Как определить цвет осадка. Качественные реакции в неорганической и органической химии. Председатель МО естественных дисциплин

1. Качественные реакции на катионы.
1.1. Качественные реакции на катионы щелочных металлов (Li + , Na + , K + , Rb + , Cs +).
Обнаружить катионы щелочных металлов можно при внесении небольшого количества соли в пламя горелки. Тот или иной катион окрашивает пламя в соответствующий цвет:
Li + - темно-розовый.
Na + - желтый.
K + - фиолетовый.
Rb + - красный.
Cs + - голубой.
Катионы так же можно обнаружить и с помощью химических реакций. При сливании раствора соли лития с фосфатами образуется нерастворимый в воде, но растворимый в конц. азотной кислоте, фосфат лития:
3Li + + PO4 3- = Li 3 PO 4 ↓
Li 3 PO 4 + 3HNO 3 = 3LiNO 3 + H 3 PO 4

Катионы K + и Rb + можно выявить добавлением к растворам их солей кремнефтористой кислоты H 2 или ее солей - гексафторсиликатов:
2Me + + 2- = Me 2 ↓ (Me = K, Rb)

Они же и Cs + осаждаются из растворов при добавлении перхлорат-анионов:
Me + + ClO 4 - = MeClO 4 ↓ (Me = K, Rb, Cs).

1.2. Качественные реакции на катионы щелочно-земельных металлов (Ca 2+ , Sr 2+ , Ba 2+).
Катионы щелочно-земельных металлов можно выявить двумя способами: в растворе и по окраске пламени. Кстати, к щелочно-земельным относятся кальций, стронций, барий.
Окраска пламени:
Ca 2+ - кирпично-красный.
Sr 2+ - карминово-красный.
Ba 2+ - желтовато-зеленый.

Реакции в растворах. Катионы рассматриваемых металлов имеют общую особенность: их карбонаты и сульфаты нерастворимы. Катион Ca 2+ предпочитают выявлять карбонат-анионом CO 3 2- :
Ca 2+ + CO 3 2- = CaCO 3 ↓
Который легко растворяется в азотной кислоте с выделением углекислого газа:
2H + + CO 3 2- = H 2 O + CO 2
Катионы Ba 2+ , Sr 2+ предпочитают выявлять сульфат-анионом с образованием сульфатов, нерастворимых в кислотах:
Sr 2+ + SO 4 2- = SrSO 4 ↓
Ba 2+ + SO 4 2- = BaSO 4 ↓

1.3. Качественные реакции на катионы свинца (II) Pb 2+ , серебра (I) Ag + , ртути (I) Hg + , ртути (II) Hg 2+ . Рассмотрим их на примере свинца и серебра.
Эта группу катионов объединяет одна общая особенность: они образуют нерастворимые хлориды. Но катионы свинца и серебра можно выявить и другими галогенидами.

Качественная реакция на катион свинца - образование хлорида свинца (осадок белого цвета), либо образование иодида свинца (осадок ярко - желтого цвета):
Pb 2+ + 2I - = PbI 2 ↓

Качественная реакция на катион серебра - образование белого творожистого осадка хлорида серебра, желтовато-белого осадка бромида серебра, образование желтого осадка иодида серебра:
Ag + + Cl - = AgCl↓
Ag + + Br - = AgBr↓
Ag + + I - = AgI↓
Как видно из выше изложенных реакций, галогениды серебра (кроме фторида) нерастворимы, а бромид и иодид имеют окраску. Но отличительная черта их не в этом. Данные соединения разлагаются под действием света на серебро и соответствующий галоген, что также помогает их идентифицировать. Поэтому часто емкости с этими солями испускают запахи. Также при добавлении к данным осадкам тиосульфата натрия происходит растворение:
AgHal + 2Na 2 S 2 O 3 = Na 3 + NaHal, (Hal = Cl, Br, I).
То же самое произойдет при добавлении жидкого аммиака или его конц. раствора. Растворяется только AgCl. AgBr и AgI в аммиаке практически нерастворимы :
AgCl + 2NH 3 = Cl

Существует также еще одна качественная реакция на катион серебра - образование оксида серебра черного цвета при добавлении щелочи:
2Ag + + 2OH - = Ag 2 O↓ + H 2 O
Это связано с тем, что гидроксид серебра при нормальных условиях не существует и сразу же распадается на оксид и воду.

