Co to jest n w macierzy. Macierze. Podstawowe definicje i rodzaje macierzy. Akcje na macierzach. Pojęcie rzędu macierzy. Operacje na macierzach. Pojęcie i znalezienie macierzy odwrotnej

Ten przewodnik pomoże Ci nauczyć się operacje na macierzach: dodawanie (odejmowanie) macierzy, transpozycja macierzy, mnożenie macierzy, znajdowanie odwrotności macierzy. Cały materiał jest przedstawiony w prostej i przystępnej formie, podane są odpowiednie przykłady, dzięki czemu nawet nieprzygotowana osoba może nauczyć się wykonywać czynności z macierzami. Do samokontroli i autotestu możesz bezpłatnie pobrać kalkulator matrycowy >>>.

Postaram się minimalizować obliczenia teoretyczne, w niektórych miejscach możliwe są wyjaśnienia „na palcach” i użycie nienaukowych terminów. Miłośników solidnej teorii proszę nie angażować się w krytykę, naszym zadaniem jest naucz się pracować z macierzami.

Dla SUPER-SZYBKIEGO przygotowania na temat (kto "pali") jest intensywny kurs pdf Macierz, wyznacznik i offset!

Matryca to prostokątny stół niektórych elementy. Jak elementy rozważymy liczby, czyli macierze liczbowe. ELEMENT to termin. Warto zapamiętać ten termin, często będzie się pojawiał, nie jest przypadkiem, że odważnie go podkreśliłem.

Przeznaczenie: macierze są zwykle oznaczane wielkimi literami łacińskimi

Przykład: Rozważ macierz dwa na trzy:

Ta macierz składa się z sześciu elementy:

Wszystkie liczby (elementy) wewnątrz macierzy istnieją samodzielnie, to znaczy nie ma mowy o jakimkolwiek odejmowaniu:

To tylko tabela (zestaw) liczb!

My też się zgodzimy nie przestawiaj numer, chyba że w wyjaśnieniu podano inaczej. Każda liczba ma swoją własną lokalizację i nie można ich przetasować!

Omawiana macierz ma dwa wiersze:

oraz trzy kolumny:

STANDARD: mówiąc o wymiarach matrycy, to pierwszy wskazać liczbę rzędów, a dopiero potem liczbę kolumn. Właśnie rozbiliśmy macierz dwa na trzy.

Jeśli liczba wierszy i kolumn macierzy jest taka sama, wówczas nazywa się macierz kwadrat, na przykład: jest macierzą trzy na trzy.

Jeśli macierz ma jedną kolumnę lub jeden wiersz, to takie macierze są również nazywane wektory.

W rzeczywistości pojęcie macierzy znamy od czasów szkoły, rozważmy na przykład punkt o współrzędnych „x” i „y”: . Zasadniczo współrzędne punktu są zapisywane w macierzy jeden na dwa. Nawiasem mówiąc, oto przykład dla Ciebie, dlaczego kolejność liczb ma znaczenie: i są to dwa zupełnie różne punkty płaszczyzny.

Przejdźmy teraz do badania. operacje na macierzach:

1) Akcja pierwsza. Usuwanie minusa z macierzy (wprowadzanie minusa do macierzy).

Powrót do naszej matrycy . Jak zapewne zauważyłeś, w tej macierzy jest za dużo liczb ujemnych. Jest to bardzo niewygodne, jeśli chodzi o wykonywanie różnych czynności z matrycą, niewygodne jest pisanie tylu minusów, a po prostu brzydko to wygląda w projekcie.

Przenieśmy minus poza macierz, zmieniając znak KAŻDEGO elementu macierzy:

Na zero, jak rozumiesz, znak się nie zmienia, zero - to także zero w Afryce.

Odwrotny przykład: . Wygląda brzydko.

Wprowadzamy minus do macierzy zmieniając znak KAŻDEGO elementu macierzy:

Cóż, jest dużo ładniejszy. A co najważniejsze, ŁATWIEJ będzie wykonać dowolne czynności z matrycą. Ponieważ istnieje taki matematyczny znak ludowy: im więcej minusów - tym więcej zamieszania i błędów.

2) Akcja druga. Mnożenie macierzy przez liczbę.

Przykład:

To proste, aby pomnożyć macierz przez liczbę, potrzebujesz każdy pomnóż element macierzy przez podaną liczbę. W tym przypadku trzy.

Kolejny przydatny przykład:

– mnożenie macierzy przez ułamek

Przyjrzyjmy się najpierw, co robić NIE MA POTRZEBY:

Wpisywanie ułamka do macierzy NIE JEST KONIECZNE, po pierwsze utrudnia to tylko dalsze działania z macierzą, a po drugie utrudnia nauczycielowi sprawdzenie rozwiązania (zwłaszcza jeśli - ostateczna odpowiedź zadania).

A szczególnie, NIE MA POTRZEBY podziel każdy element macierzy przez minus siedem:

Z artykułu Matematyka dla manekinów czyli od czego zacząć, pamiętamy, że ułamki dziesiętne z przecinkiem w wyższej matematyce starają się unikać na każdy możliwy sposób.

Jedyną rzeczą pożądany do zrobienia w tym przykładzie jest wstawienie minusa do macierzy:

Ale jeśli WSZYSTKO elementy macierzy zostały podzielone przez 7 bez śladu, wtedy byłoby możliwe (i konieczne!) dzielenie.

Przykład:

W takim przypadku możesz POTRZEBOWAĆ pomnóż wszystkie elementy macierzy przez , ponieważ wszystkie liczby w macierzy są podzielne przez 2 bez śladu.

