ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულება. წრფივად დამოკიდებული და წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორები

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ:

• რა არის კოლინარული ვექტორები;
• რა პირობებია ვექტორების კოლინარობისთვის;
• რა თვისებები არსებობს კოლინარული ვექტორების;
• რა არის კოლინარული ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება.

კოლინარული ვექტორები არის ვექტორები, რომლებიც პარალელურია ერთი ხაზის ან დევს ერთ წრფეზე.

მაგალითი 1

ვექტორების კოლინარობის პირობები

ორი ვექტორი თანასწორია, თუ რომელიმე ქვემოთ ჩამოთვლილი პირობა მართალია:

• მდგომარეობა 1 . ვექტორები a და b არის კოლინარული, თუ არის რიცხვი λ ისეთი, რომ a = λ b;
• მდგომარეობა 2 . ვექტორები a და b თანაბარია თანაბარი კოორდინატთა შეფარდებით:

a = (a 1 ; a 2), b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• მდგომარეობა 3 . a და b ვექტორები თანასწორობის პირობით თანასწორია ვექტორული პროდუქტიდა ნულოვანი ვექტორი:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

შენიშვნა 1

მდგომარეობა 2 არ გამოიყენება, თუ ერთ-ერთი ვექტორული კოორდინატი ნულის ტოლია.

შენიშვნა 2

მდგომარეობა 3 ვრცელდება მხოლოდ იმ ვექტორებზე, რომლებიც მითითებულია სივრცეში.

ამოცანების მაგალითები ვექტორების კოლინარობის შესასწავლად

ჩვენ განვიხილავთ ვექტორებს a = (1; 3) და b = (2; 1) კოლინარობისთვის.

როგორ მოვაგვაროთ?

IN ამ შემთხვევაშიაუცილებელია მე-2 კოლინარობის პირობის გამოყენება. ამისთვის მოცემული ვექტორებიეს ასე გამოიყურება:

თანასწორობა მცდარია. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ a და b ვექტორები არასწორხაზოვანია.

უპასუხე : a | | ბ

მაგალითი 2

a = (1; 2) და b = (- 1; m) ვექტორის m რა მნიშვნელობაა საჭირო იმისათვის, რომ ვექტორები იყოს კოლინარული?

როგორ მოვაგვაროთ?

მეორე კოლინარობის პირობის გამოყენებით, ვექტორები იქნება კოლინარული, თუ მათი კოორდინატები პროპორციულია:

ეს აჩვენებს, რომ m = - 2.

პასუხი: მ = - 2 .

ვექტორული სისტემების წრფივი დამოკიდებულებისა და წრფივი დამოუკიდებლობის კრიტერიუმები

ვექტორთა სისტემა ვექტორულ სივრცეში წრფივად არის დამოკიდებული მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი შეიძლება გამოიხატოს ამ სისტემის დარჩენილი ვექტორებით.

მტკიცებულება

მოდით სისტემა e 1 , e 2 , . . . , e n არის წრფივი დამოკიდებული. მოდით დავწეროთ ამ სისტემის წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

რომელშიც კომბინაციის კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულის ტოლი.

მოდით a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , ნ.

ტოლობის ორივე მხარეს ვყოფთ არანულოვანი კოეფიციენტით:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

აღვნიშნოთ:

A k - 1 a m , სადაც m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Ამ შემთხვევაში:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ან e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

აქედან გამომდინარეობს, რომ სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი გამოიხატება სისტემის ყველა სხვა ვექტორის მეშვეობით. რისი დამტკიცება იყო საჭირო (ა.შ.).

ადეკვატურობა

მოდით, ერთ-ერთი ვექტორი წრფივად იყოს გამოხატული სისტემის ყველა სხვა ვექტორში:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ვექტორს e k გადავიტანთ ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

ვინაიდან e k ვექტორის კოეფიციენტი უდრის - 1 ≠ 0, ვიღებთ ნულის არატრივიალურ წარმოდგენას e 1, e 2, ვექტორების სისტემით. . . , e n და ეს, თავის მხრივ, ნიშნავს, რომ ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. რისი დამტკიცება იყო საჭირო (ა.შ.).

