Co to jest ułamek właściwy? Ułamki właściwe i niewłaściwe: zasady. Ułamek – co to jest? Rodzaje ułamków

Proste reguły i techniki matematyczne, jeśli nie są stale używane, najszybciej się zapominają. Terminy znikają z pamięci jeszcze szybciej.

Jedną z takich prostych czynności jest zamiana ułamka niewłaściwego na ułamek właściwy, czyli inaczej ułamek mieszany.

Ułamek niewłaściwy

Ułamek niewłaściwy to taki, w którym licznik (liczba nad linią) jest większy lub równy mianownikowi (liczba pod linią). Ułamek ten uzyskuje się przez dodanie ułamków lub pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą. Zgodnie z zasadami matematyki taki ułamek należy zamienić na ułamek właściwy.

Prawidłowa frakcja

Logiczne jest założenie, że wszystkie inne ułamki nazywane są właściwymi. Ścisła definicja mówi, że ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywa się właściwym. Ułamek, który ma cała część czasami nazywany mieszanym.

Zamiana ułamka niewłaściwego na ułamek właściwy

• Przypadek pierwszy: licznik i mianownik są sobie równe. Wynikiem przekształcenia dowolnego takiego ułamka jest jeden. Nie ma znaczenia, czy to trzy trzecie, czy sto dwadzieścia pięć sto dwadzieścia piąte. Zasadniczo taki ułamek oznacza czynność dzielenia liczby przez nią samą.

• Przypadek drugi: licznik jest większy od mianownika. Tutaj musisz pamiętać o metodzie dzielenia liczb z resztą.
  Aby to zrobić, musisz znaleźć liczbę najbliższą wartości licznika, która jest podzielna przez mianownik bez reszty. Na przykład masz ułamek dziewiętnaście trzecich. Najbliższa liczba, którą można podzielić przez trzy, to osiemnaście. To sześć. Teraz odejmij wynikową liczbę od licznika. Dostajemy jeden. To jest reszta. Zapisz wynik przeliczenia: sześć całości i jedna trzecia.

Ale przed redukcją ułamka do właściwy rodzaj, musisz sprawdzić, czy można go skrócić.
Możesz skrócić ułamek, jeśli licznik i mianownik mają wspólny dzielnik. Oznacza to, że liczba, przez którą obie są podzielne bez reszty. Jeśli istnieje kilka takich dzielników, musisz znaleźć największy.
Na przykład wszystkie liczby parzyste mają taki wspólny dzielnik - dwa. A ułamek szesnaście dwunastych ma jeszcze jeden wspólny dzielnik – cztery. To jest największy dzielnik. Podziel licznik i mianownik przez cztery. Wynik redukcji: cztery trzecie. Teraz w praktyce zamień ten ułamek na ułamek właściwy.

Frakcja w matematyce liczba składająca się z jednej lub większej liczby części (ułamków) jednostki. Ułamki są częścią ciała liczb wymiernych. W zależności od sposobu zapisu ułamki dzieli się na 2 formaty: zwykły wpisz i dziesiętny .

Licznik ułamka- liczba oznaczająca liczbę objętych akcji (umieszczona na górze ułamka - nad linią). Mianownik ułamka- liczba pokazująca na ile udziałów podzielona jest jednostka (umieszczona pod linią - na dole). z kolei dzielą się na: prawidłowy I błędny, mieszany I złożony są ściśle powiązane z jednostkami miary. 1 metr zawiera 100 cm, co oznacza, że ​​1 m dzieli się na 100 równych części. Zatem 1 cm = 1/100 m (jeden centymetr to jedna setna metra).

lub 3/5 (trzy piąte), tutaj 3 jest licznikiem, 5 jest mianownikiem. Jeśli licznik jest mniejszy niż mianownik, wówczas ułamek jest mniejszy niż jeden i nazywa się prawidłowy:

Jeśli licznik jest równy mianownikowi, ułamek jest równy jeden. Jeżeli licznik jest większy od mianownika, ułamek jest większy od jedności. W obu ostatnich przypadkach ułamek nazywa się zło:

Aby wyodrębnić największą liczbę całkowitą zawartą w ułamku niewłaściwym, dzielisz licznik przez mianownik. Jeśli podział zostanie przeprowadzony bez reszty, wówczas zostanie wzięty ułamek niewłaściwy równy ilorazowi:

Jeżeli dzielenie przeprowadza się z resztą, wówczas (niepełny) iloraz daje żądaną liczbę całkowitą, a reszta staje się licznikiem części ułamkowej; mianownik części ułamkowej pozostaje taki sam.

