პირამიდის ზედაპირის ფართობი. ამ სტატიაში განვიხილავთ პრობლემებს ჩვეულებრივ პირამიდებთან. შეგახსენებთ, რომ რეგულარული პირამიდა არის პირამიდა, რომლის ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ამ მრავალკუთხედის ცენტრში.

ასეთი პირამიდის გვერდითი სახე არის ტოლფერდა სამკუთხედი.რეგულარული პირამიდის წვეროდან გამოყვანილ ამ სამკუთხედის სიმაღლეს ეწოდება აპთემა, SF - აპოთემა:

ქვემოთ წარმოდგენილი პრობლემის ტიპში, თქვენ უნდა იპოვოთ მთელი პირამიდის ზედაპირის ფართობი ან მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ბლოგზე უკვე განხილულია რამდენიმე პრობლემა ჩვეულებრივი პირამიდების შესახებ, სადაც კითხვა ეხებოდა ელემენტების პოვნას (სიმაღლე, ბაზის კიდე, გვერდითი კიდე).

IN ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო დავალებებიროგორც წესი, განიხილება რეგულარული სამკუთხა, ოთხკუთხა და ექვსკუთხა პირამიდები. მე არ მინახავს რაიმე პრობლემა რეგულარულ ხუთკუთხა და შვიდკუთხა პირამიდებთან დაკავშირებით.

მთელი ზედაპირის ფართობის ფორმულა მარტივია - თქვენ უნდა იპოვოთ პირამიდის ფუძის ფართობის ჯამი და მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

განვიხილოთ ამოცანები:

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები არის 72, გვერდითი კიდეები 164. იპოვეთ ამ პირამიდის ზედაპირის ფართობი.

პირამიდის ზედაპირის ფართობი ტოლია გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის ფართობების ჯამს:

*გვერდითი ზედაპირი შედგება თანაბარი ფართობის ოთხი სამკუთხედისგან. პირამიდის საფუძველი არის კვადრატი.

ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ პირამიდის მხარის ფართობი:

ამრიგად, პირამიდის ზედაპირის ფართობია:

პასუხი: 28224

რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები უდრის 22-ს, გვერდითი კიდეები 61-ის. იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ფუძე არის რეგულარული ექვსკუთხედი.

ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი შედგება 61,61 და 22 გვერდით თანაბარი სამკუთხედების ექვსი უბნისგან:

მოდით ვიპოვოთ სამკუთხედის ფართობი ჰერონის ფორმულის გამოყენებით:

ამრიგად, გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

პასუხი: 3240

*ზემოთ წარმოდგენილ პრობლემებში, გვერდითი სახის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს სხვა სამკუთხედის ფორმულის გამოყენებით, მაგრამ ამისათვის საჭიროა აპოთემის გამოთვლა.

27155. იპოვეთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის გვერდებია 6 და სიმაღლე 4.

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ პირამიდის ზედაპირის ფართობი, უნდა ვიცოდეთ ფუძის ფართობი და გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

ფუძის ფართობი არის 36, რადგან ის არის კვადრატი მე-6 გვერდით.

გვერდითი ზედაპირი შედგება ოთხი სახისგან, რომლებიც ტოლი სამკუთხედებია. იმისათვის, რომ იპოვოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი საფუძველი და სიმაღლე (აპოთემა):

* სამკუთხედის ფართობი უდრის ფუძის ნამრავლის ნახევარს და ამ ფუძისკენ მიზიდულ სიმაღლეს.

ფუძე ცნობილია, უდრის ექვსს. მოდი ვიპოვოთ სიმაღლე. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი(მონიშნულია ყვითლად):

ერთი ფეხი უდრის 4-ს, რადგან ეს არის პირამიდის სიმაღლე, მეორე უდრის 3-ს, რადგან ის უდრის ფუძის კიდის ნახევარს. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ჰიპოტენუზა პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

ეს ნიშნავს, რომ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

ამრიგად, მთელი პირამიდის ზედაპირის ფართობია:

პასუხი: 96

27069. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები უდრის 10-ს, გვერდითი კიდეები უდრის 13-ს. იპოვეთ ამ პირამიდის ზედაპირის ფართობი.

27070. რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ფუძის გვერდები უდრის 10-ს, გვერდითი კიდეები 13-ის. იპოვეთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ასევე არსებობს ფორმულები ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობისთვის. ჩვეულებრივ პირამიდაში, ფუძე არის გვერდითი ზედაპირის ორთოგონალური პროექცია, ამიტომ:

პ- ბაზის პერიმეტრი, ლ- პირამიდის აპოთემა

*ეს ფორმულა ეფუძნება სამკუთხედის ფართობის ფორმულას.

