Wzory na wyprowadzanie ruchu krzywoliniowego. Ruch ciała po zakrzywionej drodze. Ruch okrężny. Charakterystyka ruchu obrotowego. Przyspieszenie dośrodkowe

W tym temacie będzie więcej złożony widok ruchy – KRZYWOLINIJNY. Jak można się domyślić, krzywoliniowy to ruch, którego trajektoria jest linią zakrzywioną. A ponieważ ruch ten jest bardziej złożony niż ruch prostoliniowy, wielkości fizyczne wymienione w poprzednim rozdziale nie wystarczą już do jego opisania.

Do matematycznego opisu ruchu krzywoliniowego wyróżnia się 2 grupy wielkości: liniową i kątową.

Wielkości liniowe.

1. Poruszający. W sekcji 1.1 nie wyjaśniliśmy różnicy między tym pojęciem

Rys. 1.3 ścieżka (odległość) i koncepcja ruchu,

ponieważ w ruchu prostoliniowym te

różnice nie odgrywają zasadniczej roli, oraz

Ilości te oznaczone są tą samą literą -

wycie S. Ale gdy mamy do czynienia z ruchem krzywoliniowym,

tę kwestię należy wyjaśnić. Jaka jest więc ścieżka

(lub odległość)? – To jest długość trajektorii

ruchy. To znaczy, jeśli śledzisz trajektorię

ruch ciała i zmierz go (w metrach, kilometrach itp.), otrzymasz wartość zwaną ścieżką (lub odległością) S(patrz ryc. 1.3). Zatem ścieżka jest wielkością skalarną, którą można scharakteryzować jedynie liczbą.

Ryc. 1.4 A ruch to najkrótsza odległość pomiędzy

punkt początkowy ścieżki i punkt końcowy ścieżki. A ponieważ

ruch od początku ma ścisły kierunek

ścieżka do końca, to jest to wielkość wektorowa

i charakteryzuje się nie tylko wartością liczbową, ale także

kierunku (ryc. 1.3). Nie trudno zgadnąć, co by było, gdyby

ciało porusza się po zamkniętej trajektorii, a następnie do

w chwili powrotu do pozycji wyjściowej przemieszczenie będzie wynosić zero (patrz rys. 1.4).

2 . Prędkość liniowa. W rozdziale 1.1 podaliśmy definicję tej wielkości i pozostaje ona aktualna, chociaż nie określiliśmy wówczas, że prędkość ta jest liniowa. Jaki jest kierunek wektora prędkości liniowej? Przejdźmy do ryc. 1.5. Tutaj pokazano fragment

krzywoliniowa trajektoria ciała. Każda zakrzywiona linia jest połączeniem łuków różnych okręgów. Rysunek 1.5 pokazuje tylko dwa z nich: okrąg (O 1, r 1) i okrąg (O 2, r 2). W chwili, gdy ciało przechodzi po łuku danego okręgu, jego środek staje się tymczasowym środkiem obrotu o promieniu równym promieniowi tego okręgu.

Wektor narysowany od środka obrotu do punktu, w którym ten moment miejsce, w którym znajduje się ciało, nazywa się wektorem promienia. Na ryc. 1.5 wektory promieni są reprezentowane przez wektory i . Na rysunku tym przedstawiono także wektory prędkości liniowej: wektor prędkości liniowej jest zawsze skierowany stycznie do trajektorii w kierunku ruchu. W związku z tym kąt między wektorem a wektorem promienia poprowadzonym do danego punktu na trajektorii jest zawsze równy 90°. Jeśli ciało porusza się ze stałą prędkością liniową, to wielkość wektora nie ulegnie zmianie, natomiast jego kierunek zmienia się cały czas w zależności od kształtu trajektorii. W przypadku pokazanym na rys. 1.5 ruch odbywa się ze zmienną prędkością liniową, w związku z czym zmienia się moduł wektora. Ponieważ jednak podczas ruchu krzywoliniowego kierunek wektora zawsze się zmienia, wynika z tego bardzo ważny wniosek:

w ruchu krzywoliniowym zawsze występuje przyspieszenie! (Nawet jeżeli ruch odbywa się ze stałą prędkością liniową.) Ponadto przyspieszenie, o którym mowa w ust w tym przypadku, w dalszej części będziemy nazywać przyspieszeniem liniowym.

