Sekcja jest bardzo łatwa w użyciu. Po prostu wpisz żądane słowo w odpowiednim polu, a my podamy Ci listę jego znaczeń. Chciałbym zauważyć, że nasza strona zawiera dane z różnych źródeł - słowników encyklopedycznych, objaśniających, słowotwórczych. Tutaj możesz zobaczyć także przykłady użycia wprowadzonego słowa.

Znaczenie słowa podzbiór

podzbiór w słowniku krzyżówek

Słownik encyklopedyczny, 1998

podzbiór

koncepcja teorii mnogości. Podzbiorem zbioru A jest zbiór B (oznaczony przez B? A), którego każdy element należy do A. Na przykład zbiór wszystkich liczb parzystych jest podzbiorem zbioru wszystkich liczb całkowitych.

Podzbiór

zbiór A (matematyczny), dowolny zbiór, którego każdy element należy do A. Na przykład zbiór wszystkich liczb parzystych jest P. zbiorem wszystkich liczb całkowitych. Jeżeli do zbiorów zalicza się zbiór „pusty”, nie zawierający żadnych elementów, to z definicji należy go uważać za zbiór dowolnego innego zbioru. Sam zbiór A i zbiór pusty nazywane są czasami przestrzeniami niewłaściwymi, natomiast pozostałe przestrzenie nazywane są właściwymi. Zobacz także Teorię mnogości.

Wikipedia

Podzbiór

Podzbiór w teorii mnogości jest to pojęcie części zbioru.

Przykłady użycia słowa podzbiór w literaturze.

Możesz także wpisać następną literę, do której chcesz przejść podzbiór wszystkie możliwe zakończenia.

Przesłany dokument MOŻE być podobny podzbiór wersji oryginalnej i zawierają informacje, które nie zostały w niej przedstawione.

Zero Charmsa jako pewien zbiór zawierający nieskończoną serię zer podzbiory, to świat nieskończoności.

Nadający się do druku podzbiory page wymaga filtra, który poradzi sobie z tą sytuacją.

Utworzenie indeksu z regułą fragmentacji, która nie jest zgodna z regułą fragmentacji tabeli, jest przydatne w przypadkach, gdy różne aplikacje dokonują selekcji z tabeli na podstawie różnych podzbiory jego atrybuty.

Na prostym przykładzie przypomnijmy sobie tak zwany podzbiór, jakie istnieją podzbiory (właściwe i niewłaściwe), wzór na znalezienie liczby wszystkich podzbiorów, a także kalkulator obliczający zbiór wszystkich podzbiorów.

Przykład 1. Biorąc pod uwagę zbiór A = (a, c, p, o). Zapisz wszystkie podzbiory
tego zestawu.
Rozwiązanie:

Podzbiory własne:(a) , (c) , (p) , (o) , (a, c) , (a, p) , (a, o), (c, p) , (c, o ) ∈, (p, o), (a, c, p), (a, c, o), (c, p, o).

Nie posiadam:(a, c, p, o), Ø.

Całkowity: 16 podzbiorów.

Wyjaśnienie. Zbiór A jest podzbiorem B, jeśli każdy element A zawiera się także w B.

Zbiór pusty ∅ jest podzbiorem dowolnego zbioru i nazywany jest niewłaściwym;
. każdy zbiór jest swoim podzbiorem, nazywanym także niewłaściwym;
. Każdy zbiór n-elementowy ma dokładnie 2 n podzbiorów.

Ostatnie stwierdzenie brzmi wzór na znalezienie liczby wszystkich podzbiorów bez wymieniania każdego z nich.

Wyprowadzenie wzoru: Załóżmy, że mamy zbiór n-elementów. Podczas tworzenia podzbiorów pierwszy element może należeć do podzbioru lub nie, tj. pierwszy element możemy wybrać na dwa sposoby, analogicznie dla wszystkich pozostałych elementów (w sumie n-elementów), każdy możemy wybrać na dwa sposoby i zgodnie z zasadą mnożenia otrzymujemy: 2∙2∙2∙ ...∙2 =2 rz

Dla matematyków sformułowamy twierdzenie i przedstawimy rygorystyczny dowód.

Twierdzenie. Liczba podzbiorów skończonego zbioru składającego się z n elementów wynosi 2 n.

