Ułamki zwykłe, ułamki zwykłe, definicje, oznaczenia, przykłady, działania na ułamkach. Niewłaściwe ułamki: jak nauczyć się rozwiązywać z nimi przykłady

Ten artykuł jest o ułamki zwykłe. Tutaj wprowadzimy pojęcie ułamka całości, co doprowadzi nas do definicji ułamka zwykłego. Następnie zatrzymamy się na przyjętym zapisie ułamków zwykłych i podamy przykłady ułamków, powiedzmy o liczniku i mianowniku ułamka. Następnie podamy definicje ułamków właściwych i niewłaściwych, dodatnich i ujemnych, a także rozważymy położenie liczb ułamkowych na promień współrzędnych. Podsumowując, podajemy główne operacje na ułamkach.

Nawigacja strony.

Udziały całości

Najpierw przedstawiamy koncepcja udziału.

Załóżmy, że mamy jakiś obiekt złożony z kilku absolutnie identycznych (tj. równych) części. Dla jasności możesz sobie wyobrazić na przykład jabłko pokrojone na kilka równych części lub pomarańczę składającą się z kilku równych plasterków. Każda z tych równych części tworzących cały obiekt nazywa się części całości lub po prostu Akcje.

Należy pamiętać, że udziały są różne. Wyjaśnijmy to. Zjedzmy dwa jabłka. Pierwsze jabłko pokroić na dwie równe części, drugie na 6 równych części. Oczywiste jest, że udział pierwszego jabłka będzie inny niż udział drugiego jabłka.

W zależności od liczby udziałów tworzących cały obiekt, udziały te mają swoje własne nazwy. Uporządkujmy to nazwy uderzeń. Jeśli przedmiot składa się z dwóch części, każdą z nich nazywa się jedną drugą częścią całego przedmiotu; jeśli przedmiot składa się z trzech części, wówczas każdą z nich nazywa się jedną trzecią części i tak dalej.

Jedna druga akcja ma specjalną nazwę - połowa. Jedna trzecia jest nazywana trzeci i jedna czwarta część - ćwiartka.

Dla zachowania zwięzłości wprowadzono: pokonać symbole. Jedna druga część jest oznaczona jako lub 1/2, jedna trzecia część jest oznaczona jako lub 1/3; jedna czwarta udziału - jak lub 1/4 i tak dalej. Należy zauważyć, że częściej używa się zapisu z poziomą kreską. Dla ugruntowania materiału podamy jeszcze jeden przykład: hasło oznacza sto sześćdziesiątą siódmą część całości.

Pojęcie udziału w naturalny sposób rozciąga się od przedmiotów do ilości. Na przykład jedną z miar długości jest metr. Aby zmierzyć długości krótsze niż metr, można użyć ułamków metra. Możesz więc użyć na przykład pół metra lub dziesiątej lub tysięcznej części metra. Udziały pozostałych ilości stosuje się analogicznie.

Ułamki zwykłe, definicja i przykłady ułamków zwykłych

Aby opisać liczbę udziałów, których używamy ułamki zwykłe. Podajmy przykład, który pozwoli nam zbliżyć się do definicji ułamków zwyczajnych.

Niech pomarańcza będzie składać się z 12 części. Każda część w tym przypadku reprezentuje jedną dwunastą całej pomarańczy, czyli . Oznaczamy dwa uderzenia jako , trzy uderzenia jako , i tak dalej, 12 uderzeń oznaczamy jako . Każdy z podanych zapisów nazywany jest ułamkiem zwykłym.

Teraz dajmy generała definicja ułamków zwykłych.

Wyraźna definicja ułamków zwykłych pozwala nam dawać przykłady ułamków zwykłych: 5/10, , 21/1, 9/4, . A oto zapisy nie pasują do podanej definicji ułamków zwykłych, to znaczy nie są ułamkami zwykłymi.

Licznik i mianownik

Dla wygody rozróżnia się ułamki zwykłe licznik i mianownik.

Definicja.

Licznik ułamka ułamek zwyczajny (m/n) to liczba naturalna m.

Definicja.

Mianownik ułamek zwykły (m/n) to liczba naturalna n.

Zatem licznik znajduje się powyżej linii ułamkowej (na lewo od ukośnika), a mianownik znajduje się poniżej linii ułamkowej (na prawo od ukośnika). Weźmy na przykład ułamek zwykły 17/29, licznikiem tego ułamka jest liczba 17, a mianownikiem jest liczba 29.

Pozostaje omówić znaczenie zawarte w liczniku i mianowniku ułamka zwykłego. Mianownik ułamka pokazuje, z ilu części składa się jeden przedmiot, a licznik z kolei wskazuje liczbę takich udziałów. Przykładowo mianownik 5 ułamka 12/5 oznacza, że ​​jeden przedmiot składa się z pięciu udziałów, a licznik 12 oznacza, że ​​pobieranych jest 12 takich udziałów.

Liczba naturalna jako ułamek o mianowniku 1

Mianownik ułamka zwykłego może być równy jeden. W tym przypadku możemy uznać, że przedmiot jest niepodzielny, innymi słowy reprezentuje coś całości. Licznik takiego ułamka wskazuje, ile całych obiektów zostało wziętych. Zatem, ułamek wspólny postaci m/1 ma znaczenie liczby naturalnej m. W ten sposób uzasadniliśmy słuszność równości m/1=m.