3 . Przyspieszenie liniowe. Przypomnę, że przyspieszenie następuje, gdy zmienia się prędkość. W związku z tym przyspieszenie liniowe pojawia się, gdy zmienia się prędkość liniowa. Prędkość liniowa podczas ruchu krzywoliniowego może zmieniać się zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku. Zatem całkowite przyspieszenie liniowe rozkłada się na dwie składowe, z których jedna wpływa na kierunek wektora, a druga na jego wielkość. Rozważmy te przyspieszenia (ryc. 1.6). Na tym zdjęciu

Ryż. 1.6

O

przedstawia ciało poruszające się po torze kołowym, którego środek obrotu znajduje się w punkcie O.

Nazywa się przyspieszenie zmieniające kierunek wektora normalna i jest wyznaczony. Nazywa się to normalnym, ponieważ jest skierowany prostopadle (normalnie) do stycznej, tj. wzdłuż promienia do środka zakrętu . Nazywa się to również przyspieszeniem dośrodkowym.

Nazywa się przyspieszenie zmieniające wielkość wektora styczny i jest wyznaczony. Leży na stycznej i może być skierowany albo w kierunku wektora, albo przeciwnie do niego :

Jeśli prędkość liniowa wzrasta, to > 0 i ich wektory są współkierunkowe;

Jeśli prędkość liniowa wtedy maleje< 0 и их вектора противоположно

skierowany.

Zatem te dwa przyspieszenia zawsze tworzą ze sobą kąt prosty (90°) i są składnikami całkowitego przyspieszenia liniowego, tj. Całkowite przyspieszenie liniowe jest sumą wektorów przyspieszenia normalnego i stycznego:

Zaznaczam, że w tym przypadku mówimy o konkretnie o sumie wektorowej, ale w żadnym wypadku o sumie skalarnej. Aby znaleźć wartość liczbową , wiedząc i , należy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa (kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta jest liczbowo równy sumie kwadratów przyprostokątnych tego trójkąta):

(1.8).

Oznacza to:

(1.9).

Zastanowimy się, jakie wzory obliczyć, korzystając z nieco później.

WARTOŚCI KĄTOWE.

1 . Kąt obrotu φ . Podczas ruchu krzywoliniowego ciało nie tylko porusza się w pewnym kierunku i wykonuje pewien ruch, ale także obraca się o określony kąt (patrz ryc. 1.7 (a)). Dlatego do opisania takiego ruchu wprowadza się wielkość zwaną kątem obrotu, oznaczoną grecką literą φ (czytaj „fi”) W układzie SI kąt obrotu mierzony jest w radianach (symbol „rad”). Przypomnę, że jeden pełny obrót równa się 2π radianów, a liczba π jest stała: π ≈ 3,14. na ryc. Rysunek 1.7(a) przedstawia trajektorię ciała po okręgu o promieniu R ze środkiem w punkcie O. Sam kąt obrotu jest kątem pomiędzy wektorami promieni ciała w niektórych chwilach czasu.

2 . Prędkość kątowa ω – jest to wielkość pokazująca, jak zmienia się kąt obrotu w jednostce czasu. (ω - Grecka litera, czytaj „omega”.) Na ryc. 1.7(b) pokazuje położenie punktu materialnego poruszającego się po torze kołowym ze środkiem w punkcie O, w odstępach czasu Δt . Jeżeli kąty, o jakie ciało obraca się w tych odstępach czasu, są takie same, to prędkość kątowa jest stała i ruch ten można uznać za równomierny. A jeśli kąty obrotu są różne, wówczas ruch jest nierówny. A ponieważ prędkość kątowa pokazuje, ile radianów

ciało obracało się w ciągu jednej sekundy, wówczas jednostką miary są radiany na sekundę

(oznaczony przez " rad/s »).

Ryż. 1.7

A). B). Δt

Δt

Δt

O φ O Δt

3 . Przyspieszenie kątowe ε jest wielkością pokazującą, jak zmienia się ona w jednostce czasu. A od przyspieszenia kątowego ε pojawia się, gdy zmienia się prędkość kątowa ω , to możemy stwierdzić, że przyspieszenie kątowe występuje tylko w przypadku nierównomiernego ruchu krzywoliniowego. Jednostką miary przyspieszenia kątowego jest „ rad/s 2 » (radiany na sekundę do kwadratu).

Tym samym tabelę 1.1 można uzupełnić o trzy kolejne wartości:

Tabela 1.2

Teraz możemy przejść bezpośrednio do rozważenia wszystkich rodzajów ruchu krzywoliniowego, a są tylko trzy z nich.

