დინამიკის ზოგადი განტოლების ფორმულირება. ანალიტიკური დინამიკა. დინამიკის ძირითადი განტოლება

ადვილია იმის ჩვენება, რომ ყველა სახის შეერთება, როგორც წესი, განიხილება მექანიკის პრობლემებში - გლუვი ზედაპირი, იდეალური ძაფი, საკინძები, საყრდენი საკისარი, ბრმა ბეჭედი - იდეალურია. კავშირების არასრულყოფილება ხშირად გამოწვეულია მოცურების ან მოძრავი ხახუნის არსებობით. ამ შემთხვევაში, კავშირის რეაქციის ნაწილი, რომლისთვისაც იდეალურობა ირღვევა, ფორმალურად გადადის აქტიური ძალების კატეგორიაში და მითითებულია მდგომარეობაში ან განსაზღვრულია პრობლემაში. მომავალში განვიხილავთ სწორედ ასეთ მექანიკურ სისტემებს, ანუ სისტემებს იდეალური კავშირებით ან კავშირებით, რომლებიც შეიძლება გადავიდეს იდეალის კატეგორიაში აღწერილი ტექნიკის გამოყენებით. ასეთი სისტემებისთვის აზრი აქვს პოზიციის ჩამოყალიბებას, რომელსაც ასევე აქვს აქსიომის ფორმა, რომელიც აერთიანებს ნიუტონის II კანონს, ძალების მოქმედების დამოუკიდებლობის პრინციპს (უფრო ზუსტად, პარალელოგრამის წესი), ბმებისგან განთავისუფლების პრინციპს და. ობლიგაციების იდეალურობის პრინციპი. ამ პოზიციას სხვაგვარად უწოდებენ მექანიკის ლიტერატურაში - დ'ალმბერ-ლაგრანჟის პრინციპი, მექანიკის ზოგადი ვარიაციული განტოლება, დინამიკის ზოგადი განტოლებადა ა.შ. ამ პრინციპის გამოყენება თეორიული მექანიკის სხვა დებულებებისა და თეორემების გამოსატანად მნიშვნელოვან მოგებას იძლევა და ჩვენ მიერ მუდმივად იქნება გამოყენებული.

მექანიკური სისტემის თითოეულ წერტილს შეუძლია ურთიერთქმედება მოცემული მექანიკური სისტემის სხვა წერტილებთან და სხეულებთან, წერტილებთან და სხეულებთან, რომლებიც მას არ ეკუთვნის, ასევე შიდა და გარე კავშირებთან. გავაერთიანოთ მითითებული ბმების ყველა რეაქციის ძალა, რომელიც მოქმედებს მე MC წერტილი, ერთ ძალაში, პარალელოგრამის წესის მიხედვით, მათი წყვილების შეკრება. ასე მოვიქცეთ აქტიურ ძალებთან, მივიღებთ ძალას. ნიუტონის მე-2 კანონის გამოყენებით ვწერთ სისტემის წერტილების მოძრაობის განტოლებებს

, i=1,2,…,N. (5.1)

ობლიგაციების იდეალურობის პირობის გამოსაყენებლად აუცილებელია ამ განტოლებების ამოხსნა ბმების რეაქციებთან მიმართებაში და მიღებული გამონათქვამები ჩაანაცვლოს (4.8). ეს იძლევა

.

ამ პრინციპის უფრო მოსახერხებელი ფორმულირებისთვის, მოდით შევცვალოთ ტერმინები ფრჩხილებში. ზომა

ძალის განზომილების მქონე, მექანიკაში ჩვეულებრივად არის გამოძახება დ'ალმბერის წერტილის ინერციის ძალაან უბრალოდ წერტილის ინერციის ძალა. მერე

დროის თითოეულ მომენტში იდეალური დამჭერი კავშირების მქონე მექანიკური სისტემის მოძრაობისას აქტიური ძალებისა და ინერციული ძალების ვირტუალური მუშაობის ჯამი ნულის ტოლია.

ან (5.2)

განზოგადებული ძალები . მოდით არსებობდეს აშკარად ან ირიბად მოცემული გამოხატულება სისტემის წერტილების რადიუსის ვექტორებისთვის განზოგადებული კოორდინატებისა და დროის თვალსაზრისით. ტ

, მე=1,2,…,ნ. (5.3)

გამოვიყენოთ იზოქრონიული ცვალებადობის მოქმედება გამოსახულებაში (7.1), რომელიც შედგება რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დიფერენციაციის აღებაში, დროის ფიქსირებული ვარაუდით. ვიღებთ

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს გამოთქმა ვირტუალური მუშაობის ფორმულაში მე- აქტიური ძალა და შეაჯამეთ ეს სამუშაოები სისტემის ყველა წერტილში. ვიღებთ

.

მოდით გადავაწყოთ ამ გამონათქვამის ტერმინები და შევცვალოთ შეკრების თანმიმდევრობა, მივიღებთ

აქ , k=1,2,…,s(5.6)

და არსებობს განზოგადებული ძალა, რომელიც შეესაბამება განზოგადებულ კოორდინატს k რიცხვით. ამრიგად, განზოგადებული ძალაშეიძლება განისაზღვროს როგორც

კოეფიციენტი, რომელიც წინ უძღვის განზოგადებული კოორდინატის ცვალებადობას სისტემის ვირტუალური მოქმედების გამოხატულებაში.

გამონათქვამებიდან (5.5) და (5.6) შეიძლება მივიღოთ განზოგადებული ძალების გამოთვლის ორი გზა. ერთი - პირდაპირ განმარტებით, მეორე - ფორმულის მიხედვით (5.6), თუ მოცემულია ძალების პროგნოზები და მათი გამოყენების წერტილების კოორდინატების ანალიტიკური დამოკიდებულებები განზოგადებულებზე (5.4). მომავალში უფრო დეტალურად განვიხილავთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ განზოგადებული ძალები. უშუალო მიზნებისთვის ჩვენთვის საკმარისია გამოთქმა (5.6) და ეს განმარტება. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ განზოგადებული ძალა, ჩვეულებრივისგან განსხვავებით, არის სკალარული სიდიდე და ასე ეწოდება მხოლოდ იმიტომ, რომ გამოხატულება (5.3) ფორმაში წააგავს ძალის ვირტუალური მუშაობის გამონათქვამს.

ამ ფორმულის მარჯვენა მხრიდან ცხადია, რომ აზრი აქვს ვისაუბროთ განზოგადებულ ძალებზე, როგორც სისტემის ძალების პროექციაზე განზოგადებულ კოორდინატებზე.

ზუსტად ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განზოგადებული ინერციული ძალის გამოხატულება აქტიური ძალის ნაცვლად ინერციული ძალის ჩანაცვლებით (7.4).

, k=1,2,…,s. (5.7)

მექანიკის ზოგადი განტოლება განზოგადებულ კოორდინატებში. (5.5) საფუძველზე ვწერთ გამოხატულებას მექანიკური სისტემის აქტიური ძალებისა და ინერციული ძალების ვირტუალური მუშაობისთვის და ვატოლებთ ნულს (5.2) მიხედვით.

საიდანაც განზოგადებული კოორდინატების ვარიაციების დამოუკიდებლობის გამო ერთმანეთისგან, რაც ასეა ჰოლონომიური სისტემები, უნდა სგანტოლებები

ან სხვა ფორმით, რომელიც მოგვაგონებს ნიუტონის II კანონს (3.10)

ეს განტოლებები არის განტოლებები, რომლებიც აღწერს მექანიკური სისტემის დინამიურ ქცევას ჰოლონომიური შეზღუდვებით. მათი გამოყენება შესაძლებელია უშუალოდ მოძრაობის განტოლებების გამოსატანად. აქ მთავარი სირთულე არის გამონათქვამების მიღება შემცირებული ინერციის ძალებისთვის, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს ფორმულების გამოყენებით (5.7). მომავალში ნაჩვენები იქნება, თუ როგორ შეიძლება აშენდეს კომპიუტერული ალგებრის ალგორითმები, რათა მოხდეს მოძრაობის განტოლებების აგების ავტომატიზაცია მექანიკური სისტემების საკმაოდ ფართო კლასისთვის, განტოლებების საფუძველზე (5.6)-(5.8). თუმცა, მოძრაობის განტოლებების „მექანიკური“ წარმოებისთვის, უფრო სასურველია გამოიყენოთ მეორე სახის ლაგრანგის განტოლებები, რომლებიც მიიღება (5.8)-დან ინერციის განზოგადებული ძალების (5.7) გამოსახვით, კინეტიკური ენერგიის მეშვეობით. სისტემა.

ლექცია 6. მეორე სახის ლაგრანგის განტოლებები.

მოდი ვიპოვოთ ტერმინი რიცხვით მე(5.7) მარჯვენა მხარეს, გამონათქვამების გამოყენებით (5.3).

.

აქ ლაგრანჟის ორი იდენტობაა გამოყენებული

, .

შეჯამების შემდეგ ვიღებთ განზოგადებულ ინერციის ძალას

.

აქ არის ღირებულება , სად არის სიჩქარე მე-ე წერტილი, ცხადია, არის მექანიკური სისტემის კინეტიკური ენერგია.

ბოლოს მივიღებთ

, k=1,2,...,s, (6.1)

სად ს- თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა, - კინეტიკური ენერგია, , , - განზოგადებული კოორდინატი, განზოგადებული სიჩქარე და განზოგადებული აქტიური ძალა მოცემული მექანიკური სისტემის სერიული ნომრით.

მოძრაობის განტოლებების შედგენა (6.1) სახით რამდენიმე ფორმალური მოქმედების შესრულებამდე მოდის.