Nazywa się liczbę zawierającą liczbę całkowitą i część ułamkową mieszany. Frakcja pomieszane numery Może ułamek niewłaściwy. Następnie z części ułamkowej można wybrać największą liczbę całkowitą i przedstawić liczbę mieszaną w taki sposób, aby część ułamkowa stała się ułamkiem właściwym (lub w ogóle zniknęła).

Ułamki zwykłe dzielą się na ułamki \textit (właściwe) i \textit (niewłaściwe). Podział ten opiera się na porównaniu licznika i mianownika.

Ułamki właściwe

Prawidłowa frakcja Wywołuje się ułamek zwykły $\frac(m)(n)$, w którym licznik jest mniejszy od mianownika, czyli: mln dolarów

Przykład 1

Na przykład ułamki $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ są poprawne , czyli jak w każdym z nich licznik jest mniejszy od mianownika, co spełnia definicję ułamka właściwego.

Istnieje definicja ułamka właściwego, która opiera się na porównaniu ułamka z jednością.

prawidłowy, jeśli jest mniejsze niż jeden:

Przykład 2

Na przykład ułamek zwykły $\frac(6)(13)$ jest właściwy, ponieważ warunek $\frac(6)(13) jest spełniony

Niewłaściwe ułamki

Ułamek niewłaściwy Wywołuje się ułamek zwykły $\frac(m)(n)$, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi, czyli: $m\ge n$.

Przykład 3

Na przykład ułamki $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ są nieregularne , czyli jak w każdym z nich licznik jest większy lub równy mianownikowi, co spełnia definicję ułamka niewłaściwego.

Podajmy definicję ułamka niewłaściwego, która opiera się na jego porównaniu z jednym.

Ułamek wspólny $\frac(m)(n)$ to zło, jeśli jest równe lub większe niż jeden:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Przykład 4

Na przykład ułamek zwykły $\frac(21)(4)$ jest niewłaściwy, ponieważ warunek $\frac(21)(4) >1$ jest spełniony;

ułamek wspólny $\frac(8)(8)$ jest niewłaściwy, ponieważ warunek $\frac(8)(8)=1$ jest spełniony.

Przyjrzyjmy się bliżej pojęciu ułamka niewłaściwego.

Weźmy jako przykład ułamek niewłaściwy $\frac(7)(7)$. Znaczenie tego ułamka polega na pobraniu siedmiu części obiektu, który jest podzielony na siedem równych części. W ten sposób z siedmiu dostępnych części można skomponować cały obiekt. Te. ułamek niewłaściwy $\frac(7)(7)$ opisuje cały obiekt, a $\frac(7)(7)=1$. Zatem ułamki niewłaściwe, w których licznik jest równy mianownikowi, opisują jeden cały obiekt i taki ułamek można zastąpić liczbą naturalną $1$.

$\frac(5)(2)$ -- jest całkiem oczywiste, że z tych pięciu sekund można utworzyć całe obiekty o wartości 2$ (jeden cały obiekt będzie złożony z części o wartości 2$, a aby złożyć dwa całe obiekty, potrzebujesz 2 $ + 2 = 4 $ akcji) i pozostaje jedna druga akcja. Oznacza to, że ułamek niewłaściwy $\frac(5)(2)$ opisuje $2$ obiektu, a $\frac(1)(2)$ udział tego obiektu.

$\frac(21)(7)$ -- z dwudziestu jeden siódmych części możesz stworzyć całe obiekty o wartości 3$ (obiekty o wartości 3$ z udziałami po 7$ w każdym). Te. ułamek $\frac(21)(7)$ opisuje $3$ całe obiekty.

Z rozważonych przykładów można wyciągnąć wnioski następne wyjście: Ułamek niewłaściwy można zastąpić liczbą naturalną, jeśli licznik jest podzielny przez mianownik (na przykład $\frac(7)(7)=1$ i $\frac(21)(7)=3$), lub suma liczby naturalnej i prawidłowych ułamków ułamkowych, jeśli licznik nie jest całkowicie podzielny przez mianownik (na przykład $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Dlatego takie ułamki nazywane są zło.

