როგორ ვიპოვოთ g გეომეტრიული პროგრესიის ფორმულაში. გეომეტრიული პროგრესია

ამ რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი, ანუ თითოეული წევრი განსხვავდება წინადან q-ჯერ. (ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ q ≠ 1, წინააღმდეგ შემთხვევაში ყველაფერი ძალიან ტრივიალურია). ადვილი მისახვედრია, რომ გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ზოგადი ფორმულა არის b n = b 1 q n – 1 ; b n და b m რიცხვებით ტერმინები განსხვავდება q n – m ჯერ.

უკვე შევიდა Უძველესი ეგვიპტეიცოდა არა მხოლოდ არითმეტიკული, არამედ გეომეტრიული პროგრესიაც. აი, მაგალითად, პრობლემა რინდის პაპირუსიდან: „შვიდ სახეს შვიდი კატა აქვს; თითოეული კატა ჭამს შვიდ თაგვს, თითოეული თაგვი ჭამს შვიდ ყელს, ხოლო ქერის თითოეულ ყურს შეუძლია შვიდი ღერი ქერის მოყვანა. რამდენად დიდია ამ სერიის რიცხვები და მათი ჯამი?

ბრინჯი. 1. ძველი ეგვიპტური გეომეტრიული პროგრესიის პრობლემა

ეს დავალება ბევრჯერ სხვადასხვა ვარიაციებიგანმეორდა სხვა ხალხებში სხვა დროსაც. მაგალითად, დაწერილი მე -13 საუკუნეში. ლეონარდო პიზას (ფიბონაჩის) „აბაკუს წიგნს“ აქვს პრობლემა, რომელშიც რომისკენ მიმავალ გზაზე ჩნდება 7 მოხუცი ქალი (აშკარად მომლოცველები), რომელთაგან თითოეულს ჰყავს 7 ჯორი, რომელთაგან თითოეულს აქვს 7 ჩანთა. შეიცავს 7 პურს, რომელთაგან თითოეულს აქვს 7 დანა, თითოეულს აქვს 7 გარსი. პრობლემა სვამს კითხვას, რამდენი ობიექტია.

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . ეს ფორმულა შეიძლება დადასტურდეს, მაგალითად, ასე: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

დაამატეთ რიცხვი b 1 q n S n-ს და მიიღეთ:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

აქედან S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), და მივიღებთ საჭირო ფორმულას.

უკვე ერთ-ერთზე თიხის ტაბლეტები ძველი ბაბილონი VI საუკუნით დათარიღებული. ძვ.წ ე. შეიცავს ჯამს 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. მართალია, როგორც სხვა რიგ შემთხვევებში, ჩვენ არ ვიცით, როგორ იყო ცნობილი ეს ფაქტი ბაბილონელებისთვის. .

გეომეტრიული პროგრესიის სწრაფი ზრდა მთელ რიგ კულტურაში, განსაკუთრებით ინდურში, არაერთხელ გამოიყენება, როგორც სამყაროს უზარმაზარობის ვიზუალური სიმბოლო. ჭადრაკის გარეგნობის შესახებ ცნობილ ლეგენდაში მმართველი თავის გამომგონებელს აძლევს შესაძლებლობას თავად აირჩიოს ჯილდო და ის სთხოვს ხორბლის მარცვლების რაოდენობას, რომელიც მიიღება პირველ მოედანზე მოთავსების შემთხვევაში. ჭადრაკის დაფა, მეორესთვის ორი, მესამესთვის ოთხი, მეოთხესთვის რვა და ა.შ., ყოველ ჯერზე რიცხვი გაორმაგდება. ვლადიკა ასე ფიქრობდა ჩვენ ვსაუბრობთმაქსიმუმ, დაახლოებით რამდენიმე ჩანთა, მაგრამ მან არასწორად გამოთვალა. ადვილი მისახვედრია, რომ ჭადრაკის დაფის 64-ვე კვადრატისთვის გამომგონებელს უნდა მიეღო (2 64 - 1) მარცვალი, რომელიც გამოიხატება 20-ნიშნა რიცხვით; დედამიწის მთელი ზედაპირი რომც დაითესოს, მარცვლეულის საჭირო რაოდენობის შეგროვებას მინიმუმ 8 წელი დასჭირდება. ეს ლეგენდა ზოგჯერ განმარტებულია, როგორც ჭადრაკის თამაშში დამალული პრაქტიკულად შეუზღუდავი შესაძლებლობები.

