Konseptet med den n-te roten av et reelt tall. Roten til den n-te graden: definisjoner, notasjon, eksempler Definisjon av den n-te roten til en ikke-negativ

Lysbilde 1

Kommunal utdanningsinstitusjon lyceum nr. 10 i byen Sovetsk, Kaliningrad-regionen, matematikklærer Tatyana Nikolaevna Razygraeva Konseptet med den n-te roten av et reelt tall.

Lysbilde 2

Hvilken kurve er grafen til funksjonen y = x²? Hvilken kurve er grafen til funksjonen y = x⁴? Tenk på likningen x⁴ = 1. La oss plotte funksjonene y = x⁴ og y = 1. Svar: x = 1, x = -1. Tilsvarende: x⁴ = 16. Svar: x = 2, x = -2. Tilsvarende: x⁴ = 5. y = 5 Svar:

Lysbilde 3

Tenk på likningen x⁵ = 1. La oss plotte funksjonene y = x⁵ og y = 1. Tilsvarende: x⁵ = 7. Svar: x = 1. Svar: Tenk på likningen: hvor a > 0, n N, n >1. Hvis n er partall, har ligningen to røtter: Hvis n er oddetall, så en rot:

Lysbilde 4

Definisjon 1: Den n-te roten av et ikke-negativt tall a (n = 2,3,4,5,...) er et ikke-negativt tall som, når det heves til potensen n, resulterer i tallet a. Dette tallet er betegnet med: et n - radikalt uttrykk - roteksponent Operasjonen med å finne roten til et ikke-negativt tall kalles rotekstraksjon. Hvis a 0, n = 2,3,4,5,..., så

Lysbilde 5

Operasjonen med å trekke ut en rot er det motsatte av å heve til den tilsvarende kraften. 5² = 25 10³ = 1000 0,3⁴ = 0,0081 25 = 5 3 4 Noen ganger kalles uttrykket a en radikal fra det latinske ordet radix - "rot". n Symbolet er en stilisert bokstav r. Eksponentiering Trekker ut roten

Lysbilde 6

Eksempel 1: Regn ut: a) 49; b) 0,125; c) 0; d) 17 3 7 4 Løsning: a) 49 = 7, siden 7 > 0 og 7² = 49; 3 b) 0,125 = 0,5, siden 0,5 > 0 og 0,5³ = 0,125; c) 0; d) 17 ≈ 2,03 4 Definisjon 2: Roten av en oddetall n av et negativt tall a (n = 3,5,...) er et negativt tall som, når det heves til potensen n, resulterer i tallet a.

Lysbilde 7

Så Konklusjon: Roten til en jevn grad gir mening (dvs. er definert) bare for et ikke-negativt radikalt uttrykk; en odde rot gir mening for ethvert radikalt uttrykk. Eksempel 2: Løs ligningene: Hvis a< 0, n = 3,5,7,…, то

Gratulerer: i dag skal vi se på røtter - et av de mest oppsiktsvekkende temaene i 8. klasse :)

Mange blir forvirret over røtter, ikke fordi de er komplekse (hva er så komplisert med det - et par definisjoner og et par egenskaper til), men fordi i de fleste skolebøkene er røtter definert gjennom en slik jungel at bare forfatterne av lærebøkene selv kan forstå denne skriften. Og selv da bare med en flaske god whisky :)

Derfor vil jeg nå gi den mest korrekte og mest kompetente definisjonen av en rot - den eneste du virkelig bør huske. Og så skal jeg forklare: hvorfor alt dette er nødvendig og hvordan du bruker det i praksis.

Men husk først et viktig poeng som mange lærebokkompilatorer av en eller annen grunn "glemmer":

Røtter kan være av jevn grad (vår favoritt $\sqrt(a)$, så vel som alle slags $\sqrt(a)$ og til og med $\sqrt(a)$) og oddetall (alle slags $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, osv.). Og definisjonen av en rot av en odde grad er noe forskjellig fra en partall.

Sannsynligvis er 95% av alle feil og misforståelser knyttet til røtter skjult i dette jævla "noe annerledes". Så la oss rydde opp i terminologien en gang for alle:

Definisjon. Til og med rot n fra tallet er $a$ hvilken som helst ikke-negativ tallet $b$ er slik at $((b)^(n))=a$. Og den odde roten av det samme tallet $a$ er vanligvis et hvilket som helst tall $b$ som samme likhet gjelder: $((b)^(n))=a$.

I alle fall er roten betegnet slik:

\(en)\]

Tallet $n$ i en slik notasjon kalles roteksponenten, og tallet $a$ kalles det radikale uttrykket. Spesielt for $n=2$ får vi vår "favoritt" kvadratrot (forresten, dette er en rot av partall grad), og for $n=3$ får vi en kubikkrot (oddegrad), som er også ofte funnet i problemer og ligninger.

Eksempler. Klassiske eksempler på kvadratrøtter:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Forresten, $\sqrt(0)=0$, og $\sqrt(1)=1$. Dette er ganske logisk, siden $((0)^(2))=0$ og $((1)^(2))=1$.