შედეგი:

• ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, როდესაც მისი არცერთი ვექტორი არ შეიძლება გამოისახოს სისტემის ყველა სხვა ვექტორებით.
• ვექტორთა სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს ან ორ თანაბარ ვექტორს, წრფივად არის დამოკიდებული.

წრფივად დამოკიდებული ვექტორების თვისებები

1. 2- და 3-განზომილებიანი ვექტორებისთვის დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: ორი წრფივად დამოკიდებული ვექტორი თანამიმართულია. ორი კოლინარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.
2. 3-განზომილებიანი ვექტორებისთვის შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია: სამი წრფივად დამოკიდებული ვექტორი თანაპლენარულია. (3 თანაპლენარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული).
3. n-განზომილებიანი ვექტორებისთვის შემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია: n + 1 ვექტორები ყოველთვის წრფივია დამოკიდებული.

ხაზოვანი დამოკიდებულების ან ვექტორების ხაზოვანი დამოუკიდებლობის ამოცანების ამოხსნის მაგალითები

შევამოწმოთ ვექტორები a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 ამისთვის ხაზოვანი დამოუკიდებლობა.

გამოსავალი. ვექტორები წრფივად არის დამოკიდებული, რადგან ვექტორების განზომილება ნაკლებია ვექტორების რაოდენობაზე.

მაგალითი 4

შევამოწმოთ ვექტორები a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 წრფივი დამოუკიდებლობისთვის.

გამოსავალი. ჩვენ ვპოულობთ იმ კოეფიციენტების მნიშვნელობებს, რომლებშიც წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან ვექტორს:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

ვწერთ ვექტორულ განტოლებას წრფივი სახით:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

ჩვენ ვხსნით ამ სისტემას გაუსის მეთოდით:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

მე-2 სტრიქონს ვაკლებთ 1-ს, მე-3-ს - 1-ს:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1 სტრიქონს ვაკლებთ მე-2-ს, მე-3-ს ვამატებთ მე-2-ს:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

გადაწყვეტიდან გამომდინარეობს, რომ სისტემას ბევრი გამოსავალი აქვს. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს ისეთი რიცხვების მნიშვნელობების არანულოვანი კომბინაცია x 1, x 2, x 3, რომლისთვისაც a, b, c წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან ვექტორს. ამიტომ ვექტორები a, b, c არის წრფივად დამოკიდებული.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ვექტორული სისტემა ე.წ წრფივად დამოკიდებული, თუ არის რიცხვები, რომელთა შორის ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან, ისეთი, რომ ტოლობა https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

თუ ეს თანასწორობა დაკმაყოფილებულია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა, მაშინ ვექტორთა სისტემა ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი.

თეორემა.ვექტორული სისტემა იქნება წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ერთ-ერთი ვექტორი მაინც არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

მაგალითი 1.მრავალწევრი არის მრავალწევრების წრფივი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. მრავალწევრები ქმნიან წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას, ვინაიდან პოლინომი https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

მაგალითი 2.მატრიცული სისტემა, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> წრფივად დამოუკიდებელია, ვინაიდან წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვანი მატრიცა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> წრფივად დამოკიდებული.

გამოსავალი.

მოდით გავაკეთოთ ამ ვექტორების ხაზოვანი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" სიმაღლე = 22">.

თანაბარი ვექტორების იგივე კოორდინატების გათანაბრება, მივიღებთ https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

ბოლოს მივიღებთ

და

სისტემას აქვს მხოლოდ ერთი ტრივიალური გადაწყვეტა, შესაბამისად ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

მაგალითი 4.ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია. როგორი იქნება ვექტორული სისტემები?

ა).;

ბ).?

გამოსავალი.

ა).გავაკეთოთ წრფივი კომბინაცია და გავუტოლოთ ნულს

ვექტორებთან მოქმედებების თვისებების გამოყენებით ხაზოვან სივრცეში, ბოლო ტოლობას ვწერთ ფორმაში

ვინაიდან ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, კოეფიციენტები at უნდა იყოს ნულის ტოლი, ანუ gif" width="12" height="23 src=">

განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ტრივიალური ამოხსნა .