1.4. Качественная реакция на катионы алюминия Al 3+ , хрома (III) Cr 3+ , цинка Zn 2+ , олова (II) Sn 2+ . Данные катионы объединены образованием нерастворимых оснований, легко переводимых в комплексные соединения. Групповой реагент - щелочь.
Al 3+ + 3OH - = Al(OH) 3 ↓ + 3OH - = 3-
Cr 3+ + 3OH - = Cr(OH) 3 ↓ + 3OH - = 3-
Zn 2+ + 2OH - = Zn(OH) 2 ↓ + 2OH- = 2-
Sn 2+ + 2OH- = Sn(OH) 2 ↓ + 2OH - = 2-
Не стоит забывать, что основания катионов Al 3+ , Cr 3+ и Sn 2+ не переводятся в комплексное соединение гидратом аммиака. Этим пользуются, чтобы полностью осадить катионы. Zn 2+ при добавлении конц. раствора аммиака сначала образует Zn(OH) 2 , а при избытке аммиак способствует растворению осадка:
Zn(OH) 2 + 4NH 3 = (OH) 2

1.5. Качественная реакция на катионы железа (II) и (III) Fe 2+ , Fe 3+ . Данные катионы также образуют нерастворимые основания. Иону Fe 2+ отвечает гидроксид железа (II) Fe(OH) 2 - осадок белого цвета. На воздухе сразу покрывается зеленым налетом, поэтому чистый Fe(OH) 2 получают в атмосфере инертых газов либо азота N 2 .
Катиону Fe 3+ отвечает метагидроксид железа (III) FeO(OH) бурого цвета. Примечание: соединения состава Fe(OH) 3 неизвестно (не получено). Но все же большинство придерживаются записи Fe(OH) 3 .
Качественная реакция на Fe 2+ :
Fe 2+ + 2OH - = Fe(OH) 2 ↓
Fe(OH) 2 будучи соединением двухвалентного железа на воздухе неустойчиво и постепенно переходит в гидроксид железа (III):
4Fe(OH) 2 + O 2 + 2H 2 O = 4Fe(OH) 3

Качественная реакция на Fe 3+ :
Fe 3+ + 3OH - = Fe(OH) 3 ↓
Еще одной качественной реакцией на Fe 3+ является взаимодействие с роданид-анионом SCN - , при этом образуется роданид железа (III) Fe(SCN) 3 , окрашивающий раствор в темно-красный цвет (эффект «крови»):
Fe 3+ + 3SCN - = Fe(SCN) 3
Роданид железа (III) легко «разрушается» при добавлении фторидов щелочных металлов:
6NaF + Fe(SCN) 3 = Na 3 + 3NaSCN
Раствор становится бесцветным.
Очень чувствительная реакция на Fe 3+ , помогает обнаружить даже очень незначительные следы данного катиона.

1.6. Качественная реакция на катион марганца (II) Mn 2+ . Данная реакция основана на жестком окислении марганца в кислой среде с изменением степени окисления с +2 до +7. При этом раствор окрашивается в темно-фиолетовый цвет из-за появления перманганат-аниона. Рассмотрим на примере нитрата марганца:
2Mn(NO 3) 2 + 5PbO 2 + 6HNO 3 = 2HMnO 4 + 5Pb(NO 3) 2 + 2H 2 O

1.7. Качественная реакция на катионы меди (II) Cu 2+ , кобальта (II) Co 2+ и никеля (II) Ni 2+ . Особенность этих катионов в образовании с молекулами аммиака комплексных солей - аммиакатов:
Cu 2+ + 4NH 3 = 2+
Аммиакаты окрашивают растворы в яркие цвета. К примеру, аммиакат меди окрашивает раствор в ярко-синий цвет.

