ოპერაციები მატრიცებზე და მათ თვისებებზე.

მეორე და მესამე რიგის განმსაზღვრელი ცნება.დეტერმინანტების თვისებები და მათი გამოთვლა.

3. ზოგადი აღწერადავალებები.

4. დავალებების შესრულება.

5. დასკვნის მომზადება ლაბორატორიული მუშაობის შესახებ.

ლექსიკონი

ისწავლეთ შემდეგი განმარტებები ვადები:

განზომილებამატრიცა არის ორი რიცხვის ერთობლიობა, რომელიც შედგება მისი მწკრივების რაოდენობისა და n სვეტების რაოდენობისგან.

თუ m=n, მაშინ მატრიცა ეწოდება კვადრატირიგის მატრიცა n.

ოპერაციები მატრიცებზე: მატრიცის ტრანსპონირება, მატრიცის გამრავლება (გაყოფა) რიცხვზე, შეკრება და გამოკლება, მატრიცის გამრავლება მატრიცზე.

A მატრიციდან A m მატრიცაზე გადასვლა, რომლის რიგები არის სვეტები, ხოლო სვეტები A მატრიცის რიგები, ე.წ. ტრანსპოზიციამატრიცები A.

მაგალითი: A = , A t = .

რომ გავამრავლოთ მატრიცა რიცხვზე, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე.

მაგალითი: 2A= 2· = .

ჯამი (განსხვავება)ერთი და იგივე განზომილების A და B მატრიცას ეწოდება C=A B მატრიცა, რომლის ელემენტები ტოლია ij-ით = a ij b ijყველასთვის მედა ჯ.

მაგალითი: A = ; B = . A+B= = .

Სამუშაომატრიცა A m n მატრიცით B n k ეწოდება მატრიცა C m k , რომლის თითოეული ელემენტი c ij უდრის j-ე სვეტის შესაბამისი ელემენტის A მატრიცის i-ე რიგის ელემენტების ნამრავლების ჯამს. მატრიცის B:

c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .

იმისათვის, რომ შეძლოთ მატრიცის მატრიცზე გამრავლება, ისინი უნდა იყვნენ შეთანხმებულიგამრავლებისთვის, კერძოდ სვეტების რაოდენობაპირველ მატრიცაში უნდა იყოს ტოლი ხაზების რაოდენობამეორე მატრიცაში.

მაგალითი: A= და B=.

А·В — შეუძლებელია, რადგან ისინი არ არიან თანმიმდევრული.

VA=. = = .

მატრიცის გამრავლების ოპერაციის თვისებები.

1. თუ მატრიცა A-ს აქვს განზომილება m n,და მატრიცა B არის განზომილება ნ კ, მაშინ პროდუქტი A·B არსებობს.

პროდუქტი BA შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც m=k.

2. მატრიცული გამრავლება არ არის კომუტაციური, ე.ი. A·B ყოველთვის არ არის BA·A-ს ტოლი მაშინაც კი, თუ ორივე პროდუქტი განსაზღვრულია. თუმცა, თუ მიმართება А·В=В·А დაკმაყოფილებულია, მაშინ A და B მატრიცებს უწოდებენ. ცვალებადი.

მაგალითი. გამოთვალეთ.

მცირეწლოვანიელემენტი არის რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც მიიღება მე-6 სვეტის სტრიქონის წაშლით.

ალგებრული დანამატიელემენტს ეწოდება.

ლაპლასის გაფართოების თეორემა:

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამს მათი ალგებრული დანამატებით.

მაგალითი. გამოთვალეთ.

გამოსავალი. .

n-ე რიგის დეტერმინანტების თვისებები:

1) განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ რიგები და სვეტები შეიცვლება.

2) თუ განმსაზღვრელი შეიცავს მხოლოდ ნულების მწკრივს (სვეტს), მაშინ ის ნულის ტოლია.

3) ორი მწკრივის (სვეტის) გადაწყობისას განმსაზღვრელი ცვლის ნიშანს.

4) განმსაზღვრელი, რომელსაც აქვს ორი იდენტური მწკრივი (სვეტი) ნულის ტოლია.

5) ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

6) თუ გარკვეული მწკრივის (სვეტის) თითოეული ელემენტი არის ორი წევრის ჯამი, მაშინ განმსაზღვრელი უდრის ორი განმსაზღვრელთა ჯამს, რომელთაგან თითოეულში ყველა მწკრივი (სვეტი), გარდა აღნიშნულისა, იგივეა, რაც ამ განმსაზღვრელში, ხოლო აღნიშნულ მწკრივში ( სვეტი) პირველი განმსაზღვრელი შეიცავს პირველ ტერმინებს, მეორე - მეორეს.

7) თუ განმსაზღვრელში ორი მწკრივი (სვეტი) პროპორციულია, მაშინ ის ნულის ტოლია.

8) განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ სხვა რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტები დაემატება გარკვეული მწკრივის (სვეტის) ელემენტებს, გამრავლებულს იმავე რიცხვზე.

9) სამკუთხა და დიაგონალური მატრიცების განმსაზღვრელი ტოლია მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლის.

დეტერმინანტების გამოსათვლელად ნულების დაგროვების მეთოდი ეფუძნება დეტერმინანტების თვისებებს.

მაგალითი. გამოთვალეთ.

გამოსავალი. გამოვაკლოთ ორმაგი მესამედი პირველ რიგში, შემდეგ გამოიყენეთ გაფართოების თეორემა პირველ სვეტში.

~ .

საკონტროლო კითხვები(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

1. რას ჰქვია მეორე რიგის განმსაზღვრელი?

2. რა არის დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები?

3. რა არის ელემენტის მინორი?

4. რა ჰქვია განმსაზღვრელი ელემენტის ალგებრულ დანამატს?