ადვილი მისახვედრია, რომ ეს რიცხვი ნამდვილად 20-ნიშნაა:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (უფრო ზუსტი გამოთვლა იძლევა 1,84∙10 19). მაგრამ მაინტერესებს შეგიძლიათ თუ არა გაიგოთ რა ციფრით მთავრდება ეს რიცხვი?

გეომეტრიული პროგრესია შეიძლება გაიზარდოს, თუ მნიშვნელი 1-ზე მეტია, ან შემცირდეს, თუ ის ერთზე ნაკლებია. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, რიცხვი q n საკმარისად დიდი n-ისთვის შეიძლება თვითნებურად მცირე გახდეს. მიუხედავად იმისა, რომ მზარდი გეომეტრიული პროგრესია იზრდება მოულოდნელად სწრაფად, კლებადი გეომეტრიული პროგრესია ისევე სწრაფად მცირდება.

რაც უფრო დიდია n, მით უფრო სუსტია რიცხვი q n განსხვავდება ნულიდან და მით უფრო უახლოვდება გეომეტრიული პროგრესიის n წევრთა ჯამი S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) რიცხვთან S = b 1 / ( 1 – q). (მაგალითად, ფ. ვიეტი ასე მსჯელობდა). რიცხვს S ეწოდება უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამს. თუმცა, მრავალი საუკუნის განმავლობაში მათემატიკოსებისთვის საკმარისად ნათელი არ იყო კითხვა, თუ რას ნიშნავს მთელი გეომეტრიული პროგრესიის შეჯამება, მისი უსასრულო რაოდენობის ტერმინებით.

შემცირებული გეომეტრიული პროგრესია ჩანს, მაგალითად, ზენონის აპორიებში "ნახევარი განყოფილება" და "აქილევსი და კუს". პირველ შემთხვევაში, ნათლად ჩანს, რომ მთელი გზა (სიგრძით 1) არის უსასრულო რაოდენობის სეგმენტების ჯამი 1/2, 1/4, 1/8 და ა.შ. ეს, რა თქმა უნდა, ასეა იდეების თვალსაზრისი სასრული ჯამის უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ. და მაინც - როგორ შეიძლება ეს?

ბრინჯი. 2. პროგრესირება 1/2 კოეფიციენტით

აქილევსის შესახებ აპორიაში სიტუაცია ცოტა უფრო რთულია, რადგან აქ პროგრესიის მნიშვნელი არის არა 1/2, არამედ რაღაც სხვა რიცხვი. მაგალითად, აქილევსმა ირბინოს v სიჩქარით, კუ მოძრაობს u სიჩქარით და მათ შორის საწყისი მანძილი არის l. აქილევსი დაფარავს ამ მანძილს l/v დროში და ამ დროის განმავლობაში კუ გადაიწევს მანძილი lu/v. როდესაც აქილევსი გადის ამ სეგმენტს, მასსა და კუს შორის მანძილი გახდება l (u /v) 2 და ა.შ. გამოდის, რომ კუს დაჭერა ნიშნავს უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის პოვნას პირველ წევრთან. l და მნიშვნელი u /v. ეს ჯამი - სეგმენტი, რომელსაც საბოლოოდ აქილევსი კუსთან შეხვედრის ადგილისკენ გაუშვებს - უდრის l / (1 – u /v) = lv / (v – u). მაგრამ, კიდევ ერთხელ, როგორ უნდა იქნას განმარტებული ეს შედეგი და რატომ აქვს მას რაიმე აზრი? დიდი ხანის განმვლობაშიეს არ იყო ძალიან ნათელი.