Kuberøtter er også vanlige - du trenger ikke å være redd for dem:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Vel, et par "eksotiske eksempler":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Hvis du ikke forstår hva forskjellen er mellom en partall og en oddetall, kan du lese definisjonen på nytt. Dette er veldig viktig!

I mellomtiden vil vi vurdere et ubehagelig trekk ved røtter, på grunn av hvilket vi trengte å introdusere en egen definisjon for jevne og odde eksponenter.

Hvorfor trengs røtter i det hele tatt?

Etter å ha lest definisjonen vil mange elever spørre: "Hva røykte matematikerne da de kom på dette?" Og egentlig: hvorfor trengs alle disse røttene i det hele tatt?

For å svare på dette spørsmålet, la oss gå tilbake til barneskolen et øyeblikk. Husk: i de fjerne tider, da trærne var grønnere og dumplings smakfullere, var vårt hovedanliggende å multiplisere tallene riktig. Vel, noe sånt som "fem ganger fem - tjuefem", det er alt. Men du kan multiplisere tall ikke i par, men i trillinger, firedobler og generelt hele sett:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Dette er imidlertid ikke poenget. Trikset er annerledes: matematikere er late mennesker, så de hadde vanskelig for å skrive ned multiplikasjonen av ti femmere slik:

Derfor kom de med grader. Hvorfor ikke skrive antall faktorer som en hevet tekst i stedet for en lang streng? Noe sånt som dette:

Det er veldig praktisk! Alle beregninger reduseres betraktelig, og du trenger ikke kaste bort en haug med pergamentark og notatbøker for å skrive ned 5183. Denne rekorden ble kalt en kraft av et tall, en haug med eiendommer ble funnet i den, men lykken viste seg å være kortvarig.

Etter en storslått drikkefest, som ble arrangert kun for «oppdagelsen» av grader, spurte plutselig en spesielt sta matematiker: «Hva om vi vet graden av et tall, men tallet i seg selv er ukjent?» Nå, faktisk, hvis vi vet at et visst tall $b$, si, til 5. potens gir 243, hvordan kan vi da gjette hva tallet $b$ i seg selv er lik?

Dette problemet viste seg å være mye mer globalt enn det kan virke ved første øyekast. Fordi det viste seg at for de fleste "ferdige" makter er det ingen slike "initielle" tall. Døm selv:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Høyrepil b=3\cdot 3\cdot 3\Høyrepil b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Høyrepil b=4\cdot 4\cdot 4\Høyrepil b=4. \\ \end(align)\]

Hva om $((b)^(3))=50$? Det viser seg at vi må finne et visst tall som, når det multipliseres med seg selv tre ganger, vil gi oss 50. Men hva er dette tallet? Det er klart større enn 3, siden 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Det vil si dette tallet ligger et sted mellom tre og fire, men du vil ikke forstå hva det er lik.

Det er nettopp derfor matematikere kom opp med $n$th røtter. Det er nettopp derfor det radikale symbolet $\sqrt(*)$ ble introdusert. For å betegne selve tallet $b$, som i den angitte grad vil gi oss en tidligere kjent verdi

\[\sqrt[n](a)=b\Høyrepil ((b)^(n))=a\]

Jeg argumenterer ikke: ofte er disse røttene lett å beregne - vi så flere slike eksempler ovenfor. Men likevel, i de fleste tilfeller, hvis du tenker på et vilkårlig tall og deretter prøver å trekke ut roten til en vilkårlig grad fra det, vil du få en forferdelig nedtur.

Hva er der! Selv den enkleste og mest kjente $\sqrt(2)$ kan ikke representeres i vår vanlige form - som et heltall eller en brøk. Og hvis du legger inn dette tallet i en kalkulator, vil du se dette:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Som du kan se, etter desimaltegnet er det en endeløs sekvens av tall som ikke følger noen logikk. Du kan selvfølgelig runde av dette tallet for raskt å sammenligne med andre tall. For eksempel:

\[\sqrt(2)=1,4142...\ca. 1,4 \lt 1,5\]

Eller her er et annet eksempel:

\[\sqrt(3)=1,73205...\ca. 1,7 \gt 1,5\]

Men alle disse avrundingene er for det første ganske grove; og for det andre må du også kunne jobbe med omtrentlige verdier, ellers kan du fange opp en haug med ikke-åpenbare feil (forresten, kompetansen til sammenligning og avrunding kreves for å bli sjekket på profilen Unified State Examination).

Derfor, i seriøs matematikk kan du ikke klare deg uten røtter - de er de samme like representanter for settet av alle reelle tall $\mathbb(R)$, akkurat som brøkene og heltallene som lenge har vært kjent for oss.

Manglende evne til å representere en rot som en brøkdel av formen $\frac(p)(q)$ betyr at denne roten ikke er et rasjonelt tall. Slike tall kalles irrasjonelle, og de kan ikke representeres nøyaktig unntatt ved hjelp av en radikal eller andre konstruksjoner spesialdesignet for dette (logaritmer, potenser, grenser, etc.). Men mer om det en annen gang.

