ ორდინატთა ღერძს 0 წერტილში). ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს ორდინატთა ღერძზე:

აy(0; 3; 0);

ბy (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) წერტილის პროექცია აპლიკაციურ ღერძზე მდებარეობს თავად აპლიკაციურ ღერძზე, ანუ ღერძზე ოზი, და, შესაბამისად, აქვს აპლიკატი, რომელიც ტოლია თავად წერტილის აპლიკაციის, ხოლო პროექციის აბსცისა და ორდინატი ნულის ტოლია (რადგან აბსცისა და ორდინატთა ღერძი კვეთს აპლიკაციურ ღერძს 0 წერტილში). ჩვენ ვიღებთ ამ წერტილების პროგნოზების შემდეგ კოორდინატებს აპლიკაციურ ღერძზე:

აz (0; 0; 5);

ბz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

მაგალითი 9.დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში წერტილები მოცემულია სივრცეში

ა(2; 3; 1) ;

ბ(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

იპოვეთ ამ წერტილების სიმეტრიული წერტილების კოორდინატები:

1) თვითმფრინავი ოქსი ;

2) თვითმფრინავები Oxz ;

3) თვითმფრინავები ოიზ ;

4) აბსცისის ცულები;

5) ორდინატთა ცულები;

6) გამოიყენოს ცულები;

7) კოორდინატების წარმოშობა.

1) „გადაიტანე“ წერტილი ღერძის მეორე მხარეს ოქსი ოქსი, ექნება მოცემული წერტილის აბსცისა და ორდინატის ტოლი აბსცისა და ორდინატი, და აპლიკატი ტოლი სიდიდით მოცემული წერტილის აპლიკატს, მაგრამ ნიშნით საპირისპირო. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია სიბრტყესთან მიმართებაში ოქსი :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) „გადაიტანე“ წერტილი ღერძის მეორე მხარეს Oxzიმავე მანძილზე. კოორდინატთა სივრცის გამოსახული ფიგურიდან ჩვენ ვხედავთ, რომ სიმეტრიული წერტილი მოცემული ღერძის მიმართ Oxz, ექნება აბსცისა და აპლიკაციის ტოლი აბსცისა და მოცემული წერტილის აპლიკატი, და ორდინატი სიდიდით ტოლი მოცემული წერტილის ორდინატთან, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია სიბრტყესთან მიმართებაში Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) „გადაიტანე“ წერტილი ღერძის მეორე მხარეს ოიზიმავე მანძილზე. კოორდინატთა სივრცის გამოსახული ფიგურიდან ჩვენ ვხედავთ, რომ სიმეტრიული წერტილი მოცემული ღერძის მიმართ ოიზ, ექნება ორდინატი და აპლიკატა, რომელიც ტოლია მოცემული წერტილის ორდინატთან და აპლიკატასთან, და აბსცისა მნიშვნელობით ტოლია მოცემული წერტილის აბსცისა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია სიბრტყესთან მიმართებაში ოიზ :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

სიბრტყის სიმეტრიულ წერტილებთან და სივრცეში სიმეტრიულ წერტილებთან, რომლებიც სიმეტრიულია სიბრტყეებთან შედარებით მონაცემებთან, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ სიმეტრიის შემთხვევაში სივრცეში დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ზოგიერთი ღერძის მიმართ, კოორდინატი ღერძზე. რომელსაც სიმეტრია არის მოცემული, შეინარჩუნებს თავის ნიშანს, ხოლო კოორდინატები დანარჩენ ორ ღერძზე იქნება იგივე აბსოლუტური მნიშვნელობით, რაც მოცემული წერტილის კოორდინატებს, მაგრამ ნიშნით საპირისპირო.

4) აბსციზა ინარჩუნებს თავის ნიშანს, მაგრამ ორდინატი და განაცხადი ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია მონაცემების მიმართ აბსცისის ღერძთან:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) ორდინატი შეინარჩუნებს თავის ნიშანს, მაგრამ აბსცისა და აპლიკაცია ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია მონაცემების მიმართ ორდინატთა ღერძთან:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) განაცხადი შეინარჩუნებს თავის ნიშანს, მაგრამ აბსცისა და ორდინატი ცვლის ნიშანს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია მონაცემების მიმართ აპლიკაციური ღერძის მიმართ:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) სიმეტრიის ანალოგიით სიბრტყეზე წერტილების შემთხვევაში, კოორდინატების წარმოშობის სიმეტრიის შემთხვევაში, მოცემული წერტილის სიმეტრიული წერტილის ყველა კოორდინატი აბსოლუტური მნიშვნელობით იქნება მოცემული წერტილის კოორდინატების ტოლი, მაგრამ მათ საპირისპიროდ ნიშნით. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ წერტილების შემდეგ კოორდინატებს, რომლებიც სიმეტრიულია მონაცემების საწყისთან მიმართებაში.

პოლარული კოორდინატები

ნომერზე იწოდება პოლარული რადიუსიწერტილები ან პირველი პოლარული კოორდინატი. მანძილი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ამიტომ ნებისმიერი წერტილის პოლარული რადიუსი არის . პირველი პოლარული კოორდინატი ასევე აღინიშნება ბერძნული ასოთი (“rho”), მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ლათინურ ვერსიას და გამოვიყენებ მომავალში.

ნომერზე იწოდება პოლარული კუთხემოცემული წერტილი ან მეორე პოლარული კოორდინატი. პოლარული კუთხე ჩვეულებრივ იცვლება შიგნით (ე.წ ძირითადი კუთხის მნიშვნელობები). თუმცა, სავსებით მისაღებია დიაპაზონის გამოყენება და ზოგიერთ შემთხვევაში არის პირდაპირი აუცილებლობა განიხილოს ყველა კუთხის მნიშვნელობა ნულიდან "პლუს უსასრულობამდე". სხვათა შორის, გირჩევ შევეჩვიო კუთხის რადიანულ ზომას, რადგან უმაღლეს მათემატიკაში ხარისხებით მუშაობა არ არის მიჩნეული.

წყვილს ეძახიან პოლარული კოორდინატებიწერტილები მათი პოვნა ადვილია და კონკრეტული ღირებულებები. ტანგენტი მწვავე კუთხემართკუთხა სამკუთხედი - ეს არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა მეზობელ მხარესთან: შესაბამისად, თავად კუთხე: . პითაგორას თეორემის მიხედვით, ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს: , რაც ნიშნავს პოლარულ რადიუსს:

ამრიგად, .