თანასწორობიდან გამომდინარე (*) შესრულებულია მხოლოდ მაშინ, როდესაც https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – წრფივი დამოუკიდებელი;

ბ).მოდით გავაკეთოთ ტოლობა https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით ვიღებთ

განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას გაუსის მეთოდით ვიღებთ

ან

ამ უკანასკნელ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. ამრიგად, არსებობს არა- კოეფიციენტების ნულოვანი კომპლექტი, რომლის ტოლობაც არის (**) . ამიტომ ვექტორთა სისტემა - ხაზოვანი დამოკიდებული.

მაგალითი 5ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ხოლო ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

თანასწორობაში (***) . მართლაც, ზე, სისტემა იქნება ხაზოვანი დამოკიდებული.

ურთიერთობიდან (***) ვიღებთ ან აღვნიშნოთ .

ვიღებთ

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება(აუდიტორიაში)

1. სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, წრფივია დამოკიდებული.

2. სისტემა, რომელიც შედგება ერთი ვექტორისგან ა, წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ, a=0.

3. სისტემა, რომელიც შედგება ორი ვექტორისგან, წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები პროპორციულია (ანუ ერთი მათგანი მიიღება მეორისგან რიცხვზე გამრავლებით).

4. თუ k წრფივია დამოკიდებული სისტემადაამატეთ ვექტორი, მიიღებთ წრფივად დამოკიდებულ სისტემას.

5. თუ ვექტორი ამოღებულია წრფივი დამოუკიდებელი სისტემიდან, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

6. თუ სისტემა სარის წრფივად დამოუკიდებელი, მაგრამ ხდება წრფივი დამოკიდებული ვექტორის დამატებისას ბ, შემდეგ ვექტორი ბწრფივად გამოხატული სისტემის ვექტორებით ს.

გ).მატრიცების სისტემა , , მეორე რიგის მატრიცების სივრცეში.

10. მოდით ვექტორთა სისტემა ა,ბ,გვექტორული სივრცე წრფივად დამოუკიდებელია. დაამტკიცეთ შემდეგი ვექტორული სისტემების წრფივი დამოუკიდებლობა:

ა).a+ბ, ბ, გ.

ბ).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–თვითნებური ნომერი

გ).a+ბ, ა+გ, ბ+გ.

11. დაე ა,ბ,გ– სამი ვექტორი სიბრტყეზე, საიდანაც შეიძლება სამკუთხედის ჩამოყალიბება. იქნება ეს ვექტორები წრფივად დამოკიდებული?

12. მოცემულია ორი ვექტორი a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). იპოვეთ კიდევ ორი ​​ოთხგანზომილებიანი ვექტორი a3 დაa4ისე რომ სისტემა a1,a2,a3,a4იყო ხაზოვანი დამოუკიდებელი .

დავალება 1.გაარკვიეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი. ვექტორთა სისტემა დაზუსტდება სისტემის მატრიცით, რომლის სვეტები შედგება ვექტორების კოორდინატებისგან.

.

გამოსავალი.მოდით ხაზოვანი კომბინაცია ნულის ტოლი. ამ თანასწორობის კოორდინატებში ჩაწერის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ განტოლებების შემდეგ სისტემას:

.

განტოლებათა ასეთ სისტემას სამკუთხა ეწოდება. მას მხოლოდ ერთი გამოსავალი აქვს . ამიტომ ვექტორები წრფივი დამოუკიდებელი.

დავალება 2.გაარკვიეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი.

.

გამოსავალი.ვექტორები არიან წრფივად დამოუკიდებლები (იხ. ამოცანა 1). დავამტკიცოთ, რომ ვექტორი არის ვექტორების წრფივი კომბინაცია . ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტები განისაზღვრება განტოლებათა სისტემიდან

.

ამ სისტემას, ისევე როგორც სამკუთხას, აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ამიტომ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული.

კომენტარი. იგივე ტიპის მატრიცები, როგორც ამოცანა 1-ში, ეწოდება სამკუთხა და პრობლემა 2 - საფეხურიანი სამკუთხა . ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების საკითხი ადვილად წყდება, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი მატრიცა საფეხური სამკუთხაა. თუ მატრიცას არ აქვს სპეციალური ფორმა, მაშინ გამოიყენეთ სიმებიანი ელემენტარული კონვერტაციები სვეტებს შორის წრფივი ურთიერთობების შენარჩუნებით, ის შეიძლება შემცირდეს ნაბიჯ-სამკუთხა ფორმამდე.

