പ്രഭാഷണം: വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ; വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം; വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ

വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ

അതിനാൽ, നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വെക്റ്റർ എന്നത് അതിൻ്റേതായ തുടക്കവും അവസാനവുമുള്ള ഒരു ഡയറക്ട് സെഗ്മെൻ്റാണ്. തുടക്കവും അവസാനവും ചില പോയിൻ്റുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവയ്ക്ക് വിമാനത്തിലോ ബഹിരാകാശത്തിലോ അവരുടേതായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്.

ഓരോ പോയിൻ്റിനും അതിൻ്റേതായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് മുഴുവൻ വെക്റ്ററിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കും.

നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം, അതിൻ്റെ തുടക്കത്തിലും അവസാനത്തിലും താഴെപ്പറയുന്ന പദവികളും കോർഡിനേറ്റുകളും ഉണ്ട്: A(A x ; Ay), B(B x ; By)

തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററിൻ്റെ അവസാനത്തെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് തുടക്കത്തിലെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

ബഹിരാകാശത്തെ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഒരു സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആശയം നിർവചിക്കാൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്:

• ജ്യാമിതീയ രീതി. അതനുസരിച്ച്, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഈ മൊഡ്യൂളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

• ബീജഗണിത അർത്ഥം. ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഒരു നിശ്ചിത അളവാണ്, അത് അനുബന്ധ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഫലമായി ലഭിക്കുന്നതാണ്.

വെക്റ്ററുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ സമാനമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം:

പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

• നിങ്ങൾ സമാനമായ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ സ്കെയിലറായി ഗുണിച്ചാൽ, അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല:

• സമാനമായ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ വെക്റ്ററുകൾ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു:

• ഒരു പ്രത്യേക വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിച്ചാൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അതിൻ്റെ മോഡുലസിൻ്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും:

• സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഒരു ആശയവിനിമയ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്, അതായത്, വെക്റ്ററുകൾ പുനഃക്രമീകരിച്ചാൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം മാറില്ല:

• വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്‌റ്ററുകളുടെ സ്‌കെലാർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകൂ:

• വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്, വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്നിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം സാധുവാണ്:

• ഒരു സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനത്തിൻ്റെ വിതരണ ഗുണവും ഉപയോഗിക്കാം:

വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

നിർവ്വചനം 1

ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡൈനുകളുടെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം.

a →, b → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ നൊട്ടേഷനിൽ a →, b → എന്ന രൂപമുണ്ട്. നമുക്ക് അതിനെ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റാം:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ നീളം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, a → , b → ^ - നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ പദവി. കുറഞ്ഞത് ഒരു വെക്റ്റർ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്, 0 ൻ്റെ മൂല്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഫലം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, a → , b → = 0

ഒരു വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അതിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരം ലഭിക്കും:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

നിർവ്വചനം 2

ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ സ്‌കെലാർ ഗുണനത്തെ സ്‌കെലാർ സ്‌ക്വയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → n p b → a → എന്ന സംഖ്യാ പ്രോജക്റ്റ് ആണ് a→ എന്ന നൊട്ടേഷൻ കാണിക്കുന്നത് യഥാക്രമം b →, n p a → a → - b → യുടെ പ്രൊജക്ഷൻ a →.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കായി ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനം നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം:

a → by b → എന്ന രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നത്തെ യഥാക്രമം a → പ്രൊജക്ഷൻ b → പ്രൊജക്ഷൻ b → അല്ലെങ്കിൽ പ്രൊജക്ഷൻ a → വഴി നീളത്തിൻ്റെ ഗുണനഫലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലോ ബഹിരാകാശത്തിലോ ഉള്ള വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം.

ഒരു തലത്തിലെ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് a →, b →.

കാർട്ടീഷ്യൻ സിസ്റ്റത്തിൽ പ്ലെയിനിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുമ്പോൾ a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) ഉപയോഗിക്കുക:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം ബാധകമാണ്:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ നിർവചനമാണ്.

നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

തെളിവ് 1

ഇത് തെളിയിക്കാൻ, വെക്‌ടറുകൾക്ക് a → = (a x , a y) , b → = (b x, b y) കാർട്ടീഷ്യൻ സിസ്റ്റത്തിൽ.

വെക്‌ടറുകൾ മാറ്റിവെക്കണം

O A → = a → = a x, a y കൂടാതെ O B → = b → = b x, b y .

അപ്പോൾ A B → വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) ന് തുല്യമായിരിക്കും.

O A B എന്ന ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) എന്നത് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ശരിയാണ്.

വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ എന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത് വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായി എഴുതുന്നു.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

ആദ്യത്തെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നത് b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , അതായത് (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

വെക്റ്ററുകളുടെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

നമുക്ക് തുല്യത തെളിയിക്കാം:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- യഥാക്രമം ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ വെക്റ്ററുകൾക്ക്.

കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം പറയുന്നത്, ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ സ്കെലാർ സ്ക്വയർ യഥാക്രമം ബഹിരാകാശത്തും വിമാനത്തിലും ഉള്ള അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) കൂടാതെ (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും

a →, b →, c → എന്നിവയ്ക്ക് ബാധകമാകുന്ന ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

1. കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. വിതരണക്ഷമത (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , സി →);
3. കോമ്പിനേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ;
4. സ്കെയിലർ ചതുരം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് (a → , a →) ≥ 0, ഇവിടെ (a → , a →) = 0 → പൂജ്യമാകുമ്പോൾ.

ഉദാഹരണം 1

വിമാനത്തിലെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിനും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ സങ്കലനത്തിൻ്റെയും ഗുണനത്തിൻ്റെയും ഗുണവിശേഷതകൾ കാരണം ഗുണവിശേഷതകൾ വിശദീകരിക്കാവുന്നതാണ്.

കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി തെളിയിക്കുക (a → , b →) = (b → , a →) . നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് (a → , b →) = a y · b y + a y · b y ഉം (b → , a →) = b x · a x + b y · a y ഉം ഉണ്ട്.

കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, a x · b x = b x · a x, a y · b y = b y · a y എന്നിവ ശരിയാണ്, അതായത് a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

അത് പിന്തുടരുന്നു (a → , b →) = (b → , a →) . ക്യു.ഇ.ഡി.

ഏത് നമ്പറുകൾക്കും ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടിവിറ്റി സാധുവാണ്:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

കൂടാതെ (a → , b (1) → + b (2) → +. . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

അതിനാൽ നമുക്കുണ്ട്

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . ++ (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും ഉള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗുണങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഇത്തരത്തിലുള്ള ഏത് പ്രശ്‌നവും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y അല്ലെങ്കിൽ (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

ചില ഉദാഹരണ പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

a → യുടെ നീളം 3 ആണ്, b → യുടെ നീളം 7 ആണ്. കോണിൽ 60 ഡിഗ്രി ഉണ്ടെങ്കിൽ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഡാറ്റയും ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

ഉത്തരം: (a → , b →) = 21 2 .