5. როგორ გავაფართოვოთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი მწკრივის (სვეტის) ელემენტებად?

6. რა არის რიგის (ან სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამი, სხვა რიგის (ან სვეტის) შესაბამისი ელემენტების ალგებრული დანამატების განმსაზღვრელი?

7. როგორია სამკუთხედების წესი?

8. როგორ გამოითვლება უმაღლესი ორდერების დეტერმინანტები შეკვეთის შემცირების მეთოდით?

10. რომელ მატრიცას ეწოდება კვადრატი? ნული? რა არის მწკრივის მატრიცა, სვეტის მატრიცა?

11. რომელ მატრიცებს ეწოდება ტოლი?

12. მიეცით შეკრების, მატრიცების გამრავლების, მატრიცის რიცხვზე გამრავლების მოქმედებების განმარტებები.

13. რა პირობებს უნდა აკმაყოფილებდეს მატრიცების ზომები შეკრებისა და გამრავლების დროს?

14. რა თვისებები ახასიათებს ალგებრულ მოქმედებებს: კომუტატიულობა, ასოციაციურობა, განაწილება? რომელი მათგანი სრულდება მატრიცებისთვის შეკრებისა და გამრავლების დროს და რომელი არა?

15. რა არის შებრუნებული მატრიცა? რა მატრიცებისთვის არის განსაზღვრული?

16. ჩამოაყალიბეთ თეორემა არსებობასა და უნიკალურობაზე ინვერსიული მატრიცა.

17. ჩამოაყალიბეთ ლემა მატრიცების ნამრავლის ტრანსპოზიციაზე.

ზოგადი პრაქტიკული დავალებები(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

No1. იპოვეთ A და B მატრიცების ჯამი და სხვაობა :

ა)

ბ)

V)

No2. Მიყევი ამ ნაბიჯებს :

გ) Z= -11A+7B-4C+D

თუ

No3. Მიყევი ამ ნაბიჯებს :

V)

No4. კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლის ოთხი მეთოდის გამოყენებით იპოვეთ შემდეგი მატრიცების განმსაზღვრელი :

No5. იპოვნეთ n-ე რიგის განმსაზღვრელი, სვეტის (მწკრივის) ელემენტებზე დაყრდნობით :

ა) ბ)

No6. იპოვეთ მატრიცის განმსაზღვრელი დეტერმინანტების თვისებების გამოყენებით:

ა) ბ)

მოცემული ხელსაწყოების ნაკრებიდაგეხმარება ისწავლო როგორ შეასრულო ოპერაციები მატრიცებით: მატრიცების შეკრება (გამოკლება), მატრიცის ტრანსპოზიცია, მატრიცების გამრავლება, შებრუნებული მატრიცის პოვნა. ყველა მასალა წარმოდგენილია მარტივი და ხელმისაწვდომი ფორმით, მოყვანილია შესაბამისი მაგალითები, ასე რომ, მოუმზადებელ ადამიანსაც კი შეუძლია ისწავლოს მატრიცებით მოქმედებების შესრულება. თვითმონიტორინგისა და თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მატრიცის კალკულატორი უფასოდ >>>.

ვეცდები მინიმუმამდე დავიყვანო თეორიული გამოთვლები ზოგან შესაძლებელია ახსნა-განმარტებები „თითებზე“ და არამეცნიერული ტერმინების გამოყენება. მყარი თეორიის მოყვარულებო, გთხოვთ ნუ ჩაერთვებით კრიტიკაში, ჩვენი ამოცანაა ისწავლეთ მატრიცებით ოპერაციების შესრულება.

SUPER FAST მომზადებისთვის თემაზე (ვინ არის „ცეცხლი“) არის ინტენსიური pdf კურსი მატრიცა, განმსაზღვრელი და ტესტი!

მატრიცა ზოგიერთის მართკუთხა ცხრილია ელემენტები. როგორც ელემენტებიგანვიხილავთ რიცხვებს, ანუ რიცხვობრივ მატრიცებს. ელემენტიარის ტერმინი. მიზანშეწონილია დაიმახსოვროთ ტერმინი, ის ხშირად გამოჩნდება, შემთხვევითი არ არის, რომ ხაზგასმით გამოვიყენე თამამი შრიფტი.

Დანიშნულება:მატრიცები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ასოებით ლათინური ასოებით

მაგალითი:განვიხილოთ ორი-სამი მატრიცა:

ეს მატრიცა შედგება ექვსისგან ელემენტები:

მატრიცის შიგნით ყველა რიცხვი (ელემენტი) თავისთავად არსებობს, ანუ რაიმე გამოკლების საკითხი არ დგას:

ეს უბრალოდ რიცხვების ცხრილი (კომპლექტია)!

ჩვენც შევთანხმდებით არ გადააწყოთნომრები, თუ სხვაგვარად არ არის მითითებული განმარტებებში. თითოეულ ნომერს აქვს თავისი მდებარეობა და მისი არევა შეუძლებელია!

განსახილველ მატრიცას აქვს ორი სტრიქონი:

და სამი სვეტი:

სტანდარტი: როდესაც ვსაუბრობთ მატრიცის ზომებზე, მაშინ პირველადმიუთითეთ რიგების რაოდენობა და მხოლოდ ამის შემდეგ სვეტების რაოდენობა. ჩვენ ახლახან დავშალეთ მატრიცა ორ-სამზე.

თუ მატრიცის სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა იგივეა, მაშინ მატრიცა ე.წ. კვადრატი, Მაგალითად: - სამ-სამ მატრიცა.

თუ მატრიცას აქვს ერთი სვეტი ან ერთი მწკრივი, მაშინ ასეთ მატრიცებსაც უწოდებენ ვექტორები.

