Foredrag: Vektorkoordinater; skalært produkt av vektorer; vinkel mellom vektorer

Vektorkoordinater

Så, som nevnt tidligere, er en vektor et rettet segment som har sin egen begynnelse og slutt. Hvis begynnelsen og slutten er representert av visse punkter, så har de sine egne koordinater på planet eller i rommet.

Hvis hvert punkt har sine egne koordinater, kan vi få koordinatene til hele vektoren.

La oss si at vi har en vektor hvis begynnelse og slutt har følgende betegnelser og koordinater: A(A x ; Ay) og B(B x ; By)

For å få koordinatene til en gitt vektor, er det nødvendig å trekke de tilsvarende koordinatene til begynnelsen fra koordinatene til slutten av vektoren:

For å bestemme koordinatene til en vektor i rommet, bruk følgende formel:

Punktprodukt av vektorer

Det er to måter å definere konseptet med et skalært produkt på:

• Geometrisk metode. I følge den er skalarproduktet lik produktet av verdiene til disse modulene og cosinus til vinkelen mellom dem.

• Algebraisk betydning. Fra et algebras synspunkt er skalarproduktet av to vektorer en viss mengde som oppnås som et resultat av summen av produktene til de tilsvarende vektorene.

Hvis vektorene er gitt i rommet, bør du bruke en lignende formel:

Egenskaper:

• Hvis du multipliserer to identiske vektorer skalært, vil ikke deres skalarprodukt være negativt:

• Hvis skalarproduktet av to identiske vektorer viser seg å være lik null, regnes disse vektorene som null:

• Hvis en viss vektor multipliseres med seg selv, vil skalarproduktet være lik kvadratet av sin modul:

• Skalarproduktet har en kommunikativ egenskap, det vil si at skalarproduktet ikke endres hvis vektorene omorganiseres:

• Skalarproduktet av vektorer som ikke er null kan bare være lik null hvis vektorene er vinkelrett på hverandre:

• For et skalarprodukt av vektorer, er den kommutative loven gyldig i tilfelle av å multiplisere en av vektorene med et tall:

• Med et skalarprodukt kan du også bruke fordelingsegenskapen til multiplikasjon:

Vinkel mellom vektorer

Definisjon 1

Skalarproduktet av vektorer er et tall som er lik produktet av dynene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Notasjonen for produktet av vektorene a → og b → har formen a → , b → . La oss transformere det til formelen:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → og b → angir lengdene til vektorene, a → , b → ^ - betegnelse på vinkelen mellom gitte vektorer. Hvis minst én vektor er null, det vil si har en verdi på 0, vil resultatet være lik null, a → , b → = 0

Når vi multipliserer en vektor med seg selv, får vi kvadratet av lengden:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definisjon 2

Skalar multiplikasjon av en vektor i seg selv kalles en skalar kvadrat.

Beregnet med formelen:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Notasjonen a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → viser at n p b → a → er den numeriske projeksjonen av a → på henholdsvis b → , n p a → a → - projeksjon av b → på a →.

La oss formulere definisjonen av et produkt for to vektorer:

Skalarproduktet av to vektorer a → ved b → kalles henholdsvis produktet av lengden av vektoren a → ved projeksjonen b → ved retningen til a → eller produktet av lengden b → ved projeksjonen a →.

Prikk produktet i koordinater

Skalarproduktet kan beregnes ved å bruke koordinatene til vektorer i et gitt plan eller i rommet.

Skalarproduktet av to vektorer på et plan, i tredimensjonalt rom, kalles summen av koordinatene til gitte vektorer a → og b →.

Når du beregner skalarproduktet av gitte vektorer a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) på planet i det kartesiske systemet, bruk:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

for tredimensjonalt rom gjelder uttrykket:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Faktisk er dette den tredje definisjonen av skalarproduktet.

La oss bevise det.

Bevis 1

For å bevise det bruker vi a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y for vektorer a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) på kartesisk system.

Vektorer bør settes til side

O A → = a → = a x , a y og O B → = b → = b x , b y .

Da vil lengden på vektoren A B → være lik A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Tenk på trekant O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) er riktig basert på cosinussetningen.

I henhold til betingelsen er det klart at O ​​A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , som betyr at vi skriver formelen for å finne vinkelen mellom vektorer annerledes

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

Så fra den første definisjonen følger det at b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , som betyr (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Ved å bruke formelen for å beregne lengden på vektorer får vi:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

La oss bevise likhetene:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– henholdsvis for vektorer av tredimensjonalt rom.

Skalarproduktet av vektorer med koordinater sier at skalarkvadraten til en vektor er lik summen av kvadratene av dens koordinater i henholdsvis rommet og planet. a → = (a x , a y , a z), b → = (b x , b y , b z) og (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Punktprodukt og dets egenskaper

Det er egenskaper ved prikkproduktet som gjelder for a → , b → og c → :

1. kommutativitet (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivitet (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. kombinasjonsegenskap (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - et hvilket som helst tall;
4. skalar kvadrat er alltid større enn null (a → , a →) ≥ 0, hvor (a → , a →) = 0 i tilfellet når a → null.

Eksempel 1

Egenskapene kan forklares takket være definisjonen av skalarproduktet på planet og egenskapene til addisjon og multiplikasjon av reelle tall.

