Trójkąt - To jedna z najbardziej znanych figur geometrycznych. Jest używany wszędzie - nie tylko na rysunkach, ale także jako elementy wyposażenia wnętrz, części różnych projektów i budynków. Istnieje kilka rodzajów tej figury - jednym z nich jest prostokąt. Jego osobliwość jest obecność prosty kąt, równy 90°. Aby znaleźć dwie z trzech wysokości, wystarczy zmierzyć nogi. Trzecia to wartość między wierzchołkiem kąta prostego a środkiem przeciwprostokątnej. Często w geometrii pojawia się pytanie, jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego. Rozwiążmy ten prosty problem.

Niezbędny:

- linijka;
– książka o geometrii;
- trójkąt prostokątny.

Instrukcje:

• Narysuj trójkąt o kącie prostym ABC, gdzie jest kąt ABC równa się 90 ° , czyli jest bezpośredni. Obniż wysokość H od kąta prostego do przeciwprostokątnej - odcinek JAK. Zaznacz kropką miejsce styku segmentów. D.
• Powinieneś teraz mieć kolejny trójkąt - ADB. Należy pamiętać, że jest on podobny do istniejącego ABC, ponieważ kąty ABS I ADB = 90°, to są sobie równe i kąt ZŁY jest wspólne dla obu figur geometrycznych. Porównując je, możemy stwierdzić, że strony AD/AB = BD/BS = AB/AS. Z uzyskanych zależności można stwierdzić, że AD równa się AB²/AS.
• Od powstałego trójkąta ADB ma kąt prosty, mierząc jego boki i przeciwprostokątną, można skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Oto jak to wygląda: AB² = AD² + BD². Aby go rozwiązać, użyj otrzymanej równości OGŁOSZENIE. Powinieneś otrzymać następujące informacje: BD² = AB² - (AB²/AC)². Ponieważ mierzony jest trójkąt ABS jest zatem prostokątny BS² równa się AS² — AB². Dlatego strona BD² równa się AB²BC²/AC², które po ekstrakcji pierwiastka będzie równe BD = AB*BS/AS.
• Podobnie rozwiązanie można wyprowadzić za pomocą innego powstałego trójkąta -
  BDS. W w tym przypadku, jest również podobny do oryginału ABC, dzięki dwóm kątom - ABS I BDS = 90° i kąt DSB jest powszechne. Ponadto, podobnie jak w poprzednim przykładzie, proporcja jest wyświetlana w formacie, gdzie BD/AB = DS/BS = BS/AS. Stąd wartość DS wynika z równości BS²/AS. Ponieważ, AB² = AD*AS , To BS² = DS*AS. Z tego wnioskujemy, że BD² = (AB*BS/AS)² Lub AD*AS*DS*AS/AS², co jest równe REKLAMA*DS. Aby znaleźć wysokość w tym przypadku, wystarczy usunąć korzeń z produktu DS I OGŁOSZENIE.

Średni poziom

Trójkąt prostokątny. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. PIERWSZY POZIOM.

W przypadku problemów kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny róg, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prostokątny w tej formie,

i w tym

i w tym

Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... po pierwsze, jego boki mają specjalne piękne nazwy.

Uwaga na rysunek!

Pamiętaj i nie myl: są dwie nogi i jest tylko jedna przeciwprostokątna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!

Cóż, omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów związanych z trójkątem prostokątnym. Udowodnił to Pitagoras już w zupełnie niepamiętnych czasach i od tego czasu przynosi wiele pożytku tym, którzy ją znają. A najlepsze w tym jest to, że jest proste.

Więc, Twierdzenie Pitagorasa:

Czy pamiętasz dowcip: „Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron!”?

Narysujmy te same spodnie pitagorejskie i spójrzmy na nie.