თუ გსურთ გაიგოთ მეტი იმის შესახებ, თუ როგორ არის მიღებული ეს ფორმულები, არ გამოტოვოთ, მიჰყევით სტატიების გამოქვეყნებას.Სულ ეს არის. Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

პირამიდა- მრავალკუთხედის ერთ-ერთი სახეობა, რომელიც წარმოიქმნება მრავალკუთხედებისა და სამკუთხედებისგან, რომლებიც დევს ძირში და წარმოადგენს მის სახეებს.

უფრო მეტიც, პირამიდის თავზე (ანუ ერთ წერტილში) ყველა სახე გაერთიანებულია.

პირამიდის ფართობის გამოსათვლელად, ღირს იმის დადგენა, რომ მისი გვერდითი ზედაპირი შედგება რამდენიმე სამკუთხედისგან. და ჩვენ შეგვიძლია ადვილად ვიპოვოთ მათი ტერიტორიები გამოყენებით

სხვადასხვა ფორმულები. იმის მიხედვით, თუ რა მონაცემები ვიცით სამკუთხედების შესახებ, ვეძებთ მათ ფართობს.

ჩვენ ჩამოვთვლით რამდენიმე ფორმულას, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას სამკუთხედების ფართობის საპოვნელად:

1. S = (a*h)/2 . IN ამ შემთხვევაშიჩვენ ვიცით სამკუთხედის სიმაღლე თ , რომელიც გვერდზეა დაშვებული ა .
2. S = a*b*sinβ . აქ არის სამკუთხედის გვერდები ა , ბ და კუთხე მათ შორის არის β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . აქ არის სამკუთხედის გვერდები ა, ბ, გ . სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი არის რ .
4. S = (a*b*c)/4*R . სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი არის რ .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . ეს ფორმულა უნდა იქნას გამოყენებული მხოლოდ მაშინ, როდესაც სამკუთხედი მართკუთხაა.
6. S = (a²*√3)/4 . ამ ფორმულას ვიყენებთ ტოლგვერდა სამკუთხედზე.

მხოლოდ მას შემდეგ, რაც გამოვთვლით ყველა სამკუთხედის ფართობებს, რომლებიც ჩვენი პირამიდის სახეებია, შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულებს.

პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, არანაირი სირთულე არ წარმოიქმნება: თქვენ უნდა გაარკვიოთ ყველა სამკუთხედის ფართობის ჯამი. გამოვხატოთ ეს ფორმულით:

Sp = ΣSi

Აქ სი არის პირველი სამკუთხედის ფართობი და ს პ - პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს. რეგულარული პირამიდის გათვალისწინებით, მისი გვერდითი სახეები ჩამოყალიბებულია რამდენიმე ტოლგვერდა სამკუთხედით,

« გეომეტრია არის ყველაზე ძლიერი ინსტრუმენტი ჩვენი გონებრივი შესაძლებლობების გასაძლიერებლად».

გალილეო გალილეი.

და კვადრატი არის პირამიდის საფუძველი. უფრო მეტიც, პირამიდის კიდეს აქვს სიგრძე 17 სმ. მოდით ვიპოვოთ ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ჩვენ ასე ვმსჯელობთ: ვიცით, რომ პირამიდის სახეები სამკუთხედებია, ისინი ტოლგვერდაა. ჩვენ ასევე ვიცით რა არის ამ პირამიდის კიდის სიგრძე. აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველა სამკუთხედს აქვს თანაბარი გვერდი და მათი სიგრძე 17 სმ.

თითოეული ამ სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 სმ²

ასე რომ, რადგან ჩვენ ვიცით, რომ კვადრატი დევს პირამიდის ძირში, გამოდის, რომ გვაქვს ოთხი ტოლგვერდა სამკუთხედი. ეს ნიშნავს, რომ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ადვილად გამოითვლება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: 125,137 სმ² * 4 = 500,548 სმ²

ჩვენი პასუხი ასეთია: 500.548 სმ² - ეს არის ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ინსტრუქციები

უპირველეს ყოვლისა, ღირს იმის გაგება, რომ პირამიდის გვერდითი ზედაპირი წარმოდგენილია რამდენიმე სამკუთხედით, რომელთა არეების პოვნა შესაძლებელია სხვადასხვა ფორმულის გამოყენებით, ცნობილი მონაცემებიდან გამომდინარე:

S = (a*h)/2, სადაც h არის a მხარეს დაშვებული სიმაღლე;

S = a*b*sinβ, სადაც a, b არის სამკუთხედის გვერდები და β არის კუთხე ამ გვერდებს შორის;

S = (r*(a + b + c))/2, სადაც a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო r არის ამ სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი;

S = (a*b*c)/4*R, სადაც R არის წრის გარშემო შემოხაზული სამკუთხედის რადიუსი;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (თუ სამკუთხედი მართკუთხაა);

S = S = (a²*√3)/4 (თუ სამკუთხედი ტოლგვერდაა).

