Funkcja y kx b jej właściwości. Funkcja liniowa i jej wykres

Właściwości i zadania dotyczące wykresów funkcja kwadratowa powodować, jak pokazuje praktyka, poważne trudności. To dość dziwne, bo w ósmej klasie uczą się funkcji kwadratowej, a potem przez pierwszą ćwiartkę dziewiątej klasy „dręczą” właściwości paraboli i budują jej wykresy dla różnych parametrów.

Wynika to z faktu, że zmuszając uczniów do konstruowania paraboli, praktycznie nie poświęcają czasu na „czytanie” wykresów, czyli nie ćwiczą rozumienia informacji otrzymanych z obrazka. Najwyraźniej zakłada się, że po skonstruowaniu kilkunastu lub dwóch wykresów mądry student sam odkryje i sformułuje związek pomiędzy współczynnikami we wzorze a wygląd sztuki graficzne. W praktyce to nie działa. Do takiego uogólnienia wymagane jest poważne doświadczenie w mini-badaniach matematycznych, którego oczywiście nie posiada większość dziewiątych klas. Tymczasem Państwowa Inspekcja proponuje ustalenie znaków współczynników za pomocą harmonogramu.

Nie będziemy wymagać od uczniów niemożliwego, a po prostu zaproponujemy jeden z algorytmów rozwiązywania takich problemów.

A więc funkcja formy y = topór 2 + bx + do nazywa się kwadratowym, a jego wykres jest parabolą. Jak sama nazwa wskazuje, głównym terminem jest topór 2. To jest A nie powinna być równa zeru, pozostałe współczynniki ( B I Z) może wynosić zero.

Zobaczmy, jak znaki jej współczynników wpływają na wygląd paraboli.

Najprostsza zależność dla współczynnika A. Większość uczniów pewnie odpowiada: „jeśli A> 0, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

W w tym przypadku A = 0,5

A teraz dla A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

W tym przypadku A = - 0,5

Wpływ współczynnika Z Jest to również dość łatwe do naśladowania. Wyobraźmy sobie, że chcemy znaleźć wartość funkcji w punkcie X= 0. Podstaw zero do wzoru:

y = A 0 2 + B 0 + C = C. Okazało się, że y = do. To jest Z jest rzędną punktu przecięcia paraboli z osią y. Zwykle punkt ten można łatwo znaleźć na wykresie. I określ, czy leży powyżej zera, czy poniżej. To jest Z> 0 lub Z < 0.

Z > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Z < 0

y = x 2 + 4x - 3

Odpowiednio, jeśli Z= 0, wówczas parabola koniecznie przejdzie przez początek:

y = x 2 + 4x

Trudniej z parametrem B. Punkt, w którym go znajdziemy, zależy nie tylko od B ale także od A. To jest wierzchołek paraboli. Jego odcięta (współrzędna osi X) można znaleźć ze wzoru x in = - b/(2a). Zatem, b = - 2oś cala. Oznacza to, że postępujemy w następujący sposób: znajdujemy wierzchołek paraboli na wykresie, określamy znak jej odciętej, to znaczy patrzymy na prawo od zera ( x w> 0) lub w lewo ( x w < 0) она лежит.

Jednak to nie wszystko. Musimy także zwrócić uwagę na znak współczynnika A. To znaczy spójrz, gdzie skierowane są gałęzie paraboli. I dopiero potem, zgodnie ze wzorem b = - 2oś cala określić znak B.

Spójrzmy na przykład:

Gałęzie są skierowane w górę, co oznacza A> 0, parabola przecina oś Na poniżej zera, tj Z < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x w> 0. A więc b = - 2oś cala = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, Z < 0.

Definicja funkcji liniowej

Wprowadźmy definicję funkcji liniowej

Definicja

Funkcję w postaci $y=kx+b$, gdzie $k$ jest niezerowe, nazywa się funkcją liniową.

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Liczba $k$ nazywana jest nachyleniem linii.

Gdy $b=0$ funkcję liniową nazywamy funkcją bezpośredniej proporcjonalności $y=kx$.

Rozważ rysunek 1.

Ryż. 1. Geometryczne znaczenie nachylenia linii

Rozważmy trójkąt ABC. Widzimy, że $ВС=kx_0+b$. Znajdźmy punkt przecięcia prostej $y=kx+b$ z osią $Ox$:

\ \

Zatem $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Znajdźmy stosunek tych boków:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Z drugiej strony $\frac(BC)(AC)=tg\kąt A$.

