რა არის ერთეული წრე. ერთეული წრე არის წრე, რომლის რადიუსი არის 1 და ცენტრი საწყისზე. შეგახსენებთ, რომ წრის განტოლება ჰგავს x 2 +y 2 =1. ასეთი წრე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ზოგიერთი "განსაკუთრებული" ტრიგონომეტრიული ურთიერთობის მოსაძებნად, ასევე გრაფიკული გამოსახულების ასაგებად. მისი და მასში ჩასმული ხაზის გამოყენებით, თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეაფასოთ რიცხვითი მნიშვნელობები ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

დაიმახსოვრეთ 6 ტრიგონომეტრიული თანაფარდობა.გვახსოვდეს, რომ

• sinθ=საპირისპირო მხარე/ჰიპოტენუზა
• cosθ=მიმდებარე მხარე/ჰიპოტენუზა
• tgθ=მოპირდაპირე მხარე/მიმდებარე მხარე
• cosecθ=1/ცოდ
• secθ=1/cos
• ctgθ=1/ტგ.

ტრიგონომეტრია, როგორც მეცნიერება, წარმოიშვა ძველ აღმოსავლეთში. პირველი ტრიგონომეტრიული კოეფიციენტები ასტრონომებმა გამოიგონეს ზუსტი კალენდრისა და ვარსკვლავების ორიენტაციის შესაქმნელად. ეს გამოთვლები დაკავშირებულია სფერულ ტრიგონომეტრიასთან, ხოლო სკოლის კურსისიბრტყის სამკუთხედის გვერდებისა და კუთხეების შეფარდების შესწავლა.

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეხება ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებებს და სამკუთხედების გვერდებსა და კუთხეებს შორის ურთიერთობას.

I ათასწლეულში კულტურისა და მეცნიერების აყვავების პერიოდში ცოდნა გავრცელდა ძველი აღმოსავლეთისაბერძნეთში. მაგრამ ტრიგონომეტრიის მთავარი აღმოჩენები ქმრების დამსახურებაა არაბთა ხალიფატი. კერძოდ, თურქმენმა მეცნიერმა ალ-მარაზვიმ შემოიტანა ისეთი ფუნქციები, როგორიცაა ტანგენსი და კოტანგენსი და შეადგინა მნიშვნელობების პირველი ცხრილები სინუსების, ტანგენტებისა და კოტანგენტების. სინუსისა და კოსინუსის ცნებები შემოიღეს ინდოელმა მეცნიერებმა. ტრიგონომეტრიას დიდი ყურადღება ექცევა ანტიკურობის ისეთი დიდი მოღვაწეების ნამუშევრებში, როგორებიც იყვნენ ევკლიდე, არქიმედე და ერატოსთენე.

ტრიგონომეტრიის ძირითადი რაოდენობები

რიცხვითი არგუმენტის ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. თითოეულ მათგანს აქვს საკუთარი გრაფიკი: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი.

ამ რაოდენობების მნიშვნელობების გამოთვლის ფორმულები ეფუძნება პითაგორას თეორემას. ეს უფრო ცნობილია სკოლის მოსწავლეებისთვის ფორმულირებით: „პითაგორას შარვალი, თანაბარი ყველა მიმართულებით“, რადგან მტკიცებულება მოცემულია ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის მაგალითის გამოყენებით.

სინუსი, კოსინუსი და სხვა დამოკიდებულებები ამყარებენ ურთიერთობას მკვეთრი კუთხეებიდა ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედის გვერდები. მოდით წარმოვადგინოთ ფორმულები ამ სიდიდის გამოსათვლელად A კუთხისთვის და მივყვეთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს შორის ურთიერთობებს:

როგორც ხედავთ, tg და ctg შებრუნებული ფუნქციებია. თუ ფეხი a წარმოვიდგენთ, როგორც ცოდვის A და ჰიპოტენუზის c ნამრავლი, ხოლო b ფეხი, როგორც cos A * c, მივიღებთ ტანგენტისა და კოტანგენტის შემდეგ ფორმულებს:

ტრიგონომეტრიული წრე

გრაფიკულად, აღნიშნულ რაოდენობებს შორის ურთიერთობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

წრე, ამ შემთხვევაში, წარმოადგენს α კუთხის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას - 0°-დან 360°-მდე. როგორც ნახატიდან ჩანს, თითოეული ფუნქცია კუთხიდან გამომდინარე იღებს უარყოფით ან დადებით მნიშვნელობას. მაგალითად, sin α-ს ექნება „+“ ნიშანი, თუ α ეკუთვნის წრის 1-ლ და მე-2 მეოთხედებს, ანუ ის არის 0°-დან 180°-მდე დიაპაზონში. α 180°-დან 360°-მდე (III და IV კვარტალი), sin α შეიძლება იყოს მხოლოდ უარყოფითი მნიშვნელობა.