სინამდვილეში, ეს არის მხოლოდ ყველაზე ძირითადი ცნობილი ფორმულები სამკუთხედის ფართობის საპოვნელად.

ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენებით ყველა სამკუთხედის ფართობის გამოთვლით, რომლებიც პირამიდის სახეა, შეგიძლიათ დაიწყოთ ამ პირამიდის ფართობის გამოთვლა. ეს კეთდება ძალიან მარტივად: თქვენ უნდა დაამატოთ ყველა სამკუთხედის არეები, რომლებიც ქმნიან პირამიდის გვერდით ზედაპირს. ეს შეიძლება გამოიხატოს ფორმულით:

Sp = ΣSi, სადაც Sp არის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, Si არის i-ე სამკუთხედის ფართობი, რომელიც მისი გვერდითი ზედაპირის ნაწილია.

უფრო მეტი სიცხადისთვის შეგვიძლია განვიხილოთ მცირე მაგალითი: მოყვანილია რეგულარული პირამიდა, რომლის გვერდითი სახეები ტოლგვერდა სამკუთხედებითაა წარმოქმნილი და მის ძირში დევს კვადრატი. ამ პირამიდის კიდის სიგრძეა 17 სმ. საჭიროა ამ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის პოვნა.

ამოხსნა: ცნობილია ამ პირამიდის კიდის სიგრძე, ცნობილია, რომ მისი სახეები ტოლგვერდა სამკუთხედებია. ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გვერდითი ზედაპირის ყველა სამკუთხედის ყველა გვერდი უდრის 17 სმ-ს, ამიტომ, რომელიმე ამ სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 სმ²

ცნობილია, რომ პირამიდის ძირში არის კვადრატი. ამრიგად, ცხადია, რომ არსებობს ოთხი მოცემული ტოლგვერდა სამკუთხედი. შემდეგ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი გამოითვლება შემდეგნაირად:

125,137 სმ² * 4 = 500,548 სმ²

პასუხი: პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობია 500,548 სმ²

პირველ რიგში, მოდით გამოვთვალოთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. გვერდითი ზედაპირი არის ყველა გვერდითი სახის ფართობის ჯამი. თუ საქმე გაქვთ რეგულარულ პირამიდასთან (ანუ ისეთს, რომელსაც აქვს რეგულარული მრავალკუთხედი მის ძირში და წვერო არის დაპროექტებული ამ მრავალკუთხედის ცენტრში), მაშინ მთელი გვერდითი ზედაპირის გამოსათვლელად საკმარისია პერიმეტრის გამრავლება. ფუძე (ანუ ფუძის პირამიდაზე მდებარე მრავალკუთხედის ყველა მხარის სიგრძის ჯამი) გვერდითი სახის სიმაღლეზე (სხვანაირად აპოთემას უწოდებენ) და მიღებული მნიშვნელობა გაყავით 2-ზე: Sb = 1/2P* h, სადაც Sb არის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, P არის ფუძის პერიმეტრი, h არის გვერდითი სახის სიმაღლე (აპოთემა).

თუ თქვენ წინ გაქვთ თვითნებური პირამიდა, მოგიწევთ ცალ-ცალკე გამოთვალოთ ყველა სახის ფართობი და შემდეგ შეკრიბოთ ისინი. ვინაიდან პირამიდის გვერდითი მხარეები სამკუთხედია, გამოიყენეთ ფორმულა სამკუთხედის ფართობისთვის: S=1/2b*h, სადაც b არის სამკუთხედის საფუძველი, ხოლო h არის სიმაღლე. როდესაც გამოითვლება ყველა სახის ფართობი, რჩება მხოლოდ მათი დამატება, რათა მივიღოთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ პირამიდის ფუძის ფართობი. გამოთვლის ფორმულის არჩევანი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელი მრავალკუთხედი დევს პირამიდის ძირში: რეგულარული (ანუ ერთი და იგივე სიგრძის ყველა გვერდით) თუ არარეგულარული. რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობის გამოთვლა შესაძლებელია პერიმეტრის მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსზე გამრავლებით და მიღებული მნიშვნელობის 2-ზე გაყოფით: Sn = 1/2P*r, სადაც Sn არის ფართობი. მრავალკუთხედი, P არის პერიმეტრი და r არის მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი.

