ಉಪನ್ಯಾಸ: ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು; ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ; ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಿತ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅವರು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪದನಾಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: A(A x ; Ay) ಮತ್ತು B(B x ; By)

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

• ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನ. ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

• ಬೀಜಗಣಿತ ಅರ್ಥ. ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅನುಗುಣವಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ನೀವು ಇದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು:

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

• ನೀವು ಎರಡು ಒಂದೇ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ:

• ಎರಡು ಒಂದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

• ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂವಹನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿದರೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ:

• ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

• ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಪರಿವರ್ತಕ ಕಾನೂನು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

• ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ, ನೀವು ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡೈನ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳ a → ಮತ್ತು b → ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಕೇತವು a → , b → ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → ಮತ್ತು b → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, a → , b → ^ - ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪದನಾಮ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, 0 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, a → , b → = 0

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಅದರ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

ಸಂಕೇತಗಳು a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → n p b → a → ಸಂಖ್ಯಾ ಯೋಜನೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ b → ಮೇಲೆ, n p a → a → - ಕ್ರಮವಾಗಿ a → ಮೇಲೆ b → ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್.

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ರೂಪಿಸೋಣ:

a → by b → ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸದಿಶದ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ a → ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ b → ಮೂಲಕ a → ಅಥವಾ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನ b → ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a →, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು a → ಮತ್ತು b → ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) ಬಳಸಿ:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂರನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ.

ಪುರಾವೆ 1

ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ನಾವು a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ a → = (a x , a y) , b → = (b x, b y) ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡಬೇಕು

O A → = a → = a x, a y ಮತ್ತು O B → = b → = b x, b y.

ನಂತರ A B → ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

O A B ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

ನಂತರ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , ಅಂದರೆ (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- ಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) ಮತ್ತು (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

a → , b → ಮತ್ತು c → ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ:

1. ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. ವಿತರಣೆ (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , ಸಿ →) ;
3. ಸಂಯೋಜಿತ ಆಸ್ತಿ (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ;
4. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ (a → , a →) ≥ 0, ಅಲ್ಲಿ (a → , a →) = 0 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ a → ಶೂನ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ (a → , b →) = (b → , a →) . ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು (a → , b →) = a y · b y + a y · b y ಮತ್ತು (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ, ಸಮಾನತೆಗಳು a x · b x = b x · a x ಮತ್ತು a y · b y = b y · a y ನಿಜ, ಅಂದರೆ a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (a → , b →) = (b → , a →) . ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ವಿತರಣೆಯು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

ಮತ್ತು (a → , b (1) → + b (2) → +. . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಈ ರೀತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y ಅಥವಾ (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

a → ನ ಉದ್ದವು 3 ಆಗಿದೆ, b → ನ ಉದ್ದವು 7 ಆಗಿದೆ. ಕೋನವು 60 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

ಉತ್ತರ: (a → , b →) = 21 2 .

ಉದಾಹರಣೆ 3

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಯಾವುದು?

ಪರಿಹಾರ

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​+ 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9

ಉತ್ತರ: (a → , b →) = - 9

ಉದಾಹರಣೆ 4

A B → ಮತ್ತು A C → ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಷರತ್ತುಗಳ ಮೂಲಕ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

ಉತ್ತರ: (ಎ ಬಿ → , ಎ ಸಿ →) = 28 .

ಉದಾಹರಣೆ 5

ವಾಹಕಗಳು a → = 7 · m → + 3 · n → ಮತ್ತು b → = 5 · m → + 8 · n → , ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. m → 3 ಮತ್ತು n → 2 ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರ

(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(7 m → , 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m →, n →) + 3 · 5 · (n →, m →) + 3 · 8 · (n →, n →) = = 35 · (m →, m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

ಸಂವಹನದ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m →, n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n ) + 24 · (n → , n →)

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

ಈಗ ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → n → · cos (m →, n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

ಉತ್ತರ: (a → , b →) = 411

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

a → ಮತ್ತು b → ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ವೆಕ್ಟರ್ a → ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ a → = (9, 3, - 3), ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ b → ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (- 3, - 1, 1).