1. Качественные реакции на катионы.
1.1.1 Качественные реакции на катионы щелочных металлов (Li + , Na + , K + , Rb + , Cs +).
Катионы щелочных металлов возможно провести только с сухими солями, т.к. практически все соли щелочных металлов растворимы. Обнаружить их можно при внесении небольшого количества соли в пламя горелки. Тот или иной катион окрашивает пламя в соответствующий цвет:
Li + - темно-розовый.
Na + - желтый.
K + - фиолетовый.
Rb + - красный.
Cs + - голубой.
Катионы так же можно обнаружить и с помощью химических реакций. При сливании раствора соли лития с фосфатами образуется нерастворимый в воде, но растворимый в конц. азотной кислоте, фосфат лития:
3Li + + PO4 3- = Li 3 PO 4 ↓
Li 3 PO 4 + 3HNO 3 = 3LiNO 3 + H 3 PO 4

Катион K + можно вывести гидротартрат-анионом HC 4 H 4 O 6 - - анионом винной кислоты:
K + + HC 4 H 4 O 6 - = KHC 4 H 4 O 6 ↓

Катионы K + и Rb + можно выявить добавлением к растворам их солей кремнефтористой кислоты H 2 или ее солей - гексафторсиликатов:
2Me + + 2- = Me 2 ↓ (Me = K, Rb)

Они же и Cs + осаждаются из растворов при добавлении перхлорат-анионов:
Me + + ClO 4 - = MeClO 4 ↓ (Me = K, Rb, Cs).

1.1.2 Качественные реакции на катионы щелочно-земельных металлов (Ca 2+ , Sr 2+ , Ba 2+ , Ra 2+).
Катионы щелочно-земельных металлов можно выявить двумя способами: в растворе и по окраске пламени. Кстати, к щелочно-земельным относятся кальций, стронций, барий и радий. Бериллий и магний нельзя отнести к этой группе, как это любят делать на просторах Интернета.
Окраска пламени:
Ca 2+ - кирпично-красный.
Sr 2+ - карминово-красный.
Ba 2+ - желтовато-зеленый.
Ra 2+ - темно-красный.

Реакции в растворах. Катионы рассматриваемых металлов имеют общую особенность: их карбонаты и сульфаты нерастворимы. Катион Ca 2+ предпочитают выявлять карбонат-анионом CO 3 2- :
Ca 2+ + CO 3 2- = CaCO 3 ↓
Который легко растворяется в азотной кислоте с выделением углекислого газа:
2H + + CO 3 2- = H 2 O + CO 2
Катионы Ba 2+ , Sr 2+ и Ra 2+ предпочитают выявлять сульфат-анионом с образованием сульфатов, нерастворимых в кислотах:
Sr 2+ + SO 4 2- = SrSO 4 ↓
Ba 2+ + SO 4 2- = BaSO 4 ↓
Ra 2+ + SO 4 2- = RaSO 4 ↓

1.1.3. Качественные реакции на катионы свинца (II) Pb 2+ , серебра (I) Ag + , ртути (I) Hg 2 + , ртути (II) Hg 2+ . Рассмотрим их на примере свинца и серебра.
Эта группу катионов объединяет одна общая особенность: они образуют нерастворимые хлориды. Но катионы свинца и серебра можно выявить и другими галогенидами.

Качественная реакция на катион свинца - образование хлорида свинца (осадок белого цвета), либо образование иодида свинца (осадок ярко желтого цвета):
Pb 2+ + 2I - = PbI 2 ↓

Качественная реакция на катион серебра - образование белого творожистого осадка хлорида серебра, желтовато-белого осадка бромида серебра, образование желтого осадка иодида серебра:
Ag + + Cl - = AgCl↓
Ag + + Br - = AgBr↓
Ag + + I - = AgI↓
Как видно из выше изложенных реакций, галогениды серебра (кроме фторида) нерастворимы, а бромид и иодид даже имеют окраску. Но отличительная черта их не в этом. Данные соединения разлагаются под действием света на серебро и соответствующий галоген, что также помогает их идентифицировать. Поэтому часто емкости с этими солями испускают запахи. Также при добавлении к данным осадкам тиосульфата натрия происходит растворение:
AgHal + 2Na 2 S 2 O 3 = Na 3 + NaHal, (Hal = Cl, Br, I).
То же самое произойдет при добавлении жидкого аммиака или его конц. раствора. Растворяется только AgCl. AgBr и AgI в аммиаке практически нерастворимы :
AgCl + 2NH 3 = Cl

Существует также еще одна качественная реакция на катион серебра - образование оксида серебра черного цвета при добавлении щелочи:
2Ag + + 2OH - = Ag 2 O↓ + H 2 O
Это связано с тем, что гидроксид серебра при нормальных условиях не существует и сразу же распадается на оксид и воду.