ერთი პინგვინი კარგია, მაგრამ ფარა უკეთესია:


უარყოფითად ორიენტირებული კუთხეები ისრებით მოვნიშნე ყოველი შემთხვევისთვის, იმ შემთხვევაში, თუ ზოგიერთმა მკითხველმა ჯერ არ იცოდა ამ ორიენტაციის შესახებ. თუ სასურველია, შეგიძლიათ თითოეულ მათგანს 1 ბრუნი (რად. ან 360 გრადუსი) „გაახვიოთ“ და, სხვათა შორის, კომფორტული გახდეთ. ცხრილის მნიშვნელობები:

მაგრამ ამ "ტრადიციულად" ორიენტირებული კუთხეების მინუსი არის ის, რომ ისინი "მოგრეხილია" ძალიან შორს (180 გრადუსზე მეტი) საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. მე ველოდები კითხვას: "რატომ არის მინუსი და რატომ არის საჭირო ნეგატიური კუთხეები?" მათემატიკაში ფასდება უმოკლესი და რაციონალური გზები. ისე, ფიზიკის თვალსაზრისით, ბრუნვის მიმართულებას ხშირად ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს - თითოეული ჩვენგანი ცდილობდა კარის გაღებას სახელურის არასწორი მიმართულებით გაყვანით =)

პოლარულ კოორდინატებში წერტილების აგების წესი და ტექნიკა

Ლამაზი სურათებილამაზია, მაგრამ პოლარული კოორდინატთა სისტემაში მათი აგება საკმაოდ შრომატევადი ამოცანაა. არ არის სირთულეები იმ წერტილებთან, რომელთა პოლარული კუთხეებია ჩვენს მაგალითში ეს არის პუნქტები ; 45 გრადუსის მრავლობითი მნიშვნელობები ასევე არ იწვევს დიდ პრობლემას: . მაგრამ როგორ სწორად და კომპეტენტურად ავაშენოთ, ვთქვათ, წერტილი?

დაგჭირდებათ ქაღალდის ფურცელი, ფანქარი და შემდეგი ხატვის ხელსაწყოები: მმართველი, კომპასი, პროტრაქტორი. როგორც ბოლო საშუალება, თქვენ შეგიძლიათ გაუმკლავდეთ მხოლოდ ერთი მმართველით, ან თუნდაც... საერთოდ მის გარეშე! წაიკითხეთ და მიიღებთ კიდევ ერთ მტკიცებულებას, რომ ეს ქვეყანა უძლეველია =)

მაგალითი 1

ააგეთ წერტილი პოლარული კოორდინატთა სისტემაში.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გაარკვიოთ კუთხის ხარისხის ზომა. თუ კუთხე უცნობია ან ეჭვი გეპარებათ, მაშინ ყოველთვის უკეთესია გამოიყენოთ მაგიდაან რადიანების გრადუსამდე გადაყვანის ზოგადი ფორმულა. ასე რომ, ჩვენი კუთხე არის (ან).

დავხატოთ პოლარული კოორდინატთა სისტემა (იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისი) და ავიღოთ პროტრაქტორი. მრგვალი ინსტრუმენტის მფლობელებს არ გაუჭირდებათ 240 გრადუსით აღნიშვნა, მაგრამ დიდი ალბათობით თქვენ ხელზე გექნებათ მოწყობილობის ნახევარწრიული ვერსია. პროტრატორის სრული არარსებობის პრობლემა პრინტერისა და მაკრატლის თანდასწრებით ხელნაკეთობით გადაწყვეტილი.

არსებობს ორი გზა: გადააბრუნეთ ფურცელი და მონიშნეთ 120 გრადუსით, ან „გაახეხეთ“ ნახევარი შემობრუნებით და შეხედეთ საპირისპირო კუთხეს. მოდით ავირჩიოთ ზრდასრულთა მეთოდი და დავხატოთ 60 გრადუსიანი ნიშანი:


ან ლილიპუტური პროტრაქტორი, ან გიგანტური გალია =) თუმცა კუთხის გასაზომად მასშტაბი არ არის მნიშვნელოვანი.

ფანქრის გამოყენებით დახაზეთ თხელი სწორი ხაზი, რომელიც გადის ბოძზე და გაკეთდა ნიშანი:


ჩვენ დავალაგეთ კუთხე, ახლა შემდეგია პოლარული რადიუსი. აიღე კომპასი და ხაზის გასწვრივჩვენ დავაყენეთ მისი გამოსავალი 3 ერთეულზე, ყველაზე ხშირად ეს, რა თქმა უნდა, სანტიმეტრია:

ახლა ფრთხილად მოათავსეთ ნემსი ბოძზე და ბრუნვის მოძრაობავაკეთებთ პატარა სერიფს (წითელ ფერს). აშენდა საჭირო წერტილი:


თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ კომპასის გარეშე სახაზავი პირდაპირ აგებულ სწორ ხაზზე და 3 სანტიმეტრის გაზომვით. მაგრამ, როგორც მოგვიანებით დავინახავთ, პოლარული კოორდინატთა სისტემაში მშენებლობასთან დაკავშირებული პრობლემების დროსტიპიური სიტუაციაა, როდესაც საჭიროა ორი ან დიდი რაოდენობითწერტილები იგივე პოლარული რადიუსით, ამიტომ უფრო ეფექტურია ლითონის გამკვრივება. კერძოდ, ჩვენს ნახატში, კომპასის ფეხის 180 გრადუსით როტაციით, ადვილია მეორე ჭრილის გაკეთება და ძელთან სიმეტრიული წერტილის აგება. მოდით გამოვიყენოთ იგი შემდეგი აბზაცის მასალის დასამუშავებლად:

მართკუთხა და პოლარული კოორდინატთა სისტემების კავშირი

ცხადია დავამატოთპოლარული კოორდინატთა სისტემაში, "რეგულარული" კოორდინატთა ბადე და დახაზეთ წერტილი ნახაზზე:

ყოველთვის სასარგებლოა ამ კავშირის გათვალისწინება პოლარული კოორდინატების შედგენისას. თუმცა, ნებით თუ უნებლიეთ, ის თავის თავს გვთავაზობს ყოველგვარი მინიშნების გარეშე.

დავადგინოთ კავშირი პოლარულ და დეკარტის კოორდინატებს შორის კონკრეტული წერტილის მაგალითის გამოყენებით. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი, რომელშიც ჰიპოტენუზა ტოლია პოლარული რადიუსის: , და ფეხები ტოლია წერტილის "X" და "Y" კოორდინატებს დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში: .

მწვავე კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე მხარის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

მწვავე კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის თანაფარდობა ჰიპოტენუზასთან:

პარალელურად გავიმეორეთ ყოვლისმომცველი სკოლის მე-9 კლასის სასწავლო გეგმიდან სინუსის, კოსინუსის (და ცოტა ადრე ტანგენტის) განმარტებები.