Bevis den kommutative egenskapen (a → , b →) = (b → , a →) . Fra definisjonen har vi at (a → , b →) = a y · b y + a y · b y og (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Ved egenskapen kommutativitet er likhetene a x · b x = b x · a x og a y · b y = b y · a y sanne, som betyr a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Det følger at (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Fordeling er gyldig for alle tall:

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

og (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) +. . . + (a → , b → (n)) ,

derfor har vi

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Prikk produkt med eksempler og løsninger

Ethvert problem av denne typen løses ved å bruke egenskapene og formlene knyttet til skalarproduktet:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n pa → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a →, b →) = a x · b x + a y · b y eller (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

La oss se på noen eksempler på løsninger.

Eksempel 2

Lengden på a → er 3, lengden på b → er 7. Finn prikkproduktet hvis vinkelen har 60 grader.

Løsning

Etter betingelse har vi alle dataene, så vi beregner dem ved å bruke formelen:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Svar: (a → , b →) = 21 2 .

Eksempel 3

Gitt vektorer a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Hva er det skalære produktet?

Løsning

Dette eksemplet tar for seg formelen for beregning av koordinater, siden de er spesifisert i problemformuleringen:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Svar: (a → , b →) = - 9

Eksempel 4

Finn skalarproduktet til A B → og A C →. Punktene A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) er gitt på koordinatplanet.

Løsning

Til å begynne med beregnes koordinatene til vektorene, siden koordinatene til punktene er gitt:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Ved å erstatte formelen ved å bruke koordinater får vi:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Svar: (A B → , A C →) = 28 .

Eksempel 5

Gitt vektorene a → = 7 · m → + 3 · n → og b → = 5 · m → + 8 · n → , finn produktet deres. m → er lik 3 og n → er lik 2 enheter, de er vinkelrette.

Løsning

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Ved å bruke fordelingsegenskapen får vi:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

Vi tar koeffisienten ut av tegnet på produktet og får:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

Ved egenskapen til kommutativitet transformerer vi:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

Som et resultat får vi:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

Nå bruker vi formelen for skalarproduktet med vinkelen spesifisert av betingelsen:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411.

Svar: (a → , b →) = 411

Hvis det er en numerisk projeksjon.

Eksempel 6

Finn skalarproduktet av a → og b →. Vektor a → har koordinater a → = (9, 3, - 3), projeksjon b → med koordinater (- 3, - 1, 1).

Løsning

Ved betingelse er vektorene a → og projeksjonen b → motsatt rettet, fordi a → = - 1 3 · n p a → b → → → , som betyr at projeksjonen b → tilsvarer lengden n p a → b → → , og med " -” tegn:

n pa → b → → = - n pa → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Ved å bytte inn i formelen får vi uttrykket:

(a → , b →) = a → · n pa → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Svar: (a → , b →) = - 33 .

Problemer med et kjent skalarprodukt, hvor det er nødvendig å finne lengden på en vektor eller en numerisk projeksjon.

Eksempel 7

Hvilken verdi skal λ ta for et gitt skalarprodukt a → = (1, 0, λ + 1) og b → = (λ, 1, λ) vil være lik -1.

Løsning

Fra formelen er det klart at det er nødvendig å finne summen av produktene av koordinater:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Gitt har vi (a → , b →) = - 1 .

For å finne λ, beregner vi ligningen:

λ 2 + 2 · λ = - 1, derav λ = - 1.

Svar: λ = - 1.

Fysisk betydning av skalarproduktet

Mekanikk vurderer bruken av punktproduktet.

Når A arbeider med en konstant kraft F → et legeme i bevegelse fra et punkt M til N, kan du finne produktet av lengdene til vektorene F → og M N → med cosinus til vinkelen mellom dem, som betyr at arbeidet er likt til produktet av kraft- og forskyvningsvektorene:

A = (F → , M N →) .

Eksempel 8

Bevegelsen av et materialpunkt med 3 meter under påvirkning av en kraft lik 5 Ntons er rettet i en vinkel på 45 grader i forhold til aksen. Finn en.

Løsning

Siden arbeid er produktet av kraftvektoren og forskyvningen, betyr det at basert på betingelsen F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, får vi A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Svar: A = 15 2 2 .

Eksempel 9

Et materialpunkt som beveget seg fra M (2, - 1, - 3) til N (5, 3 λ - 2, 4) under kraften F → = (3, 1, 2), arbeidet lik 13 J. Beregn lengden på bevegelsen.

Løsning

For gitte vektorkoordinater M N → har vi M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

Ved å bruke formelen for å finne arbeid med vektorene F → = (3, 1, 2) og M N → = (3, 3 λ - 1, 7), får vi A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

I henhold til betingelsen er det gitt at A = 13 J, som betyr 22 + 3 λ = 13. Dette innebærer λ = - 3, som betyr M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

For å finne lengden på bevegelsen M N →, bruk formelen og bytt inn verdiene:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Svar: 158.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Det vil også være problemer du kan løse på egen hånd, som du kan se svarene på.

Hvis i problemet både lengdene på vektorene og vinkelen mellom dem presenteres "på et sølvfat", så ser tilstanden til problemet og løsningen slik ut:

Eksempel 1. Vektorer er gitt. Finn skalarproduktet til vektorer hvis lengden og vinkelen mellom dem er representert av følgende verdier:

En annen definisjon er også gyldig, helt tilsvarende definisjon 1.

Definisjon 2. Skalarproduktet av vektorer er et tall (skalar) lik produktet av lengden til en av disse vektorene og projeksjonen av en annen vektor på aksen bestemt av den første av disse vektorene. Formel i henhold til definisjon 2:

Vi vil løse problemet ved å bruke denne formelen etter neste viktige teoretiske punkt.

