სტატისტიკის კლასიკური მეთოდები: chi-square ტესტი. მახასიათებლებს შორის კავშირის დადგენა: Chi-square ტესტი

). შემოწმებული ჰიპოთეზის სპეციფიკური ფორმულირება განსხვავდება შემთხვევიდან შემთხვევაში.

ამ პოსტში მე აღვწერ, თუ როგორ მუშაობს \(\chi^2\) კრიტერიუმი იმუნოლოგიის (ჰიპოთეტური) მაგალითის გამოყენებით. წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ ჩავატარეთ ექსპერიმენტი მიკრობული დაავადების განვითარების ჩახშობის ეფექტურობის დასადგენად, როდესაც ორგანიზმში შესაბამისი ანტისხეულები შეჰყავთ. ექსპერიმენტში სულ 111 თაგვი იყო ჩართული, რომლებიც დავყავით ორ ჯგუფად, მათ შორის, შესაბამისად, 57 და 54 ცხოველი. თაგვების პირველმა ჯგუფმა მიიღო პათოგენური ბაქტერიების ინექციები, რასაც მოჰყვა ამ ბაქტერიების საწინააღმდეგო ანტისხეულების შემცველი სისხლის შრატის შეყვანა. მეორე ჯგუფის ცხოველები ემსახურებოდნენ კონტროლს - მათ მიიღეს მხოლოდ ბაქტერიული ინექციები. გარკვეული პერიოდის ინკუბაციის შემდეგ აღმოჩნდა, რომ 38 თაგვი დაიღუპა და 73 გადარჩა. დაღუპულთაგან 13 პირველ ჯგუფს მიეკუთვნებოდა, ხოლო მეორეს 25 (საკონტროლო). ამ ექსპერიმენტში შემოწმებული ნულოვანი ჰიპოთეზა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: შრატის ანტისხეულებთან ერთად მიღება არ ახდენს გავლენას თაგვების გადარჩენაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვამტკიცებთ, რომ თაგვების გადარჩენაში დაფიქსირებული განსხვავებები (77.2% პირველ ჯგუფში 53.7% მეორე ჯგუფში) სრულიად შემთხვევითია და არ არის დაკავშირებული ანტისხეულების ეფექტთან.

ექსპერიმენტში მიღებული მონაცემები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ცხრილის სახით:

			სულ
ბაქტერიები + შრატი
მხოლოდ ბაქტერიები
სულ

ცხრილებს, როგორიც არის ნაჩვენები, ეწოდება საგანგებო ცხრილები. განსახილველ მაგალითში ცხრილს აქვს განზომილება 2x2: არსებობს ობიექტების ორი კლასი („ბაქტერიები + შრატი“ და „მხოლოდ ბაქტერიები“), რომლებიც განიხილება ორი კრიტერიუმის მიხედვით („მკვდარი“ და „გადარჩენილი“). ეს არის შემთხვევითი ცხრილის უმარტივესი შემთხვევა: რა თქმა უნდა, შესასწავლი კლასების რაოდენობაც და მახასიათებლების რაოდენობაც შეიძლება იყოს მეტი.

ზემოთ ჩამოთვლილი ნულოვანი ჰიპოთეზის შესამოწმებლად, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ, რა სიტუაცია იქნებოდა, თუ ანტისხეულებს რეალურად არანაირი გავლენა არ ექნებათ თაგვების გადარჩენაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოსალოდნელი სიხშირეებიშემთხვევითი ცხრილის შესაბამისი უჯრედებისთვის. Როგორ გავაკეთო ეს? ექსპერიმენტში სულ 38 თაგვი მოკვდა, რაც ჩართული ცხოველების საერთო რაოდენობის 34,2%-ია. თუ ანტისხეულების შეყვანა გავლენას არ ახდენს თაგვების გადარჩენაზე, სიკვდილიანობის იგივე პროცენტი უნდა დაფიქსირდეს ორივე ექსპერიმენტულ ჯგუფში, კერძოდ 34,2%. გამოთვლით რამდენია 57-ისა და 54-ის 34,2%, მივიღებთ 19,5-ს და 18,5-ს. ეს არის სიკვდილობის მოსალოდნელი მაჩვენებლები ჩვენს ექსპერიმენტულ ჯგუფებში. მოსალოდნელი გადარჩენის მაჩვენებლები გამოითვლება ანალოგიურად: ვინაიდან სულ გადარჩა 73 თაგვი, ანუ საერთო რაოდენობის 65,8%, მოსალოდნელი გადარჩენის მაჩვენებლები იქნება 37,5 და 35,5. მოდით შევქმნათ ახალი საგანგებო ცხრილი, ახლა მოსალოდნელი სიხშირეებით:

	მკვდარი	გადარჩენილები	სულ
ბაქტერიები + შრატი
მხოლოდ ბაქტერიები
სულ

როგორც ვხედავთ, მოსალოდნელი სიხშირეები საკმაოდ განსხვავდება დაკვირვებულისგან, ე.ი. როგორც ჩანს, ანტისხეულების მიღებას აქვს გავლენა პათოგენით ინფიცირებული თაგვების გადარჩენაზე. ჩვენ შეგვიძლია რაოდენობრივად დავადგინოთ ეს შთაბეჭდილება Pearson-ის სიკეთე-of-fit ტესტის გამოყენებით \(\chi^2\):

\[\chi^2 = \sum_()\frac((f_o - f_e)^2)(f_e),\]

სადაც \(f_o\) და \(f_e\) არის დაკვირვებული და მოსალოდნელი სიხშირეები, შესაბამისად. შეჯამება შესრულებულია ცხრილის ყველა უჯრედზე. ასე რომ, განსახილველ მაგალითზე გვაქვს

\[\chi^2 = (13 – 19.5)^2/19.5 + (44 – 37.5)^2/37.5 + (25 – 18.5)^2/18.5 + (29 – 35.5)^2/35.5 = \]