Czy to nie wygląda jak jakieś szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się ten żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a ściślej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. A sformułował to w ten sposób:

"Suma obszary kwadratów, zbudowany na nogach, jest równy powierzchnia kwadratowa, zbudowany na przeciwprostokątnej.”

Czy to naprawdę brzmi trochę inaczej? I tak, kiedy Pitagoras przedstawił oświadczenie swojego twierdzenia, powstał dokładnie taki obraz.

Na tym obrazku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej pamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o spodniach pitagorejskich.

Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?

Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?

Widzisz, w starożytności nie było... algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było żadnych napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak okropne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami?! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, żeby lepiej zapamiętać:

Teraz powinno być łatwo:

Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

Cóż, najważniejsze twierdzenie o trójkątach prostokątnych zostało omówione. Jeśli ciekawi Cię, jak to zostało udowodnione, zapoznaj się z kolejnymi poziomami teorii, a teraz przejdźmy dalej… do ciemny las...trygonometria! Do okropnych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.

W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwym” definicjom sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcę, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:

Dlaczego wszystko jest tuż za rogiem? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak stwierdzenia 1–4 są pisane słownie. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!

1.
Właściwie brzmi to tak:

A co z kątem? Czy istnieje noga znajdująca się naprzeciwko rogu, czyli przeciwna (dla kąta) noga? Oczywiście, że tak! To jest noga!

A co z kątem? Przyjrzyj się uważnie. Która noga przylega do rogu? Oczywiście noga. Oznacza to, że dla kąta noga sąsiaduje i

Teraz uważaj! Zobacz, co mamy:

Zobacz jakie to fajne:

Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensu.

Jak mam to teraz zapisać słowami? Jaka jest noga w stosunku do kąta? Oczywiście odwrotnie - „leży” naprzeciwko rogu. A co z nogą? Sąsiaduje z rogiem. Co więc mamy?

Widzisz, jak licznik i mianownik zamieniły się miejscami?

A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:

Streszczenie

Zapiszmy krótko wszystko, czego się nauczyliśmy.

Twierdzenie Pitagorasa:

Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na długości i!

Teraz połączmy zaznaczone kropki

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jakie jest pole większego kwadratu?

Prawidłowy, .

A co z mniejszym obszarem?

Z pewnością, .

Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi.

Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.

Połączmy to teraz w jedną całość.

Przekształćmy:

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:

Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

I. Z dwóch stron

II. Przez nogę i przeciwprostokątną

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego

A)

B)

Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować w obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów?

Przyjrzyj się tematowi „i zwróć uwagę na fakt, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi, czyli trzy boki.

Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?

Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

I. Pod kątem ostrym

II. Z dwóch stron

III. Przez nogę i przeciwprostokątną

Mediana w trójkącie prostokątnym

Dlaczego tak jest?

Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

I co z tego wynika?

Okazało się więc, że

1. - mediana:

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.

Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK KOŁA. Więc co się stało?

Zacznijmy więc od tego „oprócz…”.

Spójrzmy na i.

Ale podobne trójkąty mają wszystkie równe kąty!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?

Cóż, na przykład - dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Zapiszmy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:

Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza.

Zapiszmy je jeszcze raz

Twierdzenie Pitagorasa:

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: .

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• z dwóch stron:
• przez nogę i przeciwprostokątną: lub
• wzdłuż nogi i przyległego kąta ostrego: lub
• wzdłuż nogi i przeciwległy kąt ostry: lub
• przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:

• jeden ostry róg: lub
• z proporcjonalności dwóch nóg:
• z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym

• Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:
• Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
• Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
• Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego: .

Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.

W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .

Pole trójkąta prostokątnego:

• przez nogi:
• przez nogę i ostry róg: .

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że jest przed nimi dużo więcej otwarcia więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule - 299 rubli.
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - 499 rubli.

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Każdy program szkolny obejmuje taki przedmiot jak geometria. Każdy z nas, jako student, studiował tę dyscyplinę i rozwiązywał pewne problemy. Ale dla wielu ludzi szkolne lata pozostawiono w tyle, a część zdobytej wiedzy została wymazana z pamięci.