ფაქტობრივად, ჩვენ ვიცნობთ მატრიცის ცნებას სკოლიდან, მაგალითად, წერტილი „x“ და „y“: . არსებითად, წერტილის კოორდინატები იწერება ერთი-ორ მატრიცაში. სხვათა შორის, აქ არის მაგალითი იმისა, თუ რატომ აქვს მნიშვნელობა რიცხვების თანმიმდევრობას: და არის ორი სრულიად განსხვავებული წერტილი თვითმფრინავზე.

ახლა გადავიდეთ სწავლაზე ოპერაციები მატრიცებით:

1) იმოქმედეთ პირველი. მატრიციდან მინუსის ამოღება (მატრიცაში მინუსის შეყვანა).

დავუბრუნდეთ ჩვენს მატრიცას . როგორც ალბათ შენიშნეთ, ამ მატრიცაში ძალიან ბევრი უარყოფითი რიცხვია. ეს ძალიან მოუხერხებელია მატრიცით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულების თვალსაზრისით, მოუხერხებელია ამდენი მინუსის დაწერა და ის უბრალოდ მახინჯად გამოიყურება დიზაინში.

გადავიტანოთ მინუსი მატრიცის გარეთ მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ნულზე, როგორც გესმით, ნიშანი არ იცვლება აფრიკაშიც.

საპირისპირო მაგალითი: . მახინჯი ჩანს.

მოდით შევიტანოთ მინუსი მატრიცაში მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ისე, ბევრად უფრო ლამაზი აღმოჩნდა. და რაც მთავარია, მატრიცით ნებისმიერი მოქმედების შესრულება უფრო ადვილი იქნება. რადგან არსებობს ასეთი მათემატიკური ხალხური ნიშანი: რაც უფრო მეტი მინუსია, მით მეტია დაბნეულობა და შეცდომები.

2) მოქმედება მეორე. მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.

მაგალითი:

ეს მარტივია, იმისათვის, რომ მატრიცა გავამრავლოთ რიცხვზე, გჭირდებათ ყოველიმატრიცის ელემენტი გამრავლებული მოცემული ნომერი. IN ამ შემთხვევაში- სამისთვის.

სხვა სასარგებლო მაგალითი:

- მატრიცის გამრავლება წილადზე

ჯერ ვნახოთ რა უნდა გავაკეთოთ ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐ:

არ არის საჭირო მატრიცაში წილადის შეყვანა, ჯერ ერთი, ეს მხოლოდ ართულებს მატრიცის შემდგომ მოქმედებებს და მეორეც, ართულებს მასწავლებელს ამოხსნის შემოწმებას (განსაკუთრებით თუ; - დავალების საბოლოო პასუხი).

Და განსაკუთრებით, ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐგაყავით მატრიცის თითოეული ელემენტი მინუს შვიდზე:

სტატიიდან მათემატიკა დუიმებისთვის ან სად უნდა დაიწყოს, ჩვენ ეს გვახსოვს ათწილადებიუმაღლეს მათემატიკაში ისინი ყველანაირად ცდილობენ თავიდან აიცილონ ისინი.

ერთადერთი ის არის სასურველიარა უნდა გავაკეთოთ ამ მაგალითში არის მატრიცას მინუსის დამატება:

მაგრამ თუ მხოლოდ ყველამატრიცის ელემენტები იყოფა 7-ზე უკვალოდ, მაშინ შესაძლებელი იქნებოდა (და აუცილებელიც!) გაყოფა.

მაგალითი:

ამ შემთხვევაში შეგიძლიათ საჭიროაგავამრავლოთ მატრიცის ყველა ელემენტი -ზე, რადგან ყველა მატრიცის რიცხვი იყოფა 2-ზე უკვალოდ.

შენიშვნა: უმაღლესი მათემატიკის თეორიაში სკოლის კონცეფცია"განყოფილება" No. იმის ნაცვლად, რომ თქვათ "ეს გაყოფილი მასზე", ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "ეს გამრავლებული წილადზე". ანუ გაყოფა არის განსაკუთრებული შემთხვევაგამრავლება.

3) მოქმედება მესამე. მატრიცის ტრანსპოზირება.

მატრიცის გადასატანად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ მისი რიგები ტრანსპონირებული მატრიცის სვეტებში.

მაგალითი:

მატრიცას ტრანსპოზირება

აქ არის მხოლოდ ერთი სტრიქონი და, წესის მიხედვით, ის უნდა ჩაიწეროს სვეტში:

- ტრანსპონირებული მატრიცა.

ტრანსპონირებული მატრიცა, როგორც წესი, მითითებულია ზემოწერით ან მარტივი ასოებით ზედა მარჯვნივ.

ნაბიჯ ნაბიჯ მაგალითი:

მატრიცას ტრანსპოზირება

პირველ რიგში, პირველ სტრიქონს პირველ სვეტში ვწერთ:

შემდეგ ჩვენ მეორე სტრიქონს მეორე სვეტში ვწერთ:

და ბოლოს, ჩვენ გადავიწერთ მესამე რიგს მესამე სვეტში:

მზადაა. უხეშად რომ ვთქვათ, ტრანსპოზირება ნიშნავს მატრიცის თავის მხარეს მოქცევას.

4) მოქმედება მეოთხე. მატრიცების ჯამი (განსხვავება)..

მატრიცების ჯამი მარტივი ოპერაციაა.
ყველა მატრიცის დაკეცვა არ შეიძლება. მატრიცების შეკრების (გამოკლების) შესასრულებლად აუცილებელია, რომ ისინი იყოს იგივე ზომის.

მაგალითად, თუ მოცემულია ორი-ორ მატრიცა, მაშინ მისი დამატება შესაძლებელია მხოლოდ ორი-ორ მატრიცით და არა სხვა!