დამსხვრეული პირამიდა არის პოლიედონი, რომელიც წარმოიქმნება პირამიდის მიერ და მისი განივი განყოფილება ფუძის პარალელურად. პირამიდის გვერდითი ზედაპირის პოვნა საერთოდ არ არის რთული. ეს ძალიან მარტივია: ფართობი უდრის ფუძეების ჯამის ნახევრის ნამრავლს . განვიხილოთ გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოთვლის მაგალითი. დავუშვათ, რომ გვეძლევა ჩვეულებრივი პირამიდა. ფუძის სიგრძეა b = 5 სმ, c = 3 სმ აპოთემა a = 4 სმ პირამიდის გვერდითი ზედაპირის გასარკვევად, ჯერ უნდა იპოვოთ ფუძის პერიმეტრი. IN დიდი ბაზატოლი იქნება p1=4b=4*5=20 სმ. ფორმულა იქნება შემდეგი: p2=4c=4*3=12 სმ /2(20+12)*4 =32/2*4=64 სმ.

თუ პირამიდის ძირში არის არარეგულარული მრავალკუთხედი, მთელი ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად, ჯერ დაგჭირდებათ მრავალკუთხედის დაყოფა სამკუთხედებად, გამოთვალეთ თითოეულის ფართობი და შემდეგ დაამატეთ ისინი. სხვა შემთხვევაში, პირამიდის გვერდითი ზედაპირის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი თითოეული გვერდითი ზედაპირის ფართობი და შეაგროვოთ შედეგები. ზოგიერთ შემთხვევაში, პირამიდის გვერდითი ზედაპირის პოვნის ამოცანა შეიძლება გაადვილდეს. თუ ერთი გვერდითი სახე პერპენდიკულარულია ფუძესთან ან ორი მიმდებარე გვერდითი სახე პერპენდიკულარულია ფუძესთან, მაშინ პირამიდის ფუძე განიხილება მისი გვერდითი ზედაპირის ნაწილის ორთოგონალურ პროექციად და ისინი დაკავშირებულია ფორმულებით.

პირამიდის ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, დაამატეთ პირამიდის გვერდითი ზედაპირისა და ფუძის არეები.

პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი სახე (ფუძე) არის თვითნებური მრავალკუთხედი, ხოლო დანარჩენი სახეები (გვერდები) არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ . კუთხეების რაოდენობის მიხედვით პირამიდის ფუძეები სამკუთხა (ტეტრაედონი), ოთხკუთხა და ა.შ.

პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ბაზა მრავალკუთხედის სახით, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები საერთო წვერით. აპოთემა არის რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, რომელიც გამოყვანილია მისი წვეროდან.

პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, ხოლო გვერდითი სახეები არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო წვერო. მოედანი ზედაპირები პირამიდებილატერალური ფართობების ჯამის ტოლია ზედაპირებიდა საფუძველი პირამიდები.

დაგჭირდებათ

• ქაღალდი, კალამი, კალკულატორი

ინსტრუქციები

ჯერ ვიანგარიშებთ მხარის ფართობს ზედაპირები . გვერდითი ზედაპირით ვგულისხმობთ ყველა გვერდითი სახის ჯამს. თუ საქმე გაქვთ რეგულარულ პირამიდასთან (ანუ, რომელშიც დევს რეგულარული მრავალკუთხედი და წვერო დაპროექტებულია ამ მრავალკუთხედის ცენტრში), მაშინ გამოთვალეთ მთელი გვერდითი ზედაპირებისაკმარისია გავამრავლოთ ფუძის პერიმეტრი (ანუ ფუძეზე მდებარე მრავალკუთხედის ყველა მხარის სიგრძის ჯამი პირამიდები) გვერდითი სახის სიმაღლეზე (სხვაგვარად ეძახიან) და მიღებული მნიშვნელობა გაყავით 2-ზე: Sb=1/2P*h, სადაც Sb არის მხარის ფართობი. ზედაპირები, P - ფუძის პერიმეტრი, h - გვერდითი სახის სიმაღლე (აპოთემა).

თუ თქვენ წინ გაქვთ თვითნებური პირამიდა, მოგიწევთ გამოთვალოთ ყველა სახის ფართობი და შემდეგ შეკრიბოთ ისინი. ვინაიდან გვერდითი სახეები პირამიდები are , გამოიყენეთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა: S=1/2b*h, სადაც b არის სამკუთხედის საფუძველი, ხოლო h არის სიმაღლე. როდესაც გამოითვლება ყველა სახის ფართობი, რჩება მხოლოდ მათი შეკრება, რათა მიიღოთ მხარის ფართობი. ზედაპირები პირამიდები.

შემდეგ თქვენ უნდა გამოთვალოთ ბაზის ფართობი პირამიდები. გაანგარიშების არჩევანი დამოკიდებულია იმაზე, დევს თუ არა მრავალკუთხედი პირამიდის ფუძესთან: რეგულარული (ანუ ის, რომლის გვერდებიც ერთნაირი სიგრძისაა) ან. მოედანირეგულარული მრავალკუთხედის გამოთვლა შესაძლებელია პერიმეტრის გამრავლებით მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსზე და მიღებული მნიშვნელობის 2-ზე გაყოფით: Sn = 1/2P*r, სადაც Sn არის მრავალკუთხედის ფართობი, P არის პერიმეტრი და r არის მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი.