Definisjon av skalarproduktet til vektorer i form av koordinater

Det samme tallet kan oppnås hvis vektorene som multipliseres får sine koordinater.

Definisjon 3. Punktproduktet av vektorer er et tall som er lik summen av de parvise produktene av deres tilsvarende koordinater.

På overflaten

Hvis to vektorer og på planet er definert av deres to Kartesiske rektangulære koordinater

da er skalarproduktet til disse vektorene lik summen av parvise produkter av deres tilsvarende koordinater:

.

Eksempel 2. Finn den numeriske verdien av projeksjonen av vektoren på aksen parallelt med vektoren.

Løsning. Vi finner skalarproduktet av vektorer ved å legge til de parvise produktene av deres koordinater:

Nå må vi likestille det resulterende skalarproduktet til produktet av lengden på vektoren og projeksjonen av vektoren på en akse parallelt med vektoren (i samsvar med formelen).

Vi finner lengden på vektoren som kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater:

.

Vi lager en ligning og løser den:

Svar. Den nødvendige numeriske verdien er minus 8.

I verdensrommet

Hvis to vektorer og i rommet er definert av deres tre kartesiske rektangulære koordinater

,

da er skalarproduktet til disse vektorene også lik summen av parvise produkter av deres tilsvarende koordinater, bare det er allerede tre koordinater:

.

Oppgaven med å finne skalarproduktet ved hjelp av metoden som vurderes er etter å ha analysert egenskapene til skalarproduktet. For i oppgaven må du bestemme hvilken vinkel de multipliserte vektorene danner.

Egenskaper til skalarproduktet til vektorer

Algebraiske egenskaper

1. (kommutativ egenskap: reversering av plassene til de multipliserte vektorene endrer ikke verdien av deres skalarprodukt).

2. (assosiativ egenskap med hensyn til en numerisk faktor: skalarproduktet av en vektor multiplisert med en viss faktor og en annen vektor er lik skalarproduktet av disse vektorene multiplisert med samme faktor).

3. (distributiv egenskap i forhold til summen av vektorer: skalarproduktet av summen av to vektorer med den tredje vektoren er lik summen av skalarproduktene til den første vektoren med den tredje vektoren og den andre vektoren med den tredje vektoren).

4. (skalar kvadrat av vektor større enn null), if er en vektor som ikke er null, og , hvis er en nullvektor.

Geometriske egenskaper

I definisjonene av operasjonen som studeres, har vi allerede berørt konseptet med en vinkel mellom to vektorer. Det er på tide å avklare dette konseptet.

I figuren over kan du se to vektorer som bringes til et felles opphav. Og det første du må være oppmerksom på er at det er to vinkler mellom disse vektorene - φ 1 Og φ 2 . Hvilken av disse vinklene vises i definisjonene og egenskapene til skalarproduktet til vektorer? Summen av de betraktede vinklene er 2 π og derfor er cosinusene til disse vinklene like. Definisjonen av et punktprodukt inkluderer bare cosinus til vinkelen, og ikke verdien av uttrykket. Men egenskapene vurderer kun én vinkel. Og dette er den av de to vinklene som ikke overskrider π , det vil si 180 grader. På figuren er denne vinkelen indikert som φ 1 .

1. To vektorer kalles ortogonal Og vinkelen mellom disse vektorene er rett (90 grader eller π /2), hvis skalarproduktet til disse vektorene er null :

.

Ortogonalitet i vektoralgebra er perpendikulariteten til to vektorer.

2. To ikke-null vektorer utgjør skarpt hjørne (fra 0 til 90 grader, eller, som er det samme - mindre π punktproduktet er positivt .

3. To ikke-null vektorer utgjør stump vinkel (fra 90 til 180 grader, eller, hva er det samme - mer π /2) hvis og bare hvis de prikkproduktet er negativt .

Eksempel 3. Koordinatene er gitt av vektorene:

.

Beregn skalarproduktene til alle par av gitte vektorer. Hvilken vinkel (spiss, rett, stump) danner disse vektorparene?

Løsning. Vi vil beregne ved å legge til produktene til de tilsvarende koordinatene.

Vi fikk et negativt tall, så vektorene danner en stump vinkel.

Vi fikk et positivt tall, så vektorene danner en spiss vinkel.

Vi fikk null, så vektorene danner en rett vinkel.

Vi fikk et positivt tall, så vektorene danner en spiss vinkel.

.

Vi fikk et positivt tall, så vektorene danner en spiss vinkel.

For selvtest kan du bruke online kalkulator Punktprodukt av vektorer og cosinus av vinkelen mellom dem .

Eksempel 4. Gitt lengdene til to vektorer og vinkelen mellom dem:

.

Bestem ved hvilken verdi av tallet vektorene og er ortogonale (vinkelrett).

Løsning. La oss multiplisere vektorene ved å bruke regelen for å multiplisere polynomer:

La oss nå beregne hvert ledd:

.

La oss lage en ligning (produktet er lik null), legg til lignende termer og løse ligningen:

Svar: vi fikk verdien λ = 1,8, hvor vektorene er ortogonale.

Eksempel 5. Bevis at vektoren ortogonalt (vinkelrett) på vektoren

Løsning. For å sjekke ortogonalitet multipliserer vi vektorene og som polynomer, og erstatter i stedet uttrykket gitt i problemformuleringen:

.

For å gjøre dette må du multiplisere hvert ledd (ledd) i det første polynomet med hvert ledd i det andre og legge til de resulterende produktene:

.