Uwaga: w teorii matematyki wyższej nie ma szkolnego pojęcia „podziału”. Zamiast wyrażenia „to jest podzielone przez to”, zawsze możesz powiedzieć „to jest pomnożone przez ułamek”. Oznacza to, że dzielenie jest szczególnym przypadkiem mnożenia.

3) Akcja trzecia. Transpozycja macierzy.

Aby transponować macierz, musisz wpisać jej wiersze do kolumn transponowanej macierzy.

Przykład:

Transpozycja macierzy

Tutaj jest tylko jedna linia i zgodnie z zasadą musi być zapisana w kolumnie:

jest transponowaną macierzą.

Transponowana macierz jest zwykle oznaczona indeksem górnym lub kreską w prawym górnym rogu.

Przykład krok po kroku:

Transpozycja macierzy

Najpierw przepisujemy pierwszy wiersz do pierwszej kolumny:

Następnie przepisujemy drugi wiersz do drugiej kolumny:

I na koniec przepisujemy trzeci wiersz do trzeciej kolumny:

Gotowy. Z grubsza mówiąc, transpozycja oznacza odwrócenie matrycy na bok.

4) Działanie czwarte. Suma (różnica) macierzy.

Suma macierzy to prosta operacja.
NIE WSZYSTKIE MATRYCE MOŻNA SKŁADAĆ. Aby wykonać dodawanie (odejmowanie) macierzy konieczne jest, aby były one TEN SAM ROZMIAR.

Na przykład, jeśli podana jest macierz dwa na dwa, to można ją dodać tylko do macierzy dwa na dwa i żadnej innej!

Przykład:

Dodaj macierze oraz

Aby dodać macierze, musisz dodać odpowiadające im elementy:

Dla różnicy macierzy zasada jest podobna, konieczne jest znalezienie różnicy odpowiednich elementów.

Przykład:

Znajdź różnicę macierzy ,

A jak łatwiej rozwiązać ten przykład, aby się nie pomylić? Wskazane jest, aby pozbyć się niepotrzebnych minusów, w tym celu dodamy minus do matrycy:

Uwaga: w teorii matematyki wyższej nie ma szkolnego pojęcia „odejmowania”. Zamiast wyrażenia „odejmij to od tego” zawsze możesz powiedzieć „dodaj do tego liczbę ujemną”. Oznacza to, że odejmowanie jest szczególnym przypadkiem dodawania.

5) Działanie piąte. Mnożenie macierzy.

Jakie macierze można mnożyć?

Aby macierz została pomnożona przez macierz, tak, aby liczba kolumn w macierzy była równa liczbie wierszy macierzy.

Przykład:
Czy można pomnożyć macierz przez macierz?

Możesz więc pomnożyć dane macierzy.

Ale jeśli macierze są przestawiane, to w tym przypadku mnożenie nie jest już możliwe!

Dlatego mnożenie jest niemożliwe:

Nierzadko zdarza się, że w zadaniach ze sztuczką uczeń proszony jest o pomnożenie macierzy, których mnożenie jest oczywiście niemożliwe.

Należy zauważyć, że w niektórych przypadkach możliwe jest pomnożenie macierzy w obie strony.
Na przykład dla macierzy i możliwe jest zarówno mnożenie, jak i mnożenie

I rok, matematyka wyższa, studia matryce i podstawowe działania na nich. Tutaj systematyzujemy główne operacje, które można wykonać na macierzach. Jak zacząć pracę z macierzami? Oczywiście od najprostszych - definicje, podstawowe pojęcia i najprostsze operacje. Zapewniamy, że matryce zrozumie każdy, kto poświęci im choć trochę czasu!

Definicja macierzy

Matryca to prostokątny stół elementów. Cóż, jeśli w prostych słowach - tabela liczb.

Macierze są zwykle oznaczane wielkimi literami łacińskimi. Na przykład macierz A , macierz B i tak dalej. Macierze mogą mieć różne rozmiary: prostokątne, kwadratowe, istnieją również macierze wierszowe i macierze kolumnowe zwane wektorami. Wielkość matrycy zależy od liczby wierszy i kolumn. Na przykład zapiszmy prostokątną macierz o rozmiarze m na n , gdzie m to liczba linii, a n to liczba kolumn.

Elementy, dla których i=j (a11, a22, .. ) tworzą główną przekątną macierzy i są nazywane przekątnymi.

Co można zrobić z macierzami? Dodaj/Odejmij, pomnóż przez liczbę, mnożyć się między sobą, transponować. Teraz o tych wszystkich podstawowych operacjach na macierzach w porządku.

Operacje dodawania i odejmowania macierzy

Od razu ostrzegamy, że możesz dodawać tylko matryce tego samego rozmiaru. Wynikiem jest macierz o tym samym rozmiarze. Dodawanie (lub odejmowanie) macierzy jest łatwe − po prostu dodaj odpowiadające im elementy . Weźmy przykład. Wykonajmy dodanie dwóch macierzy A i B o rozmiarze dwa na dwa.

Odejmowanie odbywa się przez analogię, tylko z przeciwnym znakiem.

