Równania kwadratowe uczymy się w ósmej klasie, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Umiejętność ich rozwiązywania jest absolutnie konieczna.

Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.

Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązywania należy pamiętać, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

1. Nie mają korzeni;
2. Mają dokładnie jeden korzeń;
3. Mają dwa różne korzenie.

To istotna różnica równania kwadratowe od liniowych, gdzie pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak ustalić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym coś cudownego - dyskryminujący.

Dyskryminujący

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem będzie po prostu liczba D = b 2 - 4ac.

Tę formułę musisz znać na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz istotne. Ważna jest jeszcze jedna rzecz: po znaku dyskryminatora można określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

1. Jeśli D< 0, корней нет;
2. Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
3. Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: dyskryminator wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu wielu ludzi uważa. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Wypiszmy współczynniki pierwszego równania i znajdźmy dyskryminator:
a = 1, b = -8, c = 12;
re = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Zatem dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w podobny sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
re = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków. Ostatnie równanie jakie pozostało to:
a = 1; b = -6; c = 9;
re = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Dyskryminujący równy zeru- będzie jeden korzeń.

Należy pamiętać, że dla każdego równania zapisano współczynniki. Tak, jest długa, tak, jest nudna, ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli opanujesz tę czynność, po pewnym czasie nie będziesz musiał zapisywać wszystkich współczynników. Takie operacje będziesz wykonywać w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - ogólnie rzecz biorąc, nie tak dużo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do samego rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć korzystając ze wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnego z tych wzorów - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ za = 1; b = -2; c = -3;
re = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ za = −1; b = -2; c = 15;
re = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie ponownie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można zastosować dowolną formułę. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz wzory i potrafisz liczyć, nie będzie żadnych problemów. Najczęściej błędy pojawiają się przy podstawieniu do wzoru współczynników ujemnych. Tutaj znowu pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, zapisz każdy krok - a już wkrótce pozbędziesz się błędów.

Niekompletne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

1. x 2 + 9 x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w równaniach tych brakuje jednego z członów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie wymagają nawet obliczania dyskryminatora. Wprowadźmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub elementu swobodnego jest równy zero.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zeru: b = c = 0. W tym przypadku równanie przyjmuje postać ax 2 = 0. Oczywiście takie równanie ma jeden pierwiastek: x = 0.

Rozważmy pozostałe przypadki. Niech b = 0, wówczas otrzymamy niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 + c = 0. Przekształćmy to trochę:

Ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z nie- Liczba ujemna, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a) ≥ 0. Wniosek:

1. Jeżeli w niepełnym równaniu kwadratowym postaci ax 2 + c = 0 jest spełniona nierówność (−c /a) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
2. Jeśli (-c /a)< 0, корней нет.

Jak widać, dyskryminator nie był wymagany - w niepełnych równaniach kwadratowych go nie ma złożone obliczenia. Właściwie nie trzeba nawet pamiętać nierówności (−c /a) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli będzie ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.

Przyjrzyjmy się teraz równaniom postaci ax 2 + bx = 0, w których element wolny jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów

Iloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. To stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, spójrzmy na kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiązuj równania kwadratowe:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nie ma korzeni, bo kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Dyskryminatora, podobnie jak równań kwadratowych, zaczyna się uczyć na kursie algebry w ósmej klasie. Równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora i twierdzenia Viety. Metody badania równań kwadratowych, a także formuł dyskryminacyjnych, jak wielu rzeczy w prawdziwej edukacji, uczy się dzieci w wieku szkolnym raczej bezskutecznie. Dlatego przechodzą szkolne lata, edukacja w klasach 9-11 zastępuje „ wyższa edukacja„i wszyscy znów patrzą - „Jak rozwiązać równanie kwadratowe?”, „Jak znaleźć pierwiastki równania?”, „Jak znaleźć dyskryminator?” I...

Formuła dyskryminacyjna

Dyskryminator D równania kwadratowego a*x^2+bx+c=0 jest równy D=b^2–4*a*c.
Pierwiastki (rozwiązania) równania kwadratowego zależą od znaku dyskryminatora (D):
D>0 – równanie ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste;
D=0 - równanie ma 1 pierwiastek (2 pasujące pierwiastki):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Wzór na obliczenie dyskryminatora jest dość prosty, dlatego wiele stron internetowych oferuje kalkulator dyskryminatora online. Nie wymyśliliśmy jeszcze tego rodzaju skryptów, więc jeśli ktoś wie, jak to zaimplementować, proszę napisać do nas e-mailem Ten adres e-mail jest chroniony przed robotami spamującymi. Aby go zobaczyć, musisz mieć włączoną obsługę JavaScript. .