შევეცადოთ ავაშენოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილები კონკრეტული კუთხისთვის და გავარკვიოთ რაოდენობების მნიშვნელობა.

α-ის მნიშვნელობებს, რომლებიც ტოლია 30°, 45°, 60°, 90°, 180° და ა.შ. განსაკუთრებული შემთხვევები ეწოდება. მათთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები გამოითვლება და წარმოდგენილია სპეციალური ცხრილების სახით.

ეს კუთხეები შემთხვევით არ იყო არჩეული. ცხრილებში π აღნიშვნა არის რადიანებისთვის. რად არის კუთხე, რომლის დროსაც წრის რკალის სიგრძე შეესაბამება მის რადიუსს. ეს მნიშვნელობა დაინერგა უნივერსალური დამოკიდებულების დადგენის მიზნით, რადიუსებში გაანგარიშებისას, რადიუსის ფაქტობრივ სიგრძეს არ აქვს მნიშვნელობა.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილების კუთხეები შეესაბამება რადიანის მნიშვნელობებს:

ასე რომ, ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ 2π არის სრული წრე ან 360°.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებები: სინუსი და კოსინუსი

სინუსის და კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენსის ძირითადი თვისებების გასათვალისწინებლად და შესადარებლად აუცილებელია მათი ფუნქციების დახატვა. ეს შეიძლება გაკეთდეს მრუდის სახით, რომელიც მდებარეობს ორგანზომილებიან კოორდინატულ სისტემაში.

განიხილეთ შედარების ცხრილისინუსებისა და კოსინუსების თვისებები:

იმის დადგენა, არის თუ არა ფუნქცია ლუწი თუ არა, ძალიან მარტივია. საკმარისია წარმოვიდგინოთ ტრიგონომეტრიული წრე ტრიგონომეტრიული სიდიდეების ნიშნებით და გონებრივად „დაკეცოთ“ გრაფიკი OX ღერძის მიმართ. თუ ნიშნები ერთმანეთს ემთხვევა, ფუნქცია ლუწია, წინააღმდეგ შემთხვევაში – კენტი.

რადიანების დანერგვა და სინუსური და კოსინუსური ტალღების ძირითადი თვისებების ჩამოთვლა საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ შემდეგი ნიმუში:

ფორმულის სისწორის შემოწმება ძალიან მარტივია. მაგალითად, x = π/2-ისთვის, სინუსი არის 1, ისევე როგორც x = 0-ის კოსინუსი. შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს ცხრილების კონსულტაციის ან მოცემული მნიშვნელობებისთვის ფუნქციის მრუდების მიკვლევით.

ტანგენსოიდების და კოტანგენცოიდების თვისებები

ტანგენტისა და კოტანგენტის ფუნქციების გრაფიკები მნიშვნელოვნად განსხვავდება სინუსური და კოსინუსური ფუნქციებისგან. tg და ctg მნიშვნელობები ერთმანეთის საპასუხოა.

1. Y = tan x.
2. ტანგენსი მიდრეკილია y-ის მნიშვნელობებზე x = π/2 + πk, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
3. ტანგენტოიდის უმცირესი დადებითი პერიოდია π.
4. Tg (- x) = - tg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
5. Tg x = 0, x = πk-სთვის.
6. ფუნქცია იზრდება.
7. Tg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (— π/2 + πk, πk).
9. წარმოებული (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

განვიხილოთ გრაფიკული გამოსახულებაკოტანგენტოიდები ქვემოთ ტექსტში.