Przepiszmy ostatnią równość następująco: m=m/1. Ta równość pozwala nam przedstawić dowolną liczbę naturalną m jako ułamek zwykły. Na przykład liczba 4 to ułamek 4/1, a liczba 103 498 jest równa ułamkowi 103 498/1.

Więc, dowolną liczbę naturalną m można przedstawić jako ułamek zwyczajny o mianowniku 1 jako m/1, a każdy ułamek zwyczajny w postaci m/1 można zastąpić liczbą naturalną m.

Kreska ułamkowa jako znak dzielenia

Przedstawienie pierwotnego przedmiotu w postaci n udziałów to nic innego jak podział na n równych części. Po podzieleniu przedmiotu na n udziałów możemy podzielić go równo między n osób - każda otrzyma po jednym udziale.

Jeśli początkowo mamy m identycznych obiektów, z których każdy jest podzielony na n udziałów, to możemy równo podzielić te m obiektów pomiędzy n osób, dając każdej osobie po jednym udziale z każdego z m obiektów. W tym przypadku każda osoba będzie miała m udziałów 1/n, a m udziałów 1/n daje ułamek wspólny m/n. Zatem ułamek wspólny m/n można wykorzystać do oznaczenia podziału m elementów pomiędzy n osobami.

W ten sposób uzyskaliśmy wyraźne powiązanie między ułamkami zwykłymi a dzieleniem (patrz ogólna idea dzielenia liczb naturalnych). Związek ten wyraża się następująco: linię ułamkową można rozumieć jako znak dzielenia, czyli m/n=m:n.

Używając ułamka zwykłego, możesz zapisać wynik dzielenia dwóch liczby naturalne, dla których nie przeprowadza się dzielenia całkowego. Na przykład wynik podzielenia 5 jabłek przez 8 osób można zapisać jako 5/8, czyli każdy otrzyma pięć ósmych jabłka: 5:8 = 5/8.

Ułamki równe i nierówne, porównanie ułamków

Jest to dość naturalne działanie porównywanie ułamków, bo jasne jest, że 1/12 pomarańczy różni się od 5/12, a 1/6 jabłka to tyle samo, co kolejna 1/6 tego jabłka.

W wyniku porównania dwóch ułamków zwykłych otrzymuje się jeden z wyników: ułamki są równe lub nierówne. W pierwszym przypadku mamy równe ułamki zwykłe, a w drugim – nierówne ułamki zwykłe. Podajmy definicję równych i nierównych ułamków zwyczajnych.

Definicja.

równy, jeśli równość a·d=b·c jest prawdziwa.

Definicja.

Dwa wspólne ułamki a/b i c/d nie równe, jeżeli równość a·d=b·c nie jest spełniona.

Oto kilka przykładów ułamków równych. Na przykład ułamek zwykły 1/2 jest równy ułamkowi 2/4, ponieważ 1,4 = 2,2 (w razie potrzeby zobacz zasady i przykłady mnożenia liczb naturalnych). Dla jasności możesz wyobrazić sobie dwa identyczne jabłka, pierwsze przekrój na pół, a drugie na 4 części. Wiadomo, że dwie ćwiartki jabłka to 1/2 udziału. Innymi przykładami równych ułamków zwykłych są ułamki 4/7 i 36/63 oraz para ułamków 81/50 i 1620/1000.

Ale ułamki zwykłe 4/13 i 5/14 nie są równe, ponieważ 4,14=56, a 13,5=65, czyli 4,14≠13,5. Innymi przykładami nierównych ułamków zwykłych są ułamki 17/7 i 6/4.

Jeśli porównując dwa zwykłe ułamki okaże się, że nie są one równe, być może będziesz musiał dowiedzieć się, który z tych ułamków zwykłych mniej inny i który - więcej. Aby się tego dowiedzieć, stosuje się zasadę porównywania ułamków zwykłych, której istotą jest sprowadzenie porównywanych ułamków do wspólnego mianownika, a następnie porównanie liczników. Dokładna informacja temat ten zebrano w artykule porównującym ułamki zwykłe: zasady, przykłady, rozwiązania.

Liczby ułamkowe

Każdy ułamek jest zapisem liczba ułamkowa. Oznacza to, że ułamek jest po prostu „skorupą” liczby ułamkowej wygląd, a całe obciążenie semantyczne jest zawarte w liczbie ułamkowej. Jednak dla zwięzłości i wygody pojęcia ułamka i liczby ułamkowej są łączone i nazywane po prostu ułamkiem. Warto w tym miejscu przeformułować słynne powiedzenie: mówimy ułamek - mamy na myśli liczbę ułamkową, mówimy liczbę ułamkową - mamy na myśli ułamek.

Ułamki na promieniu współrzędnych

Wszystkie liczby ułamkowe odpowiadające ułamkom zwykłym mają swoje unikalne miejsce, to znaczy istnieje zgodność jeden do jednego między ułamkami a punktami promienia współrzędnych.