Ogólny wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego:

Pierwiastki równania znajdujemy za pomocą wzoru
Jeśli współczynnik kwadratowej zmiennej jest sparowany, zaleca się obliczenie nie dyskryminatora, ale jego czwartej części
W takich przypadkach pierwiastki równania znajdują się za pomocą wzoru

Drugim sposobem znalezienia pierwiastków jest twierdzenie Viety.

Twierdzenie jest formułowane nie tylko dla równań kwadratowych, ale także dla wielomianów. Możesz to przeczytać w Wikipedii lub innych zasobach elektronicznych. Jednak dla uproszczenia rozważmy część dotyczącą powyższych równań kwadratowych, czyli równania postaci (a=1)
Istota wzorów Viety polega na tym, że suma pierwiastków równania jest równa współczynnikowi zmiennej przyjętej z przeciwnym znakiem. Iloczyn pierwiastków równania jest równy członowi swobodnemu. Twierdzenie Viety można zapisać we wzorach.
Wyprowadzenie wzoru Viety jest dość proste. Zapiszmy równanie kwadratowe za pomocą prostych czynników
Jak widać wszystko genialne jest jednocześnie proste. Efektywnie jest stosować wzór Viety, gdy różnica modułów pierwiastków lub różnica modułów pierwiastków wynosi 1, 2. Na przykład poniższe równania, zgodnie z twierdzeniem Viety, mają pierwiastki




Do równania 4 analiza powinna wyglądać następująco. Iloczyn pierwiastków równania wynosi 6, dlatego pierwiastkami mogą być wartości (1, 6) i (2, 3) lub pary o przeciwnych znakach. Suma pierwiastków wynosi 7 (współczynnik zmiennej o przeciwnym znaku). Stąd wnioskujemy, że rozwiązania równania kwadratowego to x=2; x=3.
Łatwiej jest wybrać pierwiastki równania spośród dzielników wyrazu wolnego, dostosowując ich znak, aby spełniały wzory Vieta. Na początku wydaje się to trudne, ale po przećwiczeniu szeregu równań kwadratowych technika ta okaże się skuteczniejsza niż obliczanie dyskryminatora i znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego w klasyczny sposób.
Jak widać, szkolna teoria badania dyskryminatora i metod znajdowania rozwiązań równania jest pozbawiona praktycznego znaczenia - „Dlaczego uczniowie potrzebują równania kwadratowego?”, „Jakie jest fizyczne znaczenie wyróżnika?”

Spróbujmy to rozgryźć Co opisuje dyskryminator?

Na kursie algebry uczą się funkcji, schematów badania funkcji i konstruowania wykresu funkcji. Ze wszystkich funkcji ważne miejsce zajmuje parabola, której równanie można zapisać w postaci
Zatem fizycznym znaczeniem równania kwadratowego są zera paraboli, czyli punkty przecięcia wykresu funkcji z osią odciętych Ox
Proszę o zapamiętanie właściwości paraboli opisanych poniżej. Przyjdzie czas na zdawanie egzaminów, kolokwiów czy egzaminów wstępnych i będziesz wdzięczny za materiał referencyjny. Znak kwadratu zmiennej odpowiada temu, czy gałęzie paraboli na wykresie pójdą w górę (a>0),

lub parabola z gałęziami w dół (a<0) .

Wierzchołek paraboli leży w połowie odległości między pierwiastkami

Fizyczne znaczenie wyróżnika:

Jeśli dyskryminator jest większy od zera (D>0), parabola ma dwa punkty przecięcia z osią Wół.
Jeżeli dyskryminator wynosi zero (D=0), to parabola w wierzchołku styka się z osią x.
I ostatni przypadek, gdy dyskryminator jest mniejszy od zera (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Niekompletne równania kwadratowe

Dzięki temu programowi matematycznemu jest to możliwe rozwiązać równanie kwadratowe.

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania na dwa sposoby:
- użycie dyskryminatora
- korzystając z twierdzenia Viety (jeśli to możliwe).