Definicja 1

Proces przedstawiania ułamka niewłaściwego jako sumy liczby naturalnej i ułamka właściwego (na przykład $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) nazywa się oddzielanie całej części od ułamka niewłaściwego.

Podczas pracy z ułamkami niewłaściwymi istnieje ścisły związek między nimi a liczbami mieszanymi.

Ułamek niewłaściwy często zapisuje się jako liczbę mieszaną – liczbę składającą się z liczby całkowitej i części ułamkowej.

Aby zapisać ułamek niewłaściwy jako liczbę mieszaną, należy podzielić licznik przez mianownik z resztą. Iloraz będzie częścią całkowitą liczby mieszanej, reszta będzie licznikiem części ułamkowej, a dzielnik będzie mianownikiem części ułamkowej.

Przykład 5

Zapisz ułamek niewłaściwy $\frac(37)(12)$ jako liczbę mieszaną.

Rozwiązanie.

Dzielimy licznik przez mianownik z resztą:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (reszta\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Odpowiedź.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Aby zapisać liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy, należy pomnożyć mianownik przez część całkowitą liczby, dodać licznik części ułamkowej do otrzymanego iloczynu i wynikową kwotę zapisać w liczniku ułamka. Mianownik ułamka niewłaściwego będzie równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykład 6

Zapisz liczbę mieszaną $5\frac(3)(7)$ jako ułamek niewłaściwy.

Rozwiązanie.

Odpowiedź.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Dodawanie liczb mieszanych i ułamków właściwych

Dodawanie liczb mieszanych$a\frac(b)(c)$ i ułamek właściwy$\frac(d)(e)$ wykonuje się poprzez dodanie do danego ułamka części ułamkowej danej liczby mieszanej:

Przykład 7

Dodaj odpowiedni ułamek $\frac(4)(15)$ i liczbę mieszaną $3\frac(2)(5)$.

Rozwiązanie.

Skorzystajmy ze wzoru na dodanie liczby mieszanej i ułamka właściwego:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ lewy(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\prawy)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Dzieląc przez liczbę \textit(5) możemy stwierdzić, że ułamek $\frac(10)(15)$ jest redukowalny. Przeprowadźmy redukcję i znajdźmy wynik dodania:

Zatem wynikiem dodania ułamka właściwego $\frac(4)(15)$ i liczby mieszanej $3\frac(2)(5)$ jest $3\frac(2)(3)$.

Odpowiedź:$3\frac(2)(3)$

Dodawanie liczb mieszanych i ułamków niewłaściwych

Dodawanie ułamków niewłaściwych i liczb mieszanych sprowadza się do dodania dwóch liczb mieszanych, dla których wystarczy oddzielić całą część od ułamka niewłaściwego.

Przykład 8

Oblicz sumę liczby mieszanej $6\frac(2)(15)$ i ułamka niewłaściwego $\frac(13)(5)$.

Rozwiązanie.

Najpierw wyodrębnijmy całą część z ułamka niewłaściwego $\frac(13)(5)$:

Odpowiedź:$8\frac(11)(15)$.

Prawidłowa frakcja

Mieszkanie

1. Porządek. A I B istnieje reguła, która pozwala jednoznacznie zidentyfikować jedną i tylko jedną z trzech relacji między nimi: „< », « >" lub " = ". Zasada ta nazywa się reguła zamawiania i jest sformułowany w następujący sposób: dwie liczby nieujemne i są powiązane tą samą relacją, co dwie liczby całkowite i ; dwie liczby niedodatnie A I B są powiązane tą samą zależnością co dwie liczby nieujemne i ; jeśli nagle A nieujemne, ale B- w takim razie negatywny A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Dodawanie ułamków

