ინგლისური:ვიკიპედია საიტს უფრო უსაფრთხოს ხდის. თქვენ იყენებთ ძველ ვებ ბრაუზერს, რომელიც მომავალში ვერ დაუკავშირდება ვიკიპედიას. გთხოვთ, განაახლოთ თქვენი მოწყობილობა ან დაუკავშირდეთ თქვენს IT ადმინისტრატორს.

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.

Ესპანური:ვიკიპედია ეს არის ის ადგილი, სადაც ის არის. გამოყენებულია ის, რომ ის გამოიყენებს და ნავიგაციას ვებ-გვერდზე, რომელიც არ არის ვიკიპედიის დამოუკიდებლად დაკავშირება. Actualice su dispositivo o დაუკავშირდით ადმინისტრატორს ინფორმაციას. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

ფრანგული:ვიკიპედია bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipedia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. დამატებითი ინფორმაცია და ტექნიკები და ინგლისური ხელმისაწვდომია.

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。

გერმანული: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator ან. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

იტალიური: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. დარჩით ბრაუზერის ვებ-გვერდზე და არ შეინახოთ ვიკიპედია მომავალში. ფავორიტი, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo aministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico innglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

სვენსკა:ვიკიპედია გორ სიდან mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i Framtiden. განახლებულია IT-ადმინისტრატორის კონტაქტი. Det finns en längre och mer Teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

ჩვენ ვხსნით TLS პროტოკოლის დაუცველი ვერსიების მხარდაჭერას, კონკრეტულად TLSv1.0 და TLSv1.1, რომლებსაც თქვენი ბრაუზერის პროგრამული უზრუნველყოფა ეყრდნობა ჩვენს საიტებთან დასაკავშირებლად. ეს ჩვეულებრივ გამოწვეულია მოძველებული ბრაუზერების ან ძველი Android სმარტფონებით. ან ეს შეიძლება იყოს კორპორატიული ან პირადი "ვებ უსაფრთხოების" პროგრამული უზრუნველყოფის ჩარევა, რომელიც რეალურად ამცირებს კავშირის უსაფრთხოებას.

თქვენ უნდა განაახლოთ თქვენი ბრაუზერი ან სხვაგვარად მოაგვაროთ ეს პრობლემა ჩვენს საიტებზე წვდომისთვის. ეს შეტყობინება დარჩება 2020 წლის 1 იანვრამდე. ამ თარიღის შემდეგ თქვენი ბრაუზერი ვერ შეძლებს ჩვენს სერვერებთან კავშირის დამყარებას.

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ოპერაციას ვექტორებით: ვექტორების ვექტორული ნამრავლიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი (დაუყოვნებელი ბმული მათთვის, ვისაც ეს სჭირდება). არა უშავს, ზოგჯერ ისეც ხდება, რომ სრული ბედნიერებისთვის, გარდა ამისა ვექტორების სკალარული პროდუქტი, უფრო და უფრო მეტია საჭირო. ეს არის ვექტორული დამოკიდებულება. შეიძლება ჩანდეს, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის ჯუნგლებში შევდივართ. ეს არასწორია. უმაღლესი მათემატიკის ამ განყოფილებაში ზოგადად ცოტა ხეა, გარდა შესაძლოა საკმარისი პინოქიოს. სინამდვილეში, მასალა ძალიან გავრცელებული და მარტივია - ძნელად უფრო რთული, ვიდრე იგივე სკალარული პროდუქტი, კიდევ უფრო ნაკლები ტიპიური ამოცანები იქნება. ანალიტიკურ გეომეტრიაში მთავარი, როგორც ბევრი დარწმუნდება ან უკვე დარწმუნდა, არის არ დაუშვათ შეცდომები გამოთვლებში. გაიმეორეთ როგორც შელოცვა და ბედნიერი იქნებით =)

თუ ვექტორები სადღაც შორს ანათებენ, როგორც ელვა ჰორიზონტზე, არ აქვს მნიშვნელობა, დაიწყე გაკვეთილი ვექტორები დუიმებისთვისვექტორების შესახებ საბაზისო ცოდნის აღდგენა ან ხელახლა მიღება. უფრო მომზადებულ მკითხველებს შეუძლიათ შერჩევითად გაეცნონ ინფორმაციას. შევეცადე შემეგროვებინა მაგალითების ყველაზე სრულყოფილი კოლექცია, რომლებიც ხშირად გვხვდება პრაქტიკულ მუშაობაში

რა გაგახარებთ მაშინვე? პატარა რომ ვიყავი, ორი ან თუნდაც სამი ბურთის ჟონგლირება შემეძლო. კარგად გამოუვიდა. ახლა თქვენ საერთოდ არ მოგიწევთ ჟონგლირება, რადგან განვიხილავთ მხოლოდ სივრცითი ვექტორები, და ბრტყელი ვექტორები ორი კოორდინატით დარჩება გარეთ. რატომ? ასე დაიბადა ეს მოქმედებები - ვექტორების ვექტორული და შერეული პროდუქტი განისაზღვრება და მუშაობს სამგანზომილებიან სივრცეში. ეს უკვე უფრო ადვილია!

ეს ოპერაცია, ისევე როგორც სკალარული პროდუქტი, მოიცავს ორი ვექტორი. დაე ეს იყოს უხრწნელი ასოები.

თავად მოქმედება აღინიშნებაშემდეგი გზით: . არის სხვა ვარიანტებიც, მაგრამ მე მიჩვეული ვარ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის აღნიშვნას ასე, კვადრატულ ფრჩხილებში ჯვრით.