Aby dostać się do punktu na promieniu współrzędnych odpowiadającego ułamkowi m/n, należy odsunąć od początku m w kierunku dodatnim m odcinków, których długość wynosi 1/n ułamka odcinka jednostkowego. Takie segmenty można uzyskać dzieląc segment jednostkowy na n równych części, co zawsze można zrobić za pomocą kompasu i linijki.

Na przykład pokażmy punkt M na promieniu współrzędnych, odpowiadający ułamkowi 14/10. Długość odcinka, którego końce znajdują się w punkcie O i punkcie najbliżej niego, oznaczonym małą kreską, wynosi 1/10 odcinka jednostkowego. Punkt o współrzędnych 14/10 jest odsuwany od początku w odległości 14 takich odcinków.

Równe ułamki odpowiadają tej samej liczbie ułamkowej, to znaczy równe ułamki są współrzędnymi tego samego punktu na promieniu współrzędnych. Na przykład współrzędne 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 odpowiadają jednemu punktowi na promieniu współrzędnych, ponieważ wszystkie zapisane ułamki są równe (znajduje się w odległości połowy odcinka jednostkowego ułożonego od początku w kierunku dodatnim).

Na poziomym promieniu współrzędnych skierowanym w prawo punkt, którego współrzędna jest większym ułamkiem, znajduje się na prawo od punktu, którego współrzędna jest mniejszym ułamkiem. Podobnie punkt o mniejszej współrzędnej leży na lewo od punktu o większej współrzędnej.

Ułamki właściwe i niewłaściwe, definicje, przykłady

Wśród ułamków zwykłych są poprawne i ułamki niewłaściwe . Podział ten opiera się na porównaniu licznika i mianownika.

Zdefiniujmy ułamki zwyczajne właściwe i niewłaściwe.

Definicja.

Prawidłowa frakcja jest ułamkiem zwykłym, którego licznik jest mniejszy od mianownika, to znaczy, jeśli m

Definicja.

Ułamek niewłaściwy jest ułamkiem zwykłym, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi, czyli jeśli m≥n, to ułamek zwyczajny jest niewłaściwy.

Oto kilka przykładów ułamków właściwych: 1/4, , 32 765/909 003. Rzeczywiście, w każdym z zapisanych ułamków zwyczajnych licznik jest mniejszy od mianownika (w razie potrzeby zobacz artykuł porównujący liczby naturalne), więc z definicji są one poprawne.

Oto przykłady ułamków niewłaściwych: 9/9, 23/4, . Rzeczywiście licznik pierwszego z zapisanych ułamków zwykłych jest równy mianownikowi, a w pozostałych ułamkach licznik jest większy niż mianownik.

Istnieją również definicje ułamków właściwych i niewłaściwych, oparte na porównaniu ułamków z jednym.

Definicja.

prawidłowy, jeśli jest mniejsza niż jeden.

Definicja.

Nazywa się ułamek zwykły zło, jeśli jest równa jeden lub większa niż 1.

Zatem ułamek zwykły 7/11 jest poprawny, ponieważ 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 i 27/27=1.

Zastanówmy się, jak zwykłe ułamki zwykłe o liczniku większym lub równym mianownikowi zasługują na taką nazwę - „niewłaściwą”.

Weźmy na przykład ułamek niewłaściwy 9/9. Ułamek ten oznacza, że ​​z obiektu składającego się z dziewięciu części pobiera się dziewięć części. Oznacza to, że z dostępnych dziewięciu części możemy złożyć cały obiekt. Oznacza to, że ułamek niewłaściwy 9/9 zasadniczo daje cały obiekt, czyli 9/9 = 1. Ogólnie rzecz biorąc, ułamki niewłaściwe o liczniku równym mianownikowi oznaczają jeden cały obiekt i taki ułamek można zastąpić liczbą naturalną 1.

Rozważmy teraz ułamki niewłaściwe 7/3 i 12/4. Jest całkiem oczywiste, że z tych siedmiu trzecich części możemy skomponować dwa całe obiekty (jeden cały obiekt składa się z 3 części, wtedy do skomponowania dwóch całych obiektów będziemy potrzebować 3 + 3 = 6 części) i pozostanie jeszcze jedna trzecia część . Oznacza to, że ułamek niewłaściwy 7/3 oznacza zasadniczo 2 obiekty, a także 1/3 takiego obiektu. A z dwunastu ćwiartek możemy wykonać trzy całe obiekty (trzy obiekty po cztery części każdy). Oznacza to, że ułamek 12/4 zasadniczo oznacza 3 całe obiekty.

Rozważane przykłady prowadzą do następującego wniosku: ułamki niewłaściwe można zastąpić albo liczbami naturalnymi, gdy licznik dzieli się równo przez mianownik (np. 9/9=1 i 12/4=3), albo sumą liczby naturalnej i ułamka właściwego, gdy licznik nie jest podzielny równomiernie przez mianownik (np. 7/3=2+1/3). Być może właśnie dlatego ułamki niewłaściwe zyskały miano „nieregularnych”.