Dowód. Zbiór składający się z jednego elementu a ma dwa (tj. 2 1) podzbiory: ∅ i (a). Zbiór składający się z dwóch elementów a i b ma cztery (tj. 2 2) podzbiory: ∅, (a), (b), (a; b).
Zbiór składający się z trzech elementów a, b, c ma osiem (tj. 2 3) podzbiorów:
∅, (a), (b), (b; a), (c), (c; a), (c; b), (c; b; a).
Można założyć, że dodanie nowego elementu podwaja liczbę podzbiorów.
Dowód uzupełniamy metodą indukcji matematycznej. Istota tej metody polega na tym, że jeśli twierdzenie (właściwość) jest prawdziwe dla jakiejś początkowej liczby naturalnej n 0 i wychodząc z założenia, że ​​jest ono prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej n = k ≥ n 0, można udowodnić jego prawdziwość dla liczba k + 1, to ta właściwość jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych.

1. Dla n = 1 (podstawa indukcji) (a nawet dla n = 2, 3) twierdzenie zostaje udowodnione.

2. Załóżmy, że twierdzenie zostało udowodnione dla n = k, tj. liczba podzbiorów zbioru składającego się z k elementów wynosi 2k.

3. Udowodnijmy, że liczba podzbiorów zbioru B składającego się z n = k + 1 elementów jest równa 2 k+1.
Wybieramy element b ze zbioru B. Rozważmy zbiór A = B \ (b). Zawiera k elementów. Wszystkie podzbiory zbioru A są podzbiorami zbioru B, które nie zawierają elementu b i z założenia jest ich 2 k. Istnieje taka sama liczba podzbiorów zbioru B zawierającego element b, tj. 2 tys
rzeczy.

Zatem wszystkie podzbiory zbioru B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 sztuk.
Twierdzenie zostało udowodnione.

W przykładzie 1 zestaw A = (a, c, p, o) składa się z czterech elementów, n=4, zatem liczba wszystkich podzbiorów wynosi 2 4 =16.

Jeśli chcesz zapisać wszystkie podzbiory lub napisać program do zapisania zbioru wszystkich podzbiorów, istnieje algorytm jego rozwiązania: przedstaw możliwe kombinacje w postaci liczb binarnych. Wyjaśnijmy na przykładzie.

Przykład 2. Istnieje zbiór (a b c), w którym następujące liczby są ze sobą powiązane:
000 = (0) (zestaw pusty)
001 = (c)
010 = (b)
011 = (bc)
100 = (a)
101 = (za do)
110 = (a b)
111 = (a b do)

Zbiór wszystkich kalkulatorów podzbiorów.

Kalkulator zawiera już elementy zestawu A = (a, c, p, o), po prostu kliknij przycisk Prześlij. Jeśli potrzebujesz rozwiązania swojego problemu, wpisz elementy zestawu po łacinie, oddzielając je przecinkami, jak pokazano w przykładzie.

Lekcja i prezentacja na temat: „Zbiory i podzbiory, przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 9
Podręcznik multimedialny dla klasy 9 „Algebra w 10 minut”
Podręcznik elektroniczny dla uczniów klas 7-9 „Zrozumiała algebra”

Zbiory i podzbiory

Chłopaki, przechodzimy do studiowania bardzo ważnego tematu „Wiele”. Ze zbiorami spotykamy się cały czas, na lekcjach matematyki dla klas starszych i w klasie IX niemal wszystkie tematy są ściśle powiązane z tym pojęciem. Dlatego postaraj się dobrze zrozumieć ten temat.