Za pomocą tej lekcji możesz samodzielnie przestudiować temat „Ruch prostoliniowy i krzywoliniowy. Ruch ciała po okręgu ze stałą prędkością bezwzględną.” Najpierw scharakteryzujemy ruch prostoliniowy i krzywoliniowy, rozważając, w jaki sposób w tego typu ruchach wektor prędkości i siła przyłożona do ciała są ze sobą powiązane. Następnie rozważymy szczególny przypadek gdy ciało porusza się po okręgu ze stałą prędkością bezwzględną.

Na poprzedniej lekcji omawialiśmy zagadnienia związane z prawem uniwersalna grawitacja. Temat dzisiejszej lekcji jest ściśle związany z tym prawem; zajmiemy się ruchem jednostajnym ciała po okręgu.

Powiedzieliśmy to wcześniej ruch - Jest to zmiana położenia ciała w przestrzeni względem innych ciał w czasie. Ruch i kierunek ruchu charakteryzują się także szybkością. Zmiana prędkości i sam rodzaj ruchu są związane z działaniem siły. Jeśli na ciało działa siła, wówczas ciało zmienia swoją prędkość.

Jeśli siła zostanie skierowana równolegle do ruchu ciała, wówczas taki ruch będzie prosty(ryc. 1).

Ryż. 1. Ruch po linii prostej

Krzywolinijny taki ruch nastąpi, gdy prędkość ciała i siła przyłożona do tego ciała zostaną skierowane względem siebie pod pewnym kątem (ryc. 2). W takim przypadku prędkość zmieni swój kierunek.

Ryż. 2. Ruch krzywoliniowy

Więc kiedy prosty ruch wektor prędkości jest skierowany w tym samym kierunku, co siła przyłożona do ciała. A ruch krzywoliniowy to taki ruch, gdy wektor prędkości i siła przyłożona do ciała znajdują się pod pewnym kątem względem siebie.

Rozważmy szczególny przypadek ruchu krzywoliniowego, gdy ciało porusza się po okręgu ze stałą prędkością w wartości bezwzględnej. Kiedy ciało porusza się po okręgu ze stałą prędkością, zmienia się tylko kierunek tej prędkości. W wartości bezwzględnej pozostaje stała, ale zmienia się kierunek prędkości. Ta zmiana prędkości prowadzi do pojawienia się przyspieszenia w ciele, co nazywa się dośrodkowy.

Ryż. 6. Ruch po zakrzywionej ścieżce

Jeśli trajektoria ruchu ciała jest krzywą, wówczas można ją przedstawić jako zbiór ruchów po łukach kołowych, jak pokazano na ryc. 6.

Na ryc. Rysunek 7 pokazuje, jak zmienia się kierunek wektora prędkości. Prędkość podczas takiego ruchu jest skierowana stycznie do okręgu, po którym porusza się ciało. Dlatego jego kierunek stale się zmienia. Nawet jeśli prędkość bezwzględna pozostaje stała, zmiana prędkości prowadzi do przyspieszenia:

W tym przypadku przyśpieszenie będzie skierowany w stronę środka okręgu. Dlatego nazywa się to dośrodkowym.

Dlaczego przyspieszenie dośrodkowe jest skierowane do środka?

Przypomnijmy, że jeśli ciało porusza się po zakrzywionej drodze, to jego prędkość jest skierowana stycznie. Prędkość jest wielkością wektorową. Wektor ma wartość liczbową i kierunek. Prędkość stale zmienia swój kierunek w miarę poruszania się ciała. Oznacza to, że różnica prędkości w różnych momentach czasu nie będzie równa zeru (), w przeciwieństwie do prostoliniowego ruchu jednostajnego.

Mamy więc zmianę prędkości w pewnym okresie czasu. Stosunek do to przyspieszenie. Dochodzimy do wniosku, że nawet jeśli prędkość nie zmienia się w wartości bezwzględnej, to ciało wykonujące ruch jednostajny po okręgu ma przyspieszenie.

Gdzie jest skierowane to przyspieszenie? Spójrzmy na rys. 3. Niektóre ciała poruszają się krzywoliniowo (po łuku). Prędkość ciała w punktach 1 i 2 jest skierowana stycznie. Ciało porusza się ruchem jednostajnym, czyli moduły prędkości są równe: , ale kierunki prędkości nie pokrywają się.