Możemy zatem wyciągnąć następujący wniosek:

Wniosek

Znaczenie geometryczne współczynnik $k$. Współczynnik kątowy prostej $k$ jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $Ox$.

Badanie funkcji liniowej $f\left(x\right)=kx+b$ i jej wykres

Najpierw rozważmy funkcję $f\left(x\right)=kx+b$, gdzie $k > 0$.

1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx+b\prawo))"=k>0$. Stąd, tę funkcję rośnie w całym obszarze definicji. Nie ma skrajnych punktów.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Wykres (ryc. 2).

Ryż. 2. Wykresy funkcji $y=kx+b$, dla $k > 0$.

Rozważmy teraz funkcję $f\left(x\right)=kx$, gdzie $k

1. Dziedziną definicji są wszystkie liczby.
2. Zakres wartości to wszystkie liczby.
3. $f\lewo(-x\prawo)=-kx+b$. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
4. Dla $x=0,f\left(0\right)=b$. Gdy $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx\prawo))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Zatem funkcja nie ma punktów przegięcia.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Wykres (ryc. 3).

Rozważmy problem. Motocyklista, który wyjechał z miasta A do obecnie znajduje się 20 km od niego. W jakiej odległości s (km) od A znajdzie się motocyklista po t godzinach, jeśli będzie jechał z prędkością 40 km/h?

Oczywiście w ciągu t godzin motocyklista przejedzie 50 t km. W rezultacie po t godzinach będzie w odległości (20 + 50t) km od A, tj. s = 50t + 20, gdzie t ≥ 0.

Każda wartość t odpowiada pojedynczej wartości s.

Wzór s = 50t + 20, gdzie t ≥ 0, definiuje tę funkcję.

Rozważmy jeszcze jeden problem. Za wysłanie telegramu pobierana jest opłata w wysokości 3 kopiejek za każde słowo oraz dodatkowo 10 kopiejek. Ile kopiejek (u) należy zapłacić za wysłanie telegramu zawierającego n słów?

Ponieważ nadawca musi zapłacić 3n kopiejek za n słów, koszt wysłania telegramu zawierającego n słów można obliczyć korzystając ze wzoru u = 3n + 10, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną.

W obu rozpatrywanych zagadnieniach napotkaliśmy funkcje, które są dane wzorami w postaci y = kx + l, gdzie k i l są pewnymi liczbami, a x i y są zmiennymi.

Funkcję, którą można określić wzorem w postaci y = kx + l, gdzie k i l są pewnymi liczbami, nazywa się liniową.

Ponieważ wyrażenie kx + l ma sens dla dowolnego x, dziedziną definicji funkcji liniowej może być zbiór wszystkich liczb lub dowolny jej podzbiór.

Szczególnym przypadkiem funkcji liniowej jest omawiana wcześniej proporcjonalność bezpośrednia. Przypomnijmy, że dla l = 0 i k ≠ 0 wzór y = kx + l przyjmuje postać y = kx, a wzór ten, jak wiadomo, dla k ≠ 0 określa bezpośrednią proporcjonalność.

Musimy wykreślić funkcję liniową f podaną wzorem
y = 0,5x + 2.

Uzyskajmy kilka odpowiednich wartości zmiennej y dla niektórych wartości x:

Oznaczmy punkty otrzymanymi współrzędnymi: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Oczywiście skonstruowane punkty leżą na określonej linii. Nie wynika z tego, że wykres tej funkcji jest linią prostą.

Aby dowiedzieć się jak wygląda wykres rozważanej funkcji f, porównajmy go ze znanym wykresem bezpośredniej proporcjonalności x – y, gdzie x = 0,5.

Dla dowolnego x wartość wyrażenia 0,5x + 2 jest większa niż odpowiadająca wartość wyrażenia 0,5x o 2 jednostki. Dlatego rzędna każdego punktu na wykresie funkcji f jest o 2 jednostki większa niż odpowiednia rzędna na wykresie bezpośredniej proporcjonalności.

W konsekwencji wykres omawianej funkcji f można otrzymać z wykresu bezpośredniej proporcjonalności poprzez równoległe przesunięcie o 2 jednostki w kierunku osi y.

Ponieważ wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą, to wykres rozpatrywanej funkcji liniowej f również jest linią prostą.