Czym zatem jest zestaw?
Specjalna gałąź matematyki, teoria mnogości, zajmuje się zbiorami. Zestaw jest jednym z głównych i podstawowych pojęć. Nie ma definicji, ale spróbujmy zrozumieć, czym jest zbiór? Zbiór to zbiór różnych elementów, które można policzyć i pogrupować. Przykładami zestawów są litery alfabetu - zestaw składający się z 33 elementów. Dużo jabłek na drzewie - tyle jabłek na drzewie, oczywiście, i można to policzyć i policzyć. Przykładów zestawów można wymyślić wiele. Spróbuj sam wymyślić przykład.
W matematyce zbiór oznacza się w nawiasach klamrowych (,). Na przykład zbiór pierwszych pięciu liter alfabetu angielskiego jest oznaczony w następujący sposób: (A, B, C, D, E). Jeśli napiszesz ten zestaw w innej kolejności, to się nie zmieni.
Matematyka jest tak interesującym przedmiotem, że mamy pojęcie zbioru pustego i zbioru nieskończonego. Zbiór pusty to zbiór nie posiadający ani jednego elementu, oznaczany bez nawiasów i symbolem Ø. Zbiór nieskończony, jak zapewne wynika z nazwy, to zbiór, w którym znajduje się nieskończona liczba elementów, na przykład zbiór wszystkich liczb.
Zbiory można opisywać różnymi słowami, np. (10, 12, 16, 18, ..., 96,98) to zbiór liczb parzystych dwucyfrowych. Wielokropka stosuje się wtedy, gdy elementów jest dużo i trudno je wszystkie zapisać, ale jednocześnie zapis zbioru powinien być czytelny i tak, aby można było na jego podstawie określić, jaki to zbiór .
$\(x| -2

Istnieją specjalne oznaczenia dla zestawów. Na przykład dla zbioru liczb naturalnych. Kochani, pamiętacie jak ten zestaw jest oznaczony?
Aby wskazać, że element należy do zbioru, używany jest znak specjalny $ϵ$. Notacja $2 ϵ \(2,4,6,8... \)$. Brzmi ono tak: „Dwa należy do zbioru liczb parzystych”.

Przykład.
Pewien zbiór składa się z pierwiastków równania $x^3+3x^2+2x=0$. Znajdź elementy tego zbioru i wypisz wszystkie możliwe układy elementów.

Rozwiązanie.
Rozwiążmy równanie, usuńmy x z nawiasów:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Zatem rozwiązania naszego równania: $x=0;-2;-1$ są elementami żądanego zbioru.
Zapiszmy możliwe opcje rozmieszczenia elementów:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Przykład.
Opisz ustawione dane.

$a) \(1,2,3,4,...,9,10\) \\ b) \(1,8,27,64...\)$
Rozwiązanie.
a) Zbiór liczb naturalnych od 1 do 10.
b) Zbiór wszystkich wartości kostek liczb naturalnych.

Przykład.
Po rozwiązaniu nierówności zapisz jej rozwiązania w postaci przedziału liczbowego:

A) $\(x^2 | x^2+1>0\)$
b) $\(x| 1/x c) $\(x |x^2+7x+12
Rozwiązanie.
a) $x^2+1>0$ jest większe od zera dla wszystkich x. Następnie przedział liczbowy zostanie zapisany w postaci: $(-∞;+∞)$.
b) 1/x c) $x^2+7x+12

Podzbiór

Jeśli wybierzemy kilka elementów z naszego zbioru i zgrupujemy je osobno, to będzie to podzbiór naszego zbioru. Istnieje wiele kombinacji, z których można otrzymać podzbiór; liczba kombinacji zależy tylko od liczby elementów w pierwotnym zbiorze.
Miejmy dwa zbiory A i B. Jeżeli każdy element zbioru B jest elementem zbioru A, to zbiór B nazywamy podzbiorem A. Oznaczenie: B ⊂ A. Przykład.
Ile jest podzbiorów zbioru A = (1, 2, 3)?
Rozwiązanie.
Podzbiory składające się z elementów naszego zbioru. Mamy wówczas 4 opcje liczby elementów w podzbiorze:
Podzbiór może składać się z 1 elementu, 2, 3 elementów i może być pusty. Zapiszmy nasze elementy po kolei.
Podzbiór 1 elementu: (1), (2), (3).
Podzbiór 2 elementów: (1, 2); (13); (2, 3).
Podzbiór 3 elementów: (1, 2, 3).

Nie zapominajmy, że zbiór pusty jest także podzbiorem naszego zbioru. Następnie okazuje się, że mamy 3+3+1+1=8 podzbiorów.

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź zbiór rozwiązań równania: $2x^3+8x^2+6x=0$. Wymień wszystkie możliwe opcje rozmieszczenia elementów.
2. Opisz zestaw:
$a) \(1, 3, 5, 7...99\) \\b) \(1, 4, 7, 10, 13, 16\) \\ c) \(5, 10, 15, 20 ... 995\)$
3. Ile jest podzbiorów zbioru A = (3, 4, 5, 6)?