არის თუ არა \(\chi^2\)-ის შედეგად მიღებული მნიშვნელობა საკმარისად დიდი ნულოვანი ჰიპოთეზის უარსაყოფად? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია კრიტერიუმის შესაბამისი კრიტიკული მნიშვნელობის პოვნა. \(\chi^2\)-ისთვის თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა გამოითვლება როგორც \(df = (R - 1)(C - 1)\), სადაც \(R\) და \(C\) არის რიცხვი. რიგები და სვეტები ცხრილის კონიუგაციაში. ჩვენს შემთხვევაში \(df = (2 -1)(2 - 1) = 1\). თუ ვიცით თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა, ახლა ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გავიგოთ კრიტიკული მნიშვნელობა \(\chi^2\) სტანდარტული R ფუნქციის qchisq() გამოყენებით:

ამრიგად, თავისუფლების ერთი ხარისხით, მხოლოდ 5%-ში კრიტერიუმის \(\chi^2\) მნიშვნელობა აღემატება 3,841-ს. ჩვენ მიერ მიღებული მნიშვნელობა, 6.79, მნიშვნელოვნად აღემატება ამ კრიტიკულ მნიშვნელობას, რაც გვაძლევს უფლებას უარვყოთ ნულოვანი ჰიპოთეზა, რომ არ არსებობს კავშირი ანტისხეულების შეყვანასა და ინფიცირებული თაგვების გადარჩენას შორის. ამ ჰიპოთეზის უარყოფით, ჩვენ რისკავს არასწორი 5%-ზე ნაკლები ალბათობით.

უნდა აღინიშნოს, რომ კრიტერიუმის ზემოაღნიშნული ფორმულა \(\chi^2\) იძლევა ოდნავ გაბერილ მნიშვნელობებს 2x2 ზომის საგანგებო ცხრილებთან მუშაობისას. მიზეზი ის არის, რომ კრიტერიუმის \(\chi^2\) განაწილება თავისთავად უწყვეტია, ხოლო ორობითი მახასიათებლების სიხშირეები („გარდაიცვალა“ / „გადარჩენილი“) განსაზღვრებით დისკრეტულია. ამასთან დაკავშირებით, კრიტერიუმის გაანგარიშებისას, ჩვეულებრივ, შემოღებულია ე.წ უწყვეტობის კორექტირება, ან იეტსის შესწორება :

\[\chi^2_Y = \sum_()\frac((|f_o - f_e| - 0.5)^2)(f_e).\]

"s Chi-squared test with Yates" უწყვეტობის კორექტირების მონაცემები: თაგვები X-კვადრატი = 5,7923, df = 1, p-მნიშვნელობა = 0,0161

როგორც ვხედავთ, R ავტომატურად იყენებს Yates-ის უწყვეტობის კორექტირებას ( პირსონის ჩი-კვადრატის ტესტი იიტსის“ უწყვეტობის კორექტირებით). პროგრამის მიერ გამოთვლილი \(\chi^2\) მნიშვნელობა იყო 5.79213. ჩვენ შეგვიძლია უარვყოთ ანტისხეულების ეფექტის არარსებობის ნულოვანი ჰიპოთეზა ცდომილების რისკის ქვეშ, 1%-ზე ოდნავ მეტი ალბათობით (p-მნიშვნელობა = 0.0161).

1. შესადარებელი მაჩვენებლები უნდა გაიზომოს ნომინალური მასშტაბი(მაგალითად, პაციენტის სქესი არის მამრობითი ან მდედრობითი სქესი) ან ქ რიგითი(მაგალითად, არტერიული ჰიპერტენზიის ხარისხი, მნიშვნელობების აღება 0-დან 3-მდე).

2. ეს მეთოდისაშუალებას გაძლევთ გაანალიზოთ არა მხოლოდ ოთხი ველის ცხრილები, როდესაც ორივე ფაქტორი და შედეგი არის ორობითი ცვლადი, ანუ მათ აქვთ მხოლოდ ორი შესაძლო მნიშვნელობა (მაგალითად, მამაკაცი ან ქალი, გარკვეული დაავადების არსებობა ან არარსებობა ანამნეზი...). Pearson chi-square ტესტი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას მრავალველიანი ცხრილების ანალიზის შემთხვევაში, როდესაც ფაქტორი და (ან) შედეგი იღებს სამ ან მეტ მნიშვნელობას.

3. შედარებული ჯგუფები უნდა იყოს დამოუკიდებელი, ანუ ხი-კვადრატის ტესტი არ უნდა იქნას გამოყენებული დაკვირვებების „ადრე-შემდეგ“ შედარებისას. მაკნემარის ტესტი(ორი დაკავშირებული პოპულაციის შედარებისას) ან გამოთვლილი კოკრანის Q ტესტი(სამი ან მეტი ჯგუფის შედარების შემთხვევაში).

4. ოთხველიანი ცხრილების ანალიზისას მოსალოდნელი ღირებულებებითითოეულ უჯრედში უნდა იყოს მინიმუმ 10. თუ მინიმუმ ერთ უჯრედში მოსალოდნელი ფენომენი იღებს მნიშვნელობას 5-დან 9-მდე, უნდა გამოითვალოს chi-კვადრატის ტესტი. იიტსის შესწორებით. თუ მინიმუმ ერთ უჯრედში მოსალოდნელი ფენომენი 5-ზე ნაკლებია, მაშინ ანალიზი უნდა იქნას გამოყენებული ფიშერის ზუსტი ტესტი.

5. მრავალველიანი ცხრილების ანალიზისას დაკვირვების მოსალოდნელი რაოდენობა არ უნდა იყოს 5-ზე ნაკლები უჯრედების 20%-ზე მეტში.

chi-კვადრატის ტესტის გამოსათვლელად საჭიროა:

1. გამოთვალეთ დაკვირვების მოსალოდნელი რაოდენობაშემთხვევითი ცხრილის თითოეული უჯრედისთვის (იმ პირობით, რომ ნულოვანი ჰიპოთეზა არ არის ჭეშმარიტი) მწკრივებისა და სვეტების ჯამების გამრავლებით და შემდეგ მიღებული პროდუქტის დაკვირვების მთლიან რაოდენობაზე გაყოფით. ზოგადი ფორმამოსალოდნელი მნიშვნელობების ცხრილი წარმოდგენილია ქვემოთ:

	არის შედეგი (1)	შედეგი არ არის (0)	სულ
არსებობს რისკის ფაქტორი (1)	(A+B)*(A+C) / (A+B+C+D)	(A+B)*(B+D)/ (A+B+C+D)	A+B
არ არის რისკის ფაქტორი (0)	(C+D)*(A+C)/ (A+B+C+D)	(C+D)*(B+D)/ (A+B+C+D)	C+D
სულ	A+C	B+D	A+B+C+D

2. χ 2 კრიტერიუმის მნიშვნელობის პოვნაშემდეგი ფორმულის მიხედვით:

სად მე- ხაზის ნომერი (1-დან r-მდე), ჯ- სვეტის ნომერი (1-დან გ-მდე), O ij- დაკვირვებების რეალური რაოდენობა ij უჯრედში, E ij– დაკვირვებების მოსალოდნელი რაოდენობა ij უჯრედში.