ბრინჯი. 3. გეომეტრიული პროგრესია 2/3 კოეფიციენტით

არქიმედემ გამოიყენა გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი პარაბოლის სეგმენტის ფართობის დასადგენად. პარაბოლის ეს სეგმენტი შემოიფარგლოს AB აკორდით და პარაბოლის D წერტილში ტანგენსი იყოს AB-ის პარალელურად. მოდით C იყოს AB-ის შუა წერტილი, E - AC-ის შუა წერტილი, F - CB-ის შუა წერტილი. გავავლოთ DC-ის პარალელურად წრფეები A, E, F, B წერტილების გავლით; მოდით, D წერტილში დახატული ტანგენსი კვეთს ამ წრფეებს K, L, M, N წერტილებში. ასევე დავხატოთ AD და DB სეგმენტები. მოდით EL წრფემ გადაკვეთოს AD წრფე G წერტილში, პარაბოლა კი H წერტილში; ხაზი FM კვეთს DB წრფეს Q წერტილში, პარაბოლას კი R წერტილში. Მიხედვით ზოგადი თეორიაკონუსური მონაკვეთები, DC - პარაბოლის დიამეტრი (ანუ მისი ღერძის პარალელურად სეგმენტი); ის და ტანგენსი D წერტილში შეიძლება იყოს x და y კოორდინატთა ღერძები, რომლებშიც პარაბოლის განტოლება იწერება როგორც y 2 = 2px (x არის მანძილი D-დან მოცემული დიამეტრის ნებისმიერ წერტილამდე, y არის სიგრძე მოცემული ტანგენტის პარალელური სეგმენტი დიამეტრის ამ წერტილიდან პარაბოლის გარკვეულ წერტილამდე).

პარაბოლის განტოლების ძალით, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, და რადგან DK = 2DL, მაშინ KA = 4LH. რადგან KA = 2LG, LH = HG. პარაბოლას ADB სეგმენტის ფართობი უდრის სამკუთხედის ΔADB ფართობს და AHD და DRB სეგმენტების არეებს ერთად. თავის მხრივ, AHD სეგმენტის ფართობი ანალოგიურად უდრის AHD სამკუთხედის ფართობს და დანარჩენ AH და HD სეგმენტებს, რომელთაგან თითოეული შეგიძლიათ შეასრულოთ იგივე ოპერაცია - გაყოთ სამკუთხედად (Δ) და ორი დარჩენილი სეგმენტი () და ა.შ.:

სამკუთხედის ΔAHD ფართობი უდრის ΔALD სამკუთხედის ფართობის ნახევარს (მათ აქვთ საერთო ფუძე AD და სიმაღლეები განსხვავდება 2-ჯერ), რაც, თავის მხრივ, უდრის ფართობის ნახევარს. სამკუთხედი ΔAKD და, შესაბამისად, სამკუთხედის ΔACD ფართობის ნახევარი. ამრიგად, სამკუთხედის ΔAHD ფართობი უდრის ΔACD სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ანალოგიურად, ΔDRB სამკუთხედის ფართობი უდრის ΔDFB სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ასე რომ, სამკუთხედების ΔAHD და ΔDRB ფართობი, ერთად აღებული, უდრის ΔADB სამკუთხედის ფართობის მეოთხედს. ამ ოპერაციის განმეორებით AH, HD, DR და RB სეგმენტებზე გამოყენებული იქნება მათგან სამკუთხედები, რომელთა ფართობი ერთად აღებული იქნება 4-ჯერ ნაკლები სამკუთხედების ΔAHD და ΔDRB ფართობზე, ერთად აღებული და ამიტომ 16-ჯერ ნაკლები, ვიდრე სამკუთხედის ΔADB ფართობი. Და ასე შემდეგ:

ამრიგად, არქიმედესმა დაამტკიცა, რომ „ყოველი სეგმენტი, რომელიც შეიცავს სწორ ხაზსა და პარაბოლას შორის, წარმოადგენს სამკუთხედის ოთხ მესამედს, რომელსაც აქვს იგივე ფუძე და თანაბარი სიმაღლე“.

ახლა განვიხილოთ უსასრულო გეომეტრიული პროგრესიის შეჯამების საკითხი. მოდით, მოცემული უსასრულო პროგრესიის ნაწილობრივი ჯამი დავარქვათ მისი პირველი წევრთა ჯამი. ნაწილობრივი ჯამი ავღნიშნოთ სიმბოლოთი

ყოველი უსასრულო პროგრესისთვის

შეიძლება მისი ნაწილობრივი ჯამების (ასევე უსასრულო) თანმიმდევრობის შედგენა

დაე, შეუზღუდავი გაზრდის მქონე მიმდევრობას ჰქონდეს ლიმიტი

ამ შემთხვევაში S რიცხვს, ანუ პროგრესიის ნაწილობრივი ჯამების ზღვარს, უსასრულო პროგრესიის ჯამი ეწოდება. ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ უსასრულო კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას ყოველთვის აქვს ჯამი და გამოვიყვანთ ამ ჯამის ფორმულას (ასევე შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ თუ უსასრულო პროგრესიას ჯამი არ აქვს, ის არ არსებობს).

