Før vi gir begrepet et vektorprodukt, la oss gå over til spørsmålet om orienteringen til en ordnet trippel av vektorer a →, b →, c → i tredimensjonalt rom.

Til å begynne med, la oss sette til side vektorene a → , b → , c → fra ett punkt. Orienteringen til trippelen a → , b → , c → kan være høyre eller venstre, avhengig av retningen til vektoren c → seg selv. Typen av trippel a → , b → , c → vil bli bestemt fra den retningen den korteste svingen gjøres fra vektor a → til b → fra slutten av vektor c → .

Hvis den korteste svingen utføres mot klokken, kalles trippelen av vektorer a → , b → , c → Ikke sant, hvis med klokken – venstre.

Deretter tar du to ikke-kollineære vektorer a → og b →. La oss så plotte vektorene A B → = a → og A C → = b → fra punkt A. La oss konstruere en vektor A D → = c →, som samtidig er vinkelrett på både A B → og A C →. Når vi konstruerer selve vektoren A D → = c →, kan vi altså gjøre det på to måter, og gi den enten én retning eller motsatt (se illustrasjon).

En ordnet trippel av vektorer a → , b → , c → kan, som vi fant ut, være høyre eller venstre avhengig av retningen til vektoren.

Fra det ovenstående kan vi introdusere definisjonen av et vektorprodukt. Denne definisjonen er gitt for to vektorer definert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom.

Definisjon 1

Vektorproduktet av to vektorer a → og b → vi vil kalle en slik vektor definert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom slik at:

• hvis vektorene a → og b → er kollineære, vil den være null;
• den vil være vinkelrett på både vektor a →​​​og vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• lengden bestemmes av formelen: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• trippelen av vektorer a → , b → , c → har samme orientering som det gitte koordinatsystemet.

Vektorproduktet av vektorene a → og b → har følgende notasjon: a → × b →.

Koordinater til vektorproduktet

Siden enhver vektor har visse koordinater i koordinatsystemet, kan vi introdusere en andre definisjon av et vektorprodukt, som vil tillate oss å finne dens koordinater ved å bruke de gitte koordinatene til vektorene.

Definisjon 2

I et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom vektorprodukt av to vektorer a → = (a x ; a y ; a z) og b → = (b x ; b y ; b z) kalles en vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , hvor i → , j → , k → er koordinatvektorer.

Vektorproduktet kan representeres som determinanten for en tredjeordens kvadratmatrise, der den første raden inneholder vektorvektorene i → , j → , k → , den andre raden inneholder koordinatene til vektoren a → , og den tredje raden inneholder koordinatene til vektoren b → i et gitt rektangulært koordinatsystem, dette er determinanten til matrisen ser slik ut: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Ved å utvide denne determinanten til elementene i den første raden får vi likheten: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + = = a · y b x b → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Egenskaper til et kryssprodukt

Det er kjent at vektorproduktet i koordinater er representert som determinanten av matrisen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , deretter på grunnlag egenskapene til matrisedeterminanten følgende vises egenskaper til et vektorprodukt:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assosiativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b →, hvor λ er et vilkårlig reelt tall.

Disse egenskapene har enkle bevis.

Som et eksempel kan vi bevise den antikommutative egenskapen til et vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definisjon, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z og b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Og hvis to rader av matrisen byttes, bør verdien av determinanten til matrisen endres til det motsatte, derfor a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , som og beviser at vektorproduktet er antikommutativt.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger

I de fleste tilfeller er det tre typer problemer.

I problemer av den første typen er lengden på to vektorer og vinkelen mellom dem vanligvis gitt, og du må finne lengden på vektorproduktet. I dette tilfellet bruker du følgende formel c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Eksempel 1

Finn lengden på vektorproduktet til vektorene a → og b →, hvis du vet a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Løsning

Ved å bestemme lengden på vektorproduktet til vektorene a → og b → løser vi dette problemet: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Problemer av den andre typen har en sammenheng med koordinatene til vektorer, i dem vektorproduktet, dets lengde, etc. søkes gjennom de kjente koordinatene til gitte vektorer a → = (a x; a y; a z) Og b → = (b x ; b y ; b z) .

For denne typen problemer kan du løse mange oppgavealternativer. For eksempel kan ikke koordinatene til vektorene a → og b → spesifiseres, men deres utvidelser til koordinatvektorer av formen b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → og c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, eller vektorene a → og b → kan spesifiseres av koordinatene til starten og endepunkter.

Tenk på følgende eksempler.

Eksempel 2

I et rektangulært koordinatsystem er det gitt to vektorer: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Finn deres kryssprodukt.

Løsning

Ved den andre definisjonen finner vi vektorproduktet av to vektorer i gitte koordinater: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Hvis vi skriver vektorproduktet gjennom determinanten til matrisen, så ser løsningen på dette eksemplet slik ut: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Eksempel 3

Finn lengden på vektorproduktet til vektorene i → - j → og i → + j → + k →, hvor i →, j →, k → er enhetsvektorene til det rektangulære kartesiske koordinatsystemet.