ഉദാഹരണം 3

നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . എന്താണ് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം?

പരിഹാരം

ഈ ഉദാഹരണം കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം പരിഗണിക്കുന്നു, കാരണം അവ പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​+ 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9

ഉത്തരം: (a → , b →) = - 9

ഉദാഹരണം 4

A B →, A C → എന്നിവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക. കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) പോയിൻ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നു, കാരണം വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

ഉത്തരം: (എ ബി → , എ സി →) = 28 .

ഉദാഹരണം 5

വെക്‌ടറുകൾക്ക് a → = 7 · m → + 3 · n →, b → = 5 · m → + 8 · n → എന്നിവ നൽകിയാൽ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക. m → 3 നും n → 2 യൂണിറ്റിനും തുല്യമാണ്, അവ ലംബമാണ്.

പരിഹാരം

(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഗുണകം എടുത്ത് നേടുക:

(7 മീ. →, 5 മീ. →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

കമ്മ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റിയുടെ സ്വഭാവത്താൽ ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n ) + 24 · (n → , n →)

ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) .

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ കോണിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

ഉത്തരം: (a → , b →) = 411

ഒരു സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം 6

a →, b → എന്നിവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക. വെക്റ്റർ a → കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 3, - 1, 1) ഉള്ള ഒരു → = (9, 3, - 3), പ്രൊജക്ഷൻ b →.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, വെക്‌ടറുകൾ a →, പ്രൊജക്ഷൻ b → എന്നിവ വിപരീത ദിശയിലാണ്, കാരണം a → = - 1 3 · n p a → b → → , അതായത് പ്രൊജക്ഷൻ b → n p a → b → → ദൈർഘ്യവുമായി യോജിക്കുന്നു, ഒപ്പം “ -" അടയാളം:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

ഫോർമുലയിലേക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

ഉത്തരം: (a → , b →) = - 33 .

ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു അറിയപ്പെടുന്ന സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിലെ പ്രശ്‌നങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 7

തന്നിരിക്കുന്ന സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് λ എന്ത് മൂല്യം എടുക്കണം a → = (1, 0, λ + 1), b → = (λ, 1, λ) എന്നിവ -1 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

പരിഹാരം

കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

നമുക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നത് (a → , b →) = - 1 .

λ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം കണക്കാക്കുന്നു:

λ 2 + 2 · λ = - 1, അതിനാൽ λ = - 1.

ഉത്തരം: λ = - 1.

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തെ മെക്കാനിക്സ് പരിഗണിക്കുന്നു.

ഒരു സ്ഥിരമായ ബലം F → ഒരു ബിന്ദു M മുതൽ N വരെയുള്ള ചലിക്കുന്ന ശരീരം ഉപയോഗിച്ച് A പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, F →, M N → എന്നീ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ഗുണനഫലം അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും, അതായത് ജോലി തുല്യമാണ്. ശക്തിയുടെയും സ്ഥാനചലന വെക്റ്ററുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക്:

A = (F → , M N →) .

ഉദാഹരണം 8

5 Ntons ന് തുല്യമായ ഒരു ശക്തിയുടെ സ്വാധീനത്തിൽ 3 മീറ്റർ ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചലനം അച്ചുതണ്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ 45 ഡിഗ്രി കോണിൽ നയിക്കപ്പെടുന്നു. എ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ജോലി എന്നത് ഫോഴ്‌സ് വെക്‌ടറിൻ്റെയും ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെൻ്റിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നമായതിനാൽ, അതിനർത്ഥം F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° എന്ന അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് A = (F →, S ലഭിക്കും →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

ഉത്തരം: എ = 15 2 2 .

ഉദാഹരണം 9

എഫ് → = (3, 1, 2) ബലത്തിന് കീഴിൽ M (2, - 1, - 3) ൽ നിന്ന് N (5, 3 λ - 2, 4) ലേക്ക് നീങ്ങുന്ന ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റ്, 13 J ന് തുല്യമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. കണക്കാക്കുക ചലനത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം.

പരിഹാരം

നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് M N → നമുക്ക് M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

F → = (3, 1, 2), M N → = (3, 3 λ - 1, 7) വെക്‌ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ജോലി കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 (3) ലഭിക്കും λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, A = 13 J എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതായത് 22 + 3 λ = 13. ഇത് λ = - 3 സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത് M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

M N → ചലനത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്താൻ, ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ച് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

ഉത്തരം: 158.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങളും ഉണ്ടാകും, അതിനുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

പ്രശ്നത്തിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും "ഒരു വെള്ളി താലത്തിൽ" അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയും അതിൻ്റെ പരിഹാരവും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഉദാഹരണം 1.വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. വെക്‌ടറുകളുടെ നീളവും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണും ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

മറ്റൊരു നിർവചനവും സാധുവാണ്, നിർവചനം 1 ന് പൂർണ്ണമായും തുല്യമാണ്.

നിർവ്വചനം 2. വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഈ വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്നിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെയും മറ്റൊരു വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെയും ആദ്യ വെക്റ്ററുകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന അക്ഷത്തിലേക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ് (സ്കെലാർ). നിർവചനം 2 അനുസരിച്ച് ഫോർമുല:

അടുത്ത പ്രധാന സൈദ്ധാന്തിക പോയിൻ്റിന് ശേഷം ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം

ഗുണിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകൾക്ക് അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയാൽ അതേ സംഖ്യ ലഭിക്കും.

നിർവ്വചനം 3.വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം അവയുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ സംഖ്യയാണ്.

ഉപരിതലത്തിൽ

രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും വിമാനത്തിലുള്ളതും അവയുടെ രണ്ടിനാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടാൽ കാർട്ടിസിയൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ

അപ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം അവയുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

.

ഉദാഹരണം 2.വെക്‌ടറിന് സമാന്തരമായ അക്ഷത്തിൽ വെക്‌ടറിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർത്ത് ഞങ്ങൾ അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തെ വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെയും വെക്‌ടറിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെയും വെക്‌ടറിന് സമാന്തരമായ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് (സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്) തുല്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യം അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലമായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

.

ഞങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് അത് പരിഹരിക്കുന്നു:

ഉത്തരം. ആവശ്യമായ സംഖ്യാ മൂല്യം മൈനസ് 8 ആണ്.

ബഹിരാകാശത്ത്

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളും ബഹിരാകാശത്തും അവയുടെ മൂന്ന് കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ

,

അപ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും അവയുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇതിനകം മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ:

.

കണക്കാക്കിയ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ വിശകലനം ചെയ്തതിന് ശേഷമാണ്. കാരണം, പ്രശ്നത്തിൽ ഗുണിച്ച വെക്റ്ററുകൾ ഏത് കോണാണ് രൂപപ്പെടുത്തുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ബീജഗണിത ഗുണങ്ങൾ

1. (കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി: ഗുണിച്ച വെക്റ്ററുകളുടെ സ്ഥലങ്ങൾ വിപരീതമാക്കുന്നത് അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ മാറ്റില്ല).