კოტანგენტოიდების ძირითადი თვისებები:

1. Y = cot x.
2. სინუსებისა და კოსინუსების ფუნქციებისგან განსხვავებით, ტანგენტოიდში Y-ს შეუძლია მიიღოს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლის მნიშვნელობები.
3. კოტანგენტოიდი მიდრეკილია y მნიშვნელობებისკენ x = πk-ზე, მაგრამ არასოდეს აღწევს მათ.
4. კოტანგენტოიდის ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდია π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, ანუ ფუნქცია კენტია.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk-სთვის.
7. ფუნქცია მცირდება.
8. Ctg x › 0, x ϵ-სთვის (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ-სთვის (π/2 + πk, πk).
10. წარმოებული (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x სწორია

ტრიგონომეტრიული წრე. ერთეული წრე. ნომრის წრე. რა არის ეს?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალები 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც ძალიან "არც ძალიან..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ძალიან ხშირად ტერმინები ტრიგონომეტრიული წრე, ერთეული წრე, რიცხვითი წრეცუდად ესმით სტუდენტები. და სრულიად უშედეგოდ. ეს ცნებები ძლიერი და უნივერსალური დამხმარეა ტრიგონომეტრიის ყველა სფეროში. სინამდვილეში, ეს არის კანონიერი მოტყუების ფურცელი! დავხატე ტრიგონომეტრიული წრე და მაშინვე ვნახე პასუხები! მაცდური? ასე რომ, ვისწავლოთ, ცოდვა იქნება ასეთი რამ არ გამოვიყენოთ. უფრო მეტიც, ეს საერთოდ არ არის რთული.

ამისთვის წარმატებული სამუშაოტრიგონომეტრიული წრით თქვენ მხოლოდ სამი რამ უნდა იცოდეთ.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით უკან არის. იმ დროის განმავლობაში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას ნაბიჯს გარბის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი ვერასდროს დაეწია კუს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, ჰილბერტი... ყველა ასე თუ ისე განიხილავდა ზენონის აპორიას. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... დისკუსიები დღემდე გრძელდება სამეცნიერო საზოგადოებამ პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე მისვლა... საკითხის შესწავლაში ჩაერთო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები; ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა..."[ვიკიპედია, "ზენონის აპორია". ყველას ესმის, რომ მათ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რისგან შედგება მოტყუება.

მათემატიკური თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა რაოდენობიდან . ეს გადასვლა გულისხმობს განაცხადს მუდმივის ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციიდან გამომდინარე, ვაკეთებთ დროის მუდმივ ერთეულებს საპასუხო მნიშვნელობაზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის შენელებას, სანამ ის მთლიანად არ გაჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწევა. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ ასწრებს კუს.

თუ ჩვენ ჩვეულ ლოგიკას შევაბრუნებთ, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი კუს უსასრულოდ სწრაფად დაეწევა“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით მუდმივი ერთეულებიდროის გაზომვა და არ გადავიდეს საპასუხო სიდიდეებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუს ასი ნაბიჯის გადახრით იმავე მიმართულებით. პირველის ტოლი შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით დაცოცავს. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს ასე არ არის სრული გადაწყვეტაპრობლემები. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას "აქილევსი და კუს". ჯერ კიდევ გვიწევს ამ პრობლემის შესწავლა, გადახედვა და გადაჭრა. და გამოსავალი უნდა ვეძებოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსიმისი გადალახვა ძალიან მარტივად შეიძლება - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. იმის დასადგენად, მოძრაობს თუ არა მანქანა, გჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული ერთი და იგივე წერტილიდან დროის სხვადასხვა წერტილში, მაგრამ თქვენ ვერ განსაზღვრავთ მათგან მანძილს. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, დაგჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული სივრცის სხვადასხვა წერტილიდან დროის ერთ მომენტში, მაგრამ მათგან ვერ განსაზღვრავთ მოძრაობის ფაქტს (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ ). რაზეც მინდა გავამახვილო განსაკუთრებული ყურადღება, არის ის, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის სხვადასხვა რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი სხვადასხვა შესაძლებლობებს იძლევა კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის ძალიან კარგად არის აღწერილი ვიკიპედიაში. Მოდი ვნახოთ.