Co zrobić, jeśli nagle musisz znaleźć odpowiedź na jakieś pytanie podręcznik szkolny na przykład, jak znaleźć wysokość w trójkącie prostokątnym? W takim przypadku nowoczesny, zaawansowany użytkownik komputera najpierw otworzy Internet i znajdzie interesujące go informacje.

Podstawowe informacje o trójkątach

Ten figura geometryczna składa się z 3 segmentów połączonych ze sobą w punkty końcowe, a miejsca styku tych punktów nie leżą na tej samej linii prostej. Odcinki tworzące trójkąt nazywane są jego bokami. Połączenia boków tworzą wierzchołki figury, a także jej rogi.

Rodzaje trójkątów w zależności od kątów

Figura ta może mieć trzy rodzaje kątów: ostry, rozwarty i prosty. W zależności od tego wyróżnia się następujące typy trójkątów:

Rodzaje trójkątów w zależności od długości boków

Jak wspomniano wcześniej, figura ta składa się z trzech segmentów. Ze względu na wielkość rozróżnia się następujące typy trójkątów:

Jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego

Dwa identyczne boki trójkąta prostokątnego, które w punkcie styku tworzą kąt prosty, nazywane są nogami. Łączący je odcinek nazywany jest „przeciwprostokątną”. Aby znaleźć wysokość w danej figurze geometrycznej, należy obniżyć linię od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej. W tym przypadku linia ta powinna podzielić kąt 90° dokładnie na pół. Taki odcinek nazywa się dwusieczną.

Powyższe zdjęcie pokazuje trójkąt prostokątny, wysokość które będziemy musieli obliczyć. Można to zrobić na kilka sposobów:

Jeśli narysujesz okrąg wokół trójkąta i narysujesz promień, jego wartość będzie o połowę mniejsza od przeciwprostokątnej. Na tej podstawie można obliczyć wysokość trójkąta prostokątnego, korzystając ze wzoru:

Jak usunąć stronę w Odnoklassnikach Przepowiadanie przyszłości grać w karty: znaczenie kart, wróżenie na przyszłość, na miłość
Wróżenie dla narzeczonej w okresie świąt Bożego Narodzenia: jak wróżyć ukochanej osobie

Nie ma znaczenia, który program szkolny zawiera taki przedmiot jak geometria. Każdy z nas, jako student, studiował tę dyscyplinę i rozwiązywał pewne problemy. Jednak dla wielu osób lata szkolne mają już za sobą, a część zdobytej wiedzy została wymazana z pamięci.

Ale co, jeśli nagle będziesz musiał znaleźć odpowiedź na pewne pytanie z podręcznika szkolnego, na przykład, jak znaleźć wysokość w trójkącie prostokątnym? W takim przypadku nowoczesny, zaawansowany użytkownik komputera najpierw otworzy Internet i znajdzie interesujące go informacje.

Podstawowe informacje o trójkątach

Ta figura geometryczna składa się z 3 odcinków połączonych ze sobą w punktach końcowych, a punkty styku tych punktów nie leżą na tej samej linii prostej. Odcinki tworzące trójkąt nazywane są jego bokami. Połączenia boków tworzą wierzchołki figury, a także jej rogi.

Rodzaje trójkątów w zależności od kątów

Figura ta może mieć 3 rodzaje kątów: ostry, rozwarty i prosty. W zależności od tego wśród trójkątów wyróżnia się następujące odmiany:

Rodzaje trójkątów w zależności od długości boków

Jak wspomniano wcześniej, liczba ta składa się z 3 segmentów. Ze względu na wielkość rozróżnia się następujące typy trójkątów:

Jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego

Dwa podobne boki trójkąta prostokątnego, które w punkcie styku tworzą kąt prosty, nazywane są nogami. Odcinek, który je łączy, nazywa się „przeciwprostokątną”. Aby znaleźć wysokość w danej figurze geometrycznej, należy obniżyć linię od góry kąta prostego do przeciwprostokątnej. Przy tym wszystkim ta linia powinna dzielić kąt pod kątem 90? dokładnie na pół. Taki odcinek nazywa się dwusieczną.