გთხოვთ, დაამატოთ სამუშაო ფორმულები თქვენს საცნობარო წიგნში, რომლებიც გამოხატავენ წერტილის დეკარტის კოორდინატებს მისი პოლარული კოორდინატების მეშვეობით - ჩვენ მოგვიწევს მათთან გამკლავება არაერთხელ და შემდეგ ჯერზე ახლავე =)

ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში:

ამრიგად:

შედეგად მიღებული ფორმულები ხსნის კიდევ ერთ ხარვეზს კონსტრუქციულ პრობლემაში, როდესაც თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ პროტრატორის გარეშე: ჯერ ვპოულობთ წერტილის დეკარტის კოორდინატებს (რა თქმა უნდა, მონახაზში), შემდეგ გონებრივად ვპოულობთ სასურველ ადგილს ნახაზზე და მონიშნე ეს წერტილი. ჩართულია დასკვნითი ეტაპიდახაზეთ თხელი სწორი ხაზი, რომელიც გადის აგებულ წერტილსა და ბოძზე. შედეგად, ირკვევა, რომ კუთხე ვითომ პროტრაქტორით იყო გაზომილი.

სასაცილოა, რომ ძალიან სასოწარკვეთილ მოსწავლეებს სახაზავის გარეშეც კი შეუძლიათ, სანაცვლოდ სახელმძღვანელოს, რვეულის ან კლასის წიგნის გლუვი კიდეების გამოყენებით - ბოლოს და ბოლოს, ნოუთბუქების მწარმოებლებმა იზრუნეს მეტრიკაზე, 1 კვადრატი = 5 მილიმეტრი.

ამ ყველაფერმა გამახსენა ცნობილი ხუმრობა, რომელშიც ჭკვიანმა პილოტებმა ბელომორის შეკვრის გასწვრივ აიღეს კურსი =) თუმცა, ხუმრობების გარდა, ხუმრობა არც ისე შორს არის რეალობისგან, მახსოვს, რომ ერთ-ერთ შიდა რეისზე რუსულში ფედერაციაში, თვითმფრინავში ყველა სანავიგაციო ინსტრუმენტმა ჩაიშალა და ეკიპაჟმა წარმატებით ჩამოვუშვი თვითმფრინავი ჩვეულებრივი წყლის ჭიქის გამოყენებით, რომელიც აჩვენებდა თვითმფრინავის კუთხეს მიწასთან მიმართებაში. და აეროდრომი - აქ არის, საიდან საქარე მინახილული

გაკვეთილის დასაწყისში მოყვანილი პითაგორას თეორემის გამოყენებით მარტივია შებრუნებული ფორმულების მიღება: , შესაბამისად:

თავად კუთხე "phi" სტანდარტულად გამოხატულია არქტანგენტის საშუალებით - აბსოლუტურად იგივეა, რაც რთული რიცხვის არგუმენტიმთელი თავისი უბედურებით.

ასევე მიზანშეწონილია მოათავსოთ ფორმულების მეორე ჯგუფი თქვენს საცნობარო ბარგში.

შემდეგ დეტალური ანალიზიფრენები ინდივიდუალური ქულებით, გადავიდეთ თემის ბუნებრივ გაგრძელებაზე:

წრფის განტოლება პოლარულ კოორდინატებში

არსებითად, პოლარული კოორდინატულ სისტემაში წრფის განტოლება არის პოლარული რადიუსის ფუნქცია პოლარული კუთხიდან (არგუმენტი). ამ შემთხვევაში მხედველობაში მიიღება პოლარული კუთხე რადიანებში(!) და გამუდმებითიღებს მნიშვნელობებს დან (ზოგჯერ უნდა ჩაითვალოს უსასრულობამდე, ან რიგ პრობლემებში მოხერხებულობისთვის). კუთხის "phi" თითოეული მნიშვნელობა, რომელიც შედის დომენიფუნქცია, შეესაბამება პოლარული რადიუსის ერთ მნიშვნელობას.

პოლარული ფუნქცია შეიძლება შევადაროთ ერთგვარ რადარს - როდესაც პოლუსიდან გამომავალი სინათლის სხივი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ და „აღნიშნავს“ (ხაზავს) ხაზს.

პოლარული მრუდის სტანდარტული მაგალითია არქიმედეს სპირალი. შემდეგი სურათი გვიჩვენებს მას პირველი რაუნდი- როდესაც პოლარული რადიუსი პოლარული კუთხის შემდეგ იღებს მნიშვნელობებს 0-დან:

გარდა ამისა, პოლარული ღერძის გადაკვეთისას, სპირალი გააგრძელებს განტვირთვას, მოძრაობს პოლუსიდან უსასრულოდ შორს. მაგრამ ასეთი შემთხვევები პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია; უფრო ტიპიური სიტუაციაა, როდესაც ყველა შემდგომი რევოლუციის დროს ჩვენ "დავდივართ იმავე ხაზით", რომელიც მიღებულ იქნა დიაპაზონში.

პირველ მაგალითში ვხვდებით კონცეფციას განმარტების სფეროპოლარული ფუნქცია: ვინაიდან პოლარული რადიუსი არაუარყოფითია, აქ უარყოფითი კუთხეები არ შეიძლება განიხილებოდეს.

! შენიშვნა : ზოგიერთ შემთხვევაში მისი გამოყენება ჩვეულებრივია განზოგადებული პოლარული კოორდინატები, სადაც რადიუსი შეიძლება იყოს უარყოფითი და ამ მიდგომას მოკლედ შევისწავლით ცოტა მოგვიანებით

არქიმედეს სპირალის გარდა, ბევრი სხვა ცნობილი მრუდია, მაგრამ, როგორც ამბობენ, ხელოვნებას ვერ სწვდებით, ამიტომ შევარჩიე მაგალითები, რომლებიც ძალიან ხშირად გვხვდება რეალურ პრაქტიკულ ამოცანებში.

პირველი, უმარტივესი განტოლებები და უმარტივესი ხაზები:

ფორმის განტოლება განსაზღვრავს პოლუსიდან გამოსულს რეი. მართლაც, იფიქრეთ ამაზე, თუ კუთხის მნიშვნელობა ყოველთვის(რაც არ უნდა იყოს "er") მუდმივად, მაშინ რა ხაზია ეს?

შენიშვნა : განზოგადებულ პოლარული კოორდინატულ სისტემაში ეს განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც გადის ბოძზე

ფორმის განტოლება განსაზღვრავს... გამოიცანით პირველად - თუ ვინმესთვისკუთხის "ფი" რადიუსი მუდმივი რჩება? სინამდვილეში ეს არის განმარტება წრეორიენტირებული რადიუსის პოლუსზე.

Მაგალითად, . სიცხადისთვის, ვიპოვოთ ამ წრფის განტოლება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. წინა აბზაცში მიღებული ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:

ორივე გვერდი გავაფორმოთ კვადრატში:

– წრის განტოლებაცენტრით 2 რადიუსის საწყისთან, რაც შესამოწმებელია.