მაგალითი:

დაამატეთ მატრიცები და

მატრიცების დასამატებლად საჭიროა მათი შესაბამისი ელემენტების დამატება:

მატრიცების განსხვავებისთვის წესი მსგავსია, აუცილებელია შესაბამისი ელემენტების სხვაობის პოვნა.

მაგალითი:

იპოვნეთ მატრიცის განსხვავება ,

როგორ გადაჭრით ეს მაგალითი უფრო მარტივად, რომ არ დაიბნეთ? ამისათვის მიზანშეწონილია მოიცილოთ ზედმეტი მინუსები, დაამატეთ მინუსი მატრიცაში:

შენიშვნა: უმაღლესი სკოლის მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს ცნება „გამოკლება“. იმის ნაცვლად, რომ თქვათ „გამოაკლეთ ამას“, ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ „დაამატე ეს ამას“. უარყოფითი რიცხვი" ანუ გამოკლება შეკრების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

5) მოქმედება მეხუთე. მატრიცული გამრავლება.

რა მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს?

იმისათვის, რომ მატრიცა გამრავლდეს მატრიცზე, აუცილებელია ისე, რომ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მატრიცის რიგების რაოდენობას.

მაგალითი:
შესაძლებელია თუ არა მატრიცის მატრიცზე გამრავლება?

ეს ნიშნავს, რომ მატრიცის მონაცემები შეიძლება გამრავლდეს.

მაგრამ თუ მატრიცები გადანაწილებულია, მაშინ, ამ შემთხვევაში, გამრავლება აღარ არის შესაძლებელი!

ამიტომ გამრავლება შეუძლებელია:

არც ისე იშვიათია ტრიუკით ამოცანების შეხვედრები, როცა მოსწავლეს სთხოვენ მატრიცების გამრავლებას, რომელთა გამრავლება აშკარად შეუძლებელია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მატრიცების გამრავლება ორივე გზით.
მაგალითად, მატრიცებისთვის და შესაძლებელია გამრავლებაც და გამრავლებაც

გაითვალისწინეთ, რომ მატრიცის ელემენტები შეიძლება იყოს არა მხოლოდ რიცხვები. წარმოვიდგინოთ, რომ თქვენ აღწერთ წიგნებს, რომლებიც თქვენს თაროზეა. დაე, თქვენი თარო წესრიგში იყოს და ყველა წიგნი იყოს მკაცრად განსაზღვრულ ადგილებში. ცხრილი, რომელიც შეიცავს თქვენი ბიბლიოთეკის აღწერას (თაროების მიხედვით და თაროზე არსებული წიგნების თანმიმდევრობით), ასევე იქნება მატრიცა. მაგრამ ასეთი მატრიცა არ იქნება რიცხვითი. Სხვა მაგალითი. რიცხვების ნაცვლად არის სხვადასხვა ფუნქციები, გაერთიანებულია გარკვეული დამოკიდებულებით. მიღებულ ცხრილს ასევე დაერქმევა მატრიცა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მატრიცა არის ნებისმიერი მართკუთხა მაგიდა, რომელიც შედგება ერთგვაროვანიელემენტები. აქ და შემდგომ ვისაუბრებთ რიცხვებისგან შედგენილ მატრიცებზე.

მატრიცების ჩასაწერად ფრჩხილების ნაცვლად გამოიყენება კვადრატული ფრჩხილები ან სწორი ორმაგი ვერტიკალური ხაზები

(2.1*)

განმარტება 2. თუ გამონათქვამში(1) m = n, შემდეგ ისინი საუბრობენ კვადრატული მატრიცა, და თუ , მაშინ ოჰ მართკუთხა.

m და n-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, განასხვავებენ მატრიცების რამდენიმე სპეციალურ ტიპს:

ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი კვადრატიმატრიცა არის ის განმსაზღვრელიან განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება მატრიცის ელემენტებისაგან და აღინიშნება

ცხადია, D E =1; .

განმარტება 3. თუ , შემდეგ მატრიცაა დაურეკა არადეგენერატი ან არა განსაკუთრებული.

განმარტება 4. თუ detA = 0, შემდეგ მატრიცაა დაურეკა დეგენერატი ან განსაკუთრებული.

განმარტება 5. ორი მატრიცაა დაბ უწოდებენ თანაბარი და დაწერე A = B თუ მათ აქვთ იგივე ზომები და მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია, ე.ი..

მაგალითად, მატრიცები და ტოლია, რადგან ისინი ტოლია ზომით და ერთი მატრიცის თითოეული ელემენტი უდრის მეორე მატრიცის შესაბამის ელემენტს. მაგრამ მატრიცებს არ შეიძლება ეწოდოს თანაბარი, თუმცა ორივე მატრიცის განმსაზღვრელი ტოლია, ხოლო მატრიცების ზომები ერთი და იგივეა, მაგრამ ერთსა და იმავე ადგილებში მდებარე ყველა ელემენტი არ არის ტოლი. მატრიცები განსხვავებულია, რადგან მათ აქვთ სხვადასხვა ზომის. პირველი მატრიცა არის 2x3 ზომის, ხოლო მეორე არის 3x2. მიუხედავად იმისა, რომ ელემენტების რაოდენობა იგივეა - 6 და თავად ელემენტები იგივეა 1, 2, 3, 4, 5, 6, მაგრამ ისინი თითოეულ მატრიცაში სხვადასხვა ადგილას არიან. მაგრამ მატრიცები ტოლია, განმარტებით 5.

განმარტება 6. თუ დააფიქსირებთ მატრიცის სვეტების გარკვეულ რაოდენობასა და იგივე რაოდენობის რიგები, შემდეგ ელემენტები მითითებული სვეტების და რიგების გადაკვეთაზე ქმნიან კვადრატულ მატრიცას n- რიგითი, რომლის განმსაზღვრელი დაურეკა მცირეწლოვანიკ – რიგის მატრიცაა.