Generalnie wykres funkcji danej wzorem w postaci y = kx + l jest linią prostą.

Wiemy, że aby zbudować linię prostą wystarczy określić położenie jej dwóch punktów.

Niech na przykład trzeba wykreślić funkcję podaną przez wzór
y = 1,5x – 3.

Weźmy dwie dowolne wartości x, na przykład x 1 = 0 i x 2 = 4. Oblicz odpowiednie wartości funkcji y 1 = -3, y 2 = 3, skonstruuj punkty A (-3; 0) i B (4; 3) i poprowadź linię prostą przez te punkty. Ta linia prosta jest pożądanym wykresem.

Jeżeli dziedzina definicji funkcji liniowej nie jest w pełni przedstawiona liczby, wówczas jego wykres będzie podzbiorem punktów na linii (na przykład półprosta, odcinek, zbiór pojedynczych punktów).

Położenie wykresu funkcji określonej wzorem y = kx + l zależy od wartości l i k. W szczególności kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi x zależy od współczynnika k. Jeśli k – Liczba dodatnia, to kąt ten jest ostry; jeśli k – liczba ujemna, to kąt jest rozwarty. Liczba k nazywana jest nachyleniem linii.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Naucz się obliczać pochodne funkcji. Pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w pewnym punkcie leżącym na wykresie tej funkcji. W tym przypadku wykres może być linią prostą lub krzywą. Oznacza to, że pochodna charakteryzuje szybkość zmian funkcji w określonym momencie. Pamiętać Główne zasady, według którego brane są instrumenty pochodne i dopiero wtedy przechodzimy do kolejnego kroku.

• Przeczytaj artykuł.
• Opisano, jak przyjmować najprostsze pochodne, na przykład pochodną równania wykładniczego. Obliczenia przedstawione w kolejnych krokach będą oparte na opisanych tam metodach.

Naucz się rozróżniać problemy, w których nachylenie należy obliczyć poprzez pochodną funkcji. Zadania nie zawsze wymagają znalezienia nachylenia lub pochodnej funkcji. Na przykład możesz zostać poproszony o znalezienie szybkości zmian funkcji w punkcie A(x,y). Możesz także zostać poproszony o znalezienie nachylenia stycznej w punkcie A(x,y). W obu przypadkach konieczne jest obliczenie pochodnej funkcji.

>>Matematyka: Funkcja liniowa i jej wykres

Funkcja liniowa i jej wykres

Algorytm konstruowania wykresu równania ax + by + c = 0, który sformułowaliśmy w § 28, mimo całej jego przejrzystości i pewności, matematycy tak naprawdę nie lubią. Zwykle formułują twierdzenia dotyczące pierwszych dwóch kroków algorytmu. Po co, mówią, rozwiązywać równanie dwukrotnie dla zmiennej y: najpierw ax1 + przez + c = O, następnie ax1 + przez + c = O? Czy nie lepiej od razu wyrazić y z równania ax + by + c = 0, wtedy łatwiej będzie (i co najważniejsze szybciej) przeprowadzić obliczenia? Sprawdźmy. Rozważmy najpierw równanie 3x - 2y + 6 = 0 (patrz przykład 2 z § 28).

Dawanie x konkretne wartości, łatwo jest obliczyć odpowiednie wartości y. Na przykład dla x = 0 otrzymujemy y = 3; przy x = -2 mamy y = 0; dla x = 2 mamy y = 6; dla x = 4 otrzymujemy: y = 9.

Widzisz jak łatwo i szybko zostały znalezione punkty (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) i (4; 9), które zostały podkreślone w przykładzie 2 z § 28.

W ten sam sposób równanie bx - 2y = 0 (patrz przykład 4 z § 28) można przekształcić do postaci 2y = 16 -3x. dalej y = 2,5x; nie jest trudno znaleźć punkty (0; 0) i (2; 5) spełniające to równanie.

Ostatecznie równanie 3x + 2y - 16 = 0 z tego samego przykładu można przekształcić do postaci 2y = 16 -3x i wtedy nietrudno znaleźć punkty (0; 0) i (2; 5), które je spełniają.

Rozważmy teraz wskazane przekształcenia w ogólna perspektywa.

Zatem równanie liniowe (1) z dwiema zmiennymi x i y można zawsze przekształcić do postaci
y = kx + m,(2) gdzie k,m to liczby (współczynniki), oraz .