Szczególnie interesujące jest przedstawienie ułamka niewłaściwego jako sumy liczby naturalnej i ułamka właściwego (7/3=2+1/3). Proces ten nazywa się oddzielaniem całej części od ułamka niewłaściwego i zasługuje na osobne i dokładniejsze rozważenie.

Warto również zauważyć, że istnieje bardzo ścisły związek pomiędzy ułamkami niewłaściwymi a liczbami mieszanymi.

Ułamki dodatnie i ujemne

Każdemu ułamkowi wspólnemu odpowiada dodatnia liczba ułamkowa (zobacz artykuł o liczbach dodatnich i ujemnych). Oznacza to, że są to zwykłe ułamki ułamki dodatnie. Na przykład zwykłe ułamki 1/5, 56/18, 35/144 są ułamkami dodatnimi. Kiedy chcesz podkreślić dodatniość ułamka, przed nim umieszcza się znak plus, na przykład +3/4, +72/34.

Jeśli umieścisz znak minus przed ułamkiem zwykłym, wówczas wpis ten będzie odpowiadał ujemnej liczbie ułamkowej. W tym przypadku możemy porozmawiać ułamki ujemne. Oto kilka przykładów ułamków ujemnych: −6/10, −65/13, −1/18.

Ułamki dodatnie i ujemne m/n i −m/n są liczbami przeciwnymi. Na przykład ułamki 5/7 i -5/7 są ułamkami przeciwnymi.

Ułamki dodatnie, podobnie jak ogólnie liczby dodatnie, oznaczają dodatek, dochód, zmianę w górę dowolnej wartości itp. Ułamki ujemne odpowiadają wydatkom, zadłużeniu lub zmniejszeniu dowolnej ilości. Na przykład ułamek ujemny -3/4 można zinterpretować jako dług, którego wartość jest równa 3/4.

W kierunku poziomym i prawym ułamki ujemne znajdują się na lewo od początku układu współrzędnych. Punkty linii współrzędnych, których współrzędnymi są ułamek dodatni m/n i ułamek ujemny −m/n, znajdują się w tej samej odległości od początku układu współrzędnych, ale po przeciwnych stronach punktu O.

Warto tu wspomnieć o ułamkach postaci 0/n. Ułamki te są równe liczbie zero, czyli 0/n=0.

Ułamki dodatnie, ułamki ujemne i ułamki 0/n łączą się, tworząc liczby wymierne.

Operacje na ułamkach

Omówiliśmy już jedną czynność związaną z ułamkami zwykłymi – porównywanie ułamków – powyżej. Zdefiniowano cztery kolejne funkcje arytmetyczne operacje na ułamkach– dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych. Przyjrzyjmy się każdemu z nich.

Ogólna istota operacji na ułamkach jest podobna do istoty odpowiednich operacji na liczbach naturalnych. Zróbmy analogię.

Mnożenie ułamków można traktować jako czynność polegającą na znajdowaniu ułamka z ułamka. Aby to wyjaśnić, podamy przykład. Mamy 1/6 jabłka i musimy wziąć 2/3 z tego. Część, której potrzebujemy, jest wynikiem pomnożenia ułamków 1/6 i 2/3. Wynikiem pomnożenia dwóch ułamków zwykłych jest ułamek zwykły (który w szczególnym przypadku jest równy liczbie naturalnej). Następnie zalecamy zapoznanie się z informacjami zawartymi w artykule Mnożenie ułamków zwykłych - zasady, przykłady i rozwiązania.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka: podręcznik dla klasy V. instytucje edukacyjne.
• Vilenkin N.Ya. i inne Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).

Proste reguły i techniki matematyczne, jeśli nie są stale używane, najszybciej się zapominają. Terminy znikają z pamięci jeszcze szybciej.

Jedną z takich prostych czynności jest zamiana ułamka niewłaściwego na ułamek właściwy, czyli inaczej ułamek mieszany.

Ułamek niewłaściwy

Ułamek niewłaściwy to taki, w którym licznik (liczba nad linią) jest większy lub równy mianownikowi (liczba pod linią). Ułamek ten uzyskuje się przez dodanie ułamków lub pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą. Zgodnie z zasadami matematyki taki ułamek należy zamienić na ułamek właściwy.

Prawidłowa frakcja

Logiczne jest założenie, że wszystkie inne ułamki nazywane są właściwymi. Ścisła definicja mówi, że ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywa się właściwym. Ułamek zawierający część całkowitą nazywany jest czasem ułamkiem mieszanym.

Zamiana ułamka niewłaściwego na ułamek właściwy

• Przypadek pierwszy: licznik i mianownik są sobie równe. Wynikiem przekształcenia dowolnego takiego ułamka jest jeden. Nie ma znaczenia, czy to trzy trzecie, czy sto dwadzieścia pięć sto dwadzieścia piąte. Zasadniczo taki ułamek oznacza czynność dzielenia liczby przez nią samą.

• Przypadek drugi: licznik jest większy od mianownika. Tutaj musisz pamiętać o metodzie dzielenia liczb z resztą.
  Aby to zrobić, musisz znaleźć liczbę najbliższą wartości licznika, która jest podzielna przez mianownik bez reszty. Na przykład masz ułamek dziewiętnaście trzecich. Najbliższa liczba, którą można podzielić przez trzy, to osiemnaście. To sześć. Teraz odejmij wynikową liczbę od licznika. Dostajemy jeden. To jest reszta. Zapisz wynik przeliczenia: sześć całości i jedna trzecia.