და მაშინვე კითხვა: თუ შევიდა ვექტორების სკალარული პროდუქტიჩართულია ორი ვექტორი და აქ ორი ვექტორიც მრავლდება, მაშინ რა არის განსხვავება? აშკარა განსხვავებაა, პირველ რიგში, შედეგში:

ვექტორების სკალარული ნამრავლის შედეგია NUMBER:

ვექტორთა ჯვარედინი ნამრავლის შედეგია ვექტორი: , ანუ ვამრავლებთ ვექტორებს და ისევ ვიღებთ ვექტორს. დახურული კლუბი. ფაქტობრივად, სწორედ აქედან მოდის ოპერაციის სახელი. სხვადასხვა საგანმანათლებლო ლიტერატურაში აღნიშვნები ასევე შეიძლება განსხვავდებოდეს მე გამოვიყენებ ასოს.

ჯვარედინი პროდუქტის განმარტება

ჯერ იქნება განმარტება სურათით, მერე კომენტარები.

განმარტება: ვექტორული პროდუქტი არაკოლინარულივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, სახელად ვექტორი, სიგრძერომელიც რიცხობრივად პარალელოგრამის ფართობის ტოლიაამ ვექტორებზე აგებული; ვექტორი ორთოგონალური ვექტორების მიმართდა მიმართულია ისე, რომ საფუძველს ჰქონდეს სწორი ორიენტაცია:

მოდით ცალ-ცალკე დავყოთ განმარტება, აქ ბევრი საინტერესო რამ არის!

ამრიგად, შეიძლება აღინიშნოს შემდეგი მნიშვნელოვანი პუნქტები:

1) ორიგინალური ვექტორები, რომლებიც მითითებულია წითელი ისრებით, განმარტებით არა კოლინარული. მიზანშეწონილი იქნება კოლინარული ვექტორების შემთხვევა ცოტა მოგვიანებით განვიხილოთ.

2) ვექტორები აღებულია მკაცრად განსაზღვრული თანმიმდევრობით: – "a" მრავლდება "იყოს", და არა „იყოს“ „ა“-ით. ვექტორული გამრავლების შედეგიარის VECTOR, რომელიც მითითებულია ლურჯად. თუ ვექტორები მრავლდება საპირისპირო თანმიმდევრობით, მივიღებთ სიგრძით ტოლ და მიმართულებით საპირისპირო ვექტორს (ჟოლოს ფერი). ანუ თანასწორობა მართალია .

3) ახლა გავეცნოთ ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! ლურჯი ვექტორის სიგრძე (და, მაშასადამე, ჟოლოსფერი ვექტორის) რიცხობრივად უდრის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობს. ფიგურაში ეს პარალელოგრამი შავად არის დაჩრდილული.

შენიშვნა : ნახაზი სქემატურია და, ბუნებრივია, ვექტორული ნამრავლის ნომინალური სიგრძე არ არის პარალელოგრამის ფართობის ტოლი.

გავიხსენოთ ერთ-ერთი გეომეტრიული ფორმულა: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს.. ამიტომ, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მოქმედებს ვექტორული ნამრავლის სიგრძის გამოთვლის ფორმულა:

ხაზს ვუსვამ, რომ ფორმულა ეხება ვექტორის სიგრძეს და არა თავად ვექტორს. რა არის პრაქტიკული მნიშვნელობა? და მნიშვნელობა ის არის, რომ ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში, პარალელოგრამის ფართობი ხშირად გვხვდება ვექტორული პროდუქტის კონცეფციის საშუალებით:

მოდით მივიღოთ მეორე მნიშვნელოვანი ფორმულა. პარალელოგრამის დიაგონალი (წითელი წერტილოვანი ხაზი) ​​ყოფს მას ორ ტოლ სამკუთხედად. ამრიგად, ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი (წითელი დაჩრდილვა) შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

4) თანაბრად მნიშვნელოვანი ფაქტია, რომ ვექტორი ორთოგონალურია ვექტორებთან, ანუ . რა თქმა უნდა, საპირისპიროდ მიმართული ვექტორი (ჟოლოს ისარი) ასევე ორთოგონალურია თავდაპირველი ვექტორების მიმართ.

5) ვექტორი მიმართულია ისე, რომ საფუძველიᲛას აქვს უფლებაორიენტაცია. გაკვეთილზე იმის შესახებ ახალ ბაზაზე გადასვლასაკმარისად დეტალურად ვისაუბრე თვითმფრინავის ორიენტაციადა ახლა ჩვენ გავარკვევთ რა არის სივრცეში ორიენტაცია. თითებზე აგიხსნი მარჯვენა ხელი. გონებრივად შეაერთეთ საჩვენებელი თითივექტორით და შუა თითივექტორით. ბეჭედი და პატარა თითიდააჭირე მას ხელისგულში. Როგორც შედეგი ცერა თითი– ვექტორული პროდუქტი გამოჩნდება. ეს არის უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველი (ეს არის ფიგურაში). ახლა შეცვალეთ ვექტორები ( საჩვენებელი და შუა თითები) ზოგან, შედეგად ცერა თითი შემობრუნდება და ვექტორული პროდუქტი უკვე ქვემოთ იყურება. ესეც უფლებაზე ორიენტირებული საფუძველია. შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა: რომელი საფუძველი აქვს მარცხენა ორიენტაციას? იგივე თითებზე "მინიშნება". მარცხენა ხელივექტორები და მიიღეთ სივრცის მარცხენა საფუძველი და მარცხენა ორიენტაცია (ამ შემთხვევაში, ცერა თითი განთავსდება ქვედა ვექტორის მიმართულებით). ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ეს ფუძეები "უხვევს" ან ორიენტირებს სივრცეს სხვადასხვა მიმართულებით. და ეს კონცეფცია არ უნდა ჩაითვალოს რაღაც შორს ან აბსტრაქტულად - მაგალითად, სივრცის ორიენტაცია იცვლება ყველაზე ჩვეულებრივი სარკით და თუ "ასახული საგანი ამოიყვანეთ მინიდან", მაშინ ზოგადად შეუძლებელი იქნება მისი "ორიგინალთან" შერწყმა. სხვათა შორის, სამი თითი მიიტანეთ სარკესთან და გააანალიზეთ ანარეკლი ;-)