· აირჩიეთ განზოგადებული კოორდინატები - ნებისმიერი გეომეტრიული ან ფიზიკური ხასიათის პარამეტრები, რომლებიც ცალსახად განსაზღვრავს სისტემის პოზიციას ნებისმიერ დროს;

· ჩამოწერეთ სისტემის კინეტიკური ენერგიის გამოხატულება სისტემის წერტილებისა და სხეულების კინეტიკური ენერგიის ჯამის სახით ინერციული პარამეტრების (წერტილების და სხეულების მასა, სხეულების ინერციის მომენტები) და განზოგადებული კოორდინატებისა და სიჩქარის მეშვეობით. ;

· მიიღოს გამონათქვამები (6.1) მარცხენა მხარეს შემავალი კინეტიკური ენერგიის წარმოებულებისთვის;

· ჩამოწერეთ სისტემის ძალების ვირტუალური მუშაობის გამოთქმა თითოეული განზოგადებული კოორდინატის ცვალებადობისას, კოეფიციენტები შესაბამისი განზოგადებული კოორდინატის ცვალებადობამდე იძლევა ამ განზოგადებული კოორდინატის შესაბამისი განზოგადებული ძალის ფორმულას.

მეორე ტიპის ლაგრანჟის მიღებული განტოლებების პრაქტიკაში გამოსაყენებლად აუცილებელია ვირტუალური მუშაობისა და სისტემის კინეტიკური ენერგიის გამოსათვლელი სამუშაო ფორმულების მიღება, რაც თავის მხრივ მოითხოვს მექანიკური სისტემებისა და სხეულების ინერციული მახასიათებლების გაგებას.

განზოგადებული ძალების გამოთვლა.განზოგადებული ძალების გამოთვლის სამი გზა არსებობს.

პირველი გზაგულისხმობს კოეფიციენტების პირდაპირ გამოთვლას განზოგადებული კოორდინატების ვარიაციებისთვის ვირტუალური სამუშაოს გამოხატვისას. აქ უფრო მოსახერხებელია არა ყველა განზოგადებული კოორდინატის ერთდროულად შეცვლა, არამედ ერთდროულად. სისტემის ვირტუალურ გადაადგილებაზე მუშაობის გამოთქმა იწერება, რომელიც შეესაბამება მხოლოდ ერთი განზოგადებული კოორდინატის ცვალებადობას, მაგალითად, რიცხვთან. კ- როგორც აქტიური ძალების ვირტუალური მუშაობის ალგებრული ჯამი, რომელიც გამოიყენება მექანიკური სისტემის სხეულებსა და წერტილებზე . შემდეგ, ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებით - განზოგადებული კოორდინატის ცვალებადობას, ვიღებთ განზოგადებული ძალის გამოხატვას.

რამდენიმე ხარისხის თავისუფლების სისტემისთვის ასეთი ოპერაცია იმდენჯერ უნდა შესრულდეს, რამდენჯერაც არის განზოგადებული კოორდინატები.

მეორე გზადაფუძნებულია (5.3) ტიპის დამოკიდებულებებზე, რომლებიც პირდაპირ არის მითითებული. შემდეგ განზოგადებული ძალები განისაზღვრება გამოხატვით (5.6)

, k=1,2,…,s.

მესამე გზაეყრდნობა სისტემის პოტენციური ენერგიის ცოდნას, როგორც მისი წერტილების კოორდინატების ფუნქციას. მასში გამონათქვამების (5.3) ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ პოტენციური ენერგიის დამოკიდებულებას განზოგადებულ კოორდინატებზე და ვირტუალური სამუშაო იქნება

იგივე ვარიაციების კოეფიციენტების შედარება, ჩვენ ვპოულობთ

ნათელია, რომ უმჯობესია დაუყოვნებლივ, თუ ეს შესაძლებელია, სისტემის პოტენციური ენერგიის ფუნქცია განზოგადებული კოორდინატებიდან ააგოთ. .

მეორე სახის ლაგრანგის განტოლებების შედგენის მაგალითი.იპოვეთ სხივის აჩქარება, რომელიც მოძრაობს ლილვაკების გასწვრივ დახრილ სიბრტყეზე, რომელიც ქმნის კუთხეს a= 30 0 ჰორიზონტალური სიბრტყით (ნახ. 6.1). ხის წონა კგ, ცილინდრული ლილვაკების მასები ერთნაირია და შეადგენს კგ. თითოეული როლიკერის მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტი არის მდა რადიუსი სმ.

გამოსავალი.მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება სხივისა და ორი ლილვაკისგან, აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. განზოგადებულ კოორდინატად ავირჩიოთ სხივის მოძრაობა დახრილი სიბრტყის გასწვრივ. მაშინ მისი ვარიაცია (სხივის ვირტუალური მოძრაობა დახრილი სიბრტყის გასწვრივ ქვევით) აღინიშნა .

ვიპოვოთ სისტემის კინეტიკური ენერგია, იმის გათვალისწინებით, რომ ლილვაკების კინეტიკური ენერგიები ერთნაირია.

აქ არის თანდათანობით მოძრავი სხივის კინეტიკური ენერგია:

.

ლილვაკების კინეტიკური ენერგია, რომელსაც ვპოულობთ ხისტი სხეულის სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის ფორმულის გამოყენებით

,

სადაც არის ლილვაკების მასის ცენტრების სიჩქარე, არის ლილვაკების გორგომის კუთხური სიჩქარე, არის როლიკერის ინერციის მომენტი საკუთარ ცენტრთან მიმართებაში, სადაც არის როლიკერის რადიუსი. .

სად ვიპოვოთ განზოგადებული ძალა, როგორც კოეფიციენტი განზოგადებული კოორდინატის ცვალებადობამდე

. (6.3)

(8.2) და (8.3) (5.1) განტოლებით ჩანაცვლებით, მივიღებთ

მ/წმ 2 . (6.4)

ამრიგად, სხივი ერთნაირად დაიძვრება ქვემოთ 4,95 მ/წმ 2 აჩქარებით.

შენიშვნები.ეს ჩვეულებრივ იწვევს გარკვეულ სირთულეს შედეგის ნიშნის ინტერპრეტაციაში, რომელიც მიიღება ნახ. 6.1 წერტილოვანი ისრით. სისტემის მოძრაობის მიმართულება ხშირად წინასწარ უცნობია. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია განვასხვავოთ „შემთხვევით“, რადგან ვირტუალური მოძრაობა არ უნდა იყოს მიბმული რეალურ მოძრაობასთან, ამიტომ ჩვენ გვაქვს უფლება მივმართოთ სადმე. ვთქვათ, რომ წინა პრობლემაში ვირტუალურ მოძრაობას ვაძლევთ წერტილოვანი ისრის გასწვრივ. ამ შემთხვევაში (6.2) განტოლების მარცხენა მხარე არ იცვლება, ხოლო მარჯვენა მხარის გამოთვლისას (6.3)-ში გამოჩნდება "-" ნიშანი გრავიტაციის მუშაობაში, ხოლო "+" ნიშანი გორვაში. ხახუნის. შედეგად, "-" ნიშანი გადავა შედეგის ფორმულაში - სხივის აჩქარება (6.4). ეს, რა თქმა უნდა, არ მიუთითებს იმაზე, რომ სხივი ნელა მოძრაობს. სინამდვილეში, ვირტუალური მუშაობის საშუალებით განზოგადებული ძალის გამოთვლისას, ჩვენ რეალურად ვწერთ სისტემის ძალების პროგნოზებს ვირტუალური მოძრაობის მიმართულებით. აქედან გამომდინარე, შედეგი (6.4) ფორმულით უნდა იქნას განმარტებული, როგორც სხივის განზოგადებული აჩქარების ვექტორის პროექცია ამ მიმართულებით. ამრიგად, ჩვენ დავასკვნით, რომ სხივი ქვევით გადავა 4,95 მუდმივი აჩქარებით მ/წმ 2 .

თუ არსებობს ხახუნის ძალები, ისინი მიმართული უნდა იყოს რეალური მოძრაობის მიმართულების შესაბამისად. კოორდინატების ცვალებადობა ყოველთვის არ შეიძლება იყოს დაკავშირებული რეალურ მოძრაობასთან. ამ შემთხვევაში, ხახუნის ძალების ვირტუალური მუშაობის გამონათქვამები შეიძლება გამოჩნდეს "+" ნიშნით, როგორც განხილულ მაგალითში, როდესაც სხივი ვირტუალურად მოძრაობს წერტილოვანი ისრის გასწვრივ. ფორმალური თვალსაზრისით, ეს არ უნდა იყოს დამაბნეველი, რადგან ასეა ვირტუალური, ა არ მოქმედებსმუშაობა. სხვა საქმეა, რომ ხშირად, პრობლემის სრულად გადაჭრის გარეშე, ჩვენ არ ვიცით წერტილების რეალური მოძრაობების მიმართულება და, შესაბამისად, ხახუნის ძალების მიმართულებები. ამ შემთხვევაში შესაძლოა საჭირო გახდეს რამდენიმე პრობლემის გადაჭრა, ამ ძალების მიმართულების შესახებ განსხვავებული ვარაუდების გამოთქმა. და ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ ლოგიკურად გამართლებული გადაწყვეტილება. ზოგჯერ შესაძლებელია ხახუნის ძალების პროგნოზების ნიშნების ანალიტიკურად გათვალისწინება, მათი დაკავშირება შესაბამისი სხეულებისა და წერტილების სიჩქარის ალგებრულ მნიშვნელობებთან.

დ'ალბერტის პრინციპიდან გამომდინარე, შემდეგი თანასწორობები მოქმედებს:

სად არის აქტიური ძალა; - კავშირების რეაქცია; – წერტილის ინერციის ძალა (ნახ. 3.36).

ყოველი მიმართება (3.45) სკალარულად გავამრავლოთ წერტილის შესაძლო გადაადგილებაზე და შევაჯამოთ სისტემის ყველა წერტილზე, მივიღებთ

(3.46)

ტოლობა (3.46) არის დინამიკის ზოგადი განტოლება მექანიკური სისტემისთვის ნებისმიერი შეერთებით. თუ კავშირები იდეალურია, მაშინ და გამოხატულება (3.46) იღებს ერთ-ერთ ფორმას:

დინამიკის ზოგადი განტოლება (დ’ალმბერ-ლაგრაჟის ერთიანი პრინციპი).იდეალური შეერთებების მქონე სისტემის მოძრაობის ნებისმიერ მომენტში, ყველა აქტიური ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი და სისტემის წერტილების ინერციის ძალები ნულის ტოლია სისტემის ნებისმიერ შესაძლო მოძრაობაში.