Ale zanim będziesz mógł zredukować ułamek do jego właściwej postaci, musisz sprawdzić, czy da się go zredukować.
Możesz skrócić ułamek, jeśli licznik i mianownik mają wspólny dzielnik. Oznacza to, że liczba, przez którą obie są podzielne bez reszty. Jeśli istnieje kilka takich dzielników, musisz znaleźć największy.
Na przykład wszystkie liczby parzyste mają taki wspólny dzielnik - dwa. A ułamek szesnaście dwunastych ma jeszcze jeden wspólny dzielnik – cztery. To jest największy dzielnik. Podziel licznik i mianownik przez cztery. Wynik redukcji: cztery trzecie. Teraz w praktyce zamień ten ułamek na ułamek właściwy.

Studiując królową wszystkich nauk – matematykę, każdy w pewnym momencie spotyka się z ułamkami zwykłymi. Chociaż to pojęcie (podobnie jak same rodzaje ułamków czy działania matematyczne na nich) wcale nie jest skomplikowane, należy podejść do niego ostrożnie, ponieważ w prawdziwym życiu poza szkołą będzie bardzo przydatne. Odświeżmy więc naszą wiedzę na temat ułamków zwykłych: czym są, do czego służą, jakie są rodzaje i jak wykonywać na nich różne operacje arytmetyczne.

Frakcja Jej Królewskiej Mości: co to jest

W matematyce ułamki to liczby, z których każda składa się z jednej lub więcej części jednostki. Takie ułamki nazywane są również zwykłymi lub prostymi. Z reguły są one zapisywane w postaci dwóch liczb oddzielonych linią poziomą lub ukośną, nazywa się to linią „ułamkową”. Na przykład: ½, ¾.

Górna, czyli pierwsza, z tych liczb jest licznikiem (pokazuje, ile części pochodzi z liczby), a dolna, czyli druga, jest mianownikiem (pokazuje, na ile części podzielona jest jednostka).

Kreska ułamkowa faktycznie pełni funkcję znaku dzielenia. Na przykład 7:9=7/9

Tradycyjnie ułamki zwykłe są mniejsze niż jeden. Chociaż ułamki dziesiętne mogą być większe.

Do czego służą ułamki? Tak, do wszystkiego, ponieważ w prawdziwym świecie nie wszystkie liczby są liczbami całkowitymi. Na przykład dwie uczennice w stołówce kupiły razem jedną pyszną tabliczkę czekolady. Kiedy już mieli podzielić się deserem, spotkali przyjaciółkę i postanowili ją też poczęstować. Jednak teraz konieczne jest prawidłowe podzielenie tabliczki czekolady, biorąc pod uwagę, że składa się ona z 12 kwadratów.

Na początku dziewczyny chciały podzielić wszystko po równo, a potem każda dostałaby po cztery części. Ale po namyśle postanowili poczęstować przyjaciela nie 1/3, a 1/4 czekolady. A ponieważ uczennice nie uczyły się dobrze ułamków, nie wzięły pod uwagę, że w takiej sytuacji otrzymają 9 części, które bardzo trudno podzielić na dwie części. Ten dość prosty przykład pokazuje, jak ważna jest umiejętność prawidłowego znalezienia części liczby. Ale w życiu takich przypadków jest znacznie więcej.

Rodzaje ułamków zwykłych: zwykły i dziesiętny

Wszystkie ułamki matematyczne są podzielone na dwie duże kategorie: zwykłe i dziesiętne. Cechy pierwszego z nich zostały opisane w poprzednim akapicie, dlatego teraz warto zwrócić uwagę na drugi.

Dziesiętny to zapis pozycyjny ułamka liczby zapisywany pisemnie, oddzielany przecinkiem, bez myślnika i ukośnika. Na przykład: 0,75, 0,5.

W rzeczywistości ułamek dziesiętny jest identyczny z ułamkiem zwykłym, jednak jego mianownikiem jest zawsze jedynka, po której następują zera – stąd jego nazwa.

Liczba poprzedzająca przecinek jest częścią całkowitą, a wszystko po niej jest ułamkiem zwykłym. Każdy ułamek prosty można zamienić na ułamek dziesiętny. Zatem ułamki dziesiętne wskazane w poprzednim przykładzie można zapisać w zwykły sposób: ¾ i ½.

Warto zauważyć, że zarówno ułamki dziesiętne, jak i zwykłe mogą być dodatnie lub ujemne. Jeśli są poprzedzone znakiem „-”, ułamek ten jest ujemny, jeśli „+” jest ułamkiem dodatnim.

Podtypy ułamków zwyczajnych

Istnieją tego typu ułamki proste.

Podtypy ułamka dziesiętnego

W przeciwieństwie do ułamka zwykłego, ułamek dziesiętny dzieli się tylko na 2 typy.