იმ შემთხვევაში, თუ მოსალოდნელი ფენომენის რიცხვი 10-ზე ნაკლებია მინიმუმ ერთ უჯრედში, ოთხი ველის ცხრილების გაანალიზებისას უნდა გამოითვალოს chi-square ტესტი იიტსის კორექტირებით. ეს შესწორება ამცირებს 1 ტიპის შეცდომის ალბათობას, ანუ განსხვავებების აღმოჩენას იქ, სადაც არ არის. Yates-ის კორექტირება შედგება 0.5-ის გამოკლებით აბსოლუტური მნიშვნელობიდან სხვაობის ფაქტობრივ და მოსალოდნელ რაოდენობას შორის თითოეულ უჯრედში, რაც იწვევს chi-square ტესტის მნიშვნელობის შემცირებას.

χ 2 კრიტერიუმის გამოთვლის ფორმულა იიტსის კორექტირებით შემდეგია:

3. თავისუფლების ხარისხების რაოდენობის განსაზღვრაფორმულის მიხედვით: f = (r – 1) × (c – 1). შესაბამისად, ოთხველიანი ცხრილისთვის 2 მწკრივით (r = 2) და 2 სვეტით (c = 2), თავისუფლების გრადუსების რაოდენობაა f 2x2 = (2 - 1)*(2 - 1) = 1.

4. ჩვენ ვადარებთ χ 2 კრიტერიუმის მნიშვნელობას კრიტიკულ მნიშვნელობასთანთავისუფლების გრადუსების რაოდენობაზე f (ცხრილის მიხედვით).

ეს ალგორითმი გამოიყენება როგორც ოთხველიანი, ასევე მრავალ ველის ცხრილებისთვის.

როგორ განვსაზღვროთ პირსონის ჩი-კვადრატის ტესტის მნიშვნელობა?

თუ χ 2 კრიტერიუმის მიღებული მნიშვნელობა კრიტიკულ მნიშვნელობაზე მეტია, დავასკვნით, რომ არსებობს სტატისტიკური კავშირი შესწავლილ რისკფაქტორსა და შედეგს შორის მნიშვნელობის შესაბამის დონეზე.

პირსონის ჩი-კვადრატის ტესტის გამოთვლის მაგალითი

მოდით განვსაზღვროთ მოწევის ფაქტორის გავლენის სტატისტიკური მნიშვნელობა არტერიული ჰიპერტენზიის სიხშირეზე ზემოთ განხილული ცხრილის გამოყენებით:

1. გამოთვალეთ მოსალოდნელი მნიშვნელობები თითოეული უჯრედისთვის:

2. იპოვეთ პირსონის ჩი-კვადრატის ტესტის მნიშვნელობა:

χ 2 = (40-33.6) 2 /33.6 + (30-36.4) 2 /36.4 + (32-38.4) 2 /38.4 + (48-41.6) 2 /41.6 = 4.396.

3. თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა f = (2-1)*(2-1) = 1. ცხრილის გამოყენებით ვპოულობთ პირსონის ჩი-კვადრატის ტესტის კრიტიკულ მნიშვნელობას, რომელიც მნიშვნელოვნების დონეზე p=0.05 და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა 1 არის 3.841.

4. ჩი-კვადრატის მიღებულ მნიშვნელობას ვადარებთ კრიტიკულს: 4,396 > 3,841, შესაბამისად, არტერიული ჰიპერტენზიის სიხშირის დამოკიდებულება მოწევის არსებობაზე სტატისტიკურად მნიშვნელოვანია. ამ ურთიერთობის მნიშვნელოვნების დონე შეესაბამება პ<0.05.

თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა, ვ	χ 2 p=0.05-ზე	χ 2 p=0.01-ზე
	3.841	6.635
	5.991	9.21
	7.815	11.345
	9.488	13.277
	11.07	15.086
	12.592	16.812
	14.067	18.475
	15.507	20.09
	16.919	21.666
	18.307	23.209
	19.675	24.725
	21.026	26.217
	22.362	27.688
	23.685	29.141
	24.996	30.578
	26.296
	27.587	33.409
	28.869	34.805
	30.144	36.191
	31.41	37.566

მათემატიკა

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ნიშანს შორის დამოკიდებულების შესწავლაზე, ან როგორც თქვენ გირჩევნიათ - შემთხვევითი მნიშვნელობები, ცვლადები. კერძოდ, ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა შემოვიტანოთ მახასიათებლებს შორის დამოკიდებულების საზომი Chi-square ტესტის გამოყენებით და შევადაროთ იგი კორელაციის კოეფიციენტთან.

რატომ შეიძლება იყოს ეს საჭირო? მაგალითად, იმის გასაგებად, თუ რომელი მახასიათებელია უფრო მეტად დამოკიდებული სამიზნე ცვლადზე საკრედიტო სკორინგის აგებისას - კლიენტის დეფოლტის ალბათობის განსაზღვრა. ან, როგორც ჩემს შემთხვევაში, გაიგეთ რა ინდიკატორების გამოყენებაა საჭირო სავაჭრო რობოტის დასაპროგრამებლად.

ცალკე მინდა აღვნიშნო, რომ მონაცემთა ანალიზისთვის ვიყენებ C# ენას. ალბათ ეს ყველაფერი უკვე დანერგილია R-ში ან Python-ში, მაგრამ ჩემთვის C#-ის გამოყენება საშუალებას მაძლევს დეტალურად გავიგო თემა, მეტიც, ის ჩემი საყვარელი პროგრამირების ენაა.