განზოგადებული კოორდინატები

მოდით, სისტემა შედგება ნქულები და მისი პოზიცია განისაზღვრება 3-ით ნსისტემის წერტილების კოორდინატები (სურ. 3.37). სისტემაზე დაწესებული ლ

ჰოლონომიური ორმხრივი კავშირები, რომელთა განტოლებები ს=1,2,…,ლ.

ასე რომ 3 ნკოორდინატები დაკავშირებულია ლგანტოლებები და დამოუკიდებელი კოორდინატები იქნება ნ=3ნ-ლ.

როგორც ნდამოუკიდებელი კოორდინატები, შეგიძლიათ აირჩიოთ ნებისმიერი დამოუკიდებელი პარამეტრი

დამოუკიდებელ პარამეტრებს, რომლებიც ცალსახად განსაზღვრავენ სისტემის პოზიციას, ეწოდება სისტემის განზოგადებული კოორდინატები.

ბრინჯი. 3.37

ზოგადად, ისინი სისტემის წერტილების დეკარტის კოორდინატების ფუნქციებია:

თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ დეკარტის კოორდინატები განზოგადებული კოორდინატების მიხედვით:

სისტემის თითოეული წერტილის რადიუსის ვექტორისთვის ვიღებთ

თუ კავშირები სტაციონარულია, მაშინ დრო აშკარად არ შევა (3.47). ჰოლონომიური კავშირებისთვის, წერტილის შესაძლო გადაადგილების ვექტორი შეიძლება გამოიხატოს სახით:

თუ კავშირები ჰოლონომიულია, მაშინ დამოუკიდებელი შესაძლო მოძრაობების (ან ვარიაციების) რაოდენობა ემთხვევა დამოუკიდებელი განზოგადებული კოორდინატების რაოდენობას. აქედან გამომდინარე, ჰოლონომიური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა უდრის ამ სისტემის დამოუკიდებელი განზოგადებული კოორდინატების რაოდენობას, ე.ი. ნ=3ნ-ლ.

არაჰოლონომიური სისტემებისთვის, ზოგად შემთხვევაში, დამოუკიდებელი ვარიაციების რაოდენობა (შესაძლო გადაადგილება) ნაკლებია განზოგადებული კოორდინატების რაოდენობაზე. მაშასადამე, არაჰოლონომიური სისტემის თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა, რომელიც უდრის დამოუკიდებელი შესაძლო გადაადგილების რაოდენობას, ასევე ნაკლებია სისტემის განზოგადებული კოორდინატების რაოდენობაზე.

განზოგადებული კოორდინატების წარმოებულებს დროის მიმართ განზოგადებული სიჩქარეები ეწოდება და აღინიშნება

განზოგადებული ძალები

ბრინჯი. 3.38

განზოგადებული ძალების განმარტება. განვიხილოთ ჰოლონომიური სისტემა ნმატერიალური ქულები, მქონე ნთავისუფლების ხარისხი და ძალთა სისტემის გავლენის ქვეშ (ნახ. 3.38). განისაზღვრება სისტემის პოზიცია ნგანზოგადებული კოორდინატები იმათ.

შესაძლო მოძრაობის ვექტორი -

(3.48)

მოდით გამოვთვალოთ სისტემაზე მოქმედი ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი სისტემის შესაძლო გადაადგილებაზე:

(3.49)

(3.48) (3.49)-ით ჩანაცვლებით და შეჯამების თანმიმდევრობის შეცვლით, მივიღებთ

(3.50)

სკალარული რაოდენობა ეწოდება განზოგადებული ძალა, რომელიც დაკავშირებულია განზოგადებულ კოორდინატთან q i.

განზოგადებული ძალის განზომილება. ფორმულიდან (3.50) ვიღებთ განზოგადებული ძალის განზომილებას [ ქ]=[ა]/[ქ]. თუ განზოგადებულ კოორდინატს აქვს სიგრძის განზომილება, მაშინ განზოგადებულ ძალას აქვს ძალის განზომილება [N], მაგრამ თუ განზოგადებული კოორდინატი არის კუთხე (განზომილება - 1), მაშინ განზოგადებულ ძალას აქვს ძალის მომენტის განზომილება [ N×m].

განზოგადებული ძალების გამოთვლა. 1. განზოგადებული ძალა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც განსაზღვრავს მას:

სად F kx,ფიქსი,F kz– ძალის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე; x k,y yx,z k– ძალის გამოყენების წერტილის კოორდინატები

2. განზოგადებული ძალები არის კოეფიციენტები განზოგადებული კოორდინატების შესაბამისი ვარიაციებისთვის ელემენტარული სამუშაოს გამოსახულებაში (3.50):

3. თუ სისტემას ეუბნება შესაძლო მოძრაობა ისეთი, რომ შეიცვალოს მხოლოდ ერთი განზოგადებული კოორდინატი q jშემდეგ (3.52)-დან გვაქვს

ინდექსი q iმრიცხველში მიუთითებს, რომ სამუშაოს ჯამი გამოითვლება შესაძლო მოძრაობაზე, რომლის დროსაც იცვლება მხოლოდ კოორდინატი (იცვლება) q i.

4. პოტენციური ძალებისთვის:

(3.53)

სად არის ძალის ფუნქცია.

გამოთქმიდან (3.51), თანასწორობების (3.53) გათვალისწინებით, გამომდინარეობს, რომ

ამრიგად,

სად არის სისტემის პოტენციური ენერგია.

3.5.6. დინამიკის ზოგადი განტოლება განზოგადებულ ძალებში.
ძალთა ბალანსის პირობები

ზოგადი დინამიკის განტოლება (3.50)

შესაძლო მოძრაობის ვექტორი (3.48) უდრის

ამ გამოთქმის გათვალისწინებით, დინამიკის ზოგადი განტოლება იღებს ფორმას

მოდით გარდავქმნათ შეჯამების თანმიმდევრობის შეცვლით

(3.54)

აქ – განზოგადებული კოორდინატის შესაბამისი აქტიური ძალების განზოგადებული ძალა q i; – განზოგადებული ინერციული ძალა, რომელიც შეესაბამება განზოგადებულ კოორდინატს q i.შემდეგ ფორმას იღებს განტოლება (3.54).

განზოგადებული კოორდინატების ნამატები თვითნებური და ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია. ამიტომ, ბოლო განტოლებაში მათთვის კოეფიციენტები ნულის ტოლი უნდა იყოს:

(3.55)

ეს განტოლებები დინამიკის ზოგადი განტოლების ტოლფასია.

თუ მექანიკურ სისტემაზე მოქმედი ძალები ნულის ტოლია, ე.ი. თუ მექანიკური სისტემა ერთნაირად მოძრაობს სწორი ხაზით ან ინარჩუნებს მოსვენების მდგომარეობას, მაშინ მისი წერტილების ინერციის ძალები ნულის ტოლია. შესაბამისად, სისტემის ინერციის განზოგადებული ძალები ნულის ტოლია , შემდეგ განტოლებები (3.55) იღებს ფორმას

(3.56)

ტოლობები (3.56) გამოხატავს ძალების წონასწორობის პირობებს განზოგადებულ ძალებში.

კონსერვატიული ძალების შემთხვევაში

შესაბამისად, ძალთა კონსერვატიული სისტემის წონასწორობის პირობებს აქვს ფორმა

დინამიკის ზოგადი განტოლება ნებისმიერი კავშირის მქონე სისტემისთვის (დ'ალმბერ-ლაგრანჟის კომბინირებული პრინციპიან მექანიკის ზოგადი განტოლება):

სად მოქმედებს აქტიური ძალა სისტემის მე-6 წერტილზე; - ბმების რეაქციის სიძლიერე; – წერტილის ინერციის ძალა; - შესაძლო მოძრაობა.

სისტემის წონასწორობის შემთხვევაში, როდესაც სისტემის წერტილების ყველა ინერციული ძალა ქრება, ის გადადის შესაძლო გადაადგილების პრინციპში. ჩვეულებრივ გამოიყენება იდეალური კავშირების მქონე სისტემებისთვის, რისთვისაც პირობა დაკმაყოფილებულია

ამ შემთხვევაში (229) იღებს ერთ-ერთ ფორმას:

,

,

. (230)

ამრიგად, დინამიკის ზოგადი განტოლების მიხედვით, იდეალური შეერთებების მქონე სისტემის მოძრაობის ნებისმიერ მომენტში, ყველა აქტიური ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამი და სისტემის წერტილების ინერციული ძალების ჯამი ნულის ტოლია სისტემის ნებისმიერ შესაძლო მოძრაობაზე. კავშირებით.

დინამიკის ზოგად განტოლებას შეიძლება მივცეთ სხვა, ექვივალენტური ფორმები. ვექტორების სკალარული ნამრავლის გაფართოებით, ის შეიძლება გამოისახოს როგორც

სადაც არის სისტემის მე-2 წერტილის კოორდინატები. იმის გათვალისწინებით, რომ კოორდინატთა ღერძებზე ინერციის ძალების პროგნოზები ამ ღერძებზე აჩქარების პროექციებით გამოიხატება მიმართებით

,

დინამიკის ზოგადი განტოლება შეიძლება მიეცეს ფორმას

ამ ფორმით მას ე.წ დინამიკის ზოგადი განტოლება ანალიტიკური ფორმით.

დინამიკის ზოგადი განტოლების გამოყენებისას აუცილებელია სისტემის ინერციული ძალების ელემენტარული მუშაობის გამოთვლა შესაძლო გადაადგილებებზე. ამისათვის გამოიყენეთ ჩვეულებრივი ძალებისთვის მიღებული ელემენტარული სამუშაოს შესაბამისი ფორმულები. განვიხილოთ მათი გამოყენება ხისტი სხეულის ინერციულ ძალებზე მისი მოძრაობის კონკრეტულ შემთხვევებში.