2. (ഒരു സംഖ്യാ ഘടകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അനുബന്ധ സ്വത്ത്: ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നം ഒരു നിശ്ചിത ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മറ്റൊരു വെക്‌ടർ ഈ വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കെലാർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ).

3. (വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുകയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിതരണ സ്വത്ത്: മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടർ വഴിയുള്ള രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സ്‌കെലാർ പ്രോഡക്‌ട് ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിൻ്റെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ തുകയ്‌ക്ക് തുല്യമാണ്.

4. (പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ വെക്‌ടറിൻ്റെ സ്കെലാർ സ്ക്വയർ), പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ, കൂടാതെ , പൂജ്യം വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ.

ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ

പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ഒരു കോണിൻ്റെ ആശയം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സ്പർശിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ ആശയം വ്യക്തമാക്കേണ്ട സമയമാണിത്.

മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ ഒരു പൊതു ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾ ആദ്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് ഈ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ രണ്ട് കോണുകൾ ഉണ്ട് എന്നതാണ് - φ 1 ഒപ്പം φ 2 . വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനങ്ങളിലും ഗുണങ്ങളിലും ഈ കോണുകളിൽ ഏതാണ് ദൃശ്യമാകുന്നത്? പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 2 ആണ് π അതിനാൽ ഈ കോണുകളുടെ കോസൈനുകൾ തുല്യമാണ്. ഒരു ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ കോണിൻ്റെ കോസൈൻ മാത്രമേ ഉൾപ്പെടുന്നുള്ളൂ, അല്ലാതെ അതിൻ്റെ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യമല്ല. എന്നാൽ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഒരു കോണിനെ മാത്രം പരിഗണിക്കുന്നു. കവിയാത്ത രണ്ട് കോണുകളിൽ ഒന്നാണിത് π , അതായത്, 180 ഡിഗ്രി. ചിത്രത്തിൽ ഈ ആംഗിൾ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു φ 1 .

1. രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ വിളിക്കുന്നു ഓർത്തോഗണൽ ഒപ്പം ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നേരായതാണ് (90 ഡിഗ്രി അല്ലെങ്കിൽ π /2), എങ്കിൽ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ് :

.

വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിലെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി എന്നത് രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ലംബതയാണ്.

2. പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു മൂർച്ചയുള്ള മൂല (0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെ, അല്ലെങ്കിൽ, സമാനമാണ് - കുറവ് π ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആണ് .

3. രണ്ട് നോൺ-സീറോ വെക്‌ടറുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു മങ്ങിയ കോൺ (90 മുതൽ 180 ഡിഗ്രി വരെ, അല്ലെങ്കിൽ, സമാനമാണ് - കൂടുതൽ π /2) എങ്കിൽ മാത്രം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ് .

ഉദാഹരണം 3.കോർഡിനേറ്റുകൾ വെക്റ്ററുകൾ നൽകുന്നു:

.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ എല്ലാ ജോഡികളുടെയും സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണക്കാക്കുക. ഈ ജോഡി വെക്‌ടറുകൾ ഏത് കോണിൽ (അക്യൂട്ട്, വലത്, മങ്ങിയ) രൂപം കൊള്ളുന്നു?

പരിഹാരം. അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർത്ത് ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടും.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു മങ്ങിയ കോണായി മാറുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു വലത് കോണായി മാറുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും .

ഉദാഹരണം 4.രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ:

.

സംഖ്യയുടെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് വെക്റ്ററുകൾ എന്നും ഓർത്തോഗണൽ (ലംബമായി) എന്നും നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം. പോളിനോമിയലുകൾ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വെക്റ്ററുകളെ ഗുണിക്കാം:

ഇനി നമുക്ക് ഓരോ പദവും കണക്കാക്കാം:

.

നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം (ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്), സമാനമായ പദങ്ങൾ ചേർത്ത് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ഉത്തരം: ഞങ്ങൾക്ക് മൂല്യം ലഭിച്ചു λ = 1.8, അതിൽ വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

ഉദാഹരണം 5.വെക്റ്റർ ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ (ലംബമായി).

പരിഹാരം. ഓർത്തോഗണാലിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളും പോളിനോമിയലുകളും ആയി ഗുണിക്കുന്നു, പകരം പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് പകരമായി:

.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യത്തെ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഓരോ പദവും (ടേം) രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്:

.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യ കുറയുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം ലഭിക്കുന്നു:

ഉപസംഹാരം: ഗുണനത്തിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചു, അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി (ലംബത) തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം സ്വയം പരിഹരിക്കുക, തുടർന്ന് പരിഹാരം കാണുക

ഉദാഹരണം 6.വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ ആണ് π /4. ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് നിർണ്ണയിക്കുക μ വെക്‌ടറുകളും പരസ്പരം ലംബവുമാണ്.

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും .

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെയും n-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെയും മാട്രിക്സ് പ്രാതിനിധ്യം

മെട്രിക്സുകളുടെ രൂപത്തിൽ രണ്ട് ഗുണിത വെക്റ്ററുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ വ്യക്തതയ്ക്ക് പ്രയോജനകരമാണ്. അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ വെക്റ്റർ ഒരു വരി മാട്രിക്സ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - ഒരു കോളം മാട്രിക്സ് ആയി:

അപ്പോൾ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം ആയിരിക്കും ഈ മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം :

ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ച രീതിയിലൂടെ ലഭിച്ച ഫലം തന്നെയാണ് ഫലം. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ ലഭിച്ചു, ഒരു കോളം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഒരു വരി മാട്രിക്സിൻ്റെ ഗുണനവും ഒരൊറ്റ സംഖ്യയാണ്.

അമൂർത്തമായ എൻ-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അങ്ങനെ, രണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വെക്‌ടറുകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരു നിര മാട്രിക്‌സ് ഉപയോഗിച്ച് നാല് മൂലകങ്ങളുള്ള ഒരു വരി മാട്രിക്‌സിൻ്റെ ഗുണനമായിരിക്കും, കൂടാതെ നാല് മൂലകങ്ങളുള്ളതും, രണ്ട് പഞ്ചമാന വെക്‌ടറുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം അഞ്ച് മൂലകങ്ങളുള്ള ഒരു വരി മാട്രിക്‌സിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നമായിരിക്കും. അഞ്ച് ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു കോളം മാട്രിക്സ്, തുടങ്ങിയവ.