Løsning

La oss først finne koordinatene til et gitt vektorprodukt i → - j → × i → + j → + k → i et gitt rektangulært koordinatsystem.

Det er kjent at vektorene i → - j → og i → + j → + k → har henholdsvis koordinater (1; - 1; 0) og (1; 1; 1). La oss finne lengden på vektorproduktet ved å bruke determinanten til matrisen, så har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Derfor har vektorproduktet i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det gitte koordinatsystemet.

Vi finner lengden på vektorproduktet ved hjelp av formelen (se avsnittet om å finne lengden på en vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Svar: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Eksempel 4

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem er koordinatene til tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) gitt. Finn en vektor vinkelrett på A B → og A C → samtidig.

Løsning

Vektorene A B → og A C → har følgende koordinater (- 1 ; 2 ; 2) henholdsvis (0 ; 4 ; 1). Etter å ha funnet vektorproduktet til vektorene A B → og A C →, er det åpenbart at det er en vinkelrett vektor per definisjon til både A B → og A C →, det vil si at det er en løsning på problemet vårt. La oss finne det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . - en av de perpendikulære vektorene.

Problemer av den tredje typen er fokusert på å bruke egenskapene til vektorproduktet til vektorer. Etter å ha brukt hvilken, vil vi få en løsning på det gitte problemet.

Eksempel 5

Vektorene a → og b → er vinkelrette og lengdene deres er henholdsvis 3 og 4. Finn lengden på vektorproduktet 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Løsning

Ved den distributive egenskapen til et vektorprodukt kan vi skrive 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ved assosiativitetsegenskapen tar vi de numeriske koeffisientene ut av tegnet til vektorproduktene i det siste uttrykket: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorproduktene a → × a → og b → × b → er lik 0, siden a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 og b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, deretter 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Fra antikommutativiteten til vektorproduktet følger det - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Ved å bruke egenskapene til vektorproduktet får vi likheten 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Ved betingelse er vektorene a → og b → vinkelrette, det vil si at vinkelen mellom dem er lik π 2. Nå gjenstår det bare å erstatte de funnet verdiene i de riktige formlene: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Svar: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Lengden på vektorproduktet til vektorer er per definisjon lik a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Siden det allerede er kjent (fra skolekurset) at arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av lengdene på de to sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom disse sidene. Følgelig er lengden på vektorproduktet lik arealet av parallellogrammet - en doblet trekant, nemlig produktet av sidene i form av vektorene a → og b →, lagt ned fra ett punkt, med sinus til vinkelen mellom dem sin ∠ a →, b →.

Dette er den geometriske betydningen av et vektorprodukt.

Fysisk betydning av vektorproduktet

I mekanikk, en av fysikkens grener, kan du takket være vektorproduktet bestemme øyeblikket til en kraft i forhold til et punkt i rommet.

Definisjon 3

Ved kraftmomentet F → påført punkt B, i forhold til punkt A, vil vi forstå følgende vektorprodukt A B → × F →.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

I denne leksjonen skal vi se på ytterligere to operasjoner med vektorer: vektorprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer (umiddelbar lenke for de som trenger det). Det er greit, noen ganger skjer det at for fullstendig lykke, i tillegg til skalært produkt av vektorer, mer og mer kreves. Dette er vektoravhengighet. Det kan virke som om vi kommer inn i jungelen av analytisk geometri. Dette er feil. I denne delen av høyere matematikk er det generelt lite ved, bortsett fra kanskje nok for Pinocchio. Faktisk er materialet veldig vanlig og enkelt - neppe mer komplisert enn det samme skalært produkt, blir det enda færre typiske oppgaver. Hovedsaken i analytisk geometri, som mange vil være overbevist om eller allerede har blitt overbevist om, er Å IKKE GJØRE FEIL I BEREGNINGER. Gjenta som en trolldom, så blir du glad =)

Hvis vektorer glitrer et sted langt unna, som lyn i horisonten, spiller det ingen rolle, start med leksjonen Vektorer for dummieså gjenopprette eller gjenopprette grunnleggende kunnskap om vektorer. Mer forberedte lesere kan sette seg selektivt inn i informasjonen. Jeg prøvde å samle den mest komplette samlingen av eksempler som ofte finnes i praktisk arbeid

Hva vil gjøre deg glad med en gang? Da jeg var liten kunne jeg sjonglere med to og til og med tre baller. Det fungerte bra. Nå slipper du å sjonglere i det hele tatt, siden vi vil vurdere bare romlige vektorer, og flate vektorer med to koordinater vil bli utelatt. Hvorfor? Dette er hvordan disse handlingene ble født - vektoren og det blandede produktet av vektorer er definert og fungerer i tredimensjonalt rom. Det er allerede enklere!

Denne operasjonen, akkurat som skalarproduktet, involverer to vektorer. La disse være uforgjengelige brev.

Selve handlingen betegnet med på følgende måte:. Det finnes andre alternativer, men jeg er vant til å betegne vektorproduktet til vektorer på denne måten, i hakeparentes med et kryss.