I det resulterende resultatet reduseres fraksjonen med. Følgende resultat oppnås:

Konklusjon: som et resultat av multiplikasjon fikk vi null, derfor er ortogonaliteten (perpendikulariteten) til vektorene bevist.

Løs problemet selv og se deretter løsningen

Eksempel 6. Lengdene på vektorene og er gitt, og vinkelen mellom disse vektorene er π /4 . Bestem hvilken verdi μ vektorer og er gjensidig vinkelrett.

For selvtest kan du bruke online kalkulator Punktprodukt av vektorer og cosinus av vinkelen mellom dem .

Matriserepresentasjon av punktproduktet til vektorer og produktet av n-dimensjonale vektorer

Noen ganger er det fordelaktig for klarhet å representere to multipliserte vektorer i form av matriser. Deretter er den første vektoren representert som en radmatrise, og den andre - som en kolonnematrise:

Da vil skalarproduktet av vektorer være produktet av disse matrisene :

Resultatet er det samme som oppnås med metoden vi allerede har vurdert. Vi fikk ett enkelt tall, og produktet av en radmatrise ved en kolonnematrise er også ett enkelt tall.

Det er praktisk å representere produktet av abstrakte n-dimensjonale vektorer i matriseform. Dermed vil produktet av to firedimensjonale vektorer være produktet av en radmatrise med fire elementer ved en kolonnematrise også med fire elementer, produktet av to femdimensjonale vektorer vil være produktet av en radmatrise med fem elementer ved en kolonnematrise også med fem elementer, og så videre.

Eksempel 7. Finn skalarprodukter av par med vektorer

,

ved hjelp av matrisepresentasjon.

Løsning. Det første vektorparet. Vi representerer den første vektoren som en radmatrise, og den andre som en kolonnematrise. Vi finner skalarproduktet til disse vektorene som produktet av en radmatrise og en kolonnematrise:

Vi representerer på samme måte det andre paret og finner:

Som du kan se, var resultatene de samme som for de samme parene fra eksempel 2.

Vinkel mellom to vektorer

Utledningen av formelen for cosinus til vinkelen mellom to vektorer er veldig vakker og konsis.

For å uttrykke punktproduktet til vektorer

(1)

i koordinatform finner vi først skalarproduktet til enhetsvektorene. Skalarproduktet av en vektor med seg selv per definisjon:

Det som er skrevet i formelen ovenfor betyr: skalarproduktet av en vektor med seg selv er lik kvadratet på lengden. Cosinus til null er lik én, så kvadratet til hver enhet vil være lik én:

Siden vektorer

er parvis vinkelrett, så vil de parvise produktene til enhetsvektorene være lik null:

La oss nå utføre multiplikasjonen av vektorpolynomer:

Vi erstatter verdiene til de tilsvarende skalarproduktene til enhetsvektorene til høyre side av likheten:

Vi får formelen for cosinus til vinkelen mellom to vektorer:

Eksempel 8. Tre poeng er gitt EN(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Finn vinkelen.

Løsning. Finne koordinatene til vektorene:

,

.

Ved å bruke cosinusvinkelformelen får vi:

Derfor,.

For selvtest kan du bruke online kalkulator Punktprodukt av vektorer og cosinus av vinkelen mellom dem .

Eksempel 9. To vektorer er gitt

Finn summen, differansen, lengden, prikkproduktet og vinkelen mellom dem.

2. Forskjell

Punktprodukt av vektorer

Vi fortsetter å håndtere vektorer. Ved første leksjon Vektorer for dummies Vi så på konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater og de enkleste problemene med vektorer. Hvis du kom til denne siden for første gang fra en søkemotor, anbefaler jeg på det sterkeste å lese introduksjonsartikkelen ovenfor, siden for å mestre materialet må du være kjent med begrepene og notasjonene jeg bruker, ha grunnleggende kunnskap om vektorer og kunne løse grunnleggende problemer. Denne leksjonen er en logisk fortsettelse av emnet, og i den vil jeg analysere i detalj typiske oppgaver som bruker skalarproduktet til vektorer. Dette er en VELDIG VIKTIG aktivitet.. Prøv å ikke hoppe over eksemplene; de ​​kommer med en nyttig bonus - øvelse vil hjelpe deg å konsolidere materialet du har dekket og bli bedre til å løse vanlige problemer innen analytisk geometri.

Addisjon av vektorer, multiplikasjon av en vektor med et tall.... Det ville være naivt å tro at matematikere ikke har funnet på noe annet. I tillegg til handlingene som allerede er diskutert, er det en rekke andre operasjoner med vektorer, nemlig: prikkprodukt av vektorer, vektorprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer. Det skalare produktet av vektorer er kjent for oss fra skolen, de to andre produktene tilhører tradisjonelt kurset i høyere matematikk. Emnene er enkle, algoritmen for å løse mange problemer er grei og forståelig. Den eneste tingen. Det er en anstendig mengde informasjon, så det er uønsket å prøve å mestre og løse ALT PÅ EN GANG. Dette gjelder spesielt for dummies; tro meg, forfatteren vil absolutt ikke føle seg som Chikatilo fra matematikk. Vel, ikke fra matematikk, selvfølgelig, heller =) Mer forberedte studenter kan bruke materialer selektivt, i en viss forstand, "få" den manglende kunnskapen; for deg vil jeg være en harmløs grev Dracula =)

La oss endelig åpne døren og se med entusiasme på hva som skjer når to vektorer møter hverandre...