La oss vurdere flere eksempler der irrasjonelle tall etter alle beregningene fortsatt vil forbli i svaret.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ca. 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\ca -1,2599... \\ \end(align)\]

Naturligvis, fra utseendet til roten, er det nesten umulig å gjette hvilke tall som kommer etter desimaltegnet. Du kan imidlertid regne med en kalkulator, men selv den mest avanserte datokalkulatoren gir oss bare de første par sifrene i et irrasjonelt tall. Derfor er det mye mer riktig å skrive svarene på formen $\sqrt(5)$ og $\sqrt(-2)$.

Det er nettopp derfor de ble oppfunnet. For enkelt å registrere svar.

Hvorfor trengs to definisjoner?

Den oppmerksomme leser har nok allerede lagt merke til at alle kvadratrøttene som er gitt i eksemplene er hentet fra positive tall. Vel, i hvert fall fra bunnen av. Men kuberøtter kan rolig trekkes ut fra absolutt et hvilket som helst tall - enten det er positivt eller negativt.

Hvorfor skjer dette? Ta en titt på grafen til funksjonen $y=((x)^(2))$:

Grafen til en kvadratisk funksjon gir to røtter: positiv og negativ

La oss prøve å beregne $\sqrt(4)$ ved å bruke denne grafen. For å gjøre dette, tegnes en horisontal linje $y=4$ på grafen (merket med rødt), som skjærer parablen på to punkter: $((x)_(1))=2$ og $((x) )_(2)) =-2$. Dette er ganske logisk, siden

Alt er klart med det første tallet - det er positivt, så det er roten:

Men hva skal man da gjøre med det andre punktet? Som om fire har to røtter samtidig? Tross alt, hvis vi kvadrerer tallet −2, får vi også 4. Hvorfor ikke skrive $\sqrt(4)=-2$ da? Og hvorfor ser lærere på slike innlegg som om de vil spise deg? :)

Problemet er at hvis du ikke pålegger noen ytterligere betingelser, vil fireren ha to kvadratrøtter - positive og negative. Og ethvert positivt tall vil også ha to av dem. Men negative tall vil ikke ha noen røtter i det hele tatt - dette kan sees fra samme graf, siden parabelen aldri faller under aksen y, dvs. godtar ikke negative verdier.

Et lignende problem oppstår for alle røtter med en jevn eksponent:

1. Strengt tatt vil hvert positivt tall ha to røtter med jevn eksponent $n$;
2. Fra negative tall trekkes ikke roten med jevn $n$ ut i det hele tatt.

Det er derfor definisjonen av en partall rot av $n$ spesifikt fastsetter at svaret må være et ikke-negativt tall. Slik blir vi kvitt tvetydighet.

Men for odde $n$ er det ikke noe slikt problem. For å se dette, la oss se på grafen til funksjonen $y=((x)^(3))$:

En terningparabel kan ta hvilken som helst verdi, så terningroten kan tas fra et hvilket som helst tall

To konklusjoner kan trekkes fra denne grafen:

1. Grenene til en kubisk parabel, i motsetning til en vanlig, går til uendelig i begge retninger - både opp og ned. Derfor, uansett hvilken høyde vi tegner en horisontal linje, vil denne linjen sikkert krysse grafen vår. Følgelig kan kuberoten alltid trekkes ut fra absolutt et hvilket som helst tall;
2. I tillegg vil et slikt kryss alltid være unikt, så du trenger ikke tenke på hvilket tall som anses som den "riktige" roten og hvilken du skal ignorere. Det er derfor det er enklere å bestemme røtter for en oddetallsgrad enn for en jevn grad (det er ingen krav til ikke-negativitet).

Det er synd at disse enkle tingene ikke er forklart i de fleste lærebøker. I stedet begynner hjernen vår å sveve med alle slags aritmetiske røtter og deres egenskaper.

Ja, jeg argumenterer ikke: du må også vite hva en aritmetisk rot er. Og jeg vil snakke om dette i detalj i en egen leksjon. I dag skal vi også snakke om det, for uten det ville alle tanker om røtter til $n$-th multiplisitet vært ufullstendige.

Men først må du tydelig forstå definisjonen som jeg ga ovenfor. Ellers, på grunn av overfloden av begreper, vil et slikt rot begynne i hodet ditt at du til slutt ikke forstår noe i det hele tatt.

Alt du trenger å gjøre er å forstå forskjellen mellom partall og oddetall. Derfor, la oss igjen samle alt du virkelig trenger å vite om røtter:

1. En rot av en partallsgrad eksisterer bare fra et ikke-negativt tall og er i seg selv alltid et ikke-negativt tall. For negative tall er en slik rot udefinert.
2. Men roten til en oddetall eksisterer fra et hvilket som helst tall og kan selv være et hvilket som helst tall: for positive tall er det positivt, og for negative tall, som capsen antyder, er det negativt.

Er det vanskelig? Nei, det er ikke vanskelig. Er det klart? Ja, det er helt åpenbart! Så nå skal vi øve litt på regnestykkene.