Ten widok prywatny równanie liniowe będziemy nazywać funkcją liniową.

Korzystając z równości (2), łatwo jest określić konkretną wartość x i obliczyć odpowiadającą jej wartość y. Niech np.

y = 2x + 3. Następnie:
jeśli x = 0, to y = 3;
jeśli x = 1, to y = 5;
jeśli x = -1, to y = 1;
jeśli x = 3, to y = 9 itd.

Zazwyczaj wyniki te są prezentowane w formie stoły:

Wartości y z drugiego wiersza tabeli nazywane są wartościami funkcji liniowej y = 2x + 3, odpowiednio, w punktach x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

W równaniu (1) zmienne hnu są równe, natomiast w równaniu (2) nie są: jednej z nich przypisujemy określone wartości – zmiennej x, natomiast wartość zmiennej y zależy od wybranej wartości zmiennej x. Dlatego zwykle mówimy, że x jest zmienną niezależną (lub argumentem), a y jest zmienną zależną.

Należy zauważyć, że funkcja liniowa jest specjalnym rodzajem równania liniowego z dwiema zmiennymi. Wykres równania y - kx + m, jak każde równanie liniowe z dwiema zmiennymi, jest linią prostą - nazywa się to także wykresem funkcji liniowej y = kx + m. Zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Przykład 1. Skonstruuj wykres funkcji liniowej y = 2x + 3.

Rozwiązanie. Zróbmy tabelę:

W drugiej sytuacji zmienna niezależna x, która podobnie jak w pierwszej sytuacji oznacza liczbę dni, może przyjmować jedynie wartości 1, 2, 3, ..., 16. Rzeczywiście, jeśli x = 16, wówczas korzystając ze wzoru y = 500 - 30x znajdujemy : y = 500 - 30 16 = 20. Oznacza to, że już 17 dnia nie będzie możliwości wyjęcia z magazynu 30 ton węgla, gdyż do tego dnia będzie już tylko 20 ton pozostanie w magazynie, a proces wywozu węgla będzie musiał zostać wstrzymany. Zatem dopracowany model matematyczny drugiej sytuacji wygląda następująco:

y = 500 - ZOD:, gdzie x = 1, 2, 3, .... 16.

W trzeciej sytuacji niezależny zmienny x teoretycznie może przyjąć dowolną wartość nieujemną (np. x wartość = 0, x wartość = 2, x wartość = 3,5 itd.), ale praktycznie turysta nie może chodzić ze stałą prędkością bez snu i odpoczynku przez jakąkolwiek ilość czasu czasu . Musieliśmy więc wprowadzić rozsądne ograniczenia na x, powiedzmy 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Przypomnijmy, że model geometryczny nieścisłej podwójnej nierówności 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Zgódźmy się napisać zamiast wyrażenia „x należy do zbioru X” (czytaj: „element x należy do zbioru X”, e jest znakiem przynależności). Jak widać nasza znajomość języka matematycznego trwa cały czas.

Jeśli funkcję liniową y = kx + m należy rozpatrywać nie dla wszystkich wartości x, ale tylko dla wartości x z pewnego przedziału liczbowego X, to piszą:

Przykład 2. Wykres funkcji liniowej:

Rozwiązanie, a) Zróbmy tabelę dla funkcji liniowej y = 2x + 1

Skonstruujmy punkty (-3; 7) i (2; -3) na płaszczyźnie współrzędnych xOy i poprowadźmy przez nie linię prostą. To jest wykres równania y = -2x: + 1. Następnie wybierz odcinek łączący skonstruowane punkty (ryc. 38). Odcinek ten jest wykresem funkcji liniowej y = -2x+1, gdziexe [-3, 2].

Zwykle mówią tak: na odcinku [- 3, 2] nakreśliliśmy funkcję liniową y = - 2x + 1.

b) Czym ten przykład różni się od poprzedniego? Funkcja liniowa jest taka sama (y = -2x + 1), co oznacza, że ​​jej wykresem jest ta sama linia prosta. Ale bądź ostrożny! - tym razem x e (-3, 2), czyli wartości x = -3 i x = 2 nie są brane pod uwagę, nie należą do przedziału (- 3, 2). Jak zaznaczyliśmy końce przedziału na linii współrzędnych? Jasne koła (ryc. 39), mówiliśmy o tym w § 26. Podobnie punkty (- 3; 7) i B; - 3) należy zaznaczyć na rysunku jasnymi kółkami. Przypomni nam to, że brane są pod uwagę tylko te punkty prostej y = - 2x + 1, które leżą pomiędzy punktami oznaczonymi okręgami (ryc. 40). Czasami jednak w takich przypadkach zamiast jasnych kół używają strzałek (ryc. 41). To nie jest fundamentalne, najważniejsze jest zrozumienie, co się mówi.