Definisjon av skalarproduktet til vektorer.
Egenskaper til skalarproduktet. Typiske oppgaver

Konseptet med et prikkprodukt

Først om vinkel mellom vektorer. Jeg tror alle intuitivt forstår hva vinkelen mellom vektorer er, men for sikkerhets skyld, litt mer detaljer. La oss vurdere gratis vektorer som ikke er null og . Hvis du plotter disse vektorene fra et vilkårlig punkt, vil du få et bilde som mange allerede har forestilt seg mentalt:

Jeg innrømmer, her beskrev jeg situasjonen bare på forståelsesnivå. Hvis du trenger en streng definisjon av vinkelen mellom vektorer, se læreboken; for praktiske problemer trenger vi i prinsippet ikke det. Også HER OG HERI vil jeg ignorere nullvektorer på steder på grunn av deres lave praktiske betydning. Jeg har laget en reservasjon spesielt for avanserte besøkende som kan bebreide meg for den teoretiske ufullstendigheten til noen påfølgende uttalelser.

kan ta verdier fra 0 til 180 grader (0 til radianer), inklusive. Analytisk er dette faktum skrevet i form av en dobbel ulikhet: eller (i radianer).

I litteraturen blir vinkelsymbolet ofte hoppet over og enkelt skrevet.

Definisjon: Skalarproduktet av to vektorer er et TALL lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:

Nå er dette en ganske streng definisjon.

Vi fokuserer på viktig informasjon:

Betegnelse: skalarproduktet er betegnet med eller ganske enkelt.

Resultatet av operasjonen er et NUMMER: Vektor multipliseres med vektor, og resultatet er et tall. Faktisk, hvis lengdene på vektorer er tall, er cosinus til en vinkel et tall, så deres produkt vil også være et tall.

Bare et par eksempler på oppvarming:

Eksempel 1

Løsning: Vi bruker formelen . I dette tilfellet:

Svar:

Cosinusverdier finnes i trigonometrisk tabell. Jeg anbefaler å skrive det ut - det vil være nødvendig i nesten alle deler av tårnet og vil være nødvendig mange ganger.

Fra et rent matematisk synspunkt er det skalære produktet dimensjonsløst, det vil si at resultatet i dette tilfellet bare er et tall, og det er det. Fra et synspunkt av fysikkproblemer har et skalarprodukt alltid en viss fysisk betydning, det vil si at etter resultatet må en eller annen fysisk enhet angis. Et kanonisk eksempel på å beregne arbeidet til en kraft kan finnes i en hvilken som helst lærebok (formelen er nøyaktig et skalarprodukt). Arbeidet til en kraft måles i Joule, derfor vil svaret skrives ganske spesifikt, for eksempel .

Eksempel 2

Finn hvis , og vinkelen mellom vektorene er lik .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd, svaret er på slutten av leksjonen.

Vinkel mellom vektorer og punktproduktverdi

I eksempel 1 viste det seg at skalarproduktet var positivt, og i eksempel 2 viste det seg å være negativt. La oss finne ut hva tegnet til skalarproduktet avhenger av. La oss se på formelen vår: . Lengdene til vektorer som ikke er null er alltid positive: , så tegnet kan bare avhenge av verdien av cosinus.

Merk: For bedre å forstå informasjonen nedenfor, er det bedre å studere cosinusgrafen i manualen Funksjonsgrafer og egenskaper. Se hvordan cosinus oppfører seg på segmentet.

Som allerede nevnt, kan vinkelen mellom vektorene variere innenfor , og følgende tilfeller er mulige:

1) Hvis hjørne mellom vektorer krydret: (fra 0 til 90 grader), deretter , Og punktproduktet vil være positivt co-regissert, da regnes vinkelen mellom dem som null, og skalarproduktet vil også være positivt. Siden , forenkler formelen: .

2) Hvis hjørne mellom vektorer sløv: (fra 90 til 180 grader), da , og tilsvarende, prikkproduktet er negativt: . Spesialtilfelle: hvis vektorene motsatte retninger, så vurderes vinkelen mellom dem utvidet: (180 grader). Det skalære produktet er også negativt, siden

De omvendte utsagnene er også sanne:

1) Hvis , så er vinkelen mellom disse vektorene spiss. Alternativt er vektorene co-directional.

2) Hvis , så er vinkelen mellom disse vektorene stump. Alternativt er vektorene i motsatte retninger.

Men det tredje tilfellet er av spesiell interesse:

3) Hvis hjørne mellom vektorer rett: (90 grader), da skalarproduktet er null: . Det motsatte er også sant: hvis , da . Utsagnet kan formuleres kompakt som følger: Skalarproduktet av to vektorer er null hvis og bare hvis vektorene er ortogonale. Kort matematisk notasjon:

! Merk : La oss gjenta grunnleggende matematisk logikk: Et tosidig logisk konsekvensikon leses vanligvis "hvis og bare hvis", "hvis og bare hvis". Som du kan se, er pilene rettet i begge retninger - "fra dette følger dette, og omvendt - fra det følger dette." Hva er forresten forskjellen fra enveisfølge-ikonet? Ikonet sier bare det, at «av dette følger dette», og det er ikke et faktum at det motsatte er sant. For eksempel: , men ikke alle dyr er pantere, så i dette tilfellet kan du ikke bruke ikonet. Samtidig, i stedet for ikonet Kan bruk ensidig ikon. For eksempel, mens vi løste problemet, fant vi ut at vi konkluderte med at vektorene er ortogonale: - en slik oppføring vil være riktig, og enda mer passende enn .