2. Operacja dodawania. Dla dowolnych liczb wymiernych A I B istnieje tzw reguła sumowania C. Co więcej, sam numer C zwany kwota liczby A I B i jest oznaczony przez , a proces znajdowania takiej liczby nazywa się podsumowanie. Reguła sumowania ma następującą postać: .
3. Operacja mnożenia. Dla dowolnych liczb wymiernych A I B istnieje tzw reguła mnożenia, co przypisuje im pewną liczbę wymierną C. Co więcej, sam numer C zwany praca liczby A I B i jest oznaczony przez , a proces znajdowania takiej liczby nazywany jest również mnożenie. Reguła mnożenia wygląda następująco: .
4. Przechodniość relacji porządku. Dla dowolnej trójki liczb wymiernych A , B I C Jeśli A mniej B I B mniej C, To A mniej C, i jeśli A równa się B I B równa się C, To A równa się C. 6435">Przemienność dodawania. Zmiana miejsc wyrazów wymiernych nie powoduje zmiany sumy.
5. Łączność dodawania. Kolejność dodawania trzech liczb wymiernych nie ma wpływu na wynik.
6. Obecność zera. Istnieje liczba wymierna 0, która po dodaniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
7. Obecność liczb przeciwnych. Każda liczba wymierna ma przeciwną liczbę wymierną, która po dodaniu do daje 0.
8. Przemienność mnożenia. Zmiana miejsc czynników wymiernych nie zmienia produktu.
9. Łączność mnożenia. Kolejność mnożenia trzech liczb wymiernych nie ma wpływu na wynik.
10. Dostępność jednostki. Istnieje liczba wymierna 1, która po pomnożeniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
11. Obecność liczb odwrotnych. Każda liczba wymierna ma odwrotną liczbę wymierną, która pomnożona przez daje 1.
12. Rozdzielność mnożenia względem dodawania. Operację mnożenia koordynuje się z operacją dodawania poprzez prawo podziału:
13. Powiązanie relacji porządku z operacją dodawania. Tę samą liczbę wymierną można dodać do lewej i prawej strony nierówności wymiernej. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksjomat Archimedesa. Jakakolwiek liczba wymierna A, możesz wziąć tyle jednostek, że ich suma przekracza A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatkowe właściwości

Wszystkie inne właściwości właściwe liczbom wymiernym nie są wyróżniane jako podstawowe, ponieważ, ogólnie rzecz biorąc, nie opierają się już bezpośrednio na własnościach liczb całkowitych, ale można je udowodnić na podstawie danych podstawowych właściwości lub bezpośrednio przez definicję jakiegoś obiektu matematycznego . Takich dodatkowych właściwości jest mnóstwo. Warto tutaj wymienić tylko kilka z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Przeliczalność zbioru

Numerowanie liczb wymiernych

Aby oszacować liczbę liczb wymiernych, musisz znaleźć liczność ich zbioru. Łatwo jest udowodnić, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Aby to zrobić, wystarczy podać algorytm wyliczający liczby wymierne, czyli ustalający bijekcję pomiędzy zbiorami liczb wymiernych i naturalnych.

Najprostszy z tych algorytmów wygląda następująco. Tworzony jest nieskończony stół zwykłe ułamki, na każdym I-ta linia w każdym J kolumna, w której znajduje się ułamek. Dla pewności przyjmuje się, że wiersze i kolumny tej tabeli są numerowane począwszy od jednego. Komórki tabeli są oznaczone , gdzie I- numer wiersza tabeli, w którym znajduje się komórka, oraz J- numer kolumny.

Po tabeli wynikowej porusza się „wężem” zgodnie z następującym algorytmem formalnym.

Reguły te są przeszukiwane od góry do dołu, a następna pozycja jest wybierana na podstawie pierwszego dopasowania.

W procesie takiego przechodzenia każda nowa liczba wymierna jest powiązana z inną Liczba naturalna. Oznacza to, że ułamek 1/1 jest przypisany do liczby 1, ułamek 2/1 do liczby 2 itd. Należy zauważyć, że numerowane są tylko ułamki nieredukowalne. Formalnym znakiem nieredukowalności jest to, że największy wspólny dzielnik licznika i mianownika ułamka jest równy jeden.

Kierując się tym algorytmem, możemy wyliczyć wszystkie dodatnie liczby wymierne. Oznacza to, że zbiór dodatnich liczb wymiernych jest przeliczalny. Łatwo jest ustalić bijekcję między zbiorami dodatnich i ujemnych liczb wymiernych, po prostu przypisując każdej liczbie wymiernej jej przeciwieństwo. To. zbiór ujemnych liczb wymiernych jest również przeliczalny. Ich suma jest również przeliczalna na podstawie właściwości zbiorów przeliczalnych. Zbiór liczb wymiernych jest również przeliczalny jako suma zbioru przeliczalnego ze skończonym.