მაგალითი. ჩაწერეთ მატრიცის სამი მეორე რიგის უმცროსი

>> მატრიცები

4.1.მატრიცები. ოპერაციები მატრიცებზე

mxn ზომის მართკუთხა მატრიცა არის mxn რიცხვების კოლექცია, რომელიც განლაგებულია მართკუთხა ცხრილის სახით, რომელიც შეიცავს m სტრიქონს და n სვეტს. ჩავწერთ ფორმაში

ან შემოკლებით A = (a i j) (i = ; j = ), a i j რიცხვებს უწოდებენ მის ელემენტებს; პირველი ინდექსი მიუთითებს მწკრივის ნომერზე, მეორე - სვეტის ნომერზე. ერთნაირი ზომის A = (a i j) და B = (b i j) ტოლი ეწოდება, თუ მათი ერთსა და იმავე ადგილას მდგომი ელემენტები წყვილი ტოლია, ანუ A = B თუ a i j = b i j.

მატრიცას, რომელიც შედგება ერთი მწკრივისაგან ან ერთი სვეტისგან, შესაბამისად, მწკრივის ვექტორს ან სვეტის ვექტორს უწოდებენ. სვეტის ვექტორებს და მწკრივების ვექტორებს უბრალოდ ვექტორებს უწოდებენ.

ამ რიცხვთან იდენტიფიცირებულია ერთი რიცხვისაგან შემდგარი მატრიცა. mxn ზომის A, რომლის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ეწოდება ნული და აღინიშნება 0-ით. ელემენტებს ერთი და იგივე ინდექსის მქონე ელემენტებს უწოდებენ მთავარი დიაგონალის ელემენტებს. თუ მწკრივების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას, ანუ m = n, მაშინ მატრიცას ეწოდება n-ის რიგის კვადრატული მატრიცა. კვადრატულ მატრიცებს, რომლებშიც მხოლოდ მთავარი დიაგონალის ელემენტები არ არის ნულოვანი, ეწოდება დიაგონალი და იწერება შემდეგნაირად:

.

თუ დიაგონალის a i i ყველა ელემენტი 1-ის ტოლია, მას ეწოდება ერთეული და აღინიშნება ასო E-ით:

.

კვადრატულ მატრიცას სამკუთხა ეწოდება, თუ ძირითადი დიაგონალის ზემოთ (ან ქვემოთ) ყველა ელემენტი ნულის ტოლია. ტრანსპოზიცია არის ტრანსფორმაცია, რომელშიც რიგები და სვეტები იცვლება მათი რიცხვების შენარჩუნებით. ტრანსპოზიცია აღინიშნება T-ით ზევით.

თუ (4.1) სტრიქონებსა და სვეტებს გადავაწყობთ, მივიღებთ

,

რომელიც გადაინაცვლებს A-სთან მიმართებაში კერძოდ, სვეტის ვექტორის გადატანისას მიიღება მწკრივის ვექტორი და პირიქით.

A და b რიცხვის ნამრავლი არის მატრიცა, რომლის ელემენტები მიიღება A-ს შესაბამისი ელემენტებიდან b რიცხვზე გამრავლებით: b A = (b a i j).

ერთნაირი ზომის A = (a i j) და B = (b i j) ჯამს ეწოდება იგივე ზომის C = (c i j), რომლის ელემენტები განისაზღვრება ფორმულით c i j = a i j + b i j.

ნამრავლი AB განისაზღვრება იმ ვარაუდით, რომ A-ს სვეტების რაოდენობა უდრის B-ის მწკრივების რაოდენობას.

ნამრავლს AB, სადაც A = (a i j) და B = (b j k), სადაც i = , j= , k= , მოცემული გარკვეული თანმიმდევრობით AB, ეწოდება C = (c i k), რომლის ელემენტები განისაზღვრება შემდეგი წესი:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროდუქტის AB ელემენტი განისაზღვრება შემდეგნაირად: ელემენტი მე-ე ხაზიხოლო k-ე სვეტი C უდრის ნამრავლების ჯამს ი-ის ელემენტები A სტრიქონები k-ე სვეტის B შესაბამის ელემენტებთან.

მაგალითი 2.1. იპოვეთ AB-ის და .

გამოსავალი. გვაქვს: A ზომით 2x3, B ზომით 3x3, მაშინ ნამრავლი AB = C არსებობს და C-ის ელემენტები ტოლია.

11-დან = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, 21-დან = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, 12-დან = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

და პროდუქტი BA არ არსებობს.

მაგალითი 2.2. ცხრილში მოცემულია 1 და 2 რძის ქარხნებიდან M 1, M 2 და M 3 მაღაზიებში ყოველდღიურად მიწოდებული პროდუქციის რაოდენობა, ხოლო პროდუქტის ერთეულის მიწოდება თითოეული რძის ქარხნიდან M 1 მაღაზიაში ღირს 50 დენ. ერთეული, M 2 მაღაზიამდე - 70, ხოლო M 3-მდე - 130 დენ. ერთეულები გამოთვალეთ თითოეული მცენარის ყოველდღიური ტრანსპორტირების ხარჯები.

რძის მცენარე

გამოსავალი. მოდი A-ით ავღნიშნოთ პირობით მოცემული მატრიცა და მიერ
B - მატრიცა, რომელიც ახასიათებს პროდუქტის ერთეულის მაღაზიებში მიტანის ღირებულებას, ე.ი.

,

შემდეგ ტრანსპორტირების ხარჯების მატრიცა ასე გამოიყურება:

.

ასე რომ, პირველი ქარხანა ტრანსპორტირებაზე ყოველდღიურად ხარჯავს 4750 დენიერს. ერთეული, მეორე - 3680 ფულადი ერთეული.