...რა კარგია, რომ ახლა იცი მარჯვნივ და მარცხნივ ორიენტირებულისაფუძვლები, რადგან ზოგიერთი ლექტორის განცხადება ორიენტაციის ცვლილების შესახებ საშინელია =)

კოლინარული ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი

განმარტება დეტალურად იქნა განხილული, რჩება იმის გარკვევა, თუ რა ხდება, როდესაც ვექტორები კოლინარულია. თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ისინი შეიძლება განთავსდეს ერთ სწორ ხაზზე და ჩვენი პარალელოგრამი ასევე "იკეცოს" ერთ სწორ ხაზზე. ისეთი არეალი, როგორც მათემატიკოსები ამბობენ, დეგენერატიპარალელოგრამი ნულის ტოლია. იგივე გამომდინარეობს ფორმულიდან - ნულის ან 180 გრადუსის სინუსი ნულის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ფართობი ნულის ტოლია

ამრიგად, თუ, მაშინ და . გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ თავად ვექტორული ნამრავლი ტოლია ნულოვანი ვექტორის, მაგრამ პრაქტიკაში ეს ხშირად უგულებელყოფილია და წერენ, რომ ის ასევე ნულის ტოლია.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი თავისთან:

ვექტორული პროდუქტის გამოყენებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ სამგანზომილებიანი ვექტორების კოლინარულობა და ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ ამ პრობლემას, სხვათა შორის.

პრაქტიკული მაგალითების გადასაჭრელად შეიძლება დაგჭირდეთ ტრიგონომეტრიული ცხრილიმისგან სინუსების მნიშვნელობების პოვნა.

აბა, ავანთოთ ცეცხლი:

მაგალითი 1

ა) იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე თუ

ბ) იპოვეთ ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის ფართობი თუ

გამოსავალი: არა, ეს არ არის ბეჭდვითი შეცდომა, შეგნებულად დავწერე თავდაპირველი მონაცემები პუნქტებში. რადგან გადაწყვეტილებების დიზაინი განსხვავებული იქნება!

ა) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ სიგრძევექტორი (ჯვარედინი პროდუქტი). შესაბამისი ფორმულის მიხედვით:

უპასუხე:

თუ გკითხეს სიგრძეზე, მაშინ პასუხში მივუთითებთ განზომილებას - ერთეულებს.

ბ) პირობის მიხედვით უნდა მოძებნოთ კვადრატივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი. ამ პარალელოგრამის ფართობი რიცხობრივად უდრის ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს:

უპასუხე:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ პასუხში საერთოდ არ არის საუბარი ვექტორულ ნამრავლზე ფიგურის ფართობიშესაბამისად, განზომილება არის კვადრატული ერთეული.

ჩვენ ყოველთვის ვუყურებთ რა უნდა ვიპოვოთ პირობის მიხედვით და ამის საფუძველზე ვაყალიბებთ ნათელიპასუხი. შეიძლება ლიტერალიზმად მოგეჩვენოთ, მაგრამ მასწავლებლებს შორის უამრავი ლიტერალისტია და დავალებას აქვს კარგი შანსი, რომ დაბრუნდეს გადასინჯვისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ეს არ არის განსაკუთრებით შორსმჭვრეტელი ყვირილი - თუ პასუხი არასწორია, მაშინ იქმნება შთაბეჭდილება, რომ ადამიანს არ ესმის მარტივი რაღაცეები და/ან არ ესმის ამოცანის არსი. ეს პუნქტი ყოველთვის უნდა იყოს კონტროლირებადი უმაღლეს მათემატიკაში და სხვა საგნებში ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას.

სად წავიდა დიდი ასო "ენ"? პრინციპში შეიძლებოდა ხსნარზე დამატებით მიმაგრებულიყო, მაგრამ ჩანაწერის შესამცირებლად ეს არ გამიკეთებია. ვიმედოვნებ, რომ ყველას ესმის ეს და არის იგივე აღნიშვნა.

პოპულარული მაგალითი წვრილმანი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 2

იპოვეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

ვექტორული პროდუქტის მეშვეობით სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულა მოცემულია განმარტების კომენტარებში. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

პრაქტიკაში, ამოცანა მართლაც ძალიან გავრცელებულია.

სხვა პრობლემების გადასაჭრელად დაგვჭირდება:

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ ვექტორული პროდუქტის ზოგიერთი თვისება, თუმცა მათ ამ ჩამონათვალში შევიტან.