Og med en gang spørsmål: hvis i skalært produkt av vektorer to vektorer er involvert, og her multipliseres også to vektorer, da hva er forskjellen? Den åpenbare forskjellen er først og fremst i RESULTATET:

Resultatet av skalarproduktet av vektorer er NUMBER:

Resultatet av kryssproduktet av vektorer er VEKTOR: , det vil si at vi multipliserer vektorene og får en vektor igjen. Lukket klubb. Egentlig er det her navnet på operasjonen kommer fra. I ulik undervisningslitteratur kan betegnelser også variere. Jeg vil bruke bokstaven.

Definisjon av kryssprodukt

Først blir det en definisjon med et bilde, deretter kommentarer.

Definisjon: Vektorprodukt ikke-kollineær vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt VECTOR, lengde som er numerisk lik arealet av parallellogrammet, bygget på disse vektorene; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet slik at grunnlaget har en rett orientering:

La oss bryte ned definisjonen, det er mye interessant her!

Så følgende viktige punkter kan fremheves:

1) De opprinnelige vektorene, angitt med røde piler, per definisjon ikke kolinær. Det vil være hensiktsmessig å vurdere tilfellet med kollineære vektorer litt senere.

2) Vektorer tas i en strengt definert rekkefølge: – "a" multipliseres med "være", og ikke "være" med "a". Resultatet av vektormultiplikasjon er VEKTOR, som er indikert i blått. Hvis vektorene multipliseres i omvendt rekkefølge, får vi en vektor lik lengde og motsatt i retning (bringebærfarge). Det vil si at likheten er sann .

3) La oss nå bli kjent med den geometriske betydningen av vektorproduktet. Dette er et veldig viktig poeng! LENGDEN til den blå vektoren (og derfor den crimson vektoren) er numerisk lik OMRÅDET til parallellogrammet bygget på vektorene. På figuren er dette parallellogrammet farget svart.

Merk : tegningen er skjematisk, og naturlig nok er den nominelle lengden på vektorproduktet ikke lik arealet til parallellogrammet.

La oss huske en av de geometriske formlene: Arealet til et parallellogram er lik produktet av tilstøtende sider og sinusen til vinkelen mellom dem. Derfor, basert på ovenstående, er formelen for å beregne LENGDEN til et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreker at formelen handler om LENGDEN av vektoren, og ikke om selve vektoren. Hva er den praktiske meningen? Og meningen er at i problemer med analytisk geometri, er området til et parallellogram ofte funnet gjennom konseptet med et vektorprodukt:

La oss få den andre viktige formelen. Diagonalen til et parallellogram (rød stiplet linje) deler det i to like trekanter. Derfor kan området til en trekant bygget på vektorer (rød skyggelegging) bli funnet ved å bruke formelen:

4) Et like viktig faktum er at vektoren er ortogonal på vektorene, altså . Selvfølgelig er den motsatt rettede vektoren (bringebærpil) også ortogonal til de opprinnelige vektorene.

5) Vektoren er rettet slik at basis Det har Ikke sant orientering. I leksjonen om overgang til et nytt grunnlag Jeg snakket i tilstrekkelig detalj om planorientering, og nå skal vi finne ut hva romorientering er. Jeg vil forklare på fingrene dine høyre hånd. Kombiner mentalt pekefinger med vektor og langfinger med vektor. Ringfinger og lillefinger trykk den inn i håndflaten. Som et resultat tommel– vektorproduktet vil slå opp. Dette er et høyreorientert grunnlag (det er denne på figuren). Endre nå vektorene ( pekefinger og langfinger) noen steder, som et resultat vil tommelen snu seg, og vektorproduktet vil allerede se ned. Dette er også et høyreorientert grunnlag. Du har kanskje et spørsmål: hvilket grunnlag har forlatt orientering? "Tilordne" til de samme fingrene venstre hand vektorer, og få venstre basis og venstre orientering av rommet (i dette tilfellet vil tommelen være plassert i retning av den nedre vektoren). Figurativt sett "vrir" disse basene eller orienterer rommet i forskjellige retninger. Og dette konseptet bør ikke betraktes som noe fjernt eller abstrakt - for eksempel endres plassorienteringen av det mest vanlige speilet, og hvis du "trekker den reflekterte gjenstanden ut av glasset", så i det generelle tilfellet vil ikke være mulig å kombinere den med "originalen". Hold forresten tre fingre opp mot speilet og analyser refleksjonen ;-)

...hvor bra det er at du nå vet om høyre- og venstreorientert baserer seg, fordi uttalelsene til noen forelesere om en endring i orientering er skumle =)

Kryssprodukt av kollineære vektorer

Definisjonen har blitt diskutert i detalj, det gjenstår å se hva som skjer når vektorene er kollineære. Hvis vektorene er kollineære, kan de plasseres på en rett linje og parallellogrammet vårt "brettes" også til en rett linje. Området for slike, som matematikere sier, utarte parallellogram er lik null. Det samme følger av formelen - sinusen til null eller 180 grader er lik null, som betyr at området er null

Altså, hvis, da Og . Vær oppmerksom på at selve kryssproduktet er lik nullvektoren, men i praksis blir dette ofte neglisjert og de skrives at det også er lik null.

