Rzut geometryczny wektora. Kalkulator online Obliczanie rzutu wektora na wektor

Rzutowanie różnych linii i powierzchni na płaszczyznę pozwala na zbudowanie wizualnego obrazu obiektów w formie rysunku. Rozważymy rzut prostokątny, w którym promienie wystające są prostopadłe do płaszczyzny rzutu. Rzut wektora na płaszczyznę rozważ wektor = (ryc. 3.22), zawarty pomiędzy prostopadłymi pominiętymi na początku i na końcu.

Ryż. 3.23. Rzut wektorowy wektora na oś.

W algebrze wektorowej często konieczne jest rzutowanie wektora na OSIĘ, to znaczy na linię prostą o określonej orientacji. Takie obliczenie jest łatwe, jeśli wektor i oś L leżą w tej samej płaszczyźnie (rys. 3.23). Jednak zadanie staje się trudniejsze, gdy ten warunek nie jest spełniony. Skonstruujmy rzut wektora na oś, gdy wektor i oś nie leżą w tej samej płaszczyźnie (ryc. 3.24).

Ryż. 3.24. Rzutowanie wektora na oś
ogólnie.

Przez końce wektora rysujemy płaszczyzny prostopadłe do prostej L. Na przecięciu z tą prostą płaszczyzny te wyznaczają dwa punkty A1 i B1 - wektor, który nazwiemy rzutem wektorowym tego wektora. Problem znalezienia rzutu wektorowego można łatwiej rozwiązać, jeśli wektor sprowadzi się na tę samą płaszczyznę co oś, co jest możliwe, ponieważ wektory swobodne są uwzględniane w algebrze wektorów.

Oprócz rzutu wektorowego istnieje również Rzut skalarny, który jest równy modułowi rzutu wektorowego, jeśli rzut wektorowy pokrywa się z orientacją osi L, i jest równy jego wartości przeciwnej, jeśli rzut wektorowy i L oś ma odwrotną orientację. Będziemy oznaczać projekcję skalarną:

W praktyce projekcje wektorowe i skalarne nie zawsze są ściśle terminologicznie od siebie oddzielone. Zwykle używany jest termin „projekcja wektorowa”, oznaczający skalarny rzut wektora. Podejmując decyzję, należy wyraźnie rozróżnić te pojęcia. Zgodnie z utrwaloną tradycją będziemy posługiwać się pojęciami „projekcja wektorowa”, czyli projekcja skalarna, oraz „projekcja wektorowa” – zgodnie z ustalonym znaczeniem.

Udowodnimy twierdzenie, które pozwala obliczyć rzut skalarny danego wektora.

TWIERDZENIE 5. Rzut wektora na oś L jest równy iloczynowi jego modułu i cosinusa kąta między wektorem a osią, czyli

(3.5)

Ryż. 3,25. Znajdowanie wektora i skalara
Rzuty wektorowe na oś L
(a oś L jest jednakowo zorientowana).

DOWÓD. Najpierw przeprowadźmy konstrukcje, które pozwolą nam znaleźć kąt G Pomiędzy wektorem a osią L. W tym celu skonstruujemy linię prostą MN, równoległą do osi L i przechodzącą przez punkt O - początek wektora (ryc. 3.25). Kąt będzie pożądanym kątem. Narysujmy dwie płaszczyzny przechodzące przez punkty A i O, prostopadłe do osi L. Otrzymujemy:

Ponieważ oś L i prosta MN są równoległe.

Zwróćmy uwagę na dwa przypadki względnego położenia wektora i osi L.

1. Niech rzut wektora i oś L będą jednakowo zorientowane (ryc. 3.25). Następnie odpowiedni rzut skalarny .

2. Niech i L będą zorientowane w różnych kierunkach (ryc. 3.26).

Ryż. 3.26. Znalezienie rzutów wektorowych i skalarnych wektora na oś L (przy czym oś L jest zorientowana w przeciwnych kierunkach).

Zatem w obu przypadkach twierdzenie jest prawdziwe.

TWIERDZENIE 6. Jeżeli początek wektora doprowadzony zostanie do pewnego punktu na osi L, a oś ta leży na płaszczyźnie s, to wektor tworzy kąt z rzutem wektora na płaszczyznę s i kąt z wektorem rzut na oś L dodatkowo same rzuty wektorów tworzą ze sobą kąt , To

a na osi lub jakimś innym wektorze znajdują się pojęcia jego rzutowania geometrycznego i rzutowania numerycznego (lub algebraicznego). Wynikiem rzutu geometrycznego będzie wektor, a wynikiem rzutu algebraicznego będzie nieujemna liczba rzeczywista. Zanim jednak przejdziemy do tych pojęć, pamiętajmy o niezbędnych informacjach.