წინ მოძრაობის დროს. ამ შემთხვევაში სხეულს აქვს თავისუფლების სამი ხარისხი და, დაწესებული შეზღუდვების გამო, შეუძლია მხოლოდ მთარგმნელობითი მოძრაობის შესრულება. სხეულის შესაძლო მოძრაობები, რომლებიც კავშირების საშუალებას იძლევა, ასევე მთარგმნელობითია.

ინერციული ძალები მთარგმნელობითი მოძრაობის დროს მცირდება შედეგამდე . სხეულის შესაძლო გადამყვან მოძრაობაზე ინერციის ძალების ელემენტარული სამუშაოების ჯამისთვის ვიღებთ

სად არის მასის ცენტრისა და სხეულის ნებისმიერი წერტილის შესაძლო გადაადგილება, ვინაიდან სხეულის ყველა წერტილის ტრანსლაციის შესაძლო გადაადგილება ერთნაირია: აჩქარებებიც იგივეა, ე.ი.

როდესაც ხისტი სხეული ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო. სხეულს ამ შემთხვევაში აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. მას შეუძლია ფიქსირებული ღერძის გარშემო ბრუნვა. შესაძლო მოძრაობა, რომელიც ნებადართულია ზედმიყენებული კავშირებით, არის აგრეთვე სხეულის ბრუნვა ელემენტარული კუთხით ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

ბრუნვის ღერძის წერტილამდე შემცირებული ინერციული ძალები მცირდება მთავარ ვექტორამდე და მთავარ მომენტამდე. ინერციული ძალების ძირითადი ვექტორი გამოიყენება ფიქსირებულ წერტილზე და მისი ელემენტარული მუშაობა შესაძლო გადაადგილებაზე არის ნული. ინერციული ძალების ძირითადი მომენტისთვის არანულოვანი ელემენტარული სამუშაო შესრულდება მხოლოდ ბრუნვის ღერძზე მისი პროექციით. ამრიგად, განსახილველ შესაძლო გადაადგილებაზე ინერციის ძალების მუშაობის ჯამისთვის გვაქვს

,

თუ კუთხე მოხსენებულია კუთხური აჩქარების რკალის ისრის მიმართულებით.

ბრტყელ მოძრაობაში. ამ შემთხვევაში, ხისტ სხეულზე დაწესებული შეზღუდვები იძლევა მხოლოდ შესაძლო პლანტურ მოძრაობას. ზოგად შემთხვევაში, ის შედგება შესაძლო გადამყვანი მოძრაობისგან ბოძთან ერთად, რისთვისაც ვირჩევთ მასის ცენტრს, და ბრუნვას ელემენტარული კუთხით ღერძის გარშემო, რომელიც გადის მასის ცენტრში და პერპენდიკულარული სიბრტყის პარალელურად. სხეულს შეუძლია შეასრულოს თვითმფრინავის მოძრაობა.

შესავალი

კინემატიკა ეხება მექანიკური მოძრაობების უმარტივესი ტიპების აღწერას. ამ შემთხვევაში, სხეულის პოზიციის ცვლილებების გამომწვევ მიზეზებს სხვა სხეულებთან მიმართებაში არ შეხებია და საცნობარო სისტემა არჩეული იქნა კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას მოხერხებულობისთვის. დინამიკაში, უპირველეს ყოვლისა, საინტერესოა მიზეზები, რის გამოც ზოგიერთი სხეული იწყებს მოძრაობას სხვა სხეულებთან შედარებით, ასევე აჩქარების გამომწვევი ფაქტორები. თუმცა, მექანიკის კანონებს, მკაცრად რომ ვთქვათ, განსხვავებული ფორმები აქვთ სხვადასხვა საცნობარო სისტემაში. დადგენილია, რომ არსებობს ისეთი საცნობარო სისტემები, რომლებშიც კანონები და შაბლონები არ არის დამოკიდებული საცნობარო სისტემის არჩევანზე. ასეთ საცნობარო სისტემებს ე.წ ინერციული სისტემები(ISO). ამ საცნობარო სისტემებში აჩქარების სიდიდე დამოკიდებულია მხოლოდ მოქმედ ძალებზე და არ არის დამოკიდებული საცნობარო სისტემის არჩევანზე. საცნობარო ინერციული სისტემა არის ჰელიოცენტრული საცნობარო ჩარჩო, რომლის წარმოშობა მზის ცენტრშია. საცნობარო სისტემები, რომლებიც მოძრაობენ ერთნაირად სწორხაზოვნად ინერციულ სისტემასთან მიმართებაში, ასევე ინერციულია, ხოლო საცნობარო სისტემები, რომლებიც მოძრაობენ ინერციულ სისტემასთან მიმართებაში აჩქარებით. არაინერციული. ამ მიზეზების გამო, დედამიწის ზედაპირი, მკაცრად რომ ვთქვათ, არის არაინერციული მითითების სისტემა. ბევრ პრობლემაში, დედამიწასთან დაკავშირებული საცნობარო ჩარჩო შეიძლება ჩაითვალოს ინერციულად კარგი ხარისხის სიზუსტით.

დინამიკის ძირითადი კანონები ინერციულ და არაინერციულში

საცნობარო სისტემები

სხეულის უნარს, შეინარჩუნოს ერთგვაროვანი მართკუთხა მოძრაობის მდგომარეობა ან დაისვენოს ISO-ში, ეწოდება სხეულის ინერცია. სხეულის ინერციის საზომია წონა. მასა არის სკალარული სიდიდე, რომელიც იზომება კილოგრამებში (კგ) SI სისტემაში. ურთიერთქმედების საზომი არის სიდიდე ე.წ ძალით. ძალა არის ვექტორული სიდიდე, რომელიც იზომება ნიუტონებში (N) SI სისტემაში.

ნიუტონის პირველი კანონი. ინერციულ საცნობარო სისტემებში წერტილი ერთნაირად მოძრაობს სწორი ხაზით ან ისვენებს, თუ მასზე მოქმედი ყველა ძალის ჯამი ნულის ტოლია, ე.ი.

სად არის მოცემულ წერტილზე მოქმედი ძალები.

ნიუტონის მეორე კანონი. ინერციულ სისტემებში სხეული მოძრაობს აჩქარებით, თუ მასზე მოქმედი ყველა ძალის ჯამი არ არის ნულის ტოლი, ხოლო სხეულის მასისა და მისი აჩქარების ნამრავლი უდრის ამ ძალების ჯამს, ე.ი.

ნიუტონის მესამე კანონი. ძალები, რომლებითაც სხეულები მოქმედებენ ერთმანეთზე, ტოლია სიდიდით და საპირისპირო მიმართულებით, ანუ: .

ძალები, როგორც ურთიერთქმედების საზომი, ყოველთვის იბადებიან წყვილებში.

ნიუტონის კანონების გამოყენებით პრობლემების უმეტესობის წარმატებით გადასაჭრელად, აუცილებელია მოქმედებების გარკვეული თანმიმდევრობის დაცვა (ერთგვარი ალგორითმი).

ალგორითმის ძირითადი პუნქტები.

1. გააანალიზეთ პრობლემის მდგომარეობა და გაარკვიეთ, რომელ სხეულებთან ურთიერთქმედებს მოცემული სხეული. ამის საფუძველზე განსაზღვრეთ მოცემულ სხეულზე მოქმედი ძალების რაოდენობა. დავუშვათ სხეულზე მოქმედი ძალების რაოდენობა ტოლია. შემდეგ გააკეთეთ სქემატურად სწორი ნახაზი, რომელზედაც გამოსახულია სხეულზე მოქმედი ყველა ძალა.

2. ამოცანის პირობის გამოყენებით განსაზღვრეთ მოცემული სხეულის აჩქარების მიმართულება და გამოსახეთ აჩქარების ვექტორი ნახატზე.

3. დაწერეთ ნიუტონის მეორე კანონი ვექტორული ფორმით, ე.ი.

სად სხეულზე მოქმედი ძალები.

4. აირჩიეთ ინერციული მითითების სისტემა. ნახატზე დახაზეთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, რომლის OX ღერძი მიმართულია აჩქარების ვექტორის გასწვრივ, OY და OZ ღერძი მიმართულია OX ღერძის პერპენდიკულურად.

5. ვექტორული ტოლობების ძირითადი თვისების გამოყენებით ჩაწერეთ ნიუტონის მეორე კანონი ვექტორების პროექციისთვის კოორდინატულ ღერძებზე, ე.ი.

6. თუ პრობლემაში ძალებისა და აჩქარებების გარდა აუცილებელია კოორდინატების და სიჩქარის დადგენა, მაშინ ნიუტონის მეორე კანონის გარდა აუცილებელია მოძრაობის კინემატიკური განტოლებების გამოყენებაც. განტოლებათა სისტემის ჩამოწერისას აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ იმ ფაქტს, რომ განტოლებათა რაოდენობა უდრის ამ ამოცანის უცნობთა რაოდენობას.

მოდით განვიხილოთ არაინერციული საცნობარო ჩარჩო, რომელიც ბრუნავს მუდმივი კუთხური სიჩქარით ღერძის გარშემო, რომელიც მოძრაობს ტრანსლაციურად ინერციულ ჩარჩოსთან შედარებით სიჩქარით. ამ შემთხვევაში, წერტილის აჩქარება ინერციულ ჩარჩოში () დაკავშირებულია აჩქარებასთან არაინერციულ ჩარჩოში () მიმართებით:

სადაც არის არაინერციული სისტემის აჩქარება ინერციულ სისტემასთან მიმართებაში, წერტილის წრფივი სიჩქარე არაინერციულ სისტემაში. ბოლო მიმართებიდან, აჩქარების ნაცვლად, ვცვლით ტოლობით (1), ვიღებთ გამონათქვამს:

ეს თანაფარდობა ე.წ ნიუტონის მეორე კანონი არაინერციულ მითითების სისტემაში.