მოდით ჩავწეროთ ნაწილობრივი ჯამის გამოხატულება, როგორც პროგრესიის წევრთა ჯამი ფორმულის გამოყენებით (91.1) და განვიხილოთ ნაწილობრივი ჯამის ზღვარი:

89-ე თეორემიდან ცნობილია, რომ კლებადი პროგრესიისთვის; მაშასადამე, განსხვავებების ლიმიტის თეორემის გამოყენებით, ვხვდებით

(აქ ასევე გამოიყენება წესი: მუდმივი ფაქტორი აღებულია ზღვრულ ნიშანს მიღმა). არსებობა დადასტურებულია და ამავე დროს მიღებულია უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულა:

ტოლობა (92.1) ასევე შეიძლება ჩაიწეროს ფორმაში

აქ შეიძლება პარადოქსულად ჩანდეს, რომ უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამს ენიჭება ძალიან განსაზღვრული სასრული მნიშვნელობა.

ამ სიტუაციის ასახსნელად შეიძლება იყოს ნათელი ილუსტრაცია. განვიხილოთ კვადრატი, რომლის გვერდიც ტოლია (სურ. 72). ეს კვადრატი ჰორიზონტალური ხაზით გაყავით ორ თანაბარ ნაწილად და ზედა ნაწილი მიამაგრეთ ქვედას ისე, რომ მართკუთხედი ჩამოყალიბდეს გვერდებით 2 და . ამის შემდეგ ამ მართკუთხედის მარჯვენა ნახევარს ისევ ჰორიზონტალური ხაზით გავყოფთ შუაზე და ზედა ნაწილს მივამაგრებთ ქვედას (როგორც ნაჩვენებია ნახ. 72-ზე). ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ განუწყვეტლივ ვაქცევთ 1-ის ტოლი ფართობის თავდაპირველ კვადრატს თანაბარი ზომის ფიგურებად (გათხელებული საფეხურებით კიბის ფორმას ვიღებთ).

ამ პროცესის უსასრულო გაგრძელებით, კვადრატის მთელი ფართობი იშლება უსასრულო რაოდენობის ტერმინებად - მართკუთხედების ფართობები 1-ის ტოლი და სიმაღლეებით მართკუთხედების არეები ზუსტად ქმნიან უსასრულო კლებად პროგრესირებას, მის ჯამს

ანუ, როგორც მოსალოდნელია, კვადრატის ფართობის ტოლია.

მაგალითი. იპოვეთ შემდეგი უსასრულო პროგრესიების ჯამები:

ამოხსნა, ა) ვამჩნევთ, რომ ეს პროგრესია ამიტომ ფორმულის გამოყენებით (92.2) ვპოულობთ

ბ) აქ ეს ნიშნავს, რომ იგივე ფორმულის გამოყენებით (92.2) გვაქვს

გ) ჩვენ ვხვდებით, რომ ამ პროგრესს არ აქვს ჯამი.

მე-5 პარაგრაფში ჩვენ ვაჩვენეთ ფორმულის გამოყენება უსასრულოდ კლებადი პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის პერიოდულის ინვერსიისთვის. ათობითისაერთო წილადად.

Სავარჯიშოები

1. უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი არის 3/5, ხოლო მისი პირველი ოთხი წევრის ჯამი 13/27. იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი და მნიშვნელი.

2. იპოვეთ ოთხი რიცხვი, რომლებიც ქმნიან მონაცვლეობით გეომეტრიულ პროგრესიას, რომლებშიც მეორე წევრი პირველზე ნაკლებია 35-ით, ხოლო მესამე მეტია მეოთხეზე 560-ით.

3. აჩვენე, რომ თუ მიმდევრობა

აყალიბებს უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას, შემდეგ მიმდევრობას

ნებისმიერისთვის ის ქმნის უსასრულოდ კლებად გეომეტრიულ პროგრესიას. იქნება თუ არა ჭეშმარიტი ეს განცხადება როდის

გამოიტანეთ ფორმულა გეომეტრიული პროგრესიის პირობების ნამრავლისთვის.

მათემატიკა არის რაადამიანები აკონტროლებენ ბუნებას და საკუთარ თავს.