Et spesialtilfelle er kryssproduktet av en vektor med seg selv:

Ved hjelp av vektorproduktet kan du sjekke kolineariteten til tredimensjonale vektorer, og vi vil også analysere blant annet dette problemet.

For å løse praktiske eksempler kan du trenge trigonometrisk tabell for å finne verdiene til sinus fra den.

Vel, la oss tenne bålet:

Eksempel 1

a) Finn lengden på vektorproduktet til vektorer if

b) Finn arealet til et parallellogram bygget på vektorer hvis

Løsning: Nei, dette er ikke en skrivefeil, jeg har bevisst gjort de første dataene i klausulene like. Fordi utformingen av løsningene blir annerledes!

a) I henhold til tilstanden må du finne lengde vektor (kryssprodukt). I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Hvis du ble spurt om lengde, angir vi i svaret dimensjonen - enheter.

b) I henhold til tilstanden, må du finne torget parallellogram bygget på vektorer. Arealet til dette parallellogrammet er numerisk lik lengden på vektorproduktet:

Svar:

Vær oppmerksom på at svaret ikke snakker om vektorproduktet vi ble spurt om området av figuren, følgelig er dimensjonen kvadratiske enheter.

Vi ser alltid på HVA vi må finne i henhold til tilstanden, og ut fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke som bokstavelig talt, men det er nok av bokstaveligkere blant lærerne, og oppgaven har gode muligheter for å bli returnert for revisjon. Selv om dette ikke er et spesielt langt utsagt tull – hvis svaret er feil, så får man inntrykk av at personen ikke forstår enkle ting og/eller ikke har forstått essensen av oppgaven. Dette punktet må alltid holdes under kontroll når man løser ethvert problem i høyere matematikk, og også i andre fag.

Hvor ble det av den store bokstaven "en"? I prinsippet kunne det i tillegg vært knyttet til løsningen, men for å forkorte oppføringen gjorde jeg ikke dette. Jeg håper alle forstår det og er en betegnelse på det samme.

Et populært eksempel på en DIY-løsning:

Eksempel 2

Finn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Formelen for å finne arealet av en trekant gjennom vektorproduktet er gitt i kommentarene til definisjonen. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

I praksis er oppgaven veldig vanlig; trekanter kan generelt plage deg.

For å løse andre problemer trenger vi:

Egenskaper til vektorproduktet til vektorer

Vi har allerede vurdert noen egenskaper til vektorproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne listen.

For vilkårlige vektorer og et vilkårlig tall er følgende egenskaper sanne:

1) I andre informasjonskilder er denne posten vanligvis ikke fremhevet i egenskapene, men den er veldig viktig i praksis. Så la det være.

2) – eiendommen er også omtalt ovenfor, noen ganger kalles det antikommutativitet. Med andre ord, rekkefølgen på vektorene har betydning.

3) – assosiativ eller assosiativ vektor produktlover. Konstanter kan enkelt flyttes utenfor vektorproduktet. Virkelig, hva skal de gjøre der?

4) – distribusjon eller distributive vektor produktlover. Det er heller ingen problemer med å åpne brakettene.

For å demonstrere, la oss se på et kort eksempel:

Eksempel 3

Finn hvis

Løsning: Tilstanden krever igjen å finne lengden på vektorproduktet. La oss male miniatyren vår:

(1) I henhold til assosiative lover tar vi konstantene utenfor rammen av vektorproduktet.

(2) Vi flytter konstanten utenfor modulen, og modulen "spiser" minustegnet. Lengden kan ikke være negativ.

(3) Resten er klart.

Svar:

Det er på tide å legge mer ved til bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Løsning: Finn arealet av trekanten ved å bruke formelen . Haken er at vektorene "tse" og "de" i seg selv presenteres som summer av vektorer. Algoritmen her er standard og minner litt om eksempel nr. 3 og 4 i leksjonen Punktprodukt av vektorer. For klarhetens skyld vil vi dele løsningen inn i tre stadier:

1) På det første trinnet uttrykker vi vektorproduktet gjennom vektorproduktet, faktisk, la oss uttrykke en vektor i form av en vektor. Ingen ord ennå om lengder!

(1) Bytt ut uttrykkene til vektorene.

(2) Ved å bruke distributive lover åpner vi parentesene i henhold til regelen for multiplikasjon av polynomer.

(3) Ved å bruke assosiative lover flytter vi alle konstanter utover vektorproduktene. Med litt erfaring kan trinn 2 og 3 utføres samtidig.

(4) De første og siste leddene er lik null (nullvektor) på grunn av den fine egenskapen. I det andre begrepet bruker vi egenskapen til antikommutativitet til et vektorprodukt:

(5) Vi presenterer lignende termer.