ഉദാഹരണം 7.ജോഡി വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

,

മാട്രിക്സ് പ്രാതിനിധ്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ ആദ്യ ജോടി. ഞങ്ങൾ ആദ്യ വെക്‌ടറിനെ ഒരു വരി മാട്രിക്‌സ് ആയും രണ്ടാമത്തേത് കോളം മാട്രിക്‌സ് ആയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഒരു വരി മാട്രിക്സിൻ്റെയും കോളം മാട്രിക്സിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നമായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഞങ്ങൾ സമാനമായി രണ്ടാമത്തെ ജോഡിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയും കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഉദാഹരണം 2-ൽ നിന്നുള്ള അതേ ജോഡികൾക്ക് സമാനമായ ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ ഡെറിവേഷൻ വളരെ മനോഹരവും സംക്ഷിപ്തവുമാണ്.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ

(1)

കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ, യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ ആദ്യം കണ്ടെത്തുന്നു. നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം:

മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നതിൻ്റെ അർത്ഥം: ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അതിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്. പൂജ്യത്തിൻ്റെ കോസൈൻ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഓരോ യൂണിറ്റിൻ്റെയും ചതുരം ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും:

വെക്റ്ററുകൾ മുതൽ

ജോടിയായി ലംബമാണ്, അപ്പോൾ യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും:

ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ പോളിനോമിയലുകളുടെ ഗുണനം നടത്താം:

യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ അനുബന്ധ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യതയുടെ വലതുവശത്തായി ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഉദാഹരണം 8.മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു എ(1;1;1), ബി(2;2;1), സി(2;1;2).

ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

,

.

കോസൈൻ ആംഗിൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അതിനാൽ, .

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും .

ഉദാഹരണം 9.രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു

അവയ്ക്കിടയിലുള്ള തുക, വ്യത്യാസം, നീളം, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, ആംഗിൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

2.വ്യത്യാസം

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുമായി ഇടപെടുന്നത് തുടരുന്നു. ആദ്യ പാഠത്തിൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾഒരു വെക്റ്റർ എന്ന ആശയം, വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ, വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ, വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നിവ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. നിങ്ങൾ ഒരു സെർച്ച് എഞ്ചിനിൽ നിന്നാണ് ആദ്യമായി ഈ പേജിലേക്ക് വന്നതെങ്കിൽ, മുകളിലെ ആമുഖ ലേഖനം വായിക്കാൻ ഞാൻ ശക്തമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, കാരണം മെറ്റീരിയൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നതിന് ഞാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന നിബന്ധനകളും നൊട്ടേഷനുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമായിരിക്കണം, വെക്റ്ററുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് ഉണ്ടായിരിക്കണം. അടിസ്ഥാന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഈ പാഠം വിഷയത്തിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ തുടർച്ചയാണ്, അതിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്ന സാധാരണ ജോലികൾ ഞാൻ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്.. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാതിരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക; അവ ഉപയോഗപ്രദമായ ബോണസുമായി വരുന്നു - നിങ്ങൾ കവർ ചെയ്ത മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കാനും വിശകലന ജ്യാമിതിയിലെ പൊതുവായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും പ്രാക്ടീസ് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

വെക്‌ടറുകളുടെ സങ്കലനം, വെക്‌ടറിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കൽ.... ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ മറ്റെന്തെങ്കിലും കൊണ്ടുവന്നിട്ടില്ലെന്ന് കരുതുന്നത് നിഷ്കളങ്കമായിരിക്കും. ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്ത പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പുറമേ, വെക്റ്ററുകളുള്ള മറ്റ് നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങളുണ്ട്, അതായത്: വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംഒപ്പം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം. വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം നമുക്ക് സ്കൂളിൽ നിന്ന് പരിചിതമാണ്; മറ്റ് രണ്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങളും പരമ്പരാഗതമായി ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. വിഷയങ്ങൾ ലളിതമാണ്, നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം ലളിതവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണ്. ഒരേ ഒരു കാര്യം. മാന്യമായ അളവിലുള്ള വിവരങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ എല്ലാം ഒറ്റയടിക്ക് കൈകാര്യം ചെയ്യാനും പരിഹരിക്കാനും ശ്രമിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമല്ല. ഡമ്മികൾക്ക് ഇത് പ്രത്യേകിച്ച് സത്യമാണ്, എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ, രചയിതാവ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്ന് ചിക്കറ്റിലോയെപ്പോലെ തോന്നാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല. ശരി, ഗണിതത്തിൽ നിന്നല്ല, തീർച്ചയായും, ഒന്നുകിൽ =) കൂടുതൽ തയ്യാറായ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മെറ്റീരിയലുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഉപയോഗിക്കാം, ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽ, കാണാതായ അറിവ് "നേടുക", നിങ്ങൾക്കായി ഞാൻ ഒരു നിരുപദ്രവകാരിയായ കൗണ്ട് ഡ്രാക്കുള ആയിരിക്കും =)

അവസാനം നമുക്ക് വാതിൽ തുറന്ന് ആവേശത്തോടെ നോക്കാം, രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം കണ്ടുമുട്ടുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന്….

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം.
സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ. സാധാരണ ജോലികൾ

ഒരു ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആശയം

ആദ്യം കുറിച്ച് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ. വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ എന്താണെന്ന് എല്ലാവരും അവബോധപൂർവ്വം മനസ്സിലാക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു, എന്നാൽ കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി. നമുക്ക് സ്വതന്ത്ര നോൺസീറോ വെക്റ്ററുകൾ പരിഗണിക്കാം. നിങ്ങൾ ഈ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, പലരും ഇതിനകം മാനസികമായി സങ്കൽപ്പിച്ച ഒരു ചിത്രം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ഞാൻ സമ്മതിക്കുന്നു, ഇവിടെ ഞാൻ സാഹചര്യം വിവരിച്ചത് മനസ്സിലാക്കുന്ന തലത്തിൽ മാത്രമാണ്. വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിൻ്റെ കർശനമായ നിർവചനം നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിൽ, പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ദയവായി പാഠപുസ്തകം പരിശോധിക്കുക, തത്വത്തിൽ, ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രയോജനകരമല്ല. കൂടാതെ ഇവിടെയും ഇവിടെയും ഞാൻ സ്ഥലങ്ങളിലെ പൂജ്യം വെക്റ്ററുകളെ അവയുടെ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യം കുറവായതിനാൽ അവഗണിക്കും. തുടർന്നുള്ള ചില പ്രസ്താവനകളുടെ സൈദ്ധാന്തികമായ അപൂർണ്ണതയ്ക്ക് എന്നെ ആക്ഷേപിച്ചേക്കാവുന്ന വിപുലമായ സൈറ്റ് സന്ദർശകർക്കായി ഞാൻ പ്രത്യേകമായി റിസർവേഷൻ ചെയ്തു.

0 മുതൽ 180 ഡിഗ്രി വരെ (0 മുതൽ റേഡിയൻസ് വരെ) മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം. വിശകലനപരമായി, ഈ വസ്തുത ഇരട്ട അസമത്വത്തിൻ്റെ രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്: അഥവാ (റേഡിയനിൽ).

സാഹിത്യത്തിൽ, ആംഗിൾ ചിഹ്നം പലപ്പോഴും ഒഴിവാക്കുകയും ലളിതമായി എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

നിർവ്വചനം:രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ NUMBER ആണ്:

ഇപ്പോൾ ഇത് തികച്ചും കർശനമായ നിർവചനമാണ്.

ഞങ്ങൾ അവശ്യ വിവരങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു:

പദവി:സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം സൂചിപ്പിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി.