Zdjęcie powyżej pokazuje trójkąt prostokątny, którego wysokość będziemy musieli obliczyć. Można to zrobić na kilka sposobów:

Jeśli narysujesz okrąg wokół trójkąta i narysujesz promień, jego wartość będzie o połowę mniejsza od przeciwprostokątnej. Na tej podstawie można obliczyć wysokość trójkąta prostokątnego, korzystając ze wzoru:

(ABC) i jego właściwości, co przedstawiono na rysunku. Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną – stronę leżącą naprzeciwko kąta prostego.

Wskazówka 1: Jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego

Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Na zdjęciu widać boki AD, DC i BD, DC- nogi i boki AC I NE- przeciwprostokątna.

Twierdzenie 1. W trójkącie prostokątnym o kącie 30° noga przeciwna do tego kąta złamie połowę przeciwprostokątnej.

hC

AB- przeciwprostokątna;

OGŁOSZENIE I D

Trójkąt
Istnieje twierdzenie:
systemu komentarzy CACKLmi

Rozwiązanie: 1) Przekątne dowolnego prostokąta są równe Prawda 2) Jeśli trójkąt ma jeden kąt ostry, to ten trójkąt jest ostry. Nie prawda. Rodzaje trójkątów. Trójkąt nazywa się ostrym, jeśli wszystkie trzy jego kąty są ostre, to znaczy mniejsze niż 90°. 3) Jeśli punkt leży dalej.

Lub w innym wpisie

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Jaki jest wzór na wysokość trójkąta prostokątnego?

Wysokość trójkąta prostokątnego

Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego do przeciwprostokątnej można znaleźć w ten czy inny sposób, w zależności od danych w opisie problemu.

Lub w innym wpisie

Gdzie BK i KC to rzuty nóg na przeciwprostokątną (odcinki, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną).

Wysokość do przeciwprostokątnej można znaleźć w obszarze trójkąta prostokątnego. Jeśli zastosujemy wzór, aby znaleźć obszar trójkąta

(połowa iloczynu boku i wysokości poprowadzonej na ten bok) do przeciwprostokątnej i wysokości poprowadzonej do przeciwprostokątnej, otrzymujemy:

Stąd możemy znaleźć wysokość jako stosunek dwukrotnej powierzchni trójkąta do długości przeciwprostokątnej:

Ponieważ powierzchnia trójkąta prostokątnego jest równa połowie iloczynu nóg:

Oznacza to, że długość wysokości poprowadzonej do przeciwprostokątnej jest równa stosunkowi iloczynu nóg do przeciwprostokątnej. Jeśli oznaczymy długości nóg przez a i b, długość przeciwprostokątnej przez c, wzór można przepisać jako

Ponieważ promień okręgu opisanego w trójkącie prostokątnym jest równy połowie przeciwprostokątnej, długość wysokości można wyrazić za pomocą nóg i promienia okręgu opisanego:

Ponieważ wysokość poprowadzona do przeciwprostokątnej tworzy dwa kolejne trójkąty prostokątne, jej długość można znaleźć poprzez relacje w trójkącie prostokątnym.

Z trójkąta prostokątnego ABK

Z trójkąta prostokątnego ACK

Długość wysokości trójkąta prostokątnego można wyrazić za pomocą długości nóg. Ponieważ

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Jeśli podniesiemy obie strony równania do kwadratu:

Możesz uzyskać inny wzór na powiązanie wysokości trójkąta prostokątnego z jego nogami:

Jaki jest wzór na wysokość trójkąta prostokątnego?