საბჭოთა მათემატიკოსი, აკადემიკოსი ა.ნ. კოლმოგოროვი

გეომეტრიული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანებთან ერთად, მათემატიკაში მისაღები გამოცდებში ხშირია გეომეტრიული პროგრესიის ცნებასთან დაკავშირებული პრობლემებიც. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ გეომეტრიული პროგრესიების თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების კარგი უნარები.

ეს სტატია ეძღვნება გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებების პრეზენტაციას. აქ ასევე მოცემულია ტიპიური პრობლემების გადაჭრის მაგალითები., მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ამოცანებიდან ნასესხები.

ჯერ აღვნიშნოთ გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და გავიხსენოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები და განცხადებები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება. რიცხვების თანმიმდევრობაგეომეტრიულ პროგრესიას უწოდებენ, თუ ყოველი რიცხვი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინა, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესირებისთვისფორმულები მოქმედებს

, (1)

სად . ფორმულა (1) ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) წარმოადგენს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი ტერმინების გეომეტრიულ საშუალოს და .

Შენიშვნა, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განსახილველ პროგრესიას ეწოდება „გეომეტრიული“.

ზემოთ მოყვანილი ფორმულები (1) და (2) განზოგადებულია შემდეგნაირად:

, (3)

თანხის გამოსათვლელადპირველი გეომეტრიული პროგრესიის წევრებიფორმულა გამოიყენება

თუ აღვნიშნავთ, მაშინ

სად . ვინაიდან ფორმულა (6) არის (5) ფორმულის განზოგადება.

იმ შემთხვევაში, როცა და გეომეტრიული პროგრესიაუსასრულოდ მცირდება. თანხის გამოსათვლელადუსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა ტერმინიდან გამოიყენება ფორმულა

. (7)

Მაგალითად , ფორმულის გამოყენებით (7) შეგვიძლია ვაჩვენოთ, Რა

სად . ეს ტოლობები მიიღება ფორმულიდან (7) იმ პირობით, რომ , (პირველი თანასწორობა) და , (მეორე ტოლობა).

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება. თუ, მაშინ

თეორემა დადასტურდა.

მოდით გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითების განხილვაზე თემაზე "გეომეტრიული პროგრესია".

მაგალითი 1.მოცემული: , და . იპოვე .

გამოსავალი.თუ გამოვიყენებთ ფორმულას (5), მაშინ

პასუხი:.

მაგალითი 2.Იყოს. იპოვე .

გამოსავალი.ვინაიდან და , ვიყენებთ ფორმულებს (5), (6) და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის მეორე განტოლება (9) იყოფა პირველზე, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს, რომ . განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. თუ, მაშინ (9) სისტემის პირველი განტოლებიდან გვაქვს.

2. თუ , მაშინ .

მაგალითი 3.დაე , და . იპოვე .

გამოსავალი.(2) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ან . მას შემდეგ ან .

პირობით. თუმცა, ამიტომ. მას შემდეგ, რაც და მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუ სისტემის მეორე განტოლება იყოფა პირველზე, მაშინ ან .

ვინაიდან, განტოლებას აქვს უნიკალური შესაფერისი ფესვი. ამ შემთხვევაში, ეს გამომდინარეობს სისტემის პირველი განტოლებიდან.

ფორმულის (7) გათვალისწინებით, ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 4.მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.Მას შემდეგ.

მას შემდეგ ან

ფორმულის მიხედვით (2) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, თანასწორობიდან (10) ვიღებთ ან .

თუმცა, პირობით, ამიტომ.

მაგალითი 5.ცნობილია რომ . იპოვე .

გამოსავალი. თეორემის მიხედვით გვაქვს ორი ტოლობა

მას შემდეგ ან . იმიტომ რომ, მაშინ.

პასუხი:.

მაგალითი 6.მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ

Მას შემდეგ. მას შემდეგ რაც და მერე .

მაგალითი 7.Იყოს. იპოვე .

გამოსავალი.(1) ფორმულის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

ამიტომ გვაქვს ან . ცნობილია რომ და , ამიტომ და .

პასუხი:.

მაგალითი 8.იპოვეთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ

და .

გამოსავალი. ფორმულიდან (7) გამომდინარეობსდა . აქედან და პრობლემის პირობებიდან ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის პირველი განტოლება კვადრატია, და შემდეგ გაყავით მიღებული განტოლება მეორე განტოლებაზე, შემდეგ მივიღებთ

ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9.იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც თანმიმდევრობა, , არის გეომეტრიული პროგრესია.