სტატიის შექმნისა და გამოშვების დღიდან ვექტორების წრფივი დამოკიდებულებისა და წრფივი დამოუკიდებლობის შესახებმე მივიღე რამდენიმე წერილი საიტის ვიზიტორებისგან, რომლებმაც დასვეს კითხვა სულისკვეთებით: "არსებობს მარტივი და მოსახერხებელი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რატომ გვჭირდება კიდევ ერთი ირიბი აფინური ქეისი?" პასუხი მარტივია: მათემატიკა ცდილობს მოიცვას ყველაფერი და ყველას! გარდა ამისა, მოცემულ სიტუაციაში მნიშვნელოვანია მოხერხებულობა - როგორც ხედავთ, გაცილებით მომგებიანია წრეზე მუშაობა პოლარულ კოორდინატებში, განტოლების უკიდურესი სიმარტივის გამო.

Და ზოგჯერ მათემატიკური მოდელიმოელის სამეცნიერო აღმოჩენებს. ასე რომ, ერთ დროს ყაზანის უნივერსიტეტის რექტორი ნ.ი. ლობაჩევსკი მკაცრად დაამტკიცა, სიბრტყის თვითნებური წერტილის მეშვეობით შეიძლება დახატოთ უსასრულოდ ბევრი სწორი ხაზი, ამის პარალელურად. შედეგად, ის ყველაფერმა შეურაცხყოფა მიაყენა სამეცნიერო სამყარო, მაგრამ... უარყო ეს ფაქტივერავინ შეძლო. მხოლოდ ერთი საუკუნის შემდეგ, ასტრონომებმა აღმოაჩინეს, რომ სინათლე კოსმოსში მოძრაობს მრუდი ტრაექტორიების გასწვრივ, სადაც ლობაჩევსკის არაევკლიდური გეომეტრია, რომელიც მის მიერ ამ აღმოჩენამდე დიდი ხნით ადრე შეიქმნა, იწყებს მუშაობას. ვარაუდობენ, რომ ეს არის თავად სივრცის თვისება, რომლის გამრუდება ჩვენთვის უხილავია მცირე (ასტრონომიული სტანდარტებით) მანძილების გამო.

მოდით განვიხილოთ უფრო მნიშვნელოვანი სამშენებლო ამოცანები:

მაგალითი 2

შექმენით ხაზი

გამოსავალი: ჯერ ვიპოვოთ დომენი. ვინაიდან პოლარული რადიუსი არაუარყოფითია, უტოლობა უნდა შენარჩუნდეს. Გახსოვს სკოლის წესებიტრიგონომეტრიული უტოლობების გადაწყვეტილებები, მაგრამ ასეთ მარტივ შემთხვევებში მე გირჩევთ უფრო სწრაფ და ვიზუალურ გადაწყვეტას:

წარმოიდგინეთ კოსინუსის გრაფიკი. თუ ის ჯერ არ არის დარეგისტრირებული თქვენს მეხსიერებაში, მაშინ იპოვეთ იგი გვერდზე ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები. რას გვეუბნება უთანასწორობა? ის გვეუბნება, რომ კოსინუს გრაფიკი უნდა განთავსდეს არანაკლებაბსცისის ღერძი. და ეს ხდება სეგმენტზე. და, შესაბამისად, ინტერვალი არ არის შესაფერისი.

ამრიგად, ჩვენი ფუნქციის განსაზღვრის სფეროა: , ანუ გრაფიკი მდებარეობს პოლუსიდან მარჯვნივ (დეკარტის სისტემის ტერმინოლოგიაში - მარჯვენა ნახევარსიბრტყეში).

პოლარულ კოორდინატებში ხშირად არის ბუნდოვანი წარმოდგენა იმის შესახებ, თუ რომელი ხაზი განსაზღვრავს კონკრეტულ განტოლებას, ამიტომ მისი ასაგებად, თქვენ უნდა იპოვოთ ის წერტილები, რომლებიც მას ეკუთვნის - და რაც მეტი, მით უკეთესი. როგორც წესი, ისინი შემოიფარგლება ათეული ან ორი (ან თუნდაც ნაკლები). უმარტივესი გზა, რა თქმა უნდა, არის მიღება ცხრილის კუთხის მნიშვნელობები. უფრო მეტი სიცხადისთვის, მე „გავახვევ“ უარყოფით მნიშვნელობებს:

კოსინუსის პარიტეტის გამო შესაბამისი დადებითი მნიშვნელობების ხელახლა დათვლა არ არის საჭირო:

გამოვსახოთ პოლარული კოორდინატთა სისტემა და გამოვსახოთ ნაპოვნი წერტილები, ხოლო იგივე ღირებულებებიმოსახერხებელია „ერ“-ის ერთდროულად გადადება, კომპასით დაწყვილებული ჭრილების გაკეთება ზემოთ განხილული ტექნოლოგიის გამოყენებით:

პრინციპში, ხაზი ნათლად არის დახატული, მაგრამ იმისათვის, რომ სრულად დავადასტუროთ გამოცნობა, ვიპოვოთ მისი განტოლება დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ახლახან მიღებული ფორმულები , მაგრამ მე გეტყვით უფრო ეშმაკურ ხრიკზე. ჩვენ ხელოვნურად ვამრავლებთ განტოლების ორივე მხარეს "er"-ზე: და ვიყენებთ უფრო კომპაქტურ გადასვლის ფორმულებს:

სრული კვადრატის არჩევისას, წრფის განტოლებას მივყავართ ცნობად ფორმამდე:

– წრის განტოლებაცენტრით წერტილით, რადიუსით 2.

ვინაიდან პირობის მიხედვით უბრალოდ საჭირო იყო კონსტრუქციის განხორციელება და ეს არის ის, ჩვენ შეუფერხებლად ვაკავშირებთ ნაპოვნი წერტილებს ხაზით:

მზადაა. არაუშავს თუ ცოტა არათანაბარი გამოდის, არ უნდა იცოდე, რომ წრე იყო ;-)

რატომ არ გავითვალისწინეთ კუთხის მნიშვნელობები ინტერვალის გარეთ? პასუხი მარტივია: აზრი არ აქვს. ფუნქციის პერიოდულობის გამო, ჩვენ ვაწყდებით უსასრულო სირბილს აგებული წრის გასწვრივ.

მარტივია მარტივი ანალიზის ჩატარება და დასკვნამდე მისვლა, რომ ფორმის განტოლება მიუთითებს დიამეტრის წრეზე ცენტრით წერტილში. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ყველა ასეთი წრე "ზის" პოლარულ ღერძზე და აუცილებლად გადის ბოძზე. თუ მაშინ მხიარული კომპანიაგადავა მარცხნივ - პოლარული ღერძის გაგრძელებაზე (დაფიქრდით რატომ).

მსგავსი დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 3

ააგეთ წრფე და იპოვეთ მისი განტოლება მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

მოდით, სისტემატიზაცია მოვახდინოთ პრობლემის გადაჭრის პროცედურის შესახებ:

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს, რომლის ნახვაც მოსახერხებელია სინუსოიდიდაუყოვნებლივ გაიგოს სად არის სინუსი არაუარყოფითი.