Co więcej, odpowiedź jest wyświetlana jako dokładna, a nie przybliżona.
Przykładowo dla równania \(81x^2-16x-1=0\) odpowiedź jest wyświetlana w postaci:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ i nie tak: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w szkołach ogólnokształcących podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontroli rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania wielomianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wprowadzić ułamki dziesiętne w następujący sposób: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5z +1/7z^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu równania kwadratowego wprowadzone wyrażenie jest najpierw upraszczane.
Na przykład: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decydować

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, to możesz o tym napisać w Formularz zwrotny.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Równanie kwadratowe i jego pierwiastki. Niekompletne równania kwadratowe

Każde z równań
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
wygląda jak
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdzie x jest zmienną, a, b i c są liczbami.
W pierwszym równaniu a = -1, b = 6 i c = 1,4, w drugim a = 8, b = -7 i c = 0, w trzecim a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takie równania nazywane są równania kwadratowe.

Definicja.
Równanie kwadratowe nazywa się równaniem w postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to niektóre liczby, a \(a \neq 0 \).

Liczby a, b i c są współczynnikami równania kwadratowego. Liczbę a nazywa się pierwszym współczynnikiem, liczba b jest drugim współczynnikiem, a liczba c jest wyrazem wolnym.

W każdym z równań postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie \(a\neq 0\), największą potęgą zmiennej x jest kwadrat. Stąd nazwa: równanie kwadratowe.

Należy zauważyć, że równanie kwadratowe nazywane jest również równaniem drugiego stopnia, ponieważ jego lewa strona jest wielomianem drugiego stopnia.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik x 2 jest równy 1 dane równanie kwadratowe. Na przykład podane równania kwadratowe są równaniami
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeżeli w równaniu kwadratowym ax 2 +bx+c=0 chociaż jeden ze współczynników b lub c jest równy zero, to takie równanie nazywa się niekompletne równanie kwadratowe. Zatem równania -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi. W pierwszym z nich b=0, w drugim c=0, w trzecim b=0 i c=0.

Istnieją trzy typy niekompletnych równań kwadratowych:
1) ax 2 +c=0, gdzie \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdzie \(b \neq 0 \);
3) topór 2 =0.

Rozważmy rozwiązanie równań każdego z tych typów.

Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 +c=0 dla \(c \neq 0 \), przesuń jego wolny wyraz na prawą stronę i podziel obie strony równania przez a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Ponieważ \(c \neq 0 \), to \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jeśli \(-\frac(c)(a)>0\), to równanie ma dwa pierwiastki.

Jeśli \(-\frac(c)(a) Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +bx=0 za pomocą \(b \neq 0 \) rozwiń je lewa strona przez czynniki i uzyskaj równanie
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tablica)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(tablica) \right.

Oznacza to, że niepełne równanie kwadratowe w postaci ax 2 +bx=0 dla \(b \neq 0 \) zawsze ma dwa pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe w postaci ax 2 = 0 jest równoważne równaniu x 2 = 0 i dlatego ma pojedynczy pierwiastek 0.

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Zastanówmy się teraz, jak rozwiązać równania kwadratowe, w których oba współczynniki niewiadomych i składnik wolny są różne od zera.

Rozwiążmy równanie kwadratowe w formie ogólnej i w rezultacie otrzymamy wzór na pierwiastki. Wzór ten można następnie wykorzystać do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.

Rozwiąż równanie kwadratowe ax 2 +bx+c=0

Dzieląc obie strony przez a, otrzymujemy równoważne zredukowane równanie kwadratowe
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Przekształćmy to równanie, wybierając kwadrat dwumianu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strzałka w prawo \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Strzałka w prawo \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radykalne wyrażenie nazywa się dyskryminator równania kwadratowego ax 2 +bx+c=0 („różniący” po łacinie – dyskryminator). Jest on oznaczony literą D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz, stosując notację dyskryminacyjną, przepisujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdzie \(D= b^2-4ac \)

To oczywiste, że:
1) Jeżeli D>0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.
2) Jeżeli D=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jeżeli D Zatem, w zależności od wartości wyróżnika, równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki (dla D > 0), jeden pierwiastek (dla D = 0) lub nie mieć pierwiastków (dla D. Przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego formułę, zaleca się wykonanie następującego sposobu:
1) obliczyć dyskryminator i porównać go z zerem;
2) jeśli dyskryminator jest dodatni lub równy zero, użyj wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest ujemny, zapisz, że nie ma pierwiastków;

Twierdzenie Viety

Dane równanie kwadratowe ax 2 -7x+10=0 ma pierwiastki 2 i 5. Suma pierwiastków wynosi 7, a iloczyn wynosi 10. Widzimy, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnej strony znak, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Każde zredukowane równanie kwadratowe, które ma pierwiastki, ma tę właściwość.

Suma pierwiastków danego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu.