ინერციის ძალები. მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა:

1. – წინა ინერციული ძალა;

2. – კორიოლის ძალა;

3 – ინერციის ცენტრიდანული ძალა.

ამოცანებში ინერციის მთარგმნელობითი ძალა გამოსახულია ვექტორის მიმართ არაინერციული საცნობარო ჩარჩოს მთარგმნელობითი მოძრაობის აჩქარებით (), ინერციის ცენტრიდანული ძალა გამოსახულია ბრუნვის ცენტრიდან რადიუსის გასწვრივ (); კორიოლისის ძალის მიმართულება განისაზღვრება წესით ჯიმლეტივექტორთა ჯვარედინი ნამრავლისთვის.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ინერციული ძალები არ არის ძალები სრული გაგებით, რადგან ნიუტონის მესამე კანონი მათთვის არ მოქმედებს, ე.ი. ისინი არ არიან დაწყვილებული.

უფლებამოსილებები

უნივერსალური სიმძიმის ძალა. უნივერსალური მიზიდულობის ძალა წარმოიქმნება მასებთან სხეულებს შორის ურთიერთქმედების პროცესში და გამოითვლება მიმართებიდან:

. (4)

პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება გრავიტაციული მუდმივი. მისი მნიშვნელობა SI სისტემაში უდრის .

რეაქციის ძალა. რეაქციის ძალები წარმოიქმნება, როდესაც სხეული ურთიერთქმედებს სხვადასხვა სტრუქტურებთან, რომლებიც ზღუდავენ მის პოზიციას სივრცეში. მაგალითად, ძაფზე დაკიდებულ სხეულზე მოქმედებს რეაქციის ძალა, რომელსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ ძალას. დაძაბულობა. ძაფის დაძაბულობის ძალა ყოველთვის მიმართულია ძაფის გასწვრივ.არ არსებობს ფორმულა მისი მნიშვნელობის გამოსათვლელად. როგორც წესი, მისი მნიშვნელობა გვხვდება ნიუტონის პირველი ან მეორე კანონიდან. რეაქციის ძალები ასევე მოიცავს გლუვ ზედაპირზე ნაწილაკზე მოქმედ ძალებს. ისინი მას ეძახიან ნორმალური რეაქციის ძალა, აღნიშნეთ. რეაქციის ძალა ყოველთვის მიმართულია განსახილველ ზედაპირზე პერპენდიკულურად. სხეულის მხრიდან გლუვ ზედაპირზე მოქმედ ძალას ეწოდება ნორმალური წნევის ძალა(). ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვით, რეაქციის ძალა სიდიდით უდრის ნორმალური წნევის ძალას, მაგრამ ამ ძალების ვექტორები მიმართულების საწინააღმდეგოა.

ელასტიური ძალა. დრეკადობის ძალები წარმოიქმნება სხეულებში, თუ სხეულები დეფორმირებულია, ე.ი. თუ სხეულის ფორმა ან მოცულობა შეიცვალა. როდესაც დეფორმაცია ჩერდება, ელასტიური ძალები ქრება. უნდა აღინიშნოს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ დრეკადობის ძალები წარმოიქმნება სხეულების დეფორმაციის დროს, დეფორმაცია ყოველთვის არ იწვევს დრეკადობის ძალების გაჩენას. ელასტიური ძალები წარმოიქმნება სხეულებში, რომლებსაც შეუძლიათ აღადგინონ ფორმა გარე გავლენის შეწყვეტის შემდეგ. ასეთ სხეულებს და შესაბამის დეფორმაციებს ე.წ ელასტიური. პლასტიკური დეფორმაციით, ცვლილებები მთლიანად არ ქრება გარე გავლენის შეწყვეტის შემდეგ. დრეკადობის ძალების გამოვლენის თვალსაჩინო მაგალითი შეიძლება იყოს დეფორმაციის ქვეშ მყოფ ზამბარებში წარმოქმნილი ძალები. ელასტიური დეფორმაციებისთვის, რომლებიც ხდება დეფორმირებულ სხეულებში, დრეკადობის ძალა ყოველთვის პროპორციულია დეფორმაციის სიდიდისა, ე.ი.

, (5)

სად არის ზამბარის ელასტიურობის (ან სიხისტის) კოეფიციენტი, ზამბარის დეფორმაციის ვექტორი.

ამ განცხადებას ე.წ ჰუკის კანონი.

ხახუნის ძალა. როდესაც ერთი სხეული მოძრაობს მეორის ზედაპირის გასწვრივ, წარმოიქმნება ძალები, რომლებიც აფერხებენ ამ მოძრაობას. ასეთ ძალებს ჩვეულებრივ უწოდებენ მოცურების ხახუნის ძალები. სტატიკური ხახუნის ძალის სიდიდე შეიძლება განსხვავდებოდეს გამოყენებული გარე ძალის მიხედვით. გარე ძალის გარკვეული მნიშვნელობისას სტატიკური ხახუნის ძალა აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას. ამის შემდეგ სხეული იწყებს სრიალს. ექსპერიმენტულად დადგინდა, რომ მოცურების ხახუნის ძალა პირდაპირპროპორციულია ზედაპირზე სხეულის ნორმალური წნევის ძალისა.ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვით, სხეულის ნორმალური წნევის ძალა ზედაპირზე ყოველთვის ტოლია იმ რეაქციის ძალისა, რომლითაც ზედაპირი თავად მოქმედებს მოძრავ სხეულზე. ამის გათვალისწინებით, მოცურების ხახუნის ძალის სიდიდის გამოთვლის ფორმულას აქვს ფორმა:

, (6)

სად არის რეაქციის ძალის სიდიდე; მოცურების ხახუნის კოეფიციენტი. მოძრავ სხეულზე მოქმედი მოცურების ხახუნის ძალა ყოველთვის მიმართულია მისი სიჩქარის საწინააღმდეგოდ, შეხების ზედაპირების გასწვრივ.

წინააღმდეგობის ძალა. როდესაც სხეულები მოძრაობენ სითხეებსა და აირებში, წარმოიქმნება ხახუნის ძალებიც, მაგრამ ისინი მნიშვნელოვნად განსხვავდებიან მშრალი ხახუნის ძალებისგან. ეს ძალები ე.წ ბლანტი ხახუნის ძალები, ან წინააღმდეგობის ძალები. ბლანტი ხახუნის ძალები წარმოიქმნება მხოლოდ სხეულების ფარდობითი მოძრაობის დროს. წინააღმდეგობის ძალები მრავალ ფაქტორზეა დამოკიდებული, კერძოდ: სხეულების ზომასა და ფორმაზე, გარემოს თვისებებზე (სიმკვრივე, სიბლანტე), ფარდობითი მოძრაობის სიჩქარეზე. დაბალ სიჩქარეზე, წევის ძალა პირდაპირპროპორციულია სხეულის სიჩქარესთან შედარებით, ანუ:

. (7)

მაღალი სიჩქარით, წევის ძალა პროპორციულია სხეულის სიჩქარის კვადრატის საშუალოზე, ანუ:

, (8)

სადაც არის პროპორციულობის ზოგიერთი კოეფიციენტი, ე.წ წინააღმდეგობის კოეფიციენტები.

დინამიკის ძირითადი განტოლება

მატერიალური წერტილის დინამიკის ძირითადი განტოლება სხვა არაფერია, თუ არა ნიუტონის მეორე კანონის მათემატიკური გამოხატულება:

. (9)

ინერციულ სისტემაში ყველა ძალების ჯამი მოიცავს მხოლოდ ძალებს, რომლებიც წარმოადგენს ურთიერთქმედების საზომებს არაინერციულ ჩარჩოებში, ძალების ჯამი მოიცავს ინერციულ ძალებს.

მათემატიკური თვალსაზრისით, მიმართება (9) არის წერტილის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლება ვექტორული ფორმით. მისი ამოხსნა არის მატერიალური წერტილის დინამიკის მთავარი პრობლემა.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

დავალება No1. ჭიქა იდება ფურცელზე. რა აჩქარებით უნდა ამოქმედდეს ფურცელი, რომ გამოიყვანოს იგი შუშის ქვემოდან, თუ მინასა და ფურცელს შორის ხახუნის კოეფიციენტი არის 0,3?

დავუშვათ, რომ ქაღალდის ფურცელზე მოქმედი რაღაც ძალით, მინა ფურცელთან ერთად მოძრაობს. ცალკე გამოვსახოთ მასის მქონე მინაზე მოქმედი ძალები. მინაზე მოქმედებენ შემდეგი სხეულები: დედამიწა მიზიდულობის ძალით, ქაღალდის ფურცელი რეაქციის ძალით, ქაღალდის ფურცელი ხახუნის ძალით, რომელიც მიმართულია შუშის მოძრაობის სიჩქარით. შუშის მოძრაობა ერთნაირად აჩქარებულია, შესაბამისად, აჩქარების ვექტორი მიმართულია მინის მოძრაობის სიჩქარის გასწვრივ.

სურათზე გამოვსახოთ შუშის აჩქარების ვექტორი. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი ვექტორული ფორმით მინაზე მოქმედი ძალებისთვის:

.

