Jaka jest średnia arytmetyczna liczb? Co to jest średnia arytmetyczna? Jak znaleźć średnią arytmetyczną

Odpowiedź: każdy dostał 4 gruszki.

Przykład 2. Na kursy po angielsku w poniedziałek przyszło 15 osób, we wtorek – 10, w środę – 12, w czwartek – 11, w piątek – 7, w sobotę – 14, w niedzielę – 8. Znajdź średnią frekwencję na kursach w tygodniu.
Rozwiązanie: Znajdźmy średnią arytmetyczną:

15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8	=	77	= 11
7		7

Odpowiedź:Średnio ludzie uczestniczyli w kursach języka angielskiego 11 osoba dziennie.

Przykład 3. Kierowca jechał przez dwie godziny z prędkością 120 km/h i godzinę z prędkością 90 km/h. Znajdź średnią prędkość samochodu podczas wyścigu.
Rozwiązanie: Znajdźmy średnią arytmetyczną prędkości samochodów na każdą godzinę jazdy:

120 + 120 + 90	=	330	= 110
3		3

Odpowiedź:średnia prędkość samochodu podczas wyścigu wyniosła 110 kilometrów na godzinę

Przykład 4. Średnia arytmetyczna 3 liczb wynosi 6, a średnia arytmetyczna 7 innych liczb to 3. Jaka jest średnia arytmetyczna tych dziesięciu liczb?
Rozwiązanie: Ponieważ średnia arytmetyczna 3 liczb wynosi 6, ich suma wynosi 6 3 = 18, podobnie suma pozostałych 7 liczb wynosi 7 3 = 21.
Oznacza to, że suma wszystkich 10 liczb będzie wynosić 18 + 21 = 39, a średnia arytmetyczna będzie równa

39	= 3.9
10

Odpowiedź:średnia arytmetyczna z 10 liczb wynosi 3.9 .

Gubi się w obliczaniu średniej.

Przeciętny oznaczający zbiór liczb jest równy sumie liczb S podzielonej przez liczbę tych liczb. To znaczy, okazuje się, że przeciętny oznaczający równa się: 19/4 = 4,75.

notatka

Jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną tylko dla dwóch liczb, nie potrzebujesz kalkulatora inżynierskiego: weź drugi pierwiastek ( Pierwiastek kwadratowy) z dowolnej liczby można wykonać za pomocą najzwyklejszego kalkulatora.

Pomocna rada

W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, na średnią geometryczną nie wpływają tak silnie duże odchylenia i wahania pomiędzy poszczególnymi wartościami w zbiorze badanych wskaźników.

Źródła:

• Kalkulator online obliczający średnią geometryczną
• przeciętny wzór geometryczny

Przeciętny wartość jest jedną z cech zbioru liczb. Reprezentuje liczbę, która nie może znajdować się poza zakresem określonym przez największy i najniższe wartości w tym zestawie liczb. Przeciętny Wartość arytmetyczna jest najczęściej używanym typem średniej.

Instrukcje

Dodaj wszystkie liczby w zestawie i podziel je przez liczbę wyrazów, aby otrzymać średnią arytmetyczną. W zależności od konkretnych warunków obliczeń czasami łatwiej jest podzielić każdą z liczb przez liczbę wartości w zestawie i zsumować wynik.

Użyj na przykład zawartego w systemie operacyjnym Windows, jeśli nie da się obliczyć średniej arytmetycznej w głowie. Można go otworzyć za pomocą okna dialogowego uruchamiania programu. Aby to zrobić, naciśnij klawisze skrótu WIN + R lub kliknij przycisk Start i wybierz Uruchom z menu głównego. Następnie wpisz calc w polu wejściowym i naciśnij klawisz Enter lub kliknij przycisk OK. To samo można zrobić za pomocą menu głównego - otwórz je, przejdź do sekcji „Wszystkie programy”, a następnie w sekcji „Standard” i wybierz wiersz „Kalkulator”.

Wprowadź kolejno wszystkie liczby w zestawie, naciskając klawisz Plus po każdej z nich (oprócz ostatniej) lub klikając odpowiedni przycisk w interfejsie kalkulatora. Liczby można także wprowadzać z klawiatury lub klikając odpowiednie przyciski interfejsu.