Dowolną macierz można pomnożyć przez dowolną liczbę. Aby to zrobić, musisz pomnożyć przez tę liczbę każdy z jego elementów. Na przykład pomnóżmy macierz A z pierwszego przykładu przez liczbę 5:

Operacja mnożenia macierzy

Nie wszystkie macierze można ze sobą mnożyć. Na przykład mamy dwie macierze - A i B. Mogą być przez siebie pomnożone tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Co więcej, każdy element wynikowej macierzy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie będzie równy sumie iloczynów odpowiednich elementów w i-tym wierszu pierwszego czynnika i j-tej kolumnie drugiego. Aby zrozumieć ten algorytm, zapiszmy, jak mnożone są dwie macierze kwadratowe:

I przykład z liczbami rzeczywistymi. Pomnóżmy macierze:

Operacja transpozycji macierzy

Transpozycja macierzy to operacja polegająca na zamianie odpowiednich wierszy i kolumn. Na przykład transponujemy macierz A z pierwszego przykładu:

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik, och wyznacznik, jest jednym z podstawowych pojęć algebry liniowej. Dawno, dawno temu ludzie wymyślili równania liniowe, a po nich musieli wymyślić wyznacznik. W końcu to od Ciebie zależy, czy sobie z tym wszystkim poradzisz, więc ostatnie uderzenie!

Wyznacznikiem jest numeryczna charakterystyka macierzy kwadratowej, która jest potrzebna do rozwiązania wielu problemów.
Aby obliczyć wyznacznik najprostszej macierzy kwadratowej, należy obliczyć różnicę między iloczynami elementów przekątnej głównej i wtórnej.

Wyznacznik macierzy pierwszego rzędu, czyli składającej się z jednego elementu, jest równy temu elementowi.

A co jeśli matryca ma trzy na trzy? To jest trudniejsze, ale da się to zrobić.

Dla takiej macierzy wartość wyznacznika jest równa sumie iloczynów elementów głównej przekątnej i iloczynów elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej do głównej przekątnej, z których iloczyn elementów od przekątnej drugorzędnej i iloczynu elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej do przekątnej drugorzędnej.

Na szczęście w praktyce rzadko trzeba obliczać wyznaczniki dużych macierzy.

Tutaj rozważyliśmy podstawowe operacje na macierzach. Oczywiście w prawdziwym życiu nie można nawet natknąć się na macierzowy układ równań lub odwrotnie, można napotkać znacznie bardziej złożone przypadki, w których naprawdę trzeba się męczyć. Właśnie w takich przypadkach istnieje profesjonalna obsługa studentów. Poproś o pomoc, uzyskaj wysokiej jakości i szczegółowe rozwiązanie, ciesz się naukowymi sukcesami i wolnym czasem.

Termin „matryca” ma wiele znaczeń. Na przykład w matematyce macierz to układ elementów, który wygląda jak prostokątny stół, w programowaniu macierz to dwuwymiarowa tablica, w elektronice zestaw przewodników, które można zamknąć na ich przecięciu zwrotnica. Żetony do pokera są również bezpośrednio związane z matrycą. Żetony do pokera są wykonane z wysokiej jakości materiału kompozytowego, często z metalowym rdzeniem. Z kolei materiał kompozytowy lub kompozyt posiada osnowę i zawarte w niej elementy wzmacniające (wyjątek stanowią kompozyty warstwowe).
Matryca w fotografii to układ scalony (analogowy lub cyfrowo-analogowy), który składa się z fotodiod (elementów światłoczułych). Dzięki matrycy światłoczułej rzutowany na nią obraz optyczny jest przekształcany na analogowy sygnał elektryczny, a jeśli w matrycy znajduje się przetwornik ADC, konwersja następuje w cyfrowy strumień danych.
Matryca jest głównym elementem aparatów cyfrowych, wszystkich nowoczesnych kamer wideo i telewizyjnych, kamer wbudowanych w telefony komórkowe oraz systemów nadzoru wideo.

Główne znaczenie terminu „matryca” dotyczy matematyki.

Macierz to obiekt matematyczny zapisany jako prostokątna tabela elementów pierścienia lub pola (na przykład liczb całkowitych lub zespolonych), która jest zbiorem wierszy i kolumn, na przecięciu których znajdują się jej elementy. Liczba wierszy i kolumn macierzy określa rozmiar macierzy. Chociaż historycznie rozważano np. macierze trójkątne, obecnie mówi się wyłącznie o macierzach prostokątnych, ponieważ są one najwygodniejsze i najogólniejsze.

Po raz pierwszy o matrycach wspomniano w starożytnych Chinach, zwanych wówczas „magicznym kwadratem”. Głównym zastosowaniem macierzy było rozwiązywanie równań liniowych. Również magiczne kwadraty były znane nieco później wśród matematyków arabskich, mniej więcej w tym czasie pojawiła się zasada dodawania macierzy. Po opracowaniu teorii wyznaczników pod koniec XVII wieku, Gabriel Cramer zaczął rozwijać swoją teorię w XVIII wieku i opublikował w 1751 r. regułę Cramera. Mniej więcej w tym samym czasie pojawiła się „metoda Gaussa”. Teoria macierzy powstała w połowie XIX wieku w pracach Williama Hamiltona i Arthura Cayleya. Fundamentalne wyniki w teorii macierzy pochodzą od Weierstrassa, Jordana, Frobeniusa. Termin „matryca” został ukuty przez Jamesa Sylwestra w 1850 roku.

Macierze są szeroko stosowane w matematyce do zwartej reprezentacji układów liniowych równań algebraicznych lub różniczkowych. W tym przypadku liczba wierszy macierzy odpowiada liczbie równań, a liczba kolumn liczbie niewiadomych. W rezultacie rozwiązanie układów równań liniowych sprowadza się do operacji na macierzach.