როგორც ხედავთ, „ნაკრებში არ შეიძლება იყოს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მრავალკომპლექტი“ ეწოდება. ასეთი აბსურდული ლოგიკა გრძნობადი არსებებიარასოდეს მესმის. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომლებსაც არ აქვთ ინტელექტი სიტყვიდან "სრულიად". მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც ჩვეულებრივი ტრენერები და გვაქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის ქვეშ ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის გამოცდის დროს. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი უძლებდა დატვირთვას, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

არ აქვს მნიშვნელობა, როგორ იმალებიან მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, "დამახე, მე სახლში ვარ", უფრო სწორად "მათემატიკის სწავლა" აბსტრაქტული ცნებები“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მიმართეთ მათემატიკური თეორიაადგენს თავად მათემატიკოსებს.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვაძლევთ. ასე რომ, მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ ვითვლით მას მთელ თანხას და ვაწყობთ მას ჩვენს მაგიდაზე სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ვათავსებთ იმავე ნომინალის კუპიურებს. შემდეგ ჩვენ ვიღებთ თითო კუპიურას თითოეული წყობიდან და ვაძლევთ მათემატიკოსს „ხელფასის მათემატიკურ კომპლექტს“. მოდით ავუხსნათ მათემატიკოსს, რომ ის მიიღებს დარჩენილ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როცა დაამტკიცებს, რომ იდენტური ელემენტების გარეშე ნაკრები არ უდრის იდენტური ელემენტების სიმრავლეს. აქედან იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „ეს შეიძლება სხვებზეც გავრცელდეს, ჩემზე კი არა! შემდეგ ისინი დაიწყებენ ჩვენს დარწმუნებას, რომ ერთი და იგივე ნომინალის კუპიურებს განსხვავებული ნომრები აქვთ, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს ერთსა და იმავე ელემენტებად. კარგი, მოდით დავთვალოთ ხელფასები მონეტებში - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი დაიწყებს ფიზიკის გაბრაზებულ გახსენებას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, ატომების კრისტალური სტრუქტურა და განლაგება უნიკალურია თითოეული მონეტისთვის...

ახლა კი ყველაზე მეტი მაქვს ინტერესი იკითხე: სად არის ხაზი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქ ტყუილთან ახლოსაც არ არის.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების არეები იგივეა - რაც ნიშნავს, რომ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ თუ გადავხედავთ იმავე სტადიონების სახელებს, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთი და იგივე ნაკრები არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. Რომელია სწორი? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შარფისტი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტის ან მულტისეტის შესახებ. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არ წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არავითარი კავშირი არ აქვს მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ამიტომ არიან ისინი შამანები, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრების ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლის საშუალებითაც შესაძლებელი იქნება ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნა. ბოლოს და ბოლოს, რიცხვებია გრაფიკული სიმბოლოები, რომლის დახმარებითაც ვწერთ რიცხვებს და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვეთ ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანები ამას ადვილად ახერხებენ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. და მაშ, გვექნება ნომერი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ გრაფიკული რიცხვის სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთ მიღებულ სურათს ვჭრით რამდენიმე სურათად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ რიცხვებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ცალკეული გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. დაამატეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ ნასწავლი „ჭრის და კერვის კურსები“, რომლებსაც მათემატიკოსები იყენებენ. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკური თვალსაზრისით, არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია ნომრის მარჯვნივ. დიდი რიცხვით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განვიხილოთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ შევხედავთ ყოველ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს არავითარი კავშირი არ აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობი მეტრებში და სანტიმეტრებში რომ განსაზღვროთ, სრულიად განსხვავებულ შედეგებს მიიღებ.

ნული ერთნაირად გამოიყურება ყველა რიცხვთა სისტემაში და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმის სასარგებლოდ, რომ. კითხვა მათემატიკოსებისთვის: როგორ არის მითითებული მათემატიკაში რაღაც, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის არაფერი არსებობს რიცხვების გარდა? მე შემიძლია ეს დავუშვა შამანებს, მაგრამ არა მეცნიერებს. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე სიდიდის სხვადასხვა საზომი ერთეულებით ერთი და იგივე ქმედებები იწვევს სხვადასხვა შედეგებიმათი შედარების შემდეგ, ეს ნიშნავს, რომ მათემატიკასთან არაფერი აქვს საერთო.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს ხდება მაშინ, როდესაც მათემატიკური ოპერაციის შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის ზომაზე, გამოყენებულ საზომ ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ლაბორატორია სულთა არაფილური სიწმინდის შესასწავლად ზეცად ამაღლების დროს! ჰალო თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზემოდან ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე გაბრწყინდება,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად იპოვნეთ უცნაური ხატი თქვენს მანქანაში:

პირადად მე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი გამონაყარ ადამიანში (ერთი სურათი) (კომპოზიცია რამდენიმე სურათისგან: მინუს ნიშანი, რიცხვი ოთხი, გრადუსების აღნიშვნა). და ეს გოგო სულელი არ მგონია, არა მცოდნე ფიზიკაში. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის ძლიერი სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის თექვსმეტობითი აღნიშვნით "მოცურავი კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი". ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი

შენიშვნა. ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობების ეს ცხრილი იყენებს √ ნიშანს აღსანიშნავად კვადრატული ფესვი. წილადის აღსანიშნავად გამოიყენეთ სიმბოლო "/".