თვითნებური ვექტორებისთვის და თვითნებური რიცხვებისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) ინფორმაციის სხვა წყაროებში ეს პუნქტი, როგორც წესი, არ არის ხაზგასმული თვისებებში, მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით. ასე რომ იყოს.

2) – საკუთრებაც ზემოთ არის განხილული, ხანდახან ე.წ ანტიკომუტატიურობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების თანმიმდევრობას აქვს მნიშვნელობა.

3) – ასოციაციური ან ასოციაციურივექტორული პროდუქტის კანონები. მუდმივები ადვილად შეიძლება გადავიდეს ვექტორული პროდუქტის გარეთ. მართლა, რა უნდა ქნან იქ?

4) – განაწილება ან გამანაწილებელივექტორული პროდუქტის კანონები. სამაგრების გახსნის პრობლემაც არ არის.

დემონსტრირებისთვის, მოდით შევხედოთ მოკლე მაგალითს:

მაგალითი 3

იპოვეთ თუ

გამოსავალი:მდგომარეობა კვლავ მოითხოვს ვექტორული პროდუქტის სიგრძის პოვნას. მოდით დავხატოთ ჩვენი მინიატურა:

(1) ასოციაციური კანონების მიხედვით, ჩვენ ვიღებთ მუდმივებს ვექტორული ნამრავლის ფარგლებს გარეთ.

(2) ჩვენ გადავიტანთ მუდმივას მოდულის გარეთ და მოდული "ჭამს" მინუს ნიშანს. სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

(3) დანარჩენი ნათელია.

უპასუხე:

დროა ცეცხლს შეშა დავამატოთ:

მაგალითი 4

გამოთვალეთ ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის ფართობი თუ

გამოსავალი: იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ფორმულის გამოყენებით . მთავარი ის არის, რომ ვექტორები "ცე" და "დე" თავად არის წარმოდგენილი ვექტორების ჯამებად. აქ ალგორითმი სტანდარტულია და გარკვეულწილად მოგვაგონებს გაკვეთილის მე-3 და მე-4 მაგალითებს ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი. სიცხადისთვის, ჩვენ დავყოფთ გამოსავალს სამ ეტაპად:

1) პირველ ეტაპზე ჩვენ ვექტორულ ნამრავლს ვექტორული ნამრავლის მეშვეობით გამოვხატავთ, ფაქტობრივად, გამოვხატოთ ვექტორი ვექტორის მიხედვით. სიგრძეზე ჯერ არაფერია ნათქვამი!

(1) შეცვალეთ გამონათქვამები ვექტორებისთვის.

(2) გამანაწილებელი კანონების გამოყენებით ვხსნით ფრჩხილებს მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით.

(3) ასოციაციური კანონების გამოყენებით, ჩვენ ყველა მუდმივას გადავიტანთ ვექტორული პროდუქტების მიღმა. მცირე გამოცდილებით, მე-2 და მე-3 ნაბიჯების შესრულება შესაძლებელია ერთდროულად.

(4) პირველი და ბოლო წევრი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი) ლამაზი თვისების გამო. მეორე ტერმინში ვიყენებთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტატიურობის თვისებას:

(5) წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს.

შედეგად, ვექტორი გამოიხატება ვექტორის მეშვეობით, რისი მიღწევაც საჭირო იყო:

2) მეორე საფეხურზე ვპოულობთ ჩვენთვის საჭირო ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს. ეს მოქმედება მსგავსია მაგალითი 3:

3) იპოვეთ საჭირო სამკუთხედის ფართობი:

ამოხსნის 2-3 ეტაპები შეიძლებოდა დაეწერა ერთ სტრიქონში.

უპასუხე:

განხილული პრობლემა საკმაოდ გავრცელებულია ტესტებში, აქ არის მაგალითი მისი გადაჭრისთვის:

მაგალითი 5

იპოვეთ თუ

მოკლე გამოსავალი და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. ვნახოთ, რამდენად ყურადღებიანი იყავით წინა მაგალითების შესწავლისას ;-)

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი კოორდინატებში

ფორმულა მართლაც მარტივია: დეტერმინანტის ზედა სტრიქონში ვწერთ კოორდინატთა ვექტორებს, მეორე და მესამე სტრიქონებში „ვაყენებთ“ ვექტორების კოორდინატებს და ვსვამთ. მკაცრი წესით– ჯერ “ve” ვექტორის კოორდინატები, შემდეგ “double-ve” ვექტორის კოორდინატები. თუ ვექტორები უნდა გამრავლდეს სხვა თანმიმდევრობით, მაშინ რიგები უნდა შეიცვალოს:

მაგალითი 10

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:
ა)
ბ)

გამოსავალი: შემოწმება ემყარება ამ გაკვეთილის ერთ-ერთ დებულებას: თუ ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლი ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი): .

ა) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

ამრიგად, ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ) იპოვეთ ვექტორული ნამრავლი:

უპასუხე: ა) არა კოლინარული, ბ)

აქ, ალბათ, არის ყველა ძირითადი ინფორმაცია ვექტორების ვექტორული პროდუქტის შესახებ.

ეს განყოფილება არ იქნება ძალიან დიდი, რადგან ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოყენებისას რამდენიმე პრობლემაა. სინამდვილეში, ყველაფერი დამოკიდებული იქნება განმარტებაზე, გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე და რამდენიმე სამუშაო ფორმულაზე.