Te. Twierdzenie Viety stwierdza, że ​​pierwiastki x 1 i x 2 zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 mają właściwość:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Niektóre problemy matematyczne wymagają umiejętności obliczenia wartości pierwiastka kwadratowego. Takie problemy obejmują rozwiązywanie równań drugiego rzędu. W tym artykule przedstawimy skuteczna metoda obliczanie pierwiastków kwadratowych i wykorzystywanie ich podczas pracy ze wzorami na pierwiastki równania kwadratowego.

Co to jest pierwiastek kwadratowy?

W matematyce pojęcie to odpowiada symbolowi √. Dane historyczne mówią, że po raz pierwszy zastosowano go około pierwszej połowy XVI wieku w Niemczech (pierwsza niemiecka praca z algebry autorstwa Christopha Rudolfa). Naukowcy uważają, że określony symbol jest przekształcony Litera łacińska r (radix oznacza po łacinie „korzeń”).

Pierwiastek dowolnej liczby jest równy wartości, której kwadrat odpowiada wyrażeniu pierwiastkowemu. W języku matematyki definicja ta będzie wyglądać następująco: √x = y, jeśli y 2 = x.

Korzeń Liczba dodatnia(x > 0) jest także liczbą dodatnią (y > 0), jednak jeśli weźmiemy pierwiastek z liczby ujemnej (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Oto dwa proste przykłady:

√9 = 3, ponieważ 3 2 = 9; √(-9) = 3i, ponieważ i 2 = -1.

Iteracyjny wzór Herona na znajdowanie wartości pierwiastków kwadratowych

Powyższe przykłady są bardzo proste, a obliczenie w nich pierwiastków nie jest trudne. Trudności zaczynają się pojawiać przy znajdowaniu wartości pierwiastkowych dla dowolnej wartości, której nie można przedstawić w postaci kwadratu Liczba naturalna, na przykład √10, √11, √12, √13, nie mówiąc już o tym, że w praktyce konieczne jest znalezienie pierwiastków dla liczb niecałkowitych: na przykład √(12,15), √(8,5) i tak dalej.

We wszystkich powyższych przypadkach powinieneś użyć specjalna metoda obliczenia pierwiastkowe. Obecnie znanych jest kilka takich metod: na przykład rozwinięcie szeregu Taylora, dzielenie kolumnowe i inne. Ze wszystkich znanych metod być może najprostszą i najskuteczniejszą jest zastosowanie iteracyjnego wzoru Herona, znanego również jako sposób babiloński wyznaczanie pierwiastków kwadratowych (istnieją dowody, że starożytni Babilończycy używali go w swoich praktycznych obliczeniach).

Niech będzie konieczne wyznaczenie wartości √x. Znalezienie formuły pierwiastek kwadratowy ma następującą postać:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), gdzie lim n->∞ (a n) => x.

Rozszyfrujmy to notacja matematyczna. Aby obliczyć √x, należy przyjąć pewną liczbę a 0 (może być dowolna, ale aby szybko uzyskać wynik, należy ją tak dobrać, aby (a 0) 2 była jak najbliżej x. Następnie podstawimy ją do wskazany wzór do obliczenia pierwiastka kwadratowego i uzyskania nowej liczby a 1, która będzie już bliższa pożądanej wartości. Następnie należy zastąpić 1 w wyrażeniu i uzyskać 2. Procedurę tę należy powtarzać aż uzyskano wymaganą dokładność.

Przykład zastosowania iteracyjnej formuły Herona

Opisany powyżej algorytm uzyskiwania pierwiastka kwadratowego z danej liczby może dla wielu wydawać się dość skomplikowany i mylący, ale w rzeczywistości wszystko okazuje się znacznie prostsze, ponieważ formuła ta zbiega się bardzo szybko (zwłaszcza jeśli wybierzesz szczęśliwa liczba 0).

Podajmy prosty przykład: musisz obliczyć √11. Wybierzmy 0 = 3, ponieważ 3 2 = 9, czyli bliżej 11 niż 4 2 = 16. Podstawiając do wzoru otrzymujemy:

za 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

za 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

za 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Nie ma sensu kontynuować obliczeń, ponieważ odkryliśmy, że 2 i 3 zaczynają się różnić dopiero na 5. miejscu po przecinku. Wystarczyło zatem zastosować wzór tylko 2 razy, aby obliczyć √11 z dokładnością do 0,0001.

Obecnie do obliczania pierwiastków powszechnie wykorzystuje się kalkulatory i komputery, warto jednak pamiętać o zaznaczonym wzorze, aby móc ręcznie obliczyć ich dokładną wartość.