იხილეთ ასევესასარგებლო მასალები:

ამისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობის განსაზღვრაიპოვეთ იგი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მითითების წრფის გადაკვეთაზე. მაგალითად, სინუსი 30 გრადუსი - ჩვენ ვეძებთ სვეტს სათაურით sin (sine) და ვპოულობთ ამ ცხრილის სვეტის კვეთას მწკრივით "30 გრადუსი", მათ კვეთაზე ვკითხულობთ შედეგს - ერთი ნახევარი. ანალოგიურად ვპოულობთ კოსინუსი 60გრადუსი, სინუსი 60გრადუსი (კიდევ ერთხელ, sin სვეტისა და 60 გრადუსიანი ხაზის გადაკვეთაზე ვპოულობთ მნიშვნელობას sin 60 = √3/2) და ა.შ. სხვა "პოპულარული" კუთხეების სინუსების, კოსინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობები ანალოგიურად არის ნაპოვნი.

სინუს პი, კოსინუსი პი, ტანგენსი პი და სხვა კუთხეები რადიანებში

კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების ქვემოთ მოცემული ცხრილი ასევე შესაფერისია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობის საპოვნელად, რომელთა არგუმენტი არის მოცემულია რადიანებში. ამისათვის გამოიყენეთ კუთხის მნიშვნელობების მეორე სვეტი. ამის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ პოპულარული კუთხეების მნიშვნელობა გრადუსიდან რადიანებში. მაგალითად, ვიპოვოთ 60 გრადუსიანი კუთხე პირველ სტრიქონში და წავიკითხოთ მისი მნიშვნელობა რადიანებში მის ქვეშ. 60 გრადუსი უდრის π/3 რადიანს.

რიცხვი pi ცალსახად გამოხატავს წრეწირის დამოკიდებულებას კუთხის ხარისხის ზომაზე. ამრიგად, პი რადიანები უდრის 180 გრადუსს.

ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გამოხატულია pi-ში (რადიანი) ადვილად შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხებად პი (π) 180-ით ჩანაცვლებით..

მაგალითები:
1. სინე პი.
sin π = sin 180 = 0
ამგვარად, pi-ს სინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსის სინუსი და ის ნულის ტოლია.

2. კოსინუსი პი.
cos π = cos 180 = -1
ამრიგად, pi-ს კოსინუსი იგივეა, რაც 180 გრადუსის კოსინუსი და უდრის მინუს ერთს.

3. ტანგენტი პი
tg π = tg 180 = 0
ამრიგად, ტანგენტი pi იგივეა, რაც ტანგენსი 180 გრადუსი და ის ნულის ტოლია.

სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტის მნიშვნელობების ცხრილი 0 - 360 გრადუსი კუთხეებისთვის (საერთო მნიშვნელობები)

თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილში მითითებულია ტირე ფუნქციის მნიშვნელობის ნაცვლად (ტანგენსი (tg) 90 გრადუსი, კოტანგენსი (ctg) 180 გრადუსი), ეს ნიშნავს, რომ როდესაც მოცემული ღირებულებაკუთხის ფუნქციის ხარისხის ზომას არ აქვს კონკრეტული მნიშვნელობა. თუ ტირე არ არის, უჯრედი ცარიელია, რაც ნიშნავს, რომ ჯერ არ შეგვიყვანია საჭირო მნიშვნელობა. ჩვენ გვაინტერესებს რა კითხვებზე მოდიან მომხმარებლები ჩვენთან და ავსებენ ცხრილს ახალი მნიშვნელობებით, მიუხედავად იმისა, რომ არსებული მონაცემები ყველაზე გავრცელებული კუთხის მნიშვნელობების კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების მნიშვნელობების შესახებ სავსებით საკმარისია უმრავლესობის გადასაჭრელად. პრობლემები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილი sin, cos, tg ყველაზე პოპულარული კუთხისთვის
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 გრადუსი
(რიცხობრივი მნიშვნელობები "ბრედისის ცხრილების მიხედვით")