მოდით მივმართოთ OX ღერძი შუშის აჩქარების ვექტორის გასწვრივ, ხოლო OY ღერძი ¾ ვერტიკალურად ზემოთ. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი პროექციებში ამ კოორდინატულ ღერძებზე და მივიღოთ შემდეგი განტოლებები:

(1.1)

ქაღალდის ფურცელზე მოქმედი ძალის მატებასთან ერთად იზრდება ხახუნის ძალის სიდიდე, რომლითაც ქაღალდის ფურცელი მოქმედებს მინაზე. ძალის გარკვეული მნიშვნელობისას, ხახუნის ძალის სიდიდე აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, სიდიდით ტოლია მოცურების ხახუნის ძალის. ამ მომენტიდან მინა იწყებს სრიალს ქაღალდის ზედაპირთან შედარებით. ხახუნის ძალის შემზღუდველი მნიშვნელობა დაკავშირებულია მინაზე მოქმედ რეაქციის ძალასთან შემდეგნაირად:

ტოლობიდან (1.2) გამოვხატავთ რეაქციის ძალის სიდიდეს და შემდეგ ჩავანაცვლებთ მას ბოლო მიმართებაში, გვაქვს . შედეგად მიღებული დამოკიდებულებიდან ვპოულობთ ხახუნის ძალის სიდიდეს და ვაყენებთ მას ტოლობაში (1.1), ვიღებთ გამოხატულებას შუშის მაქსიმალური აჩქარების დასადგენად:

რაოდენობების რიცხვითი მნიშვნელობების ბოლო ტოლობაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ შუშის მაქსიმალური აჩქარების მნიშვნელობას:

.

მინის შედეგად მიღებული აჩქარების მნიშვნელობა უდრის ქაღალდის ფურცლის მინიმალურ აჩქარებას, რომლითაც ის შეიძლება "გამოიყვანოს" შუშის ქვემოდან.

პასუხი: .

მოდით გამოვსახოთ სხეულზე მოქმედი ყველა ძალა. გარდა გარე ძალისა, სხეულზე მოქმედებს დედამიწა მიზიდულობის ძალით, ჰორიზონტალური ზედაპირით რეაქციის ძალით და სხეულის სიჩქარის წინააღმდეგ მიმართული ხახუნის ძალით. სხეული მოძრაობს ერთიანი აჩქარებით და, შესაბამისად, მისი აჩქარების ვექტორი მიმართულია მოძრაობის სიჩქარის გასწვრივ. მოდით გამოვსახოთ ვექტორი ფიგურაში. ჩვენ ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას, როგორც ნაჩვენებია სურათზე. ჩვენ ვწერთ ნიუტონის მეორე კანონს ვექტორული ფორმით:

.

ვექტორული თანასწორობის ძირითადი თვისების გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ განტოლებებს ბოლო ვექტორულ ტოლობაში შემავალი ვექტორების პროგნოზებისთვის:

ჩვენ ვწერთ ურთიერთობას მოცურების ხახუნის ძალისთვის

ტოლობიდან (2.2) ვპოულობთ რეაქციის ძალის სიდიდეს

მიღებული გამოსახულებიდან, ჩვენ ვცვლით ტოლობით (2.3) რეაქციის ძალის სიდიდის ნაცვლად, ვიღებთ გამოხატვას.

ხახუნის ძალისთვის მიღებული გამონათქვამის ტოლობით (2.1) ჩანაცვლებით, გვექნება სხეულის აჩქარების გამოთვლის ფორმულა:

ჩვენ ვცვლით რიცხვით მონაცემებს SI სისტემაში ბოლო ფორმულაში და ვპოულობთ დატვირთვის აჩქარების სიდიდეს:

პასუხი: .

ძალის მინიმალური სიდიდისთვის ჩვენ განვსაზღვრავთ ხახუნის ძალის მიმართულებას, რომელიც მოქმედებს მოსვენებულ ბლოკზე. წარმოვიდგინოთ, რომ ძალა ნაკლებია იმ მინიმალურ ძალაზე, რომელიც საკმარისია სხეულის დასასვენებლად. ამ შემთხვევაში სხეული ქვევით გადავა და მასზე გამოყენებული ხახუნის ძალა მიმართული იქნება ვერტიკალურად ზემოთ. სხეულის შესაჩერებლად, თქვენ უნდა გაზარდოთ გამოყენებული ძალის სიდიდე. გარდა ამისა, ამ სხეულზე მოქმედებს დედამიწა ვერტიკალურად ქვევით მიმართული მიზიდულობის ძალით, ასევე კედელი, რომელსაც რეაქციის ძალა აქვს ჰორიზონტალურად მიმართული მარცხნივ. მოდით გამოვსახოთ ფიგურაში სხეულზე მოქმედი ყველა ძალა. ავიღოთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, რომლის ღერძები ისე იქნება მიმართული, როგორც ნახატზეა ნაჩვენები. მოსვენებულ სხეულზე ჩვენ ვწერთ ნიუტონის პირველ კანონს ვექტორული ფორმით:

.

ნაპოვნი ვექტორული ტოლობისთვის ვწერთ ტოლობას კოორდინატთა ღერძებზე ვექტორების პროგნოზებისთვის, ვიღებთ შემდეგ განტოლებებს:

გარე ძალის მინიმალური მნიშვნელობისას, სტატიკური ხახუნის ძალის სიდიდე აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას, რომელიც ტოლია მოცურების ხახუნის ძალის სიდიდეს:

ტოლობიდან (3.1) ვპოულობთ რეაქციის ძალის სიდიდეს და ვცვლით მას ტოლობით (3.3), ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამს ხახუნის ძალისთვის:

.

მოდით შევცვალოთ ამ ურთიერთობის მარჯვენა მხარე ხახუნის ძალის ნაცვლად თანასწორობაში (3.2) და მივიღოთ ფორმულა გამოყენებული ძალის სიდიდის გამოსათვლელად:

ბოლო ფორმულიდან ვპოულობთ ძალის სიდიდეს:

.

პასუხი: .

მოდით გამოვსახოთ ყველა ძალა, რომელიც მოქმედებს ბურთზე, რომელიც ვერტიკალურად მოძრაობს ჰაერში. მასზე მოქმედებს დედამიწა მიზიდულობის ძალით, ჰაერი კი წინააღმდეგობის ძალით. მოდით გამოვსახოთ ფიგურაში განხილული ძალები. დროის საწყის მომენტში ყველა ძალის შედეგს აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა, რადგან ბურთის სიჩქარე ნულია და წინააღმდეგობის ძალა ასევე ნულის ტოლია. ამ მომენტში ბურთის მაქსიმალური აჩქარება ტოლია. ბურთის მოძრაობისას მისი სიჩქარე იზრდება და შესაბამისად იზრდება ჰაერის წინააღმდეგობის ძალა. დროის გარკვეულ მომენტში, წინააღმდეგობის ძალა აღწევს სიმძიმის ძალის ტოლ მნიშვნელობას. ამ მომენტიდან ბურთი ერთნაირად მოძრაობს. მოდით დავწეროთ ნიუტონის პირველი კანონი ვექტორული სახით ბურთის ერთგვაროვანი მოძრაობისთვის:

.

მოდით მივმართოთ OY ღერძი ვერტიკალურად ქვემოთ. ამ ვექტორული ტოლობისთვის დავწეროთ ვექტორების პროგნოზების ტოლობა OY ღერძზე:

. (4.1)

წინააღმდეგობის ძალა დამოკიდებულია ბურთის კვეთის ფართობზე და მისი სიჩქარის სიდიდეზე შემდეგნაირად:

, (4.2)

სად არის პროპორციულობის კოეფიციენტი, რომელსაც ეწოდება წინააღმდეგობის კოეფიციენტი.

ტოლობებიდან (4.1) და (4.2) შემდეგი მიმართება მოდის:

. (4.3)

მოდით გამოვხატოთ ბურთის მასა მისი სიმკვრივისა და მოცულობის საშუალებით, ხოლო მოცულობა, თავის მხრივ, ბურთის რადიუსში:

. (4.4)

ამ გამოსახულებიდან ვპოულობთ მასას და ვცვლით მას ტოლობით (4.3), ვიღებთ შემდეგ ტოლობას:

. (4.5)

ჩვენ გამოვხატავთ ბურთის კვეთის ფართობს მისი რადიუსის მიხედვით:

(4.6) მიმართების გათვალისწინებით, თანასწორობა (4.5) მიიღებს შემდეგ ფორმას:

.

პირველი ბურთის რადიუსად აღვნიშნოთ; როგორც მეორე ბურთის რადიუსი. მოდით დავწეროთ პირველი და მეორე ბურთის სტაბილური მოძრაობის სიჩქარის ფორმულები:

მიღებული ტოლობებიდან ვპოულობთ სიჩქარის თანაფარდობას:

.

ამოცანის პირობებიდან ბურთების რადიუსების შეფარდება უდრის ორს. ამ პირობის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ სიჩქარის თანაფარდობას:

.

პასუხი: .

დახრილი სიბრტყის გასწვრივ ზემოთ მოძრავ სხეულზე მოქმედებს გარე სხეულები: ა) დედამიწა ვერტიკალურად ქვემოთ მიმართული გრავიტაციით; ბ) დახრილი სიბრტყე რეაქციის ძალით მიმართული დახრილ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულად; გ) სხეულის მოძრაობის წინააღმდეგ მიმართული ხახუნის ძალის მქონე დახრილი სიბრტყე; დ) დახრილი სიბრტყის გასწვრივ ზემოთ მიმართული გარე სხეული. ამ ძალების გავლენით სხეული ერთნაირად აჩქარებული მოძრაობს დახრილ სიბრტყეზე და, შესაბამისად, აჩქარების ვექტორი მიმართულია სხეულის მოძრაობის გასწვრივ. სურათზე გამოვსახოთ აჩქარების ვექტორი. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი ვექტორული ფორმით:

.

ავირჩიოთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, რომლის OX ღერძი მიმართულია სხეულის აჩქარების გასწვრივ, ხოლო OY ღერძი მიმართულია დახრილი სიბრტყის პერპენდიკულარულად. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი ამ კოორდინატულ ღერძებზე პროექციებში და მივიღოთ შემდეგი განტოლებები:

მოცურების ხახუნის ძალა დაკავშირებულია რეაქციის ძალასთან შემდეგი დამოკიდებულებით:

თანასწორობიდან (5.2) ვპოულობთ რეაქციის ძალის სიდიდეს და ვცვლით მას ტოლობით (5.3), გვაქვს შემდეგი გამოხატულება ხახუნის ძალისთვის:

. (5.4)

ტოლობის მარჯვენა მხარის (5.4) ჩანაცვლებით ტოლობით (5.1) ხახუნის ძალის ნაცვლად, მივიღებთ შემდეგ განტოლებას საჭირო ძალის სიდიდის გამოსათვლელად:

გამოვთვალოთ ძალის სიდიდე:

პასუხი: .