Trójkąt prostokątny. Średni poziom.

Czy chcesz sprawdzić swoje siły i dowiedzieć się, na ile jesteś gotowy do egzaminu Unified State Exam lub Unified State Exam?

Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.

twierdzenie Pitagorasa

Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę

Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.

Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na długości i!

Teraz połączmy zaznaczone kropki

Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.

Jakie jest pole większego kwadratu? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.

Połączmy to teraz w jedną całość.

Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.

Trójkąt prostokątny i trygonometria

Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:

Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej

Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.

I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:

Czy zauważyłeś jedną bardzo wygodną rzecz? Przyjrzyj się uważnie znakowi.

To jest bardzo wygodne!

Znaki równości trójkątów prostokątnych

II. Przez nogę i przeciwprostokątną

III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego

IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego

Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:

WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.

Potrzebować W obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.

Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Przyjrzyj się tematowi „Trójkąt” i zwróć uwagę na fakt, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi lub trzy boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?

Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.

Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych

III. Przez nogę i przeciwprostokątną

Mediana w trójkącie prostokątnym

Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.

Narysujmy przekątną i rozważmy punkt, w którym przekątne się przecinają. Co wiesz o przekątnych prostokąta?

Punkt przecięcia przekątnych jest podzielony na pół.Przekątne są równe.

I co z tego wynika?

Okazało się więc, że

Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!

Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.

Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie

Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK KOŁA. Więc co się stało?

Zacznijmy od tego „oprócz”. "

Ale podobne trójkąty mają wszystkie równe kąty!

To samo można powiedzieć o i

Teraz narysujmy to razem:

Mają takie same ostre kąty!

Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?

Cóż, na przykład - Dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.

Zapiszmy relacje odpowiednich stron:

Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy Pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Jak zdobyć drugie?

Teraz zastosujmy podobieństwo trójkątów i.

Zastosujmy więc podobieństwo: .

Co się teraz stanie?

Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:

Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza. Zapiszmy je jeszcze raz

Cóż, teraz, stosując i łącząc tę ​​wiedzę z innymi, rozwiążesz każdy problem z trójkątem prostokątnym!

Uwagi

Rozpowszechnianie materiałów bez zgody jest dozwolone, jeśli na stronie źródłowej znajduje się link dofollow.

Polityka prywatności

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam się z Tobą skontaktować i poinformować Cię o unikalne oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia. Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów. Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne badania w celu ulepszania świadczonych przez nas usług i przekazywania Państwu rekomendacji dotyczących naszych usług.

Właściwość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonego na przeciwprostokątną

Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Jeżeli zajdzie taka potrzeba – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w test i/lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa. W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Dziękuje Ci za wiadomość!

Twój komentarz został zaakceptowany i po moderacji zostanie opublikowany na tej stronie.

Chcesz dowiedzieć się, co kryje się pod rozcięciem i otrzymać ekskluzywne materiały dotyczące przygotowań do egzaminu Unified State Exam i Unified State Exam? Zostaw swój e-mail

Właściwości trójkąta prostokątnego

Rozważmy trójkąt prostokątny (ABC) i jego właściwości, co przedstawiono na rysunku. Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną – stronę leżącą naprzeciwko kąta prostego. Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Na zdjęciu widać boki AD, DC i BD, DC- nogi i boki AC I NE- przeciwprostokątna.

Znaki równości trójkąta prostokątnego:

Twierdzenie 1. Jeżeli przeciwprostokątna i noga trójkąta prostokątnego są podobne do przeciwprostokątnej i nogi innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Twierdzenie 2. Jeśli dwie nogi trójkąta prostokątnego są równe dwóm nogom innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Twierdzenie 3. Jeżeli przeciwprostokątna i kąt ostry trójkąta prostokątnego są podobne do przeciwprostokątnej i kąta ostrego innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Twierdzenie 4. Jeżeli noga i sąsiadujący (przeciwny) kąt ostry trójkąta prostokątnego są równe nodze i sąsiadującemu (przeciwnemu) kątowi ostremu innego trójkąta, to takie trójkąty są przystające.