ಪರಿಹಾರ

ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a → ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ b → ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a → = - 1 3 · n p a → b → → , ಅಂದರೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ b → ಉದ್ದ n p a → b → → , ಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆ “ -" ಚಿಹ್ನೆ:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

ಉತ್ತರ: (a → , b →) = - 33 .

ತಿಳಿದಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗಿನ ತೊಂದರೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ λ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು a → = (1, 0, λ + 1) ಮತ್ತು b → = (λ, 1, λ) -1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (a → , b →) = - 1 .

λ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

λ 2 + 2 · λ = - 1, ಆದ್ದರಿಂದ λ = - 1.

ಉತ್ತರ: λ = - 1.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ.

A ಸ್ಥಿರವಾದ ಶಕ್ತಿ F → ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ N ಗೆ ಚಲಿಸುವ ದೇಹದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ನೀವು ವಾಹಕಗಳ F → ಮತ್ತು M N → ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಕೆಲಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಲ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರ ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ:

A = (F → , M N →) .

ಉದಾಹರಣೆ 8

5 Ntons ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಬಲದ ಪ್ರಭಾವದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 3 ಮೀಟರ್ಗಳಷ್ಟು ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 45 ಡಿಗ್ರಿ ಕೋನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಕೆಲಸವು ಫೋರ್ಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದರರ್ಥ F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, ನಾವು A = (F →, S ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

ಉತ್ತರ: A = 15 2 2 .

ಉದಾಹರಣೆ 9

F → = (3, 1, 2) ಬಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ M (2, - 1, - 3) ನಿಂದ N (5, 3 λ - 2, 4) ಗೆ ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತು ಬಿಂದು, 13 J ಗೆ ಸಮನಾದ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಚಲನೆಯ ಉದ್ದ.

ಪರಿಹಾರ

ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ M N → ನಾವು M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

ವೆಕ್ಟರ್ ಎಫ್ → = (3, 1, 2) ಮತ್ತು M N → = (3, 3 λ - 1, 7) ಜೊತೆಗೆ ಕೆಲಸವನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 (3) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, A = 13 J ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ 22 + 3 λ = 13. ಇದು λ = - 3 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

M N → ಚಲನೆಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

ಉತ್ತರ: 158.

ನೀವು ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳೂ ಸಹ ಇರುತ್ತವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ನೀವು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎರಡನ್ನೂ “ಬೆಳ್ಳಿಯ ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ” ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1.ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ ಸೂತ್ರ:

ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಎರಡರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ನಂತರ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈಗ ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ) ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ಮೈನಸ್ 8 ಆಗಿದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೂರು ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟರೆ

,

ನಂತರ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈಗಾಗಲೇ ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿವೆ:

.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ನಂತರ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದ ವಾಹಕಗಳು ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಬೀಜಗಣಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. (ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿ: ಗುಣಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ).

2. (ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಹಾಯಕ ಆಸ್ತಿ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅದೇ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

3. (ವಾಹಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ: ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್).

4. (ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವರ್ಗ), ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು , ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಸಮಯ ಇದು.

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲಕ್ಕೆ ತರಲಾದ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಮತ್ತು ನೀವು ಗಮನ ಕೊಡಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳಿವೆ - φ 1 ಮತ್ತು φ 2 . ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಯಾವ ಕೋನಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ? ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 2 ಆಗಿದೆ π ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ಮೀರದ ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದಾಗಿದೆ π , ಅಂದರೆ, 180 ಡಿಗ್ರಿ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಈ ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ φ 1 .

1. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (90 ಡಿಗ್ರಿ ಅಥವಾ π /2), ವೇಳೆ ಈ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ :

.

ವೆಕ್ಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಎಂದರೆ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆ.

2. ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಚೂಪಾದ ಮೂಲೆ (0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿ, ಅಥವಾ, ಇದು ಒಂದೇ - ಕಡಿಮೆ π ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ .

3. ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಚೂಪಾದ ಕೋನ (90 ರಿಂದ 180 ಡಿಗ್ರಿ, ಅಥವಾ, ಅದೇ ಏನು - ಹೆಚ್ಚು π /2) ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಮಾತ್ರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ .

ಉದಾಹರಣೆ 3.ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

.

ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಈ ಜೋಡಿ ವಾಹಕಗಳು ಯಾವ ಕೋನವನ್ನು (ತೀವ್ರವಾದ, ಬಲ, ಚೂಪಾದ) ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ. ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ಚೂಪಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

.

ನಾವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ .

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

.

ವಾಹಕಗಳು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ (ಲಂಬವಾಗಿ) ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ:

ಈಗ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ (ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಉತ್ತರ: ನಾವು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ λ = 1.8, ಇದರಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5.ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ (ಲಂಬವಾಗಿ).

ಪರಿಹಾರ. ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬದಲಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮೊದಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ (ಅವಧಿ) ಅನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು:

.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಭಾಗವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ:

ತೀರ್ಮಾನ: ಗುಣಾಕಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ (ಲಂಬವಾಗಿ) ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ

ಉದಾಹರಣೆ 6.ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು π /4. ಯಾವ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ μ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ .

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ

ಮಾತೃಕೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗುಣಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ:

ನಂತರ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ :

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಸಾಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ n-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ, ಎರಡು ಐದು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಐದು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಐದು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 7.ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

,

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು.

ಪರಿಹಾರ. ವಾಹಕಗಳ ಮೊದಲ ಜೋಡಿ. ನಾವು ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಲು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಎರಡನೇ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಿಂದ ಒಂದೇ ಜೋಡಿಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ತುಂಬಾ ಸುಂದರ ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು

(1)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೊದಲು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಏನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದರೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಉದ್ದದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೊನ್ನೆಯ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕದ ಚೌಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವಾಹಕಗಳಿಂದ

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎ(1;1;1), ಬಿ(2;2;1), ಸಿ(2;1;2).

ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

,

.

ಕೊಸೈನ್ ಕೋನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಗಾಗಿ ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ .

ಉದಾಹರಣೆ 9.ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉದ್ದ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಹುಡುಕಾಟ ಎಂಜಿನ್‌ನಿಂದ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಈ ಪುಟಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದುವುದನ್ನು ನಾನು ಬಲವಾಗಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾನು ಬಳಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಪರಿಚಿತರಾಗಿರಬೇಕು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪಾಠವು ವಿಷಯದ ತಾರ್ಕಿಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ನಾನು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಚಟುವಟಿಕೆಯಾಗಿದೆ.. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ; ಅವು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಬೋನಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ - ಅಭ್ಯಾಸವು ನೀವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಸದಿಶವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.... ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುವುದು ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ. ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ; ಇತರ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ಗೆ ಸೇರಿವೆ. ವಿಷಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನೇರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯ. ಯೋಗ್ಯ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಹಿತಿ ಇದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಮ್ಮೆ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ, ನನ್ನನ್ನು ನಂಬಿರಿ, ಲೇಖಕರು ಗಣಿತದಿಂದ ಚಿಕಟಿಲೋ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಗಣಿತದಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಎರಡೂ =) ಹೆಚ್ಚು ತಯಾರಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಆಯ್ದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ನಾನು ನಿರುಪದ್ರವ ಕೌಂಟ್ ಡ್ರಾಕುಲಾ ಆಗಿದ್ದೇನೆ =)

ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಬಾಗಿಲು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಭೇಟಿಯಾದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಉತ್ಸಾಹದಿಂದ ನೋಡೋಣ ...

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಮೊದಲು ಸುಮಾರು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಏನೆಂದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ. ಉಚಿತ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು . ನೀವು ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯೋಜಿಸಿದರೆ, ಅನೇಕರು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ:

ನಾನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಿದೆ. ನಿಮಗೆ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ದಯವಿಟ್ಟು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೋಡಿ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನಮಗೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಅವುಗಳ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇನೆ. ಕೆಲವು ನಂತರದ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ನನ್ನನ್ನು ನಿಂದಿಸಬಹುದಾದ ಮುಂದುವರಿದ ಸೈಟ್ ಸಂದರ್ಶಕರಿಗೆ ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಯ್ದಿರಿಸಿದ್ದೇನೆ.

0 ರಿಂದ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ (0 ರಿಂದ ರೇಡಿಯನ್ಸ್) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: ಅಥವಾ (ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ).

ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕೋನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾದ NUMBER ಆಗಿದೆ:

ಈಗ ಇದು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಅಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹುದ್ದೆ:ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು NUMBER ಆಗಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಬೆಚ್ಚಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ . ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಉತ್ತರ:

ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ. ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಗೋಪುರದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವು ಬಾರಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಷ್ಟೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ನಂತರ ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಭೌತಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಬಲದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಂಗೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು (ಸೂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ). ಬಲದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಜೌಲ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, .

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ , ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆ ಏನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ: . ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ: ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ.

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಒಳಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು , ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

1) ವೇಳೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮಸಾಲೆಯುಕ್ತ: (0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ), ನಂತರ , ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಿಂದ, ಸೂತ್ರವು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ: .

2) ವೇಳೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮೊಂಡಾದ: (90 ರಿಂದ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳವರೆಗೆ), ನಂತರ , ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ: . ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ: ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳು, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ: (180 ಡಿಗ್ರಿ). ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ

ಸಂವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಹ ನಿಜ:

1) ವೇಳೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಹ-ದಿಕ್ಕುಗಳಾಗಿವೆ.

2) ವೇಳೆ , ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿವೆ.

ಆದರೆ ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

3) ವೇಳೆ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ನೇರ: (90 ಡಿಗ್ರಿ), ನಂತರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: . ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ವೇಳೆ , ನಂತರ . ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು: ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಗಣಿತ ಸಂಕೇತ:

! ಸೂಚನೆ : ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಮೂಲಗಳು: ಎರಡು ಬದಿಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮದ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ", "ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ವೇಳೆ" ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಬಾಣಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - "ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ - ಅದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ." ಮೂಲಕ, ಒನ್-ವೇ ಫಾಲೋ ಐಕಾನ್‌ನಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಐಕಾನ್ ಹೇಳುತ್ತದೆ ಅದು ಮಾತ್ರ, "ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ," ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: , ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರಾಣಿಯು ಪ್ಯಾಂಥರ್ ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಐಕಾನ್ ಬದಲಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದುಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಐಕಾನ್ ಬಳಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: - ಅಂತಹ ನಮೂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ .

ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಇದ್ದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: .

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ವೆಕ್ಟರ್ ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸರಳೀಕೃತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಇದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅದರ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜ:

1) - ಪರಿವರ್ತಕ ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು.

2) - ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಿತರಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು. ಸರಳವಾಗಿ, ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು.

3) - ಸಹಾಯಕ ಅಥವಾ ಸಹಾಯಕಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅನಗತ್ಯವಾದ ಕಸ ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ ತಕ್ಷಣವೇ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಮರೆತುಬಿಡಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯಿಂದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ: . ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ವಿಧಾನದಿಂದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿವರ್ತಕ ಆಸ್ತಿಯು ನಿಜವಲ್ಲ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್. ಇದು ಕೂಡ ನಿಜವಲ್ಲ ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಏನು ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಏನು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕನಿಷ್ಠ ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾಣುವ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

.

ಪರಿಹಾರ:ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ. ಹೇಗಾದರೂ ಇದು ಏನು? ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು. ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಪಾರ್ಸ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ , ಆದರೆ ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬೇರೆ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

(1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

(2) ನಾವು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಒಂದು ಅಸಭ್ಯವಾದ ನಾಲಿಗೆ ಟ್ವಿಸ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಅಥವಾ ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿ-ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ನಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ =) ಮೂಲಕ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ.

(3) ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: . ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: .

(4) ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

(5) ಮೊದಲ ಪದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಫಾರ್ಮುಲಾವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅದೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ: . ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ .

(6) ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ , ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಕೈಗೊಳ್ಳಿ.

ಉತ್ತರ:

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ .

ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ಹೊಸ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ. ಇಲ್ಲಿರುವ ಸಂಕೇತವು ಸ್ವಲ್ಪ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ನಾನು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

(1) ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತೇವೆ.

(2) ನಾವು ಉದ್ದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: , ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ve ವೆಕ್ಟರ್ "ve" ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

(3) ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ನಾವು ಶಾಲೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಕುತೂಹಲದಿಂದ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: - ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದು ಹೇಗೆ. ಬಯಸುವವರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು: - ನಿಯಮಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯವರೆಗೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

(4) ಮುಂದಿನದು ಎರಡು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ನಾವು ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ - "ಘಟಕಗಳು".

ಉದಾಹರಣೆ 6

ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ನಾವು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಹಿಂಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ . ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಎಡಭಾಗದ ಛೇದಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:

ಈ ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವೇನು? ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೋನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? ಸಂಖ್ಯೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ? ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ಭಾಗವು ಸಹ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ: , ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ: .

ಉದಾಹರಣೆ 7

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.

ಪರಿಹಾರ:ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ತಾಂತ್ರಿಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು - ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನಾನು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಳೆ , ಅದು:

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕ. ಇದು ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೂ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕೆಲವು ಬೃಹದಾಕಾರದ ಕರಡಿಗಳು , ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸುಮಾರು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಹ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ - ರೇಡಿಯನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳು. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ "ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು", ನಾನು ಎರಡನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ (ಷರತ್ತಿಗೆ, ಸಹಜವಾಗಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ).

ಈಗ ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 7*

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ, .

ಬಹು-ಹಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಯವು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ.
ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡೋಣ:

1) ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು , ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ .

2) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3, 4 ನೋಡಿ).

3) ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 5, 6 ನೋಡಿ).

4) ಪರಿಹಾರದ ಅಂತ್ಯವು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ತಿಳಿದಿದೆ , ಅಂದರೆ ಕೋನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ:

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗವು ಅದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಇದು ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ,
ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 14

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ವೇಳೆ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಹಭಾಗಿತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಎಣಿಸಬೇಡಿ , ಆದರೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಹೊರಗೆ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವಿದೆ.

ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಚೋದನಕಾರಿ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 15

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ , ವೇಳೆ

ಪರಿಹಾರ:ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ವಿಧಾನವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅದರ ಉದ್ದ :

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಲ್ಲ!

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಲ್ಲ:
ನಿಲ್ಲಿಸು. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯಬೇಕಲ್ಲವೇ? ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಏನು ಹೇಳಬಹುದು? ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಿಂತ 5 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ದಿಕ್ಕು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಘಟಕಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:
- ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ".

ಹೀಗೆ:

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ಗಾಗಿ ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಈಗ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಸಮತಲ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ಮತ್ತು , ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 16

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ (ಶೃಂಗದ ಕೋನ).

ಪರಿಹಾರ:ಷರತ್ತುಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ:

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಹಸಿರು ಚಾಪದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋನದ ಶಾಲೆಯ ಪದನಾಮವನ್ನು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ನೆನಪಿಸೋಣ: - ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಸರಾಸರಿಪತ್ರ - ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನದ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: .

ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಕಲಿಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು:

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್:

ನಾನು ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗೆ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದ ಓದುಗರು "ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

"ಕೆಟ್ಟ" ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಅಂತಿಮವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಕೋನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ತೋರಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ಕೋನವನ್ನು ಪ್ರೋಟ್ರಾಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಮಾನಿಟರ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹಾನಿ ಮಾಡಬೇಡಿ =)

ಉತ್ತರ:

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಮರೆಯುವುದಿಲ್ಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದರು(ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ), ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ: ಮತ್ತು ಕೋನದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ: , ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆನಂದಿಸಿದವರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 17

ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ

ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಅಂತಿಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ.
ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು:

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸೋಣ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಲಂಬವಾಗಿವೆಕ್ಟರ್ಗೆ (ಹಸಿರು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಸಾಲುಗಳು). ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನಂತರ ವಿಭಾಗ (ಕೆಂಪು ರೇಖೆ) ವೆಕ್ಟರ್ನ "ನೆರಳು" ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವಿಭಾಗದ LENGTH ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ NUMBER ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: , "ದೊಡ್ಡ ವೆಕ್ಟರ್" ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಯಾವುದುಯೋಜನೆ, "ಸಣ್ಣ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ವೆಕ್ಟರ್" ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆನ್ ಆಗಿದೆಇದು ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಮೂದು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "ವೆಕ್ಟರ್ "ಎ" ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಮೇಲೆ."

ವೆಕ್ಟರ್ "be" "ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ" ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ "a" ಅನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ದಿಕ್ಕಿಗೆ, ಸರಳವಾಗಿ - ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ. ಮೂವತ್ತನೇ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ “a” ಅನ್ನು ಮುಂದೂಡಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ “be” ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋನ ವೇಳೆವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮಸಾಲೆಯುಕ್ತ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ), ನಂತರ

ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ನಂತರ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು ಅದರ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಕೋನ ವೇಳೆವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ಮೊಂಡಾದ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಬಾಣವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಿ), ನಂತರ (ಅದೇ ಉದ್ದ, ಆದರೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ).

ನಾವು ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಯೋಜಿಸೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. $\overline(a)$ ಮತ್ತು $\overline(b)$ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಿ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕೋನವು $\varphi$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. $x = (\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಎ),\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಬಿ))$ ಮತ್ತು $y = [\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಎ),\ಓವರ್‌ಲೈನ್(ಬಿ)]$ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ನಂತರ $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, ಇಲ್ಲಿ $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, ಮತ್ತು $\varphi$ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನ, ಅಂದರೆ $(x, y)$ ಬಿಂದುವು $\varphi$ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಧ್ರುವೀಯ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ $\varphi$ ಅನ್ನು atan2(y, x) ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು.

ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಸೇರಿದೆ

ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ಮತ್ತು $AB$ ಗೆರೆಯನ್ನು (ಎರಡು ಅಂಕಗಳಿಂದ $A$ ಮತ್ತು $B$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ನೀಡಲಿ. ಒಂದು ಬಿಂದು $AB$ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

$AP$ ಮತ್ತು $AB$ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಬಿಂದು $AB$ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ.

ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಸೇರಿದೆ

ಬಿಂದು $P$ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಿರಣ $AB$ ನೀಡಲಿ (ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕಿರಣದ ಪ್ರಾರಂಭ $A$ ಮತ್ತು ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು). ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಕಿರಣ $AB$ ಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

$P$ ಬಿಂದುವು $AB$ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತಿಗೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - $AP$ ಮತ್ತು $AB$ ವಾಹಕಗಳು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್, ಅಂದರೆ, ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಅಂದರೆ, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಸೇರಿದೆ

ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಭಾಗ $AB$ ನೀಡಲಿ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು $AB$ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ ರೇ $AB$ ಮತ್ತು ರೇ $BA$ ಎರಡಕ್ಕೂ ಸೇರಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಅಂತರ

ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ಮತ್ತು $AB$ ಗೆರೆಯನ್ನು (ಎರಡು ಅಂಕಗಳಿಂದ $A$ ಮತ್ತು $B$ ನೀಡಲಾಗಿದೆ) ನೀಡಲಿ. $AB$ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ತ್ರಿಕೋನ ABP ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದೆಡೆ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $h$ ಎಂಬುದು $P$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕೆಳಗಿಳಿದ ಎತ್ತರ, ಅಂದರೆ ದೂರ $P$ ನಿಂದ $ AB$ ವರೆಗೆ. ಎಲ್ಲಿ $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ದೂರ

ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಿರಣ $AB$ ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ (ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ - ಕಿರಣದ ಪ್ರಾರಂಭ $A$ ಮತ್ತು ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು). ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ $P$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಕಿರಣದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ.

ಈ ಅಂತರವು $AP$ ಉದ್ದ ಅಥವಾ $P$ ನಿಂದ $AB$ ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವ ಪ್ರಕರಣಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಿರಣ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. PAB ಕೋನವು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, ಆಗ ಉತ್ತರವು $P$ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ $AB$ ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಉತ್ತರವು $AB$ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ದೂರ

ಒಂದು ಬಿಂದು $P$ ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಭಾಗ $AB$ ನೀಡಲಿ. $P$ ನಿಂದ $AB$ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಒಂದು ವೇಳೆ $P$ ನಿಂದ $AB$ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಆಧಾರವು $AB$ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

ನಂತರ ಉತ್ತರವು ಪಾಯಿಂಟ್ $P$ ನಿಂದ $AB$ ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ದೂರವು $\min(AP, BP)$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.