მაგალითი 2.3. სამკერვალო კომპანია აწარმოებს ზამთრის პალტოებს, დემი-სეზონის პალტოებს და საწვიმარ ქურთუკებს. ათწლეულის განმავლობაში დაგეგმილი გამოსავალი ხასიათდება ვექტორით X = (10, 15, 23). გამოიყენება ოთხი სახის ქსოვილი: T 1, T 2, T 3, T 4. ცხრილში მოცემულია ქსოვილის მოხმარების მაჩვენებლები (მეტრებში) თითოეული პროდუქტისთვის. ვექტორი C = (40, 35, 24, 16) განსაზღვრავს თითოეული ტიპის ქსოვილის მეტრის ღირებულებას, ხოლო ვექტორი P = (5, 3, 2, 2) განსაზღვრავს თითოეული ტიპის ქსოვილის მეტრის ტრანსპორტირების ღირებულებას.

	ქსოვილის მოხმარება
Ზამთრის ქურთუკი
ნახევრად სეზონური ქურთუკი

1. რამდენი მეტრი თითოეული ტიპის ქსოვილი იქნება საჭირო გეგმის შესასრულებლად?

2. იპოვეთ ქსოვილის ღირებულება, რომელიც დაიხარჯა თითოეული ტიპის პროდუქტის კერვაზე.

3. განსაზღვრეთ გეგმის შესასრულებლად საჭირო ყველა ქსოვილის ღირებულება.

გამოსავალი. A-ით ავღნიშნოთ ჩვენთვის მოცემული მატრიცა იმ პირობით, ე.ი.

,

შემდეგ გეგმის შესასრულებლად საჭირო ქსოვილის მეტრის რაოდენობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ვექტორი X მატრიცით A:

ჩვენ ვპოულობთ ქსოვილის ღირებულებას, რომელიც დახარჯულია თითოეული ტიპის სამკერვალო პროდუქტზე A მატრიცის და ვექტორის C T გამრავლებით:

.

გეგმის შესასრულებლად საჭირო ყველა ქსოვილის ღირებულება განისაზღვრება ფორმულით:

საბოლოოდ, ტრანსპორტირების ხარჯების გათვალისწინებით, მთლიანი თანხა იქნება ქსოვილის ღირებულების ტოლი, ანუ 9472 დენ. ერთეული, პლუს ღირებულება

X A P T =
.

ასე რომ, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (ფულის ერთეული).

ამ თემაში განვიხილავთ მატრიცის ცნებას, ასევე მატრიცების ტიპებს. რადგან ამ თემაში ბევრი ტერმინია დავამატებ შემაჯამებელირათა გაადვილდეს მასალაზე ნავიგაცია.

მატრიცის და მისი ელემენტის განმარტება. აღნიშვნა.

მატრიცაარის ცხრილი $m$ რიგებისა და $n$ სვეტებისგან. მატრიცის ელემენტები შეიძლება იყოს სრულიად განსხვავებული ხასიათის ობიექტები: რიცხვები, ცვლადები ან, მაგალითად, სხვა მატრიცები. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(მასივი) \right)$ მატრიცა შეიცავს 3 რიგს და 2 სვეტს; მისი ელემენტები მთელი რიცხვებია. მატრიცა $\left(\begin(მასივი) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(მასივი) \მარჯვნივ)$ შეიცავს 2 რიგს და 4 სვეტს.

მატრიცების დაწერის სხვადასხვა ხერხი: ჩვენება/დამალვა

მატრიცა შეიძლება დაიწეროს არა მხოლოდ მრგვალი, არამედ კვადრატული ან ორმაგი სწორი ფრჩხილებით. ანუ, ქვემოთ მოცემული ჩანაწერები ნიშნავს იგივე მატრიცას:

$$ \left(\begin(მასივი) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ);\;\; \left[ \begin(მაივი) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ]; \;\; \ მარცხენა \ Vert \ დასაწყისი (მასივი) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (მასივი) \მარჯვნივ \ Vert $$

პროდუქტს $m\ჯერ n$ ეწოდება მატრიცის ზომა. მაგალითად, თუ მატრიცა შეიცავს 5 სტრიქონს და 3 სვეტს, მაშინ ჩვენ ვსაუბრობთ $5\ჯერ 3$ ზომის მატრიცაზე. მატრიცას $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(მასივი)\right)$ აქვს ზომა $3 \ჯერ 2$.

როგორც წესი, მატრიცები აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით: $A$, $B$, $C$ და ა.შ. მაგალითად, $B=\left(\begin(მასივი) (cccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$. ხაზების ნუმერაცია მიდის ზემოდან ქვემოდან; სვეტები - მარცხნიდან მარჯვნივ. მაგალითად, $B$ მატრიცის პირველი მწკრივი შეიცავს ელემენტებს 5 და 3, ხოლო მეორე სვეტი შეიცავს ელემენტებს 3, -87, 0.

მატრიცების ელემენტები ჩვეულებრივ აღინიშნება პატარა ასოებით. მაგალითად, $A$ მატრიცის ელემენტები აღინიშნება $a_(ij)$-ით. ორმაგი ინდექსი $ij$ შეიცავს ინფორმაციას მატრიცაში ელემენტის პოზიციის შესახებ. რიცხვი $i$ არის მწკრივის ნომერი, ხოლო რიცხვი $j$ არის სვეტის ნომერი, რომლის გადაკვეთაზე არის ელემენტი $a_(ij)$. მაგალითად, მატრიცის მეორე რიგისა და მეხუთე სვეტის გადაკვეთაზე $A=\left(\begin(მასივი) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ ელემენტი $a_(25)=59$:

ანალოგიურად, პირველი მწკრივისა და პირველი სვეტის გადაკვეთაზე გვაქვს ელემენტი $a_(11)=51$; მესამე რიგისა და მეორე სვეტის გადაკვეთაზე - ელემენტი $a_(32)=-15$ და ა.შ. გაითვალისწინეთ, რომ ჩანაწერში $a_(32)$ იკითხება "სამი ორი", მაგრამ არა "ოცდათორმეტი".