Wstępne informacje

Główną koncepcją jest koncepcja samego wektora. Aby wprowadzić definicję wektor geometryczny Przypomnijmy sobie, czym jest segment. Wprowadźmy następującą definicję.

Definicja 1

Odcinek to część linii, która ma dwie granice w postaci punktów.

Segment może mieć 2 kierunki. Aby oznaczyć kierunek, jedną z granic odcinka nazwiemy jego początkiem, a drugą końcem. Kierunek jest wskazywany od początku do końca segmentu.

Definicja 2

Odcinkiem wektorowym lub skierowanym będzie odcinek, dla którego wiadomo, która z granic odcinka jest uważana za początek, a która za jego koniec.

Oznaczenie: Dwuliterowe: $\overline(AB)$ – (gdzie $A$ to początek, a $B$ to koniec).

Jedną małą literą: $\overline(a)$ (ryc. 1).

Wprowadźmy jeszcze kilka pojęć związanych z pojęciem wektora.

Definicja 3

Dwa niezerowe wektory będziemy nazywać współliniowymi, jeśli leżą na tej samej prostej lub na prostych równoległych do siebie (ryc. 2).

Definicja 4

Dwa niezerowe wektory będziemy nazywać współkierunkowymi, jeśli spełniają dwa warunki:

1. Te wektory są współliniowe.
2. Jeśli są skierowane w jednym kierunku (ryc. 3).

Notacja: $\overline(a)\overline(b)$

Definicja 5

Dwa niezerowe wektory przeciwstawnie nazwiemy, jeśli spełniają dwa warunki:

1. Te wektory są współliniowe.
2. Jeśli są skierowane w różnych kierunkach (ryc. 4).

Notacja: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definicja 6

Długość wektora $\overline(a)$ będzie długością odcinka $a$.

Notacja: $|\overline(a)|$

Przejdźmy do wyznaczania równości dwóch wektorów

Definicja 7

Dwa wektory nazwiemy równymi, jeśli spełniają dwa warunki:

1. Są współkierunkowe;
2. Ich długości są równe (ryc. 5).

Rzut geometryczny

Jak powiedzieliśmy wcześniej, wynikiem rzutu geometrycznego będzie wektor.

Definicja 8

Rzut geometryczny wektora $\overline(AB)$ na oś jest wektorem otrzymywanym w następujący sposób: Na tę oś rzutowany jest punkt początkowy wektora $A$. Otrzymujemy punkt $A"$ - początek żądanego wektora. Na tę oś rzutujemy punkt końcowy wektora $B$. Otrzymujemy punkt $B"$ - koniec żądanego wektora. Pożądanym wektorem będzie wektor $\overline(A"B")$.

Rozważmy problem:

Przykład 1

Skonstruuj rzut geometryczny $\overline(AB)$ na oś $l$ pokazaną na rysunku 6.

Narysujmy prostopadłą z punktu $A$ do osi $l$, otrzymamy na niej punkt $A"$. Następnie z punktu $B$ narysujemy prostopadłą do osi $l$, otrzymamy punkt $B „$ na nim (ryc. 7).

Niech dwa wektory i będą podane w przestrzeni. Odłóżmy z dowolnego punktu O wektory i . Kąt między wektorami nazywa się najmniejszym z kątów. Wyznaczony .

Rozważ oś l i narysuj na nim wektor jednostkowy (tj. wektor, którego długość jest równa jedności).

Pod kątem między wektorem a osią l zrozumieć kąt między wektorami i .

Więc pozwól l jest pewną osią i jest wektorem.

Oznaczmy przez 1 I B 1 rzuty na oś l odpowiednio punkty A I B. Udawajmy, że 1 ma współrzędną x 1, A B 1– współrzędna x 2 na osi l.

Następnie występ wektor na oś l zwana różnicą x 1 – x 2 pomiędzy współrzędnymi rzutów końca i początku wektora na tę oś.

Rzut wektora na oś l będziemy oznaczać.

Oczywiste jest, że jeśli kąt między wektorem a osią l wtedy pikantnie x 2> x 1 i projekcja x 2 – x 1> 0; jeśli ten kąt jest rozwarty, to x 2< x 1 i projekcja x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x 2= x 1 I x 2– x 1=0.