Naciśnij klawisz ukośnika lub kliknij tę opcję w interfejsie kalkulatora po wprowadzeniu ostatniej ustawionej wartości i wpisz liczbę cyfr w sekwencji. Następnie naciśnij znak równości, a kalkulator obliczy i wyświetli średnią arytmetyczną.

W tym samym celu możesz użyć edytora tabel. Microsoft Excel. W takim przypadku uruchom edytor i wprowadź wszystkie wartości ciągu liczb do sąsiednich komórek. Jeśli po wpisaniu każdej liczby naciśniesz klawisz Enter lub klawisz strzałki w dół lub w prawo, edytor sam przeniesie fokus wejściowy do sąsiedniej komórki.

Kliknij komórkę obok ostatnio wprowadzonej liczby, jeśli nie chcesz wyświetlać tylko średniej. Rozwiń menu rozwijane greckiej sigma (Σ) dla poleceń Edytuj na karcie Narzędzia główne. Wybierz linię „ Przeciętny", a edytor wstawi do wybranej komórki żądany wzór na obliczenie średniej arytmetycznej. Naciśnij klawisz Enter, a wartość zostanie obliczona.

Średnia arytmetyczna jest jedną z miar tendencji centralnej, szeroko stosowaną w matematyce i obliczeniach statystycznych. Znajdź średnią liczba arytmetyczna dla kilku wartości jest to bardzo proste, ale każde zadanie ma swoje własne niuanse, które po prostu trzeba znać, aby wykonać prawidłowe obliczenia.

Co to jest średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna określa średnią wartość całej oryginalnej tablicy liczb. Innymi słowy, z pewnego zbioru liczb wybierana jest wartość wspólna dla wszystkich elementów, porównanie matematyczne który dla wszystkich elementów ma w przybliżeniu równy charakter. Średnia arytmetyczna jest używana przede wszystkim przy sporządzaniu sprawozdań finansowych i raporty statystyczne lub do obliczenia wyników podobnych eksperymentów.

Jak znaleźć średnią arytmetyczną

Znalezienie średniej arytmetycznej tablicy liczb należy rozpocząć od ustalenia sumy algebraicznej tych wartości. Przykładowo, jeśli w tablicy znajdują się liczby 23, 43, 10, 74 i 34, to ich suma algebraiczna będzie równa 184. Podczas zapisu średnią arytmetyczną oznaczamy literą μ (mu) lub x (x ze znakiem bar). Następnie sumę algebraiczną należy podzielić przez liczbę liczb w tablicy. W rozważanym przykładzie było pięć liczb, zatem średnia arytmetyczna wyniesie 184/5 i wyniesie 36,8.

Funkcje pracy z liczbami ujemnymi

Jeśli tablica zawiera liczby ujemne, wówczas średnią arytmetyczną oblicza się przy użyciu podobnego algorytmu. Różnica istnieje tylko podczas obliczeń w środowisku programistycznym lub jeśli problem ma dodatkowe warunki. W takich przypadkach znalezienie średniej arytmetycznej liczb za pomocą różne znaki sprowadza się do trzech kroków:

1. Wyznaczanie ogólnej średniej arytmetycznej metodą standardową;
2. Znajdowanie średniej arytmetycznej liczb ujemnych.
3. Obliczanie średniej arytmetycznej liczb dodatnich.

Odpowiedzi dla każdej akcji są zapisywane oddzielone przecinkami.

Ułamki naturalne i dziesiętne

Jeśli prezentowana jest tablica liczb miejsca dziesiętne, rozwiązanie przeprowadza się metodą obliczania średniej arytmetycznej liczb całkowitych, ale wynik jest zmniejszany zgodnie z wymaganiami problemu dotyczącymi dokładności odpowiedzi.

Podczas pracy z frakcje naturalne należy je sprowadzić do wspólnego mianownika, który należy pomnożyć przez liczbę liczb w tablicy. Licznik odpowiedzi będzie sumą podanych liczników pierwotnych elementów ułamkowych.