Ryż. 3. Ruch ciała po okręgu

Odejmij od tego prędkość i uzyskaj wektor. Aby to zrobić, musisz połączyć początki obu wektorów. Równolegle przesuń wektor na początek wektora. Budujemy do trójkąta. Trzeci bok trójkąta będzie wektorem różnicy prędkości (rys. 4).

Ryż. 4. Wektor różnicy prędkości

Wektor jest skierowany w stronę okręgu.

Rozważmy trójkąt utworzony przez wektory prędkości i wektor różnicy (rys. 5).

Ryż. 5. Trójkąt utworzony z wektorów prędkości

Ten trójkąt jest równoramienny (moduły prędkości są równe). Oznacza to, że kąty przy podstawie są równe. Zapiszmy równość sumy kątów trójkąta:

Dowiedzmy się, gdzie przyspieszenie jest skierowane w danym punkcie trajektorii. Aby to zrobić, zaczniemy przybliżać punkt 2 do punktu 1. Przy tak nieograniczonej staranności kąt będzie dążył do 0, a kąt będzie dążył do 0. Kąt między wektorem zmiany prędkości a samym wektorem prędkości wynosi . Prędkość jest skierowana stycznie, a wektor zmiany prędkości jest skierowany do środka okręgu. Oznacza to, że przyspieszenie jest również skierowane w stronę środka okręgu. Dlatego właśnie to przyspieszenie nazywa się dośrodkowy.

Jak znaleźć przyspieszenie dośrodkowe?

Rozważmy trajektorię, po której porusza się ciało. W tym przypadku jest to łuk kołowy (ryc. 8).

Ryż. 8. Ruch ciała po okręgu

Rysunek przedstawia dwa trójkąty: trójkąt utworzony przez prędkości i trójkąt utworzony przez promienie i wektor przemieszczenia. Jeśli punkty 1 i 2 są bardzo blisko siebie, to wektor przemieszczenia będzie pokrywał się z wektorem ścieżki. Oba trójkąty są równoramienne o tych samych kątach wierzchołkowych. Zatem trójkąty są podobne. Oznacza to, że odpowiednie boki trójkątów są jednakowo powiązane:

Przemieszczenie jest równe iloczynowi prędkości i czasu: . Zastępując ten wzór, możemy otrzymać następujące wyrażenie na przyspieszenie dośrodkowe:

Prędkość kątowa oznaczony grecką literą omega (ω), wskazuje kąt, o jaki ciało obraca się w jednostce czasu (ryc. 9). Jest to wielkość łuku wyrażona w stopniach, jaką przechodzi ciało w pewnym czasie.

Ryż. 9. Prędkość kątowa

Należy pamiętać, że jeśli solidny obraca się, to prędkość kątowa dla dowolnych punktów tego ciała będzie wartością stałą. Nie ma znaczenia, czy punkt znajduje się bliżej środka obrotu, czy dalej, tzn. nie zależy od promienia.

Jednostką miary w tym przypadku będą stopnie na sekundę () lub radiany na sekundę (). Często słowo „radian” nie jest pisane, ale po prostu pisane. Obliczmy na przykład, jaka jest prędkość kątowa Ziemi. Ziemia wykonuje pełny obrót w ciągu godziny i w tym przypadku możemy powiedzieć, że prędkość kątowa jest równa:

Zwróć także uwagę na zależność między prędkościami kątowymi i liniowymi:

Prędkość liniowa jest wprost proporcjonalna do promienia. Im większy promień, tym większa prędkość liniowa. Zatem oddalając się od środka obrotu zwiększamy naszą prędkość liniową.

Należy zauważyć, że ruch po okręgu ze stałą prędkością jest szczególnym przypadkiem ruchu. Jednak ruch po okręgu może być nierówny. Prędkość może zmieniać się nie tylko w kierunku i pozostać tej samej wielkości, ale także zmieniać wartość, tj. oprócz zmiany kierunku następuje również zmiana wielkości prędkości. W tym przypadku mówimy o tzw. przyspieszonym ruchu po okręgu.

Co to jest radian?

Istnieją dwie jednostki pomiaru kątów: stopnie i radiany. W fizyce z reguły główną miarą kąta jest radian.

Zbudujmy kąt centralny, który opiera się na łuku o długości .

Doskonale wiesz, że w zależności od kształtu trajektorii ruch dzieli się na prostoliniowy I krzywolinijny. Na poprzednich lekcjach nauczyliśmy się pracować z ruchem prostoliniowym, a mianowicie rozwiązać główny problem mechaniki dla tego rodzaju ruchu.