სიმებიანი ელემენტარული კონვერტაციებიმატრიცები (EPS) შემდეგ ოპერაციებს მატრიცაზე ეწოდება:

1) ხაზების გადაწყობა;

2) სტრიქონის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;

3) სტრიქონს კიდევ ერთი სტრიქონის დამატება, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით.

დავალება 3.იპოვეთ მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი ქვესისტემა და გამოთვალეთ ვექტორთა სისტემის რანგი

.

გამოსავალი.მოდით შევამციროთ სისტემის მატრიცა EPS-ის გამოყენებით ნაბიჯ-სამკუთხა ფორმამდე. პროცედურის ასახსნელად, ჩვენ აღვნიშნავთ ხაზს მატრიცის რიცხვით, რომელიც გარდაიქმნება სიმბოლოთი. ისრის შემდეგ სვეტი მიუთითებს მატრიცის კონვერტაციის მწკრივებზე მოქმედებებზე, რომლებიც უნდა შესრულდეს ახალი მატრიცის რიგების მისაღებად.

.

ცხადია, მიღებული მატრიცის პირველი ორი სვეტი წრფივად დამოუკიდებელია, მესამე სვეტი მათი წრფივი კომბინაციაა, ხოლო მეოთხე არ არის დამოკიდებული პირველ ორზე. ვექტორები ძირითადს უწოდებენ. ისინი ქმნიან სისტემის მაქსიმალურ წრფივ დამოუკიდებელ ქვესისტემას და სისტემის წოდება არის სამი.

საფუძველი, კოორდინატები

დავალება 4.იპოვეთ ამ საფუძვლების ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები სიმრავლეზე გეომეტრიული ვექტორები, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს პირობას .

გამოსავალი. ნაკრები არის თვითმფრინავი, რომელიც გადის საწყისზე. თვითნებური საფუძველი სიბრტყეზე შედგება ორი არასწორხაზოვანი ვექტორისგან. შერჩეულ საფუძველში ვექტორების კოორდინატები განისაზღვრება წრფივი განტოლებათა შესაბამისი სისტემის ამოხსნით.

ამ პრობლემის გადაჭრის კიდევ ერთი გზა არსებობს, როდესაც კოორდინატების გამოყენებით შეგიძლიათ იპოვოთ საფუძველი.

კოორდინატები სივრცეები არ არის კოორდინატები სიბრტყეზე, რადგან ისინი დაკავშირებულია მიმართებით ანუ დამოუკიდებელნი არ არიან. დამოუკიდებელი ცვლადები და (მათ თავისუფალს უწოდებენ) ცალსახად განსაზღვრავენ ვექტორს სიბრტყეზე და, შესაბამისად, ისინი შეიძლება აირჩიონ კოორდინატებად. შემდეგ საფუძველი შედგება ვექტორებისგან, რომლებიც დევს და შეესაბამება თავისუფალი ცვლადების სიმრავლეს და ეს არის .

დავალება 5.იპოვეთ ამ საფუძველზე ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები სივრცეში ყველა ვექტორის სიმრავლეზე, რომელთა კენტი კოორდინატები ერთმანეთის ტოლია.

გამოსავალი. მოდით ავირჩიოთ, როგორც წინა პრობლემაში, კოორდინატები სივრცეში.

იმიტომ რომ , შემდეგ უფასო ცვლადები ცალსახად განსაზღვრავს ვექტორს და შესაბამისად არის კოორდინატები. შესაბამისი საფუძველი შედგება ვექტორებისგან.

დავალება 6.იპოვეთ ამ საფუძველში ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები ფორმის ყველა მატრიცის სიმრავლეზე , სად - თვითნებური რიცხვები.

გამოსავალი. თითოეული მატრიცა ცალსახად წარმოდგენილია სახით:

ეს მიმართება არის ვექტორის გაფართოება საფუძვლის მიმართ
კოორდინატებით .

დავალება 7.იპოვეთ ვექტორთა სისტემის წრფივი კორპუსის განზომილება და საფუძველი

.