Właściwości nogi przeciwnej do kąta 30°:

Twierdzenie 1.

Wysokość w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym o kącie 30° noga przeciwna do tego kąta złamie połowę przeciwprostokątnej.

Twierdzenie 2. Jeżeli w trójkącie prostokątnym noga jest równa połowie przeciwprostokątnej, to kąt leżący naprzeciw niej wynosi 30°.

Jeśli poprowadzimy wysokość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej, wówczas taki trójkąt zostanie podzielony na dwa mniejsze, podobne do poprzedniego i podobne do siebie. Wynikają z tego następujące wnioski:

1. Wysokość jest średnią geometryczną (średnią proporcjonalną) dwóch odcinków przeciwprostokątnej.
2. Każda noga trójkąta jest średnią proporcjonalną do przeciwprostokątnej i sąsiednich odcinków.

W trójkącie prostokątnym nogi pełnią rolę wysokości. Ortocentrum to punkt, w którym następuje przecięcie wysokości trójkąta. Zbiega się z wierzchołkiem kąta prostego figury.

hC- wysokość wychodząca z kąta prostego trójkąta;

AB- przeciwprostokątna;

OGŁOSZENIE I D- segmenty powstające podczas dzielenia przeciwprostokątnej przez wysokość.

Wróć do przeglądania informacji o dyscyplinie "Geometria"

Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech punktów (wierzchołków), które nie leżą na tej samej linii prostej oraz z trzech odcinków łączących te punkty. Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów ma miarę 90° (kąt prosty).
Istnieje twierdzenie: suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90°.
systemu komentarzy CACKLmi

Słowa kluczowe: trójkąt, kąt prosty, noga, przeciwprostokątna, twierdzenie Pitagorasa, okrąg

Trójkąt nazywa się prostokątny jeśli ma kąt prosty.
Trójkąt prostokątny ma dwa wzajemnie prostopadłe boki, tzw nogi; nazywa się jego trzeci bok przeciwprostokątna.

• Zgodnie z właściwościami prostopadłej i ukośnej, przeciwprostokątna jest dłuższa niż każda z nóg (ale mniejsza niż ich suma).
• Suma dwóch kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa kątowi prostemu.
• Dwie wysokości trójkąta prostokątnego pokrywają się z jego nogami. Dlatego jeden z czterech wspaniałe punkty uderza w wierzchołki kąta prostego trójkąta.
• Środek opisany w trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej.
• Środkowa trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozważmy dowolny trójkąt prostokątny ABC i narysuj wysokość CD = hc z wierzchołka C jego kąta prostego.

Podzieli dany trójkąt na dwa trójkąty prostokątne ACD i BCD; każdy z tych trójkątów ma wspólny kąt ostry z trójkątem ABC i dlatego jest podobny do trójkąta ABC.

Wszystkie trzy trójkąty ABC, ACD i BCD są do siebie podobne.

Z podobieństwa trójkątów wyznaczane są następujące zależności:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• do = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

twierdzenie Pitagorasa jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające związek między bokami trójkąta prostokątnego.

Formuła geometryczna. W trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach.

Sformułowanie algebraiczne. W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.
Oznacza to, że długość przeciwprostokątnej trójkąta oznacza się przez c, a długości nóg przez a i b:
a2 + b2 = c2

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa.

Wysokość trójkąta prostokątnego

Dla dowolnej trójki liczb dodatnich a, b i c takich, że
a2 + b2 = c2,
Istnieje trójkąt prostokątny o nogach a i b oraz przeciwprostokątnej c.

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

• wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej;
• na dwóch nogach;
• wzdłuż nogi i kąta ostrego;
• wzdłuż przeciwprostokątnej i kąta ostrego.