Należący $A$, również należy $B$. Formalna definicja:

$(A\; \backslash podzbiór\; B)\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash forall\; x.\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash Strzałka\; w\; prawo\; x\; \backslash in\; B).$

Pęczek $B$ zwany nadzbiór zestawy $A$, Jeśli $A$- podzbiór $B$.

Istnieją dwa symboliczne oznaczenia podzbiorów:

Oba systemy notacji używają tego symbolu $\backslash podzbiór$ w różnych znaczeniach, co może prowadzić do zamieszania. W tym artykule będziemy używać tego ostatniego zapisu.

Co $B$ zwany superzbiorem $A$, często spisane $B\backslash supset\; A$.

Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $A$ oznaczony przez $\backslash mathcal(P)(A)$ i nazywa się wartością logiczną.

Własny podzbiór

Dowolny zestaw $B$ jest swoim własnym podzbiorem. Jeśli chcemy wykluczyć $B$ na podstawie rozważań używamy pojęcia własny

Pęczek $A$ jest podzbiorem właściwym zbioru $B$, Jeśli $A\backslash podzbiór\; B$ I $A\backslash neB$.

Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru. Jeśli chcemy również wykluczyć z rozważań zbiór pusty, używamy pojęcia nietrywialne podzbiór, który jest zdefiniowany w następujący sposób:

Pęczek $A$ jest nietrywialnym podzbiorem zbioru $B$, Jeśli $A$ jest swoim własnym podzbiorem $B$ I $A\backslash ne\backslash varnic$.

Przykłady

• Zestawy $\backslash varnic,\; \backslash (0\backslash ),\; \backslash (1,3,4\backslash ).$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Zestawy $\backslash (\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; łoś\; \backslash ),\; \backslash (\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash ),\; \backslash (\backslash varnothing\backslash ),\; \backslash varnothing$ są podzbiorami zbioru $\backslash (\; \$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; łoś\; \backslash )$
• Pozwalać $A\; =\; \backslash (a,b\backslash )$, Następnie $\backslash mathcal(P)(A)\; =\; \backslash (\backslash varnothing,\; \backslash (a\backslash ),\; \backslash (b\backslash ),\; \backslash (a,b\backslash )\; \backslash )$.
• Pozwalać $A\; =\; \backslash (1,2,3,4,5\backslash ),\backslash ;\; B\; =\; \backslash (1,2,3\backslash ),\backslash ;\; C\; =\; \backslash (4,5,6,7\backslash )$. Następnie $B\backslash podzbiór\; A,\backslash ;\; C\backslash not\backslash podzbiór\; A$.

Nieruchomości

Relacja podzbioru ma wiele właściwości.

• Relacja podzbioru jest relacją częściowego porządku:
  • Relacja podzbioru jest zwrotna: $B\backslash podzbiór\; B$
  • Relacja podzbioru jest antysymetryczna: $(A\; \backslash podzbiór\; B\backslash ;\; \backslash and\; \backslash ;\; B\; \backslash podzbiór\; A)\; \backslash Leftrightarrow\; (A\; =\; B)$
  • Relacja podzbioru jest przechodnia: $(A\; \backslash podzbiór\; B\; \backslash ;\backslash i\; \backslash ;\; B\; \backslash podzbiór\; C)\; \backslash Rightarrow\; (A\; \backslash podzbiór\; C)$
• Zbiór pusty jest podzbiorem każdego innego zbioru, a więc jest najmniejszym zbiorem ze względu na relację podzbioru: $\backslash varnic\; \backslash podzbiór\; B$
• Na dowolne dwa zestawy $A$ I $B$ następujące stwierdzenia są równoważne:
  • $A\backslash podzbiór\; B.$
  • $A\backslash czapka\; B\; =\; A.$
  • $A\backslash kubek\; B\; =\; B.$
  • $B^(\backslash uzupełnienie)\; \backslash podzbiór\; A^(\backslash uzupełnienie).$