გამოსავალი. EPS-ის გამოყენებით, ჩვენ მატრიცას სისტემის ვექტორების კოორდინატებიდან გადავიყვანთ ნაბიჯ-სამკუთხა ფორმაში.

.

Სვეტები ბოლო მატრიცები წრფივად დამოუკიდებელია, ხოლო სვეტები მათში წრფივად გამოხატული. ამიტომ ვექტორები საფუძველს ქმნის , და .

კომენტარი. ბაზაში არჩეულია ორაზროვნად. მაგალითად, ვექტორები ასევე ქმნის საფუძველს .

დაე ლარის თვითნებური წრფივი სივრცე, ა მე Î L,- მისი ელემენტები (ვექტორები).

განმარტება 3.3.1.გამოხატულება , სად, - თვითნებური რეალური რიცხვები, რომელსაც უწოდებენ წრფივ კომბინაციას ვექტორები a 1, a 2,…, a ნ.

თუ ვექტორი რ = , მერე ამას ამბობენ რ დაიშალა ვექტორებად a 1, a 2,…, a ნ.

განმარტება 3.3.2.ვექტორთა წრფივი კომბინაცია ეწოდება არატრივიალური, თუ რიცხვებს შორის არის მინიმუმ ერთი არა ნული. წინააღმდეგ შემთხვევაში, წრფივი კომბინაცია ეწოდება ტრივიალური.

განმარტება 3.3.3 . ვექტორები a 1 , a 2 ,…, a ნწრფივად დამოკიდებულს უწოდებენ, თუ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ისეთი, რომ

= 0 .

განმარტება 3.3.4. ვექტორები a 1,a 2,…, a ნუწოდებენ წრფივად დამოუკიდებელ თუ თანასწორობას = 0 შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლ ნერთდროულად ნულის ტოლია.

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი არანულოვანი ელემენტი a 1 შეიძლება ჩაითვალოს წრფივად დამოუკიდებელ სისტემად, რადგან თანასწორობაა ლ a 1 = 0 შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ლ= 0.

თეორემა 3.3.1.აუცილებელი და საკმარისი პირობა წრფივი დამოკიდებულებისთვის a 1 , a 2 ,…, a ნარის ამ ელემენტებიდან ერთის დანარჩენში დაშლის შესაძლებლობა.

მტკიცებულება. აუცილებლობა. მოდით ელემენტები a 1 , a 2 ,…, a ნწრფივად დამოკიდებული. Ეს ნიშნავს, რომ = 0 და მინიმუმ ერთი ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლ ნგანსხვავდება ნულიდან. დაე, დარწმუნებით ლ 1 ¹ 0. მაშინ

ანუ ელემენტი a 1 იშლება ელემენტებად a 2, a 3,…, a ნ.

ადეკვატურობა. დაე, ელემენტი a 1 დაიშალოს a 2, a 3,…, a ელემენტებად ნ, ანუ a 1 = . მერე = 0 მაშასადამე, არსებობს ვექტორების არატრივიალური წრფივი კომბინაცია a 1, a 2,…, a. ნ, თანაბარი 0 ასე რომ, ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი .

თეორემა 3.3.2. თუ ელემენტებიდან ერთი მაინც a 1 , a 2 ,…, a ნნულოვანი, მაშინ ეს ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

მტკიცებულება . დაე ა ნ= 0 , შემდეგ = 0 , რაც ნიშნავს ამ ელემენტების წრფივ დამოკიდებულებას.

თეორემა 3.3.3. თუ n ვექტორს შორის რომელიმე p (გვ< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

მტკიცებულება. განსაზღვრულობისთვის მოდით, ელემენტები a 1, a 2,…, a გვწრფივად დამოკიდებული. ეს ნიშნავს, რომ არსებობს არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ისეთი, რომ = 0 . მითითებული თანასწორობა შენარჩუნდება, თუ ელემენტს დავუმატებთ მის ორივე ნაწილს. მერე + = 0 და მინიმუმ ერთი ნომერი ლ 1, ლ 2,…, ლპგანსხვავდება ნულიდან. ამიტომ ვექტორები a 1 , a 2 ,…, a ნარიან წრფივი დამოკიდებულები.

დასკვნა 3.3.1.თუ n ელემენტი წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ნებისმიერი k მათგანი წრფივად დამოუკიდებელია (k< n).