Kalkulator inżynieryjny.

Instrukcje

Należy pamiętać, że ogólnie średnią geometryczną liczb oblicza się, mnożąc te liczby i pobierając z nich pierwiastek mocy, który odpowiada liczbie liczb. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną pięciu liczb, musisz wyodrębnić pierwiastek mocy z iloczynu.

Aby znaleźć średnią geometryczną dwóch liczb, skorzystaj z podstawowej zasady. Znajdź ich produkt, a następnie weź z niego pierwiastek kwadratowy, ponieważ liczba wynosi dwa, co odpowiada mocy pierwiastka. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną liczb 16 i 4, znajdź ich iloczyn 16 4=64. Z otrzymanej liczby wyodrębnij pierwiastek kwadratowy √64=8. Będzie to pożądana wartość. Należy pamiętać, że średnia arytmetyczna tych dwóch liczb jest większa i równa 10. Jeżeli nie zostanie wyodrębniony cały pierwiastek, wynik zaokrąglij do żądanej kolejności.

Aby znaleźć średnią geometryczną więcej niż dwóch liczb, skorzystaj również z podstawowej zasady. Aby to zrobić, znajdź iloczyn wszystkich liczb, dla których musisz znaleźć średnią geometryczną. Z powstałego produktu wyodrębnij pierwiastek mocy równej liczbie liczb. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną liczb 2, 4 i 64, znajdź ich iloczyn. 2 4 64=512. Ponieważ musisz znaleźć wynik średniej geometrycznej trzech liczb, weź trzeci pierwiastek z iloczynu. Trudno to zrobić ustnie, dlatego użyj kalkulatora inżynierskiego. W tym celu posiada przycisk „x^y”. Wybierz numer 512, naciśnij przycisk „x^y”, następnie wybierz cyfrę 3 i naciśnij przycisk „1/x”, aby znaleźć wartość 1/3, naciśnij przycisk „=”. Otrzymujemy wynik podniesienia 512 do potęgi 1/3, co odpowiada trzeciemu pierwiastkowi. Uzyskaj 512^1/3=8. Jest to średnia geometryczna liczb 2,4 i 64.

Za pomocą kalkulatora inżynierskiego możesz znaleźć średnią geometryczną w inny sposób. Znajdź przycisk dziennika na klawiaturze. Następnie weź logarytm dla każdej z liczb, znajdź ich sumę i podziel ją przez liczbę liczb. Z otrzymanej liczby weź antylogarytm. Będzie to średnia geometryczna liczb. Na przykład, aby znaleźć średnią geometryczną tych samych liczb 2, 4 i 64, wykonaj zestaw operacji na kalkulatorze. Wybierz numer 2, następnie naciśnij przycisk log, naciśnij przycisk „+”, wybierz numer 4 i naciśnij log i ponownie „+”, wybierz 64, naciśnij log i „=”. Wynikiem będzie liczba równa sumie logarytmy dziesiętne liczby 2, 4 i 64. Otrzymaną liczbę podziel przez 3, ponieważ jest to liczba liczb, dla których szukana jest średnia geometryczna. Z wyniku weź antylogarytm, przełączając przycisk wielkości liter i użyj tego samego klucza dziennika. Wynikiem będzie liczba 8, jest to pożądana średnia geometryczna.

Przede wszystkim w eq. W praktyce musimy posługiwać się średnią arytmetyczną, którą można obliczyć jako prostą i ważoną średnią arytmetyczną.

Średnia arytmetyczna (SA)-N Najpopularniejszy typ średniej. Stosuje się go w przypadkach, gdy objętość zmiennej cechy dla całej populacji jest sumą wartości cech jej poszczególnych jednostek. Zjawiska społeczne charakteryzują się addytywnością (całością) objętości o zmiennej charakterystyce, co wyznacza zakres stosowania SA i wyjaśnia jego rozpowszechnienie jako wskaźnik ogólny, przykładowo: powszechny fundusz wynagrodzeń to suma wynagrodzeń wszystkich pracowników.