• Ostateczna - otrzymała tę nazwę ze względu na fakt, że po przecinku ma ograniczoną (skończoną) liczbę cyfr: 19,25.
• Ułamek nieskończony to liczba posiadająca nieskończoną liczbę cyfr po przecinku. Na przykład, dzieląc 10 przez 3, wynikiem będzie ułamek nieskończony 3,333...

Dodawanie ułamków

Wykonywanie różnych manipulacji arytmetycznych na ułamkach jest nieco trudniejsze niż na zwykłych liczbach. Jeśli jednak zrozumiesz podstawowe zasady, rozwiązanie z nimi dowolnego przykładu nie będzie trudne.

Na przykład: 2/3+3/4. Najmniejszą wspólną wielokrotnością będzie dla nich 12, dlatego konieczne jest, aby liczba ta znajdowała się w każdym mianowniku. Aby to zrobić, mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 4, okazuje się, że 8/12, robimy to samo z drugim wyrazem, ale mnożymy tylko przez 3 - 9/12. Teraz możesz łatwo rozwiązać przykład: 8/12+9/12= 17/12. Wynikowy ułamek jest niepoprawną jednostką, ponieważ licznik jest większy od mianownika. Można i należy go przekształcić w poprawny mieszany, dzieląc 17:12 = 1 i 5/12.

Po dodaniu ułamków mieszanych operacje wykonywane są najpierw na liczbach całkowitych, a następnie na ułamkach.

Jeśli przykład zawiera ułamek dziesiętny i ułamek zwykły, konieczne jest uproszczenie obu, a następnie sprowadzenie ich do tego samego mianownika i dodanie. Na przykład 3,1+1/2. Liczbę 3,1 można zapisać jako ułamek mieszany 3 i 1/10 lub jako ułamek niewłaściwy - 31/10. Wspólnym mianownikiem wyrazów będzie 10, więc musisz pomnożyć licznik i mianownik 1/2 przez 5 na przemian, otrzymasz 5/10. Wtedy możesz łatwo wszystko obliczyć: 31/10 + 5/10 = 35/10. Otrzymany wynik jest ułamkiem niewłaściwym redukowalnym, doprowadzamy go do postaci normalnej, redukując o 5: 7/2 = 3 i 1/2 lub dziesiętny - 3,5.

Podczas dodawania 2 ułamków dziesiętnych ważne jest, aby po przecinku znajdowała się taka sama liczba cyfr. Jeśli tak nie jest, wystarczy dodać wymaganą liczbę zer, ponieważ w ułamku dziesiętnym można to zrobić bezboleśnie. Na przykład 3,5 + 3,005. Aby rozwiązać ten problem, należy dodać do pierwszej liczby 2 zera, a następnie dodać jedno po drugim: 3,500+3,005=3,505.

Odejmowanie ułamków

Odejmując ułamki należy postępować tak samo, jak przy dodawaniu: sprowadzić do wspólnego mianownika, odjąć jeden licznik od drugiego i w razie potrzeby wynik przeliczyć na ułamek mieszany.

Na przykład: 16/20-5/10. Wspólnym mianownikiem będzie 20. Musisz doprowadzić drugi ułamek do tego mianownika, mnożąc obie jego części przez 2, otrzymasz 10/20. Teraz możesz rozwiązać przykład: 16/20-10/20= 6/20. Wynik ten dotyczy jednak ułamków redukowalnych, dlatego warto podzielić obie strony przez 2 i otrzymamy wynik 3/10.

Mnożenie ułamków

Dzielenie i mnożenie ułamków zwykłych jest znacznie prostszymi operacjami niż dodawanie i odejmowanie. Faktem jest, że wykonując te zadania, nie trzeba szukać wspólnego mianownika.

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, wystarczy pomnożyć oba liczniki jeden po drugim, a następnie oba mianowniki. Zmniejsz uzyskany wynik, jeśli ułamek jest wielkością redukowalną.

Na przykład: 4/9x5/8. Po naprzemiennym mnożeniu otrzymasz wynik 4x5/9x8=20/72. Ułamek ten można zmniejszyć o 4, więc ostateczna odpowiedź w przykładzie to 5/18.

Jak dzielić ułamki

Dzielenie ułamków jest również prostą operacją, w rzeczywistości sprowadza się do ich pomnożenia. Aby podzielić ułamek przez drugi, należy odwrócić drugi ułamek i pomnożyć przez pierwszy.

Na przykład dzieląc ułamki 5/19 i 5/7. Aby rozwiązać przykład, należy zamienić mianownik i licznik drugiego ułamka i pomnożyć: 5/19x7/5=35/95. Wynik można zmniejszyć o 5 - okazuje się, że 7/19.

Jeśli chcesz podzielić ułamek przez liczbę pierwszą, technika jest nieco inna. Początkowo należy zapisać tę liczbę jako ułamek niewłaściwy, a następnie podzielić według tego samego schematu. Na przykład 2/13:5 należy zapisać jako 2/13: 5/1. Teraz musisz odwrócić 5/1 i pomnożyć powstałe ułamki: 2/13x1/5= 2/65.