Równania drugiego rzędu

Zrozumienie, czym jest pierwiastek kwadratowy i umiejętność jego obliczenia, wykorzystywane jest przy rozwiązywaniu równań kwadratowych. Równania te nazywane są równościami z jedną niewiadomą, forma ogólna co pokazano na poniższym rysunku.

Tutaj c, b i a reprezentują pewne liczby, a a nie może być równe zeru, a wartości c i b mogą być całkowicie dowolne, w tym równe zero.

Wszelkie wartości x, które spełniają równość wskazaną na rysunku, nazywane są jego pierwiastkami (nie należy mylić tego pojęcia z pierwiastkiem kwadratowym √). Ponieważ rozważane równanie jest drugiego rzędu (x 2), nie może być dla niego więcej niż dwóch pierwiastków. Przyjrzyjmy się dalej w artykule, jak znaleźć te korzenie.

Znajdowanie pierwiastków równania kwadratowego (wzór)

Ta metoda rozwiązywania rozważanego rodzaju równości nazywana jest również metodą uniwersalną lub metodą dyskryminacyjną. Można go używać do dowolnych równań kwadratowych. Wzór na dyskryminator i pierwiastki równania kwadratowego jest następujący:

Pokazuje, że pierwiastki zależą od wartości każdego z trzech współczynników równania. Co więcej, obliczenie x 1 różni się od obliczenia x 2 jedynie znakiem przed pierwiastkiem kwadratowym. Wyrażenie radykalne, które jest równe b 2 - 4ac, jest niczym innym jak wyróżnikiem omawianej równości. Dyskryminator we wzorze na pierwiastki równania kwadratowego odgrywa ważną rolę, ponieważ określa liczbę i rodzaj rozwiązań. Tak więc, jeśli jest równe zero, to będzie tylko jedno rozwiązanie, jeśli jest dodatnie, to równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki i ostatecznie ujemny dyskryminator prowadzi do dwóch zespolonych pierwiastków x 1 i x 2.

Twierdzenie Viety lub niektóre własności pierwiastków równań drugiego rzędu

W koniec XVI wieku jeden z twórców współczesnej algebry, Francuz, badając równania drugiego rzędu, był w stanie uzyskać właściwości jej pierwiastków. Matematycznie można je zapisać w następujący sposób:

x 1 + x 2 = -b / a i x 1 * x 2 = c / a.

Obie równości mogą być łatwo uzyskane przez każdego; aby to zrobić, wystarczy spełnić odpowiednie operacje matematyczne z pierwiastkami uzyskanymi za pomocą wzoru z dyskryminatorem.

Połączenie tych dwóch wyrażeń można słusznie nazwać drugim wzorem na pierwiastki równania kwadratowego, co pozwala odgadnąć jego rozwiązania bez użycia dyskryminatora. W tym miejscu należy zauważyć, że chociaż oba wyrażenia są zawsze poprawne, wygodnie jest ich używać do rozwiązywania równania tylko wtedy, gdy można je rozłożyć na czynniki.

Zadanie utrwalenia zdobytej wiedzy

Rozwiążmy zadanie matematyczne, w którym zademonstrujemy wszystkie techniki omówione w artykule. Warunki zadania są następujące: musisz znaleźć dwie liczby, których iloczyn wynosi -13, a suma wynosi 4.

Warunek ten od razu przypomina nam twierdzenie Viety, korzystając ze wzorów na sumę pierwiastków kwadratowych i ich iloczyn, piszemy:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Jeśli założymy, że a = 1, to b = -4 i c = -13. Współczynniki te pozwalają nam utworzyć równanie drugiego rzędu:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Użyjmy wzoru z dyskryminatorem i uzyskajmy następujące pierwiastki:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Oznacza to, że problem został zredukowany do znalezienia liczby √68. Zauważ, że 68 = 4 * 17, zatem korzystając z pierwiastka kwadratowego otrzymujemy: √68 = 2√17.

Skorzystajmy teraz z rozważanego wzoru na pierwiastek kwadratowy: a 0 = 4, wówczas:

za 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

za 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Nie ma potrzeby obliczania 3, ponieważ znalezione wartości różnią się tylko o 0,02. Zatem √68 = 8,246. Podstawiając to do wzoru na x 1,2, otrzymujemy:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 i x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Jak widać suma znalezionych liczb jest w rzeczywistości równa 4, ale jeśli znajdziemy ich iloczyn, to będzie on równy -12,999, co spełnia warunki zadania z dokładnością do 0,001.