1.1.4. Качественная реакция на катионы алюминия Al 3+ , хрома (III) Cr 3+ , цинка Zn 2+ , олова (II) Sn 2+ . Данные катионы объединены образованием нерастворимых оснований, легко переводимых в комплексные соединения. Групповой реагент - щелочь.
Al 3+ + 3OH - = Al(OH) 3 ↓ + 3OH - = 3-
Cr 3+ + 3OH - = Cr(OH) 3 ↓ + 3OH - = 3-
Zn 2+ + 2OH - = Zn(OH) 2 ↓ + 2OH- = 2-
Sn 2+ + 2OH- = Sn(OH) 2 ↓ + 2OH - = 2-
Не стоит забывать, что основания катионов Al 3+ , Cr 3+ и Sn 2+ не переводятся в комплексное соединение гидратом аммиака. Этим пользуются, чтобы полностью осадить катионы. Zn 2+ при добавлении конц. раствора аммиака сначала образует Zn(OH) 2 , а при избытке аммиак способствует растворению осадка:
Zn(OH) 2 + 4NH 3 = (OH) 2

1.1.5. Качественная реакция на катионы железа (II) и (III) Fe 2+ , Fe 3+ . Данные катионы также образуют нерастворимые основания. Иону Fe 2+ отвечает гидроксид железа (II) Fe(OH) 2 - осадок белого цвета. На воздухе сразу покрывается зеленым налетом, поэтому чистый Fe(OH) 2 получают в атмосфере инертых газов либо азота N 2 .
Катиону Fe 3+ отвечает метагидроксид железа (III) FeO(OH) бурого цвета. Примечание: соединения состава Fe(OH) 3 неизвестно (не получено). Но все же большинство придерживаются записи Fe(OH) 3 .
Качественная реакция на Fe 2+ :
Fe 2+ + 2OH - = Fe(OH) 2 ↓
Fe(OH) 2 будучи соединением двухвалентного железа на воздухе неустойчиво и постепенно переходит в гидроксид железа (III):
4Fe(OH) 2 + O 2 + 2H 2 O = 4Fe(OH) 3

Качественная реакция на Fe 3+ :
Fe 3+ + 3OH - = Fe(OH) 3 ↓
Еще одной качественной реакцией на Fe 3+ является взаимодействие с роданид-анионом SCN - , при этом образуется роданид железа (III) Fe(SCN) 3 , окрашивающий раствор в темно-красный цвет (эффект «крови»):
Fe 3+ + 3SCN - = Fe(SCN) 3
Роданид железа (III) легко «разрушается» при добавлении фторидов щелочных металлов:
6NaF + Fe(SCN) 3 = Na 3 + 3NaSCN
Раствор становится бесцветным.
Очень чувствительная реакция на Fe 3+ , помогает обнаружить даже очень незначительные следы данного катиона.

1.1.6. Качественная реакция на катион марганца (II) Mn 2+ . Данная реакция основана на жестком окислении марганца в кислой среде с изменением степени окисления с +2 до +7. При этом раствор окрашивается в темно-фиолетовый цвет из-за появления перманганат-аниона. Рассмотрим на примере нитрата марганца:
2Mn(NO 3) 2 + 5PbO 2 + 6HNO 3 = 2HMnO 4 + 5Pb(NO 3) 2 + 2H 2 O

1.1.7. Качественная реакция на катионы меди (II) Cu 2+ , кобальта (II) Co 2+ и никеля (II) Ni 2+ . Особенность этих катионов в образовании с молекулами аммиака комплексных солей - аммиакатов:
Cu 2+ + 4NH 3 = 2+
Аммиакаты окрашивают растворы в яркие цвета. К примеру, аммиакат меди окрашивает раствор в ярко-синий цвет.

1.1.8. Качественные реакции на катион аммония NH 4 + . Взаимодействие солей аммония со щелочами при кипячении:
NH 4 + + OH - =t= NH 3 + H 2 O
При поднесении влажная лакмусовая бумажка окрасится в синий цвет.