Macierze umożliwiają wykonywanie następujących operacji algebraicznych:

• dodanie matryc o tym samym rozmiarze;
• pomnożenie macierzy odpowiedniej wielkości (macierz z n kolumnami może być pomnożona przez macierz z n wierszami);
• pomnożenie macierzy przez element pierścienia głównego lub pola (tj. skalarny).

Macierz to zestaw liczb, które tworzą prostokątną tabelę zawierającą m - wiersze i n - kolumny. Napis służy do oznaczenia matrycy:

oraz ij , gdzie i to numer wiersza, j to numer kolumny

Matryce C i D mają rozmiary 3x3 i 2x2. Gdy liczba wierszy macierzy jest równa liczbie jej kolumn, macierz nazywa się macierzą kwadratową. Zatem macierz C jest macierzą kwadratową trzeciego rzędu, a macierz D jest macierzą kwadratową drugiego rzędu.

Macierz, która zawiera tylko jeden wiersz lub jedną kolumnę, nazywana jest wektorem. W takich macierzach można wyróżnić wektor wierszowy i wektor kolumnowy. Zatem macierz K jest wektorem wierszowym, a macierz F jest wektorem kolumnowym.

Macierz kwadratowa, w której główna przekątna zawiera elementy niezerowe, a wszystkie pozostałe są zerami, nazywana jest macierzą diagonalną. Macierz L jest macierzą diagonalną trzeciego rzędu. Jeśli niezerowe elementy są równe jedynkom, to jest to macierz jednostkowa, zawsze oznaczana jest literą E. W naszym przypadku macierz E jest również macierzą jednostkową trzeciego rzędu.

Jeżeli wszystkie elementy macierzy są zerowe, to jest to macierz zerowa. Na przykład macierz V jest macierzą zerową trzeciego rzędu.

Jeśli zamienisz wiersze i kolumny w danej macierzy, otrzymasz transponowaną macierz danej. Na przykład, mając macierz M, każdy wiersz tej macierzy zostanie przeniesiony do odpowiedniej kolumny macierzy znajdującej się obok niego na rysunku. Druga macierz to transponowana macierz macierzy M.

Do połowy XIX wieku. macierze stały się samodzielnymi obiektami badań matematycznych. Do tego czasu zostały już sformułowane zasady dodawania i mnożenia macierzy. Główną rolę w ich rozwoju odegrały prace Hamiltona, Cayleya i Sylwestra (J.J. Sylvester, 1814-1897). Nowoczesne oznaczenie matrycy zaproponował Cayley w 1841 roku. Badania Weierstrassa (K.Th.W.Weierstrassa, 1815-1897) i Frobeniusa (F.G.L. Frobenius, 1849-1917) daleko posunęły teorię macierzy, wzbogacając ją o nową treść.

Ale jest też specjalny rodzaj matrycy zwany magicznym kwadratem. magiczny kwadrat - kwadratowa tablica liczb całkowitych, w której sumy liczb wzdłuż dowolnego rzędu, dowolnej kolumny i dowolnej z dwóch głównych przekątnych są równe tej samej liczbie.

Magiczny kwadrat ma starożytne chińskie pochodzenie. Według legendy, za panowania cesarza Yu (ok. 2200 pne) z wód Żółtej Rzeki wynurzył się święty żółw, na którego skorupie wyryto tajemnicze hieroglify, a znaki te znane są jako loshu i są odpowiednikiem magiczny kwadrat. W XI wieku o magicznych kwadratach dowiedzieli się w Indiach, a następnie w Japonii, gdzie w XVI wieku. Magiczne kwadraty są przedmiotem obszernej literatury. W XV wieku wprowadził Europejczyków w magiczne kwadraty. Pisarz bizantyjski E. Moskhopoulos. Pierwszym kwadratem wymyślonym przez Europejczyka jest kwadrat A. Durera przedstawiony na jego słynnej rycinie Melancholia 1. Data ryciny (1514) jest oznaczona cyframi w dwóch środkowych komórkach dolnej linii. Magicznym kwadratom przypisywano różne mistyczne właściwości. W XVI wieku Cornelius Heinrich Agryppa zbudował kwadraty 3., 4., 5., 6., 7., 8. i 9. rzędu, które były związane z astrologią 7 planet. Istniało przekonanie, że magiczny kwadrat wygrawerowany na srebrze chroni przed zarazą. Do dziś wśród atrybutów europejskich wróżbitów można dostrzec magiczne kwadraty.

W XIX i XX wieku zainteresowanie magicznymi kwadratami rozbłysło z nową energią. Zaczęto je badać metodami algebry wyższej i rachunku operacyjnego.

Magiczne kwadraty nieparzystego rzędu można skonstruować przy użyciu metody XVII-wiecznego francuskiego geometra. A. de la Lubera. Rozważ tę metodę na przykładzie kwadratu piątego rzędu. Cyfra 1 jest umieszczona w środkowej komórce górnego rzędu. Wszystkie liczby naturalne są ułożone w kolejności naturalnej cyklicznie od dołu do góry w komórkach przekątnych od prawej do lewej. Po dojściu do górnej krawędzi kwadratu (jak w przypadku cyfry 1) kontynuujemy wypełnianie przekątnej zaczynając od dolnej komórki następnej kolumny. Po dojściu do prawej krawędzi kwadratu (numer 3) kontynuujemy wypełnianie przekątną wychodzącą z lewej komórki linią powyżej. Po osiągnięciu wypełnionej komórki (nr 5) lub rogu (nr 15) trajektoria opada o jedną komórkę w dół, po czym proces wypełniania jest kontynuowany.

Gdzie jeszcze wykorzystywane są macierze?