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം ഒരു NUMBER ആണ്: വെക്‌ടറിനെ വെക്‌ടർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഫലം ഒരു സംഖ്യയാണ്. തീർച്ചയായും, വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, ഒരു കോണിൻ്റെ കോസൈൻ ഒരു സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു സംഖ്യയും ആയിരിക്കും.

കുറച്ച് ഊഷ്മള ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം:

ഉദാഹരണം 1

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ഉത്തരം:

കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും ത്രികോണമിതി പട്ടിക. ഇത് അച്ചടിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു - ടവറിൻ്റെ മിക്കവാറും എല്ലാ വിഭാഗങ്ങളിലും ഇത് ആവശ്യമായി വരും കൂടാതെ നിരവധി തവണ ആവശ്യമാണ്.

പൂർണ്ണമായും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അളവില്ലാത്തതാണ്, അതായത്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഫലം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്, അത്രമാത്രം. ഭൗതികശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഒരു സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നിശ്ചിത ഭൗതിക അർത്ഥമുണ്ട്, അതായത്, ഫലത്തിന് ശേഷം ഒന്നോ അതിലധികമോ ഫിസിക്കൽ യൂണിറ്റ് സൂചിപ്പിക്കണം. ഒരു ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു കാനോനിക്കൽ ഉദാഹരണം ഏത് പാഠപുസ്തകത്തിലും കാണാം (സൂത്രവാക്യം കൃത്യമായി ഒരു സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നമാണ്). ഒരു ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനം ജൂൾസിൽ അളക്കുന്നു, അതിനാൽ ഉത്തരം കൃത്യമായി എഴുതപ്പെടും, ഉദാഹരണത്തിന്, .

ഉദാഹരണം 2

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക , വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ തുല്യമാണ്.

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, ഉത്തരം പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിലാണ്.

വെക്റ്ററുകളും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

ഉദാഹരണം 1 ൽ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയി മാറി, ഉദാഹരണം 2 ൽ അത് നെഗറ്റീവ് ആയി മാറി. സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ അടയാളം എന്തിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫോർമുല നോക്കാം: . നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററുകളുടെ ദൈർഘ്യം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്: , അതിനാൽ അടയാളം കോസൈൻ്റെ മൂല്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

കുറിപ്പ്: ചുവടെയുള്ള വിവരങ്ങൾ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, മാനുവലിൽ കോസൈൻ ഗ്രാഫ് പഠിക്കുന്നത് നല്ലതാണ് ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളും ഗുണങ്ങളും. സെഗ്‌മെൻ്റിൽ കോസൈൻ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് കാണുക.

ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ ഉള്ളിൽ വ്യത്യാസപ്പെടാം , കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

1) എങ്കിൽ മൂലവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മസാലകൾ: (0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെ), പിന്നെ , ഒപ്പം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും സഹസംവിധാനം, അപ്പോൾ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. മുതൽ, ഫോർമുല ലളിതമാക്കുന്നു: .

2) എങ്കിൽ മൂലവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മൂർച്ചയുള്ള: (90 മുതൽ 180 ഡിഗ്രി വരെ), പിന്നെ , അതിനനുസരിച്ച്, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്: . പ്രത്യേക കേസ്: വെക്റ്ററുകൾ ആണെങ്കിൽ വിപരീത ദിശകൾ, അപ്പോൾ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു വിപുലപ്പെടുത്തി: (180 ഡിഗ്രി). സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും നെഗറ്റീവ് ആണ്, കാരണം

വിപരീത പ്രസ്താവനകളും ശരിയാണ്:

1) എങ്കിൽ, ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ നിശിതമാണ്. പകരമായി, വെക്‌ടറുകൾ കോ-ഡയറക്ഷണൽ ആണ്.

2) എങ്കിൽ, ഈ വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണ്. പകരമായി, വെക്‌ടറുകൾ വിപരീത ദിശകളിലാണ്.

എന്നാൽ മൂന്നാമത്തെ കേസ് പ്രത്യേക താൽപ്പര്യമുള്ളതാണ്:

3) എങ്കിൽ മൂലവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ ഋജുവായത്: (90 ഡിഗ്രി), പിന്നെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്: . വിപരീതവും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ , പിന്നെ . പ്രസ്താവനയെ ഒതുക്കമുള്ള രീതിയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം: വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണെങ്കിൽ മാത്രം രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്. ഹ്രസ്വ ഗണിത നൊട്ടേഷൻ:

! കുറിപ്പ് : നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ: ഒരു ഇരട്ട-വശങ്ങളുള്ള ലോജിക്കൽ അനന്തരഫലം ഐക്കൺ സാധാരണയായി വായിക്കുന്നത് "എങ്കിലും എങ്കിൽ മാത്രം", "എങ്കിലും എങ്കിൽ മാത്രം". നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അമ്പടയാളങ്ങൾ രണ്ട് ദിശകളിലേക്കും നയിക്കപ്പെടുന്നു - "ഇതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, തിരിച്ചും - അതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു." വൺ-വേ ഫോളോ ഐക്കണിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? ഐക്കൺ പ്രസ്താവിക്കുന്നു അത് മാത്രം, "ഇതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു", വിപരീതം ശരിയാണെന്നത് ഒരു വസ്തുതയല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്: , എന്നാൽ എല്ലാ മൃഗങ്ങളും ഒരു പാന്തർ അല്ല, അതിനാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതേ സമയം, ഐക്കണിന് പകരം കഴിയുംഏകപക്ഷീയമായ ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, വെക്റ്ററുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്തു: - അത്തരമൊരു എൻട്രി ശരിയായിരിക്കും, അതിലും കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണ് .

മൂന്നാമത്തെ കേസിന് വലിയ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുണ്ട്, വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണോ അല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പാഠത്തിൻ്റെ രണ്ടാം വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉള്ള അവസ്ഥയിലേക്ക് മടങ്ങാം സഹസംവിധാനം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ പൂജ്യമാണ്, കൂടാതെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന ഫോർമുല ഫോം എടുക്കുന്നു: .

ഒരു വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? വെക്റ്റർ സ്വയം വിന്യസിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ലളിതമായ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നമ്പർ വിളിക്കുന്നു സ്കെയിലർ ചതുരംവെക്റ്റർ, എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ സ്കെയിലർ ചതുരം നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഇതുവരെ അത് വ്യക്തമല്ലെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ പാഠത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ എല്ലാം അതിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് സ്ഥാപിക്കും. നമുക്കും ആവശ്യമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ.

അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററുകൾക്കും ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ ശരിയാണ്:

1) - കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം.

2) - വിതരണം അല്ലെങ്കിൽ വിതരണക്കാരൻസ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം. ലളിതമായി, നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാൻ കഴിയും.

3) - അസോസിയേറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ സഹകാരിസ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം. സ്ഥിരാങ്കം സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞു വരാം.