Som et resultat viste det seg at vektoren ble uttrykt gjennom en vektor, som er det som kreves for å oppnås:

2) I det andre trinnet finner vi lengden på vektorproduktet vi trenger. Denne handlingen ligner på eksempel 3:

3) Finn arealet av den nødvendige trekanten:

Trinn 2-3 av løsningen kunne vært skrevet på én linje.

Svar:

Problemet som vurderes er ganske vanlig i tester, her er et eksempel for å løse det selv:

Eksempel 5

Finn hvis

En kort løsning og svar på slutten av timen. La oss se hvor oppmerksom du var da du studerte de forrige eksemplene ;-)

Kryssprodukt av vektorer i koordinater

, spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:

Formelen er veldig enkel: i den øverste linjen av determinanten skriver vi koordinatvektorene, i den andre og tredje linjen "setter" vi koordinatene til vektorene, og vi setter i streng rekkefølge– først koordinatene til «ve»-vektoren, deretter koordinatene til «dobbel-ve»-vektoren. Hvis vektorene må multipliseres i en annen rekkefølge, bør radene byttes:

Eksempel 10

Sjekk om følgende romvektorer er kollineære:
EN)
b)

Løsning: Kontrollen er basert på ett av utsagnene i denne leksjonen: hvis vektorene er kollineære, er deres vektorprodukt lik null (null vektor): .

a) Finn vektorproduktet:

Dermed er ikke vektorene kollineære.

b) Finn vektorproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er kanskje all grunnleggende informasjon om vektorproduktet til vektorer.

Denne delen vil ikke være veldig stor, siden det er få problemer der det blandede produktet av vektorer brukes. Faktisk vil alt avhenge av definisjonen, geometrisk betydning og et par arbeidsformler.

Et blandet produkt av vektorer er produktet av tre vektorer:

Så de stilte seg opp som et tog og kan ikke vente på å bli identifisert.

Først, igjen, en definisjon og et bilde:

Definisjon: Blandet arbeid ikke-coplanar vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt parallellepipedum volum, bygget på disse vektorene, utstyrt med et "+"-tegn hvis basisen er høyre, og et "–"-tegn hvis basisen er venstre.

La oss tegne. Linjer som er usynlige for oss er tegnet med stiplede linjer:

La oss dykke ned i definisjonen:

2) Vektorer tas i en bestemt rekkefølge, det vil si at omorganiseringen av vektorer i produktet, som du kanskje gjetter, ikke skjer uten konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydningen, vil jeg legge merke til et åpenbart faktum: det blandede produktet av vektorer er et TALL: . I pedagogisk litteratur kan designet være litt annerledes Jeg er vant til å betegne et blandet produkt med , og resultatet av beregninger med bokstaven "pe".

A-priory det blandede produktet er volumet til parallellepipedet, bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og svarte linjer). Det vil si at tallet er lik volumet til et gitt parallellepiped.

Merk : Tegningen er skjematisk.

4) La oss ikke bekymre oss igjen om konseptet med orientering av grunnlaget og rommet. Meningen med den siste delen er at et minustegn kan legges til volumet. Med enkle ord kan et blandet produkt være negativt: .

Direkte fra definisjonen følger formelen for å beregne volumet til et parallellepiped bygget på vektorer.

I denne artikkelen skal vi se nærmere på konseptet med kryssproduktet av to vektorer. Vi vil gi de nødvendige definisjonene, skrive en formel for å finne koordinatene til et vektorprodukt, liste opp og begrunne dets egenskaper. Etter dette vil vi dvele ved den geometriske betydningen av vektorproduktet til to vektorer og vurdere løsninger på forskjellige typiske eksempler.

Sidenavigering.

Definisjon av kryssprodukt.

Før vi definerer et vektorprodukt, la oss forstå orienteringen til en ordnet trippel av vektorer i tredimensjonalt rom.

La oss plotte vektorene fra ett punkt. Avhengig av retningen til vektoren, kan de tre være høyre eller venstre. La oss se fra slutten av vektoren på hvordan den korteste svingen fra vektoren til . Hvis den korteste rotasjonen skjer mot klokken, kalles trippelen av vektorer Ikke sant, ellers - venstre.

La oss nå ta to ikke-kollineære vektorer og . La oss plotte vektorene og fra punkt A. La oss konstruere en vektor vinkelrett på både og og . Når vi konstruerer en vektor, kan vi selvsagt gjøre to ting, og gi den enten én retning eller motsatt (se illustrasjon).

Avhengig av retningen til vektoren, kan den ordnede tripletten av vektorer være høyrehendt eller venstrehendt.

Dette bringer oss nær definisjonen av et vektorprodukt. Det er gitt for to vektorer definert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom.

Definisjon.

Kryssproduktet av to vektorer og , spesifisert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom, kalles en vektor slik at

Kryssproduktet av vektorer og er betegnet som .

Koordinater til vektorproduktet.

Nå vil vi gi den andre definisjonen av et vektorprodukt, som lar deg finne koordinatene fra koordinatene til gitte vektorer og.