დავიწყოთ ძალიან მარტივი მაგალითით, შექმენით ოთხი სვეტი Excel-ში შემთხვევითი რიცხვების გენერატორის გამოყენებით:
X=RANDBETWEEN (-100,100)
ი =X*10+20
ზ =X*X
თ=RANDBETWEEN (-100,100)

როგორც ხედავთ, ცვლადი იხაზოვანი დამოკიდებული X; ცვლადი ზკვადრატულად დამოკიდებული X; ცვლადები Xდა თდამოუკიდებელი. ეს არჩევანი მიზანმიმართულად გავაკეთე, რადგან ჩვენს დამოკიდებულების ზომას შევადარებთ კორელაციის კოეფიციენტს. როგორც ცნობილია, ორ შემთხვევით ცვლადს შორის ტოლია მოდული 1, თუ მათ შორის დამოკიდებულების „უმძიმესი“ ტიპი წრფივია. ორ დამოუკიდებელ შემთხვევით ცვლადს შორის არის ნულოვანი კორელაცია, მაგრამ კორელაციის კოეფიციენტის ტოლობა ნულამდე არ ნიშნავს დამოუკიდებლობას. შემდეგ ჩვენ ამას ვნახავთ ცვლადების მაგალითის გამოყენებით Xდა ზ.

შეინახეთ ფაილი data.csv-ად და დაიწყეთ პირველი შეფასებები. პირველ რიგში, გამოვთვალოთ კორელაციის კოეფიციენტი მნიშვნელობებს შორის. მე არ ჩავსვი კოდი სტატიაში, ის ჩემს github-ზეა. ჩვენ ვიღებთ კორელაციას ყველა შესაძლო წყვილისთვის:

ჩანს, რომ წრფივი დამოკიდებული Xდა იკორელაციის კოეფიციენტი არის 1. მაგრამ Xდა ზის უდრის 0.01-ს, თუმცა ჩვენ დამოკიდებულებას ვადგენთ ცალსახად ზ=X*X. ცხადია, ჩვენ გვჭირდება ზომა, რომელიც უკეთესად „იგრძნობს“ დამოკიდებულებას. მაგრამ სანამ Chi-square ტესტზე გადავიდოდეთ, მოდით შევხედოთ რა არის შემთხვევითობის მატრიცა.

საგანგებო მატრიცის ასაგებად, ჩვენ ვყოფთ ცვლადი მნიშვნელობების დიაპაზონს ინტერვალებად (ან კატეგორიზაციას). ამის გაკეთების მრავალი გზა არსებობს, მაგრამ უნივერსალური გზა არ არსებობს. ზოგიერთი მათგანი იყოფა ინტერვალებად ისე, რომ შეიცავდეს ცვლადების ერთსა და იმავე რაოდენობას, ზოგი კი იყოფა თანაბარი სიგრძის ინტერვალებად. მე პირადად მომწონს ამ მიდგომების გაერთიანება. მე გადავწყვიტე გამომეყენებინა ეს მეთოდი: ცვლადს გამოვაკლებ მატ ქულას. მოლოდინები, შემდეგ გაყავით შედეგი სტანდარტული გადახრის შეფასებაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მე ცენტრალიზებული და შემთხვევითი ცვლადის ნორმალიზება. მიღებული მნიშვნელობა მრავლდება კოეფიციენტზე (ამ მაგალითში ეს არის 1), რის შემდეგაც ყველაფერი მრგვალდება უახლოეს მთელ რიცხვამდე. გამომავალი არის int ტიპის ცვლადი, რომელიც არის კლასის იდენტიფიკატორი.

ასე რომ, ავიღოთ ჩვენი ნიშნები Xდა ზ, ჩვენ ვანაწილებთ ზემოთ აღწერილი წესით, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ თითოეული კლასის გარეგნობის რაოდენობას და ალბათობას და წყვილი თვისებების გამოჩენის ალბათობას:

ეს არის მატრიცა რაოდენობის მიხედვით. აქ ხაზებში - ცვლადის კლასების შემთხვევების რაოდენობა X, სვეტებში - ცვლადის კლასების შემთხვევების რაოდენობა ზ, უჯრედებში - კლასების წყვილების ერთდროულად გამოჩენის რაოდენობა. მაგალითად, კლასი 0 მოხდა 865-ჯერ ცვლადისთვის X, 823 ჯერ ცვლადისთვის ზდა არასოდეს ყოფილა წყვილი (0,0). მოდით გადავიდეთ ალბათობებზე ყველა მნიშვნელობის 3000-ზე გაყოფით (დაკვირვების საერთო რაოდენობა):

ჩვენ მივიღეთ შემთხვევითობის მატრიცა, რომელიც მიღებულია მახასიათებლების კატეგორიზაციის შემდეგ. ახლა დროა ვიფიქროთ კრიტერიუმზე. განმარტებით, შემთხვევითი ცვლადები დამოუკიდებელია, თუ ამ შემთხვევითი ცვლადების მიერ გენერირებული სიგმა ალგებრები დამოუკიდებელია. სიგმა ალგებრების დამოუკიდებლობა გულისხმობს მათგან მოვლენების წყვილ დამოუკიდებლობას. ორ მოვლენას ეწოდება დამოუკიდებელი, თუ მათი ერთობლივი წარმოშობის ალბათობა ტოლია ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლის: პიჯ = პი*პჯ. სწორედ ამ ფორმულას გამოვიყენებთ კრიტერიუმის ასაგებად.

Ნულოვანი ჰიპოთეზა: კატეგორიული ნიშნები Xდა ზდამოუკიდებელი. მისი ექვივალენტურია: შემთხვევითობის მატრიცის განაწილება მითითებულია მხოლოდ ცვლადების კლასების (სტრიქონების და სვეტების ალბათობით) წარმოქმნის ალბათობით. ან ეს: მატრიცის უჯრედები გვხვდება რიგებისა და სვეტების შესაბამისი ალბათობების ნამრავლით. ჩვენ გამოვიყენებთ ნულოვანი ჰიპოთეზის ამ ფორმულირებას გადაწყვეტილების წესის ასაგებად: მნიშვნელოვანი შეუსაბამობა შორის პიჟდა პი*პჯიქნება ნულოვანი ჰიპოთეზის უარყოფის საფუძველი.