Wiadomo jednak, że w prawdziwy świat najczęściej mamy do czynienia z ruchem krzywoliniowym, gdy trajektoria jest linią zakrzywioną. Przykładami takiego ruchu są trajektoria ciała rzuconego pod kątem do horyzontu, ruch Ziemi wokół Słońca, a nawet trajektoria ruchu twoich oczu, które teraz podążają za tą notatką.

Pytanie jak rozwiązać główne zadanie mechaniki w przypadku ruchu krzywoliniowego i tej lekcji będzie poświęcona.

Najpierw zdecydujmy co zasadnicze różnice czy ruch krzywoliniowy (ryc. 1) ma się do ruchu prostoliniowego i do czego prowadzą te różnice.

Ryż. 1. Trajektoria ruchu krzywoliniowego

Porozmawiajmy o tym, jak wygodnie jest opisać ruch ciała podczas ruchu krzywoliniowego.

Ruch można podzielić na odrębne sekcje, w każdej z nich ruch można uznać za prostoliniowy (ryc. 2).

Ryż. 2. Podział ruchu krzywoliniowego na sekcje ruch prostoliniowy

Jednak poniższe podejście jest wygodniejsze. Wyobrażamy sobie ten ruch jako kombinację kilku ruchów po łukach kołowych (ryc. 3). Należy pamiętać, że takich przegród jest mniej niż w poprzednim przypadku, ponadto ruch po okręgu jest krzywoliniowy. Ponadto przykłady ruchu po okręgu są bardzo powszechne w przyrodzie. Z tego możemy wywnioskować:

Aby opisać ruch krzywoliniowy, należy nauczyć się opisywać ruch po okręgu, a następnie przedstawiać dowolny ruch w postaci zbiorów ruchów po łukach kołowych.

Ryż. 3. Podział ruchu krzywoliniowego na ruch po łukach kołowych

Zacznijmy więc badanie ruchu krzywoliniowego od badania ruchu jednostajnego po okręgu. Zastanówmy się, jakie są podstawowe różnice między ruchem krzywoliniowym a ruchem prostoliniowym. Na początek przypomnijmy, że w dziewiątej klasie badaliśmy fakt, że prędkość ciała poruszającego się po okręgu jest skierowana stycznie do trajektorii (ryc. 4). Nawiasem mówiąc, możesz zaobserwować ten fakt eksperymentalnie, obserwując, jak poruszają się iskry podczas używania kamienia do ostrzenia.

Rozważmy ruch ciała po łuku kołowym (ryc. 5).

Ryż. 5. Prędkość ciała podczas poruszania się po okręgu

Należy pamiętać, że w tym przypadku moduł prędkości ciała w punkcie jest równy modułowi prędkości ciała w tym punkcie:

Jednak wektor nie jest równy wektorowi. Mamy więc wektor różnicy prędkości (ryc. 6):

Ryż. 6. Wektor różnicy prędkości

Co więcej, zmiana prędkości nastąpiła po pewnym czasie. Otrzymujemy więc znaną kombinację:

To nic innego jak zmiana prędkości w pewnym okresie czasu lub przyspieszenie ciała. Można wyciągnąć bardzo ważny wniosek:

Ruch po zakrzywionej ścieżce jest przyspieszany. Naturą tego przyspieszenia jest ciągła zmiana kierunku wektora prędkości.

Jeszcze raz zauważmy, że jeśli nawet mówimy, że ciało porusza się ruchem jednostajnym po okręgu, to oznacza to, że moduł prędkości ciała się nie zmienia. Jednak taki ruch jest zawsze przyspieszany, ponieważ zmienia się kierunek prędkości.

W dziewiątej klasie badaliście, ile wynosi to przyspieszenie i jak jest skierowane (ryc. 7). Przyspieszenie dośrodkowe jest zawsze skierowane do środka okręgu, po którym porusza się ciało.

Ryż. 7. Przyspieszenie dośrodkowe

Moduł przyspieszenia dośrodkowego można obliczyć ze wzoru:

Przejdźmy do opisu ruchu jednostajnego ciała po okręgu. Umówmy się, że prędkość, której użyłeś do opisu ruchu postępowego, będzie teraz nazywana prędkością liniową. A przez prędkość liniową będziemy rozumieć prędkość chwilową w punkcie trajektorii obracającego się ciała.