Definisjon.

I et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom vektorprodukt av to vektorer Og er en vektor , hvor er koordinatvektorene.

Denne definisjonen gir oss kryssproduktet i koordinatform.

Det er praktisk å representere vektorproduktet som determinanten for en tredjeordens kvadratmatrise, hvor den første raden er vektorene, den andre raden inneholder koordinatene til vektoren, og den tredje inneholder koordinatene til vektoren i en gitt rektangulært koordinatsystem:

Hvis vi utvider denne determinanten til elementene i den første raden, får vi likheten fra definisjonen av vektorproduktet i koordinater (om nødvendig, se artikkelen):

Det skal bemerkes at koordinatformen til vektorproduktet er helt i samsvar med definisjonen gitt i første ledd i denne artikkelen. Dessuten er disse to definisjonene av et kryssprodukt ekvivalente. Du kan se beviset på dette faktum i boken som er oppført på slutten av artikkelen.

Egenskaper til et vektorprodukt.

Siden vektorproduktet i koordinater kan representeres som en determinant av matrisen, kan følgende enkelt begrunnes ut fra egenskapene til kryssproduktet:

Som et eksempel, la oss bevise den antikommutative egenskapen til et vektorprodukt.

A-priory Og . Vi vet at verdien av determinanten til en matrise reverseres hvis to rader byttes, derfor, , som beviser den antikommutative egenskapen til et vektorprodukt.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger.

Det er hovedsakelig tre typer problemer.

I problemer av den første typen er lengdene til to vektorer og vinkelen mellom dem gitt, og du må finne lengden på vektorproduktet. I dette tilfellet brukes formelen .

Eksempel.

Finn lengden på vektorproduktet til vektorene og , hvis kjent .

Løsning.

Vi vet fra definisjonen at lengden av vektorproduktet til vektorer og er lik produktet av lengdene til vektorer og ved sinusen til vinkelen mellom dem, derfor, .

Svar:

.

Problemer av den andre typen er relatert til koordinatene til vektorer, der vektorproduktet, dets lengde eller noe annet søkes gjennom koordinatene til gitte vektorer Og .

Det er mange forskjellige alternativer mulig her. For eksempel kan ikke koordinatene til vektorene og spesifiseres, men deres utvidelser til koordinatvektorer av formen og , eller vektorer og kan spesifiseres av koordinatene til start- og sluttpunktene deres.

La oss se på typiske eksempler.

Eksempel.

To vektorer er gitt i et rektangulært koordinatsystem . Finn deres kryssprodukt.

Løsning.

I følge den andre definisjonen skrives vektorproduktet av to vektorer i koordinater som:

Vi ville ha kommet til samme resultat hvis vektorproduktet hadde blitt skrevet ut ifra determinanten

Svar:

.

Eksempel.

Finn lengden på vektorproduktet til vektorene og , hvor er enhetsvektorene til det rektangulære kartesiske koordinatsystemet.

Løsning.

Først finner vi koordinatene til vektorproduktet i et gitt rektangulært koordinatsystem.

Siden vektorer og har henholdsvis koordinater og (om nødvendig, se artikkelkoordinatene til en vektor i et rektangulært koordinatsystem), så har vi ved den andre definisjonen av et vektorprodukt

Det vil si vektorproduktet har koordinater i et gitt koordinatsystem.

Vi finner lengden på et vektorprodukt som kvadratroten av summen av kvadratene av dets koordinater (vi fikk denne formelen for lengden på en vektor i avsnittet om å finne lengden på en vektor):

Svar:

.

Eksempel.

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem er koordinatene til tre punkter gitt. Finn en vektor som er vinkelrett og samtidig.

Løsning.

Vektorer og har henholdsvis koordinater og (se artikkelen finne koordinatene til en vektor gjennom koordinatene til punktene). Hvis vi finner vektorproduktet til vektorene og , så er det per definisjon en vektor vinkelrett på både til og til , det vil si at det er en løsning på problemet vårt. La oss finne ham

Svar:

- en av de perpendikulære vektorene.

I problemer av den tredje typen testes ferdigheten til å bruke egenskapene til vektorproduktet til vektorer. Etter å ha brukt egenskapene, brukes de tilsvarende formlene.

Eksempel.

Vektorene og er vinkelrette og deres lengder er henholdsvis 3 og 4. Finn lengden på kryssproduktet .

Løsning.

Ved den distributive egenskapen til et vektorprodukt kan vi skrive

På grunn av kombinasjonsegenskapen tar vi de numeriske koeffisientene ut av tegnet til vektorproduktene i det siste uttrykket:

Vektoren produkter og er lik null, siden Og , Deretter .

Siden vektorproduktet er antikommutativt, så .

Så ved å bruke egenskapene til vektorproduktet kom vi frem til likheten .

Etter betingelse er vektorene og vinkelrett, det vil si at vinkelen mellom dem er lik . Det vil si at vi har alle data for å finne ønsket lengde

Svar:

.