მოდით იყოს ცვლადში 0 კლასის გამოჩენის ალბათობა X. ჩვენი სულ ნკლასებში Xდა მკლასებში ზ. გამოდის, რომ მატრიცის განაწილების დასაზუსტებლად საჭიროა ეს ვიცოდეთ ნდა მალბათობები. მაგრამ სინამდვილეში თუ ვიცით n-1ალბათობა ამისთვის X, მაშინ ეს უკანასკნელი იპოვება 1-ს სხვათა ჯამის გამოკლებით. ამრიგად, შემთხვევითობის მატრიცის განაწილების საპოვნელად უნდა ვიცოდეთ l=(n-1)+(m-1)ღირებულებები. ან გვაქვს ლ-განზომილებიანი პარამეტრული სივრცე, საიდანაც ვექტორი გვაძლევს სასურველ განაწილებას. Chi-კვადრატის სტატისტიკა ასე გამოიყურება:

და, ფიშერის თეორემის მიხედვით, აქვთ Chi-კვადრატის განაწილება n*m-l-1=(n-1)(m-1)თავისუფლების ხარისხები.

მოდით დავაყენოთ მნიშვნელოვნების დონე 0,95-ზე (ან I ტიპის შეცდომის ალბათობა არის 0,05). მოდი ვიპოვოთ ჩი კვადრატის განაწილების კვანტილი მოცემული მნიშვნელობის დონისთვის და თავისუფლების ხარისხით მაგალითიდან (n-1)(m-1)=4*3=12: 21.02606982. თავად Chi-კვადრატის სტატისტიკა ცვლადებისთვის Xდა ზუდრის 4088.006631. ცხადია, რომ დამოუკიდებლობის ჰიპოთეზა არ არის მიღებული. მოსახერხებელია გავითვალისწინოთ Chi-კვადრატის სტატისტიკის შეფარდება ზღვრულ მნიშვნელობასთან - in ამ შემთხვევაშიის თანაბარია Chi2Coeff=194.4256186. თუ ეს თანაფარდობა 1-ზე ნაკლებია, მაშინ მიღებულია დამოუკიდებლობის ჰიპოთეზა, თუ მეტია, მაშინ არ არის. მოდით ვიპოვოთ ეს თანაფარდობა ყველა წყვილი მახასიათებლისთვის:

Აქ ფაქტორი 1და ფაქტორი 2- მახასიათებლების სახელები
src_cnt1და src_cnt2- საწყისი მახასიათებლების უნიკალური მნიშვნელობების რაოდენობა
mod_cnt1და mod_cnt2- უნიკალური მახასიათებლების მნიშვნელობების რაოდენობა კატეგორიზაციის შემდეგ
chi2- ჩი-კვადრატის სტატისტიკა
chi2max- Chi-კვადრატის სტატისტიკის ზღვრული მნიშვნელობა 0,95 მნიშვნელოვნების დონისთვის
chi2Coeff- Chi-კვადრატის სტატისტიკის შეფარდება ზღვრულ მნიშვნელობასთან
კორ- კორელაციის კოეფიციენტი

ჩანს, რომ ისინი დამოუკიდებლები არიან (chi2coeff<1) получились следующие пары признаков - (X, T), (Y, T) და ( ზ, თ), რაც ლოგიკურია, რადგან ცვლადი თგენერირდება შემთხვევით. ცვლადები Xდა ზდამოკიდებული, მაგრამ ნაკლებად, ვიდრე წრფივი დამოკიდებული Xდა ი, რაც ასევე ლოგიკურია.

უტილიტის კოდი, რომელიც ამ მაჩვენებლებს ითვლის github-ზე დავდე, სადაც data.csv ფაილიც არის. პროგრამა იღებს csv ფაილს შეყვანად და ითვლის დამოკიდებულებებს ყველა წყვილ სვეტს შორის: PtProject.Dependency.exe data.csv

ამ კრიტერიუმის გამოყენება ეფუძნება თეორიულს შორის შეუსაბამობის ისეთი საზომის (სტატისტიკის) გამოყენებას. ფ(x) და ემპირიული განაწილება ფ* პ (x) , რომელიც დაახლოებით ემორჩილება განაწილების კანონს χ 2 . ჰიპოთეზა ნ 0 განაწილებების თანმიმდევრულობა მოწმდება ამ სტატისტიკის განაწილების ანალიზით. კრიტერიუმის გამოყენება მოითხოვს სტატისტიკური სერიის აგებას.

ასე რომ, მოდით ნიმუში წარმოდგენილი იყოს სტატისტიკურად ციფრების რაოდენობის გვერდით მ. დაკვირვებული დარტყმის მაჩვენებელი მე- წოდება ნ მე. თეორიული განაწილების კანონის შესაბამისად, დარტყმების მოსალოდნელი სიხშირე მე- ეს კატეგორიაა ფ მე. განსხვავება დაკვირვებულ და მოსალოდნელ სიხშირეს შორის იქნება ( ნ მე – ფ მე). მათ შორის შეუსაბამობის საერთო ხარისხის დასადგენად ფ(x) და ფ* პ (x) აუცილებელია გამოვთვალოთ კვადრატული სხვაობების შეწონილი ჯამი სტატისტიკური სერიის ყველა ციფრზე

მნიშვნელობა χ 2 შეუზღუდავი გადიდებით ნ აქვს χ 2 განაწილება (ასიმპტომურად განაწილებული, როგორც χ 2). ეს განაწილება დამოკიდებულია თავისუფლების ხარისხების რაოდენობაზე კ, ე.ი. ტერმინების დამოუკიდებელი მნიშვნელობების რაოდენობა გამოხატულებაში (3.7). თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა რიცხვის ტოლია წნიმუშზე დაწესებული წრფივი მიმართებების რაოდენობის გამოკლებით. ერთი კავშირი არსებობს იმის გამო, რომ ნებისმიერი სიხშირე შეიძლება გამოითვალოს დარჩენილი სიხშირეების მთლიანობიდან. მ- 1 ციფრი. გარდა ამისა, თუ განაწილების პარამეტრები წინასწარ არ არის ცნობილი, მაშინ არსებობს კიდევ ერთი შეზღუდვა ნიმუშზე განაწილების მორგების გამო. თუ ნიმუში განსაზღვრავს ს განაწილების პარამეტრები, მაშინ იქნება თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა კ= მ – ს–1.