Ryż. 8. Ruch punktów dyskowych

Dla pewności rozważmy dysk, który obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Na jego promieniu zaznaczamy dwa punkty i (ryc. 8). Rozważmy ich ruch. Z biegiem czasu punkty te będą przesuwać się wzdłuż łuków koła i staną się punktami i. Jest oczywiste, że punkt przesunął się bardziej niż punkt. Z tego możemy wywnioskować, że im dalej punkt znajduje się od osi obrotu, tym większa jest prędkość liniowa, z jaką się on porusza

Jeśli jednak przyjrzymy się bliżej punktom i , możemy powiedzieć, że kąt, o jaki się obróciły względem osi obrotu, pozostał niezmieniony. To właśnie cechy kątowe wykorzystamy do opisania ruchu po okręgu. Zauważ, że do opisania ruchu po okręgu możemy użyć narożnik cechy.

Rozważanie ruchu po okręgu zacznijmy od najprostszego przypadku – ruchu jednostajnego po okręgu. Przypomnijmy, że jednostajny ruch postępowy to ruch, w którym ciało wykonuje równe ruchy w równych odstępach czasu. Przez analogię możemy podać definicję ruchu jednostajnego po okręgu.

Ruch jednostajny po okręgu to ruch, podczas którego ciało obraca się o równe kąty w równych odstępach czasu.

Podobnie jak w przypadku prędkości liniowej, wprowadzono pojęcie prędkości kątowej.

Prędkość kątowa ruchu jednostajnego ( jest wielkością fizyczną równą stosunkowi kąta, o jaki obróciło się ciało, do czasu, w którym nastąpił ten obrót.

W fizyce najczęściej używa się radiacyjnej miary kąta. Na przykład kąt b jest równy radianom. Prędkość kątową mierzy się w radianach na sekundę:

Znajdźmy związek pomiędzy prędkością kątową obrotu punktu a prędkością liniową tego punktu.

Ryż. 9. Zależność prędkości kątowej od liniowej

Podczas obrotu punkt przechodzi po łuku o długości , obracając się pod kątem . Z definicji radianowej miary kąta możemy napisać:

Podzielmy lewą i prawą stronę równości przez okres czasu, w którym nastąpił ruch, a następnie skorzystajmy z definicji prędkości kątowej i liniowej:

Należy pamiętać, że im dalej punkt znajduje się od osi obrotu, tym większa jest jego prędkość liniowa. A punkty znajdujące się na samej osi obrotu są nieruchome. Przykładem tego jest karuzela: im bliżej środka karuzeli, tym łatwiej ci się na niej utrzymać.

Tę zależność prędkości liniowych i kątowych wykorzystuje się w satelitach geostacjonarnych (satelitach, które zawsze znajdują się nad tym samym punktem na powierzchni Ziemi). Dzięki takim satelitom jesteśmy w stanie odbierać sygnały telewizyjne.

Pamiętajmy, że wcześniej wprowadziliśmy pojęcia okresu i częstotliwości rotacji.

Okres obrotu to czas jednego pełnego obrotu. Okres rotacji jest oznaczony literą i mierzony w sekundach SI:

Częstotliwość obrotów jest wielkością fizyczną równą liczbie obrotów ciała w jednostce czasu.

Częstotliwość jest oznaczona literą i mierzona w sekundach:

Są one powiązane zależnością:

Istnieje związek pomiędzy prędkością kątową a częstotliwością obrotu ciała. Jeśli pamiętamy, że pełny obrót jest równy , łatwo zauważyć, że prędkość kątowa wynosi:

Podstawiając te wyrażenia do zależności pomiędzy prędkością kątową i liniową, możemy otrzymać zależność prędkości liniowej od okresu lub częstotliwości:

Zapiszmy jeszcze zależność przyspieszenia dośrodkowego od tych wielkości:

Znamy zatem związek pomiędzy wszystkimi cechami ruchu jednostajnego po okręgu.

Podsumujmy. Na tej lekcji zaczęliśmy opisywać ruch krzywoliniowy. Rozumieliśmy, jak możemy połączyć ruch krzywoliniowy z ruchem kołowym. Ruch po okręgu jest zawsze przyspieszany, a obecność przyspieszenia decyduje o tym, że prędkość zawsze zmienia swój kierunek. Przyspieszenie to nazywa się dośrodkowym. Na koniec przypomnieliśmy sobie pewne cechy ruchu po okręgu (prędkość liniowa, prędkość kątowa, okres i częstotliwość rotacji) i odkryłem zależności między nimi.