Aby obliczyć SA, należy podzielić sumę wartości wszystkich cech przez ich liczbę. SA jest używany w 2 formach.

Rozważmy najpierw prostą średnią arytmetyczną.

1-CA proste (forma początkowa, określająca) jest równa prostej sumie poszczególnych wartości uśrednianej cechy podzielonej przez całkowitą liczbę tych wartości (stosowane, gdy istnieją niezgrupowane wartości indeksów cechy):

Dokonane obliczenia można uogólnić do następującego wzoru:

(1)

Gdzie - średnia wartość zmiennej charakterystyki, czyli prosta średnia arytmetyczna;

oznacza sumowanie, czyli dodanie poszczególnych cech;

X- indywidualne wartości o zmiennej charakterystyce, które nazywane są wariantami;

N - liczba jednostek populacji

Przykład 1, należy obliczyć średnią wydajność jednego robotnika (mechanika), jeśli wiadomo, ile części wyprodukował każdy z 15 pracowników, tj. biorąc pod uwagę serię ind. wartości atrybutów, szt.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Simple SA oblicza się ze wzoru (1), szt.:

Przykład2. Obliczmy SA na podstawie danych warunkowych dla 20 sklepów wchodzących w skład spółki handlowej (tabela 1). Tabela 1

Rozkład sklepów firmy handlowej „Vesna” według powierzchni sprzedaży mkw. M

Numer sklepu		Numer sklepu

Aby obliczyć średnią powierzchnię sklepu ( ) należy zsumować powierzchnie wszystkich sklepów i wynik podzielić przez liczbę sklepów:

Tym samym średnia powierzchnia sklepów dla tej grupy przedsiębiorstw detalicznych wynosi 71 mkw.

Dlatego, aby wyznaczyć prosty SA, należy podzielić sumę wszystkich wartości danego atrybutu przez liczbę jednostek posiadających ten atrybut.

2

Gdzie F 1 , F 2 , … ,F N – waga (częstotliwość powtarzania identycznych znaków);

– suma iloczynów wielkości cech i ich częstotliwości;

– całkowita liczba jednostek populacji.

- SA ważone - ZŚrodek opcji, które powtarzają się różną ilość razy lub, jak to się mówi, mają różną wagę. Wagi to liczba jednostek w różne grupy agregaty (identyczne opcje są łączone w grupę). SA ważone – średnia zgrupowanych wartości X 1 , X 2 , .., X N, – obliczony: (2)

Gdzie X- opcje;

F- częstotliwość (waga).

Ważony SA jest ilorazem sumy iloczynów opcji i odpowiadających im częstotliwości przez sumę wszystkich częstotliwości. Częstotliwości ( F) występujące we wzorze SA są zwykle nazywane waga, w wyniku czego SA obliczony z uwzględnieniem wag nazywany jest ważonym.

Technikę obliczania ważonego SA zilustrujemy na omówionym powyżej przykładzie 1. W tym celu zgrupujemy dane wyjściowe i umieścimy je w tabeli.

Średnią z pogrupowanych danych wyznacza się w następujący sposób: najpierw mnoży się opcje przez częstotliwości, następnie dodaje się iloczyny i otrzymaną sumę dzieli się przez sumę częstotliwości.

Zgodnie ze wzorem (2) ważony SA jest równy szt.:

Rozmieszczenie pracowników do produkcji części

P

Dane przedstawione w poprzednim przykładzie 2 można połączyć w jednorodne grupy, które przedstawiono w tabeli. Tabela

Rozkład sklepów Vesna według powierzchni sprzedaży mkw. M

Zatem wynik był taki sam. Będzie to jednak już ważona średnia wartość arytmetyczna.

W poprzednim przykładzie obliczyliśmy średnią arytmetyczną pod warunkiem, że znane są częstotliwości bezwzględne (liczba sklepów). Jednak w wielu przypadkach nie ma częstotliwości bezwzględnych, ale znane są częstotliwości względne lub, jak się je powszechnie nazywa, częstotliwości, które pokazują proporcję lub proporcja częstotliwości w całym zestawie.