ჰიპოთეზის მიღების ზონა ნ 0 განისაზღვრება პირობით χ 2 < χ 2 (კ; ა) , სადაც ხ 2 (კ; ა) – χ2 განაწილების კრიტიკული წერტილი მნიშვნელოვნების დონით ა. I ტიპის შეცდომის ალბათობა არის ა II ტიპის შეცდომის ალბათობა არ შეიძლება მკაფიოდ განისაზღვროს, რადგან არსებობს უსასრულოდ დიდი რაოდენობის სხვადასხვა გზა, რომლითაც განაწილებები შეიძლება არ ემთხვეოდეს. ტესტის სიმძლავრე დამოკიდებულია ციფრების რაოდენობაზე და ნიმუშის ზომაზე. კრიტერიუმი რეკომენდირებულია გამოიყენოს როდის ნ>200, გამოყენება დასაშვებია როცა ნ>40, სწორედ ასეთ პირობებში მოქმედებს კრიტერიუმი (როგორც წესი, ის უარყოფს არასწორ ნულოვან ჰიპოთეზას).

კრიტერიუმებით შემოწმების ალგორითმი

1. ააგეთ ჰისტოგრამა თანაბარი ალბათობის მეთოდის გამოყენებით.

2. ჰისტოგრამის გარეგნობის საფუძველზე წამოაყენეთ ჰიპოთეზა

ჰ 0: ვ(x) = ვ 0 (x),

ჰ 1: ვ(x) ¹ ვ 0 (x),

სად ვ 0 (x) - ჰიპოთეტური განაწილების კანონის ალბათობის სიმკვრივე (მაგალითად, ერთგვაროვანი, ექსპონენციალური, ნორმალური).

კომენტარი. ჰიპოთეზა ექსპონენციალური განაწილების კანონის შესახებ შეიძლება წამოიჭრას, თუ ნიმუშის ყველა რიცხვი დადებითია.

3. გამოთვალეთ კრიტერიუმის მნიშვნელობა ფორმულის გამოყენებით

,

სად
დარტყმის მაჩვენებელი მე-ე ინტერვალი;

გვ მე- შემთხვევითი ცვლადის მოხვედრის თეორიული ალბათობა მე- ე ინტერვალი იმ პირობით, რომ ჰიპოთეზა ჰ 0 სწორია.

გაანგარიშების ფორმულები გვ მეექსპონენციალური, ერთიანი და ნორმალური კანონების შემთხვევაში, ისინი შესაბამისად ტოლია.

ექსპონენციალური კანონი

. (3.8)

სადაც ა 1 = 0, ბ მ = +¥.

ერთიანი კანონი

ნორმალური კანონი

. (3.10)

სადაც ა 1 = -¥, B M = +¥.

შენიშვნები. ყველა ალბათობის გამოთვლის შემდეგ გვ მეშეამოწმეთ დაკმაყოფილებულია თუ არა საცნობარო კავშირი

ფუნქცია Ф( X) - უცნაური. Ф(+¥) = 1.

4. დანართში Chi-square ცხრილიდან აირჩიეთ მნიშვნელობა
, სადაც a არის განსაზღვრული მნიშვნელოვნების დონე (a = 0.05 ან a = 0.01), და კ- თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა, რომელიც განისაზღვრება ფორმულით

კ = მ - 1 - ს.

Აქ ს- პარამეტრების რაოდენობა, რომელზედაც დამოკიდებულია არჩეული ჰიპოთეზა ჰ 0 განაწილების კანონი. ღირებულებები სერთიანი კანონისთვის არის 2, ექსპონენციალური კანონისთვის არის 1, ნორმალური კანონისთვის არის 2.

5. თუ
, შემდეგ ჰიპოთეზა ჰ 0 უარყოფილია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მისი უარყოფის საფუძველი არ არსებობს: ალბათობით 1 - b ეს მართალია, ხოლო ალბათობით - b არასწორია, მაგრამ b-ის მნიშვნელობა უცნობია.

მაგალითი 3 . 1. c 2 კრიტერიუმის გამოყენებით წამოაყენეთ და შეამოწმეთ ჰიპოთეზა შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონის შესახებ X, ვარიაციის სერიები, ინტერვალების ცხრილები და განაწილების ჰისტოგრამები მოცემულია მაგალითში 1.2. მნიშვნელოვნების დონე a არის 0,05.

გამოსავალი . ჰისტოგრამების გარეგნობის საფუძველზე წამოვაყენეთ ჰიპოთეზა, რომ შემთხვევითი მნიშვნელობა Xგანაწილებულია ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით:

ჰ 0: ვ(x) = ნ(მ, ს);

ჰ 1: ვ(x) ¹ ნ(მ, ს).

კრიტერიუმის ღირებულება გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით:

(3.11)

როგორც ზემოთ აღინიშნა, ჰიპოთეზის ტესტირებისას სასურველია გამოვიყენოთ თანაბარი ალბათობის ჰისტოგრამა. Ამ შემთხვევაში

თეორიული ალბათობები გვ მეჩვენ ვიანგარიშებთ ფორმულით (3.10). ამავე დროს, ჩვენ გვჯერა ამის

გვ 1 = 0,5(F((-4,5245+1,7)/1,98)-F((-¥+1,7)/1,98)) = 0,5(F(-1,427) -F(-¥)) =

0,5(-0,845+1) = 0,078.

გვ 2 = 0.5(F((-3.8865+1.7)/1.98)-F((-4.5245+1.7)/1.98)) =

0.5(F(-1.104)+0.845) = 0.5(-0.729+0.845) = 0.058.

გვ 3 = 0,094; გვ 4 = 0,135; გვ 5 = 0,118; გვ 6 = 0,097; გვ 7 = 0,073; გვ 8 = 0,059; გვ 9 = 0,174;

გვ 10 = 0.5(F((+¥+1.7)/1.98)-F((0.6932+1.7)/1.98)) = 0.114.