Grunnleggende egenskaper og begrensninger

Røtter har mange merkelige egenskaper og begrensninger - dette vil bli diskutert i en egen leksjon. Derfor vil vi nå bare vurdere det viktigste "trikset", som bare gjelder røtter med en jevn indeks. La oss skrive denne egenskapen som en formel:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\venstre| x\right|\]

Med andre ord, hvis vi hever et tall til en partall og deretter trekker ut roten av samme potens, vil vi ikke få det opprinnelige tallet, men dets modul. Dette er et enkelt teorem som lett kan bevises (det er nok å vurdere ikke-negative $x$ separat, og deretter negative separat). Lærere snakker hele tiden om det, det er gitt i hver skolebok. Men så snart det gjelder å løse irrasjonelle ligninger (dvs. ligninger som inneholder et radikalt tegn), glemmer elevene enstemmig denne formelen.

For å forstå problemet i detalj, la oss glemme alle formlene i et minutt og prøve å beregne to tall rett frem:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\venstre(-3 \høyre))^(4)))=?\]

Dette er veldig enkle eksempler. De fleste vil løse det første eksemplet, men mange sitter fast i det andre. For å løse noe slikt dritt uten problemer, vurder alltid prosedyren:

1. Først heves tallet til fjerde potens. Vel, det er ganske enkelt. Du vil få et nytt tall som kan finnes selv i multiplikasjonstabellen;
2. Og nå fra dette nye tallet er det nødvendig å trekke ut den fjerde roten. De. ingen "reduksjon" av røtter og krefter skjer - dette er sekvensielle handlinger.

La oss se på det første uttrykket: $\sqrt(((3)^(4)))$. Selvfølgelig må du først beregne uttrykket under roten:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Så trekker vi ut den fjerde roten av tallet 81:

La oss nå gjøre det samme med det andre uttrykket. Først hever vi tallet −3 til fjerde potens, som krever å multiplisere det med seg selv 4 ganger:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\venstre(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ venstre(-3 \høyre)=81\]

Vi fikk et positivt tall, siden det totale antallet minuser i produktet er 4, og de vil alle oppheve hverandre (tross alt, et minus for et minus gir et pluss). Så trekker vi ut roten igjen:

I prinsippet kunne ikke denne linjen ha blitt skrevet, siden det er uten tvil at svaret ville være det samme. De. en jevn rot av den samme jevne kraften "brenner" minusene, og i denne forstand kan resultatet ikke skilles fra en vanlig modul:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\venstre| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\venstre(-3 \høyre))^(4)))=\venstre| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Disse beregningene stemmer godt overens med definisjonen av en rot av en jevn grad: Resultatet er alltid ikke-negativt, og det radikale tegnet inneholder også alltid et ikke-negativt tall. Ellers er roten udefinert.

Merknad om prosedyre

1. Notasjonen $\sqrt(((a)^(2)))$ betyr at vi først kvadrerer tallet $a$ og deretter tar kvadratroten av den resulterende verdien. Derfor kan vi være sikre på at det alltid er et ikke-negativt tall under rottegnet, siden $((a)^(2))\ge 0$ i alle fall;
2. Men notasjonen $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ betyr tvert imot at vi først tar roten av et visst tall $a$ og først deretter kvadrerer resultatet. Derfor kan tallet $a$ ikke i noe tilfelle være negativt - dette er et obligatorisk krav inkludert i definisjonen.

Dermed bør man ikke i noe tilfelle tankeløst redusere røtter og grader, og dermed angivelig "forenkle" det opprinnelige uttrykket. For hvis roten har et negativt tall og eksponenten er partall, får vi en haug med problemer.

Alle disse problemene er imidlertid bare relevante for jevne indikatorer.

Fjerne minustegnet fra under rottegnet

Naturligvis har røtter med odde eksponenter også sitt eget trekk, som i prinsippet ikke eksisterer med partall. Nemlig:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kort sagt, du kan fjerne minus fra under tegnet av røtter med odde grader. Dette er en veldig nyttig egenskap som lar deg "kaste ut" alle ulempene:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Denne enkle egenskapen forenkler mange beregninger. Nå trenger du ikke bekymre deg: hva om et negativt uttrykk var skjult under roten, men graden ved roten viste seg å være jevn? Det er nok bare å "kaste ut" alle minusene utenfor røttene, hvoretter de kan multipliseres med hverandre, deles og generelt gjøre mange mistenkelige ting, som i tilfelle av "klassiske" røtter garantert vil føre oss til en feil.

Og her kommer en annen definisjon på banen - den samme som de på de fleste skoler begynner studiet av irrasjonelle uttrykk med. Og uten noe ville våre diskusjoner vært ufullstendige. Møte!

Aritmetisk rot

La oss anta et øyeblikk at under rottegnet kan det bare være positive tall eller, i ekstreme tilfeller, null. La oss glemme partall/odde-indikatorer, la oss glemme alle definisjonene gitt ovenfor - vi vil bare jobbe med ikke-negative tall. Hva da?

Og så vil vi få en aritmetisk rot - den overlapper delvis med våre "standard" definisjoner, men skiller seg fortsatt fra dem.

Definisjon. En aritmetisk rot av $n$th grad av et ikke-negativt tall $a$ er et ikke-negativt tall $b$ slik at $((b)^(n))=a$.

Som vi kan se, er vi ikke lenger interessert i paritet. I stedet dukket det opp en ny begrensning: det radikale uttrykket er nå alltid ikke-negativt, og selve roten er også ikke-negativt.