മിക്കപ്പോഴും, എല്ലാത്തരം സ്വത്തുക്കളും (അതും തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്!) വിദ്യാർത്ഥികൾ അനാവശ്യമായ ചവറ്റുകുട്ടകളായി കാണുന്നു, അത് പരീക്ഷയ്ക്ക് ശേഷം ഉടൻ തന്നെ ഓർമ്മിക്കുകയും സുരക്ഷിതമായി മറക്കുകയും വേണം. ഇവിടെ പ്രധാനപ്പെട്ടത് എന്താണെന്ന് തോന്നുന്നു, ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നത് ഉൽപ്പന്നത്തെ മാറ്റില്ലെന്ന് ഒന്നാം ഗ്രേഡ് മുതൽ എല്ലാവർക്കും ഇതിനകം അറിയാം: . ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അത്തരമൊരു സമീപനം ഉപയോഗിച്ച് കാര്യങ്ങൾ കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകണം. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി സാധുതയുള്ളതല്ല ബീജഗണിത മാട്രിക്സ്. അതും ശരിയല്ല വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം. അതിനാൽ, കുറഞ്ഞത്, ഉയർന്ന മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന ഏതെങ്കിലും പ്രോപ്പർട്ടികൾ പരിശോധിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും, എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

ഉദാഹരണം 3

.

പരിഹാരം:ആദ്യം, നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സാഹചര്യം വ്യക്തമാക്കാം. എന്തായാലും ഇത് എന്താണ്? വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുക നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട വെക്‌ടറാണ്, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് . വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ലേഖനത്തിൽ കാണാം ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾ. വെക്റ്ററുള്ള അതേ ആരാണാവോ വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക.

അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സിദ്ധാന്തത്തിൽ, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് , പക്ഷേ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളവും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണും നമുക്ക് അറിയില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്‌നം. എന്നാൽ വ്യവസ്ഥ വെക്റ്ററുകൾക്ക് സമാനമായ പാരാമീറ്ററുകൾ നൽകുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു റൂട്ട് എടുക്കും:

(1) വെക്റ്ററുകളുടെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

(2) പോളിനോമിയലുകൾ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു, ഒരു അശ്ലീല നാവ് ട്വിസ്റ്റർ ലേഖനത്തിൽ കാണാം സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾഅഥവാ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ ഫംഗ്ഷൻ സമന്വയിപ്പിക്കുന്നു. ഞാൻ സ്വയം ആവർത്തിക്കില്ല =) വഴി, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ വിതരണ സ്വത്ത് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്.

(3) ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ സ്ക്വയറുകളെ ചുരുക്കി എഴുതുന്നു: . രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ കമ്മ്യൂട്ടബിലിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നു: .

(4) ഞങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

(5) ആദ്യ പദത്തിൽ ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ സ്ക്വയർ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് വളരെക്കാലം മുമ്പ് സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. അവസാന ടേമിൽ, അതനുസരിച്ച്, ഒരേ കാര്യം പ്രവർത്തിക്കുന്നു: . സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പദം വികസിപ്പിക്കുന്നു .

(6) ഈ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് പകരം വയ്ക്കുക , അന്തിമ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നടപ്പിലാക്കുക.

ഉത്തരം:

സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണെന്ന വസ്തുത പ്രസ്താവിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം സാധാരണമാണ്, അത് സ്വയം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 4

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക, അത് അറിയാമെങ്കിൽ .

ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു പൊതു ജോലി, വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തിനായുള്ള പുതിയ ഫോർമുലയ്ക്ക് വേണ്ടി മാത്രം. ഇവിടെയുള്ള നൊട്ടേഷൻ അൽപ്പം ഓവർലാപ്പുചെയ്യും, അതിനാൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞാൻ അത് മറ്റൊരു അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിയെഴുതും:

ഉദാഹരണം 5

എങ്കിൽ വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരംതാഴെ പറയും പോലെ ആയിരിക്കും:

(1) വെക്റ്ററിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു.

(2) ഞങ്ങൾ നീളം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: , കൂടാതെ ve എന്ന മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും വെക്‌ടറായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

(3) തുകയുടെ വർഗ്ഗത്തിന് ഞങ്ങൾ സ്കൂൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. കൗതുകകരമായ രീതിയിൽ ഇത് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക: - വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ചതുരമാണ്, വാസ്തവത്തിൽ അത് അങ്ങനെയാണ്. ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് വെക്റ്ററുകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും: - നിബന്ധനകളുടെ പുനഃക്രമീകരണം വരെ ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കുന്നു.

(4) ഇനിപ്പറയുന്നത് മുമ്പത്തെ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് പരിചിതമാണ്.

ഉത്തരം:

നമ്മൾ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ, അളവ് സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത് - "യൂണിറ്റുകൾ".

ഉദാഹരണം 6

എങ്കിൽ വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ഉപയോഗപ്രദമായ കാര്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചൂഷണം ചെയ്യുന്നത് തുടരുന്നു. നമ്മുടെ ഫോർമുല ഒന്നുകൂടി നോക്കാം . ആനുപാതിക നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം ഇടത് വശത്തെ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് പുനഃസജ്ജമാക്കുന്നു:

നമുക്ക് ഭാഗങ്ങൾ മാറ്റാം:

ഈ ഫോർമുലയുടെ അർത്ഥമെന്താണ്? രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും അറിയാമെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഈ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കാം, തൽഫലമായി, ആംഗിൾ തന്നെ.

ഒരു ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഒരു സംഖ്യയാണോ? നമ്പർ. വെക്റ്റർ നീളം സംഖ്യകളാണോ? നമ്പറുകൾ. ഇതിനർത്ഥം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയും ഒരു സംഖ്യയാണ് എന്നാണ്. കോണിൻ്റെ കോസൈൻ അറിയാമെങ്കിൽ: , തുടർന്ന് വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ തന്നെ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്: .

ഉദാഹരണം 7

വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക, അത് അറിയാമെങ്കിൽ.

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ഒരു സാങ്കേതിക സാങ്കേതികത ഉപയോഗിച്ചു - ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യം ഇല്ലാതാക്കുന്നു. യുക്തിരാഹിത്യം ഇല്ലാതാക്കാൻ, ഞാൻ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

അങ്ങനെയാണെങ്കില് , അത്:

വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും ത്രികോണമിതി പട്ടിക. ഇത് അപൂർവ്വമായി സംഭവിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും. അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിലെ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, പലപ്പോഴും ചില വിചിത്ര കരടികൾ പോലെയാണ്, കോണിൻ്റെ മൂല്യം ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, അത്തരമൊരു ചിത്രം നമ്മൾ ഒന്നിലധികം തവണ കാണും.

ഉത്തരം:

വീണ്ടും, അളവുകൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത് - റേഡിയൻസ്, ഡിഗ്രികൾ. വ്യക്തിപരമായി, വ്യക്തമായും "എല്ലാ ചോദ്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന്", രണ്ടും സൂചിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു (അവസ്ഥയ്ക്ക്, തീർച്ചയായും, ഉത്തരം റേഡിയൻസിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രിയിൽ മാത്രം അവതരിപ്പിക്കാൻ ആവശ്യമില്ലെങ്കിൽ).