Det tredje tilfellet har stor praktisk betydning, siden det lar deg sjekke om vektorer er ortogonale eller ikke. Vi vil løse dette problemet i den andre delen av leksjonen.

Egenskaper til dot-produktet

La oss gå tilbake til situasjonen når to vektorer co-regissert. I dette tilfellet er vinkelen mellom dem null, , og skalarproduktformelen har formen: .

Hva skjer hvis en vektor multipliseres med seg selv? Det er klart at vektoren er på linje med seg selv, så vi bruker den forenklede formelen ovenfor:

Nummeret ringes opp skalar firkant vektor, og er betegnet som .

Dermed, skalarkvadraten til en vektor er lik kvadratet på lengden til den gitte vektoren:

Fra denne likheten kan vi få en formel for å beregne lengden på vektoren:

Så langt virker det uklart, men målene for leksjonen vil sette alt på plass. For å løse problemene trenger vi også egenskapene til punktproduktet.

For vilkårlige vektorer og et hvilket som helst tall, er følgende egenskaper sanne:

1) – kommutativ eller kommutativ skalær produktlov.

2) – distribusjon eller distributive skalær produktlov. Du kan ganske enkelt åpne brakettene.

3) – assosiativ eller assosiativ skalær produktlov. Konstanten kan utledes fra skalarproduktet.

Ofte blir alle slags egenskaper (som også må bevises!) av studentene oppfattet som unødvendig søppel, som bare må memoreres og trygt glemmes umiddelbart etter eksamen. Det ser ut til at det som er viktig her, alle vet allerede fra første klasse at omorganisering av faktorene ikke endrer produktet: . Jeg må advare deg om at i høyere matematikk er det lett å rote til ting med en slik tilnærming. Så for eksempel er den kommutative egenskapen ikke sann for algebraiske matriser. Det er heller ikke sant for vektorprodukt av vektorer. Derfor er det som et minimum bedre å fordype seg i alle egenskaper du kommer over i et høyere matematikkkurs for å forstå hva du kan og ikke kan gjøre.

Eksempel 3

.

Løsning: Først, la oss avklare situasjonen med vektoren. Hva er dette for noe? Summen av vektorer er en veldefinert vektor, som er betegnet med . En geometrisk tolkning av handlinger med vektorer finner du i artikkelen Vektorer for dummies. Den samme persillen med en vektor er summen av vektorene og .

Så, i henhold til tilstanden, er det nødvendig å finne det skalære produktet. I teorien må du bruke arbeidsformelen , men problemet er at vi ikke kjenner lengdene på vektorene og vinkelen mellom dem. Men tilstanden gir lignende parametere for vektorer, så vi tar en annen rute:

(1) Bytt ut uttrykkene til vektorene.

(2) Vi åpner parentesene i henhold til regelen for å multiplisere polynomer; en vulgær tungetråder finner du i artikkelen Komplekse tall eller Integrering av en brøk-rasjonell funksjon. Jeg vil ikke gjenta meg selv =) Forresten, den distributive egenskapen til skalarproduktet lar oss åpne parentesene. Vi har rett.

(3) I de første og siste leddene skriver vi kompakt skalarkvadrene til vektorene: . I det andre leddet bruker vi commuterbarheten til skalarproduktet: .

(4) Vi presenterer lignende termer: .

(5) I det første leddet bruker vi skalarkvadratformelen, som ble nevnt for ikke så lenge siden. I siste termin fungerer følgelig det samme: . Vi utvider det andre leddet i henhold til standardformelen .

(6) Erstatter disse betingelsene , og utfør NØYE de endelige beregningene.

Svar:

En negativ verdi av skalarproduktet angir det faktum at vinkelen mellom vektorene er stump.

Problemet er typisk, her er et eksempel for å løse det selv:

Eksempel 4

Finn skalarproduktet av vektorer og hvis det er kjent det .

Nå en annen vanlig oppgave, bare for den nye formelen for lengden til en vektor. Notasjonen her vil være litt overlappende, så for klarhetens skyld vil jeg skrive den om med en annen bokstav:

Eksempel 5

Finn lengden på vektoren if .

Løsning vil være som følger:

(1) Vi leverer uttrykket for vektoren.

(2) Vi bruker lengdeformelen: , og hele uttrykket ve fungerer som vektoren "ve".

(3) Vi bruker skoleformelen for kvadratet av summen. Legg merke til hvordan det fungerer her på en merkelig måte: – faktisk er det kvadratet av forskjellen, og faktisk er det slik det er. De som ønsker kan omorganisere vektorene: - det samme skjer, opp til omorganiseringen av begrepene.

(4) Det som følger er allerede kjent fra de to foregående problemene.

Svar:

Siden vi snakker om lengde, ikke glem å angi dimensjonen - "enheter".

Eksempel 6

Finn lengden på vektoren if .

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.

Vi fortsetter å presse nyttige ting ut av prikkproduktet. La oss se på formelen vår igjen . Ved å bruke proporsjonsregelen tilbakestiller vi lengdene på vektorene til nevneren på venstre side:

La oss bytte ut delene:

Hva er meningen med denne formelen? Hvis lengden av to vektorer og deres skalarprodukt er kjent, kan vi beregne cosinus til vinkelen mellom disse vektorene, og følgelig selve vinkelen.