Tabliczka mnożenia jest iloczynem macierzy (1,2,3,4,5,6,7,8,9)T × (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

W fizyce i innych naukach stosowanych macierze służą do rejestrowania danych i ich przekształcania. W programowaniu, w pisaniu programów. Nazywa się je również tablicami. Szeroko stosowany w technologii. Na przykład dowolny obraz na ekranie jest dwuwymiarową matrycą, której elementami są kolory kropek.

W psychologii rozumienie tego terminu jest podobne do tego terminu w matematyce, ale zamiast obiektów matematycznych chodzi o niektóre „obiekty psychologiczne” - na przykład testy.

Ponadto macierze znajdują szerokie zastosowanie w ekonomii, biologii, chemii, a nawet marketingu.

Autorzy odnaleźli też abstrakcyjny model – teorię małżeństw w społeczeństwie pierwotnym, gdzie za pomocą macierzy ukazano możliwości małżeńskie dla przedstawicieli, a nawet potomków danego plemienia, co świadczyło o zróżnicowanym wykorzystaniu matryc.

Przyjrzyjmy się teraz bliżej niektórym obszarom zastosowania macierzy.

Rozważmy już wspomnianą teorię małżeństwa.

W niektórych prymitywnych społeczeństwach istnieją ścisłe zasady dotyczące dopuszczania małżeństw. Zasady te mają na celu zapobieganie małżeństwom zbyt bliskich krewnych.

Reguły te pozwalają na precyzyjne sformułowanie matematyczne w postaci „macierzy p”. Jednym z pierwszych, który sformułował te reguły w formie aksjomatów, był Andre Weil.

Zasady małżeństwa charakteryzują następujące aksjomaty:

• Aksjomat 1: Każdemu członkowi społeczeństwa przypisywany jest określony typ małżeństwa.
• Aksjomat 2: Dwie osoby mogą zawrzeć związek małżeński wtedy i tylko wtedy, gdy należą do tego samego typu małżeństwa.
• Aksjomat 3: Typ jednostki jest określony przez płeć jednostki i typ jej rodziców.
• Aksjomat 4: Dwóch chłopców (lub dwie dziewczynki), których rodzice są różnych typów, sami są innego typu.
• Aksjomat 5: Zasady zezwalające lub nie zezwalające mężczyźnie na poślubienie swojego krewnego zależą tylko od rodzaju związku. W szczególności mężczyzna nie może poślubić swojej siostry.
• Aksjomat 6: Dla dowolnych dwóch osób można określić takich ich potomków, którzy mogą zawrzeć związek małżeński.

Z aksjomatów wynika, że ​​konieczne jest określenie relacji między typem rodziców a typem synów i córek.

Aby ustalić pokrewieństwo, zastosowano następujące oznaczenia:

Oto kilka przykładów typów relacji:

Pojęcie macierzy i opartej na niej gałęzi matematyki - algebry macierzy - są niezwykle ważne dla ekonomistów. Tłumaczy się to tym, że znaczna część modeli matematycznych obiektów i procesów gospodarczych zapisana jest w dość prostej, a co najważniejsze, zwartej formie macierzowej.

Korzystając z macierzy wygodnie jest spisywać niektóre zależności ekonomiczne.

Rozważmy na przykład tabelę rozkładu zasobów dla poszczególnych sektorów gospodarki (jednostki konwencjonalne):

Ta tabela może być napisana w zwięzłej formie jako macierz dystrybucji zasobów według branży:

W tym wpisie na przykład element macierzy = 5,3 pokazuje, ile energii elektrycznej zużywa przemysł, a element = 2,1 pokazuje, ile pracy zużywa rolnictwo.

Progresywne macierze Ravena – test na wizualne i jednocześnie abstrakcyjne myślący na analogie(test na inteligencje), opracowany przez angielski. psycholog J. Raven (1938).

Każde zadanie składa się z 2 części: głównego rysunku (jakiegoś wzoru geometrycznego) z odstępem w prawym dolnym rogu oraz zestawu 6 lub 8 fragmentów znajdujących się pod głównym rysunkiem. Z tych fragmentów należy wybrać taki, który po umieszczeniu w miejscu luki będzie dokładnie pasował do rysunku jako całości. Progresywne macierze Ravena są podzielone na 5 serii po 12 matryc każda. Ze względu na wzrost liczby elementów macierzowych i komplikację zasad powiązań zadania stopniowo komplikują się zarówno w obrębie tej samej serii, jak i przy przechodzeniu z serii do serii. Istnieje również lekka wersja progresywnych matryc Raven, przeznaczona do badania dzieci i dorosłych z zaburzeniami psychicznymi.

Na rysunku pokazano przykłady takich macierzy:

Rozważyliśmy główne obszary zastosowań matryc. Okazało się, że termin ten jest używany nie tylko w matematyce, ale także w innych naukach, takich jak informatyka, biologia, chemia, fizyka, psychologia, ekonomia itp. Ponadto macierze mogą mieć praktyczne zastosowanie np. jako zrobił w prymitywnym społeczeństwie, aby określić dozwolone opcje małżeństwa.

MATRIX- (niemiecki, Matrize, z łacińskiego macierzy macicy). 1) w przemyśle odlewniczym: miedziana forma do odlewania liter, a także monet. 2) w typografii: papierowa forma do odlewania stereotypu.

Za pomocą macierzy można rozwiązywać układy równań, wygodnie jest reprezentować w nich dowolne dane.

W ten sposób doszliśmy do wniosku, że macierze były szeroko stosowane i nadal są używane.