ვექტორთა შერეული ნამრავლი არის სამი ვექტორის ნამრავლი:

ასე რომ, ისინი მატარებელივით დადგნენ და ვერ ითმენდნენ, რომ ამოიცნონ.

ჯერ კიდევ, განმარტება და სურათი:

განმარტება: შერეული სამუშაო არათანაბარივექტორები, მიღებული ამ თანმიმდევრობით, დაურეკა პარალელეპიპედური მოცულობა, აგებულია ამ ვექტორებზე, აღჭურვილია „+“ ნიშნით, თუ საფუძველი სწორია და „–“ ნიშნით, თუ საფუძველი დარჩა.

მოდით გავაკეთოთ ნახატი. ჩვენთვის უხილავი ხაზები დახატულია წერტილოვანი ხაზებით:

მოდით ჩავუღრმავდეთ განმარტებას:

2) ვექტორები აღებულია გარკვეული თანმიმდევრობით, ანუ პროდუქტში ვექტორების გადაწყობა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, შედეგების გარეშე არ ხდება.

3) სანამ გეომეტრიულ მნიშვნელობაზე კომენტარს გავაკეთებ, აღვნიშნავ აშკარა ფაქტს: ვექტორების შერეული ნამრავლი არის NUMBER: . საგანმანათლებლო ლიტერატურაში, დიზაინი შეიძლება იყოს ოდნავ განსხვავებული, მე მიჩვეული ვარ შერეული პროდუქტის აღნიშვნას, ხოლო გამოთვლების შედეგი ასო „პე“-თ.

ა-პრიორიტეტი შერეული პროდუქტი არის პარალელეპიპედის მოცულობა, აგებულია ვექტორებზე (ფიგურა დახატულია წითელი ვექტორებითა და შავი ხაზებით). ანუ რიცხვი უდრის მოცემული პარალელეპიპედის მოცულობას.

შენიშვნა : ნახატი სქემატურია.

4) ისევ ნუ ვიდარდებთ საფუძვლისა და სივრცის ორიენტაციის კონცეფციაზე. ბოლო ნაწილის მნიშვნელობა არის ის, რომ მინუს ნიშანი შეიძლება დაემატოს მოცულობას. მარტივი სიტყვებით, შერეული პროდუქტი შეიძლება იყოს უარყოფითი: .

პირდაპირ განმარტებიდან გამომდინარეობს ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა.

სანამ ვექტორული ნამრავლის ცნებას მოვიყვანთ, მივმართოთ საკითხს a →, b →, c → ვექტორების მოწესრიგებული სამეულის ორიენტაციის შესახებ სამგანზომილებიან სივრცეში.

დასაწყისისთვის, ერთი წერტილიდან გამოვყოთ a → , b → , c → ვექტორები. სამმაგი a → , b → , c → ორიენტაცია შეიძლება იყოს მარჯვნივ ან მარცხნივ, რაც დამოკიდებულია თავად c → ვექტორის მიმართულებაზე. სამმაგი a → , b → , c → განისაზღვრება იმ მიმართულებით, რომლითაც უმოკლეს ბრუნი კეთდება a ვექტორიდან b → c → ვექტორის ბოლოდან.

თუ უმოკლეს შემობრუნება ხორციელდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, მაშინ ვექტორების სამმაგი a → , b → , c → ე.წ. უფლებათუ საათის ისრის მიმართულებით - დატოვა.

შემდეგი, აიღეთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი a → და b →. შემდეგ გამოვსახოთ ვექტორები A B → = a → და A C → = b → A წერტილიდან. ავაშენოთ ვექტორი A D → = c →, რომელიც ერთდროულად არის პერპენდიკულარული A B → და A C →. ამრიგად, თავად ვექტორის აგებისას A D → = c →, ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ ორი რამ, მივცეთ მას ერთი მიმართულება ან საპირისპირო (იხ. ილუსტრაცია).

ვექტორების მოწესრიგებული სამეული a → , b → , c → შეიძლება იყოს, როგორც გავარკვიეთ, მარჯვნივ ან მარცხნივ, ვექტორის მიმართულებიდან გამომდინარე.

ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის განმარტება. ეს განმარტება მოცემულია ორ ვექტორზე, რომლებიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

განმარტება 1

ორი ვექტორის a → და b → ვექტორული ნამრავლი ჩვენ დავარქმევთ ისეთ ვექტორს, რომელიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, რომ:

• თუ a → და b → ვექტორები წრფივია, ის იქნება ნული;
• ის იქნება პერპენდიკულარული როგორც a → ​ ვექტორის, ასევე b ვექტორის მიმართ, ე.ი. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• მისი სიგრძე განისაზღვრება ფორმულით: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → ვექტორების სამეულს იგივე ორიენტაცია აქვს, რაც მოცემულ კოორდინატულ სისტემას.

a → და b → ვექტორების ნამრავლს აქვს შემდეგი აღნიშვნა: a → × b →.

ვექტორული პროდუქტის კოორდინატები

ვინაიდან ნებისმიერ ვექტორს აქვს გარკვეული კოორდინატები კოორდინატთა სისტემაში, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ვექტორული პროდუქტის მეორე განმარტება, რომელიც საშუალებას მოგვცემს ვიპოვოთ მისი კოორდინატები ვექტორების მოცემული კოორდინატების გამოყენებით.

განმარტება 2

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი a → = (a x ; a y ; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) ეწოდება ვექტორი c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , სადაც i → , j → , k → არის კოორდინატული ვექტორები.