ამის შემდეგ ჩვენ ვამოწმებთ საკონტროლო კოეფიციენტის შესრულებას

100 × (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 +

0,0285 + 0,0315 + 0,0017) = 100 × 0,1207 = 12,07.

ამის შემდეგ, აირჩიეთ კრიტიკული მნიშვნელობა "Chi-square" ცხრილიდან

.

იმიტომ რომ
შემდეგ ჰიპოთეზა ჰ 0 მიიღება (არ არსებობს ამის უარის მიზეზი).

ამ შენიშვნაში χ 2 განაწილება გამოიყენება მონაცემთა ნაკრების თანმიმდევრულობის შესამოწმებლად ფიქსირებული ალბათობის განაწილებით. შეთანხმების კრიტერიუმი ხშირად ოთქვენ, რომლებიც მიეკუთვნებით კონკრეტულ კატეგორიას, ადარებენ იმ სიხშირეს, რომელიც თეორიულად მოსალოდნელი იქნებოდა, თუ მონაცემებს რეალურად ჰქონდა მითითებული განაწილება.

ტესტირება χ 2 სიკეთის მორგების კრიტერიუმის გამოყენებით ხორციელდება რამდენიმე ეტაპად. პირველ რიგში, განსაზღვრულია კონკრეტული ალბათობის განაწილება და შედარება თავდაპირველ მონაცემებთან. მეორეც, წამოიჭრება ჰიპოთეზა არჩეული ალბათობის განაწილების პარამეტრების შესახებ (მაგალითად, მისი მათემატიკური მოლოდინი) ან ხორციელდება მათი შეფასება. მესამე, თეორიული განაწილებიდან გამომდინარე, განისაზღვრება თითოეული კატეგორიის შესაბამისი თეორიული ალბათობა. საბოლოოდ, χ2 ტესტის სტატისტიკა გამოიყენება მონაცემთა და განაწილების თანმიმდევრულობის შესამოწმებლად:

სად f 0- დაკვირვებული სიხშირე, ვ ე- თეორიული ან მოსალოდნელი სიხშირე, კ- შერწყმის შემდეგ დარჩენილი კატეგორიების რაოდენობა, რ- შესაფასებელი პარამეტრების რაოდენობა.

ჩამოტვირთეთ შენიშვნა ფორმატში ან ფორმატში, მაგალითები ფორმატში

პუასონის განაწილებისთვის χ2 სიკეთის შესატყვისი ტესტის გამოყენება

Excel-ში ამ ფორმულის გამოყენებით გამოსათვლელად მოსახერხებელია =SUMPRODUCT() ფუნქციის გამოყენება (ნახ. 1).

პარამეტრის შესაფასებლად λ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შეფასება . თეორიული სიხშირე Xწარმატებები (X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 და მეტი) პარამეტრის შესაბამისი λ = 2.9 შეიძლება განისაზღვროს =POISSON.DIST(X;;FALSE) ფუნქციის გამოყენებით. პუასონის ალბათობის გამრავლება ნიმუშის ზომაზე ნ, მივიღებთ თეორიულ სიხშირეს ვ ე(ნახ. 2).

ბრინჯი. 2. ჩამოსვლის ფაქტიური და თეორიული ტარიფები წუთში

როგორც ჩანს ნახ. 2, ცხრა ან მეტი ჩამოსვლის თეორიული სიხშირე არ აღემატება 1.0-ს. იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თითოეული კატეგორია შეიცავს 1.0 ან მეტ სიხშირეს, კატეგორია „9 ან მეტი“ უნდა გაერთიანდეს კატეგორიასთან „8“. ანუ დარჩა ცხრა კატეგორია (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 და მეტი). ვინაიდან პუასონის განაწილების მათემატიკური მოლოდინი განისაზღვრება ნიმუშის მონაცემების საფუძველზე, თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა ტოლია k – p – 1 = 9 – 1 – 1 = 7. 0,05 მნიშვნელოვნების დონის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ χ 2 სტატისტიკის კრიტიკული მნიშვნელობა, რომელსაც აქვს თავისუფლების 7 გრადუსი ფორმულის მიხედვით =CHI2.OBR(1-0.05;7) = 14.067. გადაწყვეტილების წესი ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ჰიპოთეზა H 0უარყოფილია, თუ χ 2 > 14.067, წინააღმდეგ შემთხვევაში ჰიპოთეზა H 0არ გადაუხვევს.

χ 2-ის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას (1) (ნახ. 3).

ბრინჯი. 3. χ 2 - სიკეთის მორგების კრიტერიუმი პუასონის განაწილებისთვის

ვინაიდან χ 2 = 2.277< 14,067, следует, что гипотезу H 0არ შეიძლება უარი თქვას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ არ გვაქვს საფუძველი იმის დასამტკიცებლად, რომ ბანკში კლიენტების ჩამოსვლა არ ემორჩილება პუასონის განაწილებას.

ნორმალური განაწილებისთვის χ 2 -მორგების ტესტის გამოყენება

წინა შენიშვნებში, რიცხვითი ცვლადების შესახებ ჰიპოთეზების ტესტირებისას დაშვებული იყო, რომ შესწავლილი სუბიექტი მოსახლეობააქვს ნორმალური განაწილება. ამ ვარაუდის შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ გრაფიკული ხელსაწყოები, მაგალითად, ყუთის დიაგრამა ან ნორმალური განაწილების გრაფიკი (დაწვრილებით იხილეთ). ნიმუშის დიდი ზომისთვის, χ 2 სიკეთე-მორგების ტესტი ნორმალური განაწილებისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ ვარაუდების შესამოწმებლად.

მაგალითისთვის განვიხილოთ მონაცემები 158 საინვესტიციო ფონდის 5-წლიანი შემოსავლის შესახებ (სურ. 4). დავუშვათ, გსურთ გჯეროდეთ, არის თუ არა მონაცემები ნორმალურად განაწილებული. ნულოვანი და ალტერნატიული ჰიპოთეზები ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: H 0: 5 წლიანი სარგებელი მიჰყვება ნორმალურ განაწილებას, H 1: 5 წლიანი მოსავალი არ მისდევს ნორმალურ განაწილებას. ნორმალურ განაწილებას აქვს ორი პარამეტრი - მათემატიკური მოლოდინი μ და სტანდარტული გადახრაσ, რომელიც შეიძლება შეფასდეს ნიმუშის მონაცემების საფუძველზე. Ამ შემთხვევაში = 10.149 და ს = 4,773.