Zatem rzut wektora na oś l jest długością odcinka A 1 B 1, podjęte z pewnym znakiem. Dlatego rzut wektora na oś jest liczbą lub skalarem.

W podobny sposób wyznacza się rzut jednego wektora na drugi. W tym przypadku znajdują się rzuty końców tego wektora na linię, na której leży drugi wektor.

Spójrzmy na podstawowe właściwości rzutów.

LINIOWO ZALEŻNE I LINIOWO NIEZALEŻNE UKŁADY WEKTOROWE

Rozważmy kilka wektorów.

Kombinacja liniowa z tych wektorów jest dowolny wektor w postaci , gdzie są pewne liczby. Liczby nazywane są współczynnikami kombinacji liniowej. Mówią też, że w tym przypadku wyraża się to liniowo poprzez te wektory, tj. uzyskuje się z nich za pomocą działań liniowych.

Na przykład, jeśli podane są trzy wektory, to za ich kombinację liniową można uznać następujące wektory:

Jeśli wektor jest reprezentowany jako liniowa kombinacja niektórych wektorów, to mówimy, że tak jest rozłożone wzdłuż tych wektorów.

Wektory nazywane są liniowo zależne, jeśli takie liczby istnieją, to nie wszystkie równy zeru, Co . Jest oczywiste, że dane wektory będzie liniowo zależny, jeśli którykolwiek z tych wektorów zostanie wyrażony liniowo przez inne.

W przeciwnym razie, tj. kiedy stosunek wykonywane tylko wtedy, gdy , wektory te nazywane są liniowo niezależny.

Twierdzenie 1. Każde dwa wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Dowód:

W podobny sposób można udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2. Trzy wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współpłaszczyznowe.

Dowód.

PODSTAWA

Podstawa jest zbiorem niezerowym liniowo niezależne wektory. Elementy podstawy będziemy oznaczać przez .

W poprzednim akapicie widzieliśmy, że dwa niewspółliniowe wektory na płaszczyźnie są liniowo niezależne. Zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 z poprzedniego akapitu bazą na płaszczyźnie są dowolne dwa niewspółliniowe wektory na tej płaszczyźnie.

Podobnie dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są liniowo niezależne w przestrzeni. W związku z tym trzy wektory niewspółpłaszczyznowe nazywamy bazą w przestrzeni.

Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe.

Twierdzenie. Niech baza będzie podana w przestrzeni. Wtedy dowolny wektor można przedstawić jako kombinację liniową , Gdzie X, y, z- kilka liczb. To jedyny rozkład.

Dowód.

Zatem podstawa pozwala na jednoznaczne powiązanie każdego wektora z potrójną liczbą - współczynnikami rozwinięcia tego wektora na wektory bazowe: . Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa dla każdych trzech liczb x, y, z korzystając z podstawy, możesz porównać wektor, jeśli wykonasz kombinację liniową .

Jeśli podstawa i , a następnie liczby x, y, z są nazywane współrzędne wektor w danej bazie. Współrzędne wektora są oznaczone przez .

KARTEZJAŃSKI UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH

Niech będzie dany punkt w przestrzeni O i trzy wektory niewspółpłaszczyznowe.

Układ kartezjański współrzędne w przestrzeni (na płaszczyźnie) jest zbiorem punktu i podstawy, tj. zbiór punktu i trzech wektorów niewspółpłaszczyznowych (2 wektory niewspółliniowe) wychodzących z tego punktu.

Kropka O zwane pochodzeniem; linie proste przechodzące przez początek współrzędnych w kierunku wektorów bazowych nazywane są osiami współrzędnych - osią odciętych, rzędnych i osią zastosowania. Płaszczyzny przechodzące przez osie współrzędnych nazywane są płaszczyznami współrzędnych.

Rozważ dowolny punkt w wybranym układzie współrzędnych M. Wprowadźmy pojęcie współrzędnych punktu M. Wektor łączący początek z punktem M. zwany wektor promienia zwrotnica M.

Wektor w wybranej bazie można powiązać z trójką liczb – jej współrzędnymi: .

Współrzędne wektora promienia punktu M. są nazywane współrzędne punktu M. w rozważanym układzie współrzędnych. M(x,y,z). Pierwsza współrzędna nazywana jest odciętą, druga rzędną, a trzecia aplikacją.

Podobnie zdefiniowany współrzędne kartezjańskie na powierzchni. Tutaj punkt ma tylko dwie współrzędne - odciętą i rzędną.

Łatwo zauważyć, że dla danego układu współrzędnych każdy punkt ma określone współrzędne. Z drugiej strony dla każdej trójki liczb istnieje unikalny punkt, którego współrzędne stanowią te liczby.