თუ ბაზაზე პირამიდებიდევს არარეგულარული მრავალკუთხედი, შემდეგ მთელი ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად კვლავ მოგიწევთ მრავალკუთხედის დაყოფა სამკუთხედებად, გამოთვალოთ თითოეულის ფართობი და შემდეგ დაამატოთ ისინი.

ფართობის გაანგარიშების დასასრულებლად ზედაპირები პირამიდები, გადაკეცეთ კვადრატული მხარე ზედაპირებიდა საფუძველი პირამიდები.

ვიდეო თემაზე

მრავალკუთხედი წარმოადგენს გეომეტრიული ფიგურა, აგებულია გატეხილი ხაზის დახურვით. არსებობს რამდენიმე ტიპის მრავალკუთხედი, რომლებიც განსხვავდება წვეროების რაოდენობის მიხედვით. ფართობი გამოითვლება თითოეული ტიპის მრავალკუთხედისთვის გარკვეული გზებით.

ინსტრუქციები

გაამრავლეთ გვერდების სიგრძეები, თუ საჭიროა კვადრატის ან მართკუთხედის ფართობის გამოთვლა. თუ თქვენ გჭირდებათ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის გარკვევა, გააფართოვეთ იგი ოთხკუთხედზე, გამოთვალეთ მისი ფართობი და გაყავით ორზე.

გამოიყენეთ შემდეგი მეთოდი ფართობის გამოსათვლელად, თუ ფიგურას არ აქვს 180 გრადუსზე მეტი (ამოზნექილი მრავალკუთხედი), მაშინ როცა მისი ყველა წვერო არის კოორდინატთა ბადეში და არ იკვეთება თავისთავად.
დახაზეთ მართკუთხედი ასეთი მრავალკუთხედის გარშემო ისე, რომ მისი გვერდები იყოს ბადის ხაზების (კოორდინატთა ღერძების) პარალელურად. ამ შემთხვევაში, მრავალკუთხედის ერთ-ერთი წვერო მაინც უნდა იყოს მართკუთხედის წვერო.

მხოლოდ შეკვეცილს შეიძლება ჰქონდეს ორი ფუძე პირამიდები. ამ შემთხვევაში, მეორე ბაზა იქმნება უფრო დიდი ბაზის პარალელურად პირამიდები. იპოვეთ ერთი მიზეზებიშესაძლებელია თუ ცნობილია ან მეორეს წრფივი ელემენტები.

დაგჭირდებათ

• - პირამიდის თვისებები;
• - ტრიგონომეტრიული ფუნქციები;
• - ფიგურების მსგავსება;
• - მრავალკუთხედების ფართობის პოვნა.

ინსტრუქციები

თუ ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი, იპოვეთ იგი კვადრატიგვერდის კვადრატის გამრავლებით 3-ის კვადრატულ ფესვზე გაყოფილი 4-ზე. თუ ფუძე არის კვადრატი, აწიეთ მისი გვერდი მეორე ხარისხამდე. ზოგადად, ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედისთვის გამოიყენეთ ფორმულა S=(n/4) a² ctg(180º/n), სადაც n არის რეგულარული მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობა, a არის მისი გვერდის სიგრძე.

იპოვეთ პატარა ფუძის მხარე b=2 ფორმულის გამოყენებით (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n). აქ a არის უფრო დიდი ფუძე, h არის შეკვეცილის სიმაღლე პირამიდები, α – დიჰედრული კუთხე მის ფუძესთან, n – გვერდების რაოდენობა მიზეზები(იგივეა). იპოვეთ მეორე ფუძის ფართობი პირველის მსგავსად, ფორმულაში გამოიყენეთ მისი გვერდის სიგრძე S=(n/4) b² ctg(180º/n).

თუ ფუძეები სხვა ტიპის მრავალკუთხედებია, ცნობილია ერთი მათგანის ყველა მხარე მიზეზები, და მეორის ერთ-ერთი მხარე, შემდეგ გამოთვალეთ დარჩენილი მხარეები, როგორც მსგავსი. მაგალითად, უფრო დიდი ფუძის გვერდებია 4, 6, 8 სმ. უფრო დიდი მხარე არის 4 სმ. გამოთვალეთ პროპორციულობის კოეფიციენტი, 4/8 = 2 მიზეზები), და გამოვთვალოთ სხვა გვერდები 6/2=3 სმ, 4/2=2 სმ გვერდის პატარა ძირში ვიღებთ გვერდებს 2, 3, 4 სმ. ახლა გამოთვალეთ ისინი სამკუთხედების ფართობებად.