გამოსავალი.დაე , და . ფორმულის მიხედვით (2), რომელიც განსაზღვრავს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას, შეგვიძლია დავწეროთ ან .

აქედან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომლის ფესვებიადა .

შევამოწმოთ: თუ, შემდეგ და ; თუ , მაშინ და .

პირველ შემთხვევაში გვაქვსდა , და მეორეში – და .

პასუხი: ,.

მაგალითი 10.ამოხსენით განტოლება

, (11)

სად და.

გამოსავალი. Მარცხენა მხარეგანტოლება (11) არის უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომელშიც და , ექვემდებარება: და .

ფორმულიდან (7) გამომდინარეობს, Რა . ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (11) იღებს ფორმასან . შესაფერისი ფესვი კვადრატული განტოლებაარის

პასუხი:.

მაგალითი 11.პ თანმიმდევრულობა დადებითი რიცხვები აყალიბებს არითმეტიკულ პროგრესიას, ა - გეომეტრიული პროგრესია, რა შუაშია . იპოვე .

გამოსავალი.იმიტომ რომ არითმეტიკული თანმიმდევრობა, ეს (ძირითადი ქონება არითმეტიკული პროგრესია). Იმიტომ რომ, მაშინ ან . ეს გულისხმობს, რომ გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს ფორმა. ფორმულის მიხედვით (2), მაშინ ჩვენ ჩავწერთ ამას.

მას შემდეგ და მერე . ამ შემთხვევაში გამოთქმაიღებს ფორმას ან. პირობით, ასე რომ, განტოლებიდანჩვენ ვიღებთ განსახილველი პრობლემის უნიკალურ გადაწყვეტას, ე.ი. .

პასუხი:.

მაგალითი 12.ჯამის გამოთვლა

. (12)

გამოსავალი. გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე (12) 5-ზე და მიიღეთ

თუ გამოვაკლებთ (12) გამოსახულებას, ეს

ან .

გამოსათვლელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ფორმულაში (7) და ვიღებთ . Მას შემდეგ.

პასუხი:.

აქ მოცემული პრობლემის გადაჭრის მაგალითები სასარგებლო იქნება აპლიკანტებისთვის მოსამზადებლად მისაღები გამოცდები. პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, დაკავშირებულია გეომეტრიულ პროგრესირებასთან, შეიძლება გამოყენებულ იქნას სასწავლო საშუალებებირეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. – მ.: მირი და განათლება, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: დამატებითი სექციები სკოლის სასწავლო გეგმა. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216გვ.

3. მედინსკი მ.მ. სრული კურსიელემენტარული მათემატიკა ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. – 208გვ.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

ინსტრუქციები

10, 30, 90, 270...

თქვენ უნდა იპოვოთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.
გამოსავალი:

ვარიანტი 1. ავიღოთ პროგრესიის თვითნებური წევრი (მაგალითად, 90) და გავყოთ წინაზე (30): 90/30=3.

თუ ცნობილია გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე წევრის ჯამი ან კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი, მაშინ პროგრესიის მნიშვნელის საპოვნელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულები:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), სადაც Sn არის გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი და
S = b1/(1-q), სადაც S არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი (პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი ერთზე ნაკლები მნიშვნელით).
მაგალითი.

კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი უდრის ერთს, ხოლო მისი ყველა წევრის ჯამი უდრის ორს.

საჭიროა ამ პროგრესიის მნიშვნელის დადგენა.
გამოსავალი:

ჩაანაცვლეთ ამოცანის მონაცემები ფორმულაში. გამოვა:
2=1/(1-q), საიდანაც – q=1/2.

პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა. გეომეტრიულ პროგრესიაში ყოველი მომდევნო წევრი მიიღება წინას გარკვეულ რიცხვზე q გამრავლებით, რომელსაც პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.

ინსტრუქციები

თუ ცნობილია ორი მომიჯნავე გეომეტრიული ტერმინი b(n+1) და b(n), მნიშვნელის მისაღებად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი უფრო დიდის წინა რიცხვზე: q=b(n+1)/b. (n). ეს გამომდინარეობს პროგრესიის განმარტებიდან და მისი მნიშვნელიდან. მნიშვნელოვანი პირობაარის პირველი წევრის უტოლობა და პროგრესიის მნიშვნელი ნულამდე, წინააღმდეგ შემთხვევაში ითვლება განუსაზღვრელი.