მეორე საფეხურზე ვიანგარიშებთ წერტილების პოლარულ კოორდინატებს გამოყენებით ცხრილის კუთხის მნიშვნელობები; გაანალიზეთ შესაძლებელია თუ არა გამოთვლების რაოდენობის შემცირება?

მესამე საფეხურზე ვხაზავთ წერტილებს პოლარული კოორდინატთა სისტემაში და ყურადღებით ვაკავშირებთ მათ წრფით.

და ბოლოს, ჩვენ ვპოულობთ წრფის განტოლებას დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში.

გაკვეთილის ბოლოს არის ამოხსნის ნიმუში.

ზოგადი ალგორითმიდა ჩვენ დეტალურად აღვწერთ მშენებლობის ტექნიკას პოლარულ კოორდინატებში
და მნიშვნელოვნად აჩქარებსლექციის მეორე ნაწილში, მაგრამ მანამდე კიდევ ერთ საერთო ხაზს გავეცნობით:

პოლარული ვარდი

მართალია, ჩვენ ვსაუბრობთ ყვავილზე ფურცლებით:

მაგალითი 4

ააგეთ ხაზები, რომლებიც მოცემულია განტოლებებით პოლარულ კოორდინატებში

პოლარული ვარდის აგების ორი მიდგომა არსებობს. პირველ რიგში, მოდით მივყვეთ დახრილ ბილიკს, ვივარაუდოთ, რომ პოლარული რადიუსი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი:

გამოსავალი:

ა) ვიპოვოთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი:

ეს ტრიგონომეტრიული უტოლობა ასევე ადვილად ამოსახსნელია გრაფიკულად: სტატიის მასალებიდან გრაფიკების გეომეტრიული გარდაქმნებიცნობილია, რომ თუ ფუნქციის არგუმენტი გაორმაგდება, მაშინ მისი გრაფიკი ორდინატთა ღერძამდე 2-ჯერ შემცირდება. გთხოვთ, იპოვოთ ფუნქციის გრაფიკი ამ გაკვეთილის პირველ მაგალითში. სად მდებარეობს ეს სინუსოიდი x ღერძის ზემოთ? ინტერვალებით . შესაბამისად, უტოლობას აკმაყოფილებს შესაბამისი სეგმენტები და დომენიჩვენი ფუნქცია: .

ზოგადად, განხილული უტოლობების ამოხსნა არის უსასრულო რაოდენობის სეგმენტების გაერთიანება, მაგრამ, ისევ და ისევ, ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ერთი პერიოდი.

შესაძლოა, ზოგიერთ მკითხველს გაუადვილდეს ანალიტიკური მეთოდის გამოყენება განმარტების დომენის მოსაძებნად. დავჭრით თანაბარ ნაწილადდა, პირველ რიგში, იპოვნეთ პირველი ნაწილის საზღვრები. ჩვენ ვმსჯელობთ შემდეგნაირად: სინუსი არ არის უარყოფითი, Როდესაც მისი არგუმენტი მერყეობს 0-დან რადამდე. ინკლუზიური. ჩვენს მაგალითში: . ორმაგი უტოლობის ყველა ნაწილის 2-ზე გაყოფით, მივიღებთ საჭირო ინტერვალს:

ახლა ჩვენ ვიწყებთ თანმიმდევრულად "90 გრადუსიანი თანაბარი ნაწილების მოჭრას" საათის ისრის საწინააღმდეგოდ:

– ნაპოვნი სეგმენტი, რა თქმა უნდა, შედის განმარტების დომენში;

– შემდეგი ინტერვალი – არ შედის;

- შემდეგი სეგმენტი - შედის;

– და ბოლოს, ინტერვალი – არ შედის.

ისევე როგორც გვირილა - "სიყვარულს, არ უყვარს, უყვარს, არ უყვარს" =) იმ განსხვავებით, რომ აქ არ არის ბედისწერა. დიახ, ეს უბრალოდ ერთგვარი სიყვარულია ჩინური გზით….

Ისე, და ხაზი წარმოადგენს ვარდს ორი იდენტური ფურცლით. სავსებით მისაღებია ნახატის სქემატურად დახატვა, მაგრამ მიზანშეწონილია სწორად მოძებნა და მონიშვნა ფურცლების მწვერვალები. წვეროები შეესაბამება განმარტების დომენის სეგმენტების შუა წერტილები, რომლებსაც ამ მაგალითში აქვთ აშკარა კუთხოვანი კოორდინატები . სადაც ფოთლების სიგრძეარიან:

აქ არის მზრუნველი მებაღის ბუნებრივი შედეგი:

უნდა აღინიშნოს, რომ ფურცლის სიგრძე ადვილად ჩანს განტოლებიდან - რადგან სინუსი შეზღუდულია: , მაშინ "er"-ის მაქსიმალური მნიშვნელობა რა თქმა უნდა არ აღემატება ორს.

ბ) ავაშენოთ ხაზი, მოცემული განტოლებით. ცხადია, ამ ვარდის ფურცლის სიგრძეც ორია, მაგრამ, პირველ რიგში, ჩვენ გვაინტერესებს განმარტების სფერო. გამოიყენება ანალიტიკური მეთოდი"ჭრის": sine არის არაუარყოფითი, როდესაც მისი არგუმენტიარის ნულიდან „pi“-ს ჩათვლით, in ამ შემთხვევაში: . უტოლობის ყველა ნაწილს ვყოფთ 3-ზე და ვიღებთ პირველ ინტერვალს:

შემდეგი, ჩვენ ვიწყებთ "ტორტის ნაწილებად დაჭრას" რად. (60 გრადუსი):
– სეგმენტი შევა განმარტების დომენში;
– ინტერვალი – არ იქნება ჩართული;
- სეგმენტი - მოერგება;
– ინტერვალი – არ იქნება ჩართული;
- სეგმენტი - მოერგება;
– ინტერვალი – არ იქნება ჩართული.

პროცესი წარმატებით სრულდება 360 გრადუსზე.

ამრიგად, განმარტების სფეროა: .

მთლიანად ან ნაწილობრივ განხორციელებული მოქმედებები გონებრივად ადვილი შესასრულებელია.

მშენებლობა. თუ წინა აბზაცში ყველაფერი კარგად მუშაობდა მართი კუთხით და 45 გრადუსიანი კუთხით, მაშინ აქ მოგიწევთ ცოტათი დალაგება. მოდი ვიპოვოთ ფურცლების მწვერვალები. მათი სიგრძე ამოცანის თავიდანვე ხილული იყო მხოლოდ კუთხური კოორდინატების გამოთვლა, რომლებიც უდრის განმარტების დომენის სეგმენტების შუა წერტილებს:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფურცლების ზედა მხარეებს შორის უნდა იყოს თანაბარი სივრცეები, ამ შემთხვევაში 120 გრადუსი.