თუ შეკვეცილში შესაბამისი ელემენტების თანაფარდობა ცნობილია, მაშინ ფართობების თანაფარდობა მიზეზებიტოლი იქნება ამ ელემენტების კვადრატების შეფარდება. მაგალითად, თუ ცნობილია შესაბამისი მხარეები მიზეზები a და a1, შემდეგ a²/a1²=S/S1.

ქვეშ ფართობი პირამიდებიჩვეულებრივ ეხება მისი გვერდითი ან მთლიანი ზედაპირის ფართობს. ამის საფუძველზე გეომეტრიული სხეულიდევს მრავალკუთხედი. გვერდითი კიდეები სამკუთხა ფორმისაა. მათ აქვთ საერთო წვერო, რომელიც ასევე არის წვერო პირამიდები.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• - კალამი;
• - კალკულატორი;
• - პირამიდა მოცემული პარამეტრებით.

ინსტრუქციები

განვიხილოთ ამოცანაში მოცემული პირამიდა. დაადგინეთ მრავალკუთხედი რეგულარულია თუ არარეგულარული მის ფუძეში. სწორს ყველა მხარე თანაბარი აქვს. ფართობი ამ შემთხვევაში უდრის პერიმეტრისა და რადიუსის ნამრავლის ნახევარს. იპოვეთ პერიმეტრი l გვერდის სიგრძის გამრავლებით n გვერდების რაოდენობაზე, ანუ P=l*n. ფუძის ფართობი შეიძლება გამოისახოს ფორმულით So=1/2P*r, სადაც P არის პერიმეტრი, ხოლო r არის ჩაწერილი წრის რადიუსი.

არარეგულარული მრავალკუთხედის პერიმეტრი და ფართობი გამოითვლება განსხვავებულად. მხარეებს აქვთ სხვადასხვა სიგრძის. რომ

ტიპიური გეომეტრიული ამოცანები სიბრტყეზე და სამგანზომილებიან სივრცეში არის სხვადასხვა ფიგურების ზედაპირის ფართობის განსაზღვრის პრობლემები. ამ სტატიაში წარმოგიდგენთ ფორმულას რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობისთვის.

რა არის პირამიდა?

მოდით მივცეთ პირამიდის მკაცრი გეომეტრიული განმარტება. დავუშვათ, გვაქვს მრავალკუთხედი n გვერდით და n კუთხით. ავირჩიოთ სივრცეში თვითნებური წერტილი, რომელიც არ იქნება მითითებული n-კუთხედის სიბრტყეში და დავაკავშიროთ იგი მრავალკუთხედის თითოეულ წვეროსთან. მივიღებთ გარკვეული მოცულობის ფიგურას, რომელსაც n-გონალური პირამიდა ეწოდება. მაგალითად, ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ვაჩვენოთ როგორ გამოიყურება ხუთკუთხა პირამიდა.

ნებისმიერი პირამიდის ორი მნიშვნელოვანი ელემენტია მისი ფუძე (n-gon) და მისი მწვერვალი. ეს ელემენტები ერთმანეთთან დაკავშირებულია n სამკუთხედით, რომლებიც ზოგადად არ არის ერთმანეთის ტოლი. ზემოდან ძირამდე დაშვებულ პერპენდიკულარს ფიგურის სიმაღლე ეწოდება. თუ იგი კვეთს ფუძეს გეომეტრიულ ცენტრში (ემთხვევა მრავალკუთხედის მასის ცენტრს), მაშინ ასეთ პირამიდას სწორ ხაზს უწოდებენ. თუ ამ პირობის გარდა, ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი, მაშინ მთელ პირამიდას ეწოდება რეგულარული. ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება რეგულარული პირამიდები სამკუთხა, ოთხკუთხა, ხუთკუთხა და ექვსკუთხა ფუძეებით.

პირამიდის ზედაპირი

სანამ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საკითხზე გადავიდოდეთ, უფრო დეტალურად უნდა ვისაუბროთ თავად ზედაპირის კონცეფციაზე.

როგორც ზემოთ აღინიშნა და ფიგურებშია ნაჩვენები, ნებისმიერი პირამიდა იქმნება სახეების ან გვერდების ნაკრებით. ერთი მხარე არის ფუძე და n გვერდი არის სამკუთხედი. მთელი ფიგურის ზედაპირი არის მისი თითოეული მხარის ფართობების ჯამი.

მოსახერხებელია ზედაპირის შესწავლა ფიგურის განვითარების მაგალითის გამოყენებით. რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის განვითარება ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურებში.

ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი ზედაპირის ფართობი უდრის იდენტური ტოლფერდა სამკუთხედების ოთხი ფართობის ჯამს და კვადრატის ფართობს.