თეორემა 3.3.4. თუ ვექტორები a 1, a 2,…, a n- 1 წრფივად დამოუკიდებელნი არიან და ელემენტები a 1, a 2,…, a n- 1, ა n არის წრფივად დამოკიდებული, შემდეგ ვექტორია n შეიძლება გაფართოვდეს ვექტორებად a 1, a 2,…, a n- 1 .

მტკიცებულება.ვინაიდან a 1, a პირობით 2 ,…,ა n- 1, ა ნ არიან წრფივი დამოკიდებულნი, მაშინ არსებობს მათი არატრივიალური წრფივი კომბინაცია = 0 , და (წინააღმდეგ შემთხვევაში, a 1, a 2,…, a ვექტორები წრფივად დამოკიდებული აღმოჩნდებიან n- 1). მაგრამ შემდეგ ვექტორი

,

ქ.ე.დ.

ჩვენ მიერ გააცნო ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებზეშესაძლებელს ხდის შექმნას სხვადასხვა გამონათქვამები ვექტორული რაოდენობებიდა გარდაქმნას ისინი ამ ოპერაციებისთვის მითითებული თვისებების გამოყენებით.

მოცემული ვექტორების a 1, ..., a n სიმრავლის საფუძველზე შეგიძლიათ შექმნათ ფორმის გამოხატულება

სადაც a 1, ..., და n არის თვითნებური რეალური რიცხვები. ამ გამოთქმას ე.წ ვექტორების წრფივი კომბინაცია a 1, ..., a n. რიცხვები α i, i = 1, n, წარმოადგენს ხაზოვანი კომბინაციის კოეფიციენტები. ვექტორთა სიმრავლეს ასევე უწოდებენ ვექტორული სისტემა.

ვექტორთა წრფივი კომბინაციის შემოღებულ კონცეფციასთან დაკავშირებით ჩნდება ვექტორთა სიმრავლის აღწერის პრობლემა, რომელიც შეიძლება დაიწეროს ვექტორთა მოცემული სისტემის წრფივი კომბინაცია a 1, ..., a n. გარდა ამისა, არსებობს ბუნებრივი კითხვები იმის შესახებ, თუ რა პირობებში არის ვექტორის წარმოდგენა წრფივი კომბინაციის სახით და ასეთი წარმოდგენის უნიკალურობის შესახებ.

განმარტება 2.1.ვექტორებს a 1, ..., და n ეწოდება წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს α 1 , ... , α n კოეფიციენტების ნაკრები ისეთი, რომ

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

და ამ კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი. თუ მითითებული კოეფიციენტების ნაკრები არ არსებობს, მაშინ ვექტორებს უწოდებენ წრფივი დამოუკიდებელი.

თუ α 1 = ... = α n = 0, მაშინ, ცხადია, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. ამის გათვალისწინებით, შეგვიძლია ვთქვათ: ვექტორები a 1, ..., და n წრფივად დამოუკიდებელია, თუ ტოლობიდან (2.2) ირკვევა, რომ α 1 , ... , α n ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

შემდეგი თეორემა განმარტავს, თუ რატომ ჰქვია ახალ კონცეფციას ტერმინი "დამოკიდებულება" (ან "დამოუკიდებლობა") და იძლევა ხაზოვანი დამოკიდებულების მარტივ კრიტერიუმს.

თეორემა 2.1.იმისათვის, რომ ვექტორები a 1, ..., და n, n > 1 იყოს წრფივად დამოკიდებული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ერთი მათგანი იყოს სხვების წრფივი კომბინაცია.

◄ აუცილებლობა. დავუშვათ, რომ a 1, ..., და n ვექტორები წრფივად არიან დამოკიდებული. წრფივი დამოკიდებულების 2.1 განმარტების მიხედვით, ტოლობაში (2.2) მარცხნივ არის მინიმუმ ერთი არანულოვანი კოეფიციენტი, მაგალითად α 1. პირველი ტერმინი ტოლობის მარცხენა მხარეს რომ დავტოვოთ, დანარჩენებს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, ჩვეულებისამებრ, ვცვლით მათ ნიშნებს. მიღებული ტოლობის α 1-ზე გაყოფით მივიღებთ

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

იმათ. ვექტორ a 1-ის წარმოდგენა, როგორც დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაცია a 2, ..., a n.