მოდით გამოვსახოთ ყველა ძალა, რომელიც მოქმედებს სხეულებზე და ბლოკზე. განვიხილოთ ბლოკზე გადაყრილი ძაფით დაკავშირებული სხეულების მოძრაობის პროცესი. ძაფი უწონო და გაუწელვადია, შესაბამისად, ძაფის ნებისმიერ მონაკვეთზე დაძაბულობის ძალის სიდიდე იგივე იქნება, ე.ი. და .

სხეულების გადაადგილებები დროის ნებისმიერ მონაკვეთში იგივე იქნება და, შესაბამისად, დროის ნებისმიერ მომენტში ამ სხეულების სიჩქარისა და აჩქარების მნიშვნელობები იგივე იქნება. იქიდან, რომ ბლოკი ბრუნავს ხახუნის გარეშე და უწონადია, გამოდის, რომ ძაფის დაჭიმვის ძალა ბლოკის ორივე მხარეს ერთნაირი იქნება, ე.ი.: .

ეს გულისხმობს პირველ და მეორე სხეულებზე მოქმედი ძაფის დაძაბულობის ძალების თანასწორობას, ე.ი. . სურათზე გამოვსახოთ პირველი და მეორე სხეულების აჩქარების ვექტორები. მოდით გამოვსახოთ ორი OX ცული. პირველი ღერძი მივმართოთ პირველი სხეულის აჩქარების ვექტორის გასწვრივ, მეორე - მეორე სხეულის აჩქარების ვექტორის გასწვრივ. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი თითოეული სხეულისთვის ამ კოორდინატულ ღერძებზე პროექციით:

იმის გათვალისწინებით, რომ და პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ, მეორე განტოლებაში ვცვლით, მივიღებთ

ბოლო თანასწორობიდან ვპოულობთ აჩქარების მნიშვნელობას:

.

თანასწორობიდან (1) ვპოულობთ დაძაბულობის ძალის სიდიდეს:

პასუხი: , .

როდესაც პატარა რგოლი ბრუნავს წრის გარშემო, მასზე მოქმედებს ორი ძალა: მიზიდულობის ძალა, მიმართული ვერტიკალურად ქვემოთ და რეაქციის ძალა, მიმართული რგოლის ცენტრისკენ. მოდით გამოვსახოთ ეს ძალები ფიგურაში და ასევე დავანახოთ მასზე ბეჭდის ტრაექტორია. რგოლის ცენტრიდანული აჩქარების ვექტორი დევს ტრაექტორიის სიბრტყეში და მიმართულია ბრუნვის ღერძისკენ. მოდით გამოვსახოთ სურათზე. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი ვექტორული სახით მბრუნავი რგოლისთვის:

.

ავირჩიოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომლის OX ღერძი მიმართული იქნება ცენტრიდანული აჩქარების გასწვრივ, ხოლო OY ღერძი – ვერტიკალურად ზემოთ ბრუნვის ღერძის გასწვრივ. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი ამ კოორდინატულ ღერძებზე პროექციებში:

თანასწორობიდან (7.2) ვპოულობთ რეაქციის ძალის სიდიდეს და ვცვლით მას ტოლობით (7.1), ვიღებთ გამონათქვამს:

. (7.3)

ცენტრიდანული აჩქარება დაკავშირებულია ბრუნვის სიჩქარესთან შემდეგნაირად: , სად არის პატარა რგოლის ბრუნვის რადიუსი. ბოლო ტოლობის მარჯვენა მხარის ნაცვლად ფორმულით (7.3) ჩანაცვლებით, მივიღებთ შემდეგ მიმართებას:

. (7.4)

ფიგურიდან ვპოულობთ კუთხის ალფას ტანგენტის მნიშვნელობას . ამ გამოთქმის გათვალისწინებით, თანასწორობა (7.4) მიიღებს ფორმას:

ბოლო განტოლებიდან ვიპოვით საჭირო სიმაღლეს:

პასუხი: .

დისკთან ერთად მბრუნავ სხეულზე მოქმედებს სამი ძალა: გრავიტაცია, რეაქციის ძალა და ხახუნის ძალა მიმართული ბრუნვის ღერძისკენ. მოდით გამოვსახოთ ყველა ძალა ფიგურაში. მოდით ამ ფიგურაში ვაჩვენოთ ცენტრიდანული აჩქარების ვექტორის მიმართულება. ჩვენ ვწერთ ნიუტონის მეორე კანონს ვექტორული ფორმით:

.

მოდით ავირჩიოთ მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემა, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი კოორდინატთა ღერძებზე პროექციებში:

; (8.1)

. (8.2)

მოდით დავწეროთ მიმართება ცენტრიდანული აჩქარებისთვის:

. (8.3)

ტოლობის (8.3) მარჯვენა მხარის ნაცვლად ცენტრიდანული აჩქარების ტოლობით (8.1) ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

. (8.4)

თანასწორობიდან (8.4) ირკვევა, რომ ხახუნის ძალის სიდიდე პირდაპირპროპორციულია ბრუნვის რადიუსთან, ამიტომ, როგორც ბრუნის რადიუსი იზრდება, იზრდება სტატიკური ხახუნის ძალა და გარკვეული მნიშვნელობისას სტატიკური ხახუნის ძალა აღწევს მაქსიმალური მნიშვნელობა ტოლია მოცურების ხახუნის ძალის ().

თანასწორობის (8.2) გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამებს მაქსიმალური სტატიკური ხახუნის ძალისთვის:

.

მიღებული ტოლობის მარჯვენა მხარის ნაცვლად ხახუნის ძალის ტოლობით (4) ჩანაცვლებით, მივიღებთ შემდეგ მიმართებას:

ამ განტოლებიდან ვპოულობთ ბრუნვის რადიუსის შემზღუდველ მნიშვნელობას:

პასუხი: .

წვეთების ფრენისას მასზე მოქმედებს ორი ძალა: გრავიტაცია და წევის ძალა. მოდით გამოვსახოთ ყველა ძალა ფიგურაში. მოდით ავირჩიოთ ვერტიკალურად მიმართული ღერძი OY, რომლის საწყისი იქნება დედამიწის ზედაპირზე. მოდით ჩამოვწეროთ დინამიკის ძირითადი განტოლება:

.

თანასწორობის დაპროექტებით OY ღერძზე, გვექნება შემდეგი მიმართება:

მოდით გავყოთ ბოლო ტოლობის ორივე მხარე და ერთდროულად გავამრავლოთ ორივე მხარე ზე, იმის გათვალისწინებით, რომ მივიღებთ გამონათქვამს:

მოდით გავყოთ ამ გამოთქმის ორივე მხარე , მივიღებთ კავშირს:

.

ჩვენ ვაერთიანებთ ამ უკანასკნელ მიმართებას და ვიღებთ სიჩქარის დამოკიდებულებას დროზე: .

ჩვენ ვპოულობთ მუდმივას საწყისი პირობებიდან ( ), ვიღებთ სიჩქარის სასურველ დამოკიდებულებას დროზე:

.

ჩვენ განვსაზღვრავთ მაქსიმალურ სიჩქარეს მდგომარეობიდან :

.

პასუხი: ; .

მოდით გამოვსახოთ ფიგურაზე ძალები, რომლებიც მოქმედებენ გუბეზე. მოდით დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი პროექციებში OX, OY და OZ ღერძებზე

იმიტომ რომ , მაშინ გამრეცხის მოძრაობის მთელი ტრაექტორიისთვის ფორმულა მოქმედებს ხახუნის ძალისთვის, რომელიც, OZ-ის ტოლობის გათვალისწინებით, გარდაიქმნება ფორმაში:

ამ მიმართების გათვალისწინებით, OX ღერძის ტოლობა მიიღებს ფორმას

ჩვენ ვაპროექტებთ ნიუტონის მეორე კანონს განსახილველ წერტილში პაკის ტრაექტორიის ტანგენსზე და მივიღებთ მიმართებას:

სად არის ტანგენციალური აჩქარების სიდიდე. ბოლო ტოლობების მარჯვენა მხარეების შედარებისას დავასკვნით, რომ .

ვინაიდან და , მაშინ წინა მიმართების გათვალისწინებით გვაქვს ტოლობა , რომლის ინტეგრაციას მივყავართ გამოთქმამდე სადაც არის ინტეგრაციის მუდმივი. ჩავანაცვლოთ ბოლო გამოთქმაში ვიღებთ სიჩქარის დამოკიდებულებას კუთხეზე:

მოდით განვსაზღვროთ მუდმივი საწყისი პირობებიდან (როდის . ) . ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ საბოლოო დამოკიდებულებას

.

მინიმალური სიჩქარის მნიშვნელობა მიიღწევა, როდესაც და სიჩქარის ვექტორი მიმართულია OX ღერძის პარალელურად და მისი მნიშვნელობა უდრის .