ყველა სამკუთხედის საერთო ფართობს, რომლებიც ქმნიან ფიგურის გვერდებს, ჩვეულებრივ უწოდებენ გვერდითი ზედაპირის ფართობს. შემდეგ ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ ის ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პირამიდისთვის.

ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

მითითებული ფიგურის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, ჩვენ კვლავ მივმართავთ ზემოთ მოცემულ განვითარებას. დავუშვათ, რომ ვიცით კვადრატული ფუძის მხარე. ავღნიშნოთ ა სიმბოლოთი. ჩანს, რომ ოთხი იდენტური სამკუთხედიდან თითოეულს აქვს a სიგრძის ფუძე. მათი მთლიანი ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს მნიშვნელობა ერთი სამკუთხედისთვის. გეომეტრიის კურსიდან ვიცით, რომ სამკუთხედის S t ფართობი უდრის ფუძისა და სიმაღლის ნამრავლს, რომელიც უნდა გაიყოს ნახევრად. ანუ:

სადაც h b არის a ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე. პირამიდისთვის ეს სიმაღლე აპოთემაა. ახლა რჩება მიღებული გამონათქვამის გამრავლება 4-ზე, რათა მივიღოთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი S b მოცემული პირამიდისთვის:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

ეს ფორმულა შეიცავს ორ პარამეტრს: აპოთემა და ბაზის მხარე. თუ ეს უკანასკნელი ცნობილია უმეტეს პრობლემურ პირობებში, მაშინ პირველი უნდა გამოითვალოს სხვა რაოდენობების ცოდნით. აქ მოცემულია h b აპოთემის გამოთვლის ფორმულები ორი შემთხვევისთვის:

• როდესაც ცნობილია გვერდითი ნეკნის სიგრძე;
• როდესაც ცნობილია პირამიდის სიმაღლე.

თუ გვერდითი კიდის (ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდის) სიგრძეს აღვნიშნავთ L სიმბოლოთი, მაშინ აპოთემა h b განისაზღვრება ფორმულით:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

ეს გამოთქმა არის პითაგორას თეორემის გამოყენების შედეგი გვერდითი ზედაპირის სამკუთხედზე.

თუ ცნობილია პირამიდის h სიმაღლე, მაშინ h b აპოთემა შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

ასევე რთული არ არის ამ გამოთქმის მიღება, თუ განვიხილავთ პირამიდის შიგნით მართკუთხა სამკუთხედს, რომელიც წარმოიქმნება h და a/2 ფეხებითა და ჰიპოტენუზა h b.

მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები ორი საინტერესო პრობლემის გადაჭრით.

პრობლემა ცნობილი ზედაპირის ფართობთან

ცნობილია, რომ ოთხკუთხედის გვერდითი ზედაპირის ფართობია 108 სმ 2. მისი h b აპოთემის სიგრძის გამოთვლა აუცილებელია, თუ პირამიდის სიმაღლე 7 სმ-ია.

დავწეროთ გვერდითი ზედაპირის S b ფართობის ფორმულა სიმაღლის მიხედვით. Ჩვენ გვაქვს:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

აქ ჩვენ უბრალოდ ჩავანაცვლეთ შესაბამისი აპოთემის ფორმულა S b-ის გამოსახულებაში. მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

a-ს მნიშვნელობის საპოვნელად, ვაკეთებთ ცვლადის ცვლილებას:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

ახლა შევცვალოთ ცნობილი ღირებულებებიდა გადაწყვიტოს კვადრატული განტოლება:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

ჩვენ ჩამოვწერეთ ამ განტოლების მხოლოდ დადებითი ფესვი. მაშინ პირამიდის ფუძის გვერდები ტოლი იქნება:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 სმ.

აპოთემის სიგრძის მისაღებად, უბრალოდ გამოიყენეთ ფორმულა:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6.916 2 /4) ≈ 7.808 სმ.

კეოპსის პირამიდის გვერდითი ზედაპირი

მოდით განვსაზღვროთ გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა ყველაზე დიდისთვის ეგვიპტის პირამიდა. ცნობილია, რომ მის ძირში მდებარეობს კვადრატი, რომლის გვერდის სიგრძეა 230,363 მეტრი. სტრუქტურის სიმაღლე თავდაპირველად 146,5 მეტრი იყო. ჩაანაცვლეთ ეს რიცხვები S b-ის შესაბამის ფორმულაში, მივიღებთ:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146.5 2 +230.363 2 /4)*230.363 ≈ 85860 მ 2.

ნაპოვნი ღირებულება ოდნავ აღემატება 17 საფეხბურთო მოედნის ფართობს.