ადეკვატურობა. მაგალითად, პირველი ვექტორი a 1 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს დარჩენილი ვექტორების წრფივი კომბინაციად: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. ყველა ტერმინი მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ გადავიტანოთ, მივიღებთ 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, ე.ი. a 1, ..., a n ვექტორების წრფივი კომბინაცია α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, ტოლი ნულოვანი ვექტორი.ამ წრფივ კომბინაციაში ყველა კოეფიციენტი არ არის ნული. განმარტება 2.1-ის მიხედვით, a 1, ..., და n ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

წრფივი დამოკიდებულების განმარტება და კრიტერიუმი ჩამოყალიბებულია ორი ან მეტი ვექტორის არსებობაზე. თუმცა შეგვიძლია ვისაუბროთ ერთი ვექტორის წრფივ დამოკიდებულებაზეც. ამ შესაძლებლობის გასაცნობად, ნაცვლად იმისა, რომ „ვექტორები წრფივია დამოკიდებული“, თქვენ უნდა თქვათ „ვექტორების სისტემა წრფივია დამოკიდებული“. ადვილი მისახვედრია, რომ გამოთქმა „ერთი ვექტორის სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული“ ნიშნავს, რომ ეს ერთი ვექტორი არის ნული (წრფივ კომბინაციაში არის მხოლოდ ერთი კოეფიციენტი და ის არ უნდა იყოს ნულის ტოლი).

ხაზოვანი დამოკიდებულების კონცეფციას აქვს მარტივი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია. შემდეგი სამი განცხადება განმარტავს ამ ინტერპრეტაციას.

თეორემა 2.2.ორი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ კოლინარული.

◄ თუ a და b ვექტორები წრფივად არიან დამოკიდებული, მაშინ ერთი მათგანი, მაგალითად a, გამოიხატება მეორის მეშვეობით, ე.ი. a = λb ზოგიერთი რეალური რიცხვისთვის λ. განმარტების მიხედვით 1.7 მუშაობსვექტორები თითო რიცხვზე, ვექტორები a და b არის კოლინარული.

მოდით, ვექტორები a და b იყოს კოლინარული. თუ ორივე ნულის ტოლია, მაშინ აშკარაა, რომ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი, ვინაიდან მათი ნებისმიერი წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლია. ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთი არ იყოს 0-ის ტოლი, მაგალითად b ვექტორი. λ-ით აღვნიშნოთ ვექტორის სიგრძეების შეფარდება: λ = |a|/|b|. კოლინარული ვექტორები შეიძლება იყოს ცალმხრივიან საპირისპიროდ მიმართული. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში ვცვლით λ-ის ნიშანს. შემდეგ, 1.7 განმარტების შემოწმებით, ჩვენ დავრწმუნდით, რომ a = λb. თეორემა 2.1-ის მიხედვით, a და b ვექტორები წრფივად არიან დამოკიდებული.

შენიშვნა 2.1.ორი ვექტორის შემთხვევაში, წრფივი დამოკიდებულების კრიტერიუმის გათვალისწინებით, დადასტურებული თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ორი ვექტორი არის კოლინარული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი წარმოდგენილია მეორის ნამრავლად რიცხვით. ეს არის მოსახერხებელი კრიტერიუმი ორი ვექტორის კოლინარობისთვის.

თეორემა 2.3.სამი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ თანაპლენარული.

◄ თუ სამი ვექტორი a, b, c წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ, თეორემა 2.1-ის მიხედვით, ერთი მათგანი, მაგალითად a, არის სხვების წრფივი კომბინაცია: a = βb + γc. მოდით გავაერთიანოთ b და c ვექტორების საწყისები A წერტილში. მაშინ βb, γс ვექტორებს ექნებათ საერთო საწყისი წერტილი A წერტილში და გასწვრივ. პარალელოგრამის წესით მათი ჯამი არისიმათ. ვექტორი a იქნება ვექტორი საწყისი A და დასასრული, რომელიც კომპონენტ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის წვეროა. ამრიგად, ყველა ვექტორი დევს ერთ სიბრტყეში, ანუ თანაპლენარული.