$A$ მატრიცის შემოკლებისთვის, რომლის ზომაა $m\ჯერ n$, გამოიყენება აღნიშვნა $A_(m\ჯერ n)$. შეგიძლიათ დაწეროთ ცოტა უფრო დეტალურად:

$$ A_(m\ჯერ n)=(a_(ij)) $$

სადაც აღნიშვნა $(a_(ij))$ აღნიშნავს $A$ მატრიცის ელემენტებს. მისი სრულად გაფართოებული ფორმით, მატრიცა $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ A_(m\ჯერ n)=\მარცხნივ(\ დასაწყისი(მასივი)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end (მასივი) \მარჯვნივ) $$

შემოვიღოთ კიდევ ერთი ტერმინი - თანაბარი მატრიცები.

ორი იგივე ზომის $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ და $B_(m\ჯერ n)=(b_(ij))$ ეწოდება თანაბარი, თუ მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია, ე.ი. $a_(ij)=b_(ij)$ ყველა $i=\overline(1,m)$ და $j=\overline(1,n)$.

$i=\overline(1,m)$ ჩანაწერის ახსნა: show\hide

აღნიშვნა "$i=\overline(1,m)$" ნიშნავს, რომ პარამეტრი $i$ მერყეობს 1-დან m-მდე. მაგალითად, აღნიშვნა $i=\overline(1,5)$ მიუთითებს, რომ პარამეტრი $i$ იღებს მნიშვნელობებს 1, 2, 3, 4, 5.

ასე რომ, იმისთვის, რომ მატრიცები იყოს თანაბარი, უნდა დაკმაყოფილდეს ორი პირობა: ზომის დამთხვევა და შესაბამისი ელემენტების ტოლობა. მაგალითად, მატრიცა $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(მაივი)\right)$ არ არის მატრიცის ტოლი $B=\left(\ დასაწყისი(მასივი)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(მაივი)\right)$ რადგან $A$ მატრიცას აქვს ზომა $3\ჯერ 2$ და მატრიცა $B$ აქვს ზომა $2\ჯერ $2. ასევე, $A$ მატრიცა არ უდრის მატრიცას $C=\left(\begin(მასივი)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(მასივი)\right)$ , ვინაიდან $a_( 21)\neq c_(21)$ (ანუ $0\neq 98$). მაგრამ $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(მაივი)\right)$ მატრიცისთვის შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავწეროთ $A= F$ რადგან $A$ და $F$ მატრიცების ზომები და შესაბამისი ელემენტები ემთხვევა ერთმანეთს.

მაგალითი No1

განსაზღვრეთ მატრიცის ზომა $A=\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ)$. მიუთითეთ რის ტოლია ელემენტები $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

ეს მატრიცა შეიცავს 5 მწკრივს და 3 სვეტს, ამიტომ მისი ზომა არის $5\ჯერ 3$. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ აღნიშვნა $A_(5\ჯერ 3)$ ამ მატრიცისთვის.

ელემენტი $a_(12)$ არის პირველი მწკრივისა და მეორე სვეტის გადაკვეთაზე, ამიტომ $a_(12)=-2$. ელემენტი $a_(33)$ არის მესამე მწკრივისა და მესამე სვეტის კვეთაზე, ამიტომ $a_(33)=23$. ელემენტი $a_(43)$ არის მეოთხე მწკრივისა და მესამე სვეტის გადაკვეთაზე, ამიტომ $a_(43)=-5$.

უპასუხე: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

მატრიცების ტიპები მათი ზომის მიხედვით. ძირითადი და მეორადი დიაგონალები. მატრიცული კვალი.

მიეცით გარკვეული მატრიცა $A_(m\ჯერ n)$. თუ $m=1$ (მატრიცა შედგება ერთი მწკრივისაგან), მაშინ მოცემული მატრიცა ე.წ. მატრიცა-სტრიქონი. თუ $n=1$ (მატრიცა შედგება ერთი სვეტისგან), მაშინ ასეთი მატრიცა ეწოდება მატრიცა-სვეტი. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(მასივი) \right)$ არის მწკრივის მატრიცა, ხოლო $\left(\begin(მაივი ) (გ) -1 \\ 5 \\ 6 \end(მასივი) \right)$ არის სვეტის მატრიცა.

თუ $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცა აკმაყოფილებს $m\neq n$ პირობას (ანუ მწკრივების რაოდენობა არ უდრის სვეტების რაოდენობას), მაშინ ხშირად ამბობენ, რომ $A$ არის მართკუთხა. მატრიცა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ მატრიცას აქვს ზომა $2\ჯერ 4. $, ეს. შეიცავს 2 რიგს და 4 სვეტს. ვინაიდან მწკრივების რაოდენობა არ არის სვეტების რაოდენობის ტოლი, ეს მატრიცა მართკუთხაა.