მიზანშეწონილია ნახაზის მონიშვნა 60 გრადუსიან სექტორებად (შეზღუდული მწვანე ხაზები) და დახაზეთ ფურცლების წვეროების მიმართულებები (ნაცრისფერი ხაზები). მოსახერხებელია თავად წვეროების მონიშვნა კომპასის გამოყენებით - ერთხელ გაზომეთ მანძილი 2 ერთეულით და გააკეთეთ სამი ჭრილი დახატული მიმართულებებით 30, 150 და 270 გრადუსი:

მზადაა. მესმის, რომ ეს პრობლემური ამოცანაა, მაგრამ თუ გინდა ყველაფერი გონივრულად მოაწყო, დრო მოგიწევს.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ ზოგადი ფორმულა: ფორმის განტოლება , არის ნატურალური რიცხვი), განსაზღვრავს პოლარული ფურცლებიანი ვარდს, რომლის ფურცლის სიგრძე უდრის .

მაგალითად, განტოლება განსაზღვრავს კვადრატულ ფურცელს, რომლის ფურცლის სიგრძეა 5 ერთეული, განტოლება განსაზღვრავს 5 ფურცლიან ვარდს, რომლის ფურცლის სიგრძე 3 ერთეულია. და ა.შ.

ინსტრუქციები

Ჩაწერა მათემატიკური ოპერაციებიტექსტის სახით და შეიყვანეთ ისინი საძიებო მოთხოვნის ველში at მთავარი გვერდი Google-ის საიტი თუ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კალკულატორი, მაგრამ გაქვთ წვდომა ინტერნეტზე. ამ საძიებო სისტემას აქვს ჩაშენებული მრავალფუნქციური კალკულატორი, რომლის გამოყენება ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა. ღილაკებთან ინტერფეისი არ არის - ყველა მონაცემი ტექსტის სახით უნდა შეიყვანოთ ერთ ველში. მაგალითად, თუ ცნობილია კოორდინატები უკიდურესი წერტილები სეგმენტისამგანზომილებიან კოორდინატულ სისტემაში A(51.34 17.2 13.02) და A(-11.82 7.46 33.5), შემდეგ კოორდინატებიშუა წერტილი სეგმენტი C((51.34-11.82)/2 (17.2+7.46)/2 (13.02+33.5)/2). საძიებო მოთხოვნის ველში (51.34-11.82)/2, შემდეგ (17.2+7.46)/2 და (13.02+33.5)/2 შეყვანით, შეგიძლიათ გამოიყენოთ Google, რომ მიიღოთ კოორდინატები C(19.76 12.33 23.26).

წრის სტანდარტული განტოლება საშუალებას გაძლევთ გაარკვიოთ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ინფორმაციაამ ფიგურის შესახებ, მაგალითად, მისი ცენტრის კოორდინატები, რადიუსის სიგრძე. ზოგიერთ პრობლემაში, პირიქით, თქვენ უნდა შექმნათ განტოლება მოცემული პარამეტრების გამოყენებით.

ინსტრუქციები

განსაზღვრეთ რა ინფორმაცია გაქვთ წრის შესახებ თქვენთვის მოცემული დავალების მიხედვით. გახსოვდეთ, რომ საბოლოო მიზანი არის ცენტრის კოორდინატების და ასევე დიამეტრის განსაზღვრა. ყველა თქვენი ქმედება უნდა იყოს მიმართული ამ კონკრეტული შედეგის მისაღწევად.

გამოიყენეთ მონაცემები კოორდინატებთან ან სხვა ხაზებთან გადაკვეთის წერტილების არსებობის შესახებ. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თუ წრე გადის აბსცისის ღერძზე, მეორეს ექნება კოორდინატი 0, ხოლო თუ ის გადის ორდინატთა ღერძზე, მაშინ პირველს. ეს კოორდინატები საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ წრის ცენტრის კოორდინატები და ასევე გამოთვალოთ რადიუსი.

არ დაივიწყოთ სეკანტებისა და ტანგენტების ძირითადი თვისებები. კერძოდ, ყველაზე სასარგებლო თეორემა არის ის, რომ შეხების წერტილში რადიუსი და ტანგენსი ქმნიან მართ კუთხეს. მაგრამ გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ კურსის განმავლობაში გამოყენებული ყველა თეორემის დამტკიცება.

ამოხსენით ყველაზე სტანდარტული ტიპები, რათა ისწავლოთ მყისიერად დანახვა, თუ როგორ გამოიყენოთ გარკვეული მონაცემები წრის განტოლებისთვის. ასე რომ, გარდა უკვე აღნიშნული ამოცანებისა პირდაპირ მოცემული კოორდინატებიდა მათ, რომლებშიც მოცემულია ინფორმაცია გადაკვეთის წერტილების არსებობის შესახებ, წრის განტოლების შესადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცოდნა წრის ცენტრის, აკორდის სიგრძის შესახებ და რომელზედაც დევს ეს აკორდი.

ამოსახსნელად ააგეთ ტოლფერდა სამკუთხედი, რომლის ფუძე იქნება მოცემული აკორდი, ხოლო თანაბარი გვერდები – რადიუსი. კომპილაცია, საიდანაც მარტივად შეგიძლიათ იპოვოთ საჭირო მონაცემები. ამისათვის საკმარისია გამოიყენოთ ფორმულა სიბრტყეში სეგმენტის სიგრძის საპოვნელად.

ვიდეო თემაზე

წრე გაგებულია, როგორც ფიგურა, რომელიც შედგება მრავალი წერტილისაგან სიბრტყეზე, რომელიც თანაბარი დაშორებით არის მისი ცენტრიდან. მანძილი ცენტრიდან წერტილებამდე წრერადიუსი ეწოდება.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე იქმნება ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული კოორდინატთა ღერძებით X'X და Y'Y. კოორდინატთა ღერძები იკვეთება O წერტილში, რომელსაც საწყისს უწოდებენ, თითოეულ ღერძზე არჩეულია დადებითი მიმართულება (მარჯვენა კოორდინატულ სისტემაში) ისე, რომ როდესაც X'X ღერძი ბრუნავს. საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90°-ით, მისი დადებითი მიმართულება ემთხვევა Y'Y ღერძის დადებით მიმართულებას. ოთხ კუთხეს (I, II, III, IV), რომლებიც წარმოიქმნება X'X და Y'Y კოორდინატთა ღერძებით, ეწოდება კოორდინატულ კუთხეებს (იხ. სურ. 1).

A წერტილის პოზიცია სიბრტყეზე განისაზღვრება ორი კოორდინატით x და y. x კოორდინატი უდრის OB სეგმენტის სიგრძეს, y კოორდინატი უდრის OC სეგმენტის სიგრძეს არჩეულ საზომ ერთეულებში. სეგმენტები OB და OC განისაზღვრება A წერტილიდან Y'Y და X'X ღერძების პარალელურად გამოყვანილი ხაზებით. x კოორდინატს უწოდებენ A წერტილის აბსცისა, y კოორდინატს A წერტილის ორდინატს. იწერება ასე: A(x, y).