ამრიგად, პროგრესიის ტერმინებს შორის მყარდება შემდეგი მიმართებები: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) ფორმულის გამოყენებით შეიძლება გამოითვალოს გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი, რომელშიც ცნობილია q მნიშვნელი და ტერმინი b1. ასევე, თითოეული პროგრესია მოდულით უდრის მისი მეზობელი წევრების საშუალოს: |b(n)|=√, სადაც პროგრესიამ მიიღო თავისი .

გეომეტრიული პროგრესიის ანალოგი ყველაზე მარტივია ექსპონენციალური ფუნქცია y=a^x, სადაც x არის მაჩვენებელი, a არის გარკვეული რიცხვი. ამ შემთხვევაში პროგრესიის მნიშვნელი ემთხვევა პირველ წევრს და უდრის რიცხვს a. y ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება გავიგოთ როგორც მე-1 ტერმინიპროგრესია, თუ არგუმენტი x მიიღება ბუნებრივი რიცხვი n (მრიცხველი).

გეომეტრიული პროგრესიის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება, რომელიც მისცა გეომეტრიულ პროგრესიას

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "რიცხვთა მიმდევრობები.გეომეტრიული პროგრესია"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

საგანმანათლებლო დამხმარე საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-9 კლასისთვის
ძალა და ფესვები ფუნქციები და გრაფიკები

ბიჭებო, დღეს ჩვენ გავეცნობით სხვა ტიპის პროგრესს.
დღევანდელი გაკვეთილის თემაა გეომეტრიული პროგრესია.

გეომეტრიული პროგრესია

განმარტება. რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას ნამრავლს და რაღაც ფიქსირებულ რიცხვს, გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება.
მოდით განვსაზღვროთ ჩვენი თანმიმდევრობა რეკურსიულად: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
სადაც b და q არის გარკვეული მოცემული რიცხვები. რიცხვს q ეწოდება პროგრესიის მნიშვნელი.

მაგალითი. 1,2,4,8,16... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის ერთს და $q=2$.

მაგალითი. 8,8,8,8... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის რვას,
და $q=1$.

მაგალითი. 3,-3,3,-3,3... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის სამს,
და $q=-1$.

გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს ერთფეროვნების თვისებები.
თუ $b_(1)>0$, $q>1$,
მაშინ თანმიმდევრობა იზრდება.
თუ $b_(1)>0$, $0 მიმდევრობა ჩვეულებრივ აღინიშნება სახით: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

ისევე, როგორც არითმეტიკულ პროგრესიაში, თუ გეომეტრიულ პროგრესიაში ელემენტების რაოდენობა სასრულია, მაშინ პროგრესიას ეწოდება სასრული გეომეტრიული პროგრესია.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ მიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, მაშინ ტერმინების კვადრატების თანმიმდევრობა ასევე გეომეტრიული პროგრესიაა. მეორე თანმიმდევრობით პირველი წევრი $b_(1)^2$-ის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი $q^2$-ის ტოლია.

გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

გეომეტრიული პროგრესია ასევე შეიძლება დაზუსტდეს ანალიტიკური ფორმით. ვნახოთ, როგორ გავაკეთოთ ეს:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
ჩვენ ადვილად ვამჩნევთ ნიმუშს: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
ჩვენს ფორმულას ეწოდება "გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა".

დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითებს.

მაგალითი. 1,2,4,8,16... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის ერთს,
და $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

მაგალითი. 16,8,4,2,1,1/2... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის თექვსმეტს და $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

მაგალითი. 8,8,8,8... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი რვის ტოლია და $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

მაგალითი. 3,-3,3,-3,3... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის სამს და $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

მაგალითი. მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
ა) ცნობილია, რომ $b_(1)=6, q=3$. იპოვეთ $b_(5)$.
ბ) ცნობილია, რომ $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. იპოვე ნ.
გ) ცნობილია, რომ $q=-2, b_(6)=96$. იპოვეთ $b_(1)$.
დ) ცნობილია, რომ $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. იპოვეთ q.