For bedre å forstå hvordan den aritmetiske roten skiller seg fra den vanlige, ta en titt på grafene til kvadratet og kubikkparablen vi allerede er kjent med:

Aritmetisk rotsøkeområde - ikke-negative tall

Som du kan se, er vi fra nå av bare interessert i de grafene som er plassert i det første koordinatkvartalet - hvor koordinatene $x$ og $y$ er positive (eller i det minste null). Du trenger ikke lenger å se på indikatoren for å forstå om vi har rett til å sette et negativt tall under roten eller ikke. Fordi negative tall ikke lenger vurderes i prinsippet.

Du kan spørre: "Vel, hvorfor trenger vi en slik kastrert definisjon?" Eller: "Hvorfor kan vi ikke klare oss med standarddefinisjonen gitt ovenfor?"

Vel, jeg vil gi bare én egenskap på grunn av hvilken den nye definisjonen blir passende. For eksempel, regelen for eksponentiering:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Vær oppmerksom på: vi kan heve det radikale uttrykket til hvilken som helst potens og samtidig multiplisere roteksponenten med samme potens - og resultatet blir det samme tallet! Her er eksempler:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Så hva er big deal? Hvorfor kunne vi ikke gjøre dette før? Her er hvorfor. La oss vurdere et enkelt uttrykk: $\sqrt(-2)$ - dette tallet er ganske normalt i vår klassiske forståelse, men absolutt uakseptabelt fra synspunktet til den aritmetiske roten. La oss prøve å konvertere det:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\venstre(-2 \høyre))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Som du kan se, i det første tilfellet fjernet vi minus fra under radikalet (vi har all rett, siden eksponenten er oddetall), og i det andre tilfellet brukte vi formelen ovenfor. De. Fra et matematisk synspunkt er alt gjort etter reglene.

WTF?! Hvordan kan samme tall være både positivt og negativt? Ingen måte. Det er bare at formelen for eksponentiering, som fungerer utmerket for positive tall og null, begynner å produsere fullstendig kjetteri i tilfelle av negative tall.

Det var for å bli kvitt en slik tvetydighet at aritmetiske røtter ble oppfunnet. En egen stor leksjon er viet til dem, der vi vurderer alle egenskapene deres i detalj. Så vi vil ikke dvele ved dem nå - leksjonen har allerede vist seg å være for lang.

Algebraisk rot: for de som vil vite mer

Jeg tenkte lenge på om jeg skulle legge dette emnet i et eget avsnitt eller ikke. Til slutt bestemte jeg meg for å la det være her. Dette materialet er ment for de som ønsker å forstå røttene enda bedre - ikke lenger på gjennomsnittlig "skole"-nivå, men på et nær olympiaden.

Så: i tillegg til den "klassiske" definisjonen av $n$th roten av et tall og den tilhørende inndelingen i partalls- og oddetallseksponenter, er det en mer "voksen" definisjon som slett ikke er avhengig av paritet og andre finesser. Dette kalles en algebraisk rot.

Definisjon. Den algebraiske $n$th roten av enhver $a$ er settet av alle tall $b$ slik at $((b)^(n))=a$. Det er ingen etablert betegnelse for slike røtter, så vi setter bare en strek på toppen:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\venstre\( b\venstre| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \høyre. \høyre\) \]

Den grunnleggende forskjellen fra standarddefinisjonen gitt i begynnelsen av leksjonen er at en algebraisk rot ikke er et spesifikt tall, men et sett. Og siden vi jobber med reelle tall, kommer dette settet i bare tre typer:

1. Tomt sett. Oppstår når du trenger å finne en algebraisk rot av en partall grad fra et negativt tall;
2. Et sett bestående av ett enkelt element. Alle røtter av odde potenser, så vel som røtter av partall potenser på null, faller inn i denne kategorien;
3. Til slutt kan settet inneholde to tall - de samme $((x)_(1))$ og $((x)_(2))=-((x)_(1))$ som vi så på grafisk kvadratisk funksjon. Følgelig er et slikt arrangement bare mulig når man trekker ut roten til en jevn grad fra et positivt tall.

Den siste saken fortjener en mer detaljert behandling. La oss telle et par eksempler for å forstå forskjellen.

Eksempel. Vurder uttrykkene:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Løsning. Det første uttrykket er enkelt:

\[\overline(\sqrt(4))=\venstre\( 2;-2 \høyre\)\]

Det er to tall som er en del av settet. Fordi hver av dem i annen gir en firer.

\[\overline(\sqrt(-27))=\venstre\( -3 \høyre\)\]

Her ser vi et sett bestående av kun ett tall. Dette er ganske logisk, siden roteksponenten er merkelig.

Til slutt, det siste uttrykket:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Vi mottok et tomt sett. Fordi det er ikke et eneste reelt tall som, når det heves til fjerde (dvs. partall!) potens, vil gi oss det negative tallet -16.

Siste notat. Merk: Det var ikke tilfeldig at jeg noterte overalt at vi jobber med reelle tall. For det er også komplekse tall - det er fullt mulig å beregne $\sqrt(-16)$ der, og mye annet rart.

Imidlertid vises komplekse tall nesten aldri i moderne skolematematikkkurs. De har blitt fjernet fra de fleste lærebøker fordi våre tjenestemenn anser emnet som "for vanskelig å forstå."