1.1.9. Качественная реакция на катион церия (III) Ce 3+ . Взаимодействие солей церия (III) с щелочным раствором пероксида водорода:
Ce 3+ + 3OH - = Ce(OH) 3 ↓
2Ce(OH) 3 + 3H 2 O 2 = 2Ce(OH) 3 (OOH)↓ + 2H 2 O
Пероксогидроксид церия (IV) имеет красно-бурый цвет.

1.2.1. Качественная реакция на катион висмута (III) Bi 3+ . Образование ярко-желтого раствора тетраиодовисмутата (III) калия K при действии на раствор, содержащий Bi 3+ , избытком KI:
Bi(NO 3) 3 + 4KI = K + 3KNO 3
Связано это с тем, что сначала образуется нерастворимый BiI 3 , который затем связывается с помощью I - в комплекс.
На этом я закончу описание выявления катионов. Теперь рассмотрим качественные реакции на некоторые анионы.

Качественный анализ предназначен для обнаружения отде­льных элементов или ионов, входящих в состав вещества.

Аналитические реакции сопровождаются аналитическим эф­фектом, позволяющим получить информацию о наличии опреде­ляемого элемента. К аналитическим эффектам относят: выпадение или растворение осадка, выделение газообразных продуктов, из­менение окраски раствора, образование кристаллов определенной формы.

Для определения присутствия веществ, анионов, катионов ис­пользуются качественные реакции. Проведя их, можно подтвер­дить однозначно их наличие. Эти реакции широко используются при проведении качественного анализа, целью которого является определение наличия веществ или ионов в растворах или смесях. Приведем необходимый для сдачи ЕГЭ минимум качествен­ных реакций.

I. Качественные реакции на катионы.

1. Катион водорода Н + , изменение окраски индикаторов: крас­ный цвет лакмуса, розово-красный - метилового оранжевого.

2. Ион аммония:

NH + 4 + ОН → NH 3 + H 2 О (запах или посинение влаж­ной лакмусовой бумаги).

3. Ион Fe 2+ :

3Fe 2+ + 2 2 ↓ (турнбулева синь); Fe 2+ + 2ОН = Fe(OH) 2 ↓ . (зеленоватый осадок).

4. Ион Fe 3+ :

4Fe 3+ + 3 4- → Fe 4 3 ↓ (берлинская лазурь);

Fe 3+ + 3CNS → Fe(CNS) 3 (кроваво-красный цвет);

Fe 3+ + 3ОН - = Fe(OH) 3 ↓ (бурый осадок).

5. ИонА1 3+ :

Al 3+ + 3ОН - →А1(ОН) 3 ↓ (белый осадок, растворяется в избытке щелочи).

6. Ион Ва 2+ :

Ва 2+ + SО 4 2- → BaSО 4 ↓ . (белый осадок).

7. Ион Са 2+ :

Са 2+ + СО 3 2- →CaCО 3 ↓ . (белый осадок).

8. Ион Си 2+ :

Cu 2+ + 2ОH - → Сu(ОН) 2 ↓ (голубой осадок).

9. Иoн Ag + :

Ag + + СI - → AgCl ↓ (белый творожистый осадок).

10. Окраска пламени:

II. Качественные реакции на анионы.

1. Гидроксид-ион:ОН - : изменение окраски индикаторов: лакмус -синий, фенолфталеин - малиновый, метиловый оранжевый - желтый.

2. Галогенид-ионы:

F - + Ag + → осадок не образуется;

С1 - + Ag + → AgC↓ - белый осадок

Br - + Ag + →AgBr↓ - желтовато-белый осадок

I - + Ag + →AgI↓ - ярко-желтый осадок

3. Сульфид-ион:

H 2 S + Pb(NO 3) 2 →PbS ↓ + 2HNO 3 ;

CuSO 4 + H 2 S (Na 2 S)→H 2 SO 4 (Na,SO 4) + CuS↓ (черный осадок).

4. Сульфат-ион:

BaCI 2 + H,SO 4 →BaSO 4 ↓ + 2НС1; Ba 2+ + SO 4 2- = BaSO 4 ↓ (белый осадок).