Przy obliczaniu wykorzystania ważonego SA częstotliwości pozwala uprościć obliczenia, gdy częstotliwość wyrażona jest dużymi, wielocyfrowymi liczbami. Obliczeń dokonuje się jednak w ten sam sposób, ponieważ okazuje się, że średnia wartość wzrosła 100-krotnie, wynik należy podzielić przez 100.

Wtedy wzór na średnią arytmetyczną ważoną będzie wyglądał następująco:

Gdzie D- częstotliwość, tj. udział każdej częstotliwości w całkowitej sumie wszystkich częstotliwości.

(3)

W naszym przykładzie 2 najpierw określamy udział sklepów według grup w ogólnej liczbie sklepów firmy Vesna. Tak więc dla pierwszej grupy ciężar właściwy odpowiada 10%
. Otrzymujemy następujące dane Tabela 3

Ponieważ liczba elementów zbioru liczb ma tendencję stacjonarny proces losowyśrednia arytmetyczna dąży do nieskończoności oczekiwanie matematyczne zmienna losowa.

Wstęp

Oznaczmy zbiór liczb X = (X 1 , X 2 , …, X N), wówczas średnia próbki jest zwykle wskazywana przez poziomą kreskę nad zmienną (wymawiane „ X z linią”).

Zwykle używa się go do oznaczenia średniej arytmetycznej całego zbioru liczb grecka litera μ. Dla zmienna losowa, dla którego wyznacza się wartość średnią, μ is średnia probabilistyczna Lub wartość oczekiwana zmienna losowa. Jeśli zestaw X jest kolekcją losowe liczby ze średnią probabilistyczną μ, a następnie dla dowolnej próbki X I z tego zbioru μ = E( X I) Jest wartość oczekiwana tę próbkę.

W praktyce różnica między μ i x ¯ (\ Displaystyle (\ bar (x))) jest to, że μ jest typową zmienną, ponieważ można zobaczyć próbkę, a nie całość ogólna populacja. Zatem jeśli próbka jest losowa (z punktu widzenia teorii prawdopodobieństwa), to x ¯ (\ Displaystyle (\ bar (x)))(ale nie μ) można interpretować jako zmienna losowa, mając rozkład prawdopodobieństwa na próbie (rozkład prawdopodobieństwa średniej).

Obie te wielkości oblicza się w ten sam sposób:

x ¯ = 1 n ∑ ja = 1 n x ja = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\ Displaystyle (\ bar (x)) = (\ Frac (1) (n)) \ suma _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ Frac (1) (n)) (x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Przykłady

• W przypadku trzech liczb musisz je dodać i podzielić przez 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\ Displaystyle (\ Frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)

• Dla cztery liczby musisz je dodać i podzielić przez 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\ Displaystyle (\ Frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

Ciągła zmienna losowa

Jeśli istnieje całka jakiejś funkcji fa (x) (\ displaystyle f (x)) jedną zmienną, a następnie średnią arytmetyczną tej funkcji na odcinku [A; b ] (\ displaystyle) zdeterminowany przez określona całka :

fa (x) ¯ [ za ; b ] = 1 b - za ∫ za b fa (x) re x . (\ Displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ Frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)

To o to tu chodzi b > a . (\ displaystyle b> a.)

Niektóre problemy ze stosowaniem średniej

Brak solidności

Chociaż średnie arytmetyczne są często używane jako średnie lub tendencje centralne, koncepcja ta nie jest solidną statystyką, co oznacza, że ​​na średnią arytmetyczną duży wpływ mają „duże odchylenia”. Warto zauważyć, że w przypadku dystrybucji z dużymi współczynnik asymetriiśrednia arytmetyczna może nie odpowiadać pojęciu „średniej”, ale wartości średniej z solidnych statystyk (na przykład mediana) może lepiej opisywać tendencję centralną.