Literatura:

1. Krass M.S., Chuprynov B.P.; Matematyka, Piotr, 2005.
2. Solodovnikov A.S., Babaitsev V.A., Brailov A.V., Shandra I.G.; Finanse i statystyka, 2000.
3. Kremer N.Sz.; UNITY-DANA, Wyższa Matematyka dla Ekonomistów, wydanie 3, 2007.
4. Wenger A.L. - Psychologiczne testy rysunkowe: ilustrowany przewodnik.
5. Słownik encyklopedyczny młodego matematyka. - M .: Pedagogika, 1989.

DEFINICJA MATRYCY. RODZAJE MATRYC

Rozmiar matrycy m× n nazywa się całością m n liczby ułożone w prostokątną tabelę m linie i n kolumny. Ta tabela jest zwykle ujęta w nawiasy. Na przykład macierz może wyglądać tak:

Dla zwięzłości macierz może być oznaczona pojedynczą wielką literą, na przykład ALE lub W.

Ogólnie macierz wielkości m× n pisz tak

.

Liczby tworzące macierz nazywają się elementy macierzy. Wygodnie jest zaopatrzyć elementy macierzowe w dwa indeksy aij: Pierwsza wskazuje numer wiersza, a druga wskazuje numer kolumny. Na przykład, 23– element znajduje się w 2 wierszu, 3 kolumnie.

Jeśli liczba wierszy w macierzy jest równa liczbie kolumn, wówczas wywoływana jest macierz kwadrat, a liczba jego wierszy lub kolumn nazywa się w porządku macierze. W powyższych przykładach druga macierz jest kwadratowa – jej kolejność to 3, a czwarta macierz – jej kolejność to 1.

Wywoływana jest macierz, w której liczba wierszy nie jest równa liczbie kolumn prostokątny. W przykładach jest to pierwsza macierz i trzecia.

Istnieją również macierze, które mają tylko jeden wiersz lub jedną kolumnę.

Macierz z tylko jednym wierszem nazywa się macierz - wiersz(lub ciąg) i macierz, która ma tylko jedną kolumnę, macierz - kolumna.

Macierz, w której wszystkie elementy są równe zeru, nazywa się zero i jest oznaczony przez (0) lub po prostu 0. Na przykład

.

główna przekątna Macierz kwadratowa to przekątna biegnąca od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu.

Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są równe zeru, nazywa się trójkątny matryca.

.

Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy, z wyjątkiem być może tych na głównej przekątnej, są równe zeru, nazywa się przekątna matryca. Na przykład lub.

Macierz diagonalna, w której wszystkie pozycje diagonalne są równe jedności, nazywana jest pojedynczy macierz i jest oznaczona literą E. Na przykład macierz tożsamości trzeciego rzędu ma postać .

DZIAŁANIA NA MATRYCACH

Równość macierzy. Dwie macierze A oraz B mówi się, że są równe, jeśli mają taką samą liczbę wierszy i kolumn, a odpowiadające im elementy są równe aij = b ij. Więc jeśli oraz , następnie A=B, jeśli a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 oraz a 22 = b 22.

Transpozycja. Rozważ dowolną macierz A z m linie i n kolumny. Może być powiązany z następującą macierzą B z n linie i m kolumny, gdzie każdy wiersz jest kolumną macierzy A o tym samym numerze (stąd każda kolumna jest wierszem macierzy A z tym samym numerem). Więc jeśli , następnie .

Ta macierz B nazywa transponowany matryca A i przejście z A do Transpozycja B.

Transpozycja jest więc odwróceniem ról wierszy i kolumn macierzy. Macierz transponowana do macierzy A, zwykle oznaczany W.

Komunikacja między matrycą A a jego transpozycja może być zapisana jako .

Na przykład. Znajdź macierz transponowaną do podanej.

Dodawanie macierzy. Niech macierze A oraz B składają się z tej samej liczby wierszy i tej samej liczby kolumn, tj. mieć te same rozmiary. Następnie w celu dodania macierzy A oraz B potrzeba macierzu elementów A dodaj elementy macierzy B stojąc w tych samych miejscach. Zatem suma dwóch macierzy A oraz B zwana macierzą C, co określa reguła np.

Przykłady. Znajdź sumę macierzy:

Łatwo sprawdzić, czy dodawanie macierzy spełnia następujące prawa: przemienne A+B=B+A i asocjacyjny ( A+B)+C=A+(B+C).

Mnożenie macierzy przez liczbę. Aby pomnożyć macierz A za liczbę k potrzebujesz każdego elementu matrycy A pomnóż przez tę liczbę. Więc iloczyn matrycy A za liczbę k pojawiła się nowa macierz, którą określa reguła lub .

Dla dowolnych liczb a oraz b i matryce A oraz B równouprawnienia są spełnione:

Przykłady.

Mnożenie macierzy. Ta operacja jest przeprowadzana zgodnie z osobliwym prawem. Przede wszystkim zauważamy, że wielkości czynników macierzy muszą być spójne. Mnożyć można tylko te macierze, których liczba kolumn pierwszej macierzy odpowiada liczbie wierszy drugiej macierzy (tj. długość pierwszego wiersza jest równa wysokości drugiej kolumny). praca matryce A nie macierz B nazwana nową matrycą C=AB, którego elementy składają się w następujący sposób:

Tak więc, na przykład, aby uzyskać produkt (tj. w macierzy C) element w 1. wierszu i 3. kolumnie od 13, musisz wziąć pierwszy wiersz w pierwszej macierzy, trzecią kolumnę w drugiej, a następnie pomnożyć elementy wiersza przez odpowiednie elementy kolumny i dodać otrzymane produkty. Natomiast pozostałe elementy macierzy iloczynowej uzyskuje się stosując podobny iloczyn wierszy pierwszej macierzy przez kolumny drugiej macierzy.