თუ $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცა აკმაყოფილებს $m=n$ პირობას (ანუ, სტრიქონების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას), მაშინ $A$ ამბობენ, რომ არის $-ის რიგის კვადრატული მატრიცა. n$. მაგალითად, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ არის მეორე რიგის კვადრატული მატრიცა; $\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ არის მესამე რიგის კვადრატული მატრიცა. IN ზოგადი ხედიკვადრატული მატრიცა $A_(n\ჯერ n)$ შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ A_(n\ჯერ n)=\მარცხნივ(\ დასაწყისი(მასივი)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end (მასივი) \მარჯვნივ) $$

ელემენტები $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ნათქვამია, რომ ჩართულია მთავარი დიაგონალიმატრიცები $A_(n\ჯერ n)$. ამ ელემენტებს ე.წ ძირითადი დიაგონალური ელემენტები(ან უბრალოდ დიაგონალური ელემენტები). ელემენტები $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ჩართულია გვერდითი (მცირე) დიაგონალი; მათ ეძახიან გვერდითი დიაგონალური ელემენტები. მაგალითად, მატრიცისთვის $C=\left(\begin(მასივი)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1&0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( მასივი) \right)$ გვაქვს:

ელემენტები $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ძირითადი დიაგონალური ელემენტებია; ელემენტები $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ არის გვერდითი დიაგონალური ელემენტები.

ძირითადი დიაგონალური ელემენტების ჯამი ეწოდება მოჰყვება მატრიცადა აღინიშნება $\Tr A$ (ან $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

მაგალითად, $C=\left(\begin(მაივი) (cccc) მატრიცისთვის 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(მასივი)\right)$ გვაქვს:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

დიაგონალური ელემენტების კონცეფცია ასევე გამოიყენება არაკვადრატული მატრიცებისთვის. მაგალითად, $B=\left(\begin(მასივი) (ccccc) მატრიცისთვის 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(მასივი) \right)$ მთავარი დიაგონალური ელემენტები იქნება $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

მატრიცების ტიპები დამოკიდებულია მათი ელემენტების მნიშვნელობებზე.

თუ $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი მატრიცა ე.წ. nullდა ჩვეულებრივ აღინიშნება ასო $O$-ით. მაგალითად, $\left(\begin(მაივი) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$, $\left(\begin(მაივი) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ - ნულოვანი მატრიცები.

დაე, მატრიცას $A_(m\ჯერ n)$ ჰქონდეს შემდეგი ფორმა:

შემდეგ ამ მატრიცას ეძახიან ტრაპეციული. ის შეიძლება არ შეიცავდეს ნულოვან რიგებს, მაგრამ თუ ისინი არსებობენ, ისინი განლაგებულია მატრიცის ბოლოში. უფრო ზოგადი ფორმით, ტრაპეციული მატრიცა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ისევ და ისევ, ნულოვანი ხაზების უკან დახევა არ არის საჭირო. იმათ. ფორმალურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი პირობები ტრაპეციული მატრიცისთვის:

1. ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი ნულია.
2. ყველა ელემენტი $a_(11)$-დან $a_(rr)$-მდე, რომლებიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე, არ არის ნულის ტოლი: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. ან ბოლო $m-r$ მწკრივის ყველა ელემენტი არის ნული, ან $m=r$ (ანუ საერთოდ არ არის ნულოვანი რიგები).

ტრაპეციული მატრიცების მაგალითები:

მოდით გადავიდეთ შემდეგ განმარტებაზე. $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცას ეწოდება გადააბიჯათუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:

მაგალითად, საფეხურების მატრიცები იქნება:

შედარებისთვის, მატრიცა $\left(\begin(მასივი) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ არ არის ეშელონი, რადგან მესამე სტრიქონს აქვს იგივე ნულოვანი ნაწილი, რაც მეორე მწკრივს. ანუ ირღვევა პრინციპი „რაც უფრო დაბალია ხაზი, მით უფრო დიდია ნულოვანი ნაწილი“. დავამატებ, რომ ტრაპეციული მატრიცა არის საფეხურიანი მატრიცის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოდით გადავიდეთ შემდეგ განმარტებაზე. თუ ძირითადი დიაგონალის ქვეშ მდებარე კვადრატული მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი მატრიცა ე.წ. ზედა სამკუთხა მატრიცა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(მასივი) \right)$ არის ზედა სამკუთხა მატრიცა. გაითვალისწინეთ, რომ ზედა სამკუთხა მატრიცის განმარტება არაფერს ამბობს ძირითადი დიაგონალის ზემოთ ან მთავარ დიაგონალზე მდებარე ელემენტების მნიშვნელობებზე. ისინი შეიძლება იყოს ნულოვანი თუ არა - არ აქვს მნიშვნელობა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ ასევე არის ზედა სამკუთხა მატრიცა.

თუ მთავარი დიაგონალის ზემოთ მდებარე კვადრატული მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი მატრიცა ე.წ. ქვედა სამკუთხა მატრიცა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ ბოლოს (მასივი) \right)$ - ქვედა სამკუთხა მატრიცა. გაითვალისწინეთ, რომ ქვედა სამკუთხა მატრიცის განმარტება არაფერს ამბობს ძირითადი დიაგონალის ქვეშ ან მის ქვეშ მდებარე ელემენტების მნიშვნელობებზე. ისინი შეიძლება იყოს ნულოვანი თუ არა - არ აქვს მნიშვნელობა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ და $\left(\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ ასევე ქვედა სამკუთხა მატრიცებია.

კვადრატული მატრიცა ეწოდება დიაგონალითუ ამ მატრიცის ყველა ელემენტი, რომელიც არ დევს მთავარ დიაგონალზე, ნულის ტოლია. მაგალითი: $\left(\begin(მასივი) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ)$. მთავარ დიაგონალზე ელემენტები შეიძლება იყოს ნებისმიერი ( ნულის ტოლითუ არა) არამატერიალურია.

დიაგონალური მატრიცა ეწოდება მარტოხელა, თუ ამ მატრიცის ყველა ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე, უდრის 1-ს. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(მასივი)\right)$ - მეოთხე რიგის იდენტურობის მატრიცა; $\left(\begin(მასივი) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(მასივი)\right)$ არის მეორე რიგის იდენტურობის მატრიცა.