Podzbiory zbiorów skończonych

Jeśli pierwotny zbiór jest skończony, to ma skończoną liczbę podzbiorów. Mianowicie o godz $N$-zestaw elementów istnieje $2^n$ podzbiory (w tym puste). Aby to sprawdzić, wystarczy zauważyć, że każdy element może być uwzględniony lub nie należeć do podzbioru, co oznacza, że ​​całkowita liczba podzbiorów będzie wynosić $N$- iloczyn wielokrotny dwójek. Jeśli weźmiemy pod uwagę tylko podzbiory $N$-zestaw elementów $k\backslash le\; n$ elementów, wówczas ich liczbę wyraża się współczynnikiem dwumianu $\backslash textstyle\backslash binom(n)(k)$. Aby sprawdzić ten fakt, można wybierać elementy podzbioru sekwencyjnie. Można wybrać pierwszy element $N$ sposoby, po drugie $n-1$ sposób i tak dalej, aż w końcu $k$- element można wybrać $n-k+1$ sposób. W ten sposób otrzymujemy ciąg $k$ elementy i dokładnie $k!$ takie sekwencje odpowiadają jednemu podzbiorowi. Zatem będzie wszystko $\backslash textstyle\backslash frac(n(n-1)\backslash kropki(n-k+1))(k=\backslash binom\{n\}\{k\}!\}$ takie podzbiory.

Napisz recenzję na temat artykułu „Podzbiór”

Notatki

Literatura

• Vereshchagin N.K., Shen A. Wykłady z logiki matematycznej i teorii algorytmów. Część 1. Początki teorii mnogości. - wyd. 3, stereotyp. - M.: MTsNMO, 2008. - 128 s. - ISBN 978-5-94057-321-0.