მოდით ვექტორები a, b, c თანაპლანტარული იყოს. თუ ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთი არის ნული, მაშინ აშკარაა, რომ ეს იქნება სხვების წრფივი კომბინაცია. საკმარისია აიღოთ წრფივი კომბინაციის ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლი. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ სამივე ვექტორი არ არის ნული. თავსებადი დაიწყოამ ვექტორების საერთო წერტილში O. მათი ბოლოები იყოს A, B, C წერტილები, შესაბამისად (ნახ. 2.1). C წერტილის გავლით ვხატავთ ხაზებს პარალელურად ხაზების, რომლებიც გადიან წყვილებს O, A და O, B. + OB". ვექტორი OA" და არა ნულოვანი ვექტორი a = OA არის კოლინარული და, შესაბამისად, პირველი მათგანი შეიძლება მივიღოთ მეორის გამრავლებით რეალურ რიცხვზე α:OA" = αOA. ანალოგიურად, OB" = βOB, β ∈ R. შედეგად ვიღებთ, რომ OC" = α OA. + βOB, ანუ ვექტორი c არის a და b ვექტორების წრფივი კომბინაცია. თეორემა 2.1-ის მიხედვით, a, b, c ვექტორები წრფივია დამოკიდებული.

თეორემა 2.4.ნებისმიერი ოთხი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული.

◄ ჩვენ ვახორციელებთ მტკიცებულებას იმავე სქემის მიხედვით, როგორც თეორემა 2.3-ში. განვიხილოთ თვითნებური ოთხი ვექტორი a, b, c და d. თუ ოთხი ვექტორიდან ერთი არის ნულოვანი, ან მათ შორის არის ორი კოლინარული ვექტორი, ან ოთხი ვექტორიდან სამი თანაპლენარულია, მაშინ ეს ოთხი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული. მაგალითად, თუ a და b ვექტორები წრფივია, მაშინ მათი წრფივი კომბინაცია შეგვიძლია გავაკეთოთ αa + βb = 0 არანულოვანი კოეფიციენტებით, შემდეგ კი ამ კომბინაციას დავუმატოთ დარჩენილი ორი ვექტორი კოეფიციენტად ნულების აღებით. ვიღებთ 0-ის ტოლი ოთხი ვექტორის წრფივ კომბინაციას, რომელშიც არის არანულოვანი კოეფიციენტები.

ამრიგად, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ შერჩეულ ოთხ ვექტორს შორის არცერთი ვექტორი არ არის ნულოვანი, არც ერთი არ არის კოლინარული და არც სამი არ არის თანაპლენარული. მოდით ავირჩიოთ ისინი როგორც საერთო დასაწყისიწერტილი O. მაშინ a, b, c, d ვექტორების ბოლოები იქნება რამდენიმე წერტილი A, B, C, D (ნახ. 2.2). D წერტილის გავლით ვხატავთ სამ სიბრტყეს პარალელურად OBC, OCA, OAB სიბრტყეების პარალელურად და მოდით A", B", C" იყოს ამ სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილები შესაბამისად OA, OB, OS სწორ ხაზებთან. პარალელეპიპედი OA" C "B" C" B"DA", და ვექტორები a, b, c დევს მის კიდეებზე, რომლებიც გამოდიან O წვეროდან. ვინაიდან ოთხკუთხედი OC"DC" არის პარალელოგრამი, მაშინ OD = OC" + OC თავის მხრივ, სეგმენტი OC არის დიაგონალი OA"C"B", ამიტომ OC" = OA" + OB" და OD = OA" + OB" + OC" .

უნდა აღინიშნოს, რომ ვექტორების წყვილი OA ≠ 0 და OA" , OB ≠ 0 და OB" , OC ≠ 0 და OC" კოლინარულია და, მაშასადამე, შესაძლებელია α, β, γ კოეფიციენტების შერჩევა ისე, რომ OA" = αOA, OB" = βOB და OC" = γOC. საბოლოოდ მივიღებთ OD = αOA + βOB + γOC. შესაბამისად, OD ვექტორი გამოიხატება დანარჩენი სამი ვექტორის მეშვეობით და ოთხივე ვექტორი, თეორემა 2.1-ის მიხედვით, წრფივია დამოკიდებული.