Ogólnie, jeśli pomnożymy macierz A = (aij) rozmiar m× n do matrycy B = (bij) rozmiar n× p, to otrzymujemy macierz C rozmiar m× p, którego elementy są obliczane w następujący sposób: element c ij powstaje w wyniku iloczynu pierwiastków i wiersz macierzy A na odpowiednich elementach j-ta kolumna macierzy B i ich podsumowanie.

Z tej zasady wynika, że ​​zawsze można pomnożyć dwie macierze kwadratowe tego samego rzędu, w wyniku czego otrzymujemy macierz kwadratową tego samego rzędu. W szczególności macierz kwadratową zawsze można pomnożyć przez samą siebie, tj. rozliczać się.

Innym ważnym przypadkiem jest pomnożenie wiersza-macierzy przez kolumnę-macierzy, a szerokość pierwszego musi być równa wysokości drugiego, w wyniku czego otrzymujemy macierz pierwszego rzędu (czyli jeden element). Naprawdę,

.

Przykłady.

Te proste przykłady pokazują więc, że macierze, ogólnie rzecz biorąc, nie przechodzą między sobą, tj. A∙B ≠ B∙A . Dlatego przy mnożeniu macierzy należy uważnie monitorować kolejność czynników.

Można zweryfikować, że mnożenie macierzy jest zgodne z prawami asocjacyjnymi i rozdzielczymi, tj. (AB)C=A(BC) oraz (A+B)C=AC+BC.

Łatwo też to sprawdzić, mnożąc macierz kwadratową A do macierzy tożsamości mi tego samego rzędu ponownie otrzymujemy macierz A, co więcej AE=EA=A.

Można zauważyć następujący ciekawy fakt. Jak wiadomo iloczyn 2 liczb niezerowych nie jest równy 0. W przypadku macierzy może tak nie być, tj. iloczyn 2 niezerowych macierzy może być równy macierzy zerowej.

Na przykład, jeśli , następnie

.

KONCEPCJA DETERMINATORÓW

Niech będzie dana macierz drugiego rzędu - macierz kwadratowa składająca się z dwóch wierszy i dwóch kolumn .

Wyznacznik drugiego rzędu odpowiadająca tej macierzy jest liczba uzyskana w następujący sposób: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Wyznacznik jest oznaczony symbolem .

Tak więc, aby znaleźć wyznacznik drugiego rzędu, musisz odjąć iloczyn elementów wzdłuż drugiej przekątnej od iloczynu elementów głównej przekątnej.

Przykłady. Oblicz wyznaczniki drugiego rzędu.

Podobnie możemy rozważyć macierz trzeciego rzędu i odpowiadający jej wyznacznik.

Wyznacznik trzeciego rzędu, odpowiadająca danej macierzy kwadratowej trzeciego rzędu, jest liczbą oznaczoną i otrzymaną w następujący sposób:

.

Zatem formuła ta daje rozwinięcie wyznacznika trzeciego rzędu w zakresie elementów pierwszego rzędu 11 , 12 , 13 i redukuje obliczanie determinanty trzeciego rzędu do obliczania determinant drugiego rzędu.

Przykłady. Oblicz wyznacznik trzeciego rzędu.

Podobnie można wprowadzić pojęcia wyznaczników czwartego, piątego itd. zamówienia, zmniejszając ich kolejność przez rozwinięcie elementów pierwszego rzędu, podczas gdy znaki „+” i „-” dla terminów występują naprzemiennie.

Czyli w przeciwieństwie do macierzy, która jest tablicą liczb, wyznacznikiem jest liczba przypisana w określony sposób do macierzy.

Macierze w matematyce są jednym z najważniejszych obiektów o znaczeniu użytkowym. Często wycieczka do teorii macierzy zaczyna się od słów: „Macierz to prostokątny stół…”. Wycieczkę rozpoczniemy pod nieco innym kątem.

Książki telefoniczne o dowolnej wielkości i z dowolną liczbą danych abonenta to nic innego jak macierze. Te macierze wyglądają tak:

Oczywiste jest, że wszyscy korzystamy z takich matryc prawie codziennie. Te macierze są podzielone na różne liczby wierszy (rozróżniane jako katalog wydawany przez firmę telekomunikacyjną, który może zawierać tysiące, setki tysięcy, a nawet miliony wierszy oraz nowy notatnik, który właśnie uruchomiłeś, który ma mniej niż dziesięć wierszy) i kolumny (katalog urzędników jakiejś organizacji, w którym mogą znajdować się kolumny takie jak stanowisko i numer biura oraz ten sam notatnik, gdzie może nie być danych innych niż nazwisko, a co za tym idzie ma tylko dwie kolumny - nazwisko i numer telefonu).

Można dodawać i mnożyć wszelkiego rodzaju macierze, można na nich wykonywać inne operacje, ale nie ma potrzeby dodawania i mnożenia książek telefonicznych, nie ma z tego korzyści, a poza tym można poruszyć umysł.

Ale bardzo wiele macierzy można i należy dodawać i mnożyć iw ten sposób można rozwiązywać różne pilne zadania. Poniżej przykłady takich macierzy.