Czasami trzeba podzielić ułamki mieszane. Należy je traktować tak samo jak liczby całkowite: zamień je na ułamki niewłaściwe, odwróć dzielnik i wszystko pomnóż. Na przykład 8 ½: 3. Zamień wszystko na ułamki niewłaściwe: 17/2: 3/1. Następnie następuje przewrót 3/1 i mnożenie: 17/2x1/3 = 17/6. Teraz należy zamienić ułamek niewłaściwy na właściwy - 2 całe i 5/6.

Po ustaleniu, jakie są ułamki i jak można z nimi wykonywać różne operacje arytmetyczne, musisz starać się o tym nie zapomnieć. W końcu ludzie zawsze bardziej skłonni są dzielić coś na części niż dodawać, więc trzeba umieć to zrobić poprawnie.

Frakcja w matematyce liczba składająca się z jednej lub większej liczby części (ułamków) jednostki. Ułamki są częścią ciała liczb wymiernych. W zależności od sposobu zapisu ułamki dzieli się na 2 formaty: zwykły wpisz i dziesiętny .

Licznik ułamka- liczba oznaczająca liczbę objętych akcji (umieszczona na górze ułamka - nad linią). Mianownik ułamka- liczba pokazująca na ile udziałów podzielona jest jednostka (umieszczona pod linią - na dole). z kolei dzielą się na: prawidłowy I błędny, mieszany I złożony są ściśle powiązane z jednostkami miary. 1 metr zawiera 100 cm, co oznacza, że ​​1 m dzieli się na 100 równych części. Zatem 1 cm = 1/100 m (jeden centymetr to jedna setna metra).

lub 3/5 (trzy piąte), tutaj 3 jest licznikiem, 5 jest mianownikiem. Jeśli licznik jest mniejszy niż mianownik, wówczas ułamek jest mniejszy niż jeden i nazywa się prawidłowy:

Jeśli licznik jest równy mianownikowi, ułamek jest równy jeden. Jeżeli licznik jest większy od mianownika, ułamek jest większy od jedności. W obu ostatnich przypadkach ułamek nazywa się zło:

Aby wyodrębnić największą liczbę całkowitą zawartą w ułamku niewłaściwym, dzielisz licznik przez mianownik. Jeśli dzielenie odbywa się bez reszty, wówczas wzięty ułamek niewłaściwy jest równy ilorazowi:

Jeżeli dzielenie przeprowadza się z resztą, wówczas (niepełny) iloraz daje żądaną liczbę całkowitą, a reszta staje się licznikiem części ułamkowej; mianownik części ułamkowej pozostaje taki sam.

Nazywa się liczbę zawierającą liczbę całkowitą i część ułamkową mieszany. Frakcja pomieszane numery Może ułamek niewłaściwy. Następnie z części ułamkowej można wybrać największą liczbę całkowitą i przedstawić liczbę mieszaną w taki sposób, aby część ułamkowa stała się ułamkiem właściwym (lub w ogóle zniknęła).

Słowo „ułamki” wielu osobom wywołuje gęsią skórkę. Bo pamiętam szkołę i zadania, które rozwiązywano na matematyce. To był obowiązek, który należało spełnić. A co by było, gdybyś potraktował problemy dotyczące ułamków właściwych i niewłaściwych jak puzzle? W końcu wielu dorosłych rozwiązuje krzyżówki cyfrowe i japońskie. Ustaliliśmy zasady i tyle. Tutaj jest tak samo. Wystarczy zagłębić się w teorię – i wszystko się ułoży. A przykłady staną się sposobem na ćwiczenie mózgu.

Jakie są rodzaje ułamków?

Zacznijmy od tego, co to jest. Ułamek to liczba, która ma część jednego. Można go zapisać w dwóch postaciach. Pierwszy z nich nazywa się zwykłym. Oznacza to, że ma linię poziomą lub ukośną. Jest to odpowiednik znaku dzielenia.

W tym zapisie liczba znajdująca się nad linią nazywana jest licznikiem, a liczba znajdująca się pod nią nazywana jest mianownikiem.

Wśród ułamków zwyczajnych wyróżnia się ułamki właściwe i niewłaściwe. W pierwszym przypadku wartość bezwzględna licznika jest zawsze mniejsza niż mianownik. Niewłaściwi są tak nazywani, ponieważ mają wszystko na odwrót. Wartość ułamka właściwego jest zawsze mniejsza niż jeden. Natomiast niepoprawna jest zawsze większa od tej liczby.

Istnieją również liczby mieszane, czyli takie, które mają część całkowitą i ułamkową.

Drugi rodzaj zapisu to ułamek dziesiętny. Jest o niej osobna rozmowa.

Czym różnią się ułamki niewłaściwe od liczb mieszanych?

W zasadzie nic. To po prostu różne nagrania tego samego numeru. Niewłaściwe ułamki łatwo stają się liczbami mieszanymi po prostych krokach. I wzajemnie.

Wszystko zależy od konkretnej sytuacji. Czasami wygodniej jest użyć ułamka niewłaściwego w zadaniach. A czasami trzeba to przekonwertować na liczbę mieszaną i wtedy przykład będzie bardzo łatwo rozwiązany. Zatem to, czego użyć: ułamków niewłaściwych, liczb mieszanych, zależy od umiejętności obserwacji osoby rozwiązującej problem.