5. Нитрат-ион:

Сu 2+ + NO 3 - + 2Н + →Сu 2+ + NO 2 + Н 2 O (бурый газ).

6. Фосфат-ион:

РO 4 3- + 3Ag + → Ag 3 PO 4 ↓ (желтый осадок, который, в отличие от осадка AgBr, растворим в минеральных кислотах).

7. Хромат-ион:

СгO 4 2- + Ва 2+ → BaCrO 4 ↓ . (желтый осадок).

8. Карбонат-ион, обнаружение С0 2:
СО 3 2- + 2Н + → СO 2 + Н 2 O;

СO 2 + Са(ОН) 2 →СаСO 3 + Н 2 O;

СаСО 3 + СO 2 + Н 2 O →Са(НСO 3) 2 .

III. Качественная реакция на озон:

2KI + O 3 + Н 2 O → I 2 ↓ + 2КOН + O 2 ; KI + О 2 → не идет

Образование йода можно доказать по изменению окраски рас­твора в присутствии крахмала: происходит посинение.

Идентификация органических соединений

1. Качественные реакции на соединения, содержащие двойные и тройные связи (алкены, алкадиены, алкины, и др.). Обесцвечивание перманганата калия:

3СН 2 = СН 2 +2КМпO 4 + 4Н 2 O →3С Н 2 ОН - С Н 2 ОН + 2MnO 2 + 2KOH;

3С Н = С Н + 8КМпO 4 → 3КООС-СООК + 8МпO 2 +2КОН + 2Н 2 O.

Обесцвечивание бромной воды:

Н 3 С-СН 2 -СН=СН 2 + Вг 2 → Н 3 С-СН 2 -СН-СН 2 ;

CH≡CH + 2Вг 2 → CHBr 2 -CHBr 2

СН 2 =СН-СООН + Вг 2 → СН 2 Вг-СНВг-СООН.

Качественные реакции на многоатомные спирты, моно- и дисахариды.

Взаимодействие с Сu(ОН) 2 на холоде - это качественная реак­ция на многоатомные спирты, а также на моно- и дисахариды:

Моносахаридл (дисахарид) + Сu(ОН) (голубой осадок) → синий раствор:

3. Качественная реакция на фенолы.

С 6 Н 5 ОН + FeCl 3 → комплексное соединение темно-фиолетового цвета.

4. Качественные реакции «Серебряное зеркало» и со свежепри­готовленным осадком Си(ОН) 2 на альдегидную группу:

СН 3 СНО+ Ag 2 O(NH 3) → СН 3 СООН + 2Ag |;

НСНО + 2Ag 2 O(NH 3) →СO 2 + Н 2 O + 4Ag↓

CH 2 OH-(CHOH) 4 -CHO+Ag 2 O(NH 3) → СН 2 ОН-(СНОН) 4 -СООН + 2Ag↓ ;

СН 3 СНО + 2Сu(ОН) 2 →СН 3 СООН + Cu 2 O↓ + 2Н 2 O

5. Качественные реакции на органические кислоты:
СН 3 СООН: лакмус красный;

СН 3 СООН + Na 2 CO 3 → CH 3 COONa + H 2 O + СO 2 (выделение газа);

НСООН: лакмус красный;

2НСООН + Na 2 CO 3 →2HCOONa + H 2 O + СO 2 (выделение газа);

НСООН + Ag 2 O(NH 3) → СO 2 + Н 2 O + 2Ag↓

6. Качественная реакция с йодом на крахмал:

(С 6 Н |0 О 5) n + I 2 →синее окрашивание.

Качественные реакции на белки

а) биуретовая реакция.

При обработке белка концентрирован­ным раствором щелочи и раствором сульфата меди появляется красно-фиолетовое окрашивание, вызванное образованием медно­го комплекса белка (реакция на пептидную связь);

б) ксантопротеиновая реакция.

При действии концентрирован­ной азотной кислоты белок окрашивается в желтый цвет. Реакция связана с наличием в молекуле белка ароматических групп, которые нитруются в мягких условиях;

в) сульфгидрильная реакция.

При добавлении к раствору белка ацетата свинца (II) и гидроксида натрия при нагревании выпадает черный осадок сульфида свинца, вследствие наличия в белке тиольных (сульфгидрильных) групп.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.