გამოსავალი.
ა) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ბ) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, ვინაიდან $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
გ) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
დ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

მაგალითი. სხვაობა გეომეტრიული პროგრესიის მეშვიდე და მეხუთე წევრებს შორის არის 192, პროგრესიის მეხუთე და მეექვსე წევრთა ჯამი არის 192. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეათე წევრი.

გამოსავალი.
ჩვენ ვიცით, რომ: $b_(7)-b_(5)=192$ და $b_(5)+b_(6)=192$.
ჩვენ ასევე ვიცით: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
შემდეგ:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ჩვენ მივიღეთ განტოლებების სისტემა:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
ჩვენი განტოლებების გათანაბრებისას მივიღებთ:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
მივიღეთ ორი ამონახსნი q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
თანმიმდევრულად ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ გადაწყვეტილებების გარეშე.
მივიღეთ ეს: $b_(1)=4, q=2$.
ვიპოვოთ მეათე წევრი: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი

მოდით გვქონდეს სასრული გეომეტრიული პროგრესია. მოდით, ისევე როგორც არითმეტიკული პროგრესიის შემთხვევაში, გამოვთვალოთ მისი წევრთა ჯამი.

მიეცით სასრული გეომეტრიული პროგრესია: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
შემოვიღოთ აღნიშვნა მისი ტერმინების ჯამისთვის: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
იმ შემთხვევაში, როდესაც $q=1$. გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრი პირველი წევრის ტოლია, მაშინ აშკარაა, რომ $S_(n)=n*b_(1)$.
ახლა განვიხილოთ შემთხვევა $q≠1$.
ზემოაღნიშნული თანხა გავამრავლოთ q-ზე.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Შენიშვნა:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

ჩვენ მივიღეთ სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულა.

მაგალითი.
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი შვიდი წევრის ჯამი, რომლის პირველი წევრია 4, ხოლო მნიშვნელი 3.

გამოსავალი.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

მაგალითი.
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი, რომელიც ცნობილია: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

გამოსავალი.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

გეომეტრიული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება

ბიჭებო, მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია. მოდით შევხედოთ მის სამ ზედიზედ წევრს: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
ჩვენ ვიცით, რომ:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
შემდეგ:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
თუ პროგრესია სასრულია, მაშინ ეს თანასწორობა მოქმედებს ყველა წევრისთვის, გარდა პირველისა და უკანასკნელისა.
თუ წინასწარ არ არის ცნობილი, რა ფორმა აქვს მიმდევრობას, მაგრამ ცნობილია, რომ: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
მაშინ თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არის გეომეტრიული პროგრესია.

რიცხვითი თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია მხოლოდ მაშინ, როდესაც თითოეული წევრის კვადრატი უდრის პროგრესიის ორი მიმდებარე წევრის ნამრავლს. არ დაგავიწყდეთ, რომ სასრული პროგრესიისთვის ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული პირველი და ბოლო ტერმინებისთვის.

მოდით შევხედოთ ამ იდენტურობას: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ ეწოდება a და b რიცხვების გეომეტრიულ საშუალოს.

გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი ტერმინის მოდული უდრის მისი ორი მიმდებარე წევრის გეომეტრიულ საშუალოს.

მაგალითი.
იპოვეთ x ისეთი, რომ $x+2; 2x+2; 3x+3$ იყო გეომეტრიული პროგრესიის სამი თანმიმდევრული წევრი.

გამოსავალი.
გამოვიყენოთ დამახასიათებელი თვისება:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ და $x_(2)=-1$.
მოდით, თანმიმდევრულად ჩავანაცვლოთ ჩვენი გადაწყვეტილებები თავდაპირველ გამონათქვამში:
$x=2$-ით მივიღეთ თანმიმდევრობა: 4;6;9 – გეომეტრიული პროგრესია $q=1,5$-ით.
$x=-1$-ისთვის მივიღებთ თანმიმდევრობას: 1;0;0.
პასუხი: $x=2.$

დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები

1. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მერვე პირველი წევრი 16;-8;4;-2….
2. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეათე წევრი 11,22,44….
3. ცნობილია, რომ $b_(1)=5, q=3$. იპოვეთ $b_(7)$.
4. ცნობილია, რომ $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. იპოვე ნ.
5. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი 11 წევრის ჯამი 3;12;48….
6. იპოვე x ისეთი, რომ $3x+4; 2x+4; x+5$ არის გეომეტრიული პროგრესიის სამი თანმიმდევრული წევრი.