Det er alt. I neste leksjon skal vi se på alle nøkkelegenskapene til røttene og til slutt lære å forenkle irrasjonelle uttrykk :)

La oss løse likningen grafisk (x til sjette potens er lik en), for dette vil vi konstruere følgende grafer av funksjoner i ett koordinatsystem: (y er lik x til sjette potens)

Som vi ser skjærer de seg i to punkter A og C, hvor abscissen til skjæringspunktene er røttene til ligningen, dvs. .(Fig.2)

Fra løsningen av to ligninger ser vi at hver av dem har to røtter, og disse tallene er innbyrdes motsatte.

I disse to ligningene finner man røttene ganske enkelt.

Tenk på ligning 7 (x til sjette potens er lik syv) ( fig.3)

Vi bygger grafer av funksjonen og y=7 i ett koordinatsystem

Tegningen viser at ligningen har to røtter x en og x to, men deres eksakte verdier kan ikke angis, bare omtrentlige: de er plassert på x-aksen, en rot er litt til venstre for punkt -1, og den andre er litt til høyre for punkt 1.

For å løse lignende situasjoner introduserte matematikere et nytt symbol, den sjette roten. Og ved hjelp av dette symbolet kan røttene til denne ligningen skrives som følger: (x en er lik den sjette roten av syv og x to er lik minus den sjette roten av syv).

La oss vurdere å løse likninger med oddetall

Og (Fig.4)

Som det fremgår av tegningene, har hver av ligningene en rot, men i den første ligningen er roten hele tallet to, og i den andre er det umulig å angi verdien nøyaktig, derfor vil vi introdusere en notasjon for den (den femte roten av seks).

Basert på eksemplene som er vurdert, vil vi trekke en konklusjon og gi en definisjon:

1. Ligning (x til potensen en er lik a), der n(en) er et hvilket som helst naturlig partall, og har to røtter:

(den n-te roten av a og minus den n-te roten av a)

2. Ligning (x til ente potens er lik a), der n(en) er et hvilket som helst naturlig oddetall, og (a er større enn null) har én rot: (den n-te roten av tallet a)

3. Ligningen (x til potensen en er lik null) har en enkelt rot x = 0 (x er lik null).

Definisjon: Den n-te (n-te) roten av et ikke-negativt tall a (n=2,3,34,5...) er et ikke-negativt tall som, når det heves til n-te potens, resulterer i tallet a.

Dette tallet står for (den n-te roten av tall a). Tallet a kalles det radikale tallet, og tallet n (en) er indeksen til roten.

(Du studerte et spesielt tilfelle i 8. klasse algebra, når n=2: de skriver (kvadratroten av a)).

Det er nødvendig å huske om

(hvis a er et ikke-negativt tall, n er et naturlig tall som er større enn én, så er den n-te roten av tallet a et ikke-negativt tall, og hvis den n-te roten av tallet a heves til n-te potens, da får vi tallet a, det vil si det radikale tallet).

Med andre ord kan definisjonen omformuleres som følger:

(roten av n-te potens av et tall er tallet være, hvis n-te potens er lik a).

Under begrepet rotutvinning forstå å finne roten til et ikke-negativt tall. Med andre ord, du må utføre motsatt operasjon for å heve til riktig kraft. La oss se på tabellen:

Vær forsiktig, i henhold til definisjonen av roten til den n-te potensen er det kun positive tall som vurderes i tabellen.

Tenk på eksempel 1: Beregn

a) (den sjette roten av sekstifire er lik to, siden to er et positivt tall og to til sjette potens er lik sekstifire).

(den tredje roten av null komma to hundre seksten tusendeler er lik null komma seks, siden tallet funnet er positivt og til tredje potens gir et radikalt tall)

Siden =

d) I henhold til definisjonen av roten til n. grad skriver vi to likheter: og

Derfor må vi finne et tall som i fjerde potens er 55, men to til fjerde potens er lik seksten, som er mindre enn 55,

Og tre til fjerde potens er lik åttien, som er større enn 55, . Dette betyr at det er umulig å angi nøyaktig verdi, så vi vil bruke det omtrentlige likhetstegnet med en nøyaktighet på hundredeler.

For å trekke ut roten til et negativt tall, bruk den andre definisjonen:

Definisjon: En oddetall n av et negativt tall a (n=3,5,7,...) er et negativt tall m som, når den heves til potensen n, resulterer i tallet a.

tallet a kalles det radikale tallet, og tallet n (en) er indeksen til roten.

For en rot av oddetall er to egenskaper sanne:

(hvis a er et negativt tall, n er et oddetall som er større enn én, så er den n-te roten av tallet a et negativt tall, og hvis den n-te roten av tallet a heves til n-te potens, får vi tallet a, det vil si det radikale tallet).

Etter å ha analysert definisjonene og egenskapene til den n-te roten av et tall, konkluderer vi:

En jevn rot har mening (det vil si er definert) bare for et ikke-negativt radikalt uttrykk;

Den odde roten gir mening for ethvert radikalt uttrykk

Leksjon og presentasjon om emnet: "Den n'te roten av et reelt tall"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 11. klasse
Algebraiske problemer med parametere, klassetrinn 9–11
"Interaktive oppgaver om å bygge i rom for klasse 10 og 11"

Rot av n. grad. Repetisjon av det som er dekket.

Gutter, temaet for dagens leksjon heter "Nte rot av et reelt tall".
Vi studerte kvadratroten av et reelt tall i 8. klasse. Kvadratroten er relatert til en funksjon av formen $y=x^2$. Gutter, husker dere hvordan vi regnet ut kvadratrøtter, og hvilke egenskaper hadde det? Gjenta dette emnet selv.
La oss se på en funksjon av formen $y=x^4$ og plotte den.

La oss nå løse ligningen grafisk: $x^4=16$.
La oss tegne en rett linje $y=16$ på grafen vår for funksjonen og se på hvilke punkter de to grafene våre krysser hverandre.
Grafen til funksjonen viser tydelig at vi har to løsninger. Funksjonene skjærer hverandre i to punkter med koordinater (-2;16) og (2;16). Abscissen av punktene våre er løsningene på ligningen vår: $x_1=-2$ og $x_2=2$. Det er også lett å finne røttene til ligningen $x^4=1$ åpenbart, $x_1=-1$ og $x_2=1$.
Hva skal jeg gjøre hvis det er en ligning $x^4=7$.
La oss plotte funksjonene våre:
Grafen vår viser tydelig at ligningen også har to røtter. De er symmetriske om ordinataksen, det vil si at de er motsatte. Det er ikke mulig å finne en eksakt løsning fra grafen over funksjoner. Vi kan bare si at løsningene våre er modulo mindre enn 2, men større enn 1. Vi kan også si at røttene våre er irrasjonelle tall.
Stilt overfor et slikt problem, trengte matematikere å beskrive det. De introduserte en ny notasjon: $\sqrt()$, som de kalte den fjerde roten. Da vil røttene til ligningen vår $x^4=7$ skrives på denne formen: $x_1=-\sqrt(7)$ og $x_2=\sqrt(7)$. Den lyder som den fjerde roten av syv.
Vi snakket om en ligning av formen $x^4=a$, der $a>0$ $(a=1,7,16)$. Vi kan vurdere ligninger av formen: $x^n=a$, der $a>0$, n er et hvilket som helst naturlig tall.
Vi bør ta hensyn til graden ved x, om graden er partall eller oddetall - antall løsninger endres. La oss se på et spesifikt eksempel. La oss løse ligningen $x^5=8$. La oss plotte funksjonen:
Grafen over funksjonene viser tydelig at i vårt tilfelle har vi kun én løsning. Løsningen er vanligvis betegnet som $\sqrt(8)$. Løser man en ligning på formen $x^5=a$ og går langs hele ordinataksen, er det ikke vanskelig å forstå at denne ligningen alltid vil ha én løsning. I dette tilfellet kan verdien av a være mindre enn null.

Rot av n. grad. Definisjon

Definisjon. Den n-te roten ($n=2,3,4...$) av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall slik at når det heves til potensen n, oppnås tallet a.

Dette tallet er angitt som $\sqrt[n](a)$. Tallet a kalles det radikale tallet, n er roteksponenten.

Røtter av andre og tredje grad kalles vanligvis henholdsvis kvadrat- og kubikkrøtter. Vi studerte dem i åttende og niende klasse.
Hvis $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, så:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Operasjonen med å finne roten til et ikke-negativt tall kalles "rotutvinning".
Eksponentiering og rotutvinning er den samme avhengigheten:

Gutter, vær oppmerksom på at tabellen bare inneholder positive tall. I definisjonen forutsatte vi at roten bare er hentet fra et ikke-negativt tall a. Deretter vil vi avklare når det er mulig å trekke ut roten til et negativt tall a.

Rot av n. grad. Eksempler på løsninger

Kalkulere:
a) $\sqrt(64)$.
Løsning: $\sqrt(64)=8$, siden $8>0$ og $8^2=64$.

B) $\sqrt(0,064)$.
Løsning: $\sqrt(0.064)=0.4$, siden $0.4>0$ og $0.4^3=0.064$.

B) $\sqrt(0)$.
Løsning: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Løsning: I dette eksemplet kan vi ikke finne ut den eksakte verdien, tallet vårt er irrasjonelt. Men vi kan si at den er større enn 2 og mindre enn 3, siden 2 til 5. potens er lik 32, og 3 til 5. potens er lik 243. 34 ligger mellom disse tallene. Vi kan finne en omtrentlig verdi ved å bruke en kalkulator som kan beregne røttene til $\sqrt(34)≈2.02$ med en nøyaktighet på tusendeler.
I vår definisjon ble vi enige om å beregne n-te røtter bare fra positive tall. I begynnelsen av leksjonen så vi et eksempel på at det er mulig å trekke ut n-te røtter fra negative tall. Vi har sett på den odde eksponenten til funksjonen, og la oss nå gjøre noen avklaringer.

Definisjon. En rot av en oddetall n (n=3,5,7,9...) fra et negativt tall a er et negativt tall slik at når den heves til potensen n, blir resultatet a.

Det er vanlig å bruke de samme betegnelsene.
Hvis $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
En partallsrot gir mening bare for et positivt radikaltall.

Eksempler.
a) Løs ligningene: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Løsning: Hvis $\sqrt(y)=-3$, så $y=-27$. Det vil si at begge sider av ligningen vår må kuberes.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

B) Løs ligningene: $\sqrt(2x-1)=1$.
La oss heve begge sider til fjerde potens:
$2x-1=1$.
$2х=2$.
$x=1$.

C) Løs ligningene: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Løsning: I følge vår definisjon kan en rot av en partallsgrad bare tas fra et positivt tall, men vi får et negativt tall, da er det ingen røtter.

D) Løs ligningene: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Løsning: Hev begge sider av ligningen til femte potens:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ og $x_2=3$.

Problemer å løse selvstendig

1. Beregn:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0,0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Løs ligningene:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

Rotgrad n fra et reelt tall en, Hvor n- naturlig tall, et slikt reelt tall kalles x, n den th grad som er lik en.

Rotgrad n fra blant en er indikert med symbolet. I henhold til denne definisjonen.

Å finne roten n grad blant en kalt rotutvinning. Tall EN kalles et radikalt tall (uttrykk), n- rotindikator. For oddetall n det er en rot n-te potens for et hvilket som helst reelt tall en. Når selv n det er en rot n-te potens bare for ikke-negative tall en. For å disambiguere roten n grad blant en, introduseres begrepet en aritmetisk rot n grad blant en.

Konseptet med en aritmetisk rot av grad N

Hvis og n- naturlig tall, større 1 , så er det, og bare ett, ikke-negativt tall X, slik at likestillingen tilfredsstilles. Dette nummeret X kalt en aritmetisk rot n potens av et ikke-negativt tall EN og er utpekt. Tall EN kalles et radikalt tall, n- rotindikator.

Så, ifølge definisjonen, betyr notasjonen , hvor , for det første at og for det andre at, dvs. .

Konseptet med en grad med en rasjonell eksponent

Grad med naturlig eksponent: la EN er et reelt tall, og n- et naturlig tall større enn én, n-te potens av tallet EN ringe arbeidet n faktorer som hver er like EN, dvs. . Tall EN- grunnlaget for graden, n- eksponent. En potens med en null eksponent: per definisjon, hvis , så . Null potens av et tall 0 gir ikke mening. En grad med en negativ heltallseksponent: antatt per definisjon hvis og n er et naturlig tall, da . En grad med en brøkeksponent: det antas per definisjon hvis og n- naturlig tall, m er et heltall, da .

Operasjoner med røtter.

I alle formlene nedenfor betyr symbolet en aritmetisk rot (det radikale uttrykket er positivt).

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av et forholdstall er lik forholdet mellom røttene til utbyttet og divisoren:

3. Når du hever en rot til en makt, er det nok å heve det radikale tallet til denne makten:

4. Hvis du øker graden av roten n ganger og samtidig hever det radikale tallet til n-te potens, vil verdien av roten ikke endres:

5. Hvis du reduserer graden av roten med n ganger og samtidig trekker ut den n-te roten av radikaltallet, vil verdien av roten ikke endres:

Utvide gradsbegrepet. Så langt har vi vurdert grader kun med naturlige eksponenter; men operasjoner med potenser og røtter kan også føre til negative, null- og brøkeksponenter. Alle disse eksponentene krever ytterligere definisjon.

En grad med negativ eksponent. Potensen til et visst tall med en negativ (heltalls) eksponent er definert som en dividert med potensen til samme tall med en eksponent lik den absolutte verdien av den negative eksponenten:

Nå kan formelen a m: a n = a m - n brukes ikke bare for m større enn n, men også for m mindre enn n.

EKSEMPEL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Hvis vi vil at formelen a m: a n = a m - n skal være gyldig for m = n, trenger vi en definisjon av grad null.

En grad med nullindeks. Potensen til ethvert tall som ikke er null med eksponent null er 1.

EKSEMPLER. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall a til potensen m / n, må du trekke ut den n-te roten av m-potensen til dette tallet a:

Om uttrykk som ikke har noen betydning. Det finnes flere slike uttrykk.

Sak 1.

Der a ≠ 0 ikke eksisterer.

Faktisk, hvis vi antar at x er et visst tall, så har vi i samsvar med definisjonen av divisjonsoperasjonen: a = 0 x, dvs. a = 0, som motsier betingelsen: a ≠ 0

Tilfelle 2.

Hvilket som helst nummer.

Faktisk, hvis vi antar at dette uttrykket er lik et visst tall x, så har vi i henhold til definisjonen av divisjonsoperasjonen: 0 = 0 · x. Men denne likheten gjelder for alle tall x, som er det som måtte bevises.

Virkelig,

Løsning La oss vurdere tre hovedtilfeller:

1) x = 0 – denne verdien tilfredsstiller ikke denne ligningen

2) for x > 0 får vi: x / x = 1, dvs. 1 = 1, som betyr at x er et hvilket som helst tall; men tatt i betraktning at i vårt tilfelle x > 0, er svaret x > 0;

3) ved x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

i dette tilfellet er det ingen løsning. Altså x > 0.