Bibliografia

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Socki. Fizyka 10. - M.: Edukacja, 2008.
2. AP Rymkiewicz. Fizyka. Książka problemów 10-11. - M.: Drop, 2006.
3. O tak. Sawczenko. Problemy z fizyką. - M.: Nauka, 1988.
4. AV Peryszkin, V.V. Krauklisa. Kurs fizyki. T. 1. - M.: Państwo. nauczyciel wyd. min. edukacja RFSRR, 1957.

1. Аyp.ru ().
2. Wikipedii ().

Praca domowa

Po rozwiązaniu problemów dla ta lekcja, możesz przygotować się do pytań 1 z GIA i pytań A1, A2 z Unified State Exam.

1. Zadania 92, 94, 98, 106, 110 - sob. problemy A.P. Rymkiewicz, wyd. 10
2. Oblicz prędkość kątową wskazówek minutowych, sekundowych i godzinowych zegara. Oblicz przyspieszenie dośrodkowe działające na końce tych strzałek, jeśli promień każdej z nich wynosi jeden metr.

Rozważając krzywoliniowy ruch ciała, zobaczymy, że jego prędkość jest różna w różnych momentach. Nawet w przypadku, gdy wielkość prędkości się nie zmienia, nadal następuje zmiana kierunku prędkości. W ogólnym przypadku zmienia się zarówno wielkość, jak i kierunek prędkości.

Zatem podczas ruchu krzywoliniowego prędkość zmienia się w sposób ciągły, tak że ruch ten następuje z przyspieszeniem. Aby wyznaczyć to przyspieszenie (w wielkości i kierunku), należy znaleźć zmianę prędkości w postaci wektora, czyli znaleźć przyrost wielkości prędkości i zmianę jej kierunku.

Ryż. 49. Zmiana prędkości podczas ruchu zakrzywionego

Niech np. punkt poruszający się krzywoliniowo (ryc. 49) w pewnym momencie będzie miał prędkość, a po krótkim czasie – prędkość. Przyrost prędkości jest różnicą między wektorami i . Ponieważ wektory te mają różne kierunki, należy wziąć pod uwagę różnicę ich wektorów. Przyrost prędkości będzie wyrażony wektorem reprezentowanym przez bok równoległoboku z przekątną i drugi bok. Przyspieszenie to stosunek wzrostu prędkości do czasu, w którym ten wzrost nastąpił. Oznacza to przyspieszenie

Kierunek pokrywa się z wektorem.

Wybierając wystarczająco małe, dochodzimy do koncepcji przyspieszenia chwilowego (por. § 16); w dowolnym przypadku wektor będzie reprezentował średnie przyspieszenie w pewnym okresie czasu.

Kierunek przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym nie pokrywa się z kierunkiem prędkości, natomiast w ruchu prostoliniowym kierunki te są zbieżne (lub przeciwne). Aby wyznaczyć kierunek przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym, wystarczy porównać kierunki prędkości w dwóch bliskich sobie punktach trajektorii. Ponieważ prędkości są skierowane stycznie do trajektorii, to z kształtu samej trajektorii można wywnioskować, w którą stronę z trajektorii skierowane jest przyspieszenie. Rzeczywiście, ponieważ różnica prędkości w dwóch bliskich punktach trajektorii jest zawsze skierowana w kierunku, w którym trajektoria jest zakrzywiona, oznacza to, że przyspieszenie jest zawsze skierowane w stronę wklęsłości trajektorii. Na przykład, gdy piłka toczy się po zakrzywionej rynnie (ryc. 50), jej przyspieszenie jest podzielone na odcinki i jest skierowane zgodnie ze strzałkami, i nie zależy to od tego, czy piłka toczy się z do, czy w przeciwnym kierunku.