თუ წერტილი A დევს I კოორდინატთა კუთხეში, მაშინ A წერტილს აქვს დადებითი აბსცისა და ორდინატი. თუ წერტილი A მდებარეობს II კოორდინატთა კუთხეში, მაშინ A წერტილს აქვს უარყოფითი აბსცისა და დადებითი ორდინატი. თუ წერტილი A მდებარეობს III კოორდინატთა კუთხეში, მაშინ A წერტილს აქვს უარყოფითი აბსცისა და ორდინატი. თუ წერტილი A დევს IV კოორდინატთა კუთხეში, მაშინ A წერტილს აქვს დადებითი აბსცისა და უარყოფითი ორდინატი.

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სივრცეშიიქმნება სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული კოორდინატთა ღერძებით OX, OY და OZ. კოორდინატთა ღერძები იკვეთება O წერტილში, რომელსაც საწყისს უწოდებენ, თითოეულ ღერძზე არჩეულია დადებითი მიმართულება, რომელიც მითითებულია ისრებით და ღერძებზე სეგმენტების საზომი ერთეული. საზომი ერთეულები ყველა ღერძისთვის ერთნაირია. OX - აბსცისის ღერძი, OY - ორდინატთა ღერძი, OZ - აპლიკაციური ღერძი. ღერძების დადებითი მიმართულება არჩეულია ისე, რომ როდესაც OX ღერძი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90°-ით, მისი დადებითი მიმართულება ემთხვევა OY ღერძის დადებით მიმართულებას, თუ ეს ბრუნვა შეინიშნება OZ ღერძის დადებითი მიმართულებიდან. ასეთ კოორდინატთა სისტემას მემარჯვენე ეწოდება. თუ ცერა თითი მარჯვენა ხელიაიღეთ X მიმართულება, როგორც X მიმართულება, ინდექსი ერთი, როგორც Y მიმართულება, ხოლო შუა, როგორც Z მიმართულება, შემდეგ იქმნება მარჯვენა კოორდინატთა სისტემა. მარცხენა ხელის მსგავსი თითები ქმნიან მარცხენა კოორდინატთა სისტემას. შეუძლებელია მარჯვენა და მარცხენა კოორდინატთა სისტემების გაერთიანება ისე, რომ შესაბამისი ღერძები დაემთხვეს (იხ. სურ. 2).

A წერტილის პოზიცია სივრცეში განისაზღვრება სამი კოორდინატით x, y და z. x კოორდინატი უდრის OB სეგმენტის სიგრძეს, y კოორდინატი არის OC სეგმენტის სიგრძე, z კოორდინატი არის OD სეგმენტის სიგრძე არჩეულ საზომ ერთეულებში. OB, OC და OD სეგმენტები განისაზღვრება A წერტილიდან YOZ, XOZ და XOY სიბრტყეების პარალელურად გამოყვანილი სიბრტყეებით. x კოორდინატს ეწოდება A წერტილის აბსცისა, y კოორდინატს A წერტილის ორდინატს, z კოორდინატს A წერტილის აპლიკაციას. იწერება ასე: A(a, b, c).

ორტი

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (ნებისმიერი განზომილების) ასევე აღწერილია ერთეული ვექტორების სიმრავლით, რომლებიც შეესაბამება კოორდინატთა ღერძებს. ერთეული ვექტორების რაოდენობა უდრის კოორდინატთა სისტემის განზომილებას და ისინი ყველა ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

სამგანზომილებიან შემთხვევაში, ასეთი ერთეული ვექტორები ჩვეულებრივ აღინიშნება მე ჯ კან ე x ეწ ეზ. ამ შემთხვევაში, მარჯვენა კოორდინატთა სისტემის შემთხვევაში, მოქმედებს შემდეგი ფორმულები ვექტორების ვექტორული ნამრავლით:

• [მე ჯ]=კ ;
• [ჯ კ]=მე ;
• [კ მე]=ჯ .

ამბავი

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა პირველად შემოიღო რენე დეკარტმა თავის ნაშრომში „დისკურსი მეთოდის შესახებ“ 1637 წელს. ამიტომ, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემას ასევე უწოდებენ - დეკარტის კოორდინატთა სისტემა. გეომეტრიული ობიექტების აღწერის კოორდინატულმა მეთოდმა აღნიშნა ანალიტიკური გეომეტრიის დასაწყისი. კოორდინატთა მეთოდის შემუშავებაში წვლილი შეიტანა პიერ ფერმამაც, მაგრამ მისი ნამუშევრები პირველად მისი გარდაცვალების შემდეგ გამოიცა. დეკარტი და ფერმა კოორდინატთა მეთოდს მხოლოდ თვითმფრინავზე იყენებდნენ.

სამგანზომილებიანი სივრცის კოორდინატთა მეთოდი პირველად გამოიყენა ლეონჰარდ ეილერმა უკვე მე-18 საუკუნეში.

იხილეთ ასევე

ბმულები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

• დეკარტის კოორდინატთა სისტემა
• დეკარტის ხარისხი

ნახეთ, რა არის „დეკარტის კოორდინატები“ სხვა ლექსიკონებში:

კარტეზინის კოორდინატები- (დეკარტის კოორდინატთა სისტემა) კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ან სივრცეში, როგორც წესი, ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძებით და მართკუთხა დეკარტის კოორდინატების გასწვრივ თანაბარი მასშტაბებით; რ.დეკარტის სახელობის... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დეკარტის კოორდინატები- კოორდინატთა სისტემა, რომელიც შედგება ორი პერპენდიკულური ღერძისგან. ასეთ სისტემაში წერტილის პოზიცია იქმნება ორი რიცხვის გამოყენებით, რომლებიც განსაზღვრავენ მანძილს კოორდინატთა ცენტრიდან თითოეული ღერძის გასწვრივ. საინფორმაციო თემები...... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

დეკარტის კოორდინატები- (დეკარტის კოორდინატთა სისტემა), კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ან სივრცეში, როგორც წესი, ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძებით და მართკუთხა დეკარტის კოორდინატების გასწვრივ თანაბარი მასშტაბებით; რ.დეკარტის სახელობის... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

დეკარტის კოორდინატები- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. ატიტიკმენის: ინგლ. დეკარტის კოორდინატები vok. Kartesische Koordinaten, f… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

დეკარტის კოორდინატები- Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. დეკარტის კოორდინატები; ბადის კოორდინატები vok. kartesische Koordinaten, f rus. დეკარტის კოორდინატები, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos Terminų Jodynas

კარტეზინის კოორდინატები- სიბრტყეზე წერტილების პოზიციის განსაზღვრის მეთოდი მათი მანძილით ორ ფიქსირებულ პერპენდიკულარ სწორ ღერძამდე. ეს კონცეფცია უკვე ჩანს არქიმედესა და პერგას აპოლოგისში ორი ათასზე მეტი წლის წინ და ძველ ეგვიპტეშიც კი. პირველად ეს...... მათემატიკური ენციკლოპედია