დინამიკა:
ანალიტიკური მექანიკა
§ 47. დინამიკის ზოგადი განტოლება

პრობლემები გადაწყვეტილებებთან

47.1 სამი წონა M მასის თითო დაკავშირებულია გაუჭიმავი ძაფით, რომელიც გადაყრილია სტაციონარული ბლოკით A. ორი წონა დევს გლუვ ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე, ხოლო მესამე წონა დაკიდულია ვერტიკალურად. განსაზღვრეთ სისტემის აჩქარება და ძაფის დაჭიმულობა აბ. უგულებელყოთ ძაფის მასა და დაბლოკეთ.
გადაწყვეტა

47.2 ამოიღეთ წინა ამოცანა ბლოკის მასის გათვალისწინებით, იმ ვარაუდით, რომ ტვირთების გადაადგილებისას ბლოკი A ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო. მყარი ერთგვაროვანი დისკის ბლოკის მასა არის 2 მ.
გადაწყვეტა

47.3 ორი მასა M1 და M2 დაკიდებულია ორ მოქნილ გაუღელვებელ ძაფზე, რომლებიც, როგორც ნაჩვენებია ნახატზე, დახვეულია დასარტყამებზე r1 და r2 რადიუსებით და დამონტაჟებულია საერთო ღერძზე; ტვირთი მოძრაობს სიმძიმის გავლენის ქვეშ. დაადგინეთ დოლების კუთხური აჩქარება ε, უგულებელყოთ მათი მასები და ძაფების მასა.
გადაწყვეტა

47.4 წინა ამოცანის გათვალისწინებით, დაადგინეთ ε კუთხური აჩქარება და ძაფების T1 და T2 დაჭიმულობა დოლის მასების გათვალისწინებით შემდეგი მონაცემებით: M1=20 კგ, M2=34 კგ, r1=5 სმ. r2=10 სმ; დოლის წონა: პატარა 4 კგ და დიდი 8 კგ. დასარტყამების მასები ითვლება თანაბრად განაწილებულად მათ გარე ზედაპირებზე.
გადაწყვეტა

47.5 ნახატზე ნაჩვენები ბლოკის სისტემიდან ჩამოკიდებულია შემდეგი წონები: M1 მასის 10 კგ და M2 მასის 8 კგ. განსაზღვრეთ დატვირთვის M2 აჩქარება w2 და ძაფის დაჭიმულობა, ბლოკების მასების უგულებელყოფით.
გადაწყვეტა

47.6 ბრუნვის მომენტი M გამოიყენება ამწევის ქვედა საბურველზე. განსაზღვრეთ M1 მასის A ტვირთის აჩქარება, რომელიც აწევს ზემოთ, თუ საპირწონე B მასა უდრის M2-ს, და რადიუსის C და D მასა. M3 არის თითოეული ერთგვაროვანი ცილინდრები. უგულებელყოთ ქამრის მასა.
გადაწყვეტა

47.7 R რადიუსის დატვირთვების გადაადგილების მექანიზმის კაპსტანის ლილვი ამოძრავებს AB სახელურზე გამოყენებული მუდმივი ბრუნვის M-ით. დაადგინეთ m მასის C დატვირთვის აჩქარება, თუ ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე დატვირთვის სრიალის ხახუნის კოეფიციენტი f-ის ტოლია. უგულებელყოთ თოკისა და კაპსტანის მასა.
გადაწყვეტა

47.8 ამოხსენით წინა ამოცანა კაპსტანის მასის გათვალისწინებით, რომლის ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის გარშემო უდრის J-ს.
გადაწყვეტა

47.9 M1 მასის A დატვირთვა, რომელიც ეშვება დახრილი გლუვი სიბრტყის გასწვრივ, რომელიც მდებარეობს α კუთხით ჰორიზონტალურთან, იწვევს M2 მასის B ბარაბნის და r რადიუსის ბრუნვას გაუწელვებელ ძაფში. დაადგინეთ დოლის კუთხური აჩქარება, თუ ბარაბანი ერთგვაროვან მრგვალ ცილინდრად მიგვაჩნია. უგულებელყოთ სტაციონარული ბლოკის C და ძაფის მასა.
გადაწყვეტა

47.10 ადამიანი უბიძგებს ეტლს, მიმართავს მასზე ჰორიზონტალურ ძალას F. განსაზღვრეთ ეტლის სხეულის აჩქარება, თუ სხეულის მასა არის M1, M2 არის ოთხივე ბორბლის მასა, r არის ბორბლების რადიუსი. fк არის მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტი. ბორბლები განიხილება, როგორც მყარი მრგვალი დისკები, რომლებიც მოძრავია რელსებზე დაცურვის გარეშე.
გადაწყვეტა

47.11 M1 მასის Roller A, რომელიც ქვევით ტრიალებს დახრილი სიბრტყის გასწვრივ სრიალის გარეშე, აწევს დატვირთვას C M2 მასის B ბლოკზე გადაყრილი გაუწელავი ძაფის საშუალებით. ამ შემთხვევაში, B ბლოკი ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო O, მისი სიბრტყის პერპენდიკულარულად. Roller A და B ბლოკი არის ერთი და იგივე მასის და რადიუსის ერთგვაროვანი მრგვალი დისკები. დახრილი სიბრტყე ქმნის α კუთხეს ჰორიზონტალურთან. განსაზღვრეთ როლიკებით ღერძის აჩქარება. უგულებელყოთ ძაფის მასა.
გადაწყვეტა

47.12 M1 მასის B დატვირთვა მოძრაობაში აყენებს A ცილინდრულ როლიკს M2 და რადიუსის r რადიუსის ძაფით დახვეული როლიკებით. განსაზღვრეთ B დატვირთვის აჩქარება, თუ გორგოლაჭები ცურვის გარეშე მოძრაობს და მოძრავი ხახუნის კოეფიციენტი fк-ის ტოლია. უგულებელყოთ D ბლოკის მასა.
გადაწყვეტა

47.13 M1 მასის DE ღერო ეყრდნობა M2 მასის სამ ლილვაკს A, B და C თითოეულს. ძალა F გამოიყენება ღეროზე ჰორიზონტალურად მარჯვნივ, რაც იწვევს ღეროსა და ლილვაკების მოძრაობას. არ არის სრიალი ღეროსა და ლილვაკებს შორის, ასევე ლილვაკებსა და ჰორიზონტალურ სიბრტყეს შორის. იპოვეთ ღერძის DE აჩქარება. ლილვაკები ითვლება ერთგვაროვან მრგვალ ცილინდრებად.
გადაწყვეტა

47.14 47.5 ამოცანაში განხილული M2 დატვირთვის აჩქარების განსაზღვრა, თითოეული 4 კგ მასის მყარი ერთგვაროვანი დისკების ბლოკების მასის გათვალისწინებით.
გადაწყვეტა

47.15 M1 მასის დატვირთვა A, რომელიც ჩამოვარდება სტაციონარული ბლოკის D ბლოკში გადაყრილი გაუწელავი ძაფის მეშვეობით და ხვეული B ბორბალზე, იწვევს C ლილვის გორვას ჰორიზონტალური რელსის გასწვრივ სრიალის გარეშე. R რადიუსის ღვეზელი B მყარად არის დამონტაჟებული r რადიუსის C ლილვზე; მათი ჯამური მასა უდრის M2-ს, ხოლო ბრუნვის რადიუსი O ღერძის მიმართ, ფიგურის სიბრტყის პერპენდიკულარული, უდრის ρ. იპოვეთ დატვირთვის აჩქარება A. უგულებელყოთ ძაფის და ბლოკის მასა.
გადაწყვეტა

47.16 ცენტრიდანული რეგულატორი ბრუნავს ვერტიკალური ღერძის გარშემო მუდმივი კუთხური სიჩქარით ω. დაადგინეთ სახელურების OA და OB გადახრის კუთხე ვერტიკალურიდან, თითოეული ბურთის მხოლოდ M მასის და შეერთების C მასის გათვალისწინებით, ყველა ღეროს აქვს იგივე სიგრძე l.
გადაწყვეტა

47.17 ცენტრიდანული რეგულატორი ბრუნავს მუდმივი კუთხური სიჩქარით ω. იპოვეთ კავშირი რეგულატორის კუთხურ სიჩქარესა და მისი ღეროების ვერტიკალურიდან გადახრის α კუთხეს შორის, თუ მასობრივი შეერთება M1 დაწნეულია ზამბარით, რომელიც არადეფორმირებულ მდგომარეობაშია α = 0-ზე და ფიქსირდება ზედა ბოლოში. რეგულატორის ღერძამდე; ბურთულების მასები უდრის M2-ს, ღეროების სიგრძე ლ-ის ტოლია, ღეროების საკიდი ღერძები გამოყოფილია რეგულატორის ღერძიდან a მანძილზე; უგულებელყოთ ღეროების და ზამბარების მასები. ზამბარის მუდმივი არის c.
გადაწყვეტა

47.18 ცენტრიდანული ზამბარის რეგულატორი შედგება M მასის A და B მასისგან, რომლებიც დამონტაჟებულია M1 მასის გლუვ ჰორიზონტალურ ღეროზე, რომელიც დამაგრებულია რეგულატორის ღერძზე, l სიგრძის ღეროებზე და ზამბარებზე, რომლებიც აჭერენ მასებს ბრუნვის ღერძისკენ; ღეროს საკინძების მანძილი ღერძიდან უდრის e-ს; c ზამბარის სიმყარის კოეფიციენტი. განსაზღვრეთ კონტროლერის კუთხური სიჩქარე გახსნის კუთხით α, თუ კუთხით α0, სადაც α0SOLUTION

47.19 რეგულატორში, M1 თანაბარი მასის ოთხი წონა განლაგებულია 2 ლ სიგრძის ორი თანაბარი ბერკეტის ბოლოებზე, რომლებსაც შეუძლიათ რეგულატორის სიბრტყეში ბრუნვა O ღვეზელის ბოლოზე და შექმნან ცვლადი კუთხე φ. spindle ღერძი. A წერტილში, რომელიც მდებარეობს O ღეროს ბოლოდან OA=a მანძილზე, a სიგრძის ბერკეტები AB და AC ღერძულად არის დაკავშირებული ღერძთან, რომლებიც B და C წერტილებში, თავის მხრივ, დაკავშირებულია სიგრძის BD და CD ღეროებით. a, დამჭერი D. B და C წერტილებში აქვს სლაიდები, რომლებიც სრიალებენ წონების მატარებელ მკლავებზე. შეერთების მასა არის M2. კონტროლერი ბრუნავს მუდმივი კუთხური სიჩქარით ω. იპოვეთ კავშირი კუთხისა და კუთხური სიჩქარის ω შორის კონტროლერის წონასწორობის მდგომარეობაში.