Przykład 3. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji liniowej na segmencie.
Rozwiązanie. Zróbmy tabelę dla funkcji liniowej

Skonstruujmy punkty (0; 4) i (6; 7) na płaszczyźnie współrzędnych xOy i przeprowadźmy przez nie linię prostą - wykres liniowej funkcji x (ryc. 42).

Tę funkcję liniową musimy rozpatrywać nie jako całość, ale na odcinku, tj. dla x e.

Odpowiedni segment wykresu jest zaznaczony na rysunku. Zauważamy, że największa rzędna punktów należących do wybranej części jest równa 7 – to jest najwyższa wartość funkcja liniowa na odcinku. Zwykle stosuje się następującą notację: ymax =7.

Zauważamy, że najmniejsza rzędna punktów należących do części prostej zaznaczonej na rysunku 42 wynosi 4 – jest to najmniejsza wartość funkcji liniowej na odcinku.
Zwykle stosuje się następującą notację: y nazwa. = 4.

Przykład 4. Znajdź y naiba i y naima. dla funkcji liniowej y = -1,5x + 3,5

a) na segmencie; b) na przedziale (1,5);
c) w połowie przerwy.

Rozwiązanie. Zróbmy tabelę dla funkcji liniowej y = -l,5x + 3,5:

Skonstruujmy punkty (1; 2) i (5; - 4) na płaszczyźnie współrzędnych xOy i poprowadźmy przez nie linię prostą (ryc. 43-47). Wybierzmy na skonstruowanej linii prostej część odpowiadającą wartościom x z odcinka (ryc. 43), z przedziału A, 5) (ryc. 44), z półprzedziału (ryc. 47).

a) Korzystając z rysunku 43 łatwo stwierdzić, że y max = 2 (funkcja liniowa osiąga tę wartość przy x = 1), a y min. = - 4 (funkcja liniowa osiąga tę wartość przy x = 5).

b) Korzystając z rysunku 44, wnioskujemy: ta funkcja liniowa nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości w danym przedziale. Dlaczego? Faktem jest, że w odróżnieniu od poprzedniego przypadku, z rozważań wyłączone są oba końce segmentu, w którym osiągnięto największą i najmniejszą wartość.

c) Korzystając z rysunku 45, stwierdzamy, że ymax. = 2 (jak w pierwszym przypadku) oraz najniższa wartość funkcja liniowa nie (jak w drugim przypadku).

d) Korzystając z rysunku 46 wnioskujemy: ymax = 3,5 (funkcja liniowa osiąga tę wartość przy x = 0), oraz ymax. nie istnieje.

e) Korzystając z rysunku 47 wnioskujemy: ymax = -1 (funkcja liniowa osiąga tę wartość przy x = 3), a ymax nie istnieje.

Przykład 5. Wykres funkcji liniowej

y = 2x - 6. Skorzystaj z wykresu, aby odpowiedzieć na następujące pytania:

a) przy jakiej wartości x będzie y = 0?
b) dla jakich wartości x będzie y > 0?
c) przy jakich wartościach x będzie y< 0?

Rozwiązanie Zróbmy tabelę dla funkcji liniowej y = 2x-6:

Przez punkty (0; - 6) i (3; 0) przeciągamy linię prostą - wykres funkcji y = 2x - 6 (ryc. 48).

a) y = 0 w x = 3. Wykres przecina oś x w punkcie x = 3, jest to punkt o rzędnej y = 0.
b) y > 0 dla x > 3. Faktycznie, jeśli x > 3, to prosta leży powyżej osi x, co oznacza, że ​​rzędne odpowiednich punktów prostej są dodatnie.