Er et punktprodukt et tall? Antall. Er vektorlengder tall? Tall. Dette betyr at en brøk også er et tall. Og hvis cosinus til vinkelen er kjent: , så ved å bruke den inverse funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen: .

Eksempel 7

Finn vinkelen mellom vektorene og hvis det er kjent at .

Løsning: Vi bruker formelen:

På sluttfasen av beregningene ble en teknisk teknikk brukt - eliminering av irrasjonalitet i nevneren. For å eliminere irrasjonalitet multipliserte jeg telleren og nevneren med .

Så hvis , Det:

Verdiene til inverse trigonometriske funksjoner kan finnes av trigonometrisk tabell. Selv om dette skjer sjelden. I problemer med analytisk geometri, mye oftere noen klønete bjørn som , og verdien av vinkelen må finnes omtrentlig ved hjelp av en kalkulator. Faktisk vil vi se et slikt bilde mer enn en gang.

Svar:

Igjen, ikke glem å angi dimensjonene - radianer og grader. Personlig, for å åpenbart "løse alle spørsmål", foretrekker jeg å indikere begge (med mindre betingelsen, selvfølgelig, krever at svaret bare presenteres i radianer eller bare i grader).

Nå kan du selvstendig takle en mer kompleks oppgave:

Eksempel 7*

Det er gitt lengdene til vektorene og vinkelen mellom dem. Finn vinkelen mellom vektorene , .

Oppgaven er ikke så vanskelig som den er i flere trinn.
La oss se på løsningsalgoritmen:

1) I henhold til betingelsen må du finne vinkelen mellom vektorene og , så du må bruke formelen .

2) Finn skalarproduktet (se eksempel nr. 3, 4).

3) Finn lengden på vektoren og lengden på vektoren (se eksempel nr. 5, 6).

4) Slutten på løsningen faller sammen med eksempel nr. 7 - vi kjenner tallet , noe som betyr at det er enkelt å finne selve vinkelen:

En kort løsning og svar på slutten av timen.

Den andre delen av leksjonen er viet det samme skalarproduktet. Koordinater. Det blir enda enklere enn i første del.

Punktprodukt av vektorer,
gitt av koordinater på ortonormal basis

Svar:

Unødvendig å si er det mye hyggeligere å håndtere koordinater.

Eksempel 14

Finn skalarproduktet av vektorer og hvis

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Her kan du bruke assosiativiteten til operasjonen, det vil si ikke telle , men umiddelbart ta trippelen utenfor skalarproduktet og gange den med sist. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

På slutten av avsnittet, et provoserende eksempel på beregning av lengden på en vektor:

Eksempel 15

Finn lengdene på vektorer , Hvis

Løsning: Metoden i forrige seksjon foreslår seg selv igjen: men det er en annen måte:

La oss finne vektoren:

Og lengden i henhold til den trivielle formelen :

Punktproduktet er ikke aktuelt her i det hele tatt!

Det er heller ikke nyttig når du beregner lengden på en vektor:
Stoppe. Bør vi ikke dra nytte av den åpenbare egenskapen til vektorlengde? Hva kan du si om lengden på vektoren? Denne vektoren er 5 ganger lengre enn vektoren. Retningen er motsatt, men dette spiller ingen rolle, for vi snakker om lengde. Det er klart at lengden på vektoren er lik produktet modul tall per vektorlengde:
– modultegnet «spiser» tallets mulige minus.

Dermed:

Svar:

Formel for cosinus til vinkelen mellom vektorer som er spesifisert av koordinater

Nå har vi fullstendig informasjon for å uttrykke den tidligere utledede formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorer gjennom koordinatene til vektorene:

Cosinus av vinkelen mellom planvektorer og spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:
.

Cosinus av vinkelen mellom romvektorer, spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:

Eksempel 16

Gitt tre hjørner av en trekant. Finn (topvinkel).

Løsning: I henhold til forholdene er tegningen ikke nødvendig, men likevel:

Den nødvendige vinkelen er markert med en grønn bue. La oss umiddelbart huske skolebetegnelsen på en vinkel: – spesiell oppmerksomhet til gjennomsnitt bokstav - dette er toppunktet til vinkelen vi trenger. For korthets skyld kan du også skrive ganske enkelt .

Fra tegningen er det ganske tydelig at trekantens vinkel sammenfaller med vinkelen mellom vektorene og med andre ord: .

Det er tilrådelig å lære hvordan man utfører analysen mentalt.

La oss finne vektorene:

La oss beregne skalarproduktet:

Og lengdene på vektorene:

Cosinus av vinkel:

Dette er nøyaktig rekkefølgen for å fullføre oppgaven som jeg anbefaler for dummies. Mer avanserte lesere kan skrive beregningene "på én linje":

Her er et eksempel på en "dårlig" cosinusverdi. Den resulterende verdien er ikke endelig, så det er liten vits i å kvitte seg med irrasjonalitet i nevneren.

La oss finne selve vinkelen:

Hvis du ser på tegningen, er resultatet ganske plausibelt. For å sjekke kan vinkelen også måles med vinkelmåler. Ikke skade skjermdekselet =)

Svar:

I svaret glemmer vi ikke det spurte om vinkelen til en trekant(og ikke om vinkelen mellom vektorene), ikke glem å angi det nøyaktige svaret: og den omtrentlige verdien av vinkelen: , funnet ved hjelp av en kalkulator.