ვექტორული ნამრავლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მესამე რიგის კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი, სადაც პირველი მწკრივი შეიცავს ვექტორებს i → , j → , k → , მეორე რიგი შეიცავს a → ვექტორის კოორდინატებს, ხოლო მესამე მწკრივს. შეიცავს b → ვექტორის კოორდინატებს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, ეს არის მატრიცის განმსაზღვრელი ასე გამოიყურება: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

ამ განმსაზღვრელი პირველი რიგის ელემენტებად გაფართოებით მივიღებთ ტოლობას: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x = → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

ცნობილია, რომ ვექტორული ნამრავლი კოორდინატებში წარმოდგენილია როგორც c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z მატრიცის განმსაზღვრელი, შემდეგ საფუძველზე მატრიცის განმსაზღვრელი თვისებებინაჩვენებია შემდეგი ვექტორული პროდუქტის თვისებები:

1. ანტიკომუტატიურობა a → × b → = - b → × a →;
2. განაწილება a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ან a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ასოციაციურობა λ a → × b → = λ a → × b → ან a → × (λ b →) = λ a → × b →, სადაც λ არის თვითნებური რეალური რიცხვი.

ამ თვისებებს აქვს მარტივი მტკიცებულება.

მაგალითად, შეგვიძლია დავამტკიცოთ ვექტორული პროდუქტის ანტიკომუტაციური თვისება.

ანტიკომუტაციის დამადასტურებელი საბუთი

განმარტებით, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z და b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. და თუ მატრიცის ორი მწკრივი შეიცვალა, მაშინ მატრიცის განმსაზღვრელი მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ, შესაბამისად, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y - b → × a → , რაც და ადასტურებს, რომ ვექტორული ნამრავლი ანტიკომუტატიულია.

ვექტორული პროდუქტი - მაგალითები და გადაწყვეტილებები

უმეტეს შემთხვევაში, სამი სახის პრობლემაა.

პირველი ტიპის ამოცანებში, როგორც წესი, მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე და თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე. ამ შემთხვევაში გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

მაგალითი 1

იპოვეთ a → და b → ვექტორების ნამრავლის სიგრძე, თუ იცით a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

გამოსავალი

a → და b → ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძის განსაზღვრით ვხსნით ამ ამოცანას: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

პასუხი: 15 2 2 .

მეორე ტიპის ამოცანებს აქვს კავშირი ვექტორების კოორდინატებთან, მათში ვექტორულ ნამრავლთან, მის სიგრძესთან და ა.შ. იძებნება მოცემული ვექტორების ცნობილი კოორდინატების მეშვეობით a → = (a x; a y; a z) და b → = (b x ; b y ; b z) .

ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ ამოცანების მრავალი ვარიანტის გადაჭრა. მაგალითად, შეიძლება მითითებული იყოს არა a → და b → ვექტორების კოორდინატები, არამედ მათი გაფართოება ფორმის კოორდინატ ვექტორებად. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → და c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, ან a → და b → ვექტორები შეიძლება დაზუსტდეს მათი დაწყების კოორდინატებით და ბოლო წერტილები.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითები.

მაგალითი 2

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია ორი ვექტორი: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). იპოვეთ მათი ჯვარედინი პროდუქტი.

გამოსავალი

მეორე განმარტებით, ჩვენ ვპოულობთ ორი ვექტორის ნამრავლს მოცემულ კოორდინატებში: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

თუ ვექტორულ ნამრავლს ჩავწერთ მატრიცის განმსაზღვრელი საშუალებით, მაშინ ამ მაგალითის ამოხსნა ასე გამოიყურება: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

პასუხი: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

მაგალითი 3

იპოვეთ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორების ნამრავლის სიგრძე, სადაც i →, j →, k → არის მართკუთხა დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ერთეული ვექტორები.

გამოსავალი

ჯერ ვიპოვოთ მოცემული ვექტორული ნამრავლის კოორდინატები i → - j → × i → + j → + k → მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში.

ცნობილია, რომ i → - j → და i → + j → + k → ვექტორებს აქვთ კოორდინატები (1; - 1; 0) და (1; 1; 1). ვიპოვოთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე მატრიცის დეტერმინანტის გამოყენებით, შემდეგ გვაქვს i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

ამიტომ ვექტორულ ნამრავლს i → - j → × i → + j → + k → აქვს კოორდინატები (- 1 ; - 1 ; 2) მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში.

ვექტორული ნამრავლის სიგრძეს ვპოულობთ ფორმულის გამოყენებით (იხ. განყოფილება ვექტორის სიგრძის პოვნის შესახებ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

პასუხი: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

მაგალითი 4

მართკუთხა დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია სამი წერტილის A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) კოორდინატები. იპოვნეთ A B → და A C → პერპენდიკულარული ვექტორი ერთდროულად.

გამოსავალი

A B → და A C → ვექტორებს აქვთ შემდეგი კოორდინატები (- 1 ; 2 ; 2) და (0 ; 4 ; 1) შესაბამისად. ვიპოვეთ A B → და A C → ვექტორების ვექტორული ნამრავლი, აშკარაა, რომ ის არის პერპენდიკულარული ვექტორი A B → და A C →, ანუ ეს არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. ვიპოვოთ A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

პასუხი: - 6 i → + j → - 4 k → . - ერთ-ერთი პერპენდიკულარული ვექტორი.

მესამე ტიპის ამოცანები ფოკუსირებულია ვექტორების ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებაზე. რომლის გამოყენების შემდეგ ჩვენ მივიღებთ მოცემული პრობლემის გადაწყვეტას.