Formalny Matematyczny (teoretyczny, symboliczny) 2 stałe: 0 1 Zobacz też

Fragment charakteryzujący podzbiór

„To nie moja wina, że ​​rozmowa zaczęła się przy innych funkcjonariuszach”. Może nie powinienem był przy nich przemawiać, ale nie jestem dyplomatą. Potem wstąpiłem do husarii, myślałem, że nie trzeba żadnych subtelności, a on mi powiedział, że kłamię... niech więc da mi satysfakcję...
- Wszystko dobrze, nikt nie uważa cię za tchórza, ale nie o to chodzi. Zapytaj Denisowa, czy wygląda to na coś, co kadet może żądać satysfakcji od dowódcy pułku?
Denisow, przygryzając wąsy, przysłuchiwał się rozmowie z ponurym spojrzeniem, najwyraźniej nie chcąc się w nią angażować. Zapytany przez sztab kapitana, pokręcił głową negatywnie.
„Opowiadasz dowódcy pułku o tej brudnej sztuczce na oczach oficerów” – kontynuował kapitan. - Bogdanych (dowódca pułku nazywał się Bogdanych) oblegał Was.
- Nie oblegał go, ale powiedział, że kłamię.
- No tak, i powiedziałeś mu coś głupiego i musisz przeprosić.
- Nigdy! - krzyknął Rostów.
„Nie myślałem tego od ciebie” – powiedział kapitan poważnie i surowo. „Nie chcesz przepraszać, ale ty, ojcze, nie tylko przed nim, ale przed całym pułkiem, przed nami wszystkimi, jesteś całkowicie winien”. Oto jak: gdybyś tylko pomyślał i skonsultował się, jak sobie z tym poradzić, bo inaczej piłbyś na oczach funkcjonariuszy. Co powinien teraz zrobić dowódca pułku? Czy oficera należy postawić przed sądem i zbrukać cały pułk? Przez jednego łajdaka cały pułk został zhańbiony? Więc co o tym myślisz? Jednak naszym zdaniem tak nie jest. A Bogdanich jest świetny, powiedział Ci, że kłamiesz. To nieprzyjemne, ale co możesz zrobić, ojcze, sami cię zaatakowali. A teraz, jak chcą zatuszować sprawę, to przez jakiś fanatyzm nie chce się przepraszać, tylko chce się wszystko powiedzieć. Obrażasz się, że jesteś na służbie, ale po co przepraszać starego i uczciwego oficera! Nieważne, kim jest Bogdanich, to wciąż uczciwy i odważny stary pułkownik, wielka szkoda dla Was; Czy wolno ci brudzić pułk? – Głos kapitana zaczął drżeć. - Ty, ojcze, jesteś w pułku od tygodnia; dzisiaj tutaj, jutro przeniesiony gdzieś do adiutantów; nie obchodzi cię, co mówią: „wśród oficerów Pawłogradu są złodzieje!” Ale nam zależy. I co, Denisow? Nie wszystkie takie same?
Denisow milczał i nie poruszał się, od czasu do czasu zerkając na Rostowa swoimi błyszczącymi czarnymi oczami.
„Cenisz swoją fanaberię, nie chcesz przepraszać” – kontynuował kapitan kwatery głównej – „ale dla nas, starych ludzi, jak dorastaliśmy i nawet jeśli umrzemy, jeśli Bóg da, zostaniemy przyjęci do pułku, więc honor pułku jest nam bliski i Bogdanich o tym wie. Och, co za droga, ojcze! A to nie jest dobre, niedobre! Obrażaj się lub nie, zawsze powiem prawdę. Niedobrze!
A kapitan kwatery głównej wstał i odwrócił się od Rostowa.
- Pg „avda, chog” bierz to! - krzyknął Denisow, podskakując. - Cóż, G'szkielet! Cóż!
Rostow, rumieniąc się i blednąc, spojrzał najpierw na jednego oficera, potem na drugiego.
- Nie, panowie, nie... nie myślcie... Naprawdę rozumiem, nie macie racji myśląc o mnie w ten sposób... Ja... dla mnie... Jestem za honorem pułk. I co? Pokażę to w praktyce, a dla mnie zaszczyt sztandaru... cóż, wszystko jedno, naprawdę, jestem winien!.. - Łzy stanęły mu w oczach. - Jestem winny, jestem winny naokoło!... No cóż, czego jeszcze potrzeba?...
„To wszystko, hrabio” – krzyknął kapitan sztabu, odwracając się i uderzając go dużą ręką w ramię.
„Mówię ci” – krzyknął Denisow – „to miły mały facet”.
„Tak jest lepiej, hrabio” – powtórzył kapitan sztabu, jakby dla jego uznania zaczęto go nazywać tytułem. - Przyjdź i przeproś, Wasza Ekscelencjo, tak, proszę pana.
„Panowie, zrobię wszystko, nikt nie usłyszy ode mnie ani słowa” – powiedział Rostow błagalnym głosem – „ale nie mogę przepraszać, na Boga, nie mogę, co chcesz!” Jak przeprosić, jak mała dziewczynka, prosząc o przebaczenie?
Denisow roześmiał się.
- Z tobą jest gorzej. Bogdanich jest mściwy, zapłacicie za swój upór” – powiedziała Kirsten.
- Na Boga, nie upór! Nie potrafię opisać Ci tego uczucia, nie potrafię...
„No cóż, to twój wybór” – powiedział kapitan sztabu. - No i gdzie poszedł ten łajdak? – zapytał Denisowa.
„Powiedział, że jest chory, a menadżer nakazał go wydalić” – powiedział Denisow.
„To choroba, nie da się tego inaczej wytłumaczyć” – powiedział kapitan w sztabie.
„To nie choroba, ale jeśli nie przyciągnie mojego wzroku, zabiję go!” – krzyknął krwiożerczo Denisow.
Żerkow wszedł do pokoju.
- Jak się masz? – funkcjonariusze nagle zwrócili się do przybysza.
- Chodźmy, panowie. Mak poddał się jako jeniec i wraz z wojskiem całkowicie.
- Kłamiesz!
- Sam to widziałem.
- Jak? Widziałeś Macka żywego? z rękami, z nogami?
- Wędrówka! Wycieczka! Daj mu butelkę na takie wieści. Jak się tu dostałeś?
„Znowu odesłali mnie do pułku, na litość diabła, dla Macka”. Austriacki generał poskarżył się. Pogratulowałem mu przybycia Maka... Jesteś z łaźni, Rostów?
- No bracie, już drugi dzień mamy taki bałagan.
Przyszedł adiutant pułku i potwierdził wiadomość przyniesioną przez Żerkowa. Kazano nam wystąpić jutro.
- Idziemy, panowie!
- Cóż, dzięki Bogu, zostaliśmy zbyt długo.

Kutuzow wycofał się do Wiednia, niszcząc za sobą mosty na rzekach Inn (w Braunau) i Traun (w Linz). 23 października wojska rosyjskie przekroczyły rzekę Enns. Rosyjskie konwoje, artyleria i kolumny żołnierzy w środku dnia przeciągnęły się przez miasto Enns, po tej i po drugiej stronie mostu.