Stwierdzenie o przeliczalności zbioru liczb wymiernych może wywołać pewne zamieszanie, gdyż na pierwszy rzut oka wydaje się, że jest ono znacznie obszerniejsze niż zbiór liczb naturalnych. W rzeczywistości tak nie jest i liczb naturalnych jest wystarczająco dużo, aby wyliczyć wszystkie wymierne.

Brak liczb wymiernych

Przeciwprostokątnej takiego trójkąta nie można wyrazić żadną Liczba wymierna

Liczby wymierne postaci 1 / N na wolności N można zmierzyć dowolnie małe ilości. Fakt ten stwarza mylne wrażenie, że liczbami wymiernymi można mierzyć dowolne odległości geometryczne. Łatwo wykazać, że to nieprawda.

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wyraża się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego nóg. To. długość przeciwprostokątnej równoramiennej trójkąt prostokątny z nogą jednostkową jest równa, tj. liczbie, której kwadrat wynosi 2.

Jeśli założymy, że liczbę można przedstawić za pomocą jakiejś liczby wymiernej, to istnieje taka liczba całkowita M i taka liczba naturalna N, że , i ułamek jest nieredukowalny, tj. liczby M I N- wzajemnie proste.

Jeśli następnie , tj. M 2 = 2N 2. Dlatego liczba M 2 jest parzyste, ale iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest nieparzysty, co oznacza, że ​​sama liczba M również równo. Zatem istnieje liczba naturalna k, tak że liczba M można przedstawić w postaci M = 2k. Kwadrat liczbowy M W tym sensie M 2 = 4k 2, ale z drugiej strony M 2 = 2N 2 oznacza 4 k 2 = 2N 2 lub N 2 = 2k 2. Jak pokazano wcześniej dla liczby M, oznacza to, że liczba N- nawet jak M. Ale wtedy nie są one względnie pierwsze, ponieważ oba są podzielone na pół. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że nie jest to liczba wymierna.

Ułamek niewłaściwy

Mieszkanie

1. Porządek. A I B istnieje reguła, która pozwala jednoznacznie zidentyfikować jedną i tylko jedną z trzech relacji między nimi: „< », « >" lub " = ". Zasada ta nazywa się reguła zamawiania i jest sformułowany w następujący sposób: dwie liczby nieujemne i są powiązane tą samą relacją, co dwie liczby całkowite i ; dwie liczby niedodatnie A I B są powiązane tą samą zależnością co dwie liczby nieujemne i ; jeśli nagle A nieujemne, ale B- w takim razie negatywny A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Dodawanie ułamków

2. Operacja dodawania. Dla dowolnych liczb wymiernych A I B istnieje tzw reguła sumowania C. Co więcej, sam numer C zwany kwota liczby A I B i jest oznaczony przez , a proces znajdowania takiej liczby nazywa się podsumowanie. Reguła sumowania ma następującą postać: .
3. Operacja mnożenia. Dla dowolnych liczb wymiernych A I B istnieje tzw reguła mnożenia, co przypisuje im pewną liczbę wymierną C. Co więcej, sam numer C zwany praca liczby A I B i jest oznaczony przez , a proces znajdowania takiej liczby nazywany jest również mnożenie. Reguła mnożenia wygląda następująco: .
4. Przechodniość relacji porządku. Dla dowolnej trójki liczb wymiernych A , B I C Jeśli A mniej B I B mniej C, To A mniej C, i jeśli A równa się B I B równa się C, To A równa się C. 6435">Przemienność dodawania. Zmiana miejsc wyrazów wymiernych nie powoduje zmiany sumy.
5. Łączność dodawania. Kolejność dodawania trzech liczb wymiernych nie ma wpływu na wynik.
6. Obecność zera. Istnieje liczba wymierna 0, która po dodaniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
7. Obecność liczb przeciwnych. Każda liczba wymierna ma przeciwną liczbę wymierną, która po dodaniu do daje 0.
8. Przemienność mnożenia. Zmiana miejsc czynników wymiernych nie zmienia produktu.
9. Łączność mnożenia. Kolejność mnożenia trzech liczb wymiernych nie ma wpływu na wynik.
10. Dostępność jednostki. Istnieje liczba wymierna 1, która po pomnożeniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.
11. Obecność liczb odwrotnych. Każda liczba wymierna ma odwrotną liczbę wymierną, która pomnożona przez daje 1.
12. Rozdzielność mnożenia względem dodawania. Operację mnożenia koordynuje się z operacją dodawania poprzez prawo podziału:
13. Powiązanie relacji porządku z operacją dodawania. Tę samą liczbę wymierną można dodać do lewej i prawej strony nierówności wymiernej. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksjomat Archimedesa. Jakakolwiek liczba wymierna A, możesz wziąć tyle jednostek, że ich suma przekracza A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Dodatkowe właściwości