მოკლედ მთავარის შესახებ

ზედაპირის ფართობი (2019)

პრიზმის ზედაპირის ფართობი

არსებობს ზოგადი ფორმულა? არა, ზოგადად, არა. თქვენ უბრალოდ უნდა მოძებნოთ გვერდითი სახეების არეები და შეაჯამოთ ისინი.

ფორმულა შეიძლება დაიწეროს სწორი პრიზმა:

სად არის ფუძის პერიმეტრი.

მაგრამ მაინც ბევრად უფრო ადვილია ყველა სფეროს შეკრება თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში, ვიდრე დამატებითი ფორმულების დამახსოვრება. მაგალითად, გამოვთვალოთ რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის მთლიანი ზედაპირი.

ყველა გვერდითი სახე მართკუთხედია. ნიშნავს.

ეს უკვე ნაჩვენები იყო მოცულობის გაანგარიშებისას.

ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ:

პირამიდის ზედაპირის ფართობი

ზოგადი წესი ასევე ვრცელდება პირამიდაზე:

ახლა მოდით გამოვთვალოთ ყველაზე პოპულარული პირამიდების ზედაპირის ფართობი.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი

ფუძის მხარე თანაბარი იყოს და გვერდითი ნეკნიუდრის. უნდა ვიპოვოთ და.

ახლა ეს გავიხსენოთ

ეს არის რეგულარული სამკუთხედის ფართობი.

და გავიხსენოთ, თუ როგორ უნდა ვეძებოთ ეს ტერიტორია. ჩვენ ვიყენებთ ფართობის ფორმულას:

ჩვენთვის "" ეს არის და "" ასევე ეს არის, ეჰ.

ახლა მოდი ვიპოვოთ.

ფართობის ძირითადი ფორმულისა და პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ

ყურადღება:თუ თქვენ გაქვთ რეგულარული ტეტრაედონი (ანუ), მაშინ ფორმულა ასე გამოდის:

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი

დაე, ფუძის მხარე თანაბარი იყოს და გვერდითი კიდე ტოლი.

ფუძე არის კვადრატი და ამიტომ.

რჩება გვერდითი სახის ფართობის პოვნა

რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობი.

დაე, ფუძის მხარე თანაბარი იყოს და გვერდითი კიდე.

როგორ მოვძებნოთ? ექვსკუთხედი შედგება ზუსტად ექვსი იდენტური რეგულარული სამკუთხედისგან. ჩვენ უკვე მოვძებნეთ რეგულარული სამკუთხედის ფართობი რეგულარული სამკუთხა პირამიდის ზედაპირის ფართობის გამოთვლისას, ჩვენ ვიყენებთ ჩვენს მიერ ნაპოვნი ფორმულას.

ისე, ჩვენ უკვე ორჯერ ვეძებეთ გვერდითი სახის ფართობი.

ისე, თემა დამთავრდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, ეს ნიშნავს, რომ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხავთ, მაშინ ამ 5%-ში ხართ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაიგეთ თეორია ამ თემაზე. და ვიმეორებ, ეს... ეს უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი...

Რისთვის?

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, კოლეჯში ბიუჯეტით ჩასვლისთვის და რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარი ის არის, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ მათ წინაშე გაცილებით მეტია გახსნილი მეტი შესაძლებლობებიდა ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ... ბედნიერი?

მოიპოვეთ თქვენი ხელი ამ თემაზე არსებული პრობლემების გადაჭრით.

გამოცდის დროს თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების გადაჭრა დროის წინააღმდეგ.

და თუ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დრო არ გექნებათ.

ეს ისეა, როგორც სპორტში - აუცილებლად უნდა გაიმეორო, რომ აუცილებლად გაიმარჯვო.

იპოვე კოლექცია სადაც გინდა, აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზი და გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (სურვილისამებრ) და ჩვენ, რა თქმა უნდა, გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ უკეთ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ ყველა ფარული დავალება ამ სტატიაში - 299 რუბლი.
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ ამოცანაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - 999 რუბლი.

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია ჩვენს სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

მეორე შემთხვევაში ჩვენ მოგცემთსიმულატორი "6000 პრობლემა გადაწყვეტილებებითა და პასუხებით, თითოეული თემისთვის, სირთულის ყველა დონეზე." ეს აუცილებლად საკმარისი იქნება, რომ ხელი მოჰკიდოთ ნებისმიერ თემაზე პრობლემების გადაჭრას.

სინამდვილეში, ეს ბევრად მეტია, ვიდრე უბრალოდ სიმულატორი - მთელი სასწავლო პროგრამა. საჭიროების შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი უფასოდ.

ყველა ტექსტსა და პროგრამაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის არსებობის მთელი პერიოდის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიაზე.

"გაგება" და "მე შემიძლია გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვნეთ პრობლემები და მოაგვარეთ ისინი!