Jeżeli wektory przyjęte za podstawę w wybranym układzie współrzędnych mają długość jednostkową i są parami prostopadłe, wówczas układ współrzędnych nazywa się Kartezjański prostokątny.

Łatwo to pokazać.

Cosinusy kierunkowe wektora całkowicie określają jego kierunek, ale nie mówią nic o jego długości.

Oznaczmy przez kąt między wektorem a osią rzutowania i przenieś wektor

tak, że jego początek pokrywa się z pewnym punktem na osi. Jeżeli kierunki składowej wektora i osi są takie same, to kąt a będzie ostry i jak widać na ryc. 24, o,

gdzie a jest modułem wektora a. Jeśli kierunki wektora i osi są przeciwne, to biorąc pod uwagę znak rzutu, będziemy mieli (patrz ryc. 24, b)

czyli poprzednie wyrażenie (trzeba o tym pamiętać w w tym przypadku kąt a jest rozwarty i

Zatem rzut wektora na oś jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między wektorem a osią:

Oprócz tego niezwykle ważnego wzoru na rzut wektora na oś można podać jeszcze jeden bardzo ważny wzór: prosta formuła. Ustawmy początek na osi i wybierzmy skalę wspólną dla skali wektorów. Jak wiadomo, współrzędną punktu jest liczba wyrażająca w wybranej skali odległość od początku osi do rzutu danego punktu na oś i liczbę tę przyjmuje się ze znakiem plus, jeżeli rzut punktu jest usuwany z początku w kierunku osi, a ze znakiem minus w przeciwnym razie. I tak np. współrzędna punktu A (ryc. 23, b) będzie liczbą ze znakiem wyrażającą długość odcinka, a współrzędna punktu B będzie liczbą ze znakiem określającą długość odcinka (robimy to nie rozwodzić się nad tym

bardziej szczegółowo, zakładając, że czytelnik zna pojęcie współrzędnych punktu z zajęć z matematyki elementarnej).

Oznaczmy współrzędną początku i współrzędną końca wektora na osi x. Następnie, jak widać z rys. 23, ach, będziemy mieli

Rzut wektora na oś x będzie równy

lub, biorąc pod uwagę poprzednie równości,

Łatwo zauważyć, że ta formuła ma ogólny charakter i nie zależy od położenia wektora względem osi i początku układu współrzędnych. Rzeczywiście, rozważmy przypadek pokazany na ryc. 23, ur. Z definicji współrzędnych punktów i rzutu wektora otrzymujemy sukcesywnie

(czytelnik może łatwo sprawdzić ważność wzoru iw innym położeniu wektora względem osi i początku układu współrzędnych).

Z (6.11) wynika, że ​​rzut wektora na oś jest równy różnicy między współrzędnymi końca i początku wektora.

Obliczanie rzutu wektora na oś występuje dość często w różnych zagadnieniach. Dlatego konieczne jest rozwinięcie solidnych umiejętności obliczania prognoz. Można wskazać pewne techniki ułatwiające proces obliczania prognoz.

1. Znak rzutu wektora na oś można z reguły wyznaczyć bezpośrednio z rysunku, a moduł rzutowania obliczyć ze wzoru

Gdzie - ostry róg między wektorem a osią rzutów - jeśli i jeśli Ta technika, nie wprowadzając niczego zasadniczo nowego, jest w pewnym sensie

ułatwia obliczenie rzutu, gdyż nie wymaga przekształceń trygonometrycznych.

2. Jeżeli trzeba wyznaczyć rzuty wektora na dwie wzajemnie prostopadłe osie x i y (zakłada się, że wektor leży w płaszczyźnie tych osi) i jest kątem ostrym między wektorem a osią x, to

(znak występów określa się na podstawie rysunku).

Przykład. Znajdź rzuty na osie współrzędnych x i y siły pokazanej na ryc. 25. Z rysunku jasno wynika, że ​​obie prognozy będą ujemne. Stąd,

3. Czasami stosowana jest zasada podwójnego projektowania, która wygląda następująco. Niech będzie dany wektor i oś leżąca na płaszczyźnie, prostopadłe z końca wektora zrzucimy na płaszczyznę i prostą, a następnie połączymy podstawy prostopadłych odcinkiem prostym (rys. 26). Oznaczmy kąt między wektorem a płaszczyzną przez kąt pomiędzy i przez, a kąt między wektorem a osią rzutów przez a. Ponieważ kąt jest prosty (zgodnie z konstrukcją), to