Wszystkie inne właściwości właściwe liczbom wymiernym nie są wyróżniane jako podstawowe, ponieważ, ogólnie rzecz biorąc, nie opierają się już bezpośrednio na własnościach liczb całkowitych, ale można je udowodnić na podstawie danych podstawowych właściwości lub bezpośrednio przez definicję jakiegoś obiektu matematycznego . Takich dodatkowych właściwości jest mnóstwo. Warto tutaj wymienić tylko kilka z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Przeliczalność zbioru

Numerowanie liczb wymiernych

Aby oszacować liczbę liczb wymiernych, musisz znaleźć liczność ich zbioru. Łatwo jest udowodnić, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Aby to zrobić, wystarczy podać algorytm wyliczający liczby wymierne, czyli ustalający bijekcję pomiędzy zbiorami liczb wymiernych i naturalnych.

Najprostszy z tych algorytmów wygląda następująco. Na każdym z nich tworzona jest nieskończona tabela ułamków zwykłych I-ta linia w każdym J kolumna, w której znajduje się ułamek. Dla pewności przyjmuje się, że wiersze i kolumny tej tabeli są numerowane począwszy od jednego. Komórki tabeli są oznaczone , gdzie I- numer wiersza tabeli, w którym znajduje się komórka, oraz J- numer kolumny.

Po tabeli wynikowej porusza się „wężem” zgodnie z następującym algorytmem formalnym.

Reguły te są przeszukiwane od góry do dołu, a następna pozycja jest wybierana na podstawie pierwszego dopasowania.

W procesie takiego przechodzenia każda nowa liczba wymierna jest kojarzona z inną liczbą naturalną. Oznacza to, że ułamek 1/1 jest przypisany do liczby 1, ułamek 2/1 do liczby 2 itd. Należy zauważyć, że numerowane są tylko ułamki nieredukowalne. Formalnym znakiem nieredukowalności jest to, że największy wspólny dzielnik licznika i mianownika ułamka jest równy jeden.

Kierując się tym algorytmem, możemy wyliczyć wszystkie dodatnie liczby wymierne. Oznacza to, że zbiór dodatnich liczb wymiernych jest przeliczalny. Łatwo jest ustalić bijekcję między zbiorami dodatnich i ujemnych liczb wymiernych, po prostu przypisując każdej liczbie wymiernej jej przeciwieństwo. To. zbiór ujemnych liczb wymiernych jest również przeliczalny. Ich suma jest również przeliczalna na podstawie właściwości zbiorów przeliczalnych. Zbiór liczb wymiernych jest również przeliczalny jako suma zbioru przeliczalnego ze skończonym.

Stwierdzenie o przeliczalności zbioru liczb wymiernych może wywołać pewne zamieszanie, gdyż na pierwszy rzut oka wydaje się, że jest ono znacznie obszerniejsze niż zbiór liczb naturalnych. W rzeczywistości tak nie jest i liczb naturalnych jest wystarczająco dużo, aby wyliczyć wszystkie wymierne.

Brak liczb wymiernych

Przeciwprostokątnej takiego trójkąta nie można wyrazić żadną liczbą wymierną

Liczby wymierne postaci 1 / N na wolności N można zmierzyć dowolnie małe ilości. Fakt ten stwarza mylne wrażenie, że liczbami wymiernymi można mierzyć dowolne odległości geometryczne. Łatwo wykazać, że to nieprawda.

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wyraża się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego nóg. To. długość przeciwprostokątnej trójkąta równoramiennego o odnodze jednostkowej jest równa , tj. liczbie, której kwadrat wynosi 2.

Jeśli założymy, że liczbę można przedstawić za pomocą jakiejś liczby wymiernej, to istnieje taka liczba całkowita M i taka liczba naturalna N, że , i ułamek jest nieredukowalny, tj. liczby M I N- wzajemnie proste.