De som har hatt glede av prosessen kan beregne vinklene og verifisere gyldigheten av den kanoniske likheten

Eksempel 17

En trekant er definert i rommet av koordinatene til toppene. Finn vinkelen mellom sidene og

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen

En kort siste del vil bli viet til anslag, som også involverer et skalært produkt:

Projeksjon av en vektor på en vektor. Projeksjon av en vektor på koordinatakser.
Retningskosinus til en vektor

Tenk på vektorene og:

La oss projisere vektoren på vektoren; for å gjøre dette utelater vi fra begynnelsen og slutten av vektoren perpendikulære til vektor (grønne stiplede linjer). Tenk deg at lysstråler faller vinkelrett på vektoren. Da vil segmentet (rød linje) være "skyggen" til vektoren. I dette tilfellet er projeksjonen av vektoren på vektoren LENGDEN til segmentet. Det vil si at PROJEKSJON ER ET TALL.

Dette NUMMERET er angitt som følger: , "stor vektor" angir vektoren HVILKEN prosjekt, "liten underskriftsvektor" angir vektoren PÅ som er projisert.

Selve oppføringen lyder slik: "projeksjon av vektor "a" på vektor "være".

Hva skjer hvis vektoren "be" er "for kort"? Vi tegner en rett linje som inneholder vektoren "være". Og vektor "a" vil allerede bli projisert til retningen til vektoren "være", ganske enkelt - til den rette linjen som inneholder vektoren "være". Det samme vil skje hvis vektoren "a" blir utsatt i det trettiende riket - den vil fortsatt lett projiseres på den rette linjen som inneholder vektoren "be".

Hvis vinkelen mellom vektorer krydret(som på bildet), da

Hvis vektorene ortogonal, da (projeksjonen er et punkt hvis dimensjoner anses som null).

Hvis vinkelen mellom vektorer sløv(i figuren, omorganiser vektorpilen mentalt), deretter (samme lengde, men tatt med et minustegn).

La oss plotte disse vektorene fra ett punkt:

Det er klart at når en vektor beveger seg, endres ikke projeksjonen

Kryssproduktet og punktproduktet gjør det enkelt å beregne vinkelen mellom vektorer. La to vektorer $\overline(a)$ og $\overline(b)$ gis, den orienterte vinkelen mellom dem er lik $\varphi$. La oss beregne verdiene $x = (\overline(a),\overline(b))$ og $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Deretter $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, hvor $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, og $\varphi$ er ønsket vinkel, det vil si at punktet $(x, y)$ har en polar vinkel lik $\varphi$, og derfor kan $\varphi$ finnes som atan2(y, x).

Arealet av en trekant

Siden kryssproduktet inneholder produktet av to vektorlengder og cosinus til vinkelen mellom dem, kan kryssproduktet brukes til å beregne arealet av trekanten ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Tilhørighet av et punkt til en linje

La et punkt $P$ og en linje $AB$ (gitt av to punkter $A$ og $B$) gis. Det er nødvendig å sjekke om et punkt tilhører linjen $AB$.

Et punkt tilhører linjen $AB$ hvis og bare hvis vektorene $AP$ og $AB$ er kollineære, det vil si hvis $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Tilhørighet av et punkt til en stråle

La et punkt $P$ og en stråle $AB$ gis (definert av to punkter - begynnelsen av strålen $A$ og et punkt på strålen $B$). Det er nødvendig å sjekke om et punkt tilhører strålen $AB$.

Til betingelsen om at punktet $P$ tilhører den rette linjen $AB$, er det nødvendig å legge til en tilleggsbetingelse - vektorene $AP$ og $AB$ er codirectional, det vil si at de er kollineære og deres skalarprodukt er ikke-negativ, det vil si $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

Et punkts tilhørighet til et segment

La et punkt $P$ og et segment $AB$ gis. Det er nødvendig å sjekke om et punkt tilhører segmentet $AB$.

I dette tilfellet må punktet tilhøre både ray $AB$ og ray $BA$, så følgende forhold må kontrolleres:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Avstand fra punkt til linje

La et punkt $P$ og en linje $AB$ (gitt av to punkter $A$ og $B$) gis. Det er nødvendig å finne avstanden fra punktet på linjen $AB$.

Tenk på trekant ABP. På den ene siden er området lik $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

På den annen side er arealet lik $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, der $h$ er høyden som faller fra punktet $P$, det vil si avstanden fra $P$ til $ AB$. Hvor $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Avstand fra punkt til bjelke

La et punkt $P$ og en stråle $AB$ gis (definert av to punkter - begynnelsen av strålen $A$ og et punkt på strålen $B$). Det er nødvendig å finne avstanden fra et punkt til en stråle, det vil si lengden på det korteste segmentet fra punkt $P$ til et hvilket som helst punkt på strålen.

Denne avstanden er lik enten lengden $AP$ eller avstanden fra punkt $P$ til linjen $AB$. Hvilke av tilfellene som finner sted kan lett bestemmes av den relative posisjonen til strålen og punktet. Hvis vinkelen PAB er spiss, det vil si $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, vil svaret være avstanden fra punktet $P$ til den rette linjen $AB$, ellers svaret vil være lengden på segmentet $AB$.

Avstand fra punkt til segment

La et punkt $P$ og et segment $AB$ gis. Det er nødvendig å finne avstanden fra $P$ til segmentet $AB$.

Hvis bunnen av perpendikulæren falt fra $P$ på linjen $AB$ faller på segmentet $AB$, noe som kan verifiseres av betingelsene

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

da vil svaret være avstanden fra punkt $P$ til linje $AB$. Ellers vil avstanden være lik $\min(AP, BP)$.