Geometrisk betydning av et vektorprodukt.

Per definisjon er lengden på vektorproduktet til vektorer . Og fra et videregående geometrikurs vet vi at arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av lengdene til de to sidene av trekanten og sinusen til vinkelen mellom dem. Følgelig er lengden på vektorproduktet lik to ganger arealet av en trekant hvis sider er vektorene og , hvis de er plottet fra ett punkt. Med andre ord, lengden på vektorproduktet av vektorer og er lik arealet til et parallellogram med sider og og vinkelen mellom dem lik . Dette er den geometriske betydningen av vektorproduktet.

BLANDET PRODUKT AV TRE VEKTORER OG DETS EGENSKAPER

Blandet arbeid tre vektorer kalles et tall lik . Utpekt . Her multipliseres de to første vektorene vektorielt og deretter multipliseres den resulterende vektoren skalært med den tredje vektoren. Åpenbart er et slikt produkt et visst antall.

La oss vurdere egenskapene til et blandet produkt.

1. Geometrisk betydning blandet arbeid. Blandingsproduktet av 3 vektorer, opp til et tegn, er lik volumet av parallellepipedet bygget på disse vektorene, som på kanter, dvs. .

   Dermed, og .

   

   Bevis. La oss sette til side vektorene fra den vanlige opprinnelsen og konstruere et parallellepiped på dem. La oss markere og merke det. Per definisjon av det skalære produktet

   Forutsatt at og betegner ved h høyden på parallellepipedet finner vi .

   Altså når

   Hvis, så det. Derfor,.

   Ved å kombinere begge disse tilfellene får vi eller .

   Spesielt fra beviset for denne egenskapen følger det at hvis trippelen av vektorer er høyrehendt, så er det blandede produktet , og hvis det er venstrehendt, så .

2. For alle vektorer, er likheten sann

   Beviset for denne egenskapen følger av Eiendom 1. Det er faktisk lett å vise at og . Dessuten tas tegnene "+" og "–" samtidig, fordi vinklene mellom vektorene og og og er både spisse og stumpe.

3. Når to faktorer omorganiseres, endrer det blandede produktet fortegn.

   Faktisk, hvis vi vurderer et blandet produkt, så, for eksempel, eller

4. Et blandet produkt hvis og bare hvis en av faktorene er lik null eller vektorene er koplanære.

   Bevis.

   En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for koplanariteten til 3 vektorer er således at deres blandede produkt er lik null. I tillegg følger det at tre vektorer danner en basis i rommet hvis .

   Hvis vektorene er gitt i koordinatform, kan det vises at deres blandede produkt er funnet ved formelen:

   .

   Dermed er det blandede produktet lik tredjeordens determinanten, som har koordinatene til den første vektoren i den første linjen, koordinatene til den andre vektoren i den andre linjen, og koordinatene til den tredje vektoren i den tredje linjen.

   Eksempler.

ANALYTISK GEOMETRI I ROMMET

Ligningen F(x, y, z)= 0 definerer i rommet Oxyz noe overflate, dvs. geometrisk lokus av punkter hvis koordinater x, y, z tilfredsstille denne ligningen. Denne ligningen kalles overflateligningen, og x, y, z– gjeldende koordinater.

Imidlertid er overflaten ofte ikke spesifisert av en ligning, men som et sett med punkter i rommet som har en eller annen egenskap. I dette tilfellet er det nødvendig å finne overflatens ligning basert på dens geometriske egenskaper.

FLY.

NORMAL PLAN VEKTOR.

LIGNING AV ET FLY SOM PASSERER GJENNOM ET GITT PUNKT

La oss vurdere et vilkårlig plan σ i rommet. Posisjonen bestemmes ved å spesifisere en vektor vinkelrett på dette planet og et fast punkt M0(x 0, y 0, z 0), liggende i σ-planet.

Vektoren vinkelrett på planet σ kalles normal vektor for dette flyet. La vektoren ha koordinater.

La oss utlede ligningen for planet σ som går gjennom dette punktet M0 og har en normal vektor. For å gjøre dette, ta et vilkårlig punkt på planet σ M(x, y, z) og vurdere vektoren.

For ethvert punkt MО σ er en vektor Derfor er deres skalarprodukt lik null. Denne likheten er betingelsen som poenget MО σ. Den er gyldig for alle punkter på dette flyet og brytes så snart punktet M vil være utenfor σ-planet.

Hvis vi betegner punktene med radiusvektoren M, – radiusvektor for punktet M0, så kan ligningen skrives i formen

Denne ligningen kalles vektor plan ligning. La oss skrive det i koordinatform. Siden da

Så vi har fått ligningen til planet som passerer gjennom dette punktet. For å lage en ligning av et plan, må du derfor kjenne koordinatene til normalvektoren og koordinatene til et punkt som ligger på planet.

Merk at ligningen til planet er en ligning av 1. grad med hensyn til gjeldende koordinater x, y Og z.

Eksempler.

GENERELL LIGNING AV FLYET

Det kan vises at enhver førstegradsligning med hensyn til kartesiske koordinater x, y, z representerer ligningen til et plan. Denne ligningen er skrevet som:

Axe+By+Cz+D=0

og kalles generell ligning planet og koordinatene A, B, C her er koordinatene til normalvektoren til planet.

La oss vurdere spesielle tilfeller av den generelle ligningen. La oss finne ut hvordan planet er plassert i forhold til koordinatsystemet hvis en eller flere koeffisienter av ligningen blir null.

A er lengden på segmentet avskåret av planet på aksen Okse. På samme måte kan det vises det b Og c– lengder av segmenter avskåret av det aktuelle planet på aksene Oy Og Oz.

Det er praktisk å bruke ligningen til et plan i segmenter for å konstruere plan.

7.1. Definisjon av kryssprodukt

Tre ikke-koplanare vektorer a, b og c, tatt i den angitte rekkefølgen, danner en høyrehendt triplett hvis den korteste svingen fra den første vektoren a til den andre vektoren b fra slutten av den tredje vektoren c sees til være mot klokken, og en venstrehendt trilling hvis med klokken (se fig. 16).

Vektorproduktet av vektor a og vektor b kalles vektor c, som:

1. Vinkelrett på vektorene a og b, dvs. c ^ a og c ^ b;

2. Har en lengde numerisk lik arealet til et parallellogram konstruert på vektorene a ogb som på sidene (se fig. 17), dvs.

3. Vektorene a, b og c danner en høyrehendt trippel.

Kryssproduktet er betegnet a x b eller [a,b]. Følgende relasjoner mellom enhetsvektorene i følger direkte av definisjonen av vektorproduktet, j Og k(se fig. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
La oss bevise det for eksempel i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, men | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorene i, j og k danner en rett trippel (se fig. 16).

7.2. Egenskaper til et kryssprodukt

1. Ved omorganisering av faktorene skifter vektorproduktet fortegn, dvs. og xb =(b xa) (se fig. 19).

Vektorene a xb og b xa er kollineære, har de samme modulene (arealet til parallellogrammet forblir uendret), men er motsatt rettet (trippel a, b, a xb og a, b, b x a med motsatt orientering). Det er axb = -(b xa).

2. Vektorproduktet har en kombinasjonsegenskap i forhold til skalarfaktoren, dvs. l (a xb) = (la) x b = a x (l b).

La l >0. Vektor l (a xb) er vinkelrett på vektorene a og b. Vektor ( løks b er også vinkelrett på vektorene a og b(vektorer a, l men ligger i samme plan). Dette betyr at vektorene l(a xb) og ( løks b kollineær. Det er åpenbart at retningene deres er sammenfallende. De har samme lengde:

Derfor l(a xb)= l en xb. Det er bevist på lignende måte for l<0.

3. To ikke-null vektorer a og b er kollineære hvis og bare hvis vektorproduktet deres er lik nullvektoren, dvs. a ||b<=>og xb = 0.

Spesielt i *i =j *j =k *k =0.

4. Vektorproduktet har distribusjonsegenskapen:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Vi vil godta uten bevis.

7.3. Å uttrykke kryssproduktet i form av koordinater

Vi vil bruke kryssprodukttabellen av vektorer i, j og k:

hvis retningen til den korteste banen fra den første vektoren til den andre faller sammen med pilens retning, er produktet lik den tredje vektoren, hvis den ikke sammenfaller, tas den tredje vektoren med et minustegn.

La to vektorer a =a x i +a y gis j+a z k og b = b x Jeg+b y j+b z k. La oss finne vektorproduktet til disse vektorene ved å multiplisere dem som polynomer (i henhold til egenskapene til vektorproduktet):

Den resulterende formelen kan skrives enda kortere:

siden høyre side av likhet (7.1) tilsvarer utvidelsen av tredjeordens determinant når det gjelder elementene i den første raden (7.2) er lett å huske.

7.4. Noen bruksområder for kryssprodukter

Etablere kollinearitet av vektorer

Finne arealet til et parallellogram og en trekant

I henhold til definisjonen av vektorproduktet til vektorer EN og b |a xb | =|a | * |b |sin g, dvs. S-par = |a x b |. Og derfor D S =1/2|a x b |.

Bestemmelse av kraftmomentet om et punkt

La en kraft påføres ved punkt A F =AB La det gå OM- et punkt i rommet (se fig. 20).

Det er kjent fra fysikken kraftmoment F i forhold til punktet OM kalt en vektor M, som går gjennom punktet OM Og:

1) vinkelrett på planet som går gjennom punktene O, A, B;

2) numerisk lik kraftproduktet per arm

3) danner en rett trippel med vektorene OA og A B.

Derfor er M = OA x F.

Finne lineær rotasjonshastighet

Hastighet v punkt M av et stivt legeme som roterer med vinkelhastighet w rundt en fast akse, bestemmes av Eulers formel v =w xr, hvor r =OM, hvor O er et fast punkt på aksen (se fig. 21).