kot< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Należy pamiętać, że w tym przykładzie wykorzystaliśmy wykres do rozwiązania:

a) równanie 2x - 6 = 0 (otrzymujemy x = 3);
b) nierówność 2x - 6 > 0 (otrzymujemy x > 3);
c) nierówność 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Komentarz. W języku rosyjskim ten sam obiekt jest często nazywany inaczej, na przykład: „dom”, „budynek”, „konstrukcja”, „chata”, „dwór”, „barak”, „chatka”, „chata”. W języku matematycznym sytuacja jest mniej więcej taka sama. Powiedzmy, równość z dwiema zmiennymi y = kx + m, gdzie k, m są konkretnymi liczbami, można nazwać funkcją liniową, można nazwać równanie liniowe z dwiema zmiennymi x i y (lub z dwiema niewiadomymi x i y), można nazwać wzorem, można nazwać relacją łączącą x i y, można wreszcie nazwać zależnością między x i y. To nie ma znaczenia, najważniejsze jest, aby to zrozumieć we wszystkich przypadkach mówimy o O model matematyczny y = kx + m

.

Rozważmy wykres funkcji liniowej pokazany na rysunku 49, a. Jeżeli poruszamy się po tym wykresie od lewej do prawej, to rzędne punktów na wykresie cały czas rosną, jakbyśmy „wspinali się pod górę”. W takich przypadkach matematycy używają terminu wzrost i mówią tak: jeśli k > 0, to funkcja liniowa y = kx + m wzrasta.

Rozważmy wykres funkcji liniowej pokazany na rysunku 49, b. Jeżeli poruszamy się po tym wykresie od lewej do prawej, to rzędne punktów na wykresie cały czas maleją, jakbyśmy „schodzili z górki”. W takich przypadkach matematycy używają terminu spadek i mówią tak: jeśli k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Funkcja liniowa w życiu

Podsumujmy teraz ten temat. Zapoznaliśmy się już z takim pojęciem jak funkcja liniowa, znamy jej właściwości i nauczyliśmy się budować wykresy. Rozważałeś także szczególne przypadki funkcji liniowych i dowiedziałeś się, od czego zależy względne położenie wykresów funkcji liniowych. Okazuje się jednak, że w naszym Życie codzienne my również stale przecinamy się z tym modelem matematycznym.

Zastanówmy się, jakie sytuacje z życia codziennego wiążą się z takim pojęciem jak funkcje liniowe? A także, pomiędzy jakimi ilościami lub sytuacje życiowe może ustanowić zależność liniową?

Wielu z Was prawdopodobnie nie do końca rozumie, dlaczego trzeba badać funkcje liniowe, ponieważ jest mało prawdopodobne, aby było to przydatne poźniejsze życie. Ale tutaj jesteś w głębokim błędzie, ponieważ z funkcjami spotykamy się cały czas i wszędzie. Bo nawet regularny miesięczny czynsz to też funkcja zależna od wielu zmiennych. Zmienne te obejmują powierzchnię użytkową, liczbę mieszkańców, taryfy, zużycie energii elektrycznej itp.

Oczywiście najczęstsze przykłady funkcji zależność liniowa, z którymi się zetknęliśmy, to lekcje matematyki.

Ty i ja rozwiązaliśmy problemy polegające na obliczaniu odległości przebytych przez samochody, pociągi lub pieszych przy określonej prędkości. Są to liniowe funkcje czasu ruchu. Ale te przykłady mają zastosowanie nie tylko w matematyce, są obecne w naszym codziennym życiu.

Zawartość kalorii w produktach mlecznych zależy od zawartości tłuszczu i taka zależność ma zazwyczaj charakter funkcji liniowej. Na przykład wraz ze wzrostem zawartości tłuszczu w śmietanie wzrasta również kaloryczność produktu.

Wykonajmy teraz obliczenia i znajdźmy wartości k i b, rozwiązując układ równań:

Wyprowadźmy teraz wzór zależności:

W rezultacie otrzymaliśmy zależność liniową.

Aby poznać prędkość rozchodzenia się dźwięku w zależności od temperatury, można to sprawdzić korzystając ze wzoru: v = 331 +0,6t, gdzie v to prędkość (w m/s), t to temperatura. Jeśli narysujemy wykres tej zależności, zobaczymy, że będzie ona liniowa, to znaczy będzie przedstawiać linię prostą.

A takich praktycznych zastosowań wiedzy w zastosowaniu liniowej zależności funkcyjnej można wymieniać długo. Począwszy od opłat telefonicznych, długości i wzrostu włosów, a nawet przysłów w literaturze. A ta lista jest długa.

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole do pobrania

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych