일반 역학 방정식의 공식화. 분석 역학. 역학의 기본 방정식

매끄러운 표면, 이상적인 나사산, 힌지, 스러스트 베어링, 블라인드 씰 등 역학 문제에서 일반적으로 고려되는 모든 유형의 연결이 이상적이라는 것을 쉽게 보여줄 수 있습니다. 연결의 불완전성은 종종 미끄러지거나 굴러가는 마찰로 인해 발생합니다. 이 경우 이상성이 위반되는 연결 반작용 부분은 공식적으로 활성 힘의 범주로 이전되고 조건에 지정되거나 문제에 정의됩니다. 앞으로는 그러한 기계 시스템, 즉 이상적인 연결이 있거나 설명된 기술을 사용하여 이상적인 범주로 전환될 수 있는 연결이 있는 시스템을 고려할 것입니다. 이러한 시스템의 경우 뉴턴의 II 법칙, 힘 작용의 독립 원리(더 정확하게는 평행사변형 규칙), 채권으로부터의 해방 원리 및 채권의 이상성의 원리. 이 위치는 역학에 관한 문헌에서 다르게 호출됩니다. d'Alembert-Lagrange 원리, 역학의 일반변분방정식, 역학의 일반방정식등. 이론 역학의 다른 조항과 정리를 도출하기 위해 이 원리를 적용하면 상당한 이점을 얻을 수 있으며 우리는 지속적으로 사용할 것입니다.

기계 시스템의 각 지점은 해당 기계 시스템의 다른 지점 및 몸체, 내부 및 외부 연결뿐만 아니라 해당 기계 시스템에 속하지 않는 지점 및 몸체와 상호 작용할 수 있습니다. 작용하는 표시된 결합의 모든 반력을 결합해 보겠습니다. 나평행사변형 규칙에 따라 두 번째 점 MC를 한 힘으로 쌍으로 추가합니다. 활동적인 힘에 대해서도 똑같이 해보자. 우리는 힘을 얻습니다. 뉴턴의 제2법칙을 사용하여 시스템 점의 운동 방정식을 작성합니다.

, i=1,2,…,N. (5.1)

결합의 이상성 조건을 적용하려면 결합의 반응에 대해 이러한 방정식을 풀고 결과 식을 (4.8)에 대입할 필요가 있습니다. 이것은

.

이 원리를 보다 편리하게 공식화하기 위해 괄호 안의 용어를 바꾸어 보겠습니다. 크기

힘의 차원을 갖는 역학에서는 다음과 같이 부르는 것이 관례입니다. D'Alembert의 점 관성력아니면 그냥 점 관성력. 그 다음에

이상적인 고정 연결을 갖춘 기계 시스템이 이동하는 동안 매 순간마다 활성 힘과 관성력의 가상 작업의 합은 0과 같습니다.

또는 (5.2)

일반화된 힘 . 일반화된 좌표 및 시간 측면에서 시스템 지점의 반경 벡터에 대해 명시적으로 또는 암시적으로 주어진 표현이 있다고 가정합니다. 티

, 나=1,2,…,N. (5.3)

시간이 고정되어 있다고 가정하고 여러 변수의 함수를 미분하는 식 (7.1)에 등시성 변화 연산을 적용해 보겠습니다. 우리는 얻는다

이 식을 가상일 공식에 대입해 보겠습니다. 나-번째 활동력을 확인하고 시스템의 모든 지점에서 이러한 작업을 요약합니다. 우리는 얻는다

.

이 표현식의 항을 재배열하고 합산 순서를 변경해 보겠습니다.

여기 , k=1,2,…,s(5.6)

그리고 거기에 숫자 k의 일반화된 좌표에 해당하는 일반화된 힘. 따라서, 일반화된 힘다음과 같이 정의할 수 있습니다.

시스템의 가상 작동 표현에서 일반화된 좌표의 변화에 ​​앞선 계수입니다.

식 (5.5)와 (5.6)에서 일반화된 힘을 계산하는 두 가지 방법을 얻을 수 있습니다. 하나는 정의에 의해 직접적으로, 두 번째는 공식 (5.6)에 따라 일반화 된 것 (5.4)에 대한 적용 지점 좌표의 분석적 의존성과 힘의 투영이 제공되는 경우입니다. 앞으로는 일반화된 힘을 계산하는 방법을 더 자세히 고려할 것입니다. 즉각적인 목적을 위해서는 식 (5.6)과 이 정의로 충분합니다. 우리는 일반적인 힘과 달리 일반화된 힘이 스칼라 수량이고 표현(5.3)이 힘의 가상 작업에 대한 표현과 유사하기 때문에 그렇게 불린다는 점을 강조합니다.

이 공식의 오른쪽에서 일반화된 힘을 일반화된 좌표에 대한 시스템 힘의 투영으로 이야기하는 것이 합리적이라는 것이 분명합니다.

똑같은 방식으로, (7.4)의 활성력 대신 관성력을 대입하여 일반화된 관성력에 대한 표현을 쓸 수 있습니다.

, k=1,2,…,s. (5.7)

일반화된 좌표계의 일반 역학 방정식. (5.5)를 바탕으로 기계 시스템의 활성 힘과 관성력의 가상 작업에 대한 표현을 작성하고 (5.2)에 따라 이를 0과 동일시합니다.

일반화된 좌표의 변화의 독립성으로 인해 서로의 경우입니다. 홀로노믹 시스템, 해야 한다 에스방정식

또는 뉴턴의 제2법칙(3.10)을 연상시키는 다른 형태로

이러한 방정식은 홀로노믹 제약 조건이 있는 기계 시스템의 동적 동작을 설명하는 방정식입니다. 운동 방정식을 유도하는 데 직접 사용할 수 있습니다. 여기서 가장 어려운 점은 공식(5.7)을 사용하여 결정될 수 있는 감소된 관성력에 대한 표현을 구하는 것입니다. 앞으로는 방정식 (5.6)-(5.8)을 기반으로 하는 상당히 광범위한 종류의 기계 시스템에 대한 운동 방정식의 구성을 자동화하기 위해 컴퓨터 대수학 알고리즘을 구성하는 방법을 보여줄 것입니다. 그러나 운동 방정식의 "수동" 유도를 위해서는 일반화된 관성력(5.7)을 운동 에너지를 통해 표현하여 (5.8)에서 얻은 두 번째 종류의 라그랑주 방정식을 사용하는 것이 더 바람직합니다. 체계.

강의 6. 제2종 라그랑주 방정식.

숫자로 용어를 찾아보자 나식 (5.3)을 사용하여 (5.7)의 오른쪽에.

.

여기서는 두 개의 Lagrange 항등식을 사용합니다.

, .

합산 후 일반화된 관성력을 얻습니다.

.

여기서 값 , 속도는 어디입니까? 나-번째 요점은 분명히 기계 시스템의 운동 에너지입니다.

마침내 우리는 얻는다

, k=1,2,...,s, (6.1)

어디 에스- 자유도, - 운동 에너지, , , - 주어진 기계 시스템의 일련 번호를 사용한 일반화된 좌표, 일반화된 속도 및 일반화된 유효 힘.

(6.1) 형식의 운동 방정식을 컴파일하는 것은 여러 가지 형식적인 작업을 수행하는 것으로 귀결됩니다.

· 일반화된 좌표 선택 - 언제든지 시스템의 위치를 ​​고유하게 결정하는 기하학적 또는 물리적 특성의 매개변수입니다.

· 관성 매개변수(점과 물체의 질량, 물체의 관성 모멘트)와 일반화된 좌표 및 속도를 통해 시스템의 점과 물체의 운동 에너지의 합 형태로 시스템의 운동 에너지 표현을 적습니다. ;

· (6.1)의 좌변에 포함된 운동에너지의 도함수에 대한 식을 구한다.

· 각 일반화된 좌표를 변경할 때 시스템 힘의 가상 작업에 대한 표현식을 기록하고, 해당 일반화된 좌표가 변경되기 전의 계수는 이 일반화된 좌표에 해당하는 일반화된 힘에 대한 공식을 제공합니다.

구한 제2종 라그랑주 방정식을 실제로 적용하기 위해서는 계의 가상일과 운동에너지를 계산하기 위한 작업식을 구하는 것이 필요하며, 이를 위해서는 기계계와 물체의 관성특성에 대한 이해가 필요하다.

일반화된 힘의 계산.일반화된 힘을 계산하는 방법에는 세 가지가 있습니다.

첫 번째 방법가상 작업 표현에서 일반화된 좌표의 변화에 ​​대한 계수를 직접 계산하는 작업이 포함됩니다. 여기서는 일반화된 모든 좌표를 한 번에 변경하는 것이 아니라 한 번에 하나씩 변경하는 것이 더 편리합니다. 시스템의 가상 변위에 대한 작업에 대한 표현은 하나의 일반화된 좌표(예: 숫자)의 변형에 해당하여 작성됩니다. 케이- 기계 시스템의 몸체와 지점에 적용되는 활성 힘의 가상 작업의 대수적 합 . 그런 다음 괄호에서 공통 요소(일반화된 좌표의 변화)를 취하여 일반화된 힘에 대한 표현식을 얻습니다.

여러 자유도를 갖는 시스템의 경우 이러한 작업은 일반화된 좌표 수만큼 수행되어야 합니다.

두 번째 방법명시적으로 지정된 유형(5.3)의 종속성을 기반으로 합니다. 그런 다음 일반화된 힘은 식(5.6)에 의해 결정됩니다.

, k=1,2,…,s.

세 번째 방법시스템의 위치 에너지에 대한 지식을 해당 지점의 좌표 함수로 사용합니다. 식 (5.3)을 여기에 대입하면 일반화된 좌표에 대한 위치 에너지의 의존성을 얻습니다. 가상 작업은 다음과 같습니다.

동일한 변형에 대한 계수를 비교하면 다음을 찾을 수 있습니다.

가능하다면 일반화된 좌표로부터 시스템의 위치 에너지 함수를 즉시 구성하는 것이 더 낫다는 것은 분명합니다. .

제2종 라그랑주 방정식을 컴파일하는 예입니다.각도를 이루는 경사면 위의 롤러를 따라 이동하는 빔의 가속도를 구합니다. 에이=수평면이 있는 30 0(그림 6.1). 목재의 무게 kg, 원통형 롤러의 질량은 동일하고 양은 다음과 같습니다. kg. 각 롤러의 구름 마찰 계수는 다음과 같습니다. 중, 그리고 반경 cm.

해결책.빔과 두 개의 롤러로 구성된 기계 시스템은 1개의 자유도를 갖습니다. 경사면을 따라 빔의 이동을 일반화된 좌표로 선택하겠습니다. 그런 다음 그 변화(경사면을 따라 하향으로 빔의 가상 이동)는 으로 표시됩니다.

롤러의 운동 에너지가 동일하다는 점을 고려하여 시스템의 운동 에너지를 구해 봅시다.

점진적으로 움직이는 빔의 운동 에너지는 다음과 같습니다.

.

강체의 평면 평행 운동 공식을 사용하여 구한 롤러의 운동 에너지

,

는 롤러의 질량 중심 속도, 는 롤러 롤링 각속도, 는 자체 중심에 대한 롤러의 관성 모멘트, 는 롤러의 반경입니다. .

일반화된 좌표가 변하기 전의 계수로서 일반화된 힘을 어디에서 찾을 수 있습니까?

. (6.3)

(8.2)와 (8.3)을 방정식 (5.1)에 대입하면 다음을 얻습니다.

밀리미터/초 2 . (6.4)

따라서 빔은 4.95m/s 2 의 가속도로 균일하게 아래로 이동합니다.

메모.일반적으로 그림 2에 표시된 가상 이동 방향을 변경할 때 얻은 결과의 부호를 해석하는 데 약간의 어려움이 있습니다. 6.1 점선 화살표. 시스템의 동작 방향은 사전에 알려지지 않은 경우가 많습니다. 이 경우 가상 움직임이 실제 움직임과 연결될 필요가 없으므로 "무작위로" 변경할 수 있으므로 어디든 지시할 수 있습니다. 이전 문제에서 점선 화살표를 따라 가상 이동을 제공한다고 가정해 보겠습니다. 이 경우 식 (6.2)의 좌변은 변하지 않으며, 우변을 계산할 때 (6.3)에서 중력 작용에는 "-" 기호가 나타나고, 롤링 작용에는 "+" 기호가 나타납니다. 마찰. 결과적으로 "-" 기호는 빔 가속도(6.4) 결과 공식에 포함됩니다. 물론 이것은 빔이 천천히 움직인다는 것을 나타내지는 않습니다. 실제로 가상 작업을 통해 일반화된 힘을 계산할 때 실제로 가상 이동 방향에 대한 시스템 힘의 투영을 기록합니다. 그러므로 식(6.4)에 의해 주어진 결과는 빔의 일반화된 가속도 벡터를 이 방향으로 투영한 것으로 해석되어야 합니다. 따라서 우리는 빔이 4.95의 일정한 가속도로 아래쪽으로 이동할 것이라고 결론을 내립니다. 밀리미터/초 2 .

마찰력이 있는 경우 실제 이동 방향에 따라 작용해야 합니다. 좌표의 변화가 항상 실제 이동과 연관될 수는 없습니다. 이 경우, 빔이 점선 화살표를 따라 가상으로 이동할 때 고려되는 예에서와 같이 "+" 기호가 있는 마찰력의 가상 작업에 대한 표현이 나타날 수 있습니다. 공식적인 관점에서 볼 때 이는 혼동되어서는 안 됩니다. 가상, 에이 유효하지 않음일하다. 또 다른 문제는 문제를 완전히 해결하지 못한 채 점의 실제 이동 방향, 즉 마찰력의 방향을 알지 못하는 경우가 많다는 것입니다. 이 경우 이러한 힘의 방향에 대해 서로 다른 가정을 하여 여러 문제를 해결해야 할 수도 있습니다. 그리고 논리적으로 타당한 결정을 내려야 합니다. 때로는 마찰력 투영의 부호를 분석적으로 고려하여 해당 몸체와 지점의 속도에 대한 대수 값과 연결하는 것이 가능합니다.

d'Alembert의 원리에 따르면 다음과 같은 평등이 유효합니다.

활동력은 어디에 있습니까? – 연결 반응; – 점의 관성력(그림 3.36).

각 관계(3.45)에 점의 가능한 변위를 스칼라 곱하고 시스템의 모든 점을 합산하면 다음을 얻습니다.

(3.46)

평등(3.46)은 모든 연결이 있는 기계 시스템에 대한 일반적인 동역학 방정식입니다. 연결이 이상적이라면 표현 (3.46)은 다음 중 하나의 형식을 취합니다.

일반 역학 방정식(통합 d'Alembert-Lagrange 원리).이상적인 연결을 가진 시스템이 움직이는 모든 순간에 시스템의 모든 가능한 움직임에서 모든 활성 힘과 시스템 점의 관성력의 기본 작업의 합은 0과 같습니다.

일반화된 좌표

시스템을 다음과 같이 구성하자 N점과 그 위치는 3에 의해 결정됩니다. N시스템 점의 좌표 (그림 3.37). 시스템에 부과 엘

홀로노믹 양방향 연결, 그 방정식은 다음과 같습니다. 에스=1,2,…,엘.

그래서 3 N연결된 좌표 엘방정식과 독립 좌표는 N=3N-엘.

처럼 N독립 좌표, 독립 매개변수를 선택할 수 있습니다.

시스템의 위치를 ​​고유하게 결정하는 독립 매개변수를 호출합니다. 시스템의 일반화된 좌표.

쌀. 3.37

일반적으로 이는 시스템 점의 데카르트 좌표의 함수입니다.

일반화된 좌표로 데카르트 좌표를 표현할 수 있습니다.

우리가 얻는 시스템의 각 점의 반경 벡터에 대해

연결이 고정되어 있으면 시간이 (3.47)에 명시적으로 입력되지 않습니다. 홀로노믹 연결의 경우 점의 가능한 이동 벡터는 다음 형식으로 표현될 수 있습니다.

연결이 홀로노믹인 경우 독립적으로 가능한 이동(또는 변형)의 수는 독립적인 일반 좌표의 수와 일치합니다. 따라서, 홀로노믹 시스템의 자유도 수는 이 시스템의 독립적이고 일반화된 좌표 수와 같습니다. N=3N-엘.

비홀로노믹 시스템의 경우 일반적으로 독립 변형(가능한 변위) 수는 일반화된 좌표 수보다 적습니다. 따라서 비홀로노미 시스템의 자유도 수는 독립적인 가능한 변위 수와 동일하며 시스템의 일반화된 좌표 수보다 적습니다.

시간에 대한 일반화된 좌표의 도함수를 일반화된 속도라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.

일반화된 힘

쌀. 3.38

일반화된 힘의 정의. 홀로노믹 시스템을 고려해보세요. N물질적 포인트, 가지고 있는 N자유도와 힘 시스템의 영향을 받음 (그림 3.38). 시스템의 위치가 결정됩니다. N일반화된 좌표 저것들.

가능한 움직임의 벡터 -

(3.48)

시스템의 가능한 변위에 대해 시스템에 작용하는 기본 힘 작용의 합을 계산해 보겠습니다.

(3.49)

(3.48)을 (3.49)에 대입하고 합산 순서를 변경하면 다음을 얻습니다.

(3.50)

스칼라 수량 일반화된 좌표 q i와 관련된 일반화된 힘이라고 합니다.

일반화된 힘의 차원. 공식 (3.50)에서 우리는 일반화된 힘의 차원을 얻습니다. 큐]=[에이]/[큐]. 일반화된 좌표가 길이의 차원을 갖는 경우 일반화된 힘은 힘의 차원 [N]을 가지지만, 일반화된 좌표가 각도(차원 - 1)인 경우 일반화된 힘은 힘의 순간의 차원을 갖습니다. N×m].

일반화된 힘의 계산. 1. 일반화된 힘은 이를 결정하는 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

어디 Fkx,픽스,F kz– 좌표축에 대한 힘의 투영; xk,y yx,zk– 힘 적용 지점의 좌표

2. 일반화된 힘은 기본 작업(3.50)에 대한 표현에서 일반화된 좌표의 해당 변형에 대한 계수입니다.

3. 하나의 일반화된 좌표만 변경되도록 시스템에 가능한 이동이 전달되는 경우 qj그런 다음 (3.52)부터

색인 q 나는분자의 는 좌표만 변경되는 동안 가능한 이동에 대해 작업 합계가 계산됨을 나타냅니다(다양함). q 나는.

4. 잠재적 힘의 경우:

(3.53)

힘 기능은 어디에 있습니까?

식(3.51)에서 등식(3.53)을 고려하면 다음과 같습니다.

따라서,

시스템의 위치 에너지는 어디에 있습니까?

3.5.6. 일반화된 힘의 일반 역학 방정식.
힘의 균형을 위한 조건

일반 동역학 방정식(3.50)

(3.48)에 따른 가능한 움직임의 벡터는 다음과 같습니다.

이 표현을 고려하면 일반 역학 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

합산 순서를 바꿔서 변형해보자

(3.54)

여기 - 일반화된 좌표에 해당하는 활동력의 일반화된 힘 q 나는; – 일반화된 좌표에 해당하는 일반화된 관성력 q 나는.그러면 방정식 (3.54)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

일반화된 좌표의 증분은 임의적이고 서로 독립적입니다. 따라서 마지막 방정식의 계수는 0과 같아야 합니다.

(3.55)

이 방정식은 일반 역학 방정식과 동일합니다.

기계 시스템에 작용하는 힘이 0과 같다면, 즉 기계 시스템이 직선으로 균일하게 움직이거나 정지 상태를 유지하는 경우 해당 점의 관성력은 0과 같습니다. 결과적으로 시스템의 일반화된 관성력은 0과 같습니다. , 방정식 (3.55)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(3.56)

평등(3.56)은 일반화된 힘의 힘의 평형 조건을 표현합니다.

보수세력의 경우

결과적으로, 보수적인 힘 시스템의 평형 조건은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

모든 연결이 있는 시스템의 일반 동역학 방정식(D'Alembert-Lagrange 원리 결합)또는 역학의 일반 방정식):

시스템의 번째 지점에 적용되는 활성 힘은 어디에 있습니까? – 결합의 반응 강도; – 점 관성력; – 가능한 움직임.

시스템의 평형의 경우 시스템 점의 관성력이 모두 사라지면 변위 가능 원리가 됩니다. 일반적으로 조건을 만족하는 이상적인 연결을 갖춘 시스템에 사용됩니다.

이 경우 (229)는 다음 형식 중 하나를 취합니다.

,

,

. (230)

따라서, 일반적인 동역학 방정식에 따르면, 이상적인 연결을 갖는 시스템의 운동 순간마다 시스템 점의 모든 활성 힘과 관성력의 기본 작업의 합은 허용되는 시스템의 가능한 모든 움직임에서 0과 같습니다. 연결에 의해.

일반 동역학 방정식은 다른 동등한 형태로 주어질 수 있습니다. 벡터의 스칼라 곱을 확장하면 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

시스템의 번째 지점의 좌표는 어디에 있습니까? 좌표축에 대한 가속도 투영을 통해 좌표축에 대한 관성력 투영이 다음 관계식으로 표현된다는 점을 고려하면

,

일반 역학 방정식은 다음과 같은 형식으로 주어질 수 있습니다.

이런 형태로 불린다. 분석적 형태의 일반 역학 방정식.

일반 역학 방정식을 사용할 때 가능한 변위에 대한 시스템 관성력의 기본 작업을 계산할 수 있어야 합니다. 이를 위해 일반 힘에 대해 얻은 기본 작업에 해당 공식을 적용하십시오. 특정 운동의 경우 강체의 관성력에 대한 적용을 고려해 보겠습니다.

앞으로 움직이는 동안. 이 경우 몸체는 3개의 자유도를 가지며, 부과된 제약으로 인해 병진 운동만 수행할 수 있습니다. 연결을 허용하는 신체의 가능한 움직임도 병진적입니다.

병진 운동 중 관성력은 결과적으로 감소됩니다. . 신체의 가능한 병진 운동에 대한 관성력의 기본 작업의 합에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

신체의 모든 지점의 병진 가능한 변위는 동일하기 때문에 질량 중심과 신체의 모든 지점의 가능한 변위는 어디에 있습니까? 가속도도 동일합니다.

강체가 고정된 축을 중심으로 회전할 때. 이 경우 몸체에는 1개의 자유도가 있습니다. 고정 축을 중심으로 회전할 수 있습니다. 중첩된 연결에 의해 허용되는 가능한 움직임은 고정된 축을 중심으로 한 기본 각도에 의한 신체의 회전이기도 합니다.

회전축의 한 점으로 감소된 관성력은 주 벡터와 주 모멘트로 감소됩니다. 관성력의 주요 벡터는 고정점에 적용되며 가능한 변위에 대한 기본 작업은 0입니다. 관성력의 주요 순간에 대해 0이 아닌 기본 작업은 회전축에 대한 투영을 통해서만 수행됩니다. 따라서 고려중인 가능한 변위에 대한 관성력의 합에 대해 우리는

,

각도가 각가속도의 호 화살표 방향으로 보고된 경우.

플랫 모션. 이 경우 강체에 적용된 제약 조건은 가능한 평면형 이동만 허용합니다. 일반적인 경우, 이는 질량 중심을 선택하는 극과 함께 가능한 병진 운동과 질량 중심을 통과하고 질량 중심을 통과하는 축 주위의 기본 각도를 통한 회전으로 구성됩니다. 신체는 평면 운동을 수행할 수 있습니다.

소개

운동학은 가장 단순한 유형의 기계적 움직임에 대한 설명을 다룹니다. 이 경우 다른 신체에 대한 신체의 위치가 변경되는 이유는 다루지 않았으며 특정 문제를 해결할 때 편의상 참조 시스템을 선택했습니다. 역학에서는 우선 일부 신체가 다른 신체에 비해 움직이기 시작하는 이유와 가속도를 유발하는 요인이 중요합니다. 그러나 엄밀히 말하면 역학의 법칙은 서로 다른 참조 시스템에서 서로 다른 형태를 갖습니다. 법칙과 패턴이 참조 시스템의 선택에 의존하지 않는 참조 시스템이 있다는 것이 확립되었습니다. 이러한 참조 시스템을 관성 시스템(ISO). 이러한 기준 시스템에서 가속도의 크기는 작용하는 힘에만 의존하며 기준 시스템의 선택에는 의존하지 않습니다. 관성 기준계는 다음과 같습니다. 태양중심 기준계, 그 기원은 태양의 중심에 있습니다. 관성계에 대해 균일하게 직선으로 움직이는 기준계도 관성계이고, 관성계에 대해 가속도로 움직이는 기준계는 다음과 같습니다. 비관성. 이러한 이유로 지구 표면은 엄밀히 말하면 비관성 기준틀입니다. 많은 문제에서 지구와 관련된 참조 프레임은 높은 정확도로 관성으로 간주될 수 있습니다.

관성 및 비관성 역학의 기본 법칙

참조 시스템

균일한 직선 운동 상태를 유지하거나 ISO에서 정지 상태를 유지하는 신체의 능력을 신체의 관성. 신체 관성의 척도는 다음과 같습니다. 무게. 질량은 SI 시스템에서 킬로그램(kg) 단위로 측정되는 스칼라 양입니다. 상호 작용의 척도는 다음과 같은 양입니다. 강제로. 힘은 SI 시스템에서 뉴턴(N)으로 측정되는 벡터량입니다.

뉴턴의 제1법칙. 관성 기준 시스템에서 점은 직선으로 균일하게 움직이거나 점에 작용하는 모든 힘의 합이 0인 경우 정지 상태입니다. 즉:

주어진 지점에 작용하는 힘은 어디에 있습니까?

뉴턴의 제2법칙. 관성 시스템에서 물체에 작용하는 모든 힘의 합이 0이 아니고 물체의 질량과 가속도의 곱이 이러한 힘의 합과 같으면 물체는 가속도로 움직입니다. 즉, 다음과 같습니다.

뉴턴의 제3법칙. 물체가 서로 작용하는 힘은 크기가 같고 방향이 반대입니다. 즉, .

상호 작용의 척도인 힘은 항상 쌍으로 탄생합니다.

뉴턴의 법칙을 사용하여 대부분의 문제를 성공적으로 해결하려면 특정 동작 순서(일종의 알고리즘)를 준수해야 합니다.

알고리즘의 주요 포인트.

1. 문제의 상태를 분석하고 문제의 신체가 어떤 신체와 상호 작용하는지 알아냅니다. 이를 바탕으로 해당 신체에 작용하는 힘의 양을 결정하십시오. 물체에 작용하는 힘의 수가 와 같다고 가정하자. 그런 다음 몸체에 작용하는 모든 힘을 표시하기 위해 개략적으로 올바른 그림을 그립니다.

2. 문제의 조건을 이용하여 해당 물체의 가속도 방향을 결정하고, 가속도 벡터를 그림에 나타내시오.

3. 뉴턴의 제2법칙을 벡터 형식으로 작성합니다. 즉:

어디 신체에 작용하는 힘.

4. 관성 기준 시스템을 선택합니다. OX 축이 가속도 벡터를 따라 향하고 OY 및 OZ 축이 OX 축에 수직으로 향하는 직사각형 직교 좌표계를 그림에 그립니다.

5. 벡터 등식의 기본 속성을 사용하여 벡터를 좌표축에 투영하는 뉴턴의 제2법칙을 작성합니다. 즉:

6. 문제에서 힘과 가속도 외에도 좌표와 속도를 결정해야 한다면 뉴턴의 제2법칙 외에도 운동 방정식을 사용해야 합니다. 방정식 시스템을 작성한 후에는 이 문제에서 방정식의 수가 미지수의 수와 동일하다는 사실에 주의할 필요가 있습니다.

관성계에 대해 상대적인 속도로 병진 이동하는 축을 중심으로 일정한 각속도로 회전하는 비관성 기준계를 생각해 보겠습니다. 이 경우 관성계의 한 점의 가속도()는 다음 관계식에 의해 비관성계의 가속도()와 관련됩니다.

관성 시스템에 대한 비관성 시스템의 가속도는 어디에 있으며, 비관성 시스템의 한 지점의 선형 속도입니다. 마지막 관계에서 가속 대신 평등 (1)을 대체하여 다음 표현식을 얻습니다.

이 비율을 비관성 기준틀에서의 뉴턴의 제2법칙.

관성력. 다음 표기법을 소개하겠습니다.

1. – 전방 관성력;

2. – 코리올리 힘;

3 – 관성의 원심력.

문제에서 관성 병진력은 비관성 참조 프레임의 병진 운동 가속도()에 의해 벡터에 대해 표시되고, 관성 원심력은 회전 중심에서 반경()을 따라 표현됩니다. 코리올리 힘의 방향은 다음 법칙에 의해 결정됩니다. 김렛벡터의 외적에 대한 것입니다.

엄밀히 말하면 관성력은 완전한 의미의 힘이 아닙니다. 뉴턴의 제3법칙은 그들에게 적용되지 않습니다. 그들은 쌍을 이루지 않습니다.

권한

만유인력의 힘. 만유인력의 힘은 물체와 질량 사이의 상호작용 과정에서 발생하며 다음 관계식으로 계산됩니다.

. (4)

비례 계수는 다음과 같습니다. 중력 상수. SI 시스템의 값은 다음과 같습니다. .

반응의 힘. 반력은 신체가 공간에서의 위치를 ​​제한하는 다양한 구조와 상호 작용할 때 발생합니다. 예를 들어, 실에 매달린 몸체는 일반적으로 힘이라고 불리는 반력에 의해 작용합니다. 긴장. 실의 장력은 항상 실을 따라 전달됩니다.그 가치를 계산하는 공식은 없습니다. 일반적으로 그 값은 뉴턴의 제1법칙이나 제2법칙에서 구됩니다. 반력에는 매끄러운 표면의 입자에 작용하는 힘도 포함됩니다. 그들은 그녀에게 전화한다 정상적인 반력, 표시하다. 반력은 항상 고려 중인 표면에 수직으로 향합니다.. 매끄러운 표면에 물체의 측면에서 작용하는 힘을 힘이라고 합니다. 정상적인 압력 힘(). 뉴턴의 세 번째 법칙에 따르면 반력의 크기는 수직 압력의 힘과 동일하지만 이러한 힘의 벡터는 방향이 반대입니다.

탄성력. 몸체가 변형되면 몸체에 탄성력이 발생합니다. 몸체의 모양이나 부피가 변경된 경우. 변형이 멈추면 탄성력이 사라집니다. 물체가 변형되는 동안 탄성력이 발생하지만 변형이 항상 탄성력의 출현으로 이어지는 것은 아닙니다. 외부 영향이 중단된 후에도 모양을 복원할 수 있는 신체에서는 탄성력이 발생합니다. 이러한 몸체와 해당 변형을 호출합니다. 탄력 있는. 소성 변형의 경우 외부 영향이 중단된 후에도 변화가 완전히 사라지지 않습니다. 탄성력이 나타나는 놀라운 예는 변형되는 스프링에서 발생하는 힘일 수 있습니다. 변형된 몸체에서 발생하는 탄성 변형의 경우 탄성력은 항상 변형의 크기에 비례합니다. 즉, 다음과 같습니다.

, (5)

는 스프링의 탄성(또는 강성) 계수, 스프링의 변형 벡터입니다.

이 진술은 후크의 법칙.

마찰력. 한 물체가 다른 물체의 표면을 따라 움직일 때, 이 움직임을 방해하는 힘이 발생합니다. 이러한 힘은 일반적으로 슬라이딩 마찰력. 정지마찰력의 크기는 가해지는 외부 힘에 따라 달라질 수 있습니다. 외부 힘의 특정 값에서 정지 마찰력은 최대 값에 도달합니다. 그 후 몸이 미끄러지기 시작합니다. 미끄럼 마찰력은 표면에 있는 신체의 정상 압력의 힘에 정비례한다는 것이 실험적으로 입증되었습니다.뉴턴의 세 번째 법칙에 따르면 표면에 대한 물체의 수직 압력의 힘은 표면 자체가 움직이는 물체에 작용하는 반력과 항상 동일합니다. 이를 고려하여 슬라이딩 마찰력의 크기를 계산하는 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

, (6)

반력의 크기는 어디에 있습니까? 슬라이딩 마찰 계수. 움직이는 물체에 작용하는 미끄럼 마찰력은 항상 접촉면을 따라 속도에 반대되는 방향으로 작용합니다.

저항의 힘. 물체가 액체와 기체 속에서 움직일 때 마찰력도 발생하지만 건식 마찰력과는 크게 다릅니다. 이러한 힘을 점성 마찰력, 또는 저항세력. 점성마찰력은 물체의 상대적 운동 중에만 발생합니다. 저항력은 물체의 크기와 모양, 매체의 특성(밀도, 점도), 상대 운동 속도 등 여러 요인에 따라 달라집니다. 낮은 속도에서 항력은 매체에 대한 신체의 속도에 정비례합니다. 즉:

. (7)

고속에서 항력은 매체에 대한 신체 속도의 제곱에 비례합니다. 즉:

, (8)

비례 계수는 어디에 있습니까? 저항 계수.

역학의 기본 방정식

물질점의 동역학의 기본 방정식은 뉴턴의 제2법칙을 수학적으로 표현한 것에 지나지 않습니다.

. (9)

관성 기준계에서 모든 힘의 합에는 상호작용의 척도인 힘만 포함됩니다. 비관성 기준계에서는 힘의 합에 관성력이 포함됩니다.

수학적 관점에서, 관계식 (9)는 벡터 형태의 점 운동의 미분 방정식입니다. 그 해결책은 물질적 지점의 역학의 주요 문제입니다.

문제 해결의 예

작업 번호 1. 유리가 종이 위에 놓여 있습니다. 유리와 종이 사이의 마찰 계수가 0.3이라면, 유리 아래에서 시트를 잡아당기려면 시트를 움직여야 하는 가속도는 얼마입니까?

종이에 어떤 힘이 작용하면 유리도 종이와 함께 움직인다고 가정해 보겠습니다. 질량이 있는 유리에 작용하는 힘을 별도로 묘사해 보겠습니다. 유리에는 중력이 작용하는 지구, 반력이 작용하는 종이, 유리의 이동 속도에 따라 마찰력이 작용하는 종이 등의 물체가 유리에 작용합니다. 유리의 움직임은 균일하게 가속되므로 가속도 벡터는 유리의 움직임 속도를 따라 이동합니다.

그림에 유리의 가속도 벡터를 그려 보겠습니다. 유리에 작용하는 힘에 대한 뉴턴의 제2법칙을 벡터 형식으로 작성해 보겠습니다.

.

유리의 가속도 벡터를 따라 OX 축을 향하게 하고 OY 축은 수직 위쪽으로 향하게 합니다. 이 좌표축에 투영하여 뉴턴의 제2법칙을 작성하고 다음 방정식을 얻습니다.

(1.1)

종이에 작용하는 힘이 증가함에 따라 종이가 유리에 작용하는 마찰력의 크기도 증가합니다. 힘의 특정 값에서 마찰력의 크기는 슬라이딩 마찰력의 크기와 동일한 최대값에 도달합니다. 이 순간부터 유리는 종이 표면을 기준으로 미끄러지기 시작합니다. 마찰력의 한계값은 다음과 같이 유리에 작용하는 반력과 관련됩니다.

등식(1.2)으로부터 반력의 크기를 표현하고 이를 마지막 관계식에 대입하면 다음과 같습니다. 결과 관계에서 우리는 마찰력의 크기를 찾아 동일하게 설정하고(1.1) 유리의 최대 가속도를 결정하는 식을 얻습니다.

수량의 수치를 마지막 등식으로 대체하면 유리의 최대 가속도 값을 찾을 수 있습니다.

.

유리의 결과 가속도 값은 유리 아래에서 종이를 "당겨낼" 수 있는 종이의 최소 가속도와 같습니다.

답변: .

신체에 작용하는 모든 힘을 묘사해 봅시다. 외부 힘 외에도 신체는 중력, 반력이 있는 수평 표면 및 신체 속도에 반대되는 마찰력으로 지구에 의해 작용합니다. 몸체는 균일한 가속도로 움직이므로 가속도 벡터는 이동 속도를 따라 이동합니다. 그림에 벡터를 그려 봅시다. 그림과 같이 좌표계를 선택합니다. 뉴턴의 제2법칙을 벡터 형식으로 작성합니다.

.

벡터 동일성의 주요 속성을 사용하여 마지막 벡터 동일성에 포함된 벡터의 투영에 대한 방정식을 작성합니다.

미끄럼 마찰력의 관계를 적어보겠습니다.

평등 (2.2)에서 우리는 반력의 크기를 찾습니다

결과 식에서 반력의 크기 대신 평등 (2.3)으로 대체하면 식을 얻습니다.

마찰력에 대한 결과 표현식을 등식(2.1)으로 대체하면 신체의 가속도를 계산하는 공식을 얻을 수 있습니다.

SI 시스템의 수치 데이터를 마지막 공식으로 대체하고 부하 가속도의 크기를 찾습니다.

답변: .

힘의 최소 크기에 대해 정지 블록에 작용하는 마찰력의 방향을 결정합니다. 힘이 신체가 정지 상태를 유지하는 데 충분한 최소 힘보다 작다고 상상해 봅시다. 이 경우 몸체는 아래쪽으로 이동하고 몸체에 가해지는 마찰력은 수직 위쪽으로 향하게 됩니다. 몸을 멈추기 위해서는 가해지는 힘의 크기를 늘려야 합니다. 또한, 이 물체는 지구의 중력이 수직 아래쪽으로 작용하고 벽의 반력이 수평으로 왼쪽으로 작용합니다. 신체에 작용하는 모든 힘을 그림으로 표현해 보겠습니다. 그림과 같이 축이 향하는 직사각형 직교 좌표계를 가정해 보겠습니다. 정지한 신체의 경우 뉴턴의 제1법칙을 벡터 형식으로 작성합니다.

.

발견된 벡터 동등성을 위해 좌표축의 벡터 투영에 대한 동등성을 작성하고 다음 방정식을 얻습니다.

외력의 최소값에서 정지 마찰력의 크기는 미끄럼 마찰력의 크기와 동일한 최대값에 도달합니다.

평등(3.1)에서 반력의 크기를 찾아 이를 평등(3.3)으로 대체하면 마찰력에 대해 다음과 같은 표현을 얻습니다.

.

동등하게 마찰력(3.2) 대신 이 관계의 오른쪽을 대체하고 적용된 힘의 크기를 계산하는 공식을 얻습니다.

마지막 공식에서 힘의 크기를 찾습니다.

.

답변: .

공중에서 수직으로 아래쪽으로 움직이는 공에 작용하는 모든 힘을 묘사해 보겠습니다. 그것은 중력의 힘으로 지구에 의해 작용하고 저항력으로 공기에 작용합니다. 그림에서 고려된 힘을 묘사해 보겠습니다. 초기 순간에는 공의 속도가 0이고 저항력도 0이므로 모든 힘의 합력은 최대값을 갖습니다. 이 순간 공의 최대 가속도는 . 공이 움직일수록 속도가 증가하고 결과적으로 공기 저항력도 증가합니다. 어느 시점에서 저항력은 중력과 동일한 값에 도달합니다. 이 시점부터 공은 균일하게 움직입니다. 공의 등속 운동에 대한 뉴턴의 제1법칙을 벡터 형식으로 작성해 보겠습니다.

.

OY축을 수직 아래쪽으로 향하게 합시다. 이 벡터 동등성을 위해 OY 축에 대한 벡터 투영의 동등성을 작성하겠습니다.

. (4.1)

저항력은 공의 단면적과 속도의 크기에 따라 다음과 같이 달라집니다.

, (4.2)

저항 계수라고하는 비례 계수는 어디에 있습니까?

등식 (4.1)과 (4.2)로부터 다음 관계는 다음과 같습니다.

. (4.3)

밀도와 부피를 통해 공의 질량을 표현하고, 공의 반경을 통해 부피를 표현해 보겠습니다.

. (4.4)

이 표현에서 우리는 질량을 찾아 이를 동등성(4.3)으로 대체하면 다음과 같은 동등성을 얻습니다.

. (4.5)

공의 단면적을 반경으로 표현합니다.

관계(4.6)를 고려하면 평등(4.5)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

.

첫 번째 공의 반경을 나타내자. 두 번째 공의 반경으로. 첫 번째 공과 두 번째 공의 정상 운동 속도에 대한 공식을 작성해 보겠습니다.

얻은 평등에서 우리는 속도 비율을 찾습니다.

.

문제의 조건에 따르면 공의 반경 비율은 2와 같습니다. 이 조건을 사용하여 속도 비율을 찾습니다.

.

답변: .

경사면을 따라 위쪽으로 움직이는 물체는 외부 물체의 영향을 받습니다. a) 중력이 수직으로 아래쪽을 향하는 지구; b) 경사면에 수직으로 반력이 작용하는 경사면; c) 신체의 움직임에 반대되는 마찰력을 갖는 경사면; d) 경사면을 따라 위쪽으로 힘을 가하는 외부 몸체. 이러한 힘의 영향으로 신체는 경사면 위로 균일하게 가속되어 이동하므로 가속도 벡터는 신체의 움직임을 따라 이동합니다. 그림에 가속도 벡터를 그려 보겠습니다. 뉴턴의 제2법칙을 벡터 형식으로 작성해 보겠습니다.

.

OX 축이 신체의 가속도를 따라 향하고 OY 축이 경사면에 수직으로 향하는 직사각형 직교 좌표계를 선택하겠습니다. 이 좌표축에 투영하여 뉴턴의 제2법칙을 작성하고 다음 방정식을 얻습니다.

미끄럼 마찰력은 다음 관계식으로 반력과 관련됩니다.

동등성(5.2)에서 반력의 크기를 찾아 이를 동등성(5.3)으로 대체하면 마찰력에 대해 다음과 같은 표현을 얻을 수 있습니다.

. (5.4)

마찰력 대신 우변(5.4)을 평등(5.1)으로 대체하면 필요한 힘의 크기를 계산하기 위한 다음 방정식을 얻습니다.

힘의 크기를 계산해 봅시다:

답변: .

물체와 블록에 작용하는 모든 힘을 묘사해 보겠습니다. 블록 위에 던져진 실로 연결된 신체의 움직임 과정을 생각해 봅시다. 실은 무게가 없고 확장할 수 없으므로 실의 모든 부분에 가해지는 장력의 크기는 동일합니다. 그리고 .

어떤 기간 동안 물체의 변위는 동일하므로 어떤 순간에도 이러한 물체의 속도와 가속도 값은 동일합니다. 블록이 마찰 없이 회전하고 무중력이라는 사실로부터 블록 양쪽에 있는 스레드의 장력은 동일합니다. 즉: .

이는 첫 번째 몸체와 두 번째 몸체에 작용하는 스레드의 인장력이 동일함을 의미합니다. . 첫 번째 몸체와 두 번째 몸체의 가속도 벡터를 그림에 그려 보겠습니다. 두 개의 OX 축을 묘사해 보겠습니다. 첫 번째 몸체의 가속 벡터를 따라 첫 번째 축을 지정하고, 두 번째 몸체의 가속 벡터를 따라 두 번째 축을 지정해 보겠습니다. 이 좌표축에 투영되는 각 몸체에 대한 뉴턴의 제2법칙을 작성해 보겠습니다.

이를 고려하고 첫 번째 방정식을 표현하면 두 번째 방정식을 대체하여 다음을 얻습니다.

마지막 평등에서 가속도 값을 찾습니다.

.

평등 (1)에서 우리는 인장력의 크기를 찾습니다.

답변: , .

작은 고리가 원 주위를 회전할 때 두 가지 힘, 즉 수직으로 아래쪽을 향하는 중력과 고리의 중심을 향하는 반력이 작용합니다. 그림에 이러한 힘을 묘사하고 링의 궤적도 표시해 보겠습니다. 링의 구심 가속도 벡터는 궤적 평면에 있으며 회전축을 향합니다. 그림으로 표현해보자. 회전하는 고리에 대한 뉴턴의 제2법칙을 벡터 형식으로 작성해 보겠습니다.

.

OX 축은 구심 가속도를 따라 향하고 OY 축은 회전 축을 따라 수직 위쪽으로 향하는 직사각형 좌표계를 선택해 보겠습니다. 이 좌표축에 투영하여 뉴턴의 제2법칙을 작성해 보겠습니다.

평등 (7.2)에서 우리는 반력의 크기를 찾아 평등 (7.1)으로 대체하면 다음 표현을 얻습니다.

. (7.3)

구심 가속도는 다음과 같이 회전 속도와 관련됩니다. , 작은 링의 회전 반경은 어디에 있습니까? 대신 마지막 등식의 우변을 공식 (7.3)으로 대체하면 다음 관계를 얻습니다.

. (7.4)

그림에서 각도 알파의 탄젠트 값을 찾습니다. . 이 표현을 고려하면 평등(7.4)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

마지막 방정식에서 필요한 높이를 찾습니다.

답변: .

디스크와 함께 회전하는 물체에는 세 가지 힘, 즉 중력, 반력, 회전축을 향한 마찰력이 작용합니다. 그림의 모든 힘을 묘사해 봅시다. 이 그림에서 구심 가속도 벡터의 방향을 보여드리겠습니다. 뉴턴의 제2법칙을 벡터 형식으로 작성합니다.

.

그림과 같이 직사각형 직교 좌표계를 선택해 보겠습니다. 좌표축에 투영하여 뉴턴의 제2법칙을 작성해 보겠습니다.

; (8.1)

. (8.2)

구심 가속도의 관계를 적어 보겠습니다.

. (8.3)

구심 가속도 대신에 평등(8.3)의 우변을 평등(8.1)으로 대체하면 다음을 얻습니다.

. (8.4)

등식(8.4)에서 마찰력의 크기는 회전 반경에 정비례한다는 것이 분명합니다. 따라서 회전 반경이 증가함에 따라 정지 마찰력이 증가하고 특정 값에서 정지 마찰력이 슬라이딩 마찰력()과 동일한 최대값.

평등(8.2)을 고려하여 최대 정지 마찰력에 대한 표현식을 얻습니다.

.

마찰력 대신 결과 평등의 오른쪽을 평등(4)으로 대체하면 다음 관계를 얻습니다.

이 방정식에서 회전 반경의 제한 값을 찾습니다.

답변: .

낙하가 비행하는 동안 중력과 항력이라는 두 가지 힘이 작용합니다. 그림의 모든 힘을 묘사해 봅시다. 원점이 지구 표면에 위치하는 수직 방향 축 OY를 선택하겠습니다. 역학의 기본 방정식을 적어 보겠습니다.

.

OY 축에 평등을 투영하면 다음과 같은 관계를 갖습니다.

마지막 평등의 양쪽을 로 나누고 동시에 양쪽을 곱해 봅시다. 이를 고려하여 , 우리는 표현식을 얻습니다:

이 표현의 양변을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. , 우리는 관계를 얻습니다:

.

우리는 후자의 관계를 통합하고 시간에 대한 속도의 의존성을 얻습니다.

초기 조건에서 상수를 찾습니다( ), 우리는 시간에 대한 원하는 속도 의존성을 얻습니다.

.

조건에서 최대 속도를 결정합니다. :

.

답변: ; .

퍽에 작용하는 힘을 그림으로 표현해 보겠습니다. OX, OY, OZ 축에 투영하여 뉴턴의 제2법칙을 작성해 보겠습니다.

왜냐하면 , 그런 다음 와셔 동작의 전체 궤적에 대해 공식은 OZ의 동등성을 고려하여 마찰력에 대해 유효하며 다음 형식으로 변환됩니다.

이 관계를 고려하면 OX 축의 동일성은 다음과 같은 형식을 취합니다.

우리는 고려 중인 지점에서 퍽의 궤적에 대한 접선에 뉴턴의 제2법칙을 투영하고 다음 관계를 얻습니다.

접선 가속도의 크기는 어디에 있습니까? 마지막 등식의 우변을 비교하여 우리는 다음과 같은 결론을 내립니다.

과 , 이전 관계를 고려하면 우리는 동등성을 갖습니다. , 그 적분은 표현식으로 이어집니다. 여기서 적분 상수는 입니다. 마지막 표현을 바꿔보자 , 각도에 대한 속도의 의존성을 얻습니다.

초기 조건에서 상수를 결정합시다. . ) . 이를 고려하여 최종 종속성을 기록합니다.

.

최소 속도 값은 , 속도 벡터가 OX 축과 평행하게 향하고 그 값은 와 같습니다.

역학:
분석역학
§ 47. 일반 역학 방정식

솔루션 문제

47.1 질량 M의 세 개의 추는 고정된 블록 A를 통해 던져진 확장할 수 없는 실로 각각 연결되어 있습니다. 두 개의 추는 매끄러운 수평면에 놓여 있고 세 번째 추는 수직으로 매달려 있습니다. 섹션 ab에서 시스템의 가속도와 나사산의 장력을 결정합니다. 스레드와 블록의 질량을 무시합니다.
해결책

47.2 하중이 움직일 때 블록 A가 고정 축을 중심으로 회전한다고 가정하고 블록의 질량을 고려하여 이전 문제를 해결합니다. 고체 균질 디스크 블록의 질량은 2M입니다.
해결책

47.3 두 개의 질량 M1과 M2는 그림에 표시된 것처럼 반경 r1과 r2를 갖는 드럼에 감겨 있고 공통 축에 장착된 두 개의 유연하고 늘어나지 않는 실에 매달려 있습니다. 하중은 중력의 영향을 받아 움직입니다. 드럼의 질량과 나사산의 질량을 무시하고 드럼의 각가속도 ε를 결정합니다.
해결책

47.4 이전 문제에서 다음 데이터를 사용하여 드럼의 질량을 고려하여 각가속도 ε와 나사산의 장력 T1 및 T2를 결정합니다. M1=20kg, M2=34kg, r1=5cm, r2=10cm; 드럼 무게: 소형 4kg 및 대형 8kg. 드럼의 질량은 외부 표면에 고르게 분포되어 있는 것으로 간주됩니다.
해결책

47.5 그림에 표시된 블록 시스템에는 다음 중량이 매달려 있습니다. 질량 10kg의 M1과 질량 8kg의 M2. 블록의 질량을 무시하고 하중 M2의 가속도 w2와 나사산의 장력을 결정합니다.
해결책

47.6 리프트의 하부 풀리 C에 토크 M이 가해지고 평형추 B의 질량이 M2와 같고, 반경 r과 질량의 풀리 C와 D가 위쪽으로 들어올려지는 질량 M1의 하중 A의 가속도를 구하십시오. M3은 각각 균질한 실린더입니다. 벨트의 질량을 무시하십시오.
해결책

47.7 반경 r의 하중을 이동시키는 메커니즘의 캡스턴 샤프트는 핸들 AB에 가해지는 일정한 토크 M에 의해 구동됩니다. 수평면에서 하중의 미끄럼 마찰 계수가 f와 같을 때 질량이 m인 하중 C의 가속도를 결정합니다. 로프와 캡스턴의 질량은 무시합니다.
해결책

47.8 회전축에 대한 관성 모멘트가 J와 같은 캡스턴의 질량을 고려하여 이전 문제를 해결하십시오.
해결책

47.9 질량 M1의 하중 A는 수평에 대해 각도 α에 위치한 경사진 부드러운 평면을 따라 하강하여 질량 M2이고 반경 r인 드럼 B가 늘어나지 않는 실을 통해 회전하게 합니다. 드럼을 균일한 원형 원통으로 간주하면 드럼의 각가속도를 결정합니다. 고정 블록 C와 스레드의 질량은 무시합니다.
해결책

47.10 사람이 수레를 밀면서 수레에 수평 힘 F를 가합니다. 수레의 질량이 M1이고, M2가 네 바퀴 각각의 질량이고, r이 바퀴의 반경이고, fк는 구름 마찰 계수입니다. 바퀴는 미끄러지지 않고 레일 위에서 굴러가는 견고한 원형 디스크로 간주됩니다.
해결책

47.11 질량 M1의 롤러 A는 경사면을 따라 미끄러지지 않고 아래로 구르면서 블록 B 위에 던져진 늘어나지 않는 실을 통해 질량 M2의 하중 C를 들어 올립니다. 이 경우 블록 B는 평면에 수직인 고정 축 O를 중심으로 회전합니다. 롤러 A와 블록 B는 질량과 반경이 동일한 균질한 원형 디스크입니다. 경사면은 수평과 각도 ​​α를 이룹니다. 롤러 축의 가속도를 결정합니다. 실의 질량을 무시하십시오.
해결책

47.12 질량 M1의 하중 B는 롤러 주위에 감긴 나사산을 사용하여 질량 M2와 반경 r의 원통형 롤러 A를 움직입니다. 롤러가 미끄러짐 없이 굴러가고 구름 마찰 계수가 fк와 같을 때 하중 B의 가속도를 구하십시오. 블록 D의 질량을 무시합니다.
해결책

47.13 질량 M1의 막대 DE는 각각 질량 M2의 세 개의 롤러 A, B, C 위에 놓여 있습니다. 막대에 오른쪽 수평으로 힘 F가 가해지면 막대와 롤러가 움직입니다. 로드와 롤러 사이, 롤러와 수평면 사이에는 미끄러짐이 없습니다. 막대 DE의 가속도를 구합니다. 롤러는 균일한 원형 실린더로 간주됩니다.
해결책

47.14 각각 4kg의 질량을 갖는 고체 균질 디스크 블록의 질량을 고려하여 문제 47.5에서 고려한 하중 M2의 가속도를 결정합니다.
해결책

47.15 질량 M1의 하중 A는 고정된 블록 D를 통과하여 풀리 B에 감겨진 늘어나지 않는 실에 의해 아래로 떨어지면서 축 C가 수평 레일을 따라 미끄러지지 않고 굴러가게 합니다. 반경 R의 풀리 B는 반경 r의 샤프트 C에 단단히 장착되어 있습니다. 총 질량은 M2와 같고 그림의 평면에 수직인 O축에 대한 회전 반경은 ρ와 같습니다. 하중 A의 가속도를 구합니다. 스레드와 블록의 질량은 무시합니다.
해결책

47.16 원심 조절기는 일정한 각속도 Ω으로 수직 축을 중심으로 회전합니다. 각 볼의 질량 M과 모든 막대의 길이 l이 동일한 커플 링 C의 질량 M1만을 고려하여 수직에서 핸들 OA 및 OB의 편향 각도를 결정합니다.
해결책

47.17 원심 조절기는 일정한 각속도 Ω으로 회전합니다. α = 0에서 변형되지 않은 상태이고 상단에 고정된 스프링에 의해 매스 커플링 M1이 눌려지면 조절기의 각속도와 막대가 수직에서 편향되는 각도 α 사이의 관계를 찾습니다. 레귤레이터 축에; 볼의 질량은 M2와 같고 막대의 길이는 l과 같으며 막대의 서스펜션 축은 조절기 축에서 거리 a로 분리되어 있습니다. 막대와 스프링의 질량은 무시합니다. 스프링 상수는 c입니다.
해결책

47.18 원심 스프링 조절기는 조절기 스핀들에 부착된 질량 M1의 부드러운 수평 연결 막대 C에 장착된 질량 M의 두 질량 A와 B, 길이 l의 막대 및 회전 축을 향해 질량을 누르는 스프링으로 구성됩니다. 스핀들 축에서 막대 힌지까지의 거리는 e와 같습니다. c 스프링 강성 계수. 각도 α0인 경우 개방각 α에서 컨트롤러의 각속도를 결정합니다. 여기서 α0해

47.19 조절기에는 동일한 질량 M1의 4개의 추가 길이 2l의 동일한 팔을 가진 두 개의 레버 끝에 위치하며, 이 레버는 스핀들 O ​​끝을 중심으로 조절기 평면에서 회전할 수 있으며 스핀들 축. 스핀들 O의 끝에서 OA=a 거리에 위치한 지점 A에서 길이가 a인 레버 AB와 AC가 스핀들에 피봇식으로 연결되고, 지점 B와 C에서는 길이가 긴 로드 BD 및 CD와 연결됩니다. a, 커플링 D를 운반합니다. 지점 B와 C에는 무게를 운반하는 암을 따라 미끄러지는 슬라이더가 있습니다. 커플 링의 질량은 M2입니다. 컨트롤러는 일정한 각속도 Ω으로 회전합니다. 컨트롤러의 평형 위치에서 각도와 각속도 Ω 사이의 관계를 찾습니다.