Ryż. 50. Przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym są zawsze skierowane w stronę wklęsłości trajektorii

Ryż. 51. Wyprowadzić wzór na przyspieszenie dośrodkowe

Rozważmy ruch jednostajny punktu po krzywoliniowej trajektorii. Wiemy już, że jest to ruch przyspieszony. Znajdźmy przyspieszenie. Aby to zrobić, wystarczy rozważyć przyspieszenie dla szczególnego przypadku ruchu jednostajnego po okręgu. Weźmy dwie bliskie pozycje i punkt ruchomy, oddzielone krótkim okresem czasu (ryc. 51, a). Prędkości poruszającego się punktu w i są równe pod względem wielkości, ale różnią się kierunkiem. Znajdźmy różnicę między tymi prędkościami, korzystając z reguły trójkąta (ryc. 51, b). Trójkąty i są podobne, jak trójkąty równoramienne o równych kątach wierzchołkowych. Długość boku reprezentującego wzrost prędkości w pewnym okresie czasu można przyjąć jako , gdzie jest modułem pożądanego przyspieszenia. Strona podobna do niej to cięciwa łuku; ze względu na niewielki rozmiar łuku można w przybliżeniu przyjąć długość jego cięciwy równa długościłuki, tj. . Dalej, ; , gdzie jest promieniem trajektorii. Z podobieństwa trójkątów wynika, że ​​stosunki w nich podobnych boków są równe:

skąd znajdujemy moduł pożądanego przyspieszenia:

Kierunek przyspieszenia jest prostopadły do ​​cięciwy. Dla wystarczająco krótkich odstępów czasu można przyjąć, że styczna do łuku praktycznie pokrywa się z jego cięciwą. Oznacza to, że można uznać, że przyspieszenie jest skierowane prostopadle (normalnie) do stycznej do trajektorii, czyli wzdłuż promienia do środka okręgu. Dlatego takie przyspieszenie nazywa się przyspieszeniem normalnym lub dośrodkowym.

Jeżeli trajektoria nie jest okręgiem, ale dowolną krzywą, to we wzorze (27.1) należy przyjąć promień okręgu znajdującego się najbliżej krzywej w danym punkcie. Kierunek przyspieszenia normalnego w tym przypadku również będzie prostopadły do ​​stycznej do trajektorii w danym punkcie. Jeśli podczas ruchu krzywoliniowego przyspieszenie jest stałe pod względem wielkości i kierunku, można je obliczyć jako stosunek przyrostu prędkości do okresu czasu, w którym ten przyrost wystąpił, niezależnie od tego, jaki to okres czasu. Oznacza to, że w tym przypadku przyspieszenie można obliczyć korzystając ze wzoru

podobny do wzoru (17.1) dla ruchu prostoliniowego ze stałym przyspieszeniem. Oto prędkość ciała w chwili początkowej, a to prędkość w chwili czasu.

W zależności od kształtu trajektorii ruch dzieli się na prostoliniowy i krzywoliniowy. W świecie rzeczywistym najczęściej mamy do czynienia z ruchem krzywoliniowym, gdy trajektoria jest linią zakrzywioną. Przykładami takiego ruchu są trajektoria ciała rzuconego pod kątem do horyzontu, ruch Ziemi wokół Słońca, ruch planet, koniec wskazówki zegara na tarczy itp.

Rysunek 1. Trajektoria i przemieszczenie podczas ruchu zakrzywionego

Definicja

Ruch krzywoliniowy to ruch, którego trajektorią jest linia zakrzywiona (na przykład okrąg, elipsa, hiperbola, parabola). Podczas poruszania się po krzywoliniowej trajektorii wektor przemieszczenia $\overrightarrow(s)$ jest skierowany wzdłuż cięciwy (ryc. 1), a l jest długością trajektorii. Chwilowa prędkość ciała (czyli prędkość ciała w danym punkcie trajektorii) jest kierowana stycznie do punktu trajektorii, w którym aktualnie znajduje się poruszające się ciało (rys. 2).

Rysunek 2. Prędkość chwilowa podczas ruchu zakrzywionego

Jednak poniższe podejście jest wygodniejsze. Ruch ten można przedstawić jako kombinację kilku ruchów po łukach kołowych (patrz ryc. 4.). Takich przegród będzie mniej niż w poprzednim przypadku, ponadto ruch po okręgu sam w sobie jest krzywoliniowy.

Rysunek 4. Rozbicie ruchu krzywoliniowego na ruch po łukach kołowych

Wniosek

Aby opisać ruch krzywoliniowy, należy nauczyć się opisywać ruch po okręgu, a następnie przedstawiać dowolny ruch w postaci zbiorów ruchów po łukach kołowych.

Zadaniem badania ruchu krzywoliniowego punktu materialnego jest ułożenie równania kinematycznego opisującego ten ruch i pozwalającego na podstawie zadanych warunków początkowych wyznaczyć wszystkie cechy tego ruchu.