ბრინჯი. 4. შეკვეთილი მასივი, რომელიც შეიცავს მონაცემებს 158 ფონდის ხუთწლიანი საშუალო წლიური შემოსავლის შესახებ

ფონდის ანაზღაურების შესახებ მონაცემები შეიძლება დაჯგუფდეს, მაგალითად, კლასებად (ინტერვალებად), რომელთა სიგანე 5%-ია (ნახ. 5).

ბრინჯი. 5. სიხშირის განაწილება 158 ფონდის ხუთწლიანი საშუალო წლიური შემოსავლისთვის

ვინაიდან ნორმალური განაწილება უწყვეტია, აუცილებელია განისაზღვროს ფიგურების ფართობი, რომლებიც შემოსაზღვრულია ნორმალური განაწილების მრუდით და თითოეული ინტერვალის საზღვრებით. გარდა ამისა, რადგან ნორმალური განაწილება თეორიულად მერყეობს –∞-დან +∞-მდე, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ფორმების ფართობი, რომელიც ხვდება კლასის საზღვრებს გარეთ. ასე რომ, ნორმალური მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი წერტილის მარცხნივ –10 უდრის ფიგურის ფართობს, რომელიც მდებარეობს სტანდარტიზებული ნორმალური მრუდის ქვეშ Z მნიშვნელობის მარცხნივ.

Z = (–10 – 10.149) / 4.773 = –4.22

ფიგურის ფართობი, რომელიც მდებარეობს სტანდარტიზებული ნორმალური მრუდის ქვეშ Z = –4.22 მნიშვნელობის მარცხნივ, განისაზღვრება ფორმულით =NORM.DIST(-10;10.149;4.773;TRUE) და დაახლოებით უდრის 0.00001-ს. ნორმალური მრუდის ქვეშ მყოფი ფიგურის ფართობის გამოსათვლელად –10 და –5 წერტილებს შორის, ჯერ უნდა გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც მდებარეობს –5 წერტილიდან მარცხნივ: =NORM.DIST( -5,10.149,4.773, ჭეშმარიტი) = 0.00075. ამრიგად, ნორმალური მრუდის ქვეშ მდებარე ფიგურის ფართობი –10 და –5 წერტილებს შორის არის 0,00075 – 0,00001 = 0,00074. ანალოგიურად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოიფარგლება თითოეული კლასის საზღვრებით (ნახ. 6).

ბრინჯი. 6. ზონები და მოსალოდნელი სიხშირეები 5-წლიანი ანაზღაურების თითოეული კლასისთვის

ჩანს, რომ თეორიული სიხშირეები ოთხ უკიდურეს კლასში (ორი მინიმალური და ორი მაქსიმალური) 1-ზე ნაკლებია, ამიტომ ჩვენ გავაერთიანებთ კლასებს, როგორც ნაჩვენებია ნახ.7-ზე.

ბრინჯი. 7. გამოთვლები, რომლებიც დაკავშირებულია χ 2 სიკეთის შესატყვისი ტესტის გამოყენებასთან ნორმალური განაწილებისთვის

ჩვენ ვიყენებთ χ 2 კრიტერიუმს მონაცემთა შეთანხმებისთვის ნორმალური დისტრიბუციაფორმულის გამოყენებით (1). ჩვენს მაგალითში, შერწყმის შემდეგ, რჩება ექვსი კლასი. ვინაიდან მოსალოდნელი მნიშვნელობა და სტანდარტული გადახრა შეფასებულია ნიმუშის მონაცემებიდან, თავისუფლების ხარისხი არის კ – გვ – 1 = 6 – 2 – 1 = 3. 0,05 მნიშვნელოვნების დონის გამოყენებით, აღმოვაჩენთ, რომ χ 2 სტატისტიკის კრიტიკული მნიშვნელობა, რომელსაც აქვს თავისუფლების სამი ხარისხი = CI2.OBR(1-0,05;F3) = 7,815. გამოთვლები, რომლებიც დაკავშირებულია χ 2 სიკეთის მორგების კრიტერიუმის გამოყენებასთან, ნაჩვენებია ნახ. 7.

ჩანს, რომ χ 2 -სტატისტიკა = 3.964< χ U 2 7,815, следовательно гипотезу H 0არ შეიძლება უარი თქვას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ არ გვაქვს საფუძველი იმის მტკიცების, რომ მაღალ ზრდაზე ორიენტირებული საინვესტიციო ფონდების 5-წლიანი შემოსავალი არ ექვემდებარება ნორმალურ განაწილებას.

განიხილეს რამდენიმე ბოლო პოსტი სხვადასხვა მიდგომებიკატეგორიული მონაცემების ანალიზს. აღწერილია ორი ან მეტი დამოუკიდებელი ნიმუშის ანალიზის შედეგად მიღებული კატეგორიული მონაცემების შესახებ ჰიპოთეზების ტესტირების მეთოდები. გარდა chi-square ტესტებისა, განიხილება არაპარამეტრული პროცედურები. აღწერილია Wilcoxon-ის რანგის ტესტი, რომელიც გამოიყენება იმ სიტუაციებში, როდესაც განაცხადის პირობები არ არის დაკმაყოფილებული ტ-თანასწორობის ჰიპოთეზის შემოწმების კრიტერიუმები მათემატიკური მოლოდინებიორი დამოუკიდებელი ჯგუფი, ასევე კრუსკალ-ვალისის ტესტი, რომელიც არის ცალმხრივი დისპერსიის ანალიზის ალტერნატივა (ნახ. 8).

ბრინჯი. 8. კატეგორიული მონაცემების შესახებ ჰიპოთეზების შემოწმების მეთოდების ბლოკ-სქემა

გამოყენებულია მასალები წიგნიდან Levin et al. – M.: Williams, 2004. – გვ. 763–769 წწ