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ജോലിയെ സ്വതന്ത്രമായി നേരിടാൻ കഴിയും:

ഉദാഹരണം 7*

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും നൽകിയിരിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക, .

ഒന്നിലധികം ഘട്ടങ്ങളായതിനാൽ ചുമതല വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.
പരിഹാര അൽഗോരിതം നോക്കാം:

1) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ നിങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് .

2) സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക (ഉദാഹരണങ്ങൾ നമ്പർ 3, 4 കാണുക).

3) വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളവും വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളവും കണ്ടെത്തുക (ഉദാഹരണങ്ങൾ നമ്പർ 5, 6 കാണുക).

4) പരിഹാരത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉദാഹരണ നമ്പർ 7 മായി യോജിക്കുന്നു - ഞങ്ങൾക്ക് നമ്പർ അറിയാം , അതായത് ആംഗിൾ തന്നെ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഒരു ചെറിയ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

പാഠത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗം ഒരേ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റുകൾ. ഇത് ആദ്യ ഭാഗത്തേക്കാൾ എളുപ്പമായിരിക്കും.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം,
ഒരു ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു

ഉത്തരം:

കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ഇടപെടുന്നത് കൂടുതൽ മനോഹരമാണെന്ന് പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ.

ഉദാഹരണം 14

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഓപ്പറേഷൻ്റെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി ഉപയോഗിക്കാം, അതായത്, കണക്കാക്കരുത് , എന്നാൽ ഉടനടി സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് പുറത്ത് ട്രിപ്പിൾ എടുത്ത് അത് അവസാനം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. പരിഹാരവും ഉത്തരവും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിലാണ്.

ഖണ്ഡികയുടെ അവസാനം, ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രകോപനപരമായ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 15

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക , എങ്കിൽ

പരിഹാരം:മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൻ്റെ രീതി വീണ്ടും നിർദ്ദേശിക്കുന്നു: എന്നാൽ മറ്റൊരു വഴിയുണ്ട്:

നമുക്ക് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്താം:

നിസ്സാര സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് അതിൻ്റെ നീളവും :

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഇവിടെ പ്രസക്തമല്ല!

വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഇത് ഉപയോഗപ്രദമല്ല:
നിർത്തുക. വെക്റ്റർ നീളത്തിൻ്റെ വ്യക്തമായ ഗുണം നാം പ്രയോജനപ്പെടുത്തേണ്ടതല്ലേ? വെക്റ്ററിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും? ഈ വെക്റ്റർ വെക്റ്ററിനേക്കാൾ 5 മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്. ദിശ വിപരീതമാണ്, പക്ഷേ ഇത് പ്രശ്നമല്ല, കാരണം നമ്മൾ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്. വ്യക്തമായും, വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് മൊഡ്യൂൾഓരോ വെക്റ്റർ ദൈർഘ്യത്തിനും സംഖ്യകൾ:
- മൊഡ്യൂലസ് ചിഹ്നം സംഖ്യയുടെ സാധ്യമായ മൈനസ് "തിന്നുന്നു".

അങ്ങനെ:

ഉത്തരം:

കോർഡിനേറ്റുകളാൽ വ്യക്തമാക്കിയ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുല

വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനിനായി മുമ്പ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഫോർമുല പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പൂർണ്ണമായ വിവരങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്:

പ്ലെയിൻ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻകൂടാതെ, ഒരു ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
.

ബഹിരാകാശ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈൻ, ഒരു ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയത്, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 16

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് ലംബങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. കണ്ടെത്തുക (വെർട്ടെക്സ് ആംഗിൾ).

പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, ഡ്രോയിംഗ് ആവശ്യമില്ല, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും:

ആവശ്യമായ ആംഗിൾ ഒരു പച്ച ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഒരു കോണിൻ്റെ സ്കൂൾ പദവി നമുക്ക് ഉടനടി ഓർമ്മിക്കാം: - പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ ശരാശരിഅക്ഷരം - ഇതാണ് നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള കോണിൻ്റെ ശീർഷകം. സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമായി എഴുതാനും കഴിയും.

ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോൺ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്നും മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ: .

മാനസികമായി വിശകലനം നടത്താൻ പഠിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്.

നമുക്ക് വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം:

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും:

കോണിൻ്റെ കോസൈൻ:

ഡമ്മികൾക്കായി ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്ന ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള ക്രമം ഇതാണ്. കൂടുതൽ വിപുലമായ വായനക്കാർക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ "ഒരു വരിയിൽ" എഴുതാൻ കഴിയും:

"മോശം" കോസൈൻ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം അന്തിമമല്ല, അതിനാൽ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യം ഒഴിവാക്കുന്നതിൽ കാര്യമില്ല.

നമുക്ക് ആംഗിൾ തന്നെ കണ്ടെത്താം:

നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം തികച്ചും വിശ്വസനീയമാണ്. പരിശോധിക്കാൻ, ഒരു പ്രൊട്ടക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ അളക്കാനും കഴിയും. മോണിറ്റർ കവർ കേടുവരുത്തരുത് =)

ഉത്തരം:

മറുപടിയിൽ നമ്മൾ അത് മറക്കുന്നില്ല ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണിനെക്കുറിച്ച് ചോദിച്ചു(സദിശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിനെക്കുറിച്ചല്ല), കൃത്യമായ ഉത്തരം സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത്: കോണിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം: , ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.

ഈ പ്രക്രിയ ആസ്വദിച്ചവർക്ക് കോണുകൾ കണക്കാക്കാനും കാനോനിക്കൽ സമത്വത്തിൻ്റെ സാധുത പരിശോധിക്കാനും കഴിയും

ഉദാഹരണം 17

ഒരു ത്രികോണത്തെ ബഹിരാകാശത്ത് അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർവചിക്കുന്നു. വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും

ഒരു ചെറിയ അന്തിമ വിഭാഗം പ്രൊജക്ഷനുകൾക്കായി നീക്കിവയ്ക്കും, അതിൽ ഒരു സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും ഉൾപ്പെടുന്നു:

വെക്‌ടറിലേക്ക് വെക്‌ടറിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ.
ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശാ കോസൈനുകൾ

വെക്റ്ററുകൾ പരിഗണിക്കുക കൂടാതെ:

വെക്‌ടറിനെ വെക്‌ടറിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യാം ലംബമായിവെക്റ്ററിലേക്ക് (പച്ച ഡോട്ടുള്ള വരകൾ). പ്രകാശകിരണങ്ങൾ വെക്റ്ററിലേക്ക് ലംബമായി പതിക്കുന്നുവെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അപ്പോൾ സെഗ്മെൻ്റ് (ചുവപ്പ് വര) വെക്റ്ററിൻ്റെ "നിഴൽ" ആയിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വെക്‌ടറിലേക്ക് വെക്‌ടറിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളമാണ്. അതായത്, പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

ഈ NUMBER എന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: , "വലിയ വെക്റ്റർ" വെക്റ്ററിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ഏത്പ്രോജക്റ്റ്, "സ്മോൾ സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് വെക്റ്റർ" വെക്റ്ററിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ഓൺപ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.