მაგალითი 5

ვექტორები a → და b → პერპენდიკულურია და მათი სიგრძეა, შესაბამისად, 3 და 4. იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

გამოსავალი

ვექტორული ნამრავლის გამანაწილებელი თვისებით შეგვიძლია დავწეროთ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ასოციაციურობის თვისებით ვიღებთ ციფრულ კოეფიციენტებს ბოლო გამოსახულებაში ვექტორული ნამრავლების ნიშნიდან: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ვექტორული ნამრავლები a → × a → და b → × b → ტოლია 0-ის, ვინაიდან a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 და b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, შემდეგ 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a →. .

ვექტორული ნამრავლის ანტიკომუტატიურობიდან გამომდინარეობს - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ბ → . .

ვექტორული ნამრავლის თვისებების გამოყენებით ვიღებთ ტოლობას 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

პირობით, a → და b → ვექტორები პერპენდიკულარულია, ანუ მათ შორის კუთხე უდრის π 2-ს. ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება შესაბამის ფორმულებში: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

პასუხი: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის სიგრძე განსაზღვრებით უდრის a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ვინაიდან უკვე ცნობილია (სასკოლო კურსიდან), რომ სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი გვერდის სიგრძის ნამრავლის ნახევარს, გამრავლებული ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსზე. ამრიგად, ვექტორული ნამრავლის სიგრძე უდრის პარალელოგრამის ფართობს - გაორმაგებული სამკუთხედი, კერძოდ, გვერდების ნამრავლი a → და b → ვექტორების სახით, რომლებიც ჩამოყალიბებულია ერთი წერტილიდან, სინუსით. მათ შორის კუთხე sin ∠ a →, b →.

ეს არის ვექტორული პროდუქტის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

ვექტორული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა

მექანიკაში, ფიზიკის ერთ-ერთ ფილიალში, ვექტორული პროდუქტის წყალობით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ძალის მომენტი სივრცის წერტილთან მიმართებაში.

განმარტება 3

ძალის F → გამოყენებული B წერტილზე, A წერტილთან მიმართებაში, ჩვენ გავიგებთ შემდეგ ვექტორულ ნამრავლს A B → × F →.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ეს ონლაინ კალკულატორი ითვლის ვექტორების ვექტორულ ნამრავლს. მოცემულია დეტალური გადაწყვეტა. ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლის გამოსათვლელად ჩაწერეთ ვექტორების კოორდინატები უჯრედებში და დააჭირეთ ღილაკს "გამოთვლა".

×

გაფრთხილება

გაასუფთავო ყველა უჯრედი?

დახურვა გასუფთავება

მონაცემთა შეყვანის ინსტრუქციები.რიცხვები შეყვანილია როგორც მთელი რიცხვები (მაგალითები: 487, 5, -7623 და ა.შ.), ათწილადები (მაგ. 67., 102.54 და ა.შ.) ან წილადები. წილადი უნდა შეიტანოს a/b სახით, სადაც a და b (b>0) არის მთელი რიცხვები ან ათწილადები. მაგალითები 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 და ა.შ.

ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

სანამ ვექტორების ვექტორული ნამრავლის განსაზღვრებაზე გადავიდოდეთ, განვიხილოთ ცნებები შეკვეთილი ვექტორული სამეული, მარცხენა ვექტორული სამეული, მარჯვენა ვექტორული სამეული.

განმარტება 1. სამი ვექტორი ეწოდება შეუკვეთა სამმაგი(ან სამმაგი), თუ მითითებულია ამ ვექტორებიდან რომელია პირველი, რომელი მეორე და რომელი მესამე.

ჩანაწერი cba- ნიშნავს - პირველი არის ვექტორი გ, მეორე არის ვექტორი ბდა მესამე არის ვექტორი ა.

განმარტება 2. არათანაბრტყელ ვექტორთა სამმაგი abcეწოდება მარჯვენა (მარცხნივ), თუ საერთო საწყისამდე დაყვანისას ეს ვექტორები განლაგებულია ისევე, როგორც მარჯვენა (მარცხენა) ხელის დიდი, მოუხვევი საჩვენებელი და შუა თითები, შესაბამისად.

განმარტება 2 შეიძლება განსხვავებულად ჩამოყალიბდეს.

განმარტება 2". არათანაბრტყელ ვექტორთა სამმაგი abcეწოდება მარჯვენა (მარცხნივ), თუ საერთო საწყისამდე დაყვანისას ვექტორი გმდებარეობს ვექტორებით განსაზღვრული სიბრტყის მეორე მხარეს ადა ბ, საიდან არის უმოკლესი შემობრუნება არომ ბშესრულებული საათის ისრის საწინააღმდეგოდ (საათის ისრის მიმართულებით).

ვექტორთა ტროიკა abc, ნაჩვენებია ნახ. 1 მართალია და სამი abcნაჩვენებია ნახ. 2 არის მარცხენა.

თუ ვექტორების ორი სამეული მარჯვნივ ან მარცხნივ არის, მაშინ ამბობენ, რომ ისინი ერთი და იგივე ორიენტაციის არიან. წინააღმდეგ შემთხვევაში ამბობენ, რომ ისინი საპირისპირო ორიენტაციის არიან.

განმარტება 3. დეკარტის ან აფინური კოორდინატთა სისტემას ეწოდება მარჯვენა (მარცხნივ), თუ სამი საბაზისო ვექტორი ქმნის მარჯვენა (მარცხნივ) სამეულს.