Macierze, w których kolumny to produkcja globalna jednostek danego rodzaju produktu, a wiersze to lata, w których rejestrowana jest produkcja globalna tego produktu:

Możesz dodać tego rodzaju macierze, które uwzględniają produkcję podobnych produktów przez różne przedsiębiorstwa, w celu uzyskania zbiorczych danych dla branży.

Lub macierze, składające się np. z jednej kolumny, w której wiersze to średni koszt danego rodzaju produktu:

Macierze dwóch ostatnich typów można pomnożyć, a wynikiem jest macierz wierszowa zawierająca koszt wszystkich rodzajów produktów w latach.

Macierze, podstawowe definicje

Stół prostokątny składający się z liczb ułożonych w m linie i n kolumny nazywa się mn-macierz (lub po prostu matryca ) i napisane tak:

(1)

W macierzy (1) liczby nazywają się its elementy (podobnie jak w wyznaczniku, pierwszy indeks oznacza numer rzędu, drugi - kolumnę, na przecięciu której znajduje się element; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matryca nazywa się prostokątny , jeśli .

Jeśli m = n, wtedy macierz nazywa się kwadrat , a liczba n to jego w porządku .

Wyznacznik macierzy kwadratowej A nazywana jest wyznacznikiem, którego elementami są elementy macierzy A. Jest oznaczony symbolem | A|.

Nazywa się macierz kwadratową niespecjalne (lub niezdegenerowany , nie w liczbie pojedynczej ) jeśli jego wyznacznik nie jest równy zero, oraz specjalny (lub zdegenerowany , pojedynczy ), jeśli jego wyznacznikiem jest zero.

Macierze nazywają się równy jeśli mają taką samą liczbę wierszy i kolumn, a wszystkie pasujące elementy są takie same.

Matryca nazywa się zero jeśli wszystkie jego elementy są równe zeru. Macierz zerowa będzie oznaczona symbolem 0 lub .

Na przykład,

macierz wierszy (lub małe litery ) nazywa się 1 n-macierz i macierz kolumn (lub kolumnowy ) – m 1-macierz.

Matryca A" , który jest uzyskiwany z matrycy A zamiana wierszy i kolumn w nim nazywa się transponowany w odniesieniu do matrycy A. Zatem dla macierzy (1) transponowana macierz to

Przejście do pracy na macierzach A, transponowany w odniesieniu do matrycy A, nazywa się transpozycją macierzy A. Do mni- transpozycja macierzy to Nm-matryca.

Macierz transponowana względem macierzy to A, to znaczy

(A")" = A .

Przykład 1 Znajdź macierz A, transponowany w odniesieniu do matrycy

i dowiedzieć się, czy wyznaczniki macierzy oryginalnej i transponowanej są równe.

główna przekątna Macierz kwadratowa to wyimaginowana linia łącząca jej elementy, dla której oba indeksy są takie same. Te elementy nazywają się przekątna .

Macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zeru, nazywa się przekątna . Nie wszystkie elementy diagonalnej macierzy diagonalnej są koniecznie niezerowe. Niektóre z nich mogą być równe zeru.

Nazywa się macierz kwadratową, w której elementy na głównej przekątnej są równe tej samej liczbie niezerowej, a wszystkie inne są równe zeru macierz skalarna .

macierz jednostkowa nazywana jest macierzą diagonalną, w której wszystkie elementy diagonalne są równe jeden. Na przykład macierzą jednostkową trzeciego rzędu jest macierz

Przykład 2 Dane macierzy:

Rozwiązanie. Obliczmy wyznaczniki tych macierzy. Stosując zasadę trójkątów, znajdujemy

Wyznacznik macierzy B obliczyć według wzoru

Łatwo to otrzymujemy

Dlatego matryce A i są nieosobliwe (niezdegenerowane, nieosobliwe), a macierz B- specjalne (zdegenerowane, pojedyncze).

Wyznacznik macierzy tożsamości dowolnego rzędu jest oczywiście równy jeden.

Sam rozwiąż problem z macierzą, a następnie zobacz rozwiązanie

Przykład 3 Dane macierzy

,

,

Określ, które z nich nie są pojedyncze (niezdegenerowane, nie pojedyncze).

Zastosowanie macierzy w modelowaniu matematycznym i ekonomicznym

W postaci macierzy, ustrukturyzowane dane o konkretnym obiekcie są napisane w prosty i wygodny sposób. Modele macierzowe są tworzone nie tylko w celu przechowywania tych uporządkowanych danych, ale także w celu rozwiązywania różnych problemów z tymi danymi za pomocą algebry liniowej.

Tak więc znanym macierzowym modelem gospodarki jest model input-output wprowadzony przez amerykańskiego ekonomistę pochodzenia rosyjskiego Wassily Leontieva. Model ten opiera się na założeniu, że cały sektor produkcyjny gospodarki jest podzielony na: n czysty przemysł. Każda z branż wytwarza tylko jeden rodzaj produktu, a różne branże wytwarzają różne produkty. W związku z takim podziałem pracy między gałęziami istnieją stosunki międzygałęziowe, których znaczenie polega na tym, że część produkcji każdej gałęzi jest przenoszona do innych gałęzi jako zasób produkcyjny.

Wielkość produkcji i-ta branża (mierzona konkretną jednostką miary), która została wyprodukowana w okresie sprawozdawczym, oznaczona i nazywana całkowitą produkcją i przemysł. Zeszyty są wygodnie umieszczane w n-komponent wiersz macierzy.

Liczba jednostek produktu i-ty przemysł do wydania j-tym przemysłem do wytworzenia jednostki jego produkcji, jest oznaczany i nazywany współczynnikiem kosztów bezpośrednich.