Liczbę mieszaną porównuje się także z sumą części całkowitej i części ułamkowej. Co więcej, drugi jest zawsze mniejszy niż jeden.

Jak przedstawić liczbę mieszaną w postaci ułamka niewłaściwego?

Jeśli chcesz wykonać dowolną akcję z kilkoma liczbami zapisanymi w różnych formach, musisz uczynić je takimi samymi. Jedną z metod jest przedstawienie liczb w postaci ułamków niewłaściwych.

W tym celu będziesz musiał wykonać następujący algorytm:

• pomnóż mianownik przez całą część;
• dodaj wartość licznika do wyniku;
• napisz odpowiedź nad linią;
• zostaw mianownik bez zmian.

Oto przykłady zapisywania ułamków niewłaściwych z liczb mieszanych:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

Jak zapisać ułamek niewłaściwy jako liczbę mieszaną?

Następna technika jest przeciwieństwem tej omówionej powyżej. To znaczy, gdy wszystkie liczby mieszane zostaną zastąpione ułamkami niewłaściwymi. Algorytm działań będzie następujący:

• podziel licznik przez mianownik, aby otrzymać resztę;
• wpisz iloraz w miejsce całej części mieszanej;
• pozostałą część należy umieścić powyżej linii;
• dzielnik będzie mianownikiem.

Przykłady takiej transformacji:

76/14; 76:14 = 5 z resztą 6; odpowiedź będzie wynosić 5 w całości i 6/14; część ułamkową w tym przykładzie należy zmniejszyć o 2, co daje 3/7; ostateczna odpowiedź to 5 punktów 3/7.

108/54; po dzieleniu otrzymuje się iloraz 2 bez reszty; oznacza to, że nie wszystkie ułamki niewłaściwe można przedstawić jako liczbę mieszaną; odpowiedzią będzie liczba całkowita - 2.

Jak zamienić liczbę całkowitą na ułamek niewłaściwy?

Są sytuacje, gdy takie działanie jest konieczne. Aby uzyskać ułamki niewłaściwe o znanym mianowniku, musisz wykonać następujący algorytm:

• pomnóż liczbę całkowitą przez żądany mianownik;
• wpisz tę wartość nad linią;
• umieść pod nim mianownik.

Najprostszą opcją jest sytuacja, gdy mianownik jest równy jeden. Wtedy nie musisz nic mnożyć. Wystarczy po prostu wpisać liczbę całkowitą podaną w przykładzie i umieścić ją pod linią.

Przykład: Zrób 5 ułamkiem niewłaściwym o mianowniku 3. Mnożenie 5 przez 3 daje 15. Ta liczba będzie mianownikiem. Odpowiedzią na zadanie jest ułamek: 15/3.

Dwa podejścia do rozwiązywania problemów z różnymi liczbami

Przykład wymaga obliczenia sumy i różnicy oraz iloczynu i ilorazu dwóch liczb: 2 liczb całkowitych 3/5 i 14/11.

W pierwszym podejściu liczba mieszana będzie przedstawiana jako ułamek niewłaściwy.

Po wykonaniu opisanych powyżej kroków otrzymasz następującą wartość: 13/5.

Aby znaleźć sumę, musisz zredukować ułamki do tego samego mianownika. 13/5 po pomnożeniu przez 11 daje 143/55. A 14/11 po pomnożeniu przez 5 będzie wyglądać: 70/55. Aby obliczyć sumę wystarczy dodać liczniki: 143 i 70, a następnie zapisać odpowiedź z jednym mianownikiem. 213/55 - ten ułamek niewłaściwy jest odpowiedzią na problem.

Szukając różnicy, odejmuje się te same liczby: 143 - 70 = 73. Odpowiedź będzie ułamkiem: 73/55.

Mnożąc 13/5 i 14/11, nie musisz sprowadzać ich do wspólnego mianownika. Wystarczy pomnożyć liczniki i mianowniki parami. Odpowiedź będzie brzmiała: 182/55.

To samo tyczy się podziału. Aby rozwiązać poprawnie, należy zastąpić dzielenie mnożeniem i odwrócić dzielnik: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

W drugim podejściu ułamek niewłaściwy staje się liczbą mieszaną.

Po wykonaniu działań algorytmu 14/11 zamieni się w liczbę mieszaną z częścią całkowitą 1 i częścią ułamkową 3/11.

Obliczając sumę, należy osobno dodać część całkowitą i ułamkową. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Ostateczna odpowiedź to 3 punkty 48/55. W pierwszym podejściu frakcja wynosiła 213/55. Można sprawdzić jego poprawność zamieniając go na liczbę mieszaną. Po podzieleniu 213 przez 55 iloraz wynosi 3, a reszta 48. Łatwo zobaczyć, że odpowiedź jest poprawna.

Podczas odejmowania znak „+” zastępuje się znakiem „-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Aby to sprawdzić, odpowiedź z poprzedniego podejścia należy przekształcić w liczbę mieszaną: 73 podzielić przez 55, a iloraz wynosi 1, a reszta wynosi 18.

Aby znaleźć iloczyn i iloraz, używanie liczb mieszanych jest niewygodne. Zawsze zaleca się tutaj przejście do ułamków niewłaściwych.