დაზუსტებისთვის, შემდეგში განვიხილავთ მხოლოდ მარჯვენა კოორდინატულ სისტემებს.

განმარტება 4. ვექტორული ნამუშევარივექტორი ავექტორამდე ბვექტორად წოდებული თან, აღინიშნება სიმბოლოთი c=[აბ] (ან c=[ა, ბ], ან c=a×b) და აკმაყოფილებს შემდეგ სამ მოთხოვნას:

• ვექტორის სიგრძე თანვექტორული სიგრძის ნამრავლის ტოლი ადა ბკუთხის სინუსით φ მათ შორის:

|გ|=|[აბ]|=|ა||ბ|sinφ;

(1)

• ვექტორი თანორთოგონალური თითოეული ვექტორის მიმართ ადა ბ;
• ვექტორი გმიმართულია ისე, რომ სამი abcმართალია.

ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლს აქვს შემდეგი თვისებები:

• [აბ]=−[ბა] (ცვალებადობის საწინააღმდეგოფაქტორები);
• [(λa)ბ]=λ [აბ] (კომბინაციარიცხვით ფაქტორთან შედარებით);
• [(ა+ბ)გ]=[აგ]+[ბგ] (დისტრიბუციულობავექტორთა ჯამთან შედარებით);
• [აა]=0 ნებისმიერი ვექტორისთვის ა.

ვექტორების ვექტორული ნამრავლის გეომეტრიული თვისებები

თეორემა 1. იმისათვის, რომ ორი ვექტორი იყოს კოლინარული, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი ვექტორული ნამრავლი იყოს ნულის ტოლი.

მტკიცებულება. აუცილებლობა. მოდით ვექტორები ადა ბკოლინარული. მაშინ მათ შორის კუთხე არის 0 ან 180° და sinφ=sin180=ცოდვა 0=0. ამიტომ, გამოხატვის (1) გათვალისწინებით, ვექტორის სიგრძე გნულის ტოლი. მერე გნულოვანი ვექტორი.

ადეკვატურობა. მოდით ვექტორების ნამრავლი ადა ბაშკარად ნულოვანია: [ აბ]=0. დავამტკიცოთ, რომ ვექტორები ადა ბკოლინარული. თუ რომელიმე ვექტორიდან მაინც ადა ბნულოვანია, მაშინ ეს ვექტორები კოლინარულია (რადგან ნულოვანი ვექტორს აქვს განუსაზღვრელი მიმართულება და შეიძლება ჩაითვალოს ნებისმიერი ვექტორის კოლინარად).

თუ ორივე ვექტორი ადა ბნულოვანი, მაშინ | ა|>0, |ბ|>0. შემდეგ [ აბ]=0 და (1)-დან გამომდინარეობს, რომ sinφ=0. ამიტომ ვექტორები ადა ბკოლინარული.

თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 2. ვექტორული ნამრავლის სიგრძე (მოდული) [ აბ] უდრის ფართობს სპარალელოგრამი აგებულია ვექტორებზე საერთო საწყისამდე ადა ბ.

მტკიცებულება. მოგეხსენებათ, პარალელოგრამის ფართობი უდრის ამ პარალელოგრამის მიმდებარე გვერდების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის სინუსს. აქედან გამომდინარე:

მაშინ ამ ვექტორების ვექტორულ ნამრავლს აქვს ფორმა:

პირველი რიგის ელემენტებზე განმსაზღვრელი გაფართოებით, ვიღებთ ვექტორის დაშლას a×bსაფუძველზე მე, ჯ, კ, რომელიც უდრის ფორმულას (3).

თეორემა 3-ის დადასტურება. შევქმნათ საფუძვლების ვექტორების ყველა შესაძლო წყვილი მე, ჯ, კდა გამოთვალეთ მათი ვექტორული ნამრავლი. გასათვალისწინებელია, რომ საბაზისო ვექტორები ორთოგონალურია, ქმნიან მარჯვენა სამეულს და აქვთ ერთეული სიგრძე (სხვა სიტყვებით, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ მე={1, 0, 0}, ჯ={0, 1, 0}, კ=(0, 0, 1)). მაშინ გვაქვს:

ბოლო თანასწორობიდან და ურთიერთობებიდან (4) ვიღებთ:

შევქმნათ 3x3 მატრიცა, რომლის პირველი რიგი არის საბაზისო ვექტორები მე, ჯ, კ,ხოლო დარჩენილი ხაზები ივსება ვექტორული ელემენტებით ადა ბ:

ამრიგად, ვექტორების ვექტორული ნამრავლის შედეგი ადა ბიქნება ვექტორი:

.

მაგალითი 2. იპოვეთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი [ აბ], სად არის ვექტორი აწარმოდგენილია ორი პუნქტით. ვექტორის საწყისი წერტილი a: , ვექტორის ბოლო წერტილი ა: , ვექტორი ბროგორც ჩანს .

ამოხსნა: გადაიტანეთ პირველი ვექტორი საწყისზე. ამისათვის გამოაკლეთ საწყისი წერტილის კოორდინატები ბოლო წერტილის შესაბამის კოორდინატებს:

მოდით გამოვთვალოთ ამ მატრიცის განმსაზღვრელი პირველი რიგის გასწვრივ მისი გაფართოებით. ამ გამოთვლების შედეგი არის ვექტორების ვექტორული ნამრავლი ადა ბ.