კარტეზინის კოორდინატები- დეკარტის კოორდინატთა სისტემა [ფრანგების სახელობის. ფილოსოფოსი და მათემატიკოსი რ. დეკარტი (რ. დეკარტი; 1596 1650)], კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ან სივრცეში, როგორც წესი, ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძებით და მართკუთხა D ღერძების გასწვრივ თანაბარი მასშტაბებით. დიდი ენციკლოპედიური პოლიტექნიკური ლექსიკონი

კარტეზინის კოორდინატები- (დეკარტის კოორდინატთა სისტემა), კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე ან სივრცეში, როგორც წესი, ორმხრივი პერპენდიკულარული ღერძებით და მართკუთხა ღერძების გასწვრივ თანაბარი მასშტაბებით. ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

კარტეზინის კოორდინატები- ძვლებზე ნაპოვნი ნებისმიერი წერტილის განლაგების სისტემა სწორი კუთხით გადაკვეთილი ორი ღერძის მიმართ. რენე დეკარტის მიერ შემუშავებული ეს სისტემა გახდა საფუძველი სტანდარტული მეთოდებიმონაცემთა გრაფიკული წარმოდგენა. Ჰორიზონტალური ხაზი… … ლექსიკონიფსიქოლოგიაში

კოორდინატები- კოორდინატები. თვითმფრინავში (მარცხნივ) და სივრცეში (მარჯვნივ). კოორდინატები (ლათინური co together და ordinatus ordered), რიცხვები, რომლებიც განსაზღვრავენ წერტილის პოზიციას სწორ ხაზზე, სიბრტყეზე, ზედაპირზე, სივრცეში. კოორდინატები არის მანძილი... ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი

წრის განტოლება კოორდინატულ სიბრტყეზე

განმარტება 1. რიცხვითი ღერძი ( რიცხვითი ხაზი, კოორდინატთა ხაზი) Ox არის სწორი ხაზი, რომელზედაც არჩეულია O წერტილი წარმოშობა (კოორდინატების წარმოშობა)(ნახ.1), მიმართულება

ო → x

ჩამოთვლილი როგორც დადებითი მიმართულებადა მონიშნულია სეგმენტი, რომლის სიგრძეც აღებულია სიგრძის ერთეული.

განმარტება 2. სეგმენტს, რომლის სიგრძე მიიღება სიგრძის ერთეულად, ეწოდება მასშტაბი.

რიცხვების ღერძის თითოეულ წერტილს აქვს კოორდინატი, რომელიც არის რეალური რიცხვი. O წერტილის კოორდინატი არის ნული. Ox სხივზე მდებარე თვითნებური A წერტილის კოორდინატი უდრის OA სეგმენტის სიგრძეს. რიცხვითი ღერძის თვითნებური A წერტილის კოორდინატი, რომელიც არ დევს Ox სხივზე, უარყოფითია და აბსოლუტური მნიშვნელობით უდრის OA სეგმენტის სიგრძეს.

განმარტება 3. მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა Oxy თვითმფრინავზედაურეკეთ ორს ერთმანეთს პერპენდიკულარულირიცხვითი ცულები Ox და Oy ერთად იგივე მასშტაბიდა საერთო საცნობარო წერტილი O წერტილში და ისე, რომ ბრუნი Ox სხივიდან 90° კუთხით Oy სხივისკენ განხორციელდეს მიმართულებით საათის ისრის საწინააღმდეგოდ(ნახ. 2).

Შენიშვნა. მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა Oxy, რომელიც ნაჩვენებია სურათზე 2, ე.წ სწორი კოორდინატთა სისტემა, განსხვავებით მარცხენა კოორდინატთა სისტემები, რომელშიც Ox სხივის ბრუნვა 90°-იანი კუთხით Oy-ს მიმართ ხორციელდება საათის ისრის მიმართულებით. ამ სახელმძღვანელოში ჩვენ ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ მარჯვენა კოორდინატულ სისტემებს, კონკრეტულად დაკონკრეტების გარეშე.

თუ სიბრტყეში შემოვიყვანთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატების Oxy სისტემას, მაშინ სიბრტყის თითოეული წერტილი შეიძენს. ორი კოორდინატი – აბსცისიდა ორდინატი, რომლებიც გამოითვლება შემდეგნაირად. მოდით A იყოს თვითნებური წერტილი სიბრტყეზე. მოდით ჩამოვთვალოთ პერპენდიკულარები A წერტილიდან ᲐᲐ. 1 და ᲐᲐ. 2 სწორი ხაზებისკენ Ox და Oy, შესაბამისად (ნახ. 3).

განმარტება 4. A წერტილის აბსცისა არის წერტილის კოორდინატი ა 1 რიცხვთა ღერძზე Ox, A წერტილის ორდინატი არის წერტილის კოორდინატი ა 2 რიცხვის ღერძზე Oy.

Დანიშნულება წერტილის კოორდინატები (აბსციზა და ორდინატი).მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში A ჩვეულებრივ აღინიშნება Oxy (ნახ. 4). ა(x;წ) ან ა = (x; წ).

Შენიშვნა. წერტილი O, ე.წ წარმოშობა, აქვს კოორდინატები ო(0 ; 0) .

განმარტება 5. მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში Oxy რიცხვით ღერძს Ox-ს ეწოდება აბსცისის ღერძი, ხოლო ციფრულ ღერძს Oy-ს ორდინატთა ღერძი (სურ. 5).

განმარტება 6. თითოეული მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეს ყოფს 4 კვარტალად (კვადრანტებად), რომელთა ნუმერაცია ნაჩვენებია სურათზე 5.

განმარტება 7. სიბრტყეს, რომელზეც მოცემულია მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, ეწოდება საკოორდინაციო თვითმფრინავი.

Შენიშვნა. აბსცისის ღერძი კოორდინატულ სიბრტყეზე მითითებულია განტოლებით წ= 0, ორდინატთა ღერძი მოცემულია კოორდინატულ სიბრტყეზე განტოლებით x = 0.

განცხადება 1. მანძილი ორ წერტილს შორისსაკოორდინაციო თვითმფრინავი

ა 1 (x 1 ;წ 1) და ა 2 (x 2 ;წ 2)

გათვლილი ფორმულის მიხედვით

მტკიცებულება . განვიხილოთ სურათი 6.

|ა 1 ა 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (წ 2 -წ 1) 2 .

(1)

აქედან გამომდინარე,

ქ.ე.დ.

წრის განტოლება კოორდინატულ სიბრტყეზე

განვიხილოთ კოორდინატულ სიბრტყეზე Oxy (ნახ. 7) R რადიუსის წრე, ცენტრით წერტილში. ა 0 (x 0 ;წ 0) .