Klasycznym przykładem jest obliczanie średniego dochodu. Średnią arytmetyczną można błędnie zinterpretować jako mediany, co może prowadzić do wniosku, że osób o wysokich dochodach jest więcej niż faktycznie. „Przeciętny” dochód interpretuje się w ten sposób, że większość ludzi ma dochody w okolicach tej liczby. Ten „przeciętny” (w sensie średniej arytmetycznej) dochód jest wyższy od dochodów większości ludzi, gdyż wysoki dochód przy dużym odchyleniu od średniej powoduje, że średnia arytmetyczna jest mocno wypaczona (w przeciwieństwie do przeciętnego dochodu na medianie „przeciwstawia się” takiemu zniekształceniu). Jednak ten „przeciętny” dochód nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu średniego dochodu (i nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu dochodu modalnego). Jeśli jednak lekceważyć pojęcia „przeciętny” i „większość ludzi”, można wyciągnąć błędny wniosek, że większość ludzi ma dochody wyższe niż w rzeczywistości. Na przykład raport na temat „średniego” dochodu netto w Medynie w stanie Waszyngton obliczona jako średnia arytmetyczna wszystkich rocznych dochodów netto mieszkańców, da zaskakująco dużą liczbę ze względu na Billa Gatesa. Rozważ próbkę (1, 2, 2, 2, 3, 9). Średnia arytmetyczna wynosi 3,17, ale pięć z sześciu wartości jest poniżej tej średniej.

Odsetki składane

Jeśli liczby zwielokrotniać, ale nie zginać, potrzebuję użyć Średnia geometryczna, a nie średnia arytmetyczna. Najczęściej ten incydent ma miejsce podczas obliczeń zwrot z inwestycji w finansach.

Na przykład, jeśli akcje spadły o 10% w pierwszym roku i wzrosły o 30% w drugim, wówczas błędne jest obliczanie „średniego” wzrostu w ciągu tych dwóch lat jako średniej arytmetycznej (-10% + 30%) / 2 = 10%; poprawną średnią w tym przypadku podaje złożona roczna stopa wzrostu, która daje roczną stopę wzrostu tylko około 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Dzieje się tak dlatego, że procenty za każdym razem mają nowy punkt wyjścia: 30% to 30% od liczby mniejszej niż cena na początku pierwszego roku: jeśli akcja zaczynała się od 30 dolarów i spadła o 10%, na początku drugiego roku jest warta 27 dolarów. Gdyby akcje wzrosły o 30%, na koniec drugiego roku byłyby warte 35,1 dolara. Średnia arytmetyczna tego wzrostu wynosi 10%, ale ponieważ akcje wzrosły zaledwie o 5,1 dolara w ciągu 2 lat, Średnia wysokość daje 8,2% ostateczny wynik $35.1:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Jeśli w ten sam sposób użyjemy średniej arytmetycznej wynoszącej 10%, nie otrzymamy rzeczywistej wartości: [30 dolarów (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 dolarów].

Oprocentowanie składane na koniec 2 lat: 90% * 130% = 117%, czyli łączny wzrost wynosi 17%, a średnioroczne oprocentowanie składane 117% ≈ 108,2% (\ Displaystyle (\ sqrt (117 \ %)) \ około 108,2 \%), czyli średnioroczny wzrost o 8,2%.

Wskazówki

Główny artykuł: Statystyki miejsc docelowych

Przy obliczaniu średniej wartości arytmetyczne pewna zmienna, która zmienia się cyklicznie (na przykład faza lub narożnik), należy zachować szczególną ostrożność. Na przykład średnia będzie wynosić 1 i 359 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ Displaystyle (\ Frac (1 ^ (\ circ) + 359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180. Liczba ta jest błędna z dwóch powodów.

Wartość średnia dla zmiennej cyklicznej obliczona według powyższego wzoru zostanie sztucznie przesunięta w stosunku do średniej rzeczywistej w stronę środka zakresu liczbowego. Z tego powodu średnią oblicza się w inny sposób, a mianowicie liczbę o najmniejszej wariancji ( środek). Ponadto zamiast odejmowania stosowana jest odległość modułowa (czyli odległość obwodowa). Przykładowo odległość modułowa pomiędzy 1° a 359° wynosi 2°, a nie 358° (na okręgu pomiędzy 359° a 360°==0° - jeden stopień, pomiędzy 0° a 1° - łącznie także 1° - 2°).