Zobacz też:
Pole trójkąta, trójkąt równoramienny, trójkąt równoboczny

Geometria. 8 Klasa. Test 4. Opcja 1 .

OGŁOSZENIE : Płyta = płyta : B.D. Stąd CD2 = AD ∙ B.D. Mówią:

OGŁOSZENIE : AC = AC : AB. Stąd AC2 = AB ∙ OGŁOSZENIE. Mówią:

BD : BC = BC : AB. Stąd BC2 = AB ∙ B.D.

Rozwiązywać problemy:

1.

A) 70cm; B) 55 cm; C) 65cm; D) 45cm; MI) 53cm.

2. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej dzieli przeciwprostokątną na odcinki 9 i 36.

Określ długość tej wysokości.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; MI) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; MI) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; MI) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; MI) 4.

7.

8. Noga trójkąta prostokątnego ma długość 30.

Jak znaleźć wysokość w trójkącie prostokątnym?

Znajdź odległość wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej, jeśli promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; MI) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; MI) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; MI) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; MI) 7.

Sprawdź odpowiedzi!

G8.04.1. Proporcjonalne odcinki w trójkącie prostokątnym

Geometria. 8 Klasa. Test 4. Opcja 1 .

W Δ ABC ∠ACV = 90°. Nogi AC i BC, przeciwprostokątna AB.

CD to wysokość trójkąta poprowadzonego do przeciwprostokątnej.

AD projekcja nogi AC na przeciwprostokątną,

Projekcja BD nogi BC na przeciwprostokątną.

Wysokość CD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty podobne do niego (i do siebie): Δ ADC i Δ CDB.

Z proporcjonalności boków podobnych Δ ADC i Δ CDB wynika:

OGŁOSZENIE : Płyta = płyta : B.D.

Właściwość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonego na przeciwprostokątną.

Stąd CD2 = AD ∙ B.D. Mówią: wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej,jest średnią wartością proporcjonalną między rzutami nóg na przeciwprostokątną.

Z podobieństwa Δ ADC i Δ ACB wynika:

OGŁOSZENIE : AC = AC : AB. Stąd AC2 = AB ∙ OGŁOSZENIE. Mówią: każda noga jest średnią proporcjonalną wartością pomiędzy całą przeciwprostokątną a rzutem tej nogi na przeciwprostokątną.

Podobnie z podobieństwa Δ CDB i Δ ACB wynika:

BD : BC = BC : AB. Stąd BC2 = AB ∙ B.D.

Rozwiązywać problemy:

1. Znajdź wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej, jeśli dzieli on przeciwprostokątną na odcinki o długości 25 cm i 81 cm.

A) 70cm; B) 55 cm; C) 65cm; D) 45cm; MI) 53cm.

2. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej dzieli przeciwprostokątną na odcinki 9 i 36. Oblicz długość tej wysokości.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; MI) 18.

4. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej wynosi 22, rzut jednej z nóg wynosi 16. Znajdź rzut drugiej nogi.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; MI) 32,25.

5. Noga trójkąta prostokątnego wynosi 18, a jego rzut na przeciwprostokątną wynosi 12. Znajdź przeciwprostokątną.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; MI) 21.

6. Przeciwprostokątna jest równa 32. Znajdź bok, którego rzut na przeciwprostokątną jest równy 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; MI) 4.

7. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 45. Znajdź bok, którego rzut na przeciwprostokątną wynosi 9.

8. Noga trójkąta prostokątnego wynosi 30. Znajdź odległość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej, jeśli promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; MI) 12.

10. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wynosi 41, a rzut jednej z nóg wynosi 16. Znajdź długość wysokości narysowanej od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; MI) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; MI) 75.

12. Różnica w rzutach nóg na przeciwprostokątną wynosi 15, a odległość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej wynosi 4. Znajdź promień opisanego koła.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; MI) 7.