എൻട്രി തന്നെ ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: "വെക്റ്റർ "എ" വെക്റ്റർ "ആയി" എന്നതിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ."

വെക്റ്റർ "be" "വളരെ ചെറുതാണെങ്കിൽ" എന്ത് സംഭവിക്കും? വെക്റ്റർ "be" അടങ്ങുന്ന ഒരു നേർരേഖ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു. വെക്റ്റർ "a" ഇതിനകം പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടും വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയിലേക്ക് "be", ലളിതമായി - വെക്റ്റർ "be" അടങ്ങുന്ന നേർരേഖയിലേക്ക്. മുപ്പതാം രാജ്യത്തിൽ വെക്റ്റർ “a” മാറ്റിവച്ചാൽ ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കും - അത് വെക്റ്റർ “be” അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യും.

കോണാണെങ്കിൽവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മസാലകൾ(ചിത്രത്തിലെന്നപോലെ), പിന്നെ

വെക്റ്ററുകൾ എങ്കിൽ ഓർത്തോഗണൽ, പിന്നെ (മാനങ്ങൾ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റാണ് പ്രൊജക്ഷൻ).

കോണാണെങ്കിൽവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മൂർച്ചയുള്ള(ചിത്രത്തിൽ, വെക്റ്റർ അമ്പടയാളം മാനസികമായി പുനഃക്രമീകരിക്കുക), തുടർന്ന് (അതേ നീളം, പക്ഷേ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തത്).

നമുക്ക് ഈ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം:

വ്യക്തമായും, ഒരു വെക്റ്റർ ചലിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ മാറില്ല

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നവും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു. $\overline(a)$, $\overline(b)$ എന്നീ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകട്ടെ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഓറിയൻ്റഡ് ആംഗിൾ $\varphi$ ന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് $x = (\overline(a),\overline(b))$, $y = [\overline(a),\overline(b)]$ എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാം. അപ്പോൾ $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, ഇവിടെ $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, $\varphi$ ആവശ്യമുള്ള ആംഗിൾ, അതായത്, പോയിൻ്റ് $(x, y)$ ന് $\varphi$ ന് തുല്യമായ ഒരു ധ്രുവ കോണുണ്ട്, അതിനാൽ $\varphi$ എന്നത് atan2(y, x) ആയി കണ്ടെത്താം.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ രണ്ട് വെക്റ്റർ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, എബിസി ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കാം:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

ഒരു രേഖയിൽ ഒരു ബിന്ദു ഉൾപ്പെടുന്നവ

ഒരു പോയിൻ്റ് $P$, ഒരു വരി $AB$ (രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ $A$, $B$ എന്നിവ നൽകിയത്) നൽകട്ടെ. ഒരു പോയിൻ്റ് $AB$ എന്ന വരിയിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

$AP$, $AB$ എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത് $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $ ആണെങ്കിൽ മാത്രം $AB$ എന്ന വരിയിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഒരു ബിന്ദുവിന് ഒരു കിരണത്തിൻ്റേത്

ഒരു പോയിൻ്റ് $P$ ഉം $AB$ റേയും നൽകട്ടെ (രണ്ട് പോയിൻ്റുകളാൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് - $A$ റേയുടെ ആരംഭവും $B$ റേയിലെ ഒരു പോയിൻ്റും). ഒരു പോയിൻ്റ് $AB$ എന്ന കിരണത്തിൻ്റേതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

$P$ പോയിൻ്റ് $AB$ എന്ന നേർരേഖയുടേതാണെന്ന വ്യവസ്ഥയിലേക്ക്, ഒരു അധിക വ്യവസ്ഥ ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - $AP$, $AB$ എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ കോഡയറക്ഷണൽ ആണ്, അതായത്, അവ കോളിനിയറും അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവുമാണ് നോൺ-നെഗറ്റീവ്, അതായത്, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

ഒരു ബിന്ദു ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ഭാഗമാണ്

ഒരു പോയിൻ്റ് $P$, ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് $AB$ എന്നിവ നൽകട്ടെ. ഒരു പോയിൻ്റ് $AB$ വിഭാഗത്തിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിൻ്റ് റേ $AB$, ray $BA$ എന്നിവയിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരിക്കണം, അതിനാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതാണ്:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം

ഒരു പോയിൻ്റ് $P$, ഒരു വരി $AB$ (രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ $A$, $B$ എന്നിവ നൽകിയത്) നൽകട്ടെ. $AB$ എന്ന വരിയുടെ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ABP ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക. ഒരു വശത്ത്, അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ എന്നതിന് തുല്യമാണ്.

മറുവശത്ത്, അതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ ന് തുല്യമാണ്, ഇവിടെ $h$ എന്നത് $P$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് വീഴുന്ന ഉയരമാണ്, അതായത് ദൂരം $P$ മുതൽ $ AB$ വരെ. എവിടെ $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ബീമിലേക്കുള്ള ദൂരം

ഒരു പോയിൻ്റ് $P$ ഉം $AB$ റേയും നൽകട്ടെ (രണ്ട് പോയിൻ്റുകളാൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് - $A$ റേയുടെ ആരംഭവും $B$ റേയിലെ ഒരു പോയിൻ്റും). ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, പോയിൻ്റ് $P$ മുതൽ റേയിലെ ഏത് ബിന്ദുവും വരെയുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം.

ഈ ദൂരം ഒന്നുകിൽ നീളം $AP$ അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റ് $P$ മുതൽ $AB$ വരെയുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്. രശ്മിയുടെയും ബിന്ദുവിൻ്റെയും ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം അനുസരിച്ച് ഏത് കേസാണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് എളുപ്പത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. PAB ആംഗിൾ നിശിതമാണെങ്കിൽ, അതായത്, $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, അപ്പോൾ ഉത്തരം $P$ എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് $AB$ എന്ന നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം ആയിരിക്കും, അല്ലാത്തപക്ഷം $AB$ എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമായിരിക്കും ഉത്തരം.

പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് സെഗ്‌മെൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരം

ഒരു പോയിൻ്റ് $P$, ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് $AB$ എന്നിവ നൽകട്ടെ. $P$ മുതൽ $AB$ വരെയുള്ള സെഗ്‌മെൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

$ AB$ എന്ന വരിയിലേക്ക് $P$-ൽ നിന്ന് ലംബമായി വീണതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം $AB$ എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൽ വീഴുകയാണെങ്കിൽ, അത് വ്യവസ്ഥകൾ പ്രകാരം പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

അപ്പോൾ ഉത്തരം പോയിൻ്റ് $P$ മുതൽ വരി $AB$ വരെയുള്ള ദൂരമായിരിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ ദൂരം $\min(AP, BP)$ ന് തുല്യമായിരിക്കും.